ANALYSIS OF STABILITY OF NONLINEAR THERMAL PROCESSES IN ENVIRONMENTS WITH DIFFERENT SPATIAL STRUCTURES OF DISTURBANCE
A feature of the processes of interaction of solar radiation with materials used in solar energy and photoenergy is the non-linear dependence of the density of heat generation on temperature. In the presence of spatial disturbances due to the development of instability, which is analyzed in this wor...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/383 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Vidnovluvana energetika |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Vidnovluvana energetika| _version_ | 1871103596096913408 |
|---|---|
| author | Bondarenko, D. Matyakh, S. Rieztsov , V. Surzhyk, Т. Sheiko, I. |
| author_facet | Bondarenko, D. Matyakh, S. Rieztsov , V. Surzhyk, Т. Sheiko, I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "D. Bondarenko",
"institution": "Institute of Renewable Energy NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine."
},
{
"author": "S. Matyakh",
"institution": "Institute of Renewable Energy NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine; National Technical University of Ukraine «Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, Ukraine."
},
{
"author": "V. Rieztsov ",
"institution": "Institute of Renewable Energy NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine."
},
{
"author": "Т. Surzhyk",
"institution": "Institute of Renewable Energy NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine."
},
{
"author": "I. Sheiko",
"institution": "Institute of Renewable Energy NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine."
}
] |
| author_sort | Bondarenko, D. |
| baseUrl_str | https://ve.org.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T06:32:18Z |
| description | A feature of the processes of interaction of solar radiation with materials used in solar energy and photoenergy is the non-linear dependence of the density of heat generation on temperature. In the presence of spatial disturbances due to the development of instability, which is analyzed in this work on the basis of a synergistic methodology, this can lead to an increase in the amplitude of disturbances, in particular, fluctuations in the magnitude of disturbances over time. As a result, the energy efficiency of the solar energy conversion process, resource and reliability of the corresponding equipment decreases. Therefore, stability analysis has not so much theoretical, but also practical significance in the design of solar energy systems, the selection of appropriate functional materials and operating technologies. Bibl. 3. |
| doi_str_mv | 10.36296/1819-8058.2023.1(72).37-40 |
| first_indexed | 2025-07-17T11:38:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
37
Відновлювана енергетика. №1/2023 | Сонячна енергетика
УДК 621.383.4 https://doi.org/10.36296/1819-8058.2023.1(72)37-40
АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ НЕЛІНІЙНИХ ТЕПЛОВИХ ПРОЦЕСІВ У СЕРЕДОВИЩАХ
ПРИ РІЗНІЙ ПРОСТОРОВІЙ СТРУКТУРІ ЗБУРЕНЬ
Отримано 10 лют. 2023; рекомендовано до публікації 22 бер. 2023
Доступно онлайн 31 бер. 2023
Д. В. Бондаренко1, С. В. Матях2, В. Ф. Рєзцов 3,
Т. В. Суржик4, І. О. Шейко5
Автор для коресподенції: Дмитро Бондаренко,
e-mail: dima7007bond@gmail.com
Особливістю процесів взаємодії сонячного випроміню-
вання з матеріалами, які використовуються в геліоенер-
гетиці та фотоенергетиці, є нелінійна залежність гу-
стини тепловиділення від температури. При наявно-
сті просторових збурень внаслідок розвитку нестійко-
сті, яка в цій роботі аналізується на основі синергети-
чної методології, це може призвести до зростання ам-
плітуди збурень, зокрема коливань величини збурень у
часі. Внаслідок цього зменшується енергоефективність процесу перетворювання сонячної енергії, ре-
сурс та надійність відповідного обладнання. Тому аналіз стійкості має не тільки теоретичне, але й
практичне значення під час проєктування систем сонячної енергетики, вибору відповідних функціо-
нальних матеріалів та технологій функціонування. Бібл. 3.
Ключові слова: аналіз стійкості, аналіз збурень, теплопровідність, диференціальні рівняння у част-
кових похідних, синергетичний аналіз.
