Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics
UDC 517.51 We solve the Boyanov–Naidenov problem $\|x\|_{q, \delta} \to \sup$ on classes of differentiable functions $ W^r_{p, \omega}(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \omega} \le A_0,$ $ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le A_r \}, $ where $\|x\|_{p, \, \delta} := \sup \{\|x\|_{L_p[a, b]}\colon...
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2026
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9328 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865795245131694080 |
|---|---|
| author | Doroshenko, D. Kofanov, V. Дорошенко, Данііл Кофанов, Володимир Кофанов, Владимир Александрович |
| author_facet | Doroshenko, D. Kofanov, V. Дорошенко, Данііл Кофанов, Володимир Кофанов, Владимир Александрович |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Данііл Дорошенко",
"institution": "Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара"
},
{
"author": "Володимир Кофанов",
"institution": "Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара"
}
] |
| author_sort | Doroshenko, D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-04-23T13:14:25Z |
| description | UDC 517.51
We solve the Boyanov–Naidenov problem $\|x\|_{q, \delta} \to \sup$ on classes of differentiable functions $ W^r_{p, \omega}(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \omega} \le A_0,$ $ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le A_r \}, $ where $\|x\|_{p, \, \delta} := \sup \{\|x\|_{L_p[a, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},$ $ 0< b-a \le \delta \}; \; p, \delta > 0; $ $q \ge p;$ $\omega := \pi / \lambda,$ the number $\lambda$ satisfies the condition $ A_0 = A_r \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \, \pi / \lambda}, $ $\varphi_{\lambda, r}(t) := \lambda^{-r}\varphi_{r}(\lambda t),$ and $\varphi_{r}$ is the ideal Euler spline of order $r.$ In addition, we prove that the Boyanov–Naidenov problem is equivalent to the problem of finding the sharp constant $C = C(\lambda)$ in the inequality of different metrics\begin{align}\|x\|_{q, \delta} \leq C \|x\|_{p, \omega}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1\alpha},\quad x\in L^{r,\lambda}_{p,\varepsilon},\tag{1}\end{align}where $\alpha = \dfrac{r + 1/q}{r + 1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon} := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \varepsilon}\|x^{(r)}\|_{\infty} \},$ and $\lambda > 0.$ In particular, we obtain inequalities of the form (1) sharp in the classes $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon}.$ We also solve the Boyanov–Naidenov problem in the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish theorems on the relationship between this problem and sharp inequalities of different metrics. As a consequence, sharp inequalities of this kind are proved for polynomials and splines. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v78i3-4.9328 |
| first_indexed | 2026-03-29T01:00:38Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-9328 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-04-24T01:00:28Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-93282026-04-23T13:14:25Z Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics Задача Боянова–Найдьонова та нерівності різних метрик Doroshenko, D. Kofanov, V. Дорошенко, Данііл Кофанов, Володимир Кофанов, Владимир Александрович Boyanov-Naydenov problem, inequalities of different metrics, classes of functions with a given comparison function, Sobolev classes, polynomials, splines Задача Боянова-Найдьонова, нерівності різних метрик, класи функцій із заданою функцією порівняння, соболєвські класи, поліноми, сплайни Задача Боянова-Найдьонова та нерівності різних метрик UDC 517.51 We solve the Boyanov–Naidenov problem $\|x\|_{q, \delta} \to \sup$ on classes of differentiable functions $ W^r_{p, \omega}(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \omega} \le A_0,$ $ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le A_r \}, $ where $\|x\|_{p, \, \delta} := \sup \{\|x\|_{L_p[a, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},$ $ 0< b-a \le \delta \}; \; p, \delta > 0; $ $q \ge p;$ $\omega := \pi / \lambda,$ the number $\lambda$ satisfies the condition $ A_0 = A_r \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \, \pi / \lambda}, $ $\varphi_{\lambda, r}(t) := \lambda^{-r}\varphi_{r}(\lambda t),$ and $\varphi_{r}$ is the ideal Euler spline of order $r.