HEAT EXCHANGE DURING THE MOVEMENT OF THE GEOTHERMAL HEAT CARRIER IN THE WELL
The process of heat transfer during the movement of a geothermal coolant in a well can be described by a system of two equations of a parabolic type. One of the equations describes the process of heat transfer in the rock mass surrounding the well, and the second equation describes the heat transfer...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
2022
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/378 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Vidnovluvana energetika |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Vidnovluvana energetika| _version_ | 1871103590371688448 |
|---|---|
| author | Morozov, Y. Zhokhin, А. |
| author_facet | Morozov, Y. Zhokhin, А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Y. Morozov",
"institution": "Institute of Renewable Energy of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, Ukraine."
},
{
"author": "А. Zhokhin",
"institution": "Institute of Renewable Energy of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, Ukraine."
}
] |
| author_sort | Morozov, Y. |
| baseUrl_str | https://ve.org.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T06:32:17Z |
| description | The process of heat transfer during the movement of a geothermal coolant in a well can be described by a system of two equations of a parabolic type. One of the equations describes the process of heat transfer in the rock mass surrounding the well, and the second equation describes the heat transfer of the fluid during its movement in the well. The initial and boundary conditions take into account the geothermal gradient in the well and the pattern of heat exchange between the rock mass and the geothermal fluid.
The solution to the problem of heat transfer in a geothermal well during the movement of a coolant in the well was obtained by a finite difference tool using the Runge-Kutta-Merson method, which is one of the modifications of the Runge-Kurt method of the fourth order of accuracy and differs from it in the ability to estimate the error. depending on this, make a decision to change the integration step and thus significantly reduce the time for solving the differential equation.
Calculations of the temperature field of the mountain range on five horizons are given in graphical form.
Calculations of the temperature of the geothermal carrier are given by solving the corresponding problem obtained by the method. |
| doi_str_mv | 10.36296/1819-8058.2022.4(71).83-89 |
| first_indexed | 2025-07-17T11:38:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
83
Відновлювана енергетика. №4/2022 | Геотермальна енергетика
УДК 504.43; 621.577.2 https://doi.org/10.36296/1819-8058.2022.4(71)83-89
ТЕПЛООБМІН ПРИ РУСІ ГЕОТЕРМАЛЬНОГО ТЕПЛОНОСІЯ У СВЕРДЛОВИНІ
Отримано 05 груд. 2022; рекомендовано до публікації 27 груд. 2022
Доступно онлайн 30 груд. 2022
Ю. П. Морозов1, А. С. Жохін 2
Автор для коресподенції: Юрій Морозов,
e-mail: geotherm@ukr.net
Процес теплообміну при русі геотермального теплоно-
сія у свердловині можна описати системою двох рівнянь
параболічного типу. Одне з рівнянь описує процес теп-
лообміну в гірському масиві, що оточує свердловину, а друге рівняння − теплообмін рідини при її русі у
свердловині. Початкові та межові умови враховують геотермальний градієнт у свердловині та за-
кономірність теплообміну між гірським масивом і геотермальною рідиною.
Розв’язок задачі теплообміну в геотермальній свердловині при русі теплоносія у свердловині отри-
мано кінцево-різницевим засобом з використанням методу Рунге – Кутта − Мерсона, який є однією з
модифікацій методу Рунге − Курта четвертого порядку точності й відрізняється від нього можливі-
стю оцінювати похибку на кожному кроці й залежно від цього приймати рішення про зміну кроку ін-
тегрування. Це дає змогу значно скоротити час розв’язку диференціального рівняння.
Наведено в графічній формі розрахунки температурного поля гірського масиву на п’яти горизонтах.
Наведено розрахунки температури геотермального носія шляхом розв’язку відповідної задачі, яку
отримано аналітичним методом.
Ключові слова: геотермальна свердловина, нестаціонарний теплообмін, кінцево-різнецевий
розв’язок, гірський масив, геотермальний теплоносій.
HEAT EXCHANGE DURING THE MOVEMENT OF THE GEOTHERMAL HEAT CARRIER IN THE WELL
Received 05 Dec. 2022; accepted 27 Dec. 2022.
Available online 30 Dec. 2022
Y. Morozov1, А. Zhokhin 2
Author for correspondence: Yurii Morozov,
e-mail: geotherm@ukr.net
The process of heat transfer during the movement of a
geothermal coolant in a well can be described by a system of
two equations of a parabolic type. One of the equations describes the process of heat transfer in the rock mass
surrounding the well, and the second equation describes the heat transfer of the fluid during its movement in
the well. The initial and boundary conditions take into account the geothermal gradient in the well and the
pattern of heat exchange between the rock mass and the geothermal fluid.
