ANALYTICAL CALCULATION OF THE DEPTH OF TEMPERATURE WAVE PROPAGATION DURING THE CONSTRUCTION OF GEOTHERMAL HEAT PUMP SYSTEMS
In the process of solving the tasks of soil accumulation and extraction of heat from the near-surface layers of the Earth, there is a need to obtain information about the depth of daily and annual temperature changes in the soil, which determines the layer of the Earth's surface that actively i...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/421 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Vidnovluvana energetika |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Vidnovluvana energetika| _version_ | 1871103680949780480 |
|---|---|
| author | Morozov, Yu. Zurian, О. |
| author_facet | Morozov, Yu. Zurian, О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Yu. Morozov",
"institution": "Institute of Renewable Energy of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, Ukraine."
},
{
"author": "О. Zurian",
"institution": "Institute of Renewable Energy of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, Ukraine."
}
] |
| author_sort | Morozov, Yu. |
| baseUrl_str | https://ve.org.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T06:32:18Z |
| description | In the process of solving the tasks of soil accumulation and extraction of heat from the near-surface layers of the Earth, there is a need to obtain information about the depth of daily and annual temperature changes in the soil, which determines the layer of the Earth's surface that actively interacts with the Earth's atmosphere. In the cold season, the temperature in it drops, and in the warm season it rises. It is known that the efficiency of the heat pump system depends both on the temperature difference at the outlet of the heat pump condenser and the inlet to its evaporator, and on the stability of the temperature of the heat energy source. The temperature at the inlet to the heat pump evaporator is determined by the temperature of the soil at the place of installation of the thermal energy collector. It is known that the most economically profitable is the installation of geothermal heat exchangers located horizontally in the soil at a shallow depth, due to lower costs for land works and the absence of the need to drill deep wells. At the same time, these systems have the greatest vulnerability to the temperature difference that occurs in the near-surface layers. Therefore, there is a need to study thermophysical processes occurring in the soil under the influence of exogenous factors. It is known that soil temperature has daily and annual periodicity. The degree of heating of the soil depends on its thermal conductivity, which is understood as the ability of the soil to conduct heat from more heated layers to less heated layers. And the course of soil temperature can significantly depend on the vegetation cover of the soil, its nature and height throughout the year. At the same time, heat exchanger-soil systems, the effectiveness of which directly depends on the distribution of temperature in the soil and the factors affecting this distribution, remain insufficiently researched. The main feature of the geothermal heat energy extraction system is the combination of technical and natural elements of such systems. At the same time, the natural source of thermal energy is located in an environment that is not easily accessible for observation. The purpose of the research is to develop an applied methodology as a set of principles and approaches of mathematical modeling based on the proposed mathematical apparatus for analytical calculation of the depth of temperature wave propagation during the construction of geothermal heat pump systems. The basic mathematical apparatus for describing such processes includes differential equations that take into account the dependence of temperature on time and spatial coordinates. Further studies are promising for calculating the possibility of using a solar system to obtain thermal energy to reduce the temperature deviation of the heat carrier at the inlet to the evaporator of the heat pump, which comes from a horizontal ground heat exchanger mounted in the soil below freezing depths and above the neutral temperature layer. |
| doi_str_mv | 10.36296/1819-8058.2023.3(74).127-140 |
| first_indexed | 2025-07-17T11:39:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
127
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
УДК 504.062.2; 697.975 https://doi.org/10.36296/1819-8058.2023.3(74)127-140
АНАЛІТИЧНИЙ РОЗРАХУНОК ГЛИБИНИ ПОШИРЕННЯ ТЕМПЕРАТУРНОЇ ХВИЛІ
ПРИ ПОБУДОВІ ГЕОТЕРМАЛЬНИХ ТЕПЛОНАСОСНИХ СИСТЕМ
Отримано 03 вер. 2023 р.; рекомендовано до публікації 20 вер. 2023 р.
Доступно онлайн 30 вер. 2023 р.
