THE METHODIC OF CALCULATING THE CURRENT DENSITY DISTRIBUTION IN THE DISK-SHAPED ROTOR OF ELECTRODYNAMIC BRAKE
The article deals with the disk electrodynamic brake, which can be used to control the rotation of the rotor of wind power plants of low power. Due to its simple construction and small dimensions, the brakes are conveniently integrated into the working bodies of the wind turbines. It is accepted tha...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
2018
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/181 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Vidnovluvana energetika |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Vidnovluvana energetika| _version_ | 1871103203987161088 |
|---|---|
| author | Tsygankova, G. |
| author_facet | Tsygankova, G. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "G. Tsygankova",
"institution": "National University of Food Technology"
}
] |
| author_sort | Tsygankova, G. |
| baseUrl_str | https://ve.org.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T06:32:12Z |
| description | The article deals with the disk electrodynamic brake, which can be used to control the rotation of the rotor of wind power plants of low power. Due to its simple construction and small dimensions, the brakes are conveniently integrated into the working bodies of the wind turbines. It is accepted that a stationary inhomogeneous magnetic field is excited by a direct current of a ring winding of an inductor with a rack-and slot working surface. The methodic of calculating the current density in the disk-shaped rotor of electrody namics brake with a working air-gap in the rack-and-slot configuration of the magnetic stator, taking into account the thickness of the disk is worked out. To solve the system of equations in the rotor and the air gap, a model for replacing an inductor with a double-toothed gap by a uniform interval formed by flat smooth surfaces of the inductor is adopted, on which the imaginary surface currents are located, that causes the inhomogeneity of the magnetic field. The superficial density of imaginary currents is chosen depending on the harmonic composition of the magnetic field strength in the working gap at a motionless rotor.The system of equations of the electromagnetic field in the electroconductive environment reduced to equations for component of harmonic component of current density, recorded in a cylindrical coordinate system. The system is reduced to the equation in partial derivatives of the second order relative to the radial component of the current density. The solution of this equation is obtained - the formula for calculating the current density in a disk rotor, depending on its size, according to a given initial value of the harmonic component of the magnetic induction in the working gap at a motionless rotor. The given ratios for calculation of losses on the density of currents allow determining the electromagnetic moment. Since the frequency of rotation is explicit included in the expression for the electromagnetic moment, it is possible to estimate the behavior of a wind turbine unit equipped with such a braking device, with a sudden change in wind speed. The found analytical relations concerning characteristics of an electromagnetic field give an opportunity to conduct their analysis and solve the problem of calculating the size and design of such disc-shaped devices for practical application in wind power plants. |
| doi_str_mv | 10.36296/1819-8058.2018.4(55).53-63 |
| first_indexed | 2025-07-17T11:37:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 53
УДК 621.313
МЕТОДИКА РОЗРАХУНКУ РОЗПОДІЛУ ГУСТИНИ СТРУМІВ
В ДИСКОВОМУ РОТОРІ ЕЛЕКТРОДИНАМІЧНОГО ГАЛЬМА
Г.А. Циганкова, кандидат технічних наук
Національний університет харчових технологій
01033 вул. Володимирська, 68, Київ
В статті розглядається дискове електродинамічне гальмо, яке може використовуватися для регулювання обертів ротора
вітроенергетичних установок малої потужності. Завдяки простій конструкції і невеликим розмірам, гальмо зручно інтег-
рується в робочі органи вітроустановок. Прийнято, що стаціонарне неоднорідне магнітне поле збуджується постійним
струмом кільцевої обмотки індуктора із зубцево-пазовою робочою поверхнею. Запропоновано методику розрахунку густи-
ни струму в роторі електродинамічного гальма дископодібної форми з повітряним робочим зазором при зубцево-пазовій
конфігурації магнітопроводу статора з урахуванням товщини диску. Для розв’язання системи рівнянь в роторі і повітря-
ному проміжку прийнято модель заміни індуктора з двосторонньою зубчатістю рівномірним проміжком, утвореним плос-
кими гладкими поверхнями індуктора, на яких розміщені уявні поверхневі струми, що й обумовлюють неоднорідність маг-
нітного поля. Поверхневу щільність уявних струмів вибрано в залежності від гармонічного складу напруженості магніт-
ного поля в робочому зазорі при нерухомому роторі. Систему рівнянь електромагнітного поля в електропровідному середо-
вищі приведено до рівнянь відносно компонент гармонічної складової густини струму, записаних в циліндричній системі
координат. Систему зведено до рівняння в частинних похідних другого порядку відносно радіальної компоненти густини
струму. Отримано розв’язок цього рівняння – формулу для розрахунку густини струму в дисковому роторі в залежності
від його розмірів по заданому початковому значенню гармонічної складової магнітної індукції в робочому зазорі при неру-
хомому роторі. Приведені співвідношення щодо розрахунку втрат по густині струмів дозволяють визначити електромаг-
нітний момент. Оскільки частота обертання явно входить у вираз для електромагнітного моменту, то можна оцінити
поведінку вітросилової установки, оснащеної таким гальмом, при раптовій зміні швидкості вітру. Знайдені аналітичні
співвідношення щодо характеристик електромагнітного поля дають можливість провести їхній аналіз і вирішити питан-
ня розрахунку розмірів та розробки конструкції таких дископодібних пристроїв для практичного застосування у вітроси-
лових енергетичних установках. Бібл. 10, рис. 3.
Ключові слова: електромагнітне поле, густина струму, електродинамічне гальмо.