The solution to the problem of heat transfer in a geothermal well during the movement of a coolant in the well
was obtained by a finite difference tool using the Runge-Kutta-Merson method, which is one of the
modifications of the Runge-Kurt method of the fourth order of accuracy and differs from it in the ability to
estimate the error. depending on this, make a decision to change the integration step and thus significantly
reduce the time for solving the differential equation.
Calculations of the temperature field of the mountain range on five horizons are given in graphical form.
1 д-р тех. наук.
http://orcid.org/0000-0003-1632-9735
2 канд. фіз.-мат. наук.
https://orcid.org/0000-0001-7826-6608
1,2 Інститут відновлюваної енергетики НАН
України, м. Київ.
1 Doctor of Technical Sciences.
http://orcid.org/0000-0003-1632-9735
2 Candidate of Physical and Mathematical
Sciences.
https://orcid.org/0000-0001-7826-6608
Institute of Renewable Energy of the National
Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, Ukraine.
84
Відновлювана енергетика. №4/2022 | Геотермальна енергетика
Calculations of the temperature of the geothermal carrier are given by solving the corresponding problem
obtained by the method.
Keywords: geothermal well, non-stationary heat transfer, finite difference solution, rock mass, geothermal
coolant.
Вступ. Теплообмін між теплоносієм, що рухається в гео-
термальній свердловині й оточуючим свердловину гір-
ським масивом відбувається внаслідок перепаду темпе-
ратури між геотермальним теплоносієм і гірським маси-
вом. Температура геотермального теплоносія на гли-
бині проникного пласта постійна і визначається глиби-
ною свердловини. Свердловина, яку оточує гірський ма-
сив, має температуру, що визначається геотермальним
градієнтом.
Припускається, що теплообмін між свердловиною і гір-
ським масивом відбувається при врахуванні горизонта-
льного і вертикального розподілу поля температури в
масиві і вертикальному розподілі поля температури у
свердловині, при усередненні горизонтального розпо-
ділу температури у свердловині.
Вивчаємо поведінку еволюції температурних полів у
свердловині й гірському масиві при великих проміжках
часу, вихід температур на рівноважні (асимптотичні) ре-
жими. Використовуємо два методи розрахунку: пер-
ший − різницевий метод для диференціальних рівнянь
переносу тепла; другий − використання асимптотичних
рівнянь для розрахунку температури у свердловині.
Рівняння руху нагрітої води по свердловині й теплопе-
редача від води до масиву ґрунту
Розглядаємо систему двох рівнянь у частинних похідних
параболічного типу:
𝜕𝜕𝑡𝑡1
𝜕𝜕𝜕𝜕
=a1
𝜕𝜕2𝑡𝑡1
𝜕𝜕𝑟𝑟2
+a1
1
𝑟𝑟
𝜕𝜕𝑡𝑡1
𝜕𝜕𝜕𝜕
+a1
𝜕𝜕2𝑡𝑡1
𝜕𝜕𝑧𝑧2
. (1)
𝜕𝜕𝑡𝑡2
𝜕𝜕𝜕𝜕
=a2
𝜕𝜕2𝑡𝑡2
𝜕𝜕𝑧𝑧2
+ω 𝜕𝜕𝑡𝑡2
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑉𝑉
𝑞𝑞𝑉𝑉 = 2𝜆𝜆
𝑅𝑅
𝜕𝜕𝑡𝑡2
𝜕𝜕𝜕𝜕
,r=R
(2)
Вона описує рух нагрітої води по свердловині й тепло-
передачу від води до масиву ґрунту. Тут t1 означає тем-
пературне поле в масиві ґрунту, а t2 − середнє значення
температури у свердловині. Доданок qv визначає тепло-
обмін між свердловиною і ґрунтом, він є умовно джере-
лом тепла.
Початкові умови задовольнять виконання постійного
градієнта температури по вертикалі:
𝑡𝑡1(r,z,t=0)=T0+Γz,𝑡𝑡2(r,z,t=0)=T0+Γz (3)
Обмін тепла також враховується на межі свердловини
та ґрунту.