Ю. П. Морозов1, О. В. Зур’ян2
Автор для кореспонденції: Олексій Зур’ян,
e-mail: alexey_zuryan@ukr.net
У процесі вирішення завдань ґрунтового акумулювання
й вилучення теплоти з приповерхневих шарів Землі, виникає потреба одержати інформацію щодо
глибини добових та річних змін температури в ґрунті, яка визначає шар земної поверхні, що акти-
вно взаємодіє з навколоземною атмосферою. У холодну пору року температура в ній знижується,
а в теплу – підвищується. Відомо, що ефективність теплонасосної системи залежить як від різниці
температур на виході з конденсатора теплового насоса та вході в його випарник, так і від стабі-
льності температури джерела теплової енергії. Температура на вході у випарник теплового на-
соса визначається температурою ґрунту в місці встановлення колектора теплової енергії. Відомо,
що найбільш економічно рентабельною є інсталяція геотермальних теплообмінників, розташова-
них горизонтально в ґрунті на невеликій глибині, за рахунок менших витрат на земельні роботи
та відсутності необхідності буріння глибоких свердловин. Водночас ці системи найвразливіші до
перепаду температур, що відбувається в приповерхневих шарах. Тож виникає потреба в дослі-
дженні теплофізичних процесів, що відбуваються в ґрунті під впливом екзогенних факторів. Відомо,
що температура ґрунту має добову та річну періодичність. Ступінь нагрівання ґрунту залежить
від його теплопровідності, під якою розуміють здатність ґрунту проводити тепло з більш нагрі-
тих шарів у шари менш нагріті. А коливання температури ґрунту може суттєво залежати від
рослинного покриву ґрунту, характеру та висоти його протягом року. Разом з тим залишаються
недостатньо дослідженими системи теплообмінник–ґрунт, ефективність використання яких без-
посередньо залежить від розподілу температури в ґрунті та факторів, які на цей розподіл вплива-
ють. Головною особливістю системи добування геотермальної теплової енергії є поєднання техні-
чних і природного елементів таких систем. При цьому природнє джерело теплової енергії перебуває
в середовищі, яке малодоступне для спостережень. Метою дослідження є розроблення прикладної
методології як сукупності принципів та підходів математичного моделювання на основі запропо-
нованого математичного апарату аналітичного розрахунку глибини поширення температурної
хвилі при побудові геотермальних теплонасосних систем. Основний математичний апарат для
опису таких процесів включає в себе диференціальні рівняння, що враховують залежність темпе-
ратури від часу та просторових координат. Мають перспективу подальші дослідження щодо роз-
рахунку можливості застосування сонячної системи для отримання теплової енергії для змен-
шення девіації температури теплоносія на вході в випарник теплового насоса, що поступає від го-
ризонтального ґрунтового теплообмінника, змонтованого в ґрунті нижче глибин промерзання та
вище нейтрального шару температур.
Ключові слова: тепловий насос, ґрунтове акумулювання, теплопостачання, коефіцієнт перетво-
рення, періодичність, шар промерзання.
1 д-р техн. наук.
http://orcid.org/0000-0003-1632-9735
2 канд. техн. наук.
https://orcid.org/0000-0002-2391-1611
1, 2 Інститут відновлюваної енергетики НАН
України, м. Київ, Україна.
128
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
ANALYTICAL CALCULATION OF THE DEPTH OF TEMPERATURE WAVE PROPAGATION
DURING THE CONSTRUCTION OF GEOTHERMAL HEAT PUMP SYSTEMS
Received Sept. 03, 2023; accepted Sept. 20, 2023
Available online Sept. 30, 2023
Yu. Morozov1, O. Zurian2
Author for correspondence: Oleksii Zurian,
e-mail: alexey_zuryan@ukr.net
In the process of solving the tasks of soil accumulation and
extraction of heat from the near-surface layers of the Earth, there is a need to obtain information about the depth
of daily and annual temperature changes in the soil, which determines the layer of the Earth's surface that actively
interacts with the Earth's atmosphere. In the cold season, the temperature in it drops, and in the warm season it
rises. It is known that the efficiency of the heat pump system depends both on the temperature difference at the
outlet of the heat pump condenser and the inlet to its evaporator, and on the stability of the temperature of the
heat energy source. The temperature at the inlet to the heat pump evaporator is determined by the temperature
of the soil at the place of installation of the thermal energy collector. It is known that the most economically
profitable is the installation of geothermal heat exchangers located horizontally in the soil at a shallow depth, due
to lower costs for land works and the absence of the need to drill deep wells. At the same time, these systems have
the greatest vulnerability to the temperature difference that occurs in the near-surface layers. Therefore, there is
a need to study thermophysical processes occurring in the soil under the influence of exogenous factors. It is known
that soil temperature has daily and annual periodicity. The degree of heating of the soil depends on its thermal
conductivity, which is understood as the ability of the soil to conduct heat from more heated layers to less heated
layers. And the course of soil temperature can significantly depend on the vegetation cover of the soil, its nature
and height throughout the year. At the same time, heat exchanger-soil systems, the effectiveness of which directly
depends on the distribution of temperature in the soil and the factors affecting this distribution, remain
insufficiently researched. The main feature of the geothermal heat energy extraction system is the combination
of technical and natural elements of such systems. At the same time, the natural source of thermal energy is
located in an environment that is not easily accessible for observation. The purpose of the research is to develop
an applied methodology as a set of principles and approaches of mathematical modeling based on the proposed
mathematical apparatus for analytical calculation of the depth of temperature wave propagation during the
construction of geothermal heat pump systems. The basic mathematical apparatus for describing such processes
includes differential equations that take into account the dependence of temperature on time and spatial
coordinates. Further studies are promising for calculating the possibility of using a solar system to obtain thermal
energy to reduce the temperature deviation of the heat carrier at the inlet to the evaporator of the heat pump,
which comes from a horizontal ground heat exchanger mounted in the soil below freezing depths and above the
neutral temperature layer.
Key words: heat pump, soil storage, heat supply, conversion factor, periodicity, freezing layer.
Перелік використаних позначень та скорочень:
ВДЕ – відновлювані джерела енергії
ТН – тепловий насос
ТО – термоперетворювач опору
ПЗ – програмне забезпечення
ГВП – гаряче водопостачання
БДТЕ – безліч джерел теплової енергії
БТЗ – безліч технічних засобів
БС – безліч структур
φ – коефіцієнт перетворення теплоти (англ.
Coefficient of performance), коефіцієнт, що по-
казує ефективність теплового насоса
ДБН – Державні будівельні норми
ДСТУ – Державні стандарти України
1 Dr. of Tech. Sciences, senior researcher.
http://orcid.org/0000-0003-1632-9735
2 Cand. of Tech. Sciences.
https://orcid.org/0000-0002-2391-1611
1, 2 Institute of Renewable Energy of the National
Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, Ukraine.
129
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
Вступ. Відновлювана енергетика є важливим інстру-
ментом для досягнення цілей сталого розвитку, вклю-
чаючи збереження довкілля, забезпечення сталого
виробництва та зменшення впливу енергетичного се-
ктору на клімат. Відновлювані джерела енергії (ВДЕ)
є нескінченними джерелами, що не вичерпуються з
часом. Це забезпечує стабільне джерело енергії на
майбутнє.
Водночас основний недолік відновлюваної енергії – її
непостійність. Виробництво теплової й електричної ене-
ргії енергетичними установками, що як джерело енергії
використовують ВДЕ, залежить як від місця розміщення
та умов експлуатації, так і погодно-кліматичних умов,
зміна яких має випадковий характер. Тому в локальних
енергосистемах з ВДЕ є ризики енергопостачання спо-
живачів, пов’язані з мінливістю енергоносія. Наслідки
від цих ризиків полягають у високій імовірності пору-
шення енергопостачання споживачів. Отже, важливим
питанням стає розробка методики проєктування енер-
гетичних систем, що працюють за рахунок ВДЕ з ураху-
ванням випадкового характеру факторів, що впливають
на стабільність отримання енергії.
Серед ВДЕ теплота земних надр характеризується ста-
більністю параметрів, які не залежать від сезонних і
добових коливань температури. До геотермальних
джерел енергії відносять теплові енергії, акумульовані
гірськими породами, підземними термальними во-
дами в усіх агрегатних станах та верхніми шарами Зе-
млі, які розташовані нижче нейтрального шару та ма-
ють температуру до 36 °С. Гідротермальна енергія – це
енергія, накопичена у формі теплової енергії у поверх-
невих водах (води суходолу, що постійно або тимча-
сово перебувають на земній поверхні у формі різних
водних об’єктів).
Одним з високоефективних пристроїв перетворення ни-
зькопотенційної відновлюваної енергії є теплові насоси.
Водночас ефективність роботи теплонасосної системи
суттєво залежить від температури на вході до випар-
ника теплового насоса. Таким чином, впровадження
геотермальних теплонасосних систем обумовлює про-
ведення широкого спектра гідрогеотермічних дослі-
джень.
Науково-дослідні та дослідно-конструкторські роботи з
підвищення ефективності геотермальних теплових на-
сосів проводяться як в Україні, так і у світі вже тривалий
час. Перспективи застосування теплових насосів дослі-
джені в працях [1, 2, 3]. Аналіз ефективності викорис-
тання теплового потенціалу довкілля та верхніх шарів
Землі наведено в роботах [4, 5]. В роботах [6,7,8] прове-
дено оцінку ефективності теплових насосів різних типів.
Авторами [9, 10] виконано порівняльний енергетичний
аналіз теплових насосів. Дослідження щодо встанов-
лення теплового балансу в ґрунті під час експлуатації
ГеоТНС описано в роботах [11, 12]. Проводяться активні
науково-дослідницькі роботи з вивчення фізичних осо-
бливостей та енергетичної ефективності акумулювання
тепла та холоду шляхом використання води підземних
горизонтів [14, 15, 16].
Результати цих досліджень підтверджують перспектив-
ність напряму підвищення енергоефективності за раху-
нок використання низькопотенційної теплової енергії
верхніх шарів Землі для потреб опалення, кондицію-
вання, гарячого водопостачання та забезпечення техно-
логічних потреб споживачів.
Постановка завдання. Мірою енергетичної ефективно-
сті теплонасосної установки (ТНУ) є коефіцієнт перет-
ворення, який характеризує відношення енергії, що на-
дійшла споживачеві, до витраченої енергії. Оцінки по-
казують, що для вдало спроєктованих систем теплопо-
стачання коефіцієнт перетворення може досягати від 4
до 6.
Підвищенням ефективності та надійності теплових насо-
сів займаються передові комерційні компанії та наукові
інститути світу. Цей процес відбувається постійно, що
призводить до зменшення металоємкості приладів та їх
вартості й підвищення надійності та функціональності.
Водночас залишаються недостатньо дослідженими сис-
теми теплообмінник–ґрунт, ефективність використання
яких безпосередньо залежить від розподілу темпера-
тури в ґрунті та факторів, які на цей розподіл впливають.
Головною особливістю системи добування геотермаль-
ної теплової енергії є поєднання технічних і природного
елементів таких систем. При цьому природне джерело
теплової енергії перебуває в середовищі, яке малодо-
ступне для спостережень.
За таких обставин основними методами дослідження
теплових і гідродинамічних процесів у системах видобу-
вання низькопотенційних геотермальних ресурсів з
приповерхневих шарів Землі та системах їх перетво-
рення на енергію, комфортну для застосування в тепло-
енергетиці, є теоретичні методи. Найважливіший з них ‒
математичне моделювання. Серйозною перешкодою,
що стримує впровадження цих систем, є фактична від-
сутність аналітичного, математичного, програмного і
методичного забезпечення для розробки таких систем
для різних (гідрогеологічних, метеорологічних, морфо-
логічних, біологічних, антропогенних) умов викорис-
тання.
Цим обумовлені значущість й актуальність теми дослі-
дження.
Мета дослідження – розробити прикладну методоло-
гію як сукупність принципів та підходів математичного
моделювання на основі запропонованого математич-
ного апарату аналітичного розрахунку глибини поши-
рення температурної хвилі при побудові геотермальних
теплонасосних систем.
Методи. У статті використано такі методи: аналіз, син-
тез, дедукція, метод екстраполяції, порівняльний метод
та індуктивний
130
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
Об’єктом дослідження є процеси періодичного пере-
несення теплової енергії з послідовним нагріванням
та охолодженням, а саме — коливання температури
кори Землі, що перебуває під періодичним впливом
Сонця. Предметом дослідження є параметри цих
процесів.
Виклад основного матеріалу
Теоретичне дослідження теплообміну проводиться із
застосуванням принципів моделювання, тобто, розроб-
кою спрощених (певним чином) фізичних моделей, що
інтерпретують складні теплові процеси. При цьому ро-
боче середовище зазвичай уявляють у вигляді абстрак-
тного фізичного тіла суцільної будови, без поділу на
структурні елементи (молекули й атоми). До того ж се-
редовища можуть бути як однорідними, так і неоднорі-
дними, ізотропними та неізотропними. Також суцільні
середовища є однофазними та багатофазними (часто –
двофазними).
Для двофазних середовищ специфічні конвективні те-
плообмінні процеси (які часто трапляються в техніці)
вирізняють у вигляді кипіння та конденсації. Процеси
теплообміну при сублімації та десублімації речовин у
цій статті не розглядаються. Методи дослідження
процесів теплообміну підрозділяють на теоретичні
(аналітичні), чисельні (наближені) та експеримента-
льні. Складність теплофізичних процесів, яка пов’яза-
на здебільшого з одночасною зміною низки фізичних
характеристик середовищ при зміні визначальних
термодинамічних параметрів, зумовлює необхідність
застосування експериментальних методів. Останні
часто є складними, трудомісткими та дорогими, що
іноді унеможливлює вирішення реальних інженерних
задач.
Застосування сучасної обчислювальної техніки, розви-
ток якої невпинно прогресує, зумовлює актуальність за-
стосування наближених чисельних методів, які, при ко-
ректній постановці теоретичних задач, правильному
моделюванні реальних теплофізичних процесів та вибі-
ркових вимірюваннях теплотехнічних параметрів у кон-
трольних точках середовищ (в реальних виробничих та
експлуатаційних умовах) дають змогу не лише значно
пришвидшити розв’язок задач, а й здійснити раніше не-
можливі рішення технічних проблем.
У багатьох теплових процесах відбувається періодичне
переносіння теплової енергії з послідовним нагріван-
ням та охолодженням. Наприклад, поверхневий шар Зе-
млі перебуває під впливом коливань температури ‒ річ-
них, добових тощо.
При інсталяції геотермальних теплообмінників, що роз-
ташовуються горизонтально у верхніх шарах ґрунту при
побудові геотермальних теплонасосних систем, які ви-
користовують низькопотенційну теплову енергію ґру-
нту, необхідно враховувати, на яку глибину розповсюд-
жується теплова хвиля і яка в цій місцевості глибина
промерзання ґрунту.
Глибина промерзання ґрунту ‒ це глибина, на яку про-
никає процес промерзання в ґрунті під впливом низьких
температур. Це явище відбувається в зимовий період,
коли поверхневий шар ґрунту охолоджується і може за-
мерзати.
Процес промерзання починається з поверхні ґрунту й
рухається вглиб, поки не досягне глибини промерзання.
Глибина цього шару може значно варіюватися залежно
від географічного положення, кліматичних умов та ін-
ших факторів. У холодних кліматичних зонах, таких як пі-
внічні регіони, глибина промерзання може бути знач-
ною і досягати декількох метрів, тоді як в тепліших регі-
онах вона може бути лише кілька сантиметрів.