THE METHODIC OF CALCULATING THE CURRENT DENSITY DISTRIBUTION
IN THE DISK-SHAPED ROTOR OF ELECTRODYNAMIC BRAKE
G.A. Tsygankova, Candidate of Engineering Science
National University of Food Technology
01033, 68 Volodymyrska Street, Kyiv
The article deals with the disk electrodynamic brake, which can be used to control the rotation of the rotor of wind power plants of
low power. Due to its simple construction and small dimensions, the brakes are conveniently integrated into the working bodies of
the wind turbines. It is accepted that a stationary inhomogeneous magnetic field is excited by a direct current of a ring winding of an
inductor with a rack-and-slot working surface. The methodic of calculating the current density in the disk-shaped rotor of electrody-
namics brake with a working air-gap in the rack-and-slot configuration of the magnetic stator, taking into account the thickness of
the disk is worked out. To solve the system of equations in the rotor and the air gap, a model for replacing an inductor with a double-
toothed gap by a uniform interval formed by flat smooth surfaces of the inductor is adopted, on which the imaginary surface currents
are located, that causes the inhomogeneity of the magnetic field. The superficial density of imaginary currents is chosen depending
on the harmonic composition of the magnetic field strength in the working gap at a motionless rotor.The system of equations of the
electromagnetic field in the electroconductive environment reduced to equations for component of harmonic component of current
density, recorded in a cylindrical coordinate system. The system is reduced to the equation in partial derivatives of the second order
relative to the radial component of the current density. The solution of this equation is obtained - the formula for calculating the
current density in a disk rotor, depending on its size, according to a given initial value of the harmonic
© Г.А.Циганкова, 2018
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 54
component of the magnetic induction in the working gap at a motionless rotor. The given ratios for calculation of losses on the den-
sity of currents allow determining the electromagnetic moment. Since the frequency of rotation is explicit included in the expression
for the electromagnetic moment, it is possible to estimate the behavior of a wind turbine unit equipped with such a braking device,
with a sudden change in wind speed. The found analytical relations concerning characteristics of an electromagnetic field give an
opportunity to conduct their analysis and solve the problem of calculating the size and design of such disc-shaped devices for practi-
cal application in wind power plants. References 10, figures 3.
Keywords: electromagnetic field, current density, electrodynamics brake.
Г. Циганкова
G. Tsygankova
Відомості про автора: доцент кафедри
вищої математики імені проф. Можара В.І.
Національного університету харчових тех-
нологій.
Освіта: Київський державний університет
ім. Т.Г. Шевченка, механіко-математичний
факультет.
Наукова сфера: застосування методів ма-
тематичної фізики при дослідженні магніт-
них процесів в електропровідному середо-
вищі.
Публікації: 53 наукові та науково-
методичні праці.
ORCID: 0000-0002-1533-7090
Контакти: +38 (044) 289-27-85
e-mail: tsgk.anna@gmail.com
Author information: associate professor of
the V.I. Mozhar Higher Mathematics Depart-
ment of National University of Food Technol-
ogy.
Education: Shevchenko Kyiv State Universi-
ty, Mechanics and Mathematics Department.
Research area: application of the methods of
mathematical physics at research of magnetic
processes in a conductive environment.
Publications: 53 scientific and scientific-
methodological works.
ORCID: 0000-0002-1533-7090
Contacts: +38 (044) 289-27-85
e-mail: tsgk.anna@gmail.com
Перелік використаних позначень:
r – радіус електропровідного дискового
ротора;
d – товщина дискового ротора;
r1 і r2 – менший і більший радіуси робочої зони
диску відповідно;
2
зd
– відстань від диску до зубців магнітопро-
воду індуктора;
– кутова швидкість обертання;
cB – індукція стаціонарного магнітного поля в
повітряному проміжку індуктора при не-
рухомому диску;
еквd – еквівалентний зазор;
rB , B ,
ZB – компоненти вектора магнітної індукції
по координатах zr ,, ;
rH , H ,
zH – компоненти вектора напруженості магні-
тного поля по координатах zr ,, ;
r , , z – компоненти вектора густини струму по
координатах zr ,, ;
cpzB – гармонічна складова вектора магнітної
індукції стаціонарного магнітного поля;
pH
– гармонічна складова вектора напруженості
магнітного поля, наведеного струмами в елек-
тропровідному середовищі;
рН ,
р ,
рВ , рЕ
– гармонічні складова векторів напруженості
магнітного поля, густини струму, магнітної
інукції, напруженості електричного поля;
обрЕ – гармонічна складова напруженості електри-
чного поля обертання;
– магнітна проникність середовища;
р – число пар полюсів, порядок робочої гармо-
ніки;
k
– комплексний коефіцієнт, що характеризує
поверхневий ефект взаємодії змінного елект-
ромагнітного поля з електропровідним сере-
довищем;
2
u
p
– глибина проникнення змінного магнітного
поля у матеріал диску;
)
( ,
,
повр поврr
поврф поврz
– гармонічна складова густини струму на
бокових поверхнях диску;
серp
– середньє значення густини струму по всій
товщині диску.
mailto:tsgk.anna@gmail.com
mailto:tsgk.anna@gmail.com
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 55
Вступ. Розвиток відновлюваної енергетики з
використанням енергії вітру для задоволення су-
спільних потреб в електроенергії, потребує вдос-
коналення наявних електротехнічних пристроїв.
Одним із перспективних напрямків вдоскона-
лення сучасних вітроустановок малої потужності
є створення систем регулювання обертів ротора
силової установки, в тому числі, з використанням
електродинамічного гальма.
Відомий спосіб експлуатації вітроенергети-
чних установок, за допомогою якого можна під-
вищувати продуктивність вітросилової установки
і одночасно обмежувати навантаження при під-
вищених швидкостях вітру. Для цього, почина-
ючи з попередньо заданої швидкості вітру, ро-
боча частота обертання ротора вітросилової ус-
тановки обмежується гальмуванням. В якості га-
льмівного пристрою ротора вітросилової уста-
новки можна використовувати дископодібне еле-
ктродинамічне гальмо, вбудоване в корпус уста-
новки. Крім того, для гасіння надлишкових мо-
ментів навантаження, які виникають при рапто-
вій зміні швидкості вітру, передачу обертального
моменту можна здійснювати за допомогою асин-
хронної муфти. В якості такої муфти можна ви-
користати дископодібне електродинамічне га-
льмо простої конструкції. Електромеханічні при-
строї дископодібної форми зручно інтегруються
в робочі органи багатьох машин і механізмів.
Вирішення питань розробки конструкції, ро-
зрахунку розмірів, характеристик та діапазону
потужності дископодібного електродинамічного
гальма для практичного застосування у вітроси-
лових енергетичних установках вимагає вдоско-
налення наукових засобів моделювання процесів
у провідному середовищі – роторі при його обер-
танні в стаціонарному неоднорідному магнітному
полі. Стаціонарне неоднорідне магнітне поле
збуджується постійним струмом кільцевої обмо-
тки індуктора із зубцево-пазовою робочою пове-
рхнею.