Межові умови для системи рівнянь (1)−(2) беруть такі:
𝜕𝜕𝑇𝑇1
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 0,r=∞; 𝜆𝜆 𝜕𝜕𝑇𝑇1
𝜕𝜕𝜕𝜕
=α(𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1),r=R; 𝜕𝜕𝑇𝑇2
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 0,z=0,z=L.
(4)
Параметри системи означають:
𝜔𝜔 − води свердловині
𝑅𝑅 − радіус свердловини
𝑎𝑎1 − коефіцієнт теплопровідності ґрунту
𝑎𝑎2 − коефіцієнт теплопровідності води
𝑇𝑇0 − температура на поверхні (мінімальна температура)
𝑇𝑇1 − температура на максимальній глибині
(максимальна температура)
L − глибина свердловини
Г − градієнт початкової температури
Вони рівні значенням:
ω=0,1м с;R=⁄ 0,1;a1 = 97 ∗ 10-8;a2 = 15 ∗ 10-8;
𝑇𝑇0 = 20C;T1 = 120C;L=5000м; Γ=0,002 (6)
Для чисельного моделювання й отримання наближених
чисельних розв’язків проводиться дискретизація си-
стеми рівнянь за просторовими координатами на сітці
вузлів �𝑟𝑟𝑖𝑖,z𝑖𝑖�. Отримаємо систему звичайних диференці-
альних рівнянь, яку розв’язуємо методами Рунге –
Кутта − Мерсона.
Далі наведений опис такого підходу.
Метод чисельного розв’язання диференціальних рів-
нянь у частинних похідних
Маємо таке диференціальне рівняння параболічного
типу:
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
=a 𝜕𝜕2𝑇𝑇
𝜕𝜕𝑟𝑟2
+a 1
𝑟𝑟
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
+a 𝜕𝜕2𝑇𝑇
𝜕𝜕𝑧𝑧2
+ω 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
. (7)
Для його чисельного розв’язання застосуємо дискретну
апроксимацію по простору, залишаючи неперервним
час. Тобто зводимо диференціальне рівняння в частин-
них похідних до звичайних диференціальних рівнянь.
𝜕𝜕2𝑇𝑇
𝜕𝜕𝑅𝑅2
≈ 1
ΔR
�𝑇𝑇𝑖𝑖−1,j − 2𝑇𝑇i,j+Ti+1,j�=Φij(𝑡𝑡), (8)
𝜕𝜕2𝑇𝑇
𝜕𝜕𝑧𝑧2
≈ 1
Δz
�𝑇𝑇i,j−1 − 2𝑇𝑇i,j+Ti,j+1�=Ψij(𝑡𝑡),
1
𝑟𝑟
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
≈ 1
2iΔr2
�𝑇𝑇i+1,j − 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,j� = 𝛺𝛺ij(𝑡𝑡),
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
≈ 1
2jΔz2
�𝑇𝑇i,j+1 − 𝑇𝑇i,j−𝑞𝑞�=Πij(𝑡𝑡),
dTij
dt
=aΦij(𝑡𝑡)+aΨij(𝑡𝑡)+a𝛺𝛺ij(𝑡𝑡)+ωΠij(𝑡𝑡)=Θij(𝑡𝑡). (9)
А далі до звичайних диференціальних рівнянь застосо-
вуємо метод Рунге − Кутта − Мерсона, який реалізова-
85
Відновлювана енергетика. №4/2022 | Геотермальна енергетика
ний в стандартних комп’ютерних бібліотеках наукових
програм чисельних методів (наприклад, програму
MERSON з бібліотеки CERN).
Метод Рунге – Кутта − Мерсона
Метод Рунге – Кутта − Мерсона є однією з модифікацій
методу Рунге – Кутта й відрізняється від нього можливі-
стю оцінювати похибку на кожному кроці й в залежності
від цього приймати рішення про зміну кроку інтегру-
вання. Це дає змогу значно скоротити час розв’язку ди-
ференціального рівняння. Для того щоб розглянути цей
алгоритм детальніше, запишемо диференціальне рів-
няння виду:
dy
dx
=f(x,y) (10)
з початковою умовою 𝑦𝑦(𝑥𝑥0)=y0. Далі, задавши початко-
вий крок інтегруванняℎ та точність 𝜀𝜀, на кожному кроці
обчислюємо коефіцієнти:
𝑘𝑘1=hf�𝑥𝑥𝑖𝑖,y𝑖𝑖�
𝑘𝑘2=hf �𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ
3
,y𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1
3
�
𝑘𝑘3=hf �𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ
3
,y𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1
6
+ 𝑘𝑘2
6
�
𝑘𝑘4=hf �𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ
2
,y𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1
8
+ 3𝑘𝑘3
8
�
𝑘𝑘5=hf �𝑥𝑥𝑖𝑖+h,y𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1
2
− 3𝑘𝑘3
2
+ 2𝑘𝑘4�,
після чого послідовні значення шуканої функції ви-
значаються за такою формулою:
𝑦𝑦i+1=y𝑖𝑖 + (𝑘𝑘1 + 4𝑘𝑘4+k5)
Схема Мерсона, на відміну від методу Рунге − Кутта,
на кожному кроці вимагає обчислення значення правої
частини диференціального рівняння (10) в п’яти точ-
ках, за рахунок лише одного додаткового параметра .
Також слід відмітити, що для автоматичного вибору
кроку інтегрування, на кожному кроці, за формулою (4),
визначають похибку отриманого значення.
R= ℎ
30
(−2𝑘𝑘1 − 9𝑘𝑘3 − 8𝑘𝑘4+k5) (11)
Крок зменшується (збільшується) в два рази при 𝑅𝑅 ≥ 𝜀𝜀
(𝑅𝑅 ≤ 𝜀𝜀) під час розрахунків.
Обґрунтування методу чисельного розрахунку
Дискретизація в просторі приводить нас до звичайних
еволюційних диференціальних рівнянь першого по-
рядку з початковими умовами, ми отримуємо задачу
Коші. Метод Мерсона, що базується на методі Рунге −
Кутта, дає змогу при чисельних розрахунках відстежу-
вати похибки на кроках по часу, адаптувати крок інте-
грування й отримати задану точність розв’язків. Від тра-
диційних сіткових методів розв’язку параболічних рів-
нянь з фіксованими сітками розбиття часу і простору та-
кий підхід дає виграш у можливості змінювати часовий
крок. Також точність інтегрування по часу має порядок
четвертого ступеня кроку, а не першого. Тобто маємо
виграш в часі і гарантію точності і стійкості розрахунків.
Аналогічні методи використовуються для розрахунків
моделей розподілених циліндричних хімічних реакто-
рів.
Результати чисельного експерименту
Розрахунки на горизонтах
Z = {4515 m; 3390 m; 2100 m,1130 m; 325 m; }
Температурне поле гірського масиву на різних глибинах
при відкачуванні геотермального теплоносія (рис. 1−5).
Рис. 2. Температурне поле гірського масиву на глибині
Z = 3390 m
Fig. 2. Temperature field of the mountain range at depth Z
= 3390 m
Рис. 1. Температурне поле гірського масиву на глибині
Z = 4515 m
Fig. 1. Temperature field of the mountain range at depth
Z = 4515 m
86
Відновлювана енергетика. №4/2022 | Геотермальна енергетика
Розподіл температури теплоносія на 161 м при різних
швидкостях (потужності) потоку.
Накачка води у свердловину. Розрахунки на горизонтах
Z={4515 m; 3390 m; 2100 m,1130 m; 325 m; }
Температурне поле свердловини при закачуванні охо-
лодженого геотермального теплоносія при t0 = 20 oC
(рис. 6−10).
Рис. 6. Температурне поле гірського масиву
свердловини на глибині Z = 4515 m
Fig. 6. Temperature field of the borehole rock mass
at depth Z = 4515 m
Рис. 7. Температурне поле гірського масиву свердло-
вини на глибині Z = 3390 m
Fig. 7. Temperature field of the borehole rock mass at
depth Z = 3390 m
Рис. 4. Температурне поле гірського масиву на глибині
Z = 1130 m
Fig. 4. Temperature field of the mountain range at depth
Z = 1130m
Рис. 3. Температурне поле гірського масиву на
глибині Z = 2100 m
Fig. 3. Temperature field of the mountain range at depth
Z = 2100 m
Рис. 5. Температурне поле гірського масиву на глибині
Z = 325 m
Fig. 5. Temperature field of the mountain range at depth
Z = 325 m
87
Відновлювана енергетика. №4/2022 | Геотермальна енергетика
Усталений асимптотичний розподіл температури тепло-
носія по глибині свердловини при різних значеннях по-
тужності потоку і часу
Робота являла собою розрахунки асимптотичного розпо-
ділу температури води (теплоносія) по висоті у вертикаль-
них добувних свердловинах залежно від параметра свер-
дловини та стаціонарного потоку. Розрахунки проводили
на основі формули, представленої в роботах [1−5].
