CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRICITY CONSUMPTION MODE
Впровадження відновлюваної енергетики потребує врахування факторів її впливу на роботу енергосистем. Одним з таких факторів є випадковий характер поточної потужності відновлюваних джерел енергії, що накладається на змінний режим споживання електроенергії. Оцінка балансу рівнів генерації та споживанн...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/19 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Vidnovluvana energetika |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Vidnovluvana energetika| _version_ | 1871103058947080192 |
|---|---|
| author | Kuznietsov, M. P. |
| author_facet | Kuznietsov, M. P. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "M. P. Kuznietsov",
"institution": "doctor of science, Institute of Renewable Energy, NAS of Ukraine"
}
] |
| author_sort | Kuznietsov, M. P. |
| baseUrl_str | https://ve.org.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T06:32:06Z |
| description | Впровадження відновлюваної енергетики потребує врахування факторів її впливу на роботу енергосистем. Одним з таких факторів є випадковий характер поточної потужності відновлюваних джерел енергії, що накладається на змінний режим споживання електроенергії. Оцінка балансу рівнів генерації та споживання  потребує побудови адекватних аналітичних моделей. Характер коливань потужності різних груп споживачів може мати відмінності, проте допускає певні узагальнення. Застосування методів теорії випадкових процесів та статистичного аналізу дозволяє сформувати математичні моделі, які досить адекватно описують реальні процеси споживання електроенергії. |
| first_indexed | 2025-07-17T11:36:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
КОМПЛЕКСНІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ ВДЕ ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2017. № 4 33
УДК 621.311
ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ РЕЖИМУ СПОЖИВАННЯ
ЕЛЕКТРОЕНЕРГІЇ
М. П.Кузнєцов, д.т.н.
Інститут відновлюваної енергетики НАН України, 02094, м. Київ, вул. Гната Хоткевича, 20А
Тел/факс: +38-044-206-28-09, e-mail: renewable@ukr.net
ORCID: 0000-0002-2789-8055
Впровадження відновлюваної енергетики потребує врахування факторів її впливу на роботу енергосистем. Одним з таких
факторів є випадковий характер поточної потужності відновлюваних джерел енергії, що накладається на змінний режим
споживання електроенергії. Оцінка балансу рівнів генерації та споживання потребує побудови адекватних аналітичних
моделей. Характер коливань потужності різних груп споживачів може мати відмінності, проте допускає певні узагаль-
нення. Застосування методів теорії випадкових процесів та статистичного аналізу дозволяє сформувати математичні
моделі, які досить адекватно описують реальні процеси споживання електроенергії. Бібл. 10, табл. 1, рис. 7.
Ключові слова: споживання електроенергії, математична модель, випадковий процес, кореляційна функція, авторегресія.
CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRICITY
CONSUMPTION MODE
Kuznietsov M.P., doctor of science
Institute of Renewable Energy, NAS of Ukraine, Hnata Khotkevycha, 20А, 02094, Kyiv-94, Ukraine,
Phone/fax: +38-044-206-28-09, e-mail: renewable@ukr.net
ORCID: 0000-0002-2789-8055
Implementation of renewable energy needs to take into account the factors of its impact on the work of power systems. One of these
factors is the random nature of the current power of renewable energy sources, which is imposed on the variable mode of electricity
consumption. The assessment of the balance of generation and consumption levels requires the construction of adequate analytical
models. The nature of the power fluctuations of different groups of consumers may have differences, but allow for some generaliza-
tions. The application of methods of the theory of random processes and statistical analysis allows us to form mathematical models
that adequately describe the actual processes of electricity consumption. Referenses 10, tabl. 1, fig. 7.
Keywords: electricity consumption, mathematical model, random process, correlation function, autoregression.
Микола Петрович Кузнецов
M.P. Kuznietsov
Відомості про автора: Заступник дирек-
тора Інституту відновлюваної енергетики
НАН України, старший науковий співро-
бітник, доктор технічних наук.
Освіта: Київський державний університет
ім.Шевченка, механіко-математичний
факультет.
Область наукових інтересів: математика,
відновлювана енергетика.
Публікації: понад 60, в тому числі 3 мо-
нографії.
Author information: Deputy Director of the
Institute of Renewable Energy at the NASU,
Doctor of technical sciences.
Education: Shevchenko Kyiv State Univer-
sity, Mechanics and Mathematics.
Main research interests: mathematics, re-
newable energy.
Publications: over 60, including 3 mono-
graphs.
Перелік використаних позначень
(Ч)АКФ – (часткова) автокореляційна функція;
ВЕС – вітрова електростанція;
Н.п. – населений пункт;
О.-У. – Орнштейна-Уленбека (процес);
СЕС – сонячна електростанція;
СКВ – середньоквадратичне відхилення;
АР(n) – авторегресія порядку n;
DX – дисперсія випадкового процесу Х;
ρХ – коефіцієнт кореляції для процесу Х;
t – незалежний параметр часового ряду;
ε – стандартна нормальна випадкова величина;
σ – СКВ або волатильність.
