On minimum number of distinct eigenvalues for a Stieltjes string problem on a tree
  Spectral problems are considered related to small vibrations of a tree of Stieltjes strings. It is shown that the minimum number of distinct eigenvalues of such a problem equals the maximal length (measured in number of point masses) of paths in the tree.    ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/959 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507235902291968 |
|---|---|
| author | Pivovarchik, V. M. Пивоварчик, В. Н. Пивоварчик, В. М. |
| author_facet | Pivovarchik, V. M. Пивоварчик, В. Н. Пивоварчик, В. М. |
| author_sort | Pivovarchik, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-01-29T12:57:33Z |
| description |  
Spectral problems are considered related to small vibrations of a tree of Stieltjes strings. It is shown that the minimum number of distinct eigenvalues of such a problem equals the maximal length (measured in number of point masses) of paths in the tree.
 
 
  |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 519.177
В. М. Пивоварчик (Пiвденноукр. нац. пед. ун-т iм. К. Д. Ушинського, Одеса)
ПРО МIНIМАЛЬНУ КIЛЬКIСТЬ РIЗНИХ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ
У ЗАДАЧI НА ДЕРЕВI ЗI СТIЛЬТЬЄСIВСЬКИХ СТРУН
We consider spectral problems related to small vibrations of a tree formed by Stieltjes strings. It is shown that the minimum
number of distinct eigenvalues of these problem is equal to the maximal length (measured as the number of point masses)
of paths in this tree.
Розглянуто спектральнi задачi, пов’язанi з малими коливаннями дерева зi стiльтьєсiвських струн. Показано, що
мiнiмальна кiлькiсть рiзних власних значень такої задачi дорiвнює максимальнiй довжинi (вимiрянiй у кiлькостi
точкових мас) ланцюгiв у цьому деревi.
1. Вступ. Питання про мiнiмальну кiлькiсть рiзних власних значень матрицi, граф якої є
заданим, розглядалось у багатьох публiкацiях (див., наприклад, [1, 2, 5, 13, 14]).
Нехай A \in S(T ) — матриця з невiд’ємними елементами (див. [5]), де T — дерево з n верши-
нами. Якщо A = (aij) — ермiтова (n\times n)-матриця, то граф G = G(A) матрицi A визначається
недiагональними елементами матрицi A, причому у G(A) вершини i та j сполученi ребром тодi
й тiльки тодi, коли aij \not = 0. З iншого боку, якщо G — граф, позначимо через H(G) = \{ A = A \star :
G(A) = G\} множину ермiтових матриць, графом яких є G. Таким чином, якщо граф є деревом
T, то g(T ) \geq d(T ), де g(T ) — кiлькiсть рiзних власних значень матрицi H(T ), а d(T ) — дiа-
метр дерева T, тобто довжина (вимiряна у кiлькостi вершин) ланцюга у деревi (див. теорему
2 у [5]). Цей результат можна застосувати до задачi, породженої рiвняннями стiльтьєсiвських
струн на областях, що є деревами, за умови, що кожна внутрiшня вершина несе на собi точкову
(зосереджену) масу. У данiй статтi отримано аналогiчний результат за припущення вiдсутностi
точкових мас у деяких (або в усiх) внутрiшнiх вершинах.
Рiзницевi рiвняння другого порядку
wk(t) - wk+1(t)
lk
+
wk(t) - wk - 1(t)
lk - 1
+mk
\partial 2wk
\partial t2
(t) = 0, k = 1, 2, . . . , n,
виникають у рiзних областях фiзики, таких як синтез електричних ланцюгiв [7, с. 129], вiдомий
метод Кауера [3, 7], поздовжнi коливання точкових мас, з’єднаних пружинами [15], поперечнi
коливання так званих стiльтьєсiвських струн [9]. Нагадаємо, що стiльтьєсiвською струною
M. Г. Kрейн [9] назвав невагому нитку, яка несе на собi намистинки (точковi маси). Такi струни
широко застосовуються як простi моделi у механiцi [6, 8]. У випадку однiєї струни обернену
задачу за двома спектрами було повнiстю розв’язано у [9]. Зокрема, у [9] знайдено алгоритм
вiдновлення величин мас та довжин iнтервалiв мiж ними за двома спектрами крайових задач та
загальною довжиною струни, а також наведено характеризацiю спектрiв. У статтi [4] маси та
iнтервали мiж ними були розрахованi на пiдставi частот коливань, отриманих з експериментiв.
Коливанням графiв iз стiльтьєсiвських струн (або графiв, ребра яких — точковi маси, з’єднанi
пружинами) присвячено багато публiкацiй (див. [10 – 12, 16 – 19]).
c\bigcirc В. М. ПИВОВАРЧИК, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1 135
136 В. М. ПИВОВАРЧИК
2. Постановка спектральних задач. Нехай T — метричне дерево з q ребрами. Позначимо
через vi вершини, через d(vi) їхнi степенi, через ej ребра, через lj їхнi довжини, через nj \geq 1
кiлькостi точкових мас mj
1, mj
2, . . . , mj
nj , якi дiлять струну на пiдiнтервали lj0, lj1, . . . , l
j
nj\Bigl(
ljk > 0 при j = 0, 1, nj - 1, ljnj \geq 0, mj
k > 0, lj =
\sum nj
k=0
ljk
\Bigr)
. Випадок ljnj = 0 вiдповiдає
знаходженню маси mj
nj у внутрiшнiй вершинi. Довiльно виберемо вершину в якостi кореня
дерева. У висячих вершинах точкових мас немає. Всi ребра напрямленi вiд кореня.
Корiнь \bfv є початком пiдiнтервалу довжини lj0 на ребрi ej , iнцидентному кореню. Кожна
iнша вершина vi має одне вхiдне ребро ej , яке закiнчується пiдiнтервалом довжини ljnj , тодi
як кожне вихiдне ребро er починається у vi з iнтервалу довжини lr0.
Степiнь входу вершини vi позначено через d+(vi), а степень виходу — через d - (vi). Оче-
видно, d+(vi) = 1 для кожної вершини vi \not = \bfv та d+(\bfv ) = 0. Для кожної висячої вершини vi,
яка не є коренем, d - (vi) = 0.
Будемо вважати, що дерево є розтягнутим i всi висячi вершини, крiм кореня, закрiпленi.
Ми розглядаємо два випадки: 1) корiнь закрiплено (задача Дiрiхле), 2) корiнь може рухатись у
напрямку, перпендикулярному до площини дерева (задача Ноймана). Дерево може коливатись
у напрямку, перпендикулярному до площини рiвноважного стану струн. Поперечнi змiщення
мас mj
k ми позначаємо через wj
k(t), змiщення кореня — через \bfw (t), де t — час.
Якщо ребро ej є вхiдним для внутрiшньої вершини vi, то змiщення вхiдного кiнця ребра
позначимо через wj
nj+1(t), а якщо ребро er — вихiдне з вершини vi, то змiщення вихiдного кiн-
ця ребра позначимо через wr
0(t). За таких позначень коливання графа можна описати системою
рiвнянь
wj
k(t) - wj
k+1(t)
ljk
+
wj
k(t) - wj
k - 1(t)
ljk - 1
+mj
k
\partial 2wj
k
\partial t2
(t) = 0, (1)
k = 1, 2, . . . , \~nj , j = 1, 2, . . . , q,
де \~nj = nj - 1, якщо ljnj = 0, i \~nj = nj , якщо ljnj > 0.
Для кожної внутрiшньої вершини vi (крiм кореня) з вхiдним ребром ej та вихiдними
ребрами er ми накладаємо умови неперервностi
wr
0(t) = wj
\~nj+1(t) (2)
для всiх r, що вiдповiдають вихiдним ребрам. Баланс сил у такiй вершинi vi приводить до
wj
\~nj+1(t) - wj
\~nj
(t)
lj\~nj
+
\sum
r
wr
0(t) - wr
1(t)
lr0
=
\left\{
0, якщо ljnj > 0,
mj
nj
\partial 2wj
nj (t)
\partial t2
, якщо ljnj = 0,
(3)
де суму взято по iндексах всiх вихiдних ребер. Для ребра ej , iнцидентного висячiй вершинi
(крiм кореня), ми накладаємо умову Дiрiхле
wj
nj+1(t) = 0. (4)
У коренi ми розглядаємо умову Дiрiхле
\bfw (t) = 0, тобто wj
0(t) = 0 (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ПРО МIНIМАЛЬНУ КIЛЬКIСТЬ РIЗНИХ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ У ЗАДАЧI НА ДЕРЕВI . . . 137
для всiх j, якi вiдповiдають ребрам, iнцидентним iз коренем. Назвемо задачу (1) – (5) задачею
Дiрiхле на T.
Щоб отримати крайову задачу Ноймана, замiнимо умову (5) узагальненою умовою Ноймана
wj
0(t) = wl
0(t) (6)
для всiх j та l, вiдповiдних ребрам, якi iнцидентнi з коренем, i
d(v)\sum
j=1
wj
0(t) - wj
1(t)
lj0
= 0. (7)
Ми не розглядаємо випадок, коли маса знаходиться у коренi.
Якщо корiнь — висяча вершина, то позначаємо через e1 ребро, iнцидентне з коренем. У
цьому випадку умова Дiрiхле (5) у коренi має вигляд
\bfw (t) = 0, тобто w1
0(t) = 0, (8)
а умова Ноймана (6), (7) у цьому випадку спрощується до вигляду
\bfw (t) = w1
0(t) = w1
1(t). (9)
Пiдставляючи wk
j (t) = ei\lambda tukj , wi(t) = ei\lambda tui i \bfw (t) = ei\lambda t\bfu у (1) – (9), отримуємо наступнi
спектральнi задачi
Задача Дiрiхле. Для кожного ребра
ujk - ujk+1
ljk
+
ujk - ujk - 1
ljk - 1
- mj
k\lambda
2ujk = 0, (10)
k = 1, 2, . . . , \~nj , j = 1, 2, . . . , q.
Для кожної внутрiшньої вершини (крiм кореня) з вхiдним ребром ej та вихiдними ребрами er
маємо
uj\~nj+1 = ur0 (11)
i
uj\~nj+1 - uj\~nj
lj\~nj
+
\sum
r
ur0 - ur1
lr0
=
\left\{ 0, якщо ljnj > 0,
- mj
nj\lambda
2mj
nj , якщо ljnj = 0.
(12)
Для ребра ej , iнцидентного з висячою вершиною (крiм кореня), маємо крайову умову Дiрiхле
ujnj+1 = 0. (13)
Умова Дiрiхле у коренi має вигляд
\bfu = 0, тобто uj0 = 0 (14)
для всiх j, що вiдповiдають ребрам, iнцидентним iз коренем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
138 В. М. ПИВОВАРЧИК
Якщо корiнь — висяча вершина i e1 — ребро, iнцидентне з коренем, то замiсть (14) у коренi
маємо
u10 = 0. (15)
Задача Ноймана на T складається з рiвнянь (10) – (13), рiвняння
uj0 = ul0 (16)
для всiх j та l, якi вiдповiдають ребрам, iнцидентним iз коренем, та з рiвняння
d(v)\sum
j=1
uj0 - uj1
lj0
= 0. (17)
Якщо корiнь — висяча вершина, а e1 — ребро, iнцидентне з коренем, то замiсть (16), (17) у
коренi маємо
u10 = u11. (18)
3. Допомiжнi результати. У цьому пунктi ми наведемо кiлька лем, якi будуть використанi
у пунктi 4.
Означення 1. Рацiональна функцiя f(z) називається неванлiннiвською, якщо:
(i) ця функцiя аналiтична у пiвплощинах \mathrm{I}\mathrm{m}z > 0 та \mathrm{I}\mathrm{m}z < 0;
(ii) f(z) = f(z) (\mathrm{I}\mathrm{m}z \not = 0);
(iii) \mathrm{I}\mathrm{m}z \mathrm{I}\mathrm{m}f(z) \geq 0 при \mathrm{I}\mathrm{m}z \not = 0.
Означення 2. Рацiональна неванлiннiвська функцiя \omega (z) називається S-функцiєю, якщо
\omega (z) > 0 при z < 0.
Означення 3. Рацiональна S-функцiя \omega (z) називається S0-функцiєю, якщо 0 не є полюсом
функцiї \omega (z).
Наступнi леми є очевидними.
Лема 1. Нехай f i g — рацiональнi S0-функцiї, тодi f + g i (f - 1 + g - 1) - 1 — також
S0-функцiї.
Лема 2. Нехай \phi j — рацiональнi S0-функцiї з nj коренями i nj полюсами при j = 1, 2, . . . , s.
Тодi
1\sum s
j=1
1
\phi j
— рацiональна S0-функцiя з \~n коренями i \~n полюсами, де \~n \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ n1, n2, . . . , ns\} .
Лема 3. Нехай
\varphi = a0 +
1
- b1z +
1
a1 +
1
- b2z + . . .+
1
ar - 1 +
1
- brz +
1
ar + \phi
, (19)
де aj > 0 при j = 0, 1, . . . , r - 1, ar \geq 0, bj > 0 при j = 1, 2, . . . , r, а \phi — рацiональна
S0-функцiя з \^n полюсами i \^n коренями. Тодi \varphi — рацiональна S0-функцiя з \^n + r коренями i
\^n+ r полюсами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ПРО МIНIМАЛЬНУ КIЛЬКIСТЬ РIЗНИХ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ У ЗАДАЧI НА ДЕРЕВI . . . 139
4. Основний результат. У цьому пунктi ми розглядаємо дерево T з коренем у висячiй
вершинi. Задача Дiрiхле на цьому деревi складається з рiвнянь (10) – (13) i (15), тодi як задача
Ноймана на цьому деревi складається з рiвнянь (10) – (13) i (18).
Позначимо через P ланцюг на T, що включає найбiльшу кiлькiсть точкових мас.
Теорема. Кiлькiсть рiзних власних значень кожної з задач (10) – (13), (15) i (10) – (13), (18)
на деревi, кожне з ребер якого несе на собi маси, не менша, нiж кiлькiсть точкових мас на
ланцюгу P цього дерева.
Доведення. По-перше, зауважимо, що внутрiшнi вершини степеня 2 не впливають на ре-
зультат, i ми, не втрачаючи загальностi, будемо вважати, що вони вiдсутнi. Очевидно, ланцюг
P починається i закiнчується у висячих вершинах. Позначимо початкову вершину через v0 i
виберемо її в якостi кореня дерева. Нумерацiя iнших вершин є довiльною. Спрямуємо реб-
ра вiд кореня. Позначимо ребро, що входить у вершину vi, через ei для всiх i. Тодi P :
v0 \rightarrow v1 \rightarrow vs2 \rightarrow vs3 \rightarrow . . . \rightarrow vsr - 1 \rightarrow vsr . Видаляючи v0 та e1, отримуємо нове дерево T \prime з
коренем у v1.
Оскiльки d(v1) > 2, можемо роздiлити дерево T \prime на пiддерева T \prime
1, T
\prime
2, . . . , T \prime
d(v1) - 1, для
яких v1 — єдина спiльна вершина. (Назвемо T \prime
1, T \prime
2, . . . , T \prime
d(v1) - 1 взаємодоповнювальними
пiддеревами дерева T \prime (див. рисунок).)
Позначимо через \phi N (\bfv ) характеристичний многочлен задачi (10) – (13), (18) на деревi T,
а через \phi D(\bfv ) характеристичний многочлен задачi (10) – (13), (15) на цьому ж деревi. Вiдомо
(див. рiвняння (2.49) у [16]), що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
140 В. М. ПИВОВАРЧИК
\phi D(v)(z)
\phi N(v)(z)
= l
(1)
0 +
1
- m
(1)
1 z +
1
l
(1)
1 +
1
- m
(1)
2 z + . . .+
1
- m
(1)
n1 z +
1
ln1 +
\phi D(v1)(z)
\phi N(v1)(z)
, (20)
де \phi D(v1)(z) — характеристичний многочлен задачi (10) – (14) на T \prime , а \phi N(v1)(z) — характерис-
тичний многочлен задачi (10) – (13), (16), (17) на T \prime . Тут mj
k > 0 для k = 1, 2, . . . , nj , l
j
k > 0
для k = 0, 1, . . . , nj - 1, ljnj \geq 0.
Згiдно з наслiдком 2.2 [16],
\phi D(v1)(z)
\phi N(v1)(z)
=
1\sum d+(v1) - 1
r=1
\phi Nr(v1)(z)
\phi Dr(v1)(z)
, (21)
де \phi Dr(v1) — характеристичний многочлен задачi (10) – (13), (15) на T \prime
r, а \phi Nr(v1) — характерис-
тичний многочлен задачi (10) – (13), (18) на цьому ж деревi. Знову розкладаємо у ланцюговий
дрiб
\phi Dr(v1)(z)
\phi Nr(v1)(z)
= l
(r)
0 +
1
- m
(r)
1 z +
1
l
(r)
1 +
1
- m
(r)
2 z + . . .+
1
- m
(r)
nr z +
1
lnr + Fr(z)
. (22)
У свою чергу, Fj можна розкласти так, як (21), (22). Дiючи так далi, остаточно отримуємо для
\phi D(v)(z)
\phi N(v)(z)
ланцюговий дрiб, що розгалуджується.
Згiдно з теоремою 2.8 [16],
\phi D(v1)(z)
\phi N(v1)(z)
,
\phi Dr(v1)(z)
\phi Nr(v1)(z)
, Fr, . . . — S0-функцiї.
Тепер висновок теореми 1 випливає з лем 1 – 3.
Теорему доведено.
Приклад . На рисунку ланцюг iз максимальною кiлькiстю мас у T — це v \rightarrow v1 \rightarrow v2, i ця
максимальна кiлькiсть дорiвнює 7. Це означає, що кiлькiсть рiзних власних значень бiльша або
дорiвнює 7.
Лiтература
1. B. Ahmadi, F. Alinaghipour, M. Cavers, F. Fallat, K. Meager, Minimum distinct eigenvalues of graphs, Electron. J.
Linear Algebra, 26 (2013), Art. 45.
2. F. Barioli, S. Fallat, On two conjectures regarding an inverse eigenvalue problem for acyclic symmetric matrices,
Electron. J. Linear Algebra, 11, 41 – 50 (2004).
3. W. Cauer, Die Verwirklichung von Wechselstromwiderständen vorgeschriebenuer Frequenzabhängigkeit, Arch.
Electrotechnik, 17, № 4, 355 – 388 (1926).
4. S. J. Cox, M. Embree, J. M. Hokanson, One can hear the composition of a string: experiments with an inverse
eigenvalue problem, SIAM Rev., 54, № 1, 157 – 178 (2012).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ПРО МIНIМАЛЬНУ КIЛЬКIСТЬ РIЗНИХ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ У ЗАДАЧI НА ДЕРЕВI . . . 141
5. A. L. Duarte, C. R. Johnson, On the minimum number of distinct eigenvalues for a symmetric matrix whose graph is
a given tree, Math. Inequal. Appl., 5, 175 – 180 (2002).
6. A. M. Filimonov, P. F. Kurchanov, A. D. Myshkis, Some unexpected results in the classical problem of vibrations of
the string with n beads when n is large, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 313, № 6, 961 – 965 (1991).
7. E. A. Guillemin, Synthesis of passive networks. Theory and methods appropriate to the realization and approximation
problems, John Wiley and Sons, Inc., New York (1958).
8. A. F. Filimonov, A. D. Myshkis, On properties of large wave effect in classical problem bead string vibration, J.
Difference Equat. Appl., 10, № 13-15, 1171–1175 (2004).
9. F. R. Gantmakher, M. G. Krein, Oscillation matrices and kernels and small vibrations of mechanical systems, Revised
ed., AMS Chelsea Publ., Providence, RI (2002).
10. J. Genin, J. Maybee, Mechanical vibrations tree, J. Math. Anal. Appl., 45, 746 – 763 (1974).
11. G. Gladwell, Inverse problems in vibration, Kluwer Acad. Press (2004).
12. G. Gladwell, Matrix inverse eigenvalue problems, Dynamical Inverse Problems: Theory and Applications, CISM
Courses and Lectures, 529, 1 – 29 (2011).
13. L. Hogben, Spectral graph theory and inverse eigenvalue problem of a graph, Electron J. Linear Algebra, 14, 12 – 31
(2005).
14. I.-J. Kim, B. L. Shader, Classification of trees each of whose associated acyclic matrices with distinct diagonal entries
has distinct eigenvalues, Bull. Korean Math. Soc., 28, 95 – 99 (2008).
15. В. A. Maрченко, Введение в теорию обратных задач спектрального анализа, Акта, Харкiв (2005).
16. V. Pivovarchik, Existence of a tree of Stieltjes strings corresponding to two given spectra, J. Phys. A: Math. Theor.,
42, № 37 (2009), 16 p.
17. V. Pivovarchik, N. Rozhenko, C. Tretter, Dirichlet – Neumann inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes
strings, Linear Algebra Appl., 439, № 8, 2263 – 2292 (2013).
18. V. Pivovarchik, C.Tretter, Location and multiplicities of eigenvalues for a star graph of Stieltjes strings, J. Difference
Equat. Appl., 21, № 5, 383 – 402 (2015).
19. V. Pivovarchik, On multiplicities of eigenvalues of a boundary value problem on a snowflake graph, Linear Algebra
Appl., 571, 78 – 91 (2019).
Одержано 29.05.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-959 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:06Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1f/d257674fe0819f591ac935d9a6b0741f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-9592020-01-29T12:57:33Z On minimum number of distinct eigenvalues for a Stieltjes string problem on a tree Про мінімальну кількість різних власних значень у задачі на дереві зі стільтьєсівських струн Pivovarchik, V. M. Пивоварчик, В. Н. Пивоварчик, В. М. &nbsp; Spectral problems are considered related to small vibrations of a tree of Stieltjes strings. It is shown that the minimum number of distinct eigenvalues of such a problem equals the maximal length (measured in number of point masses) of paths in the tree. &nbsp; &nbsp; &nbsp; Розглянуті спектральні задачі, пов'язані з малими коливаннями дерева зі стільтьєсівських струн. Показано, що мінимальна кількість різних власних значень такої задачі дорівнює максимальній довжині (виміряній у кількості точкових мас) шляху у цьому дереві. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-01-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/959 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 1 (2020); 135-141 Український математичний журнал; Том 72 № 1 (2020); 135-141 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/959/1552 Copyright (c) 2020 Вячеслав Миколайович Пивоварчик |
| spellingShingle | Pivovarchik, V. M. Пивоварчик, В. Н. Пивоварчик, В. М. On minimum number of distinct eigenvalues for a Stieltjes string problem on a tree |
| title | On minimum number of distinct eigenvalues for a Stieltjes string problem on a tree |
| title_alt | Про мінімальну кількість різних власних значень у задачі на дереві зі стільтьєсівських струн |
| title_full | On minimum number of distinct eigenvalues for a Stieltjes string problem on a tree |
| title_fullStr | On minimum number of distinct eigenvalues for a Stieltjes string problem on a tree |
| title_full_unstemmed | On minimum number of distinct eigenvalues for a Stieltjes string problem on a tree |
| title_short | On minimum number of distinct eigenvalues for a Stieltjes string problem on a tree |
| title_sort | on minimum number of distinct eigenvalues for a stieltjes string problem on a tree |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/959 |
| work_keys_str_mv | AT pivovarchikvm onminimumnumberofdistincteigenvaluesforastieltjesstringproblemonatree AT pivovarčikvn onminimumnumberofdistincteigenvaluesforastieltjesstringproblemonatree AT pivovarčikvm onminimumnumberofdistincteigenvaluesforastieltjesstringproblemonatree AT pivovarchikvm promínímalʹnukílʹkístʹríznihvlasnihznačenʹuzadačínaderevízístílʹtʹêsívsʹkihstrun AT pivovarčikvn promínímalʹnukílʹkístʹríznihvlasnihznačenʹuzadačínaderevízístílʹtʹêsívsʹkihstrun AT pivovarčikvm promínímalʹnukílʹkístʹríznihvlasnihznačenʹuzadačínaderevízístílʹtʹêsívsʹkihstrun |