Вид її такий:
𝑡𝑡 = 𝑡𝑡0𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(−𝐴𝐴𝐴𝐴) − 𝛤𝛤𝛤𝛤 + �𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝛤𝛤 𝐴𝐴⁄ ��1 − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(−𝐴𝐴𝐴𝐴)�
Параметр A залежить від часу експлуатації свердловини
τ, па потужності потоку води W (м3//год). Його значення
наведені в табл. 1.
Розподіл температури теплоносія у свердловині по висоті
потужності W (куб. м3/год) на різних висотах (час−темпе-
ратура) наведено в графіках (рис. 11–13). Висоти Z 1000 м,
2000 м, 4000 м, 5000 м}, потужності W = {10 м3//год, 50
м3//год, 150 м3//год, 250 м3//год} (рис. 14−17).
Таблиця 1. Значення параметра A залежно від потужності потоку при часі експлуатації свердловини τ = 200,
τ = 400,τ = 800,τ = 1000,τ = 4000,τ = 8000 год
Table 1. The value of the parameter A on the flow rate at the time of operation of the well τ = 200, τ = 400, τ = 800,
τ = 1000, τ = 4000, τ = 8000 hours
А при W =
10 м3//год
А при W =
50 м3//год
А при W =
100 м3//год
А при W =
150 м3//год
А при W =
200 м3//год
А при W =
250 м3//год
0.0007053 0.000141057 0.0000705286 0.0000470191 0.0000352643 0.0000282115
0.0006048 0.000120955 0.0000604777 0.0000403185 0.0000302388 0.0000241911
0.0005264 0.000105282 0.000052641 0.000035094 0.0000263205 0.0000210564
0.0005049 0.000100973 0.0000504867 0.0000336578 0.0000252433 0.0000201947
0.0004002 0.0000800383 0.0000400191 0.0000266794 0.0000200096 0.0000160077
0.0003617 0.0000723441 0.0000361721 0.0000241147 0.000018086 0.0000144688
Рис. 10. Температурне поле гірського масиву свердло-
вини на глибині Z = 325 m
Fig. 10.Temperature field of the borehole rock mass at
d th Z 325
Рис. 9. Температурне поле гірського масиву свердло-
вини на глибині Z = 1130 m
Fig. 9. Temperature field of the borehole rock mass at
depth Z = 1130 m
Рис. 8. Температурне поле гірського масиву свердло-
вини на глибині Z = 2100 m
Fig. 8. Temperature field of the borehole rock mass at
depth Z = 2100 m
88
Відновлювана енергетика. №4/2022 | Геотермальна енергетика
Рис. 11. Розподіл температури теплоносія у свердло-
вині по висоті при потужності W = 250 (м3/год)
Fig. 11. Distribution of coolant temperature in the well
along the height at power W =250 (m3/hour)
200.00 116.94 113.41 109.42 104.98 102.60 100.11
400.00 117.37 114.32 110.87 107.03 104.96 102.80
800.00 117.71 115.05 112.02 108.65 106.83 104.92
1000.00 117.80 115.24 112.34 109.09 107.34 105.51
4000.00 118.25 116.22 113.89 111.29 109.88 108.41
8000.00 118.42 116.57 114.47 112.11 110.83 109.49
Рис. 12. Розподіл температури теплоносія у свердло-
вині по висоті при потужності W =150 (м3/год)
Fig. 12. Distribution of coolant temperature in the well
along the height at power W = 150 (m3/hour)
200.00 114.94 109.20 102.80 95.78 92.05 88.16
400.00 115.65 110.68 105.12 98.99 95.72 92.31
800.00 116.20 111.85 106.96 101.54 98.64 95.62
1000.00 116.36 112.17 107.47 102.25 99.46 96.55
4000.00 117.10 113.76 109.97 105.76 103.49 101.13
8000.00 117.38 114.34 110.90 107.07 105.01 102.85
Рис. 13. Розподіл температури теплоносія у свердло-
вині по висоті при потужності W = 50 (м3/год)
Fig. 13. Distribution of coolant temperature in the well
along the height at power W = 50 (m3/hour)
200.00 105.50 90.27 74.42 58.02 49.64 41.15
400.00 107.45 94.04 79.89 65.07 57.43 49.66
800.00 108.99 97.08 84.37 70.92 63.95 56.82
1000.00 109.42 97.93 85.63 72.59 65.81 58.88
4000.00 111.53 102.17 91.99 81.06 75.33 69.43
8000.00 112.31 103.77 94.43 84.34 79.03 73.56
Рис. 14. Розподіл температури теплоносія у свердло-
вині при різних потужностях на висоті Z = 5000 м
Fig. 14. Distribution of coolant temperature in the well at
different capacities at height Z = 5000 m
200.00 -49.54 41.15 74.55 88.16 95.51 100.11
400.00 -43.68 49.66 80.20 92.31 98.78 102.80
800.00 -37.55 56.82 84.78 95.62 101.37 104.92
1000.00 -35.55 58.88 86.07 96.55 102.09 105.51
4000.00 -23.26 69.43 92.50 101.13 105.64 108.41
8000.00 -17.38 73.56 94.93 102.85 106.97 109.49
Рис. 15. Розподіл температури теплоносія у свердло-
вині при різних потужностях на висоті Z = 4000 м
Fig. 15. Distribution of coolant temperature in the well
along the height at power Z = 4000 m
200.00 -27.38 58.02 85.12 95.78 101.46 104.98
400.00 -20.97 65.07 89.57 98.99 103.96 107.03
800.00 -14.46 70.92 93.15 101.54 105.94 108.65
1000.00 -12.37 72.59 94.15 102.25 106.49 109.09
4000.00 0.07 81.06 99.13 105.76 109.19 111.29
8000.00 5.81 84.34 101.01 107.07 110.20 112.11
Рис. 16. Розподіл температури теплоносія у свердло-
вині при різних потужностях на висоті Z = 2000 м
Fig. 16. Distribution of coolant temperature in the well
along the height at power Z = 2000 m
200.00 25.84 90.27 104.15 109.20 111.81 113.41
89
Відновлювана енергетика. №4/2022 | Геотермальна енергетика
400.00 33.04 94.04 106.28 110.68 112.95 114.32
800.00 39.63 97.08 107.97 111.85 113.84 115.05
1000.00 41.61 97.93 108.44 112.17 114.08 115.24
4000.00 52.44 102.17 110.75 113.76 115.29 116.22
8000.00 56.98 103.77 111.61 114.34 115.73 116.57
Рис. 17. Розподіл температури теплоносія у свердло-
вині при різних потужностях на висоті Z = 1000 м
Fig. 17. Distribution of coolant temperature in the well
along the height at power Z = 1000 m
200.00 63.75 105.50 112.50 114.94 116.19 116.94
400.00 69.63 107.45 113.54 115.65 116.72 117.37
800.00 74.62 108.99 114.35 116.20 117.14 117.71
1000.00 76.06 109.42 114.58 116.36 117.26 117.80
4000.00 83.50 111.53 115.68 117.10 117.82 118.25
8000.00 86.43 112.31 116.09 117.38 118.03 118.42
Висновок. Розрахунки за допомогою аналітичного
розв’язку задач дають якісно схожі результати з мето-
дом розрахунку теплових полів різницевим методом.
Оскільки вони є наближеними методами, точний збіг
результатів розрахунків важко отримати. Але прибли-
зну еволюцію в часі температурних полів у свердловині
й гірському масиві можна розраховувати цими мето-
дами.
ПОСИЛАННЯ
1. A. N. Ford Versypt and R. D. Braatz, “Analysis of Finite
Difference Discretization Schemes for Diffusion in
Spheres with Variable Diffusivity,” Computers and
Chemical Engineering. 2014. 71. Р. 241–252.
2. J. Christiansen, "Numerical solution of ordinary
simultaneous differential equations of the 1st order
using a method for automatic step change"Numer.
Math. 1970. 14. P. 317–324.
3. J. C. Butcher, "The numerical analysis of ordinary
differential equations. Runge-Kutta and general linear
methods". Wiley. 1987.
4. R. H. Merson, "An operational method for the study of
integration processes". Proc. Symp. Data Processing.
Weapons Res. Establ. Salisbury. Salisbury. 1957. P. 110–
125.
5. E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner, "Solving ordinary
differential equations". I. Nonstiff problems. Springer.
1987.
6. Kutta −Merson method. Encyclopedia of Mathematics.
URL:http://www.encyclopediaofmath.org/index.p
hp?title=Kutta −Merson_method&oldid=33669
7. H. J. Ramey (1962) Wellbore Heat Transmission. Journal
of Petroleum Technology 1962. 14. Р. 427−435.
https://doi.org/10.2118/96-PA.