© М.П.Кузнєцов, 2017
КОМПЛЕКСНІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ ВДЕ ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2017. № 4 34
Вступ. Впровадження відновлюваної енерге-
тики, зокрема вітрової та сонячної енергії, є акту-
альною задачею для України. Однак масштабне
використання відновлюваних джерел енергії
(ВДЕ) в електроенергетиці потребує узгодження
з реальними умовами споживання електроенергії.
Дослідження можливостей використання ВДЕ
для забезпечення окремих груп споживачів (на-
селених пунктів, об’єднань, регіональних енерго-
систем тощо) можливе на базі наявних статисти-
чних даних, шляхом безпосереднього підрахунку.
Однак такий підхід має обмежені можливості,
оскільки стосується лише конкретної вибірки да-
них. Оскільки надходження сонячної чи вітрової
енергії є природним фактором, неконтрольова-
ним та слабо передбачуваним, то робота ВДЕ має
оцінюватися в термінах випадкових величин.
Споживання енергії також має випадкові складо-
ві і може бути описане як випадковий процес.
Враховуючи імовірнісну природу як зазначених
джерел енергії, так і рівнів споживання, вважа-
ється доцільним сформувати математичну мо-
дель енергетичного балансу як динамічної систе-
ми, використовуючи наявні фактичні дані для
розрахунку параметрів моделі та перевірки її
адекватності. Такий підхід допускає узагальнен-
ня, дозволяє розглядати різноманітні конфігура-
ції енергосистем.
Оцінка режимів споживання електроенер-
гії. Аналіз випадкових процесів надходження
відновлюваної енергії досліджено зокрема в ро-
ботах [1–2]. Коректне описання сумарного про-
цесу генерації та споживання електроенергії по-
требує аналогічного підходу до режимів спожи-
вання. В якості вхідних даних використано ста-
тистичну інформацію про роботу кількох населе-
них пунктів (н.п.) Запорізької області, а також
споживання Дніпровської енергосистеми (ДнЕС)
та ОЕС України. Фактичні дані, отримані в про-
цесі експлуатації, зазвичай оформлено у вигляді
часових рядів, що передбачає фіксовані часові
інтервали осереднення та послідовне розташу-
вання в хронологічному порядку. Записи поточ-
ної потужності отримані з певним часовим інтер-
валом: так, для ВЕС поточна потужність зазвичай
фіксується з 10-хвилинним інтервалом (як серед-
нє по інтервалу), для СЕС та локальних груп
споживачів – 30 хвилин, для енергосистеми в ці-
лому – погодинно (мова йде про дані відкритого
доступу, наприклад, з інтернет-ресурсу [3]). Та-
кий часовий ряд є дискретним відображенням
процесу споживання і математично є випадковою
послідовністю або стохастичним процесом з дис-
кретним часом [4]. Однак фізично це неперервний
процес, що має певні закономірності (трендові
складові) та суто випадкові компоненти. Так, гра-
фічне зображення рівнів споживання свідчить про
чітку добову періодичність. На рис. 1 зображено
кілька послідовних добових записів, зроблених у
квітні, з дискретністю 30 хвилин (споживач – на-
селений пункт, у даному випадку с. Мордвинівка)
та 1 година (об’єднана енергосистема).
а)
КОМПЛЕКСНІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ ВДЕ ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2017. № 4 35
б)
Рис. 1. Приклади потужності споживання електроенергії в н.п. (а) та ОЕС (б).
Fig. 1. Examples of power consumption in a separate settlement.
Сукупність записів за тривалий час вигля-
дає як періодичний випадковий процес; такі
процеси стосовно енергонавантажень описують
як стохастично періодичні (періодичний білий
шум) методами статистичного моделювання
[5]. При цьому виокремлюються детермінована,
випадкова стаціонарна та ритмічна складові. В
якості стаціонарного випадкового процесу ви-
ступають так звані φ-серії, для яких фаза при-
ймає фіксовані значення. При цьому періодом
можуть слугувати доба, тиждень, рік, адже на
таких часових інтервалах періодичність спожи-
вання енергії є явною. Якщо нас цікавлять
швидкі (до години) зміни рівня споживання,
виходячи з подібності графіків споживання за
кожну добу, як випадковий процес можна роз-
глядати саме добовий хід поточної потужності,
а кожну окрему добу вважати його випадковою
реалізацією. Тоді в якості φ-серії виступати-
муть ансамблі реалізацій. Виділяючи середню
складову місячного набору реалізацій випадко-
вого процесу, максимальні, мінімальні значен-
ня та дисперсію, помітимо певну стабільність
відхилень від середнього (рис. 2).
Рис. 2. Імовірні рівні споживання електроенергії в н.п.
Fig. 2. Probable levels of electricity consumption in the settlement.
КОМПЛЕКСНІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ ВДЕ ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2017. № 4 36
Створення адекватної математичної моделі
значно полегшується, якщо досліджуваний про-
цес може бути представлений як стаціонарний, а
у випадку його ергодичності полегшується також
відбір даних для розрахунку числових параметрів
[6]. Очевидно, вихідний процес на коротких часо-
вих проміжках (в межах доби) стаціонарним та ер-
годичним не виглядає, тому застосовуються різні
способи його розкладу на елементарні складові.