Електромагнітні процеси в складних облас-
тях електродинамічних дископодібних пристроїв
не вивчені повною мірою. Розвиток сучасних
комп’ютерних технологій і програмних засобів, а
також зростання обчислювальної потужності
комп’ютерної техніки, сприяє чисельному моде-
люванню електромагнітних процесів при відомих
розмірах складних областей [1, 10]. Разом з цим,
аналітичне моделювання [6], знаходження аналі-
тичного рішення розподілу магнітної індукції та
густини струмів, дозволяє аналізувати та оціню-
вати ефективність деформації стаціонарного маг-
нітного поля, створеної конструктивними особ-
ливостями магнітної системи, та розраховувати
розміри її елементів. Це сприяє створенню нових,
більш ефективних пристроїв. Оскільки розподіл
магнітного поля у робочому проміжку електро-
динамічного гальма суттєво впливає на його ро-
бочі параметри і характеристики, актуальним є
проведення досліджень електромагнітного поля в
повітряному проміжку і роторі, розподілу вихро-
вих струмів в роторі та умов для створення галь-
мівного моменту. Можна відмітити наявність
незначної кількості публікацій, присвячених до-
слідженню електромагнітного поля в дискових
електропровідних середовищах. У відомих дослі-
дженнях і публікаціях основна увага приділена
дослідженню електромагнітних процесів у дис-
ковому роторі із феромагнітного матеріалу з пев-
ними припущеннями [4], дискового електромаг-
нітного гальма з радіальними розрізами в робочій
зоні диску [3], пустотілого ротору [2].
Метою цієї роботи є знаходження аналітич-
ного рішення розподілу густини струмів в елект-
ропровідному дисковому суцільному роторі еле-
ктродинамічного гальма для подальшого його
використання при проектуванні.
Постановка завдання. В статті розгляда-
ється електродинамічне гальмо з електропровід-
ним ротором-диском радіусу r і товщиною d, що
обертається в повітряному проміжку навколо осі
z з кутовою швидкістю на відстані dз/2 від
зубців магнітопроводу індуктора (рис. 1).
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 56
Рис. 1. Схема розташування елементів електродинамічного гальма.
Fig. 1. The plan of the elements of the electrodynamic brake.
Для досягнення поставленої мети приймаємо
такі обмеження:
електропровідний диск поділяємо на три зо-
ни: при 1rr і Rrr 2 , (R – радіус диску),
де відсутня неоднорідність магнітного поля,
та робочу зону при 21 rrr , де магнітне
поле неоднорідне; r1 і r2 – менший і більший
радіуси робочої зони диску відповідно;
параметри електропровідного середовища лі-
нійні, користуємося принципом накладання;
індукцію стаціонарного магнітного поля cB в
повітряному проміжку індуктора при неру-
хомому диску вважаємо заданою;
еквівалентний зазор еквd вважаємо відомим;
еквd визначається через магнітну проник-
ність і інші параметри диску [2];
магнітне поле неоднорідне, періодичне по
кутовій координаті;
компоненти векторів магнітної індукції rB та
напруженості магнітного поля rH по коорди-
наті r відсутні;
компоненти векторів напруженості електрич-
ного поля zE та густини струму z по коор-
динаті z відсутні.
Виклад основного матеріалу.
Електромагнітні процеси в обертовому елек-
тропровідному середовищі описуються системою
рівнянь Максвелла. Скористаємося символічною
формою запису цієї системи для гармонічних
складових електромагнітного поля з числом пар
полюсів р. При цьому залежність від кутової ко-
ординати враховується переходом до комплекс-
них амплітуд.
ppHrot (1)
pp BjpErot (2)
0pBdiv (3)
0pdiv (4)
pp HB (5)
pcpp HBB (6)
pp E (7)
pобpp EEE (8)
BVEоб
(9)
rV
(10)
Для розв’язання системи рівнянь в роторі і
повітряному проміжку приймемо модель, прото-
тип якої викладений у [5]: замінимо нерівномір-
ний проміжок (зубцево-пазову поверхню) рівно-
мірним (плоскою поверхнею) з уявними поверх-
невими струмами, які і обумовлюють неоднорід-
ність магнітного поля (рис.2).
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 57
Рис. 2. Електромагнітна модель електродинамічного гальма.
Fig. 2. Electromagnetic model of electrodynamic brake.
Закон розподілу цих поверхневих струмів,
які створюють неоднорідне магнітне поле, що
адекватно відображає реальне, для зручності за-
даємо функціями Бесселя [7].
Зведемо систему рівнянь електромагнітного
поля в електропровідному середовищі (1)–(10) до
рівняння відносно густини струму в циліндричній
системі координат zr ,, . Струми в диску виника-
ють під дією напруженості електричного поля, яке
наводиться змінним магнітним полем (2), (6):
p cpz protE jp B H . (11)
Напруженість електричного поля обертання
можна виразити згідно з (9):
,0,
,
обр обрr обрz
r zcpz pz pr
Е Е Е
r B H e r H e
(12)
де cpzB – гармонічна складова вектора магнітної
індукції стаціонарного магнітного поля; pH
–
гармонічна складова вектора напруженості маг-
нітного поля, наведеного струмами в електро-
провідному середовищі; – магнітна проник-
ність середовища; – кутова швидкість обер-
тання, р – число пар полюсів, порядок робочої
гармоніки.
Помножимо (11) на і врахувавши (7),
отримаємо
p cpz prot jp B H . (13)
Знайдемо ротор від (13) та врахувавши (1)
отримаємо диференціальне рівняння відносно
густини струму:
p cpz p
cpz p
rotrot jp rotB jp rotH
jp rotB jp
(14)
Виразивши ліву частину рівняння (14) через
компоненти вектора густини струму [2] та прирів-
нявши відповідні компоненти в лівій і правій час-
тинах рівності, отримаємо таку систему рівнянь:
cpzpr
pzprp
ppr B
r
p
jp
zrzrr
jp
r
jp
r
p
22
2
2
22
2
, (15)
r
B
jpjp
zrz
jp
r
jp
rr
jp
r
cpz
p
pppzprp
prp
2
2
2
2
2
11
, (16)
0
11
2
2
2
22
pz
p
pz
pzprpzpr
jp
zr
jp
r
p
rzrrrzr
. (17)
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 58
Таким чином, отримуємо систему трьох рів-
нянь (15)–(17) відносно компонент pzppr
,,
гармонічної складової густини стуму. Розв’язок
цієї системи p
будемо шукати у вигляді добу-
тку двох функцій, одна з яких 1
kz kzF F e e
безрозмірна і залежить лише від осьової коорди-
нати z , а друга ),,( повpzповpповprповp
має
розмірність густини струму і залежить від раді-
альної координати:
1
kz kz
р повр F e e . (18)
Тут k – комплексний коефіцієнт з розмірністю,
зворотною довжині, отже zk є безрозмірною ве-
личиною – характеризує поверхневий ефект вза-
ємодії змінного електромагнітного поля з еле-
ктропровідним середовищем;
u
j
k
1 , де
p
u
2
– глибина проникнення змінного
магнітного поля у матеріал диску; повp – ком-
плексна амплітуда гармонічної складової з чис-
лом пар полюсів р густини струму на боковій
поверхні диску.
Можна вважати, що 0повpz . Це випливає
із рівняння (17) після деяких математичних пере-
творень і врахування (18). Тоді виходячи з умови
неперервності струму, кутова компонента гус-
тини струму виразиться так:
r
r
p
j повpr
повprповрр
.
За цих умов, рівняння (15) приводиться до
рівняння виключно відносно повpr :
2
2 2
2
2
2
1
1
2
поврr
поврr поврr
поврr поврr
поврr
поврr cpz
р
r
r r r
r k
r r r
p
jp B
r
або
2
2
2
2
2
3
1
.
поврr поврr
поврr
cpz
r r r
p
k jp
r
p B
r
(19)
Врахуємо, що jpk 2 , тоді рівняння
(19) набуде вигляду:
2
2
22
2
3
1
.
поврr поврr
cpz
поврr
r r r
p Bp
r r
(20)
Рівняння (20) є рівнянням в частинних похі-
дних другого порядку з правою частиною,
розв’язком якого буде сума загального розв’язку
повpr відповідного однорідного та частинного
розв’язку повpr
неоднорідного рівняння. Розг-
лянемо спочатку однорідне рівняння, що відпові-
дає (20):
0
13
2
2
2
2
повpr
повprповpr
r
p
rrr
.
Воно описує поле при cpzB =0, тобто в облас-
тях 1rr і 2rr за межами робочої зони та
обумовлене лише струмами ротора в робочій зо-
ні. Коренями характеристичного рівняння, від-
повідного цьому однорідному, будуть p 1 .
А загальний розв’язок однорідного рівняння має
вигляд: pp
повpr rCrC 1
2
1
1
.
Частинний розв’язок повpr
неоднорідного
рівняння (20) знайдемо на основі аналізу фізич-
них процесів в електропровідному середовищі.
Вигляд частинного розв’язку не залежить від
значень радіусу r1 і r2 . При його знаходженні бу-
демо вважати, що 21 ;0 rr . Знайдемо спо-
чатку закон розподілу густини струму по всій
товщині диску, середнє значення густини струму
по товщині диску. Потім, користуючись законом
повного струму, знайдемо напруженість магніт-
ного поля на поверхні диску в повітряному зазорі
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 59
та диску, і густину струму на бокових поверхнях
диску повp через знайдені величини напружено-
сті і середнього значення густини струму серp .
Враховуючи (18), середнє значення густини
струму серp по всій товщині диску знаходимо:
/ 2
1
/2
д
д
d
повp kz kz
серp
д d
F e e z
d
. (21)
Коефіцієнт 1F знаходимо з умови рівності
повpp густини струму на обох бокових по-
верхнях диска, тобто при 2/дdz . Тоді функ-
ція розподілу густини струму по осьовій коорди-
наті приймає значення 1F .
1
2
22
1
дд d
k
d
k
eeF
d
F
д
д
дд dk
d
k
d
k
d
k e
e
ee
F
1
1 2
22
1 (22)
Тоді
2 1
1
д
д
kd
повp
серp kd
д
e
d k e
. (23)
Підставивши значення k в (23), отримаємо
середнє значення густини струму по всій тов-
щині диску:
u
d
e
u
d
e
e
u
d
eje
u
d
e
d
uδ
δ
дu
d
дu
d
u
d
дu
d
u
d
дu
d
д
повp
серp
дд
дддд
2
2
2
22
sincos1
sin21sin21
. (24)
Знайдемо тепер густину струму повp
на бо-
кових поверхнях диску, використовуючи закон
повного струму та нехтуючи розсіюванням маг-
нітного поля в повітряному зазорі.
В точці з координатою (рис. 3) напруже-
ність магнітного поля в повітряному зазорі на
поверхні диску становить )(pzзH , а в точці
– )( pzзH . На ділянці r повний
струм в радіальному напрямку складає
rdдсерpr . Тоді, із закону повного струму
pzзpzзеквдсерpr HHdrd (25)
А оскільки pzзpzзpzз HHH ,
то
r
H
dd
pzз
еквдсерpr , або в символічній
формі
pzз
екв
дсерpr H
r
jpd
d . (26)
Звідси
серpr
екв
д
pzз
p
r
d
d
jH . (27)
Рис. 3. Модель для розрахунку густини струму на бокових поверхнях дискового ротора.
Fig. 3. Model for calculating the current density at the lateral surfaces of the disk rotor.
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 60
Врахувавши, що при
2
d
z на межі розподілу
середовищ з різною магнітною проникністю
pzpzз HH 0 , та (7) і (12) отримаємо зв'язок
між комплексною амплітудою радіальної компо-
ненти густини струму на бокових поверхнях дис-
ку і комплексною амплітудою середньої густини
струму по всій товщині диску:
*
0
0- .
повpr cpz pzз
д
cpz серpr
екв
r B H
d r
rB j r
d p
(28)
Підставивши (24) в (28), отримаємо:
*
*
0
- -2 - -2
- -2
-
1 2 sin - - 1- 2 sin -
.