8. А. Ю. Намиот. Теплопередача при подъеме нефти в
скважине. Тр. ВНИИ. Вып. 8. «Разработка нефтяных
месторождений и гидродинамика пласта». М.: Гос-
топтехиздат. 1956. С. 48−53.
9. А. Ю. Намиот. К вопросу об изменении температуры
по стволу нефтяной или газовой скважины. Тр.ВНИИ.
Вып. 8. «Разработка нефтяных месторождений и ги-
дродинамика пласта». М.: Гостоптехиздат, 1956. С.
53−58.
10. А. Ю. Намиот. К вопросу об изменении температуры
по стволу нефтяной и газовой скважины. М.: Гостоп-
техиздат. 1956. 184 с.
11. Ю. Д. Дядькин, С. Г. Гендлер, Н. Н. Смирнова. Геоте-
рмальная теплофизика. Спб.: Наука, 1993. 254 с.
REFERENCES
1. A. N. Ford Versypt and R. D. Braatz, “Analysis of Finite
Difference Discretization Schemes for Diffusion in
Spheres with Variable Diffusivity,” Computers and
Chemical Engineering. 2014. 71. Р. 241−252.
2. J. Christiansen, "Numerical solution of ordinary
simultaneous differential equations of the 1st order
using a method for automatic step change"Numer.
Math. 1970. 14. Р. 317–324.
3. J. C. Butcher, "The numerical analysis of ordinary
differential equations. Runge–Kutta and general linear
methods". Wiley. 1987.
4. R. H. Merson, "An operational method for the study of
integration processes". Proc. Symp. Data Processing.
Weapons Res. Establ. Salisbury. Salisbury. 1957. Р. 110–
125.
5. E. Hairer, S.P. Nørsett, G. Wanner, "Solving ordinary
differential equations". I. Nonstiff problems. Springer.
1987.
6. Kutta-Merson method. Encyclopedia of Mathematics.
URL:http://www.encyclopediaofmath.org/index.p
hp?title=Kutta −Merson_method&oldid=33669
7. H. J. Ramey. Wellbore Heat Transmission. Journal of
Petroleum Technology. 1962. 14. Р. 427−435.
https://doi.org/10.2118/96-PA.
8. A. Yu. Namiot. Heat transfer when lifting oil into a well.
Tr. VNII. Vol. 8. "Development of oil fields and reservoir
hydrodynamics". M.: Gostoptekhizdat. 1956. Р. 48−53.
9. A. Yu. Namiot. Regarding the temperature change along
the shaft of an oil or gas well. Tr. VNII, issue 8.
"Development of oil fields and reservoir
hydrodynamics". M.: Gostoptekhizdat. 1956. Р. 53−58.
10. A. Yu. Namiot. To the question of temperature changes
along the shaft of an oil and gas well. M.:
Gostoptekhizdat. 1956. 184 р.
11. Yu. D. Dyadkin, S. G. Gendler, N. N. Smirnova.
Geothermal thermal physics. St. Petersburg: Nauka.
1993. 254 р.