Стаціонарний процес представляють як такий,
що триває невизначено довго, а в якості початку
підрахунку можна обрати любий момент часу. У
даному випадку процес енергоспоживання можна
вважати усталеним (за винятком аварійних ситуа-
цій), а перехідні процеси – нетривалими або таки-
ми, що потребують окремого вивчення.
У випадку представлення процесу часовим
рядом (послідовністю вимірів через сталі промі-
жки часу), аргументом може слугувати як час,
так і порядковий номер виміру, відрахований від
певного моменту. Крок між двома послідовними
значеннями називаємо одиничним лагом.
Характерною ознакою стаціонарності є ста-
лість математичного очікування та дисперсії. Як
видно з рис. 1, 2, окремі реалізації мають різне
середньодобове значення та певний добовий хід.
У такому випадку першим кроком має бути
центрування випадкових значень, що усуває при-
чину нестаціонарності. Зазначимо, що різним по-
рам року відповідають різні абсолютні значення
та екстремальні години рівнів споживання, проте
якісна поведінка в різні місяці подібна. Дисперсія
вже має очевидні ознаки стаціонарності (лінія
СКВ на рис. 2 – це середньоквадратичне відхи-
лення). Характеристики процесу на рис. 2 отри-
мано осередненням по місячному обсягу даних,
тобто 30-ти добових реалізацій. За умови ергоди-
чності повний опис процесу можна отримати з
однієї реалізації достатньої тривалості.
Ідентифікація випадкового процесу. Важ-
ливою ознакою стаціонарності процесу є поведі-
нка його кореляційної (автокореляційної) функ-
ції. Кореляція має залежати тільки від відстані
між вимірами (часового інтервалу, лагу), незале-
жно від власне аргументу, тобто для коваріації
маємо отримати: X XK ( t,t ) k ( ) , де t, τ – неза-
лежні аргументи (час) випадкового процесу Х(t).
Зазначена умова забезпечує й постійність диспе-
рсії: так, поклавши τ = 0, отримаємо XD ( t )
0X XK ( t,t ) k ( ) const . Нормоване значення
кореляційної функції (або коваріації) дорівнює
власне коефіцієнту кореляції: X
X
X
k ( )( ) D
, де
DX – постійна дисперсія стаціонарного процесу, а
)( X – коефіцієнт кореляції між значеннями
процесу, розділеними часовим інтервалом τ. Оче-
видно, 1)0( X (див. напр. [7]).
Автокореляційна функція (АКФ) дає більш
повне уявлення про процес, ніж лише середні
значення та дисперсія. Так, випадкові процеси,
зображені на рис. 1 як групи окремих реалізацій,
можуть мати подібні середню характеристику та
дисперсію, проте їх внутрішня структура має
відмінності: на рис. 1б помітна чітка залежність
між значеннями в різний час, тоді як для рис. 1а
характерні хаотичніші коливання зі швидким за-
туханням кореляції.
Проаналізуємо статистичні дані щодо спо-
живання електроенергії. Розглянемо АКФ для
процесу споживання електроенергії в н.п. (рис.
3а), для прикладу обрано декілька днів квітня.
Зменшення кореляційної функції є необхід-
ною умовою стаціонарності. Як бачимо, значення
кореляції падає до рівня статистичної похибки,
як для "білого шуму" (штрихові лінії), після 7-ми
кроків. Довжина одного кроку (лагу) становить
30 хв. Для лагу 15 помітна деяка циклічність. На
періодограмі процесу Х(t) циклічність явно ви-
ражена для 24 і для 48 кроків, тобто для полови-
ни та повної доби (рис. 3б). Зазначимо, що АКФ
та спектральна щільність (чи періодограма) фун-
кціонально пов’язані [6], і для опису процесу до-
статньо знання однієї з них.
Отже, для забезпечення стаціонарності часо-
вого ряду як бажаної умови моделювання потрі-
бно виконати певну декомпозицію початкового
ряду, зокрема, виділення середньої величини та
періодичної складової. Варіантом вирішення мо-
жна вважати виділення трендової складової з до-
бової реалізації, що частково враховувало б оби-
два фактори: *( ) ( ) ( )Y t X t X t , де Х*(t) – осеред-
нений добовий хід. Вигляд детермінованої функ-
ції Х*(t) зображено на рис. 2 (подвійна лінія).
Приклади поведінки процесу Y(t) зображено на
рис. 4, а його АКФ – на рис. 5.
КОМПЛЕКСНІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ ВДЕ ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2017. № 4 37
а) б)
N o. o f ca se s: 24 0
0 20 4 0 60 8 0 10 0 1 20 14 0
Pe riod
0
2E 6
4E 6
6E 6
8E 6
1E 7
1,2 E7
Рис. 3. Автокореляція (а) та періодограма (б) процесу Х(t) для н.п.
Fig. 3. Autocorrelation (a) and periodogram (b) of process X(t) for the settlement.
Рис. 4. Приклади відхилень рівня споживання від середньомісячного, н.п.
Fig. 4. Examples of variations in the consumption level from the average, settlement.
Рис. 5. Автокореляція процесу Y(t).
Fig. 5. Autocorrelation of the process Y(t).
КОМПЛЕКСНІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ ВДЕ ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2017. № 4 38
При порівнянні рис. 5 та рис. 3а помітно від-
сутність циклічної складової та експоненційне
затухання АКФ до деякого значення. Періодог-
рама також вказує на відсутність значимих цик-
лів, натомість помітна присутність постійної ви-
падкової складової, тобто такої, що має нульову
частоту. Таким чином, пропонована декомпози-
ція трендової складової сприяє стаціонарності
результуючого процесу, але значення Y(t) як ви-
падкових флуктуацій (рис. 4) можуть мати нену-
льове середнє. Тому доцільно центрувати ці флу-
ктуації та врахувати їх математичні сподівання
введенням звичайної випадкової величини (по-
стійної в межах доби) як середньодобового від-
хилення від середньомісячного значення. Цим
забезпечується не лише стаціонарність, а й ерго-
дичність результуючого випадкового процесу.
Характер розподілу середньодобових значень як
випадкової величини зображено на рис. 6. Відхи-
лення відносної потужності від одиниці має роз-
поділ, близький до нормального (позначеного на
рисунку штриховою лінією).
Рис. 6. Гістограма відношення середньодобових значень до середньомісячних.
Fig. 6. Histogram of the ratio of daily average values to the monthly average.
Аналогічний результат можна отримати і для
даних щодо споживання електроенергії в енергосис-
темі більшого розміру (регіональній чи об’єднаній.
В силу зроблених припущень результатом де-
композиції випадкового процесу може бути вираз:
* *( ) ( ) ( ) ( ) ( )X t X t Y t X t U t , (1)
де σ – СКВ добових значень (рис. 2); ε – стандар-
тна нормально розподілена випадкова величина з
нульовим середнім та одиничною дисперсією;
U(t) – шуканий стаціонарний випадковий процес.
Таке представлення відповідає канонічному
розкладу випадкової функції, якщо процес U(t)
також представити розкладом по координатних
функціях:
( ) ( ) ( )X i ii
X t m t V t , (2)
де *( ) ( )Xm t X t – математичне сподівання ви-
падкової функції (процесу); Vi – некорельовані
випадкові величини з нульовим середнім; φi(t) –
координатні функції (детерміновані).
Доданки під знаком суми – це елементарні
випадкові функції. Перевага такого представлен-
ня в тому, що при лінійному перетворенні коефі-
цієнти розкладу Vi не змінюються, а математичне
сподівання та координатні функції зазнають того
ж лінійного перетворення. Ця властивість корис-
на, наприклад, при визначенні суперпозиції кіль-
кох джерел живлення чи споживання.
Параметричне представлення часового ряду
для практичних цілей, як правило, виконують з об-
меженим числом параметрів; найчастіше застосо-
вують загальну лінійну модель [8]. Для випадків з
експоненційно затухаючою АКФ це модель авторе-
гресії (АР), кількість параметрів якої визначається
поведінкою часткової автокореляції (ЧАКФ). Це ж
стосується періодично затухаючих АКФ.
Вигляд ЧАКФ для розглянутих прикладів
зображено на рис. 7.
КОМПЛЕКСНІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ ВДЕ ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2017. № 4 39
Х(t): Y(t):
Рис. 7. ЧАКФ процесів Х(t), Y(t) для н.п.
Fig. 7. Partial autocorrelation of processes X(t), Y(t) for the settlement.
Як видно з поведінки ЧАКФ, для початкових
часових рядів значимою є кореляція для 2-х ла-
гів, а після декомпозиції – тільки для першого.
Модель АР(n) звичайно має вигляд:
1
n
t i t i t
i
X X
, (3)
де n – порядок моделі; φi – параметр авторегресії;
αt – стандартна випадкова величина (зазвичай
"білий шум") як збурення процесу; Xt – значення
випадкової функції в момент часу t. У більш за-
гальному вигляді може бути присутня також кон-
станта як вільний член. Якщо АКФ експоненцій-
но затухає, а ЧАКФ має одне істотне значення,
застосовується модель з одним параметром (n=1).
Коли АКФ має періодичну складову, а ЧАКФ –
два істотних значення, застосовується модель
АР(2). Модель авторегресії використовується при
прогнозуванні, тоді складова αt називається за-
лишком чи похибкою прогнозу. В адекватній мо-
делі вона має нульове середнє та нормальний
розподіл, а її дисперсія характеризує точність
(довірчий інтервал). Коли математична модель
має імітувати поведінку реального процесу (на-
приклад, у методах типу Монте-Карло), випадко-
ва складова відображає нерегулярні відхилення
від трендової кривої (флуктуації).
Представлення параметрів лінійної моде-
лі. Кореляція тільки з одним попереднім членом
ряду є ознакою марківського процесу, або проце-
су "без післядії", тоді для моделі авторегресії до-
статньо одного параметра. Виходячи з властивос-
тей АР(1), у випадку, коли величина φ1 близька
до одиниці (як у досліджених вище випадках),
дисперсія всього процесу може значно переви-
щити окремі флуктуації [12]. Так, дисперсія про-
цесу:
2
2
1
( )
1tD X
де σα – СКВ випадкового
збурення αt. Отже, при значній кореляції сусідніх
значень процесу навіть малі збурення можуть
спричинити значні відхилення від середнього.
