Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics
UDC 517.51 We solve the Boyanov–Naidenov problem $\|x\|_{q, \delta} \to \sup$ on classes of differentiable functions $ W^r_{p, \omega}(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \omega} \le A_0,$ $ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le A_r \}, $ where $\|x\|_{p, \, \delta} := \sup \{\|x\|_{L_p[a, b]}\colon...
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2026
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9328 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: | |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860956102234996736 |
|---|---|
| author | Doroshenko, D. Kofanov, V. Дорошенко, Данііл Кофанов, Володимир Кофанов, Владимир Александрович |
| author_facet | Doroshenko, D. Kofanov, V. Дорошенко, Данііл Кофанов, Володимир Кофанов, Владимир Александрович |
| author_sort | Doroshenko, D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-03-28T20:30:15Z |
| description | UDC 517.51
We solve the Boyanov–Naidenov problem $\|x\|_{q, \delta} \to \sup$ on classes of differentiable functions $ W^r_{p, \omega}(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \omega} \le A_0,$ $ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le A_r \}, $ where $\|x\|_{p, \, \delta} := \sup \{\|x\|_{L_p[a, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},$ $ 0< b-a \le \delta \}; \; p, \delta > 0; $ $q \ge p;$ $\omega := \pi / \lambda,$ the number $\lambda$ satisfies the condition $ A_0 = A_r \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \, \pi / \lambda}, $ $\varphi_{\lambda, r}(t) := \lambda^{-r}\varphi_{r}(\lambda t),$ and $\varphi_{r}$ is the ideal Euler spline of order $r.$ In addition, we prove that the Boyanov–Naidenov problem is equivalent to the problem of finding the sharp constant $C = C(\lambda)$ in the inequality of different metrics\begin{align}\|x\|_{q, \delta} \leq C \|x\|_{p, \omega}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1\alpha},\quad x\in L^{r,\lambda}_{p,\varepsilon},\tag{1}\end{align}where $\alpha = \dfrac{r + 1/q}{r + 1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon} := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \varepsilon}\|x^{(r)}\|_{\infty} \},$ and $\lambda > 0.$ In particular, we obtain inequalities of the form (1) sharp in the classes $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon}.$ We also solve the Boyanov–Naidenov problem in the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish theorems on the relationship between this problem and sharp inequalities of different metrics. As a consequence, sharp inequalities of this kind are proved for polynomials and splines. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v78i3-4.9328 |
| first_indexed | 2026-03-29T01:00:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
Skip to main content
Skip to main navigation menu
Skip to site footer
Open Menu
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Current
Archives
Submissions
Major topics of interest
About
About Journal
Editorial Team
Ethics & Disclosures
Contacts
Search
Register
Login
Home
/
Login
Login
Required fields are marked with an asterisk: *
Subscription required to access item. To verify subscription, log in to journal.
Login
Username or Email
*
Required
Password
*
Required
Forgot your password?
Keep me logged in
Login
Register
Language
English
Українська
Information
For Readers
For Authors
For Librarians
subscribe
Subscribe
Latest publications
Make a Submission
Make a Submission
STM88 menghadirkan Link Gacor dengan RTP tinggi untuk peluang menang yang lebih sering! Bergabunglah sekarang dan buktikan keberuntungan Anda!
Pilih STM88 sebagai agen toto terpercaya Anda dan nikmati kenyamanan bermain dengan sistem betting cepat, result resmi, dan bonus cashback harian.