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Kutta-Merson_method&oldid=33669
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Kutta-Merson_method&oldid=33669
https://doi.org/10.2118/96-PA
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Kutta-Merson_method&oldid=33669
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Kutta-Merson_method&oldid=33669
https://doi.org/10.2118/96-PA
|
| id | veorgua-article-378 |
| institution | Vidnovluvana energetika |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:10:37Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | veorgua/81/53f810bc4e271d41cad9f325cfdf6e81.pdf |
| spelling | veorgua-article-3782026-07-18T06:32:17Z HEAT EXCHANGE DURING THE MOVEMENT OF THE GEOTHERMAL HEAT CARRIER IN THE WELL ТЕПЛООБМІН ПРИ РУСІ ГЕОТЕРМАЛЬНОГО ТЕПЛОНОСІЯ У СВЕРДЛОВИНІ Morozov, Y. Zhokhin, А. geothermal well, non-stationary heat transfer, finite difference solution, rock mass, geothermal coolant. геотермальна свердловина, нестаціонарний теплообмін, кінцево-різнецевий розв’язок, гірський масив, геотермальний теплоносій. The process of heat transfer during the movement of a geothermal coolant in a well can be described by a system of two equations of a parabolic type. One of the equations describes the process of heat transfer in the rock mass surrounding the well, and the second equation describes the heat transfer of the fluid during its movement in the well. The initial and boundary conditions take into account the geothermal gradient in the well and the pattern of heat exchange between the rock mass and the geothermal fluid. The solution to the problem of heat transfer in a geothermal well during the movement of a coolant in the well was obtained by a finite difference tool using the Runge-Kutta-Merson method, which is one of the modifications of the Runge-Kurt method of the fourth order of accuracy and differs from it in the ability to estimate the error. depending on this, make a decision to change the integration step and thus significantly reduce the time for solving the differential equation. Calculations of the temperature field of the mountain range on five horizons are given in graphical form. Calculations of the temperature of the geothermal carrier are given by solving the corresponding problem obtained by the method. Процес теплообміну при русі геотермального теплоносія у свердловині можна описати системою двох рівнянь параболічного типу. Одне з рівнянь описує процес теплообміну в гірському масиві, що оточує свердловину, а друге рівняння − теплообмін рідини при її русі у свердловині. Початкові та межові умови враховують геотермальний градієнт у свердловині та закономірність теплообміну між гірським масивом і геотермальною рідиною. Розв’язок задачі теплообміну в геотермальній свердловині при русі теплоносія у свердловині отримано кінцево-різницевим засобом з використанням методу Рунге – Кутта − Мерсона, який є однією з модифікацій методу Рунге − Курта четвертого порядку точності й відрізняється від нього можливістю оцінювати похибку на кожному кроці й залежно від цього приймати рішення про зміну кроку інтегрування. Це дає змогу значно скоротити час розв’язку диференціального рівняння. Наведено в графічній формі розрахунки температурного поля гірського масиву на п’яти горизонтах. Наведено розрахунки температури геотермального носія шляхом розв’язку відповідної задачі, яку отримано аналітичним методом. Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2022-12-30 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/378 10.36296/1819-8058.2022.4(71).83-89 Vidnovluvana energetika ; No. 4(71) (2022): Scientific and applied Journal renewable energy ; 83-89 Возобновляемая энергетика; ##issue.no## 4(71) (2022): Scientific and applied Journal renewable energy ; 83-89 Відновлювана енергетика; № 4(71) (2022): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 83-89 2664-8172 1819-8058 10.36296/1819-8058.2022.4(71) uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/378/295 Copyright (c) 2022 Y. Morozov, А. Zhokhin https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | geothermal well non-stationary heat transfer finite difference solution rock mass geothermal coolant. Morozov, Y. Zhokhin, А. HEAT EXCHANGE DURING THE MOVEMENT OF THE GEOTHERMAL HEAT CARRIER IN THE WELL |
| title | HEAT EXCHANGE DURING THE MOVEMENT OF THE GEOTHERMAL HEAT CARRIER IN THE WELL |
| title_alt | ТЕПЛООБМІН ПРИ РУСІ ГЕОТЕРМАЛЬНОГО ТЕПЛОНОСІЯ У СВЕРДЛОВИНІ |
| title_full | HEAT EXCHANGE DURING THE MOVEMENT OF THE GEOTHERMAL HEAT CARRIER IN THE WELL |
| title_fullStr | HEAT EXCHANGE DURING THE MOVEMENT OF THE GEOTHERMAL HEAT CARRIER IN THE WELL |
| title_full_unstemmed | HEAT EXCHANGE DURING THE MOVEMENT OF THE GEOTHERMAL HEAT CARRIER IN THE WELL |
| title_short | HEAT EXCHANGE DURING THE MOVEMENT OF THE GEOTHERMAL HEAT CARRIER IN THE WELL |
| title_sort | heat exchange during the movement of the geothermal heat carrier in the well |
| topic | geothermal well non-stationary heat transfer finite difference solution rock mass geothermal coolant. |
| topic_facet | geothermal well non-stationary heat transfer finite difference solution rock mass geothermal coolant. геотермальна свердловина нестаціонарний теплообмін кінцево-різнецевий розв’язок гірський масив геотермальний теплоносій. |
| url | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/378 |
| work_keys_str_mv | AT morozovy heatexchangeduringthemovementofthegeothermalheatcarrierinthewell AT zhokhina heatexchangeduringthemovementofthegeothermalheatcarrierinthewell AT morozovy teploobmínprirusígeotermalʹnogoteplonosíâusverdloviní AT zhokhina teploobmínprirusígeotermalʹnogoteplonosíâusverdloviní |