Тут всюди мова йде про вибіркові оцінки пара-
метрів, і точність оцінки залежить від того, на-
скільки представницьку вибірку було обрано.
Існують різні методи оцінювання параметрів, які
дають дуже схожі оцінки. Загалом, під час оці-
нювання порядку моделі використовується алго-
ритм максимізації правдоподібності спостере-
ження значень ряду.
Наскільки постійною в часі є якісна поведін-
ка членів часового ряду, розглянуто на прикладі
споживання Дніпровської енергосистеми (ДнЕС)
та н.п. Мордвинівка протягом кількох років (для
подібності обрано один місяць) та в різні місяці
одного року. Модель поведінки часового ряду
після декомпозиції (спадна АКФ та одне істотне
значення ЧАКФ) зберігається.
Представлення споживання електроенергії як
випадкового процесу шляхом лінійної декомпо-
зиції запропоновано зокрема в [9]. Стохастичний
КОМПЛЕКСНІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ ВДЕ ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2017. № 4 40
процес Y(t) вибирається у відповідності з наступ-
ними припущеннями:
відповідно до центральної граничної те-
ореми X(t) має нормальний розподіл, оскільки
відповідає сумі значної кількості різних наванта-
жень (споживачів) у системі. Отже, функція Y(t)
також розподілена нормально;
величина X(t) не може зростати протягом
тривалого часу і має швидко повертатись до пев-
ного середнього значення.
Виходячи з таких припущень, випадкова
складова Y(t), що визначає флуктуації функції
навантажень, має задовольняти стохастичному
диференційному рівнянню типу Орнштейна-
Уленбека:
( ) [ ( ) ] ( )dY t Y t dt dB t , t ≥ 0, (4)
де B(t) є вінерівським процесом.
Процес Орнштейна-Уленбека (О.-У.) харак-
теризується наявністю середнього рівня α, до-
вкола якого відбуваються стохастичні відхилен-
ня з певним темпом та розмахом. Коефіцієнт β
визначає швидкість повернення до середнього
рівня і називається коефіцієнтом зносу. Величи-
на σ (волатильність) характеризує дисперсію
відхилень, які мають нормальний розподіл, і
може прийматися постійною для досліджувано-
го періоду; випадковий процес при цьому вважа-
ється стаціонарним. Оскільки середнє значення
визначається функцією Х*(t), а Y(t) – відхилення
від середнього значення, в рівнянні (4) можна
прийняти α=0 та вважати Y(t)=U(t), як у виразі
(1). В загальному випадку α=const для досліджу-
ваного періоду (в нашому випадку для окремої
реалізації процесу).
Для моделі адитивного незалежного випадково-
го блукання можна представити випадковий про-
цес через змінну Вінера, що використовує нор-
мальний розподіл ε~N(0,1): ( )B t t . Це до-
зволяє виразити розв’язок рівняння через скаляр-
ну величину ε та звести інтеграл Іто до звичайно-
го детермінованого інтегрування [10]. В резуль-
таті розв’язок записується в наступному вигляді:
2( ) (0) 1
2
t tU t U e e
. (5)
Таким чином, досліджуваний процес U(t) ви-
являється нормально розподіленою випадковою
величиною. Вважаючи час випадкової реалізації
поділеним на проміжки Δt, за якими проводиться
дискретизація статистичних даних, і застосовую-
чи вираз (5) до кожного проміжку, отримаємо
дискретну випадкову послідовність, що задово-
льняє різницевому стохастичному рівнянню, тоб-
то модель АР(1), де перший доданок відповідає
регресійній складовій, другий – випадковому
відхиленню. Оскільки коефіцієнт авторегресії (і
розв’язок характеристичного рівняння) задоволь-
няє умові 1te , модель є асимптотично стій-
кою. Середні значення та дисперсія в загальному
випадку залежні від часу, але їх граничні значен-
ня такі ж, як для стаціонарної послідовності [4].
Центрування кожної окремої реалізації можна
забезпечити введенням складової α (4), яка буде
випадковою величиною з відповідним розподі-
лом, постійною в межах реалізації. Для подаль-
шого дослідження можна використовувати мето-
ди типу Монте-Карло.
Вирази (1) і (5) можна розглядати як опис
процесу з незалежними приростами. Тут добовий
хід (трендова складова) визначає невипадкову
центруючу функцію, середнє добове значення –
дискретний процес, а поточна девіація U(t) – сто-
хастично неперервний процес. Таке представлен-
ня можна вважати розкладом Леві для процесу з
незалежними приростами, коли для заданої
центруючої функції стохастичні компоненти роз-
кладу визначаються однозначно. Представлення
також відповідає канонічному розкладу (2), про-
понуючи при цьому спеціальне визначення пара-
метрів розкладу. Який зі способів краще моделює
реальний процес, перевіримо на одному з розгля-
нутих прикладів – споживанні н.п. у квітні 2016 р.