1 2 cos
д д д д
д д
повprд
повpr cpz
екв д
d d d d
д дu u u u
d d
дu u
ud r
rB j r
d p d
d d
e e j e e
u u
d
e e
u
(29)
Із (29), зробивши позначення:
еквекв udpd
u
p
Q
2
00 2
,
u
d
дu
d
u
d
дu
d
дд
дд
e
u
d
e
e
u
d
e
s
2
2
cos21
sin21
,
u
d
дu
d
u
d
дu
d
дд
дд
e
u
d
e
e
u
d
e
m
2
2
cos21
sin21
,
остаточно знаходимо радіальну компоненту гус-
тини струму на бокових поверхнях диску – час-
тинний розв’язок рівняння (20):
21 rjmsQ
rBcpz
повpr
. (30)
Таким чином, загальний розв’язок неоднорід-
ного диференціального рівняння (20) має вигляд:
1 1
1 2 2
.
1
повpr повpr повpr
cpzp p
B r
C r C r
Q s jm r
(31)
Розв’язок (31) справедливий для всіх значень
радіусу r, але при 1rr cpzB =0 і, оскільки при
0r 0повpr , то в цій зоні 1
3
p
повpr rС .
Тоді 1
3
p
повprповp rCjr
rp
j .
При 2rr cpzB =0, тому густина струму
1
5
1
4
pp
повpr rCrС ,
а 1
5
1
4
pp
повprповp rCrCjr
rp
j .
В робочій зоні при 21 rrr радіальна ком-
понента густини струму має вид (31), а кутова
11
1 22
2
2
.
1
повp повpr
pcpz p
j
r
p r
B rj
jC r jC r
p Q s jm r
(32)
Невідомі сталі 1C – 5C знаходяться, виходячи
із граничних умов на межах робочої зони:
00 11 rrrrrr , 00 22 rrrrrr ,
0Rrr ,
00 11 rrrr EE , 00 22 rrrr EE .
2 2
1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
2
1 1
,
2 2
p p
p p p
C A B r R
A B r R A B r
2
2 1 1 1
1
2
pC A B r ,
2
11
2
1213
pp
rArCCC ,
2
22224
2
1
p
rBACC , pRСC 2
45
,
де
1 2
11
cpzB
A
Q s jm r
,
2 2
21
cpzB
A
Q s jm r
,
1
1 2 22
11
21 2
11
cpzB A
B
p p Q s jm rQ s jm r
,
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 61
2
2 2 22
22
21 2
11
cpzB A
B
p p Q s jm rQ s jm r
.
Висновки. Використання аналітичних спів-
відношень для характеристик електромагнітного
поля дає можливість провести їхній аналіз у за-
лежності від розмірів та інших параметрів магні-
тної системи електродинамічного дископодіб-
ного пристрою. Отримані формули (31), (32) роз-
рахунку компонент густини струмів в дисковому
роторі дозволяють визначити гальмівний елект-
ромагнітний момент електродинамічного диско-
подібного гальма, виходячи із потужності втрат,
що спрощує розрахунки. Отриманий аналітичний
вираз опосередковано підтверджується співстав-
ленням розрахунку електромагнітного моменту
та його експериментальним визначенням [8,9] і
рекомендується для використання при проекту-
ванні подібних електротехнічних пристроїв, які
можуть знайти застосування у вітросилових
установках для гальмування чи гасіння коливань
при зміні швидкості вітру.
1. Васьковський Ю.М. Польовий аналіз електричних ма-
шин. / Ю.М. Васьковський. − К.: НТУУ «КПІ», 2007. – 192 с.
2. Заблодский Н.Н. Определение коэффициента возду-
шного зазора для полого ротора сквозной структуры в по-
лифункциональных электромеханических преобразователях.
/ Н.Н. Заблодский, В.Ю. Грицюк, Н.В. Лукьянов // Електро-
техніка і Електромеханіка. – 2013. – №1. – С. 30–34.
3. Мухин М.А. Высокоэффективный электродинамиче-
ский элемент системы управления с дисковой вторичной
системой: дис… канд. техн. наук: 05.13.05 / Уфимск. Гос.
Авиац. Техн. универ., Уфа, 1999.
4. Никитин Б.О. Потери в массивном роторе и враща-
ющие моменты в асинхронных двигателях с печатной об-
моткой статора / Б.О. Никитин // Исследование электромаг-
нитных процессов электромеханических систем. Проблемы
технической электродинамики. – К: Наук. думка, 1965. –
С. 142–154.
5. Полищук В.И. Устройство защиты обмотки ротора
синхронного генератора от двойных на землю и витковых
замыканий / В.И. Полищук, А.Н. Новожилов,
М.П. Воликова // Электричество. – 2012. – №6. – С. 54–59.
6. Титко А.И. Метод расчета вихревых токов в прово-
дящих телах / А.И. Титко, В.Л. Чечурин // Изв. АН СССР,
Энергетика и транспорт. – 1989. – №6. – С. 69–74.
7. Циганкова Г.А. Електромагнітна модель електроди-
намічного гальма із зубцево-пазовою конфігурацією зазору
індуктора / Г.А. Циганкова // Праці Інституту електродина-
міки НАН України – 2013. – вип. 34. – С. 41–45.
8. Циганкова Г.А. Практичні аспекти дослідження елек-
тродинамічного гальма / Г.А. Циганкова // Інтеграційна сис-
тема освіти, науки і виробництва в сучасному інформа-
ційному просторі: матеріали міжнар. наук.-практ. інтернет-
конф., 29–30 квітня 2014 р.: тези доп. – Тернопіль, 2014. –
С. 127–128.
9. Циганкова Г.А. Електромагнітний момент дископо-
дібного електродинамічного гальма / Г.А. Циганкова // Фі-
зичні процеси та поля технічних і біологічних об’єктів: ма-
теріали ХІІІ Міжнар. наук.- техн. конф., 7–9 листоп. 2014 р.:
тези доп. – Кременчук, 2014. – С. 66–67.
10. Andrew S. Holmes, Member, IEEE, Guodong Hong and
Keith R. Pullen. Axial-Flux Permanent Magnet Machines for
Micropower Generation, Journal of microelectromechanical
systems, vol. 14, No.1, Feb. 2005, рр. 54–62.