$ In addition, we prove that the Boyanov–Naidenov problem is equivalent to the problem of finding the sharp constant $C = C(\lambda)$ in the inequality of different metrics\begin{align}\|x\|_{q, \delta} \leq C \|x\|_{p, \omega}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1\alpha},\quad x\in L^{r,\lambda}_{p,\varepsilon},\tag{1}\end{align}where $\alpha = \dfrac{r + 1/q}{r + 1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon} := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \varepsilon}\|x^{(r)}\|_{\infty} \},$ and $\lambda > 0.$ In particular, we obtain inequalities of the form (1) sharp in the classes $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon}.$ We also solve the Boyanov–Naidenov problem in the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish theorems on the relationship between this problem and sharp inequalities of different metrics. As a consequence, sharp inequalities of this kind are proved for polynomials and splines. УДК 517.51 Розв'язано задачу Боянова–Найдьонова $\|x\|_{q, \delta} \to \sup$ на класах диференційовних функцій $ W^r_{p, \omega}(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \omega} \le A_0,\ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le A_r \}, $ де $\|x\|_{p, \, \delta} := \sup \{\|x\|_{L_p[a, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},$ $0< b-a \le \delta \}, \;p, \delta > 0; $ $q \ge p;$ $\omega := \pi / \lambda,$ а $\lambda$ обрано за умовою $ A_0 = A_r \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \, \pi / \lambda}, $ $\varphi_{\lambda, r}(t) := \lambda^{-r}\varphi_{r}(\lambda t),$ $\varphi_{r}$ – ідеальний сплайн Ейлера порядку $r.$ Встановлено, що ця задача еквівалентна задачі про точну константу $C = C(\lambda)$ в нерівності різних метрик\begin{align}\|x\|_{q, \delta} \leq C \|x\|_{p, \varepsilon}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1-\alpha},\quad x\in L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon},\tag{1} \end{align} де $\alpha = \dfrac{r + 1/q}{r + 1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon} := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \varepsilon} \|x^{(r)}\|_{\infty} \}, \;\lambda > 0. $ Зокрема, отримано точні на класах $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon}$ нерівності вигляду (1). Розв'язано також задачу Боянова–Найдьонова на просторах тригонометричних поліномів і сплайнів, отримано теореми про взаємозв'язок цієї задачі з точними нерівностями різних метрик. Як наслідки доведено точні нерівності такого типу для поліномів і сплайнів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2026-04-03 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9328 10.3842/umzh.v78i3-4.9328 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 78 No. 3-4 (2026); 145–159 Український математичний журнал; Том 78 № 3-4 (2026); 145–159 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9328/10641 Copyright (c) 2026 Дорошенко Данііл, Володимир Кофанов |
| spellingShingle | Doroshenko, D. Kofanov, V. Дорошенко, Данііл Кофанов, Володимир Кофанов, Владимир Александрович Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title | Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title_alt | Задача Боянова–Найдьонова та нерівності різних метрик |
| title_full | Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title_fullStr | Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title_full_unstemmed | Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title_short | Boyanov–Naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| title_sort | boyanov–naydenov problem and the inequalities of various metrics |
| topic_facet | Boyanov-Naydenov problem inequalities of different metrics classes of functions with a given comparison function Sobolev classes polynomials splines Задача Боянова-Найдьонова нерівності різних метрик класи функцій із заданою функцією порівняння соболєвські класи поліноми сплайни Задача Боянова-Найдьонова та нерівності різних метрик |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9328 |
| work_keys_str_mv | AT doroshenkod boyanovnaydenovproblemandtheinequalitiesofvariousmetrics AT kofanovv boyanovnaydenovproblemandtheinequalitiesofvariousmetrics AT dorošenkodanííl boyanovnaydenovproblemandtheinequalitiesofvariousmetrics AT kofanovvolodimir boyanovnaydenovproblemandtheinequalitiesofvariousmetrics AT kofanovvladimiraleksandrovič boyanovnaydenovproblemandtheinequalitiesofvariousmetrics AT doroshenkod zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíríznihmetrik AT kofanovv zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíríznihmetrik AT dorošenkodanííl zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíríznihmetrik AT kofanovvolodimir zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíríznihmetrik AT kofanovvladimiraleksandrovič zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíríznihmetrik |