Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions
UDC 517.53 Let \(f\) be an analytic and univalent function in an open unit disk \(\mathbb{D}\) that belongs to certain subclasses, such as starlike, convex, or close-to-convex functions. For the parameters \(\alpha, \beta \in [0,1]\) such that \(\alpha + \beta \le 1,\) we define a function\[g_{\alph...
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2026
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9414 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: | |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860956096833781760 |
|---|---|
| author | Akyar, Alaattin Coşkun, Oya Mert Akyar, Alaattin Coşkun, Oya Mert |
| author_facet | Akyar, Alaattin Coşkun, Oya Mert Akyar, Alaattin Coşkun, Oya Mert |
| author_sort | Akyar, Alaattin |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-03-28T20:30:15Z |
| description | UDC 517.53
Let \(f\) be an analytic and univalent function in an open unit disk \(\mathbb{D}\) that belongs to certain subclasses, such as starlike, convex, or close-to-convex functions. For the parameters \(\alpha, \beta \in [0,1]\) such that \(\alpha + \beta \le 1,\) we define a function\[g_{\alpha,\beta}(z) = (1-\alpha-\beta)f(z) + (\alpha+\beta) z f'(z),\] which represents a convex-type combination of the identity operator and the classical differential operator. We investigate the conditions under which the function \(g_{\alpha,\beta}(z)\) generated by a generalized linear operator preserves the geometric properties of the original function \(f\) with particular emphasis on radius problems related to univalence and distortion behavior. Explicit radius bounds are deduced by using classical analytic techniques. In addition, AI-assisted numerical experiments are used to verify the sharpness of the theoretical results and to illustrate the dependence of the radius functions on the parameters \(\alpha\) and \(\beta.\) Representative numerical values and graphical visualizations are provided. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v78i3-4.9414 |
| first_indexed | 2026-03-29T01:00:33Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-9414 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-29T01:00:33Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-94142026-03-28T20:30:15Z Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions Akyar, Alaattin Coşkun, Oya Mert Akyar, Alaattin Coşkun, Oya Mert Analytic function, convex function, close-to-convex function, starlike function, univalent functions, radius of univalence. Analytic function, convex function, close-to-convex function, starlike function, univalent functions, radius of univalence. UDC 517.53 Let \(f\) be an analytic and univalent function in an open unit disk \(\mathbb{D}\) that belongs to certain subclasses, such as starlike, convex, or close-to-convex functions. For the parameters \(\alpha, \beta \in [0,1]\) such that \(\alpha + \beta \le 1,\) we define a function\[g_{\alpha,\beta}(z) = (1-\alpha-\beta)f(z) + (\alpha+\beta) z f'(z),\] which represents a convex-type combination of the identity operator and the classical differential operator. We investigate the conditions under which the function \(g_{\alpha,\beta}(z)\) generated by a generalized linear operator preserves the geometric properties of the original function \(f\) with particular emphasis on radius problems related to univalence and distortion behavior. Explicit radius bounds are deduced by using classical analytic techniques. In addition, AI-assisted numerical experiments are used to verify the sharpness of the theoretical results and to illustrate the dependence of the radius functions on the parameters \(\alpha\) and \(\beta.\) Representative numerical values and graphical visualizations are provided. УДК 517.53 Геометричні властивості узагальненого лінійного оператора, що діє на однолистних функціях Нехай \(f\) – аналітична та однолистна функція у відкритому одиничному диску \(\mathbb{D}\), що належить до підкласів зіркоподібних, опуклих або майже опуклих функцій. Для параметрів \(\alpha, \beta \in [0,1]\) за умови \(\alpha + \beta \le 1\) введено функцію \[g_{\alpha,\beta}(z) = (1-\alpha-\beta)f(z) + (\alpha+\beta) z f'(z), \] яка відображає комбінацію типу ``опуклий середній'' між оператором тотожності та класичним диференціальним оператором. Досліджено умови, за яких функція \(g_{\alpha,\beta}(z)\), породжена узагальненим лінійним оператором, зберігає геометричні властивості вихідної функції \(f\), зокрема щодо радіусних задач, пов'язаних із однолистністю та поведінкою деформації. Наведено явні межі радіуса з використанням класичних аналітичних методів. Крім того, застосовано чисельні експерименти за допомогою штучного інтелекту для перевірки точності теоретичних результатів та ілюстрації залежності радіусних функцій від параметрів \(\alpha\) і \(\beta\). Наведено характерні чисельні значення та графічні візуалізації. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2026-03-28 Article Article https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9414 10.3842/umzh.v78i3-4.9414 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 78 No. 3-4 (2026); 201–202 Український математичний журнал; Том 78 № 3-4 (2026); 201–202 1027-3190 en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9414/10631 Copyright (c) 2026 Alaattin Akyar, Oya Mert Coşkun |
| spellingShingle | Akyar, Alaattin Coşkun, Oya Mert Akyar, Alaattin Coşkun, Oya Mert Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions |
| title | Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions |
| title_alt | Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions |
| title_full | Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions |
| title_fullStr | Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions |
| title_full_unstemmed | Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions |
| title_short | Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions |
| title_sort | geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions |
| topic_facet | Analytic function convex function close-to-convex function starlike function univalent functions radius of univalence. Analytic function convex function close-to-convex function starlike function univalent functions radius of univalence. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9414 |
| work_keys_str_mv | AT akyaralaattin geometricpropertiesofageneralizedlinearoperatoractingonunivalentfunctions AT coskunoyamert geometricpropertiesofageneralizedlinearoperatoractingonunivalentfunctions AT akyaralaattin geometricpropertiesofageneralizedlinearoperatoractingonunivalentfunctions AT coskunoyamert geometricpropertiesofageneralizedlinearoperatoractingonunivalentfunctions |