On weakly $(n-1)$-convex sets in low-dimensional Euclidean spaces
UDC 514.172 Wе study the properties of generalized convex sets in the real $n$-dimensional Euclidean space $\mathbb{R}^n,$ where $n=2,3,$ known as weakly $(n-1)$-convex sets. An open set in $\mathbb{R}^2$ (respectively, $\mathbb{R}^3$) is called weakly $1$-convex (respectively, weakly $2$-convex) if...
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2026
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9669 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1871646590174756864 |
|---|---|
| author | Osipchuk, T. Осіпчук, Тетяна |
| author_facet | Osipchuk, T. Осіпчук, Тетяна |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Тетяна Осіпчук",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Osipchuk, T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-24T15:24:12Z |
| description | UDC 514.172
Wе study the properties of generalized convex sets in the real $n$-dimensional Euclidean space $\mathbb{R}^n,$ where $n=2,3,$ known as weakly $(n-1)$-convex sets. An open set in $\mathbb{R}^2$ (respectively, $\mathbb{R}^3$) is called weakly $1$-convex (respectively, weakly $2$-convex) if, for every boundary point of the set, there exists a straight line (respectively, a plane) that passes through this point but does not intersect the indicated set. A point in the complement of a set in $\mathbb{R}^2$ (respectively, $\mathbb{R}^3$) is called a $1$-nonconvexity (respectively, $2$-nonconvexity) point of the set if every straight line (respectively, every plane) that passes through this point intersects the set. It is shown that each connected component of the $1$-nonconvexity-point set corresponding to a planar weakly $1$-convex set is either the interior of a convex polygon or the interior of a convex generalized polygon. It is proved that the $2$-nonconvexity-point set corresponding to an open weakly $2$-convex set in $\mathbb{R}^3$ is itself an open and weakly $2$-convex set. We also study some convexity properties of $2$-nonconvexity-point sets corresponding to weakly $2$-convex sets in $\mathbb{R}^3$. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v78i7-8.9669 |
| first_indexed | 2026-07-25T01:01:22Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-9669 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-25T01:01:22Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-96692026-07-24T15:24:12Z On weakly $(n-1)$-convex sets in low-dimensional Euclidean spaces Про слабко $(n-1)$-опуклi множини в маловимiрних евклiдових просторах Osipchuk, T. Осіпчук, Тетяна опукла множина слабко 1-опукла множина множина точок 1-неопуклості слабко 2-опукла множина множина точок 2-неопуклості дійсний евклідовий простір опуклі множини та їх узагальнення convex set weakly 1-convex set 1-nonconvexity-point set weakly 2-convex set 2-nonconvexity-point set real Euclidean space convex sets and their generalizations UDC 514.172 Wе study the properties of generalized convex sets in the real $n$-dimensional Euclidean space $\mathbb{R}^n,$ where $n=2,3,$ known as weakly $(n-1)$-convex sets. An open set in $\mathbb{R}^2$ (respectively, $\mathbb{R}^3$) is called weakly $1$-convex (respectively, weakly $2$-convex) if, for every boundary point of the set, there exists a straight line (respectively, a plane) that passes through this point but does not intersect the indicated set. A point in the complement of a set in $\mathbb{R}^2$ (respectively, $\mathbb{R}^3$) is called a $1$-nonconvexity (respectively, $2$-nonconvexity) point of the set if every straight line (respectively, every plane) that passes through this point intersects the set. It is shown that each connected component of the $1$-nonconvexity-point set corresponding to a planar weakly $1$-convex set is either the interior of a convex polygon or the interior of a convex generalized polygon. It is proved that the $2$-nonconvexity-point set corresponding to an open weakly $2$-convex set in $\mathbb{R}^3$ is itself an open and weakly $2$-convex set. We also study some convexity properties of $2$-nonconvexity-point sets corresponding to weakly $2$-convex sets in $\mathbb{R}^3$. УДК 514.172 Досліджено властивості узагальнено опуклих множин у дійсному $n$-вимірному евклідовому просторі $\mathbb{R}^n,$ $n=2,3,$ відомих як слабко $(n-1)$-опуклі. Відкрита множина в $\mathbb{R}^2$ ($\mathbb{R}^3$) називається слабко $1$-опуклою (слабко $2$-опуклою), якщо через кожну точку межі множини проходить пряма (площина), яка не перетинає заданої множини. Точка доповнення множини в $\mathbb{R}^2$ ($\mathbb{R}^3$) до всього простору називається точкою $1$-неопуклості (точкою $2$-неопуклості) цієї множини, якщо кожна пряма (кожна площина), яка проходить через цю точку, перетинає множину. Показано, що будь-яка компонента множини точок $1$-неопуклості, яка відповідає плоскій слабко $1$-опуклій множині, – це внутрішність опуклого багатокутника або внутрішність опуклого узагальненого багатокутника. Доведено, що множина точок $2$-неопуклості, яка відповідає відкритій слабко $2$-опуклій множині в $\mathbb{R}^3,$ відкрита і слабко $2$-опукла. Також досліджено деякі властивості опуклості множин точок $2$-неопуклості, які відповідають слабко $2$-опуклим множинам у $\mathbb{R}^3$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2026-07-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9669 10.3842/umzh.v78i7-8.9669 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 78 No. 7-8 (2026); 548–562 Український математичний журнал; Том 78 № 7-8 (2026); 548–562 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9669/10700 Copyright (c) 2026 Тетяна Осіпчук |
| spellingShingle | Osipchuk, T. Осіпчук, Тетяна On weakly $(n-1)$-convex sets in low-dimensional Euclidean spaces |
| title | On weakly $(n-1)$-convex sets in low-dimensional Euclidean spaces |
| title_alt | Про слабко $(n-1)$-опуклi множини в маловимiрних евклiдових просторах |
| title_full | On weakly $(n-1)$-convex sets in low-dimensional Euclidean spaces |
| title_fullStr | On weakly $(n-1)$-convex sets in low-dimensional Euclidean spaces |
| title_full_unstemmed | On weakly $(n-1)$-convex sets in low-dimensional Euclidean spaces |
| title_short | On weakly $(n-1)$-convex sets in low-dimensional Euclidean spaces |
| title_sort | on weakly $(n-1)$-convex sets in low-dimensional euclidean spaces |
| topic_facet | опукла множина слабко 1-опукла множина множина точок 1-неопуклості слабко 2-опукла множина множина точок 2-неопуклості дійсний евклідовий простір опуклі множини та їх узагальнення convex set weakly 1-convex set 1-nonconvexity-point set weakly 2-convex set 2-nonconvexity-point set real Euclidean space convex sets and their generalizations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9669 |
| work_keys_str_mv | AT osipchukt onweaklyn1convexsetsinlowdimensionaleuclideanspaces AT osípčuktetâna onweaklyn1convexsetsinlowdimensionaleuclideanspaces AT osipchukt proslabkon1opuklimnožinivmalovimirnihevklidovihprostorah AT osípčuktetâna proslabkon1opuklimnožinivmalovimirnihevklidovihprostorah |