Sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness
UDC 517.5 In the case of either $r = 2, k = 1$ or $r = 3, k = 1, 2,$ for any $q, p \geq 1,$ $\beta \in [0, 2\pi),$ and arbitrary measurable set $B \subset I_{2\pi} := [-\pi/2, 3\pi/2],$ $\mu B \le \beta,$ we prove the sharp Kolmogorov–Remez type inequality$$\|f^{(k)}\|_{q}\leq\frac{\|\varphi_{r-k}\|...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/963 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507237681725440 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_facet | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_sort | Kofanov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:34Z |
| description | UDC 517.5
In the case of either $r = 2, k = 1$ or $r = 3, k = 1, 2,$ for any $q, p \geq 1,$ $\beta \in [0, 2\pi),$ and arbitrary measurable set $B \subset I_{2\pi} := [-\pi/2, 3\pi/2],$ $\mu B \le \beta,$ we prove the sharp Kolmogorov–Remez type inequality$$\|f^{(k)}\|_{q}\leq\frac{\|\varphi_{r-k}\|_{q}}{E_0(\varphi_{r})^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi}\setminus B_{2m})}}\|f\|^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi} \setminus B)}\big \|f^{(r)} \big \|^{1-\alpha}_{\infty}, \quad f \in L^r_\infty, $$with $\alpha = \min\{1-k/r, (r-k + 1/q)/(r + 1/p)\},$ where $\varphi_r $is the perfect Euler's spline of order~$r,$ $E_0(f)_{L_p(G)}$ is the best approximation of $f$by the constants in $L_p(G),$ $B_{2 m} = \left[\dfrac{\pi-2m}{2}, \dfrac{\pi + 2 m}{2}\right],$ and $m = m(\beta) \in [0, \pi)$ is uniquely defined by~$\beta.$
In addition, we obtain a sharp Kolmogorov–Remez type inequality in the case where the number of sign changes of derivatives is also taken into account. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i4.963 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i4.963
УДК 517.5
В. А. Кофанов (Днепр. нац. ун-т)
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА
ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МАЛОЙ ГЛАДКОСТИ
In the case of either r = 2, k = 1 or r = 3, k = 1, 2, for any q, p \geq 1, \beta \in [0, 2\pi ), and arbitrary measurable set
B \subset I2\pi := [ - \pi /2, 3\pi /2], \mu B \leq \beta , we prove the sharp Kolmogorov – Remez type inequality
\| f (k)\| q \leq \| \varphi r - k\| q
E0(\varphi r)\alpha Lp(I2\pi \setminus B2m)
\| f\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty , f \in Lr
\infty ,
with \alpha = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1 - k/r, (r - k + 1/q)/(r + 1/p)\} , where \varphi r is the perfect Euler’s spline of order r, E0(f)Lp(G) is the
best approximation of f by the constants in Lp(G), B2m =
\biggl[
\pi - 2m
2
,
\pi + 2m
2
\biggr]
, and m = m(\beta ) \in [0, \pi ) is uniquely
defined by \beta .
In addition, we obtain a sharp Kolmogorov – Remez type inequality in the case where the number of sign changes of
derivatives is also taken into account.
Для r = 2, k = 1 або r = 3, k = 1, 2 та довiльних q, p \geq 1, \beta \in [0, 2\pi ) i вимiрної за Лебегом множини
B \subset I2\pi := [ - \pi /2, 3\pi /2], \mu B \leq \beta , доведено точну нерiвнiсть типу Колмогорова – Ремеза
\| f (k)\| q \leq \| \varphi r - k\| q
E0(\varphi r)\alpha Lp(I2\pi \setminus B2m)
\| f\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty , f \in Lr
\infty ,
iз показником \alpha = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1 - k/r, (r - k+1/q)/(r+1/p)\} , де \varphi r — iдеальний сплайн Ейлера порядку r, E0(f)Lp(G) —
найкраще наближення константами функцiї f у просторi Lp(G), B2m =
\biggl[
\pi - 2m
2
,
\pi + 2m
2
\biggr]
, а число m =
= m(\beta ) \in [0, \pi ) однозначно визначене числом \beta .
Також отримано точну нерiвнiсть типу Колмогорова – Ремеза, що враховує число змiн знаку похiдних.
1. Введение. Пусть G — измеримое подмножество числовой оси, а Lp(G) — пространство
измеримых функций x : G \rightarrow \bfR с конечной нормой (квазинормой)
\| x\| Lp(G) :=
\left\{
\biggl( \int
G
\bigm| \bigm| x(t)\bigm| \bigm| p dt\biggr) 1/p
, если 0 < p < \infty ,
\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in G | x(t)| , если p = \infty .
Обозначим через Id окружность, реализованную в виде подходящего отрезка длины d с
отождествленными концами. Вместо \| x\| Lp(I2\pi ) и \| x\| L\infty (R) для краткости будем писать \| x\| p
и \| x\| \infty соответственно.
Для r \in \bfN , G = \bfR или G = Id через Lr
\infty (G) обозначим пространство всех функций
x \in L\infty (G), имеющих локально абсолютно непрерывные производные до (r - 1)-го порядка и
таких, что x(r) \in L\infty (G).
