On the 100th birthday of academician V. S. Korolyuk
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2026
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9425 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860513530919256064 |
|---|---|
| author | , Редакційна колегія „Українського математичного журналу” , Редакційна колегія „Українського математичного журналу” |
| author_facet | , Редакційна колегія „Українського математичного журналу” , Редакційна колегія „Українського математичного журналу” |
| author_sort | , Редакційна колегія „Українського математичного журналу” |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-03-21T10:43:27Z |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v77i8.9425 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:46:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
© РЕДАКЦІЙНА КОЛЕГІЯ „УКРАЇНСЬКОГО МАТЕМАТИЧНОГО ЖУРНАЛУ”, 2025
540 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
І С Т О Р І Я Н А У К И fi ¬ I À ≈ … Õ I ƒ ¿ “ »
ÃŒ“Œ–Õ»… ¬I“¿À»… œ¿¬ÀŒ¬»◊
(‰Ó 75-i˜˜ˇ ‚i‰ ‰Ìˇ ̇ӉÊÂÌÌˇ)
28 ÎËÔÌˇ 2015 . ‚ËÔÓ‚ÌËÎÓÒ¸ 75 ÓÍi‚ ‚i‰ ‰Ìˇ ̇ӉÊÂÌÌˇ ˜ÎÂ̇-ÍÓÂÒÔÓ̉ÂÌÚ‡ Õ¿Õ ”͇øÌË
¬iÚ‡Îiˇ œ‡‚Îӂ˘‡ ÃÓÚÓÌÓ„Ó.
¬. œ. ÃÓÚÓÌËÈ Ì‡Ó‰Ë‚Òˇ Û Ï. ÃÂÎiÚÓÔÓθ ‚ ÒiÏ’ø ‚iÈÒ¸ÍÓ‚ÓÒÎÛÊ·Ó‚ˆˇ. …Ó„Ó ·‡Ú¸ÍÓ, œ‡‚ÎÓ
œÂÚӂ˘, Á‡„ËÌÛ‚ Û 1941 Óˆi Ôi‰ ˜‡Ò Ó·ÓÓÌË —‚‡ÒÚÓÔÓΡ.
¬ 1957 . ¬iÚ‡ÎiÈ œ‡‚Îӂ˘ ÓÁÔÓ˜‡‚ ÚÛ‰Ó‚Û ‰iˇÎ¸ÌiÒÚ¸ ÒÎ˛Ò‡ÂÏ ƒÌiÔÓÔÂÚÓ‚Ò¸ÍÓ„Ó
Ô‡Ó‚ÓÁÓ·Û‰i‚ÌÓ„Ó Á‡‚Ó‰Û. ” 1958 . ‚ÒÚÛÔË‚ ̇ ÙiÁ˘Ì ‚i‰‰iÎÂÌÌˇ ÙiÁËÍÓ-χÚÂχÚ˘ÌÓ„Ó Ù‡-
ÍÛθÚÂÚÛ ƒÌiÔÓÔÂÚÓ‚Ò¸ÍÓ„Ó ‰Âʇ‚ÌÓ„Ó ÛÌi‚ÂÒËÚÂÚÛ. œÓ Á‡Íi̘ÂÌÌi ÛÌi‚ÂÒËÚÂÚÛ ‚ 1963 .
‚iÌ ÓÚËχ‚ ‰ËÔÎÓÏ Á ‚i‰Á̇ÍÓ˛ Á‡ ÒÔˆi‡Î¸ÌiÒÚ˛ „ÇÚÂχÚË͇”.
” 1966 . ¬. œ. ÃÓÚÓÌËÈ Á‡Íi̘˂ ‡ÒÔi‡ÌÚÛÛ Á ˆi∫ø ÒÔˆi‡Î¸ÌÓÒÚi i ‚ 1967 . Á‡ıËÒÚË‚ ͇Ì-
‰Ë‰‡ÚÒ¸ÍÛ ‰ËÒÂÚ‡ˆi˛ ̇ ÚÂÏÛ „Õ‡·ÎËÊÂÌÌˇ ÙÛÌ͈iÈ ‡Î„·‡ø˜ÌËÏË ÏÌÓ„Ó˜ÎÂ̇ÏË ‚ ÔÓÒÚÓi
Lp” ‚ ÒÔˆi‡ÎiÁÓ‚‡ÌiÈ ‡‰i ƒÌiÔÓÔÂÚÓ‚Ò¸ÍÓ„Ó ‰ÂÊÛÌi‚ÂÒËÚÂÚÛ.
ŸÂ Ôi‰ ˜‡Ò ̇‚˜‡ÌÌˇ ‚ ‡ÒÔi‡ÌÚÛi ¬. œ. ÃÓÚÓÌËÈ ÓÁÔÓ˜‡‚ Ô‰‡„Ó„i˜ÌÛ ‰iˇÎ¸ÌiÒÚ¸ Û
ƒÌiÔÓÔÂÚÓ‚Ò¸ÍÓÏÛ ÛÌi‚ÂÒËÚÂÚi, ‰Â ‰Ó 1974 . ‚iÌ Ô‡ˆ˛‚‡‚ ‡ÒËÒÚÂÌÚÓÏ, ÒÚ‡¯ËÏ ‚ËÍ·‰‡˜ÂÏ,
c� ¿. Ã. —¿ÃŒ…À≈Õ Œ, ¬. ‘. ¡¿¡≈Õ Œ, —. ¡. ¬¿ ¿–◊” , ¬. À. ¬≈À» IÕ, Œ. ¬. ƒ¿¬»ƒŒ¬,
¬. Œ. Œ‘¿ÕŒ¬, ¿. Ã. œ¿—‹ Œ, Õ. ¬. œ¿–‘IÕŒ¬»◊, ¿. —. –ŒÃ¿Õfi , ¬. I. –”¡¿Õ, Ã. œ. “IÿÕ,
–. Ã. “–»√”¡, I. Œ. ÿ≈¬◊” , Œ. Œ. ÿ”Ã≈… Œ, 2015
ISSN 1027-3190. ”Í. χÚ. ÊÛÌ., 2015, Ú. 67, π 7 1
DOI: 10. 3842/umzh. v77i8. 9425
ДО 100-РІЧЧЯ ВІД ДНЯ НАРОДЖЕННЯ
АКАДЕМІКА НАН УКРАЇНИ В. С. КОРОЛЮКА
„Асимптотичний аналіз – це не лише метод, це мистецтво
бачити просте в складному й майбутнє в обмеженнях”
(В. С. Королюк)
Дев’ятнадцятого серпня 2025 року виповнилося 100 років від дня народження академіка НАН
України Володимира Семеновича Королюка (1925 – 2020) — фундатора сучасної української
школи ймовірностей, творця методів асимптотичного аналізу стохастичних процесів та провід-
ного дослідника в галузі математичної кібернетики. Його внесок у розвиток науки важко пе-
реоцінити: автор понад 300 наукових праць, в тому числі монографій, що стали класикою для
кількох поколінь науковців. Завдяки його науковим досягненням було сформовано фундамен-
тальні підходи до дослідження випадкових процесів, моделювання складних систем, а також
застосування математичних методів у суміжних галузях — фізиці, біології, економіці.
Академік Королюк був не лише блискучим дослідником, а й талановитим педагогом, який
виховав численні покоління науковців. Його учні стали провідними фахівцями в Україні та за
її межами, продовжуючи справу вчителя.
ДО 100-РІЧЧЯ ВІД ДНЯ НАРОДЖЕННЯ АКАДЕМІКА НАН УКРАЇНИ В. С. КОРОЛЮКА 541
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
Науковий шлях ученого був нерозривно пов’язаний з Інститутом математики НАН Украї-
ни, де він пропрацював більшу частину свого життя. В. С. Королюк активно сприяв розвитку
математичної науки в незалежній Україні, очолюючи низку наукових і редакційних рад, а та-
кож репрезентуючи українську науку на міжнародній арені.
Біографічна довідка. В. С. Королюк народився 19 серпня 2025 року в Києві. У 1941 році
закінчив середню школу з відмінним атестатом, за тиждень до початку війни, і в цьому ж році
вступив до Київського державного університету імені Т. Г. Шевченка.
У 1942 р. почав служити в армії, коли йому було 17 років. У 1947 році після демобілізації
відновився на 3-му курсі фізико-математичного факультету Київського державного універси-
тету імені Т. Г. Шевченка, який закінчив із відзнакою.
Уже в 1950-ті роки В. С. Королюк запропонував низку новаторських ідей у граничних тео-
ремах, а згодом — в асимптотичному аналізі стохастичних процесів.
Наукову діяльність Володимир Семенович розпочав під керівництвом академіка Б. В. Гнє-
денка, одного з основоположників радянської школи теорії ймовірностей і кібернетики. У
1953 році захистив кандидатську дисертацію, а у 1960 році — докторську. З 1961 року почав
працювати в Інституті математики АН УРСР (нині Інститут математики НАН України), з
яким був пов’язаний до кінця свого життя. У 1969 році його було обрано членом-кореспон-
дентом АН УРСР, а в 1978 році – дійсним членом (академіком).
Значний період життя В. С. Королюк мав статус “persona non grata” через репресованого у
1944 році батька, заарештованого і відправленого до сталінських таборів, де він і був страче-
ний. Відтоді В. С. Королюк знаходився під підозрою влади весь час аж до „перебудови” з
численними негласними обмеженнями, так що його обрання в члени Академії наук України
було винятковою подією і відбулося лише завдяки підтримці видатних учених того часу.
Наукові здобутки. Наукова діяльність академіка Королюка охоплює широкий спектр пи-
тань теорії ймовірностей, зокрема:
великі відхилення для випадкових еволюцій,
асимптотичні методи в теорії випадкових процесів,
теорію марковських та напівмарковських процесів і послідовностей,
дифузійні наближення,
теорію випадкових алгоритмів,
методи стохастичного моделювання,
теорію адресного програмування.
Математематичні результати вченого опубліковані у понад 400 роботах, з них 30 моногра-
фій, більшість з яких перекладено іноземними мовами. Його праці суттєво вплинули на розви-
ток теорії ймовірностей, математичної кібернетики та теорії масового обслуговування.
Внесок в освіту та наукову школу. Одним із провідних напрямів діяльності В. С. Коро-
люка була педагогічна й організаційна робота. Він багато років викладав у Київському дер-
жавному університеті імениі Т. Г. Шевченка та Національному технічному університеті
України „КПІ”, підготував понад 30 кандидатів і докторів наук. Його учні успішно працюють
в Україні, країнах Європи, США та Канаді.
Під його керівництвом в Інституті математики НАН України була створена і активно роз-
вивалася школа з теорії ймовірностей і математичної статистики. Ця школа стала однією з
провідних наукових шкіл у галузі стохастики на пострадянському просторі.
542 РЕДАКЦІЙНА КОЛЕГІЯ „УКРАЇНСЬКОГО МАТЕМАТИЧНОГО ЖУРНАЛУ”
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
Ключові наукові напрями. Дослідження поведінки процесів у примежових зонах. Од-
ним із важливих напрямів наукової діяльності В. С. Королюка стали дослідження явищ у при-
межових зонах — областях, де відбувається перехід між різними асимптотичними режимами.