Імовірнісні параметри наведено в табл. 1, для оці-
нки моделей використано не менше тисячі реалі-
зацій. Розмах флуктуацій обмежено, як на рис. 2.
КОМПЛЕКСНІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ ВДЕ ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2017. № 4 41
Таблиця 1. Результати застосування математичних моделей
Table 1. Results of the mathematical models application
Модель φ1 β
σ,
кВт
Середнє,
кВт
СКВ загальне,
кВт
СКВ міждобове,
кВт
Факт – – – 1463 337 96
АР(1) 0,95 0,1* 54* 1467 348 115
О.-У. 0,84* 0,34 32 1462 332 95
* параметри φ1, σ (АР) та β (О.-У.) перераховані відповідно до даної моделі.
Реальний процес у даному випадку ближчий
до моделі О.-У. Модель АР(1) відповідає меншим
значенням β, коли процес наближається до зви-
чайного вінерівського блукання, а траєкторія U(t)
тривалий час може знаходитись вище чи нижче
середнього значення, проте не віддаляючись над-
то далеко. Доступний коридор, в якому відбува-
ються блукання, при зменшенні β розширюється.
Натомість при зростанні β процес частіше перети-
нає середнє значення та наближається за поведін-
кою до білого шуму. Поведінка реальних флукту-
ацій рівня споживання з модельованими вказує на
якісно ближчий до моделі О.-У. характер мінливо-
сті, абсолютні показники (табл. 1) також ближчі.
Висновки. Математичне моделювання ди-
намічної системи, що включає процеси генеру-
вання та споживання електроенергії, можливе,
якщо опис обох процесів виконано в однакових
термінах. Для процесу споживання пропонується
модель на базі стохастичних процесів. Важливим
кроком при цьому є забезпечення стаціонарності
досліджуваного процесу. Необхідна стаціонар-
ність досягається застосуванням декомпозиції
процесу, як випадкової функції, з урахуванням
реальної циклічності процесів споживання елект-
ричної енергії. Модель авторегресії дає дещо за-
вищений розкид випадкових відхилень (збурень
процесу), обумовлений особливостями моделю-
вання; такий підхід більше прийнятний для коро-
ткострокового прогнозу поведінки динамічної
системи. Натомість моделювання стохастичними
диференційними рівняннями типу Орнштейна-
Уленбека забезпечує кращий результат, придатний
для часових інтервалів від кількох діб до місяця.
1. Кузнецов Н.П. Математическое моделирование ра-
боты ветровых электростанций // Альтернативная энергети-
ка и экология. – 2013. – № 3. – С. 79–83.
2. Кузнєцов М.М. Моделювання спільної роботи вітро-
вої та сонячної електростанцій // Відновлювана енергетика.
– 2016, № 1. – С.12-16.
3. Єдиний державний веб-портал відкритих даних.
[Електронний ресурс] / Режим доступу: http://data.gov.ua.
4. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных про-
цессов в примерах и задачах. – М.: Физматлит, 2002.– 320с.
5. Приймак М.В. Метод пуассонівського періодичного
білого шуму в задачах моделювання стохастично періодич-
них вхідних потоків енергосистем. – Київ: Праці ІЕД НАН
України, 2000. – С. 76–81.
6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – 9-е изд. М.:
Academia, 2003. – 576 с.
7. Бендат Д., Пирсол А. Прикладной анализ случайных
данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.
8. Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в
системе STATISTICA в среде Windows. – М.: Финансы и
статистика, 2006. – 368 с.
9. Olsson M., Perninge M., Soder L. Modeling real-time
balancing power demands in wind power systems using stochas-
tic differential equations. Electric Power Systems Research –
2010, № 80. – P. 966-974.
10. Степанов С.С. Стохастический мир. Электронная
версия книги. – 376 с. [Електронный ресурс] / Режим досту-
па: http://www.synset.com/ru.
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
РЕЖИМА ПОТРЕБЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
Кузнецов Николай Петрович, д.т.н.
Институт возобновляемой энергетики НАН Украины, 02094,
м. Киев, ул. Гната Хоткевича, 20А,
тел./факс +38-044-206-28-09, e-mail: renewable@ukr.net
ORCID: 0000-0002-2789-8055
Внедрение возобновляемой энергетики требует учета фак-
торов ее влияния на работу энергосистем. Одним из таких
факторов является случайный характер текущей мощно-
сти возобновляемых источников энергии, который накла-
дывается на переменный режим потребления электроэнер-
гии. Оценка баланса уровней генерации и потребления тре-
бует построения адекватных аналитических моделей. Ха-
рактер колебаний мощности различных групп потребите-
лей может иметь различия, однако допускает определен-
ные обобщения. Применение методов теории случайных
процессов и статистического анализа позволяет сформи-
ровать математические модели, которые достаточно
КОМПЛЕКСНІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ ВДЕ ISSN 1819-8058
Відновлювана енергетика. 2017. № 4 42
адекватно описывают реальные процессы потребления
электроэнергии. Библ. 10, табл. 1, рис. 7.
Ключевые слова: потребление электроэнергии, математи-
ческая модель, случайный процесс, корреляционная функция,
авторегрессия.
REFERENCES
1. Kuznietsov M. Mathematical modeling of wind power
stations operation // Alternative energy and ecology. – 2013. –
№ 3. – Р. 79–83. (Rus.)
2. Kuznietsov M. Modeling of the wind and solar power
common work // Vidnovluvana energetіka. – 2016, vol.1. – P.12-
16. (Ukr.)
3. The unified public web portal for open data [Electronic
resource] / Access mode: http://data.gov.ua. (Ukr.)
4. Miller B., Pankov A. Theory of random processes in ex-
amples and problems. – M.: Fizmatlit, 2002. – 320 p. (Rus.)
5. Pryjmak M. Method of Poisson periodic white noise in
problems of modeling of stochastically periodic input flows of
power systems. – Kyiv: Proceedings of the IED NASU, 2000. –
P.76-81. (Ukr.)
6. Wentzel E. Theory of Probability. – 9 ad. M .: Acade-
mia, 2003. – 576 р. (Rus.)
7. Bendat J., Piersol A. Random data analysis and meas-
urement procedures. – M.: Mir, 1989. – 540 p. (Rus.)
8. Borovikov V., Ivchenko G. Forecasting in STATISTICA
system in Windows environment. – Moscow: Finance and Statis-
tics, 2006. – 368 р. (Rus.)
9. Olsson M., Perninge M., Soder L. Modeling real-time
balancing power demands in wind power systems using stochas-
tic differential equations. Electric Power Systems Research –
2010, № 80. – P. 966-974.
10. Stepanov S.S. Stochastic world. Electronic version of
the book: – 376 с. [Electronic resource] / Access mode:
http://www.synset.com/ru. (Rus.)
SYNOPSIS
The large-scale implementation of renewable energy re-
quires alignment with the real conditions of electricity consump-
tion. The balance of generation and energy consumption is a
dynamic process. Since the work of renewable energy depends
on weather factors and is modeled using stochastic processes, the
same approach is proposed for the consumption process. This
will allow us to estimate the variability of the energy balance and
determine the possibilities of balance reliability ensuring. To
determine the parameters of the mathematical model, the actual
modes of electricity consumption are used, described in terms of
time series. An important step in this case is to ensure the steady
state of the investigated process. An acceptable method is the
decomposition of the process, as a random function, within the
framework of the general linear model. In this case, the general
process is divided into a deterministic averaged component, a
discrete random component, and a continuous stationary process.
Analysis of actual data on consumers of different levels, as par-
ticular individual settlements, regional and general energy sys-
tems, obtained for different time intervals, indicates a qualitative
similarity of random components of the consumption process.
Identification of the mathematical model indicates the possibility
of applying of two- or one-parameter autoregression. A com-
parative evaluation of the accuracy of different models is per-
formed. Determining the parameters of the model as solutions of
the stochastic differential equation Ornstein-Uhlenbeek provides
a high similarity of the mathematical model with real processes.
РЕФЕРАТ
Масштабное внедрение возобновляемых источников
энергии требует согласования с реальными условиями по-
требления электроэнергии. Баланс генерации и потребления
энергии является динамическим процессом. Поскольку ра-
бота возобновляемых источников энергии зависит от погод-
ных факторов и моделируется с помощью стохастических
процессов, такой же подход предлагается для процесса по-
требления. Это позволит оценить вариативность энергетиче-
ского баланса и определить возможности обеспечения ба-
лансовой надежности. Для определения параметров матема-
тической модели используются фактические режимы по-
требления электроэнергии, описаны в терминах временных
рядов. Важным шагом при этом является обеспечение ста-
ционарности исследуемого процесса. Приемлемым методом
является декомпозиция процесса, как случайной функции, в
рамках общей линейной модели. При этом достигается раз-
деление общего процесса на детерминированную осреднен-
ную составляющую, дискретную случайную составляющую
и непрерывный стационарный процесс. Анализ фактических
данных для потребителей разного уровня, в том числе от-
дельных населенных пунктов, региональной и общей энер-
госистем, полученных для разных временных интервалов,
свидетельствует о качественной сходство случайных со-
ставляющих процесса потребления. Идентификация матема-
тической модели указывает на возможность применения
двух или однопараметрической авторегрессии. Выполнен
сравнительную оценку точности различных моделей. Опре-
деление параметров модели как решений стохастического
дифференциального уравнения Орнштейна-Уленбека обес-
печивает высокую сходство математической модели с ре-
альными процессами.