Символом \varphi r(t), r \in \bfN , обозначим сдвиг r-го 2\pi -периодического интеграла с нулевым
средним значением на периоде от функции \varphi 0(t) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, удовлетворяющий условию
\varphi r(0) = 0.
В работе [1] доказана следующая теорема.
c\bigcirc В. А. КОФАНОВ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4 483
484 В. А. КОФАНОВ
Теорема 1. Пусть r \in \bfN , а функция f \in Lr
\infty (I2\pi ) такова, что для любого отрезка
I = [a, b], удовлетворяющего условиям
f \prime (a) = f \prime (b) = 0, f \prime (t) \not = 0, t \in (a, b),
существует функция fI \in Lr
\infty (\bfR ) такая, что
fI(t) = f(t), t \in (a, b),
а
E0(fI)\infty \leq E0(f)L\infty [a,b]
и \bigm\| \bigm\| f (r)
I
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\|
\infty .
Тогда для любых k \in \bfN , k < r, q \geq 1, p \in (0,\infty ] при k = 1, p \in [1 - k/r,\infty ] при k > 1
выполнено точное на классе Lr
\infty (I2\pi ) неравенство
\| f (k)\| q \leq
\| \varphi r - k\| q
E0(\varphi r)\alpha p
\| f\| \alpha p
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty (1.1)
с максимально возможным показателем
\alpha = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1 - k
r
,
r - k + 1/q
r + 1/p
\biggr\}
,
где E0(f)p := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}c\in R \| f - c\| p.
В частности, неравенство (1.1) доказано в работе [1] для функций малой гладкости (т. е.
при r = 2, k = 1 и при r = 3, k = 1, 2).
Отметим, что в [2] исследован вопрос о совпадении точных констант в неравенствах ти-
па (1.1) для периодических и непериодических функций на оси.
В настоящей работе получено обобщение неравенства (1.1), в котором присутствует „эффект
Ремеза”. Приведем необходимые определения.
Будем говорить, что f \in L1
\infty (\bfR ) является функцией сравнения для x \in L1
\infty (\bfR ), если
существует такое c \in \bfR , что
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
f(t) + c \leq x(t) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
f(t) + c, t \in \bfR ,
и из равенства x(\xi ) = f(\eta ) + c, где \xi , \eta \in \bfR , следует неравенство | x\prime (\xi )| \leq | f \prime (\eta )| , если
указанные производные существуют.
Нечетную 2\omega -периодическую функцию \varphi \in L1
\infty (I2\omega ) будем называть S -функцией, если
она имеет следующие свойства: \varphi четная относительно \omega /2, | \varphi | выпуклая вверх на [0, \omega ] и
строго монотонная на [0, \omega /2].
Для 2\omega -периодической S -функции \varphi через S\varphi (\omega ) обозначим класс функций x \in L1
\infty (Id),
для которых \varphi является функцией сравнения. Отметим, что классы S\varphi (\omega ) рассматривались
в работах [3, 4]. Примерами классов S\varphi (\omega ) являются соболевские классы
\bigl\{
f \in Lr
\infty (Id) :\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq 1
\bigr\}
, а также ограниченные подмножества пространства Tn (тригонометрических
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 485
полиномов порядка не выше n) и пространства Sn,r (2\pi -периодических сплайнов порядка r
дефекта 1 с узлами в точках k\pi /n, k \in \bfZ ).
В теории приближения важную роль играют неравенства типа Ремеза
\| T\| L\infty (I2\pi ) \leq C(n, \beta )\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1.2)
на классе Tn, где B — произвольное измеримое по Лебегу множество B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta .
Начало этой тематике положила работа [5] Е. Ремеза, в которой найдена точная констан-
та C(n, \beta ) в неравенстве вида (1.2) для алгебраических многочленов. Для точной константы
C(n, \beta ) в неравенстве (1.2) для тригонометрических полиномов в ряде работ получены двусто-
ронние оценки. Кроме того, известно асимптотическое поведение констант C(n, \beta ) при \beta \rightarrow 2\pi
[6] и \beta \rightarrow 0 [7]. Библиографию работ по данной тематике можно найти в [6 – 9]. В работе [7]
доказано неравенство
\| T\| L\infty (I2\pi ) \leq
\biggl(
1 + 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
n\beta
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1.3)
для произвольного полинома T \in Tn, имеющего минимальный период 2\pi /m, и любого из-
меримого по Лебегу множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , где \beta \in (0, 2\pi m/n). Равенство в (1.3)
достигается для полинома T (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx+
1
2
\biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta
2
\biggr)
.
Недавно была найдена [10] точная константа в неравенстве (1.2) для тригонометрических
полиномов.
Результат работы [7] был обобщен в [11] на классы S\varphi (\omega ). Как следствие получен аналог
неравенства (1.3) для полиномиальных сплайнов и функций классов Lr
\infty (I2\pi ).
В работах [12, 13] доказаны точные неравенства разных метрик типа Ремеза на классах
S\varphi (\omega ), в частности, для дифференцируемых периодических функций, тригонометрических
полиномов и сплайнов.
В настоящей работе получено точное неравенство типа Колмогорова – Ремеза (теорема 2)
для функций, удовлетворяющих условию теоремы 1, с произвольными q, p \geq 1. Как следствие
неравенства такого типа доказаны для функций малой гладкости с любыми q, p \geq 1 (след-
ствие 1). Кроме того, доказано точное неравенство типа Колмогорова – Ремеза (теорема 3 и
следствие 2 из нее), учитывающее число перемен знака производных.
2. Необходимые сведения. Пусть \alpha , y > 0. Для 2\omega -периодической S -функции \varphi положим
E\alpha
y (\varphi ) :=
\bigl\{
t \in I2\omega : | \varphi (t) + \alpha | > y
\bigr\}
. (2.1)
Ясно, что для любого \beta \in (0, 2\omega ) существует единственное число y = y(\beta ), для которого
\mu E\alpha
y(\beta )(\varphi ) = \beta , (2.2)
где \mu — мера Лебега.
Лемма 1 [13]. Пусть p \in [1,\infty ]. Для произвольной 2\omega -периодической S -функции \varphi и лю-
бого \beta \in (0, 2\omega ) справедливо соотношение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
486 В. А. КОФАНОВ
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha \in R
\left\{
\int
I2\omega \setminus E\alpha
y(\beta )
(\varphi )
| \varphi (t) + \alpha | p dt
\right\}
1/p
= E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B\beta ),
где B\beta :=
\biggl[
\omega - \beta
2
,
\omega + \beta
2
\biggr]
.
Для функции f \in L1[a, b] через m(f, y), y > 0, обозначим ее функцию распределения,
определяемую равенством
m(f, y) := \mu
\bigl\{
t \in [a, b] : | f(t)| > y
\bigr\}
, (2.3)
а символом r(f, t) — убывающую перестановку (см., например, [14], § 1.3) функции | f | . Поло-
жим r(f, t) = 0 для t > b - a.
Для f \in L\infty (G) введем обозначение E0(f)L\infty (G) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}c\in R \| f - c\| L\infty (G), а для \lambda > 0 и
r \in \bfN положим \varphi \lambda ,r(t) := \lambda - r\varphi r(\lambda t), t \in \bfR , и пусть Kr := \| \varphi r\| \infty — константа Фавара.
Лемма 2. Пусть r \in \bfN , а функция f \in Lr
\infty (I2\pi ) и отрезок I = [a, b] удовлетворяют
условиям \bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\|
\infty = 1, (2.4)
f \prime (a) = f \prime (b) = 0, f \prime (t) \not = 0, t \in (a, b). (2.5)
Если существует функция fI \in Lr
\infty (\bfR ) такая, что
fI(t) = f(t), t \in (a, b), (2.6)
E0(fI)\infty \leq E0(f)L\infty (I) (2.7)
и \bigm\| \bigm\| f (r)
I
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\|
\infty = 1, (2.8)
а \lambda выбрано из условия
E0(f)L\infty (I) = \| \varphi \lambda ,r\| \infty , (2.9)
то для любых q, p \geq 1, \beta \in [0, b - a) и произвольного измеримого по Лебегу множества
B \subset [a, b], \mu B \leq \beta , выполнено неравенство
\| f\| Lp(I\setminus B) \geq 2 - 1/p\lambda - (r+1/p)E0(\varphi r)Lp(I2\pi \setminus B2\gamma ), (2.10)
где B2\gamma =
\biggl[
\pi - 2\gamma
2
,
\pi + 2\gamma
2
\biggr]
, а число \gamma = \gamma (\beta ) однозначно определено условием
r(\varphi , \gamma /\lambda ) = r(f, \beta ), (2.11)
причем \gamma < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \pi , \beta \lambda \} . Также имеет место неравенство [15]
\| f \prime \| q \leq 2 - 1/q\lambda - (r - 1+1/q)\| \varphi r - 1\| q. (2.12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 487
Доказательство. Докажем неравенство (2.10). В силу условия (2.9) существует такое \alpha \in
\in \bfR , что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in I
f(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
[\varphi \lambda ,r(t) + \lambda - r\alpha ] = \lambda - r[Kr + \alpha ]
и
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in I
f(t) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
[\varphi \lambda ,r(t) + \lambda - r\alpha ] = \lambda - r[\alpha - Kr].
Согласно (2.7) – (2.9) для функции fI выполнены условия теоремы сравнения Колмогорова [16].
По этой теореме сплайн \varphi \lambda ,r(t) + \lambda - r\alpha является функцией сравнения для функции fI . Для
определенности будем считать, что f возрастает на I = [a, b]. Переходя, если нужно, к сдвигу
функции \varphi (t) := \varphi \lambda ,r(t) + \lambda - r\alpha , можем считать, что \varphi (t) также возрастает на [ - \omega /2, \omega /2],
где \omega := \pi /\lambda . Для \tau \in \bfR положим f\tau (t) := f(t+ \tau ) и выберем \tau 1, \tau 2 так, чтобы
f\tau 1
\Bigl( \omega
2
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in I
f(t), f\tau 2
\Bigl(
- \omega
2
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in I
f(t).
Тогда по теореме сравнения Колмогорова выполнены неравенства\bigl(
f\tau 1(t)
\bigr)
+
\geq \varphi +(t), t \in
\Bigl[
- \omega
2
,
\omega
2
\Bigr]
, (2.13)
и \bigl(
f\tau 2(t)
\bigr)
- \geq \varphi - (t), t \in
\Bigl[
- \omega
2
,
\omega
2
\Bigr]
, (2.14)
где u\pm := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \pm u, 0\} .
Через f обозначим сужение f на [a, b], а символом \varphi — сужение \varphi на [ - \omega /2, \omega /2], где
\omega := \pi /\lambda . Из неравенств (2.13) и (2.14) следует, что b - a \geq \pi /\lambda и
m
\bigl(
f\pm , y
\bigr)
\geq m(\varphi \pm , y), y \geq 0,
где функция m(f, y) определена соотношением (2.3). Поэтому
m
\bigl(
f, y
\bigr)
\geq m(\varphi , y), y \geq 0.
Отсюда непосредственно следует, что
r
\bigl(
f, t
\bigr)
\geq r(\varphi , t), t \geq 0. (2.15)
Заметим далее, что для любого измеримого множества B \subset I, \mu B \leq \beta , выполнено неравенство
\int
B
| f(t)| p dt \leq
\beta \int
0
rp
\bigl(
f, t
\bigr)
dt,
а так как перестановка сохраняет Lp-норму, то
\| f\| pLp(I\setminus B) =
\int
I
| f(t)| p dt -
\int
B
| f(t)| p dt \geq
\geq
b - a\int
0
rp
\bigl(
f, t
\bigr)
dt -
\beta \int
0
rp
\bigl(
f, t
\bigr)
dt =
b - a\int
\beta
rp
\bigl(
f, t
\bigr)
dt. (2.16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
488 В. А. КОФАНОВ
Из (2.15) и (2.16), применяя теорему сравнения Колмогорова и учитывая (2.11), выводим
\| f\| pLp(I\setminus B) \geq
\pi /\lambda \int
\gamma /\lambda
rp(\varphi , t) dt = 2 - 1\lambda - (rp+1)
2\pi \int
2\gamma
rp(\varphi r + \alpha , t) dt =
= 2 - 1\lambda - (rp+1)
\int
I2\pi \setminus E\alpha
y(2\gamma )
(\varphi r)
| \varphi r(t) + \alpha | p dt,
где r(\varphi r + \alpha , t) — перестановка сужения \varphi r + \alpha на I2\pi , а множество E\alpha
y(\beta )(\varphi ) определено
соотношениями (2.1), (2.2). Из последней оценки в силу леммы 1 имеем
\| f\| pLp(I\setminus B) \geq 2 - 1\lambda - (rp+1)Ep
0(\varphi r)Lp(I2\pi \setminus B2\gamma ),
что равносильно (2.10). Неравенство (2.12) доказано в [15].
Лемма 2 доказана.
Замечание 1. Неравенство (2.10) при \beta = 0 доказано в [15]. Оба неравенства ((2.10) при
\beta = 0 и (2.12)) в таком виде, как в лемме 2, сформулированы в [1].
Лемма 3 [1]. Пусть r, k \in \bfN , k < r, q \geq 1, p \in (0,\infty ] при k = 1, p \in [1 - k/r,\infty ] при
k > 1. Пусть далее числа \lambda i > 0, i = 1, 2, . . . , 2\nu , удовлетворяют условиям
2\nu \sum
i=1
1
\lambda i
\leq 2, (2.17)
\nu \sum
i=1
1
\lambda r
2i
=
\nu - 1\sum
i=0
1
\lambda r
2i+1
. (2.18)
Если
\alpha = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1 - k
r
,
r - k + 1/q
r + 1/p
\biggr\}
,
то имеет место неравенство
C :=
\biggl(
1
2
\sum 2\nu
i=1
\lambda
- (q(r - 1)+1)
i
\biggr) 1/q
\biggl(
1
2
\sum 2\nu
i=1
\lambda
- (rp+1)
i
\biggr) \alpha /p
\leq 1. (2.19)
Если же \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
, q <
rp
r - k
, то выполнено неравенство
C \leq \nu 1/q - \alpha /p. (2.20)
3. Основные результаты.
Теорема 2. Пусть r \in \bfN , а функция f \in Lr
\infty (I2\pi ) такова, что для любого отрезка
I = [a, b], удовлетворяющего условиям
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 489
f \prime (a) = f \prime (b) = 0, f \prime (t) \not = 0, t \in (a, b), (3.1)
существует функция fI \in Lr
\infty (\bfR ) такая, что
fI(t) = f(t), t \in (a, b), (3.2)
а
E0(fI)\infty \leq E0(f)L\infty [a,b] (3.3)
и \bigm\| \bigm\| f (r)
I
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\|
\infty . (3.4)
Тогда для любых q, p \geq 1, \beta \in [0, 2\pi ) и произвольного измеримого по Лебегу множества
B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , выполнено неравенство
\| f (k)\| q \leq
\| \varphi r - k\| q
E0(\varphi r)\alpha Lp(I2\pi \setminus B2m)
\| f\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty (3.5)
с показателем
\alpha = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1 - k
r
,
r - k + 1/q
r + 1/p
\biggr\}
,
где B2m =
\biggl[
\pi - 2m
2
,
\pi + 2m
2
\biggr]
, m := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}I\{ \gamma I\} (здесь максимум берется по всем отрезкам I,
удовлетворяющим условиям (3.1)), а числа \gamma I однозначно определены соотношением
r(\varphi i, \gamma i/\lambda i) = r(fi, \beta i), (3.6)
где \varphi i — сужение сплайна \varphi \lambda i,r(t) + \lambda - r
i \alpha i на отрезок
\biggl[
- \pi
2\lambda i
,
\pi
2\lambda i
\biggr]
, а fi - сужение функции
f на отрезок Ii.
Неравенство (3.5) точное на классе Lr
\infty (I2\pi ) и обращается в равенство для функции
f(t) := \varphi r - cp и множества B = B2m (при m = \beta /2), где cp — константа наилучшего
приближения сплайна \varphi r в метрике пространства Lp(I2\pi \setminus B2m).
Доказательство. Докажем неравенство (3.5) для k = 1. Зафиксируем функцию f \in
\in Lr
\infty (I2\pi ), удовлетворяющую условиям теоремы. Не ограничивая общности можем считать,
что \bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\|
\infty = 1 (3.7)
и f \prime (0) = 0. Положим E(f \prime ) = \{ t \in [0, 2\pi ] : f \prime (t) \not = 0\} . Ясно, что E(f \prime ) открыто и, значит,
представимо в виде
E(f \prime ) =
\nu (f \prime )\bigcup
i=0
(ai, bi) ,
где \nu (f \prime ) — число перемен знака f \prime на периоде.
Зафиксируем далее \beta \in [0, 2\pi ) и произвольное измеримое множество B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta .
Положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
490 В. А. КОФАНОВ
Ii := [ai, bi], Bi = B
\bigcap
Ii, \beta i = \mu Bi, i = 1, . . . , \nu (f \prime ).
Выберем \lambda i > 0 из условий
E0(f)L\infty (Ii) = \| \varphi \lambda i,r\| \infty , i = 1, . . . , \nu (f \prime ), (3.8)
а числа \alpha i так, чтобы
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in Ii
f(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
\bigl[
\varphi \lambda i,r(t) + \lambda - r
i \alpha i
\bigr]
, \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in Ii
f(t) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
\bigl[
\varphi \lambda i,r(t) + \lambda - r
i \alpha i
\bigr]
.
Применяя к каждому из отрезков Ii, i = 1, . . . , \nu (f \prime ), лемму 2, получаем неравенства
\| f\| Lp(Ii\setminus Bi) \geq 2 - 1/p\lambda
- (r+1/p)
i E0(\varphi r)Lp(I2\pi \setminus B2\gamma i)
(3.9)
и
\| f \prime \| q \leq 2 - 1/q\lambda
- (r - 1+1/q)
i \| \varphi r - 1\| q, (3.10)
где B2\gamma i =
\biggl[
\pi - 2\gamma i
2
,
\pi + 2\gamma i
2
\biggr]
, а числа \gamma i = \gamma i(\beta i) однозначно определены условиями (2.11).
Положим теперь m := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\gamma i, i = 1, . . . , \nu (f \prime )
\bigr\}
. Ясно, что
E0(\varphi r)Lp(I2\pi \setminus B2\gamma i
) \geq E0(\varphi r)Lp(I2\pi \setminus B2m).
Поэтому, суммируя оценки (3.9) и (3.10), получаем
\| f \prime \| qq =
\nu (f \prime )\sum
i=1
\| f \prime \| qLq(Ii)
\leq 1
2
\| \varphi r - 1\| qq
\nu (f \prime )\sum
i=1
\lambda
- ((r - 1)q+1)
i
и
\| f\| pLp(I2\pi \setminus B) =
\nu (f \prime )\sum
i=1
\| f\| p
Lp(Ii\setminus Bi)
\geq 1
2
Ep
0(\varphi r)Lp(I2\pi \setminus B2m)
\nu (f \prime )\sum
i=1
\lambda
- (rp+1)
i .
Таким образом,
\| f \prime \| q
\| f\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\leq \| \varphi r - 1\| q
E\alpha
0 (\varphi r)Lp(I2\pi \setminus B2m)
C, (3.11)
где
C =
\biggl(
1
2
\sum \nu (f \prime )
i=1
\lambda
- (q(r - 1)+1)
i
\biggr) 1/q
\biggl(
1
2
\sum \nu (f \prime )
i=1
\lambda
- (rp+1)
i
\biggr) \alpha /p
. (3.12)
При этом в силу соотношений (3.3), (3.4), (3.7) и (3.8) выполнены условия теоремы срав-
нения Колмогорова [16]. Согласно этой теореме имеют место неравенства \pi /\lambda i \leq bi - ai,
i = 1, . . . , \nu (f \prime ). Из них в силу очевидной оценки
\sum \nu (f \prime )
i=1
(bi - ai) \leq 2\pi следует выполнение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 491
условия (2.17). Кроме того, вследствие периодичности функции f сумма вариаций этой функ-
ции на всех отрезках возрастания равна сумме вариаций функции f на всех отрезках убывания.
Но тогда в силу равенства (3.8), определяющего \lambda i, то же самое имеет место и для функций
сравнения \varphi \lambda i,r. А так как \| \varphi \lambda i,r\| \infty = \lambda - r
i \| \varphi r\| \infty , то выполнено и условие (2.18). Таким об-
разом, выполнены все условия леммы 3. В силу этой леммы имеет место оценка (2.19). Ее
применение в соотношении (3.11) завершает доказательство неравенства (3.5) в случае k = 1
в силу условия (3.7).
Для k > 1 доказательство неравенства (3.5) проводится по индукции точно так же, как и в
работе [1], где оно доказано при \beta = 0.
Теорема 2 доказана.
Замечание 2. Теорема 2 при \beta = 0 доказана в [1].
В работе [15] показано, что при r = 2 и r = 3 для любой функции f \in Lr
\infty (I2\pi ) и
произвольного отрезка I = [a, b], которые удовлетворят условиям (3.1), существует функция
fI \in Lr
\infty (\bfR ), для которой выполнены требования (3.2) – (3.4). Для ее построения достаточно
сужение функции f на отрезок I = [a, b] продолжить на отрезок [b, 2b - a] четным образом
относительно точки b и далее 2(b - a)-периодически на всю ось. Из этого факта и теоремы 2
следует такое утверждение.
Следствие 1. Пусть q, p \in [1,\infty ], r = 2, k = 1 или r = 3, k = 1, 2, \beta \in [0, 2\pi ). Тогда для
любой функции f \in Lr
\infty (I2\pi ) и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset I2\pi :=
:= [ - \pi /2, 3\pi /2], \mu B \leq \beta , имеет место точное на классе Lr
\infty (I2\pi ) неравенство
\| f (k)\| q \leq
\| \varphi r - k\| q
E0(\varphi r)\alpha Lp(I2\pi \setminus B2m)
\| f\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
с тем же показателем \alpha , что и в теореме 2.
Замечание 3. Следствие 1 при \beta = 0 доказано в [1].
В работе [17] показано, что для достаточно больших r \in \bfN существуют функция f \in
\in Lr
\infty (I2\pi ) и отрезок I, для которых выполнены условия (3.1), но для них в классе Lr
\infty (\bfR )
нет функции fI , для которой выполнены требования (3.2) – (3.4). Иными словами, не каждую
функцию f \in Lr
\infty (I2\pi ) можно продолжить с произвольного отрезка монотонности I на всю
ось с сохранением гладкости продолженной функции, L\infty -нормы ее старшей производной и
наилучшего равномерного приближения константой такими же, как на отрезке I.
Как следует из работы [18], показатель \alpha в неравенстве (3.5) является максимально воз-
можным. В частности, если q <
rp
r - k
, то
\alpha = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1 - k
r
,
r - k + 1/q
r + 1/p
\biggr\}
= 1 - k
r
.
В следующей теореме показано, что если в неравенстве (3.5) учесть число \nu (f (k)) перемен
знака производной f (k), то этот показатель можно увеличить.
Теорема 3. В условиях теоремы 2 при q <
rp
r - k
и \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
выполнено неравен-
ство
\| f (k)\| q \leq
\Biggl(
\nu (f (k))
2
\Biggr) 1/q - \alpha /p
\| \varphi r - k\| q
E0(\varphi r)\alpha Lp(I2\pi \setminus B2m)
\| f\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty , (3.13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
492 В. А. КОФАНОВ
где B2m =
\biggl[
\pi - 2m
2
,
\pi + 2m
2
\biggr]
, а число m = m(\beta ) однозначно определено числом \beta так же,
как в теореме 2.
Неравенство (3.13) точное на классе Lr
\infty (I2\pi ) и обращается в равенство для тех же
функции f и множества B, что и в теореме 2.
Доказательство. Докажем неравенство (3.13) для k = 1. Зафиксируем функцию f \in
\in Lr
\infty (I2\pi ), удовлетворяющую условиям теоремы. Не ограничивая общности можем считать,
что \bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\|
\infty = 1. (3.14)
Повторяя далее рассуждение из доказательства теоремы 2 с \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
, получаем нера-
венство (3.11) с этим показателем, где константа C определена равенством (3.12). При этом, как
и в теореме 2, проверяется, что числа \lambda i удовлетворяют условиям леммы 3. Применяя в нера-
венстве (3.11) оценку C \leq
\biggl(
\nu (f (k))
2
\biggr) 1/q - \alpha /p
(2.20), получаем доказываемое неравенство (3.13)
при k = 1 в силу условия (3.14).
Для k > 1 доказательство неравенства (3.13) проводится по индукции точно так же, как и
в работе [1], где оно доказано при \beta = 0.
Теорема 3 доказана.
Замечание 4. Теорема 3 при \beta = 0 доказана в [1].
Впервые неравенства типа Колмогорова, учитывающие число перемен знака производных,
доказал А. А. Лигун [19] и использовал их при решении экстремальных задач теории прибли-
жения. Другие неравенства такого типа содержатся в [20 – 22].
Принимая во внимание тот же факт о продолжении функций малой гладкости с отрезка
монотонности из работы [15], с помощью которого из теоремы 2 было выведено следствие 1,
из теоремы 3 получаем такое следствие.
Следствие 2. Пусть q, p \in [1,\infty ], q <
rp
r - k
, r = 2, k = 1 или r = 3, k = 1, 2, \beta \in [0, 2\pi ).
Тогда для любой функции f \in Lr
\infty (I2\pi ) и произвольного измеримого по Лебегу множества
B \subset I2\pi := [ - \pi /2, 3\pi /2], \mu B \leq \beta , имеет место точное на классе Lr
\infty (I2\pi ) неравенство
\| f (k)\| q \leq
\Biggl(
\nu (f (k))
2
\Biggr) 1/q - \alpha /p
\| \varphi r - k\| q
E0(\varphi r)\alpha Lp(I2\pi \setminus B2m)
\| f\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty ,
где \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
.
Замечание 5. Следствие 2 при \beta = 0 доказано в [1].
Литература
1. В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Точные неравенства типа Колмогорова с ограниченной старшей
производной в случае малых гладкостей, Укр. мат. журн., 53, № 10, 1298 – 1308 (2001).
2. В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Сравнение точных констант в неравенствах для производных
на действительной оси и на окружности, Укр. мат. журн., 55, № 5, 579 – 589 (2003).
3. B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J.
Anal. Math., 78, 263 – 280 (1999).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 493
4. В. А. Кофанов, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией
сравнения, Укр. мат. журн., 63, № 7, 969 – 984 (2011).
5. E. Remes, Sur une propriete еxtremale des polynomes de Tchebychef, Зап. Наук.-дослiд. iн-ту математики й
механiки та Харкiв. мат. т-ва, сер. 4, 13, вип. 1, 93 – 95 (1936).
6. M. I. Ganzburg, On a Remez-type inequality for trigonometric polynomials, J. Approxim. Theory, 164, 1233 – 1237
(2012).
7. E. Nursultanov, S. Tikhonov, A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials, Constr. Approxim., 38,
101 – 132 (2013).
8. P. Borwein, T. Erdelyi, Polynomials and polynomial inequalities, Springer, New York (1995).
9. M. I. Ganzburg, Polynomial inequalities on measurable sets and their applications, Constr. Approxim., 17, 275 – 306
(2001).
10. S. Tikhonov, P. Yuditski, Sharp Remez inequality, https:www.researchgate.net/publication/327905401.
11. В. А. Кофанов, Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов
и сплайнов, Укр. мат. журн., 68, № 2, 227 – 240 (2016).
12. В. А. Кофанов, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза для дифференцируемых периодических
функций, полиномов и сплайнов, Укр. мат. журн., 69, № 2, 173 – 188 (2017).
13. А. Е. Гайдабура, В. А. Кофанов, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза на классах функций с
заданной функцией сравнения, Укр. мат. журн., 69, № 11, 1472 – 1485 (2017).
14. Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун, Экстремальные свойства полиномов и сплайнов, Наук. думка,
Киев (1992).
15. В. Н. Габушин, Некоторые неравенства между производными функций, Тр. Ин-та математики и механики
УНЦ АН СССР, вып. 23, 20 – 26 (1976).
16. А. Н. Колмогоров, О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на
бесконечном интервале, Избр. труды. Математика, механика, Наука, Москва (1985).
17. Ю. С. Загорулько, В. А. Кофанов, О продолжении дифференцируемых функций с отрезка их монотонности
и неравенства типа Колмогорова, Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика, 22, № 6/1, 52 – 55 (2014).
18. Б. Е. Клоц, Приближение дифференцируемых функций функциями большей гладкости, Мат. заметки, 21, № 1,
21 – 32 (1977).
19. А. А. Лигун, О неравенствах между нормами производных периодических функций, Мат. заметки, 33, № 3,
385 – 391 (1983).
20. В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, О точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число
перемен знака производных, Доп. НАН України, вип. 8, 12 – 16 (1998).
21. В. А. Кофанов, О некоторых неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен производных,
Укр. мат. журн., 35, № 4, 456 – 469 (2003).
22. В. А. Кофанов, В. Е. Миропольский, О точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен
производных, Укр. мат. журн., 60, № 12, 1642 – 1649 (2008).