У таких ситуаціях класичні граничні теореми або методи апроксимації втрачають свою ефек-
тивність, що потребує розробки нових аналітичних підходів. Академік Королюк заклав мето-
дологічні основи аналізу стохастичних систем у збурених режимах, зокрема при переходах
між станами або масштабами часу.
Під керівництвом В. С. Королюка його учнями та послідовниками було розроблено асимп-
тотичні методи аналізу, які дозволили точно описати ймовірнісну структуру та поведінку про-
цесів у тонких примежових шарах. Було побудовано моделі, що враховують дифузійні набли-
ження при малому параметрі, який інтерпретується як характерна „товщина” примежової об-
ласті. Значна увага приділялася також побудові функцій типу примежової зони для функціо-
налів випадкових блукань.
Отримані результати мали як теоретичну, так і прикладну цінність, зокрема, в теорії надій-
ності складних систем, теорії масового обслуговування, при моделюванні випадкових еволю-
цій, а також у фізичних моделях переносу частинок. Праці В. С. Королюка у цій галузі стали
основою для подальших досліджень його учнів і послідовників.
Випадкові блукання та граничні задачі. Одним із вагомих напрямів наукової діяльності
В. С. Королюка були дослідження у галузі випадкових блукань і пов’язаних із ними граничних
задач. Ці дослідження започаткували нову математичну парадигму у вивченні граничної по-
ведінки стохастичних процесів у дискретному та неперервному часі, зокрема у контексті
складних пуассонівських процесів.
У серії праць, зокрема в монографії [1], В. С. Королюк сформулював і обґрунтував кла-
сифікацію режимів граничної поведінки моментів першого перевищення встановленого рівня
випадковим блуканням Sn = X1 + X2 +…+ Xn , де Xi{ } — незалежні, однаково розподілені ви-
падкові величини. Визначальним параметром слугував середній зсув системи µ = E X1[ ]:
при додатному середньому зсуві (µ > 0 ) реалізується закон великих чисел;
при нульовому середньому зсуві (µ = 0 ) нормалізовані часи перевищення збігаються до
розподілу моменту перевищення для вінерівського процесу;
при від’ємному середньому зсуві (µ < 0 ) має місце асимптотика з виродженим атомом у
нулі та показниковим розподілом.
Ці результати не лише становлять глибоку теоретичну цінність, але й мають вагоме прикладне
значення, зокрема, для моделювання нейрофізіологічних процесів, у теорії страхових ризиків,
в теорії надійності та у фінансовій математиці.
Інноваційною у підходах ученого стала побудова резольвент і потенціалів для опису гра-
ничних функціоналів випадкових блукань, що забезпечило аналітичні методи розв’язання
складних інтегральних та різницевих рівнянь, пов’язаних із задачами про відбивання, погли-
нання та проникнення через бар’єри.
Цей напрям досліджень продовжили і розвинули його учні та послідовники, сформувавши
окрему галузь у межах української ймовірнісної школи.
Напівмарковські процеси та їх застосування. Особливе місце у науковій спадщині
В. С. Королюка займають дослідження напівмарковських процесів (НМП) та їх застосувань у
теорії випадкових еволюцій, страхових ризиків та масового обслуговування. На відміну від
класичних марковських моделей, НМП описують системи з довільними законами розподілу
ДО 100-РІЧЧЯ ВІД ДНЯ НАРОДЖЕННЯ АКАДЕМІКА НАН УКРАЇНИ В. С. КОРОЛЮКА 543
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
часу між змінами станів, що значно розширює можливості стохастичного моделювання реаль-
них процесів.
Підхід В. С. Королюка полягав у тому, щоб сформулювати моделі у вигляді процесів мар-
ковського відновлення, які допускають існування вкладених ланцюгів Маркова у розширених
просторах станів, що, зокрема, було застосовано до моделей страхового ризику. В таких мо-
делях суперпозиція процесів накопичення та втрат задається через процеси марковського
відновлення, а сам процес ризику описується стохастичними співвідношеннями з індикаторни-
ми умовами.
Аналіз НМП вимагав розв’язування складних інтегральних рівнянь на півосі, які не мають
явного розв’язку в загальному випадку, але піддаються ефективному асимптотичному аналізу
методом сингулярного збурення. Зокрема, розроблено пуассонівську апроксимацію напівмар-
ковських моделей, яка дозволяє моделювати явища рідкісних подій, як-от великі катастрофічні
страхові виплати, що відбуваються за показниково розподіленими інтервалами часу.
Результати В. С. Королюка у цій галузі мають високу прикладну значущість, зокрема, в
актуарній математиці, економічному прогнозуванні, керуванні ризиками, а також у технічних
системах обслуговування з напівмарковським надходженням або перемиканням.
Випадкові еволюції. Академік В. С. Королюк зробив піонерський внесок у становлення
та розвиток теорії випадкових еволюцій — напрям, що досліджує стохастичні системи з дина-
мікою, залежною від випадкових збурень у часі. Основною метою таких досліджень було
формування ефективних математичних алгоритмів опису поведінки складних стохастичних
систем на великих часових інтервалах.
В межах цього підходу В. С. Королюк сформулював метод асимптотичного аналізу стохас-
тичних еволюцій на основі введення малого параметра ε → 0 , що дозволило перейти до роз-
гляду граничних детермінованих систем. Було обґрунтовано ефект усереднення: стохастичні
флуктуації на малих масштабах часу згладжуються, і система наближається до розв’язку де-
термінованого еволюційного рівняння.
Крім того, важливим напрямом стало дослідження флуктуацій навколо рівноважного ста-
ну. Для цього було введено нові схеми масштабування, що приводять до граничних процесів
типу Орнштейна – Уленбека. Це дало змогу описати не лише середню поведінку системи, а й
стохастичні відхилення від неї, тобто детально вивчити локальні коливання навколо точки
рівноваги.
В. С. Королюк також розвинув теорію породжуючих операторів для опису стохастичної
еволюції в банахових просторах тест-функцій, що суттєво збагачує аналітичний інструмен-
тарій для вивчення траєкторій стохастичних процесів.
Його фундаментальна монографія “Stochastic systems in merging phase space” (у співав-
торстві з N. Limnios) [4] стала фундаментальним виданням у цій галузі. У ній викладено алго-
ритми фазового укрупнення, дифузійної апроксимації, а також пуассонівської апроксимації
для моделей з рідкісними подіями та напівмарковськими збуреннями.
Проблеми великих відхилень для випадкових еволюцій. Упродовж останніх років своєї
наукової діяльності Володимир Семенович активно працював над проблемою великих відхи-
лень для випадкових еволюцій, зосередившись на складних моделях, де класичні методи вже не
давали належних результатів. Його підхід став важливою віхою в сучасному аналізі ймовір-
нісних систем з ускладненою динамікою.
При розгляді випадкових еволюцій як процесів, що поєднують стохастичну та динамічну
544 РЕДАКЦІЙНА КОЛЕГІЯ „УКРАЇНСЬКОГО МАТЕМАТИЧНОГО ЖУРНАЛУ”
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
(детерміновану) складову, змінюють свій стан з часом під впливом випадкових чинників і опи-
суються за допомогою напівмарковських або марковських моделей із перемиканням динаміки,
у контексті великих відхилень досліджувалась ймовірність того, що така система відхилиться
на значну величину від свого типового (середнього) поведінкового сценарію.
В. С. Королюк запропонував нові схеми апроксимації випадкових еволюцій у межових ре-
жимах:
із асимптотично малим збуренням (наприклад, коли коефіцієнти випадкової складової пря-
мують до нуля);
із швидким перемиканням станів;
для детерміновано керованих процесів, модифікованих випадковими механізмами.
Замість класичних лінійних породжуючих операторів марковських процесів він вводив та
аналізував їх нелінійні аналоги, які виникали в результаті переходу до великовідхильної гра-
ничної задачі. Ці оператори описують швидке (експоненціальне) згасання ймовірності рідкіс-
них подій і пов’язані з варіаційними задачами та гіпотетичною траєкторією „мінімальної енер-
гії”. В результаті цього класичний підхід до великих відхилень (Крамер, Чернов, Фрейдлін –
Вентцель, Дембо – Цайтуні) був переосмислений і розширений з урахуванням структурної
складності систем, комбінованої випадково-детермінованої динаміки і неоднорідності у часі.
Схема дифузійної апроксимації процесів з локально незалежними приростами.
В. С. Королюк розробив узагальнену схему дифузійної апроксимації стохастичних процесів з
локально незалежними приростами, яка охоплює широкий клас систем з дискретними стриб-
ками, включаючи процеси типу народження-загибелі. У цій теорії основним об’єктом є пород-
жуючий оператор, що описує лише стрибкову частину процесу, зокрема у випадку, коли мож-
ливі лише цілочислові зміни стану (наприклад, ±1) [2].
Головна ідея полягає у побудові асимптотичного розкладу породжуючого оператора на
тест-функціях із зсувом аргументу (типу ϕ(u + v)), що відображає локальну структуру змін у
фазовому просторі Rd . Це дозволяє виділити детерміновану компоненту — середній зсув
процесу, та сформулювати відповідне еволюційне рівняння для граничного детермінованого
процесу.
Отримана дифузійна апроксимація описує поведінку початкової стрибкової системи за до-
помогою неперервного гауссівського процесу, що наближається до розв’язання стохастичного
диференціального рівняння типу Орнштейна – Уленбека. Це дозволяє не лише спростити мо-
делювання, але й отримати ефективні оцінки характеристик флуктуацій, зокрема стаціонарно-
го розподілу, дисперсії та швидкості повернення до точки рівноваги [4].
Особливе значення ця схема має для прикладних задач, зокрема, в економічних і технічних
системах, де важливо відобразити локальні випадкові стрибки, але бажано працювати з
неперервною моделлю.
Стійкість динамічних систем із марковськими перемиканнями. В. С. Королюк одним
із перших сформулював і розробив математичну теорію стійкості динамічних систем зі сто-
хастичними марковськими перемиканнями, що моделюють ситуації з швидкими випадковими
збуреннями. У таких моделях динаміка системи залежить від випадкового процесу станів
(марковського або напівмарковського), що керує перемиканням між різними режимами ево-
люції [4].
Основним підходом стало дослідження граничної поведінки системи при малому параметрі
ε → 0 , що відповідає швидкому перемиканню. Було встановлено, що в таких умовах стохас-
ДО 100-РІЧЧЯ ВІД ДНЯ НАРОДЖЕННЯ АКАДЕМІКА НАН УКРАЇНИ В. С. КОРОЛЮКА 545
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
тична система апроксимується усередненою детермінованою системою, яка описує середню
динаміку за марковським процесом перемикання. Було доведено, що якщо усереднена система
є стійкою, то за певних умов стійкою буде й початкова стохастична система, зокрема її флук-
туації мають гауссівський характер і описуються дифузійним процесом типу Орнштейна –
Уленбека [5].
Ключовим результатом стало обґрунтування того, що граничний процес флуктуацій має
стаціонарний нормальний розподіл, і його поведінка повністю визначається трьома числовими
характеристиками: середнім зсувом, дисперсією та коефіцієнтом зворотного зв’язку, які об-
числюються за генераторами системи та марковського процесу перемикань [6].
Схема фазового укрупнення. Крім того, В. С. Королюк розробив схему фазового укруп-
нення перемикаючих систем, яка дозволяє перейти до ефективних моделей в умовах складних
флуктуацій та сингулярних збурень генератора процесу [4] (рис. 1).
Рис. 1. Схема фазового укрупнення.
Цей метод широко застосовувався Володимиром Семеновичем у теорії випадкових про-
цесів для спрощення складних стохастичних систем, зокрема марковських процесів. Суть по-
лягає у згортанні (агрегації) деяких станів у „фази”, що дозволяє отримати нову, простішу мо-
дель з меншою кількістю станів, зберігши при цьому ключові характеристики процесу.
Основна ідея фазового укрупнення полягає у наступному.
Вихідна ситуація. Маємо складну марковську модель з великою кількістю станів. Части-
на з них утворює фази — підмножини станів, у яких перебування триває довго або відбуваєть-
ся інтенсивне внутрішнє перемішування.
Кроки укрупнення:
1. Поділ множини станів на фази:
S = Fii∪ , де Fi — фази.
2. Усереднення поведінки всередині кожної фази: замість моделювання детального пере-
ходу між станами всередині Fi враховується лише середній час перебування та ймовірності
переходу між фазами.
3. Побудова укрупненого процесу, в якому станами є фази, а ймовірності переходу — це
результат усереднення оригінальної динаміки.
Математична спадщина: методи і формули. Теорема Королюка в системах масового
обслуговування. У монографії А. Я. Хінчина (1955 р.) вперше було вміщено результат, який
отримав назву „теорема Королюка”. Вона встановлює рівність між двома визначеннями ін-
546 РЕДАКЦІЙНА КОЛЕГІЯ „УКРАЇНСЬКОГО МАТЕМАТИЧНОГО ЖУРНАЛУ”
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
тенсивності стаціонарного потоку:
λ = 1
E T[ ] ,
де λ — інтенсивність, а E T[ ] — математичне сподівання часу між подіями. Цей результат
має фундаментальне значення для аналізу відновлюваних процесів [7].
Напівмарковські процеси та їх застосування. Поняття напівмарковських процесів було
вперше введене В. С. Королюком у середині 1950-х років. Уперше ідеї, пов’язані з узагальнен-
ням марковських процесів, у яких час перебування у станах не обов’язково підпорядковується
експоненціальному закону, були сформульовані ним у кандидатській дисертації (1953 р.).
Формалізовано й систематично цю теорію було викладено у низці його публікацій наприкінці
1950-х – на початку 1960-х років. Згодом він опублікував фундаментальну монографію „По-
лумарковские процессы” (спільно з А. Ф. Турбіним, 1975 р.), яка стала класичною працею в
цій галузі.
Він увів три ключові характеризації напівмарковських процесів, які покладено в основу їх
математичного опису:
1. Ядро напівмарковського процесу (semi-Markov kernel)
Qij t( ) = P Xn+1 = j,Tn+1 − Tn ≤ t Xn = i( ).
Це ймовірність того, що наступний стан буде j і час перебування у стані i не перевищить t .
Ядро Qij t( ) задає загальну поведінку напівмарковського процесу.
2. Функцію залишкового часу (survival function або sojourn time distribution)
Fi t( ) =
j
∑Qij t( ) , Fi t( ) = 1− Fi t( ),
де Fi t( ) — розподіл часу перебування у стані i , Fi t( ) — ймовірність залишитися у стані i
більше ніж t одиниць часу.
3. Рівняння Колмогорова для ймовірностей перебування
Pij t( ) = δijFi t( ) +
k
∑
0
t
∫qik τ( )Pkj t − τ( ) dτ ,
де Pij t( ) — ймовірність того, що процес знаходиться у стані j в момент часу t , починаючи
з i у час 0; qik t( ) = d
dt
Qik t( ) — щільність ядра переходів.
Це аналог інтегрального рівняння Колмогорова для напівмарковського процесу, яке врахо-
вує розподіли часу перебування у станах.
Наведені формули утворюють основу аналітичного апарату напівмарковських процесів і
використовуються у моделюванні складних систем — від теорії надійності до біостатистики та
фінансів.
Приклад: теорія масового обслуговування. В. С. Королюк застосовував напівмарковські
ДО 100-РІЧЧЯ ВІД ДНЯ НАРОДЖЕННЯ АКАДЕМІКА НАН УКРАЇНИ В. С. КОРОЛЮКА 547
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
моделі для опису роботи систем обслуговування, у яких клієнти прибувають не за пуас-
сонівським законом, часи обслуговування довільні і між подіями існує залежність. Такі систе-
ми не можна адекватно описати марковськими процесами, і саме тут напівмарковські процеси,
введені та формалізовані Королюком, виявилися вирішальними.
Метод траєкторій. В. С. Королюк розвинув метод дослідження випадкових процесів че-
рез функції на траєкторіях. Зокрема, для марковського процесу v t( ) з локальними інтенсив-
ностями a± u( ) аналіз проводиться через породжуючий оператор L:
Lϕ u( ) = a+ u( ) ϕ u +1( ) − ϕ u( )[ ] + a− u( ) ϕ u −1( ) − ϕ u( )[ ],
де ϕ u( ) — гладка тест-функція [3].
Цей метод полягає в дослідженні поведінки типових траєкторій стохастичного процесу при
малому параметрі ε → 0 , який зазвичай відповідає швидкому масштабуванню часу або змен-
шенню інтенсивності збурень.
Метод траєкторій передбачає наступні кроки:
1. Розклад стохастичного процесу на детерміновану й випадкову частину
X ε t( ) = x t( ) + ηε t( ) ,
де X ε t( ) — процес із швидкозмінною динамікою (залежний від малого параметра), x t( ) —
границя середніх траєкторій (детермінована складова) і ηε t( ) — флуктуаційна частина, яка
характеризує випадкові відхилення.
Цей розклад дозволяє перейти до асимптотичного аналізу, де x t( ) є розв’язком детермі-
нованої системи, а ηε t( ) збігається до гауссівського процесу.
2. Диференціальне рівняння для детермінованої траєкторії
dx t( )
dt
= f x t( )( ) , x 0( ) = x0 ,
де x t( ) ∈Rn — детермінована траєкторія, f x( ) — векторне поле (середній дрейф процесу)
і x0 — початкове значення, що збігається з початковим станом стохастичного процесу.
Така траєкторія є основою побудови методу траєкторій — ми порівнюємо стохастичний
процес із цією детермінованою „опорною” траєкторією.
Типові приклади функції f x( ) :
у моделі логістичного зростання: f x( ) = rx 1− x
K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ,
у моделі обслуговування (черги): f x( ) = λ − µx ,
у дифузійних апроксимаціях: f x( ) — дрейф процесу.
3. Стохастичне диференціальне рівняння (СДР) для флуктуаційної складової
dη t( ) = A t( )η t( ) dt + B t( ) dW t( ) , η 0( ) = 0.
Це класичне СДР типу Орнштейна – Уленбека: гранична поведінка флуктуацій навколо де-
термінованої траєкторії. Опис компонентів цього рівняння:
548 РЕДАКЦІЙНА КОЛЕГІЯ „УКРАЇНСЬКОГО МАТЕМАТИЧНОГО ЖУРНАЛУ”
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
η t( ) — випадкова (флуктуаційна) частина розкладу стохастичного процесу, яка відобра-
жає відхилення від детермінованої траєкторії x t( ),
A t( ) — матриця похідних дрейфу:
A t( ) = ∂ f x( )
∂x x=x t( )
,
тобто лінеаризація правої частини детермінованої системи поблизу траєкторії x t( ),
B t( ) — матриця коефіцієнтів розсіювання (дисперсійна структура),
W t( ) — стандартний вінерівський (броунівський) процес,
η 0( ) = 0 — початкове відхилення від траєкторії відсутнє.
Це СДР описує динаміку відхилень стохастичного процесу в околі основної траєкторії
x t( ) . Саме з таких рівнянь В. С. Королюк виводив оцінки ймовірностей траєкторій, граничні
розподіли та функціональні граничні теореми.
Метод траєкторій дозволяє:
побудувати асимптотичну модель у вигляді СДР;
розділити стохастичний аналіз на макрорівень (детермінований) і мікрорівень (флукту-
аційний);
ефективно застосовувати його в задачах навантажених систем масового обслуговування,
систем з випадковими збуреннями, біофізичних процесів.
Асимптотичний аналіз. Теорія слабкої збіжності стохастичних систем до процесів типу
Орнштейна – Уленбека є одним із визначальних напрямів наукової діяльності Володимира
Семеновича. Він заклав основи методів, що дозволяють переходити від складних дискретних
або напівмарковських моделей до диференціальних рівнянь стохастичного типу в дифузійному
масштабі.
Нижче наведено три ключові формули, які відображають ідеї В. С. Королюка щодо такого
переходу:
1. Масштабування системи: фазове прискорення часу та масштаб варіацій
X ε t( ) = X t /ε( ) − a t /ε( )
ε
.
Це нормалізоване відхилення від детермінованої траєкторії a t( ), що враховує вплив флукту-
ацій у масштабі ε . Такий підхід дозволяє вивчати флуктуації навколо середнього у швид-
козмінній системі. Це перший крок до виведення граничного стохастичного процесу.
2. Гранична збіжність до процесу Орнштейна – Уленбека.
При ε → 0 процес X ε t( ) збігається за розподілом до ξ t( ), що задовольняє СДР
dξ t( ) = − Aξ t( ) dt + BdW t( ),
де A — стабілізуючий оператор або матриця (часто похідна детермінованої частини), B —
оператор або матриця коефіцієнта дифузії (визначає інтенсивність шуму), W t( ) — вінерів-
ДО 100-РІЧЧЯ ВІД ДНЯ НАРОДЖЕННЯ АКАДЕМІКА НАН УКРАЇНИ В. С. КОРОЛЮКА 549
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
ський процес (білий шум).
Це класичне рівняння процесу Орнштейна – Уленбека. У працях В. С. Королюка воно є
граничним режимом стохастичних систем із швидким марковським або напівмарковським се-
редовищем.
Рис. 2. Слабка збіжність до процесу Орнштейна – Уленбека.
На рис. 2 показано, як флуктуації навколо середнього значення (µ = 0 ) змінюються за за-
коном процесу Орнштейна – Уленбека: траєкторія завжди прагне повернутись до рівноваги,
хоч і під впливом випадкових збурень. Це відображає поведінку складної стохастичної систе-
ми у граничному режимі саме так, як це описував В. С. Королюк у своїй теорії.
3. Критерій слабкої збіжності у просторі Скорохода
X
ε ⋅( )→
D
ξ ⋅( ) в D 0,T[ ].
Слабка (у сенсі розподілів) збіжність нормалізованих процесів X ε до граничного процесу
ξ відбувається у просторі неперервних у правій частині функцій з лівими границями (Càdlàg),
що забезпечує узагальнення до дискретно-континуальних систем. У монографіях В. С. Коро-
люка такі критерії формалізовано через мартингальні методи та метод обмежувальних мір.
Основними ідеями доведення такої збіжності є:
1. Представлення процесу у вигляді мартингалу + залишку
X ε t( ) = M ε t( ) + Rε t( ) ,
де M ε t( ) — локально обмежений мартингал, Rε t( )→ 0 при ε → 0 (залишковий член).
Ідея полягає в тому, щоб відокремити „стохастичну складову” у вигляді мартингалу і конт-
ролювати „залишок”, що зникає в асимптотиці. Це дозволяє довести збіжність через власти-
вості мартингалів.
2. Критерій збіжності за допомогою квадратичної варіації
M ε t( )→ M t( ) при ε → 0 ,
550 РЕДАКЦІЙНА КОЛЕГІЯ „УКРАЇНСЬКОГО МАТЕМАТИЧНОГО ЖУРНАЛУ”
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
де M ε t( ) — квадратична варіація мартингалу M ε , M t( ) — граничний гауссівський мар-
тингал (часто вінерівський процес).
Ключовий крок у доведенні функціональної слабкої збіжності: якщо квадратична варіація
збігається, то і сам процес збігається (згідно з теоремою Ревуза – Йора або аналогами).
3. Метод обмежувальних мір (tightness + збіжність скінченновимірних).
Потрібно довести:
a) обмеженість мір (tightness):
sup
ε
P sup
t≤T
X ε t( ) > C⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ → 0 при C → ∞ ,
б) збіжність скінченновимірних розподілів:
X
ε t1( ) ,…, X ε tk( )→
D
X t1( ) ,…, X tk( ) .
Ці дві умови забезпечують збіжність процесів у просторі Скорохода D[0,T ]. Це фундамент
методу обмежувальних мір, що був активно використаний В. С. Королюком у поєднанні з мар-
тингальними оцінками.
Пуассонівська апроксимація в науковій спадщині В. С. Королюка. Пуассонівська ап-
роксимація посідає важливе місце в науковій спадщині В. С. Королюка. Це один із ключових
напрямів його досліджень у теорії ймовірностей, зокрема в області граничних теорем для диск-
ретних випадкових процесів.
Пуассонівська апроксимація — це підхід, який полягає в наближенні розподілу кількості
рідкісних подій розподілом Пуассона. Така апроксимація ефективна, коли йдеться про неза-
лежні події з малими ймовірностями.
В. С. Королюк зробив вагомий внесок у розвиток та уточнення умов, за яких пуассонівська
апроксимація є коректною. Його результати характеризуються високою точністю оцінок
швидкості збіжності, а також розробкою нових методів апроксимації в задачах із залежностя-
ми між подіями. Наведемо основні здобутки у цій сфері.
1. Узагальнення класичних результатів. В. С. Королюк здійснив істотне узагальнення
класичних результатів пуассонівської апроксимації, поширивши її застосування на випадки
залежних випадкових величин та скінченних схем випробувань, де традиційне припущення про
незалежність не виконується. У працях [1 – 3] він розробив нові підходи до встановлення умов
збіжності розподілу кількості рідкісних подій до пуассонівського закону. Зокрема, запропо-
нував точні умови асимптотичної незалежності та оцінки точності апроксимації у варіаційній
метриці й метриці Колмогорова. Ці результати мають фундаментальне значення для теорії
граничних теорем і відкривають широкі можливості застосування пуассонівських моделей у
задачах із складною залежною структурою, зокрема в системах із післядією, телекомунікацій-
них мережах та біостатистичних дослідженнях.
2. Оцінки точності. У низці праць В. С. Королюк отримав якісні та кількісні оцінки точ-
ності пуассонівської апроксимації, зокрема в метриці Колмогорова та в метриці загальної ва-
ріації [1, 2, 4]. Було досліджено точкові (локальні) та інтегральні відстані між розподілом
кількості рідкісних подій у дискретних схемах та відповідним пуассонівським законом. Запро-
поновані оцінки мають асимптотично точний характер і застосовуються в теорії випадкових
ДО 100-РІЧЧЯ ВІД ДНЯ НАРОДЖЕННЯ АКАДЕМІКА НАН УКРАЇНИ В. С. КОРОЛЮКА 551
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
полів, у моделюванні складних систем обслуговування та в теорії надійності. Ці результати
становлять основу для аналізу збіжності дискретних стохастичних структур до пуассонівських
процесів та дозволяють обґрунтовувати застосування наближених моделей у практичних за-
дачах.
3. Практичні застосування. Значне місце в науковій діяльності В. С. Королюка посіда-
ють дослідження, пов’язані із застосуванням пуассонівських апроксимацій у прикладних зада-
чах. Розроблені ним підходи виявилися особливо ефективними для моделювання рідкісних
подій у таких галузях, як теорія масового обслуговування, телекомунікаційні системи, надій-
ність складних технічних систем, біостатистика, а також статистичний контроль якості [1 – 4].
У цих роботах він, зокрема, обґрунтував використання пуассонівського наближення для
оцінки кількості збоїв у системах з великим числом компонент, для аналізу вхідних потоків у
мережах зв’язку, а також для моделювання випадкових точкових процесів у просторово-
часових системах.
Особливістю підходу Королюка було поєднання глибокої теорії з реальними практичними
моделями, що дозволило будувати апроксимативні стохастичні моделі з контролем точності.
Багато з цих результатів були реалізовані у вигляді алгоритмічних процедур і стали основою
чисельного моделювання стохастичних структур з рідкісними подіями.
Учні та школа. Під керівництвом академіка сформувалася потужна наукова школа. Його
учні — відомі дослідники в Україні, Франції, Японії та США. Зокрема, Я. М. Чабанюк,
І. В. Самойленко, Д. В. Королюк, М. С. Братійчук, Д. В. Гусак, І. В. Юрченко та інші продов-
жують справу в області дифузійного аналізу та процесів із перемиканням.
Наукова та організаційна діяльність. В. С. Королюк був головним редактором журналу
„Теорія ймовірностей та математична статистика” та членом редколегій журналів „Теория ве-
роятностей и ее применения”, „Кибернетика и системный анализ”, „Український матема-
тичний журнал”, “Theory of stochastic processes, applied stochastic models and data analysis”,
активним організатором міжнародних конференцій з прикладної математики. Його публікації
стали основою розділів у міжнародних збірниках, виданих Springer, Elsevier та WSP.
Володимир Семенович Королюк — це постать, яка уособлює силу української математич-
ної традиції. Його спадщина — це не лише численні теореми, а й культура наукового мислен-
ня, що формує майбутнє. Творчість Володимира Семеновича — це ціла епоха в розвитку ймо-
вірнісних методів, теорії випадкових процесів та математичної кібернетики. Але справжній
масштаб його спадщини вимірюється не лише кількістю цитувань чи учнів, а й впливом на сам
спосіб мислення в науці. Його ідеї і досі живуть у сучасних дослідженнях, проникаючи в нові
сфери науки. Завершуючи цей огляд, можна зазначити: спадщина академіка Королюка жива, і
вона ще довго буде розвиватись у працях тих, хто вчився на його прикладі.
Література
1. В. С. Королюк, Граничні теореми для складних пуассонівських процесів, Наукова думка, Kиїв (1975).
2. V. S. Korolyuk, V. V. Korolyuk, Stochastic models of systems, Springer (1989).
3. V. S. Korolyuk, A. F. Turbin, Mathematical foundations of the state lumping of large systems, Springer (1993).
4. V. S. Koroliuk, N. Limnios, Stochastic systems in merging phase space, 1st ed., World Scientific Publishing Co.
Pte. Ltd (2005); DOI: 10.1142/5979.
5. V. S. Korolyuk, Average and stability of dynamical systems with rapid stochastic switchings, Exploring Stochastic
Laws, De Gruyter (1995), p. 219 – 232.
552 РЕДАКЦІЙНА КОЛЕГІЯ „УКРАЇНСЬКОГО МАТЕМАТИЧНОГО ЖУРНАЛУ”
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2025, т. 77, № 8
6. V. S. Korolyuk, Stability of an autonomous dynamic system with fast markov switching, Ukr. Math. J., 43, № 9, 1101
– 1105 (1991).
7. V. S. Korolyuk, Superposition of Markov renewal processes, Cybern. and Systems Anal., 17, 556 – 560 (1981).
8. В. С. Королюк, А. Ф. Турбин, Полумарковские процессы и их приложения, Наукова думка, Киев (1976).
9. V. S. Korolyuk, Yu. V. Borovskich, Theory of U-statistics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1994).
10. V. S. Korolyuk, V. M. Shurenkov, Approximation of rare events in semi-Markov processes, Theory Probab. and
Math. Statist., 26, 83–95 (1982).
11. V. S. Korolyuk, Yu. V. Borovskich, Poisson approximation in reliability models, Mathematical Methods in Reliabi-
lity Theory, Springer (1995).
Редакційна колегія „Українського математичного журналу”
|
| id | umjimathkievua-article-9425 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:46:09Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bb/22fdb13c27de323245ec665a56b561bb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-94252026-03-21T10:43:27Z On the 100th birthday of academician V. S. Korolyuk До 100-річчя від дня народження академіка НАН України В. С. Королюка , Редакційна колегія „Українського математичного журналу” , Редакційна колегія „Українського математичного журналу” Korolyuk Korolyuk Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2026-03-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9425 10.3842/umzh.v77i8.9425 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 77 No. 8 (2025); 540–552 Український математичний журнал; Том 77 № 8 (2025); 540–552 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9425/10558 Copyright (c) 2025 Редакційна колегія „Українського математичного журналу” |
| spellingShingle | , Редакційна колегія „Українського математичного журналу” , Редакційна колегія „Українського математичного журналу” On the 100th birthday of academician V. S. Korolyuk |
| title | On the 100th birthday of academician V. S. Korolyuk |
| title_alt | До 100-річчя від дня народження академіка НАН України В. С. Королюка |
| title_full | On the 100th birthday of academician V. S. Korolyuk |
| title_fullStr | On the 100th birthday of academician V. S. Korolyuk |
| title_full_unstemmed | On the 100th birthday of academician V. S. Korolyuk |
| title_short | On the 100th birthday of academician V. S. Korolyuk |
| title_sort | on the 100th birthday of academician v. s. korolyuk |
| topic_facet | Korolyuk Korolyuk |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9425 |
| work_keys_str_mv | AT redakcíjnakolegíâukraínsʹkogomatematičnogožurnalu onthe100thbirthdayofacademicianvskorolyuk AT redakcíjnakolegíâukraínsʹkogomatematičnogožurnalu onthe100thbirthdayofacademicianvskorolyuk AT redakcíjnakolegíâukraínsʹkogomatematičnogožurnalu do100ríččâvíddnânarodžennâakademíkananukraínivskorolûka AT redakcíjnakolegíâukraínsʹkogomatematičnogožurnalu do100ríččâvíddnânarodžennâakademíkananukraínivskorolûka |