|
| id | umjimathkievua-article-9328 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-29T01:00:38Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9f/02d970dc9147e7e3a3701b798792209f |
| spelling | umjimathkievua-article-93282026-03-28T20:30:15Z Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics Задача Боянова–Найдьонова та нерівності різних метрик Doroshenko, D. Kofanov, V. Дорошенко, Данііл Кофанов, Володимир Кофанов, Владимир Александрович Boyanov-Naydenov problem, inequalities of different metrics, classes of functions with a given comparison function, Sobolev classes, polynomials, splines Задача Боянова-Найдьонова, нерівності різних метрик, класи функцій із заданою функцією порівняння, соболєвські класи, поліноми, сплайни Задача Боянова-Найдьонова та нерівності різних метрик UDC 517.51 We solve the Boyanov–Naidenov problem $\|x\|_{q, \delta} \to \sup$ on classes of differentiable functions $ W^r_{p, \omega}(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \omega} \le A_0,$ $ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le A_r \}, $ where $\|x\|_{p, \, \delta} := \sup \{\|x\|_{L_p[a, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},$ $ 0< b-a \le \delta \}; \; p, \delta > 0; $ $q \ge p;$ $\omega := \pi / \lambda,$ the number $\lambda$ satisfies the condition $ A_0 = A_r \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \, \pi / \lambda}, $ $\varphi_{\lambda, r}(t) := \lambda^{-r}\varphi_{r}(\lambda t),$ and $\varphi_{r}$ is the ideal Euler spline of order $r.$ In addition, we prove that the Boyanov–Naidenov problem is equivalent to the problem of finding the sharp constant $C = C(\lambda)$ in the inequality of different metrics\begin{align}\|x\|_{q, \delta} \leq C \|x\|_{p, \omega}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1\alpha},\quad x\in L^{r,\lambda}_{p,\varepsilon},\tag{1}\end{align}where $\alpha = \dfrac{r + 1/q}{r + 1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon} := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \varepsilon}\|x^{(r)}\|_{\infty} \},$ and $\lambda > 0.$ In particular, we obtain inequalities of the form (1) sharp in the classes $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon}.$ We also solve the Boyanov–Naidenov problem in the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish theorems on the relationship between this problem and sharp inequalities of different metrics. As a consequence, sharp inequalities of this kind are proved for polynomials and splines. УДК 517.51 Розв'язано задачу Боянова–Найдьонова $\|x\|_{q, \delta} \to \sup$ на класах диференційовних функцій $ W^r_{p, \omega}(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \omega} \le A_0,\ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le A_r \}, $ де $\|x\|_{p, \, \delta} := \sup \{\|x\|_{L_p[a, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},$ $0< b-a \le \delta \}, \;p, \delta > 0; $ $q \ge p;$ $\omega := \pi / \lambda,$ а $\lambda$ обрано за умовою $ A_0 = A_r \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \, \pi / \lambda}, $ $\varphi_{\lambda, r}(t) := \lambda^{-r}\varphi_{r}(\lambda t),$ $\varphi_{r}$ – ідеальний сплайн Ейлера порядку $r.$ Встановлено, що ця задача еквівалентна задачі про точну константу $C = C(\lambda)$ в нерівності різних метрик\begin{align}\|x\|_{q, \delta} \leq C \|x\|_{p, \varepsilon}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1-\alpha},\quad x\in L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon},\tag{1} \end{align} де $\alpha = \dfrac{r + 1/q}{r + 1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon} := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \varepsilon} \|x^{(r)}\|_{\infty} \}, \;\lambda > 0. $ Зокрема, отримано точні на класах $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon}$ нерівності вигляду (1). Розв'язано також задачу Боянова–Найдьонова на просторах тригонометричних поліномів і сплайнів, отримано теореми про взаємозв'язок цієї задачі з точними нерівностями різних метрик. Як наслідки доведено точні нерівності такого типу для поліномів і сплайнів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2026-03-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9328 10.3842/umzh.v78i3-4.9328 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 78 No. 3-4 (2026); 145–159 Український математичний журнал; Том 78 № 3-4 (2026); 145–159 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9328/10641 Copyright (c) 2026 Дорошенко Данііл, Володимир Кофанов |
| spellingShingle | Doroshenko, D. Kofanov, V. Дорошенко, Данііл Кофанов, Володимир Кофанов, Владимир Александрович Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title | Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title_alt | Задача Боянова–Найдьонова та нерівності різних метрик |
| title_full | Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title_fullStr | Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title_full_unstemmed | Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title_short | Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title_sort | boyanov–naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| topic_facet | Boyanov-Naydenov problem inequalities of different metrics classes of functions with a given comparison function Sobolev classes polynomials splines Задача Боянова-Найдьонова нерівності різних метрик класи функцій із заданою функцією порівняння соболєвські класи поліноми сплайни Задача Боянова-Найдьонова та нерівності різних метрик |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9328 |
| work_keys_str_mv | AT doroshenkod boyanovnaydenovproblemandtheinequalitiesofvariousmetrics AT kofanovv boyanovnaydenovproblemandtheinequalitiesofvariousmetrics AT dorošenkodanííl boyanovnaydenovproblemandtheinequalitiesofvariousmetrics AT kofanovvolodimir boyanovnaydenovproblemandtheinequalitiesofvariousmetrics AT kofanovvladimiraleksandrovič boyanovnaydenovproblemandtheinequalitiesofvariousmetrics AT doroshenkod zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíríznihmetrik AT kofanovv zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíríznihmetrik AT dorošenkodanííl zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíríznihmetrik AT kofanovvolodimir zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíríznihmetrik AT kofanovvladimiraleksandrovič zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíríznihmetrik |