On the proximate order and lower proximate order for meromorphic functions
For a function $\Gamma(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\gamma(t)}{t}dt\right\},$ $\gamma(r)$ is a proximate order, we deduce the expression $\Gamma(r)=r^{\gamma(r)}L(r),$ where $L(r)$ is a slowly varying function on $[1,+\infty),$ i.e., $rL'(r)/L(r)\to 0$ as $r\to+\infty....
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2026
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9342 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1871646551921655808 |
|---|---|
| author | Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Mostova, M. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас Мостова, Мар'яна |
| author_facet | Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Mostova, M. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас Мостова, Мар'яна |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Микола Заболоцький",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
},
{
"author": "Тарас Заболоцький",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
},
{
"author": "Мар'яна Мостова",
"institution": "Львівський державний університет фізичної культури імені Івана Боберського"
}
] |
| author_sort | Zabolotskyy, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-24T15:24:13Z |
| description | For a function $\Gamma(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\gamma(t)}{t}dt\right\},$ $\gamma(r)$ is a proximate order, we deduce the expression $\Gamma(r)=r^{\gamma(r)}L(r),$ where $L(r)$ is a slowly varying function on $[1,+\infty),$ i.e., $rL'(r)/L(r)\to 0$ as $r\to+\infty.$ We define the notions of proximate order $\rho(r)$ and proximate lower order $\lambda(r)$ of a function $f$ meromorphic in $\mathbb{C}$ such that either $\underline{\Delta}(D)=\liminf_{r\to+\infty}T(r,f)/D(r)>0$ and $\overline{\Delta}(H)=\limsup_{r\to+\infty}T(r,f)/H(r)=+\infty$ or $\underline{\Delta}(D)=0$ and $\overline{\Delta}(H)<+\infty,$ where $D(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\rho(t)}{t}dt\right\}$ and $H(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\lambda(t)}{t}dt\right\}.$ The obtained results reveal the incorrectness of Lemma 1 and Theorem 1 from the paper by S. H. Dwivedi [S. H. Dwivedi, Compos. Math., 22, No. 1, 39–48 (1970)]. We also generalize the statement of Lemma 2 in the cited paper as follows: If a function $\phi(r)$ is such that $r\phi'(r)/\phi(r)\to\phi_0$ as $r \to +\infty,$ then $\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\phi(t)}{t^{1+\alpha}}dt \sim \dfrac{\phi(r)}{(\phi_0-\alpha)r^\alpha}$ for $0 \le \alpha < \phi_0$ and $\displaystyle\int\nolimits_r^{+\infty}\dfrac{\phi(t)}{t^{1+\alpha}}dt \sim \dfrac{\phi(r)}{(\alpha-\phi_0)r^\alpha}$ for $\alpha > \phi_0$ as $r \to +\infty.$ |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v78i7-8.9342 |
| first_indexed | 2026-07-25T01:00:45Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-9342 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-25T01:00:45Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-93422026-07-24T15:24:13Z On the proximate order and lower proximate order for meromorphic functions Про уточнені порядок і нижній порядок мероморфних функцій Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Mostova, M. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас Мостова, Мар'яна meromorphic function proximate order lower proximate order мероморфна функція уточнений порядок уточнений нижній порядок For a function $\Gamma(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\gamma(t)}{t}dt\right\},$ $\gamma(r)$ is a proximate order, we deduce the expression $\Gamma(r)=r^{\gamma(r)}L(r),$ where $L(r)$ is a slowly varying function on $[1,+\infty),$ i.e., $rL'(r)/L(r)\to 0$ as $r\to+\infty.$ We define the notions of proximate order $\rho(r)$ and proximate lower order $\lambda(r)$ of a function $f$ meromorphic in $\mathbb{C}$ such that either $\underline{\Delta}(D)=\liminf_{r\to+\infty}T(r,f)/D(r)>0$ and $\overline{\Delta}(H)=\limsup_{r\to+\infty}T(r,f)/H(r)=+\infty$ or $\underline{\Delta}(D)=0$ and $\overline{\Delta}(H)<+\infty,$ where $D(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\rho(t)}{t}dt\right\}$ and $H(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\lambda(t)}{t}dt\right\}.$ The obtained results reveal the incorrectness of Lemma 1 and Theorem 1 from the paper by S. H. Dwivedi [S. H. Dwivedi, Compos. Math., 22, No. 1, 39–48 (1970)]. We also generalize the statement of Lemma 2 in the cited paper as follows: If a function $\phi(r)$ is such that $r\phi'(r)/\phi(r)\to\phi_0$ as $r \to +\infty,$ then $\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\phi(t)}{t^{1+\alpha}}dt \sim \dfrac{\phi(r)}{(\phi_0-\alpha)r^\alpha}$ for $0 \le \alpha < \phi_0$ and $\displaystyle\int\nolimits_r^{+\infty}\dfrac{\phi(t)}{t^{1+\alpha}}dt \sim \dfrac{\phi(r)}{(\alpha-\phi_0)r^\alpha}$ for $\alpha > \phi_0$ as $r \to +\infty.$ Для функції $\Gamma(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\gamma(t)}{t}dt\right\},$ $\gamma(r)$ – уточнений порядок, одержано зображення $\Gamma(r)=r^{\gamma(r)}L(r),$ де $L(r)$ – повільно змінна на $[1,+\infty)$ функція, тобто $rL'(r)/L(r)\to 0$ при $r\to+\infty.$ Побудовано уточнені порядок $\rho(r)$ і нижній порядок $\lambda(r)$ мероморфної в $\mathbb{C}$ функції $f$ такі, що $\underline{\Delta}(D)=\varliminf_{r\to+\infty}T(r,f)/D(r)>0$ і $\overline{\Delta}(H)=\varlimsup_{r\to+\infty}T(r,f)/H(r)=+\infty$ або $\underline{\Delta}(D)=0$ і $\overline{\Delta}(H)<+\infty,$ де $D(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\rho(t)}{t}dt\right\}$ і $H(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\lambda(t)}{t}dt\right\}.$ Отримані результати показують хибність тверджень леми 1 і теореми 1 зі статті [S. H. Dwivedi, Compos. Math., 22, No. 1, 39–48 (1970)]. Також узагальнено твердження леми 2 зі згаданої статті, а саме: якщо функція $\phi(r)$ така, що $r\phi'(r)/\phi(r)\to\phi_0$ при $r \to +\infty,$ то $\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\phi(t)}{t^{1+\alpha}}dt \sim \dfrac{\phi(r)}{(\phi_0-\alpha)r^\alpha}$ для $0 \le \alpha < \phi_0$ і $\displaystyle\int\nolimits_r^{+\infty}\dfrac{\phi(t)}{t^{1+\alpha}}dt \sim \dfrac{\phi(r)}{(\alpha-\phi_0)r^\alpha}$ для $\alpha > \phi_0$ при $r \to +\infty.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2026-07-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9342 10.3842/umzh.v78i7-8.9342 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 78 No. 7-8 (2026); 541–547 Український математичний журнал; Том 78 № 7-8 (2026); 541–547 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9342/10699 Copyright (c) 2026 Микола Заболоцький, Тарас Заболоцький, Мар'яна Мостова |
| spellingShingle | Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Mostova, M. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас Мостова, Мар'яна On the proximate order and lower proximate order for meromorphic functions |
| title | On the proximate order and lower proximate order for meromorphic functions |
| title_alt | Про уточнені порядок і нижній порядок мероморфних функцій |
| title_full | On the proximate order and lower proximate order for meromorphic functions |
| title_fullStr | On the proximate order and lower proximate order for meromorphic functions |
| title_full_unstemmed | On the proximate order and lower proximate order for meromorphic functions |
| title_short | On the proximate order and lower proximate order for meromorphic functions |
| title_sort | on the proximate order and lower proximate order for meromorphic functions |
| topic_facet | meromorphic function proximate order lower proximate order мероморфна функція уточнений порядок уточнений нижній порядок |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9342 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotskyym ontheproximateorderandlowerproximateorderformeromorphicfunctions AT zabolotskyyt ontheproximateorderandlowerproximateorderformeromorphicfunctions AT mostovam ontheproximateorderandlowerproximateorderformeromorphicfunctions AT zabolocʹkijmikola ontheproximateorderandlowerproximateorderformeromorphicfunctions AT zabolocʹkijtaras ontheproximateorderandlowerproximateorderformeromorphicfunctions AT mostovamar039âna ontheproximateorderandlowerproximateorderformeromorphicfunctions AT zabolotskyym proutočneníporâdokínižníjporâdokmeromorfnihfunkcíj AT zabolotskyyt proutočneníporâdokínižníjporâdokmeromorfnihfunkcíj AT mostovam proutočneníporâdokínižníjporâdokmeromorfnihfunkcíj AT zabolocʹkijmikola proutočneníporâdokínižníjporâdokmeromorfnihfunkcíj AT zabolocʹkijtaras proutočneníporâdokínižníjporâdokmeromorfnihfunkcíj AT mostovamar039âna proutočneníporâdokínižníjporâdokmeromorfnihfunkcíj |