ANALYSIS OF STABILITY OF NONLINEAR THERMAL PROCESSES IN ENVIRONMENTS WITH
DIFFERENT SPATIAL STRUCTURES OF DISTURBANCE
Received 10 Feb. 2023; accepted 22 Mar. 2023
Available online 31 Mar. 2023
D. Bondarenko1, S. Matyakh2, V. Rieztsov 3,
Т. Surzhyk4, I. Sheiko5
Author for correspondence: Dmytro Bondarenko,
e-mail: dima7007bond@gmail.com
A feature of the processes of interaction of solar radiation
with materials used in solar energy and photoenergy is the
non-linear dependence of the density of heat generation on
temperature. In the presence of spatial disturbances due to
the development of instability, which is analyzed in this work
on the basis of a synergistic methodology, this can lead to an
increase in the amplitude of disturbances, in particular,
fluctuations in the magnitude of disturbances over time. As a
result, the energy efficiency of the solar energy conversion
process, resource and reliability of the corresponding
equipment decreases. Therefore, stability analysis has not so
1 канд. техн. наук.
https://orcid.org/0000-0002-5629-930X
2 канд. техн. наук.
https://orcid.org/0000-0002-1707-3519
3 д-р техн. наук, чл.-кор. НАН України.
https://orcid.org/0000-0003-2926-1733
4 д-р техн. наук.
https://orcid.org/0000-0002-1418-7748
5 провідний інженер.
https://orcid.org/0000-0002-5770-3677
1, 2, 3, 4, 5 Інститут відновлюваної енергетики
НАН України, м. Київ, Україна.
2 НТУУ «Київський політехнічний інститут
ім. Ігоря Сікорського», м. Київ, Україна;
1 Cand. of Tech. Sciences.
https://orcid.org/0000-0002-5629-930X
2 Cand. of Tech. Sciences.
https://orcid.org/0000-0002-1707-3519
3 Dоctor of Tech. Sciences, Correspondent
Member of NAS of Ukraine.
https://orcid.org/0000-0003-2926-1733
4 Dоctor of Tech. Sciences.
https://orcid.org/0000-0002-1418-7748
5 Senior Engineer.
https://orcid.org/0000-0002-5770-3677
1, 2, 3, 4, 5 Institute of Renewable Energy NAS of
Ukraine, Kyiv, Ukraine.
2 National Technical University of Ukraine «Igor
Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv,
Ukraine.
38
Відновлювана енергетика. №1/2023 | Сонячна енергетика
much theoretical, but also practical significance in the design of solar energy systems, the selection of
appropriate functional materials and operating technologies. Bibl. 3.
Keywords: stability analysis, disturbance analysis, thermal conductivity, partial differential equations,
synergistic analysis
Вступ. Розглядається в рамках синергетичної методоло-
гії І. Пригожина [1, 2] нестійкість процесів у середови-
щах, що описується рівнянням параболічного типу (типу
теплової провідності або дифузії в технічній літературі)
такого вигляду:
( ),p v
dTc T q T
dt
ρ λ− ∆ =
(1)
де T − температура; t − час; vq − об’ємна густина те-
пловиділення; , ,pc сonstρ λ − − відповідно гу-
стина, теплопровідність і коефіцієнт теплопровідності.
Для аналізу нестійкості по відношенню до малих
по Ляпунову збурень [2, 3] температури
0 0,T T T T Tδ δ= − << , де 0T − температура не-
збуреного стану, представляємо Tδ (у декартовій си-
стемі координат , ,x y z ) у вигляді
𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝛿𝛿𝑇𝑇а 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒�𝑖𝑖𝑘𝑘�⃗ ⋅ 𝑟𝑟 + 𝜔𝜔𝜔𝜔� =
= 𝛿𝛿𝑇𝑇𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒�𝑖𝑖𝑘𝑘�⃗ ⋅ 𝑟𝑟� 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝜔𝜔 𝑡𝑡, 𝑖𝑖2 = −1. (2)
Тут аTδ − амплітуда збурень;
x y zk k i k j k k= + +
− вектор просторових збу-
рень; r ki yj zk= + +
− радіус-вектор у декартовій
системі координат , ,x y z з ортами , ,i j k
.