Получено 30.05.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-963 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:07Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/db/fe82363fc656275424b3204fa84d4edb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-9632022-03-26T11:01:34Z Sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness Точные неравенства типа Колмогорова–Ремеза для периодических функций малой гладкости Точные неравенства типа Колмогорова–Ремеза для периодических функций малой гладкости Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. Точна нерівність типу Колмогорова-Ремеза функція малої гладкості Sharp Kolmogorov-Remez typy inequality function of a small smoothness UDC 517.5 In the case of either $r = 2, k = 1$ or $r = 3, k = 1, 2,$ for any $q, p \geq 1,$ $\beta \in [0, 2\pi),$ and arbitrary measurable set $B \subset I_{2\pi} := [-\pi/2, 3\pi/2],$ $\mu B \le \beta,$ we prove the sharp Kolmogorov–Remez type inequality$$\|f^{(k)}\|_{q}\leq\frac{\|\varphi_{r-k}\|_{q}}{E_0(\varphi_{r})^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi}\setminus B_{2m})}}\|f\|^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi} \setminus B)}\big \|f^{(r)} \big \|^{1-\alpha}_{\infty}, \quad f \in L^r_\infty, $$with $\alpha = \min\{1-k/r, (r-k + 1/q)/(r + 1/p)\},$ where $\varphi_r $is the perfect Euler's spline of order~$r,$ $E_0(f)_{L_p(G)}$ is the best approximation of $f$by the constants in $L_p(G),$ $B_{2 m} = \left[\dfrac{\pi-2m}{2}, \dfrac{\pi + 2 m}{2}\right],$ and $m = m(\beta) \in [0, \pi)$ is uniquely defined by~$\beta.$ In addition, we obtain a sharp Kolmogorov–Remez type inequality in the case where the number of sign changes of derivatives is also taken into account. УДК 517.5 Для $r = 2, k = 1$ або $r = 3, k = 1, 2$ та довільних $q, p \geq 1,$ $\beta\in [0, 2\pi)$ і вимірної за Лебегом множини $B \subsetI_{2\pi} := [-\pi/2, 3\pi/2],$ $\mu B \le \beta,$ доведено точнунерівність типу Колмогорова–Ремеза$$\|f^{(k)}\|_{q}\leq\frac{\|\varphi_{r-k}\|_{q}}{E_0(\varphi_{r})^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi}\setminus B_{2m})}}\|f\|^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi} \setminus B)}\big \|f^{(r)} \big \|^{1-\alpha}_{\infty}, \quad f \in L^r_\infty, $$із показником $\alpha = \min\{1-k/r, (r-k + 1/q)/(r + 1/p)\},$ де $\varphi_r $ — ідеальний сплайн Ейлера порядку $r,$ $E_0(f)_{L_p(G)}$ — найкраще наближення константами функції $f$ у просторі $L_p(G),$ $B_{2 m} = \left[\dfrac{\pi- 2 m}{2}, \dfrac{\pi + 2 m}{2}\right]\!,$ а число $m = m(\beta) \in [0, \pi)$ однозначно визначене числом $\beta.$ Також отримано точну нерівність типу Колмогорова–Ремеза, що враховує число змін знаку похідних. УДК 517.5 Для $r = 2, k = 1$ або $r = 3, k = 1, 2$ та довільних $q, p \geq 1,$ $\beta\in [0, 2\pi)$ і вимірної за Лебегом множини $B \subsetI_{2\pi} := [-\pi/2, 3\pi/2],$ $\mu B \le \beta,$ доведено точнунерівність типу Колмогорова–Ремеза$$\|f^{(k)}\|_{q}\leq\frac{\|\varphi_{r-k}\|_{q}}{E_0(\varphi_{r})^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi}\setminus B_{2m})}}\|f\|^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi} \setminus B)}\big \|f^{(r)} \big \|^{1-\alpha}_{\infty}, \quad f \in L^r_\infty, $$із показником $\alpha = \min\{1-k/r, (r-k + 1/q)/(r + 1/p)\},$ де $\varphi_r $ &nbsp;— ідеальний сплайн Ейлера порядку $r,$ $E_0(f)_{L_p(G)}$ — найкраще наближення константами функції $f$ у просторі $L_p(G),$ $B_{2 m} = \left[\dfrac{\pi- 2 m}{2}, \dfrac{\pi + 2 m}{2}\right]\!,$ а число $m = m(\beta) \in [0, \pi)$ однозначно визначене числом $\beta.$ Також отримано точну нерівність типу Колмогорова–Ремеза, що враховує число змін знаку похідних. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-03-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/963 10.37863/umzh.v72i4.963 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 4 (2020); 483-493 Український математичний журнал; Том 72 № 4 (2020); 483-493 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/963/8702 Copyright (c) 2020 Володимир Олександрович Кофанов |
| spellingShingle | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. Sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness |
| title | Sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness |
| title_alt | Точные неравенства типа Колмогорова–Ремеза для периодических функций малой гладкости Точные неравенства типа Колмогорова–Ремеза для периодических функций малой гладкости |
| title_full | Sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness |
| title_fullStr | Sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness |
| title_full_unstemmed | Sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness |
| title_short | Sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness |
| title_sort | sharp kolmogorov–remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness |
| topic_facet | Точна нерівність типу Колмогорова-Ремеза функція малої гладкості Sharp Kolmogorov-Remez typy inequality function of a small smoothness |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/963 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovva sharpkolmogorovremeztypeinequalitiesforperiodicfuntionsofasmallsmoothness AT kofanovva sharpkolmogorovremeztypeinequalitiesforperiodicfuntionsofasmallsmoothness AT kofanovva sharpkolmogorovremeztypeinequalitiesforperiodicfuntionsofasmallsmoothness AT kofanovva točnyeneravenstvatipakolmogorovaremezadlâperiodičeskihfunkcijmalojgladkosti AT kofanovva točnyeneravenstvatipakolmogorovaremezadlâperiodičeskihfunkcijmalojgladkosti AT kofanovva točnyeneravenstvatipakolmogorovaremezadlâperiodičeskihfunkcijmalojgladkosti |