МЕТОДИКА РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПЛОТНОСТИ ТОКА В ДИСКОВОМ РОТОРЕ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ТОРМОЗА
А.А. Цыганкова, кандидат технических наук
Национальный университет пищевых технологий
01033 ул. Владимирская, 68, Киев
Разработана методика расчета плотности тока в роторе
электродинамического тормоза дископодобной формы с
воздушным рабочим зазором при зубчато-пазовой конфигу-
рации магнитопровода статора с учетом толщины диска.
Система уравнений электромагнитного поля в электропро-
водящей среде приведена к уравнению второго порядка в
частных производных относительно радиальной компо-
ненты плотности тока. Получено решение этого уравнения
– формулу для расчета плотности тока в дисковом роторе
в зависимости от его размеров. Библ. 10, рис. 3.
Ключевые слова: электромагнитное поле, плотность тока,
электродинамический тормоз.
REFERENCES
1.Vas'kovs'kyj Yu.M. (2007). Pol'ovyj analiz elektrychnykh
mashyn [Field analysis of electric machines]. Kyiv, NTUU KPI,
192 p. (in Ukr)
2. Zablodskyj N.N., Hrytsiuk V.Yu, Luk'ianov N.V. (2013).
Opredelenye koeffytsyenta vozdushnoho zazora dlia poloho
rotora skvoznoj struktury v polyfunktsyonal'nykh elektromek-
hanycheskykh preobrazovateliakh [Determination of the air gap
ratio for a hollow rotor of a through-structure in multifunctional
electromechanical converters]. Elektrotekhnika i Elektromek-
hanika, Electrical Engineering and Electromechanics, no.1, pp.
30–34. (in Rus)
3. Mukhyn M.A. (1999). Vysokoeffektyvnyj elektrodyna-
mycheskyj element systemy upravlenyia s dyskovoj vtorychnoj
systemoj [High-performance electrodynamic element of the
control system with a disk secondary system]. Candidate’s
thesis. Ufa [in Russian].
4. Nykytyn B.O. (1965). Potery v massyvnom rotore y
vraschaiuschye momenty v asynkhronnykh dvyhateliakh s
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 62
pechatnoj obmotkoj statora [Losses in a massive rotor and tor-
ques in asynchronous motors with a printed stator winding].
Yssledovanye elektromahnytnykh protsessov
elektromekhanycheskykh system. Problemy tekhnycheskoj
elektrodynamyky – The study of electromagnetic processes of
electromechanical systems. Technical Electrodynamics Prob-
lems. Kyiv, Nauk. Dumka, pp.142–154. (in Rus)
5. Polyschuk V.Y., Novozhylov A.N., Volykova M.P. (2012).
Ustrojstvo zaschyty obmotky rotora synkhronnoho heneratora ot
dvojnykh na zemliu y vytkovykh zamykanyj [Protection device of
synchronous generator winding rotor of the double earth fault and
interturn]. Elektrychestvo, Electricity, no.6, pp. 54–59. (in Rus)
6. Tytko A.Y., Chechuryn V.L. (1989). Metod rascheta
vykhrevykh tokov v provodiaschykh telakh [Method of calcula-
tion of eddy currents in the conductive bodies]. Yzv. AN SSSR,
Enerhetyka y transport [News of Academy of Sciences of the
USSR, Energy and Transport], no.6, pp. 69–74. (in Rus)
7. Tsygankova G.A. (2013). Elektromahnitna model el-
ektrodynamichnoho halma iz zubtsevo-pazovoiu konfihuratsiieiu
zazoru induktora [Electromagnetic model of electrodynamics
brake with a rack-and-slot configurations of the gap of inductor].
Pratsi Instytutu elektrodynamiky NAN Ukrainy, Works of the
Institute of Electrodynamics of the National Academy of Scienc-
es of Ukraine, v. 34, pp. 41–45. (in Ukr)
8. Tsygankova G.A. (2014). Praktychni aspekty
doslidzhennia elektrodynamichnoho halma [Practical aspects of
research electrodynamic brake]. Intehratsijna systema osvity,
nauky i vyrobnytstva v suchasnomu informatsijnomu prostori:
materialy mizhnar. nauk.-prakt. internet-konf., tezy dop. [Inte-
gration system of education, science and production in the mod-
ern information space: materials international. science-practice
Internet Conf., 29–30 kvitn. 2014, theses of additional], Ter-
nopil, p. 127–128. (in Ukr)
9. Tsygankova G.A. (2014). Elektromahnitnyj moment
dyskopodibnoho elektrodynamichnoho halma [Electromagnetic
moment of a disk-shaped electrodynamic brake]. Fizychni
protsesy ta polia tekhnichnykh i biolohichnykh obiektiv, mate-
rialy XIII Mizhnar. nauk.- tekhn. konf., 7–9 lystop. 2014, tezy
dop. [Physical Processes and Fields of Technical and Biologi-
cal Objects. Materials of the 13th International. Sciences.
Tech. Conf., 7–9 Nov. 2014, Theses Add.]. Kremenchuk, pp.
66–67. (in Ukr)
10. Andrew S. Holmes, Member, IEEE, Guodong Hong and
Keith R. Pullen. (2005). Axial-Flux Permanent Magnet Ma-
chines for Micropower Generation, Journal of microelectrome-
chanical systems, vol. 14, No.1, Feb. 2005, рр. 54–62. (in Eng)
SYNOPSES
Disk-shaped electromechanical devices, that easily inte-
grate into the working parts of many machines and mechanisms,
spread more and more in current conditions. Electrodynamic
brake situated in a body of the plant can be used as a braking
device of the rotor of the wind power plant. A creation of the
electrodynamic braking devices demands the development of
scientific means of modelling the processes in the conductive
environment, which is the rotor rotating in a heterogeneous
magnetic field. The aim of this work is finding the analytic solu-
tion for a distribution of current density in the conductive solid
disk rotor of the electrodynamic brake. The article deals with the
electrodynamic brake with a conductive disk rotor of radius r
and of thickness d
rotating around the axis z in the air gap
with an angular velocity at the distance dз/2 from the cogs of
the magnetic inductor. The electrically conductive disk is condi-
tionally divided into three zones to reach the set aim:
1r r and
2r r R , (R – radius of the disk), where the magnetic field
inhomogeneity is absent, and the working zone
1 2r r r ,
where the magnetic field is heterogeneous (r1 and r2 – the small-
er and the bigger radius of the disk’s working zone in ac-
cordance); the induction of a stationary magnetic field
cB in the
air gap of the inductor with the fixed disk is considered to be
given, and the equivalent gap
еквd is considered to be known;
the magnetic field is considered to be heterogeneous and peri-
odic in the angular coordinate; the components of magnetic in-
duction vectors
rB and the magnetic field voltage
rH in the
coordinate r , and the components of the electric field voltage
vectors
zE and the current density
z in the coordinate z are
considered to be absent. There is a renowned model accepted for
solving the Maxwell equations in the rotor and in the air gap.
The core of this model is the replacement of an uneven air gap
(with a cog-groovy surface) by the even one (with a flat surface)
with equivalent surface currents, which cause the homogeneity
of the magnetic field. The law of the distribution of the surface
currents creating the homogeneous magnetic field, which ade-
quately reflects the reality, is given by the functions of Bessel for
a convenience. The system of equations in the symbolic form of
the electromagnetic field in an electrically conductive environ-
ment is reduced to equation in relation to the current density in a
cylindrical coordinate system , ,r z , and then it is reduced to the
system of three equations in relation to the components
, ,рr рф рz of the harmonic component of current density. The
system is reduced to the equation in relation to one element of
the harmonic component of current density 0поврz with an
assumption поврr . Partial and general solutions of this equation
for all values of the radius r are found. Derived formulas for
calculating the current density component in the disk rotor of an
electrodynamic brake permit to determine the braking electro-
magnetic torque of the electrodynamic disk brake on the as-
sumption of expenditure power, and are indirectly confirmed by
a comparison of the electromagnetic torque’s calculation and its
value obtained experimentally.
РЕФЕРАТ
У сучасних умовах все більшого поширення набувають
електромеханічні пристрої дископодібної форми, які зручно
інтегруються в робочі органи багатьох машин і механізмів.
В якості гальмівного пристрою ротора вітросилової устано-
вки можна використовувати електродинамічне гальмо, вбу-
доване в корпус установки. Створення електродинамічних
ВІТРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2018. № 4 63
гальмівних пристроїв вимагає розробки наукових засобів
моделювання процесів у провідному середовищі – роторі,
що обертається у неоднорідному магнітному полі. Метою
цієї роботи є знаходження аналітичного рішення розподілу
густини струмів в електропровідному дисковому суцільному
роторі електродинамічного гальма. В статті розглядається
електродинамічне гальмо з електропровідним ротором-дис-
ком радіусу r і товщиною d
, що обертається в повітряному
проміжку навколо осі z з кутовою швидкістю на від-
стані / 2зd від зубців магнітопроводу індуктора. Для досяг-
нення поставленої мети електропровідний диск умовно по-
ділено на три зони:
1r r і
2r r R , (R – радіус диску), де
відсутня неоднорідність магнітного поля, та робочу зону
при
1 2r r r , де магнітне поле неоднорідне ( r1 і r2 – мен-
ший і більший радіуси робочої зони диску відповідно); ін-
дукцію стаціонарного магнітного поля
cB в повітряному
проміжку індуктора при нерухомому диску вважаємо зада-
ною, еквівалентний зазор
еквd – відомим; магнітне поле
неоднорідним, періодичним по кутовій координаті; компо-
ненти векторів магнітної індукції Вr та напруженості магні-
тного поля Нr по координаті r відсутні і компоненти векто-
рів напруженості електричного поля Еz та густини струму
z по координаті z відсутні. Для розв’язання системи рів-
нянь Максвелла в роторі і повітряному проміжку прийнято
відому модель, яка полягає в заміні нерівномірного промі-
жку (зубцево-пазової поверхні) рівномірним (плоскою пове-
рхнею) з уявними поверхневими струмами, які і обумовлю-
ють неоднорідність магнітного поля. Закон розподілу цих
поверхневих струмів, які створюють неоднорідне магнітне
поле, що адекватно відображає реальне, задається для зруч-
ності функціями Бесселя. Систему рівнянь в символічній
формі електромагнітного поля в електропровідному середо-
вищі зведено до рівняння відносно густини струму в цилін-
дричній системі координат , ,r z , а далі до системи трьох
рівнянь відносно компонент , ,рr рф рz гармонічної скла-
дової густини стуму. З припущенням 0поврz , систему зве-
дено до рівняння відносно однієї компоненти гармонічної
складової густину струму
поврr . Знайдено частинний і зага-
льний розв’язки цього рівняння для всіх значень радіусу r.
Отримані формули розрахунку компонент густини струмів в
дисковому роторі електродинамічного гальма дозволяють
визначити гальмівний електромагнітний момент еле-
ктродинамічного дископодібного гальма, виходячи із поту-
жності втрат, і опосередковано підтверджуються співстав-
ленням розрахунку електромагнітного моменту та його зна-
ченнями, отриманими експериментально.
Стаття надійшла до редакції 10.09.18
Остаточна версія 07.10.18
|
| id | veorgua-article-181 |
| institution | Vidnovluvana energetika |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:04:28Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | veorgua/1e/15464be324c6834be6d3e0ca7b8ec61e.pdf |
| spelling | veorgua-article-1812026-07-18T06:32:12Z THE METHODIC OF CALCULATING THE CURRENT DENSITY DISTRIBUTION IN THE DISK-SHAPED ROTOR OF ELECTRODYNAMIC BRAKE МЕТОДИКА РОЗРАХУНКУ РОЗПОДІЛУ ГУСТИНИ СТРУМІВ В ДИСКОВОМУ РОТОРІ ЕЛЕКТРОДИНАМІЧНОГО ГАЛЬМА Tsygankova, G. electromagnetic field, current density, electrodynamics brake. електромагнітне поле, густина струму, електродинамічне гальмо. The article deals with the disk electrodynamic brake, which can be used to control the rotation of the rotor of wind power plants of low power. Due to its simple construction and small dimensions, the brakes are conveniently integrated into the working bodies of the wind turbines. It is accepted that a stationary inhomogeneous magnetic field is excited by a direct current of a ring winding of an inductor with a rack-and slot working surface. The methodic of calculating the current density in the disk-shaped rotor of electrody namics brake with a working air-gap in the rack-and-slot configuration of the magnetic stator, taking into account the thickness of the disk is worked out. To solve the system of equations in the rotor and the air gap, a model for replacing an inductor with a double-toothed gap by a uniform interval formed by flat smooth surfaces of the inductor is adopted, on which the imaginary surface currents are located, that causes the inhomogeneity of the magnetic field. The superficial density of imaginary currents is chosen depending on the harmonic composition of the magnetic field strength in the working gap at a motionless rotor.The system of equations of the electromagnetic field in the electroconductive environment reduced to equations for component of harmonic component of current density, recorded in a cylindrical coordinate system. The system is reduced to the equation in partial derivatives of the second order relative to the radial component of the current density. The solution of this equation is obtained - the formula for calculating the current density in a disk rotor, depending on its size, according to a given initial value of the harmonic component of the magnetic induction in the working gap at a motionless rotor. The given ratios for calculation of losses on the density of currents allow determining the electromagnetic moment. Since the frequency of rotation is explicit included in the expression for the electromagnetic moment, it is possible to estimate the behavior of a wind turbine unit equipped with such a braking device, with a sudden change in wind speed. The found analytical relations concerning characteristics of an electromagnetic field give an opportunity to conduct their analysis and solve the problem of calculating the size and design of such disc-shaped devices for practical application in wind power plants. В статті розглядається дискове електродинамічне гальмо, яке може використовуватися для регулювання обертів ротора вітроенергетичних установок малої потужності. Завдяки простій конструкції і невеликим розмірам, гальмо зручно інтегрується в робочі органи вітроустановок. Прийнято, що стаціонарне неоднорідне магнітне поле збуджується постійним струмом кільцевої обмотки індуктора із зубцево-пазовою робочою поверхнею. Запропоновано методику розрахунку густини струму в роторі електродинамічного гальма дископодібної форми з повітряним робочим зазором при зубцево-пазовій конфігурації магнітопроводу статора з урахуванням товщини диску. Для розв’язання системи рівнянь в роторі і повітряному проміжку прийнято модель заміни індуктора з двосторонньою зубчатістю рівномірним проміжком, утвореним плоскими гладкими поверхнями індуктора, на яких розміщені уявні поверхневі струми, що й обумовлюють неоднорідність магнітного поля. Поверхневу щільність уявних струмів вибрано в залежності від гармонічного складу напруженості магнітного поля в робочому зазорі при нерухомому роторі. Систему рівнянь електромагнітного поля в електропровідному середовищі приведено до рівнянь відносно компонент гармонічної складової густини струму, записаних в циліндричній системі координат. Систему зведено до рівняння в частинних похідних другого порядку відносно радіальної компоненти густини струму. Отримано розв’язок цього рівняння – формулу для розрахунку густини струму в дисковому роторі в залежності від його розмірів по заданому початковому значенню гармонічної складової магнітної індукції в робочому зазорі при неру-хомому роторі. Приведені співвідношення щодо розрахунку втрат по густині струмів дозволяють визначити електромаг-нітний момент. Оскільки частота обертання явно входить у вираз для електромагнітного моменту, то можна оцінити поведінку вітросилової установки, оснащеної таким гальмом, при раптовій зміні швидкості вітру. Знайдені аналітичні співвідношення щодо характеристик електромагнітного поля дають можливість провести їхній аналіз і вирішити питання розрахунку розмірів та розробки конструкції таких дископодібних пристроїв для практичного застосування у вітросилових енергетичних установках. Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2018-12-03 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/181 10.36296/1819-8058.2018.4(55).53-63 Vidnovluvana energetika ; No. 4(55) (2018): Scientific and Applied Journal Vidnovluvana energetika; 53-63 Возобновляемая энергетика; ##issue.no## 4(55) (2018): Научно-прикладной журнал Возобновляемая энергетика; 53-63 Відновлювана енергетика; № 4(55) (2018): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 53-63 2664-8172 1819-8058 uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/181/120 Copyright (c) 2018 G. Tsygankova https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | electromagnetic field current density electrodynamics brake. Tsygankova, G. THE METHODIC OF CALCULATING THE CURRENT DENSITY DISTRIBUTION IN THE DISK-SHAPED ROTOR OF ELECTRODYNAMIC BRAKE |
| title | THE METHODIC OF CALCULATING THE CURRENT DENSITY DISTRIBUTION IN THE DISK-SHAPED ROTOR OF ELECTRODYNAMIC BRAKE |
| title_alt | МЕТОДИКА РОЗРАХУНКУ РОЗПОДІЛУ ГУСТИНИ СТРУМІВ В ДИСКОВОМУ РОТОРІ ЕЛЕКТРОДИНАМІЧНОГО ГАЛЬМА |
| title_full | THE METHODIC OF CALCULATING THE CURRENT DENSITY DISTRIBUTION IN THE DISK-SHAPED ROTOR OF ELECTRODYNAMIC BRAKE |
| title_fullStr | THE METHODIC OF CALCULATING THE CURRENT DENSITY DISTRIBUTION IN THE DISK-SHAPED ROTOR OF ELECTRODYNAMIC BRAKE |
| title_full_unstemmed | THE METHODIC OF CALCULATING THE CURRENT DENSITY DISTRIBUTION IN THE DISK-SHAPED ROTOR OF ELECTRODYNAMIC BRAKE |
| title_short | THE METHODIC OF CALCULATING THE CURRENT DENSITY DISTRIBUTION IN THE DISK-SHAPED ROTOR OF ELECTRODYNAMIC BRAKE |
| title_sort | methodic of calculating the current density distribution in the disk-shaped rotor of electrodynamic brake |
| topic | electromagnetic field current density electrodynamics brake. |
| topic_facet | electromagnetic field current density electrodynamics brake. електромагнітне поле густина струму електродинамічне гальмо. |
| url | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/181 |
| work_keys_str_mv | AT tsygankovag themethodicofcalculatingthecurrentdensitydistributioninthediskshapedrotorofelectrodynamicbrake AT tsygankovag metodikarozrahunkurozpodílugustinistrumívvdiskovomurotoríelektrodinamíčnogogalʹma AT tsygankovag methodicofcalculatingthecurrentdensitydistributioninthediskshapedrotorofelectrodynamicbrake |