Стаття надійшла до редакції 17.10.17
Остаточна версія 01.12.17
|
| id | veorgua-article-19 |
| institution | Vidnovluvana energetika |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:02:10Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | veorgua/2b/77ae88920f605bfa9917ba4e3038c62b.pdf |
| spelling | veorgua-article-192026-07-18T06:32:06Z CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRICITY CONSUMPTION MODE ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕЖИМА ПОТРЕБЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ РЕЖИМУ СПОЖИВАННЯ ЕЛЕКТРОЕНЕРГІЇ Kuznietsov, M. P. electricity consumption mathematical model random process correlation function autoregression споживання електроенергії математична модель випадковий процес кореляційна функція авторегресія потребление электроэнергии математическая модель случайный процесс корреляционная функция авторегрессия Впровадження відновлюваної енергетики потребує врахування факторів її впливу на роботу енергосистем. Одним з таких факторів є випадковий характер поточної потужності відновлюваних джерел енергії, що накладається на змінний режим споживання електроенергії. Оцінка балансу рівнів генерації та споживання  потребує побудови адекватних аналітичних моделей. Характер коливань потужності різних груп споживачів може мати відмінності, проте допускає певні узагальнення. Застосування методів теорії випадкових процесів та статистичного аналізу дозволяє сформувати математичні моделі, які досить адекватно описують реальні процеси споживання електроенергії. Масштабное внедрение возобновляемых источников энергии требует согласования с реальными условиями потребления электроэнергии. Баланс генерации и потребления энергии является динамическим процессом. Поскольку работа возобновляемых источников энергии зависит от погодных факторов и моделируется с помощью стохастических процессов, такой же подход предлагается для процесса потребления. Это позволит оценить вариативность энергетического баланса и определить возможности обеспечения балансовой надежности. Для определения параметров математической модели используются фактические режимы потребления электроэнергии, описаны в терминах временных рядов. Важным шагом при этом является обеспечение стационарности исследуемого процесса. Приемлемым методом является декомпозиция процесса, как случайной функции, в рамках общей линейной модели. При этом достигается разделение общего процесса на детерминированную осредненную составляющую, дискретную случайную составляющую и непрерывный стационарный процесс. Анализ фактических данных для потребителей разного уровня, в том числе отдельных населенных пунктов, региональной и общей энергосистем, полученных для разных временных интервалов, свидетельствует о качественной сходство случайных составляющих процесса потребления. Идентификация математической модели указывает на возможность применения двух или однопараметрической авторегрессии. Выполнен сравнительную оценку точности различных моделей. Определение параметров модели как решений стохастического дифференциального уравнения Орнштейна-Уленбека обеспечивает высокую сходство математической модели с реальными процессами. The large-scale implementation of renewable energy requires alignment with the real conditions of electricity consumption. The balance of generation and energy consumption is a dynamic process. Since the work of renewable energy depends on weather factors and is modeled using stochastic processes, the same approach is proposed for the consumption process. This will allow us to estimate the variability of the energy balance and determine the possibilities of balance reliability ensuring. To determine the parameters of the mathematical model, the actual modes of electricity consumption are used, described in terms of time series. An important step in this case is to ensure the steady state of the investigated process. An acceptable method is the decomposition of the process, as a random function, within the framework of the general linear model. In this case, the general process is divided into a deterministic averaged component, a discrete random component, and a continuous stationary process. Analysis of actual data on consumers of different levels, as particular individual settlements, regional and general energy systems, obtained for different time intervals, indicates a qualitative similarity of random components of the consumption process. Identification of the mathematical model indicates the possibility of applying of two- or one-parameter autoregression. A com-parative evaluation of the accuracy of different models is performed. Determining the parameters of the model as solutions of the stochastic differential equation Ornstein-Uhlenbeek provides a high similarity of the mathematical model with real processes. Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2017-12-14 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/19 Vidnovluvana energetika ; No. 4 (51) (2017): Scientific and Applied Journal Vidnovluvana energetika; 33-42 Возобновляемая энергетика; ##issue.no## 4 (51) (2017): Научно-прикладной журнал Возобновляемая энергетика; 33-42 Відновлювана енергетика; № 4 (51) (2017): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 33-42 2664-8172 1819-8058 uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/19/13 Copyright (c) 2017 M. P. Kuznietsov https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | electricity consumption mathematical model random process correlation function autoregression Kuznietsov, M. P. CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRICITY CONSUMPTION MODE |
| title | CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRICITY CONSUMPTION MODE |
| title_alt | ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕЖИМА ПОТРЕБЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ РЕЖИМУ СПОЖИВАННЯ ЕЛЕКТРОЕНЕРГІЇ |
| title_full | CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRICITY CONSUMPTION MODE |
| title_fullStr | CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRICITY CONSUMPTION MODE |
| title_full_unstemmed | CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRICITY CONSUMPTION MODE |
| title_short | CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRICITY CONSUMPTION MODE |
| title_sort | construction of a mathematical model of electricity consumption mode |
| topic | electricity consumption mathematical model random process correlation function autoregression |
| topic_facet | electricity consumption mathematical model random process correlation function autoregression споживання електроенергії математична модель випадковий процес кореляційна функція авторегресія потребление электроэнергии математическая модель случайный процесс корреляционная функция авторегрессия |
| url | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/19 |
| work_keys_str_mv | AT kuznietsovmp constructionofamathematicalmodelofelectricityconsumptionmode AT kuznietsovmp postroeniematematičeskojmodelirežimapotrebleniâélektroénergii AT kuznietsovmp pobudovamatematičnoímodelírežimuspoživannâelektroenergíí |