Після розкладення функції ( )vq T у ряд Тейлора в
околі незбуреного стану 0Т Т=
(3)
отримуємо такі вирази для швидкості збурень у часі
( )
2
0
v
p
q kd T T T
dt c
λδ
δ
ρ
∂ −
∂=
(4)
і частоти збурень ω
2
0 ,
v
p
q k
T
c
λ
ω
ρ
∂ −
∂=
(5)
величина і знак дійсної частини якої (якщо
r iiω ω ω= + − комплексна) визначає умови і харак-
тер розвитку нестійкості при 0rω > , що може викори-
стовуватися при
0
0vq
T
∂
>
∂
та 2
0
0vq k
T
λ∂
− >
∂
.
Постановка задачі. Оскільки
( ) ( ) ( )exp cos sin ,ik r k r i k r⋅ = ⋅ + ⋅
(6)
то при різному виборі величини компонент хвильового
вектора можна проаналізувати різні просторові струк-
тури збурень. Зокрема, при ( )0,0, 0zk k= =
−
шари в напрямку осі z ; при
( )0, 0, 0,x y zk k k k= ≠ ≠ =
− шари в напрям-
ку, перпендикулярному площині ,x y ; при
( )0, 0, 0,x y zk k k k= ≠ ≠ ≠
− об’ємні локалі-
зовані включення.
За аналогією з (6) у циліндричній системі координат
( ), , zρ ϕ просторову структуру збурень температури
задамо також у вигляді виразу (6), визначаючи вектори
,k r
у вигляді
,
z z
z z
k k i k i k i
r i i k i
ρ ρ ϕ ϕ
ρ ϕρ ϕ
= + +
= + +
(7)
де , , zi i iρ ϕ
− одиничні вектори вздовж координат
, , zρ ϕ , а , , zk k kρ ϕ − відповідно компоненти хви-
льового вектора k
вздовж координат , , zρ ϕ .
Схема отримання виразів для частоти збурень ω .
На відміну від декартової системи координат ( ), ,х y z ,
в якій оператори Лапласа ( ),T Tδ∆ ∆ мають вигляд
39
Відновлювана енергетика. №1/2023 | Сонячна енергетика
2 2 2
2 2 2 ,T T TT
x y z
∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂ ∂ ∂
(8)
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2 ,
T T T
T
x y z
δ δ δ
δ
∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂ ∂ ∂
(9)
у циліндричній системі координат ( ), , zρ ϕ згідно з
[4] диференційна структура ( ),T Tδ∆ ∆ є іншою, а
саме
2 2
2 2 2
1 1 ,T T TT
z
ρ
ρ ρ ρ ρ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂
∆ = + + ∂ ∂ ∂ ∂
(10)
𝛥𝛥𝛥𝛥(𝛿𝛿𝛿𝛿) =
1
𝜌𝜌
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
�𝜌𝜌
𝜕𝜕(𝛿𝛿𝛿𝛿)
𝜕𝜕𝜕𝜕
� +
+
1
𝜌𝜌2
𝜕𝜕2(𝛿𝛿𝛿𝛿)
𝜕𝜕𝜑𝜑2 +
𝜕𝜕2(𝛿𝛿𝛿𝛿)
𝜕𝜕𝑧𝑧2
.
Для аналізу особливостей поведінки збурень у часі
( )d T
dt
δ
і частоти ω далі розглянемо характерні випа-
дки для різних структур початкових просторових збу-
рень:
а) шари у напрямку осі
( )0, 0, 0,zz k k kρ ϕ= = ≠
;
б) шари у напрямку азімутальної координати
( )0, 0, 0,zk k kρ ϕϕ = ≠ =
;
в) шари у напрямку радіальної координати
( )0, 0, 0zk k kρ ϕρ ≠ = = ;
У випадку «а» вирази для
( )d T
dt
δ
, ω мають вигляд
(12)
(13)
З (12), (13) бачимо, що ці вирази збігаються з виразами
(4), (5) для декартової системи координат при заданні
просторових шарових збурень по координаті z (коли
2k
дорівнює 2
zk ) і частота ω є дійсною.
У випадку «б» оператор Лапласа ( )Tδ∆ має вигляд
( ) ( )2
2
2 2 2
1 1 .
T
T k Tϕ
δ
δ δ
ρ ϕ ρ
∂
∆ = = −
∂
(14)
Згідно з (14) для
( )d T
dt
δ
і для ω маємо
, (15)
. (16)
З (16) випливає висновок про те, що зі зменшенням ко-
ординати ρ вплив дифузії теплової енергії на стабіліза-
цію нестійкості при
0
0vq
T
∂
>
∂
збільшується.
У випадку «в» оператор Лапласа ( )Tδ∆ має вигляд
𝛥𝛥(𝛿𝛿𝛿𝛿) =
1
𝜌𝜌
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
�𝜌𝜌
𝜕𝜕(𝛿𝛿𝛿𝛿)
𝜕𝜕𝜕𝜕
� =
=
𝜕𝜕2(𝛿𝛿𝛿𝛿)
𝜕𝜕𝜌𝜌2
+
1
𝜌𝜌
𝜕𝜕(𝛿𝛿𝛿𝛿)
𝜕𝜕𝜕𝜕
.
і згідно з (17) вирази для
( )d T
dt
δ
та ω є такими
(18)
(19)
(11)
(17)
40
Відновлювана енергетика. №1/2023 | Сонячна енергетика
Аналіз особливостей поведінки частоти збурень ω
вздовж координат ϕ і ρ у випадках «б», «в». У випа-
дку «б» на відміну від розшарування вздовж осі z (ви-
падок «а») стабілізуючий розвиток експоненціальної в
часі нестійкості (при
0
0vq
T
∂
>
∂
) визначається параме-
тром
2
2
1 kϕρ
, який приймає максимальні значення на
осі циліндра (при 0ρ → ) і мінімальні значення на пе-
риферії циліндра (при Rρ → ). Внаслідок цього при
виконанні умови
0
0vq
T
∂
>
∂
при однакових значеннях
хвильового вектора kϕ розвиток шаруватої структури
по коефіцієнту ϕ є більш вірогідним на периферії цилі-
ндра.
У випадку «в» на відміну від випадків «а» і «б» поведін-
ка ω і, відповідно, збурень Tδ у часі має принципово
інший характер, оскільки величина ω є комплекс-
ною. Внаслідок наявності ненульових значень ω при
позитивних значеннях rω , розвиток нестійкості збу-
рень Tδ реалізується за експоненціально-синусоїдаль-
ним законом зі зміною Tδ в часі в режимі автоколи-
вань при насиченні нестійкості зі зростанням амплітуди
автоколивань при 0ρ → .
Аналіз зміни градієнтів температури в часі та просторі.
Згідно з [4] градієнт температурних збурень ( )Tδ∇ ,
який визначає величину і поведінку збурень термічних
напруг і термодифузії в системі координат ( ), , zρ ϕ ,
має вигляд
( ) ( ) ( ) ( )1 .z
T T T
T i i i
zρ ϕ
δ δ δ
δ
ρ ρ ϕ
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
(20)
Враховуючи (2), бачимо, що складові градієнтів збурень
пропорційні самим збуренням і випереджають їх по
фазі на кут / 2π .
Висновки. У рамках синергетичної методології І. Приго-
жина розглянута модель перегрівної нестійкості в обме-
жених середовищах з круговою циліндричною симет-
рією з квазілінійним об’ємним тепловиділенням. Пока-
зано, що внаслідок залежності складових оператора
Лапласа в рівнянні теплової провідності від радіальної
координати частота збурень залежить від радіуса вклю-
чень, причому для радіальних збурень вона є комплекс-
ною.
Встановлено, що градієнти збурень пропорційні збурен-
ням і випереджають збурення по фазі на кут / 2π .
Використання результатів теоретичних досліджень
щодо стійкості нелінійних теплових процесів у середо-
вищах при різній просторовій структурі збурень у про-
цесі розробки та проєктування систем сонячного енер-
гопостачання забезпечує їх надійність та підвищує ре-
сурс роботи й ефективність застосування, зокрема за ра-
хунок запобігання виникненню режимів інтенсивної де-
градації матеріалів для підвищення довговічності еле-
ментів сонячних перетворювачів.
ПОСИЛАННЯ
1. Николис П., Пригожин И. Самоорганизация в нерав-
новесных системах. М.: Мир. 1979. 308 с.
2. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая те-
ория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.:
Мир. 1979. 280 с.
3. Пічкур В. В., Капустян О. В., Собчук В. В. Теорія дина-
мічних систем: навчальний посібник. Луцьк: Вежа-
Друк. 2020. 348 с.
4. Корн Г, Корн Т. Справочник по математике для науч-
ных работников и инженеров. М.: Наука. 1970. 720 с.
REFERENCES
1. Nikolis P., Prigozhin I. Samoorganizatsiya v
neravnovesnyih sistemah [Self- organization in
nonequilibrium systems]. Moscow: Publ. ”Mir”. 1979.
308 p. [in russian]
2. Glensdorf P., Prigozhin I. Termodinamicheskaya teoriya
strukturyi, ustoychivosti i fluktuatsiy[Thermodynamic
theory of structure, stability and fluctuations]. Moscow:
Publ. ”Mir”. 1979. 280 p. [in russian]
3. Pichkur V. V., Kapustian O. V., Sobchuk V. V. Teoriia
dynamichnykh system: navchalnyi posibnyk[Theory of
dynamical systems: a study guide]. Lutsk: Publ.”Vezha-
Druk”. 2020. 348 p. [in ukrainian]
4. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya
nauchnyih rabotnikov i inzhenerov[Handbook of
mathematics for scientists and engineers]. Moscow:
Publ. ”Nauka”. 1970. 720 p. [in russian]
|
| id | veorgua-article-383 |
| institution | Vidnovluvana energetika |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:10:42Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | veorgua/79/6b25a40572469b6ca515fabb3d4f8779.pdf |
| spelling | veorgua-article-3832026-07-18T06:32:18Z ANALYSIS OF STABILITY OF NONLINEAR THERMAL PROCESSES IN ENVIRONMENTS WITH DIFFERENT SPATIAL STRUCTURES OF DISTURBANCE АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ НЕЛІНІЙНИХ ТЕПЛОВИХ ПРОЦЕСІВ У СЕРЕДОВИЩАХ ПРИ РІЗНІЙ ПРОСТОРОВІЙ СТРУКТУРІ ЗБУРЕНЬ Bondarenko, D. Matyakh, S. Rieztsov , V. Surzhyk, Т. Sheiko, I. stability analysis, disturbance analysis, thermal conductivity, partial differential equations, synergistic analysis аналіз стійкості, аналіз збурень, теплопровідність, диференціальні рівняння у часткових похідних, синергетичний аналіз. A feature of the processes of interaction of solar radiation with materials used in solar energy and photoenergy is the non-linear dependence of the density of heat generation on temperature. In the presence of spatial disturbances due to the development of instability, which is analyzed in this work on the basis of a synergistic methodology, this can lead to an increase in the amplitude of disturbances, in particular, fluctuations in the magnitude of disturbances over time. As a result, the energy efficiency of the solar energy conversion process, resource and reliability of the corresponding equipment decreases. Therefore, stability analysis has not so much theoretical, but also practical significance in the design of solar energy systems, the selection of appropriate functional materials and operating technologies. Bibl. 3. Особливістю процесів взаємодії сонячного випромінювання з матеріалами, які використовуються в геліоенер-гетиці та фотоенергетиці, є нелінійна залежність густини тепловиділення від температури. При наявності просторових збурень внаслідок розвитку нестійкості, яка в цій роботі аналізується на основі синергетичної методології, це може призвести до зростання амплітуди збурень, зокрема коливань величини збурень у часі. Внаслідок цього зменшується енергоефективність процесу перетворювання сонячної енергії, ресурс та надійність відповідного обладнання. Тому аналіз стійкості має не тільки теоретичне, але й практичне значення під час проєктування систем сонячної енергетики, вибору відповідних функціональних матеріалів та технологій функціонування. Бібл. 3. Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2023-04-13 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/383 10.36296/1819-8058.2023.1(72).37-40 Vidnovluvana energetika ; No. 1(72) (2023): Scientific and applied Journal renewable energy ; 37-40 Возобновляемая энергетика; ##issue.no## 1(72) (2023): Scientific and applied Journal renewable energy ; 37-40 Відновлювана енергетика; № 1(72) (2023): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 37-40 2664-8172 1819-8058 10.36296/1819-8058.2023.1(72) uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/383/298 Copyright (c) 2023 D. Bondarenko, S. Matyakh, V. Rieztsov , Т. Surzhyk, I. Sheiko https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | stability analysis disturbance analysis thermal conductivity partial differential equations synergistic analysis Bondarenko, D. Matyakh, S. Rieztsov , V. Surzhyk, Т. Sheiko, I. ANALYSIS OF STABILITY OF NONLINEAR THERMAL PROCESSES IN ENVIRONMENTS WITH DIFFERENT SPATIAL STRUCTURES OF DISTURBANCE |
| title | ANALYSIS OF STABILITY OF NONLINEAR THERMAL PROCESSES IN ENVIRONMENTS WITH DIFFERENT SPATIAL STRUCTURES OF DISTURBANCE |
| title_alt | АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ НЕЛІНІЙНИХ ТЕПЛОВИХ ПРОЦЕСІВ У СЕРЕДОВИЩАХ ПРИ РІЗНІЙ ПРОСТОРОВІЙ СТРУКТУРІ ЗБУРЕНЬ |
| title_full | ANALYSIS OF STABILITY OF NONLINEAR THERMAL PROCESSES IN ENVIRONMENTS WITH DIFFERENT SPATIAL STRUCTURES OF DISTURBANCE |
| title_fullStr | ANALYSIS OF STABILITY OF NONLINEAR THERMAL PROCESSES IN ENVIRONMENTS WITH DIFFERENT SPATIAL STRUCTURES OF DISTURBANCE |
| title_full_unstemmed | ANALYSIS OF STABILITY OF NONLINEAR THERMAL PROCESSES IN ENVIRONMENTS WITH DIFFERENT SPATIAL STRUCTURES OF DISTURBANCE |
| title_short | ANALYSIS OF STABILITY OF NONLINEAR THERMAL PROCESSES IN ENVIRONMENTS WITH DIFFERENT SPATIAL STRUCTURES OF DISTURBANCE |
| title_sort | analysis of stability of nonlinear thermal processes in environments with different spatial structures of disturbance |
| topic | stability analysis disturbance analysis thermal conductivity partial differential equations synergistic analysis |
| topic_facet | stability analysis disturbance analysis thermal conductivity partial differential equations synergistic analysis аналіз стійкості аналіз збурень теплопровідність диференціальні рівняння у часткових похідних синергетичний аналіз. |
| url | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/383 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkod analysisofstabilityofnonlinearthermalprocessesinenvironmentswithdifferentspatialstructuresofdisturbance AT matyakhs analysisofstabilityofnonlinearthermalprocessesinenvironmentswithdifferentspatialstructuresofdisturbance AT rieztsovv analysisofstabilityofnonlinearthermalprocessesinenvironmentswithdifferentspatialstructuresofdisturbance AT surzhykt analysisofstabilityofnonlinearthermalprocessesinenvironmentswithdifferentspatialstructuresofdisturbance AT sheikoi analysisofstabilityofnonlinearthermalprocessesinenvironmentswithdifferentspatialstructuresofdisturbance AT bondarenkod analízstíjkostínelíníjnihteplovihprocesívuseredoviŝahprirízníjprostorovíjstrukturízburenʹ AT matyakhs analízstíjkostínelíníjnihteplovihprocesívuseredoviŝahprirízníjprostorovíjstrukturízburenʹ AT rieztsovv analízstíjkostínelíníjnihteplovihprocesívuseredoviŝahprirízníjprostorovíjstrukturízburenʹ AT surzhykt analízstíjkostínelíníjnihteplovihprocesívuseredoviŝahprirízníjprostorovíjstrukturízburenʹ AT sheikoi analízstíjkostínelíníjnihteplovihprocesívuseredoviŝahprirízníjprostorovíjstrukturízburenʹ |