Глибина промерзання ґрунту має важливе значення для
інженерії та будівництва, оскільки вона впливає на стій-
кість будівельних конструкцій, доріг та інфраструктури.
Вимірювання глибини промерзання ґрунту допомага-
ють розробляти відповідні будівельні методи й мате-
ріали для забезпечення безпеки та надійності споруд в
умовах холодного клімату.
Глибину промерзання ґрунту можна визначити на підс-
таві кліматичних даних, зокрема середніх температур та
глибини промерзання в різні роки. Ось декілька методів
визначення глибини промерзання:
Метод середньодобових температур. Цей метод вико-
ристовує середньодобові температури повітря протя-
гом зимового місяця (зазвичай січень) та середньодо-
бові температури ґрунту на різних глибинах. Глибина
промерзання визначається там, де середньодобова те-
мпература ґрунту опускається до рівня замерзання.
Метод температурних режимів ґрунту. Цей метод ви-
користовує дані про температуру ґрунту на різних гли-
бинах та розраховує глибину промерзання на основі рі-
зниці між середньодобовою температурою ґрунту та те-
мпературою замерзання.
Метод глибини промерзання та середньорічної темпе-
ратури. Цей метод використовує співвідношення між
середньорічною температурою повітря та глибиною
промерзання для конкретного регіону. Зазвичай ці дані
подаються в геологічних атласах або кліматичних табли-
цях.
Моделювання глибини промерзання. Можна викорис-
товувати комп’ютерні програми та моделі, що врахову-
ють кліматичні умови, фізичні властивості ґрунту та інші
фактори для розрахунку глибини промерзання. Цей під-
хід може бути точнішим, оскільки враховує багато пара-
метрів.
Періодичне перенесення теплової енергії з послідовним
нагріванням і охолодженням може бути описане за
131
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
допомогою математичних рівнянь теплопровідності
або рівнянь теплоперенесення. Основний математич-
ний апарат для опису таких процесів включає в себе ди-
ференціальні рівняння, що враховують залежність тем-
ператури від часу та просторових координат.
Варто завважити, що періодичні розв’язки рівняння те-
плопровідності можуть існувати тоді і лише тоді, коли
присутнє періодичне джерело тепла чи всередині розг-
лядуваного інтервалу, чи на його межі. Це між іншим
означає, що межові умови (принаймні одна з межових
умов) за відсутності періодичного джерела обов’язково
мають бути періодичними. Якщо розглядати достатньо
тривалий температурний процес, то вплив початкового
розподілу температур слабшає, тому варто шукати
розв’язок, що задовольняє лише межові умови.
Диференціальне рівняння, що описує процес поши-
рення тепла (неважливо, періодичний процес чи просто
нестаціонарний) в середовищі, має вигляд
2
2
1 0T T
x a t
∂ ∂
− =
∂ ∂
. (1)
де a – коефіцієнт дифузійного перенесення енергії (ко-
ефіцієнт температуропровідності).
Далі чинимо за стандартною процедурою. Покладімо
( ) ( ) ( ),T x t x t= X T та підставимо цей вираз до (1).
Маємо
( ) ( ) ( ) ( )2
2
1 0x t x t
x a t
∂ ∂
− =
∂ ∂
X T X T
,
( )
( )
( )
( )2
2
1 1 0x t
x x a t t
∂ ∂
− =
∂ ∂
X T
X T ,
( )
( )
( )
( )2
2
1 1x t
x x a t t
∂ ∂
=
∂ ∂
X T
X T .
Остання рівність можлива тоді і лише тоді коли як ліва,
так і права частини рівняння дорівнюють тій самій конс-
танті. Тут можливі варіанти.
Нехай, наприклад,
( )
( )2
2
2
1 x
x x
µ∂
=
∂
X
X
,
( )
( ) 21 t
a t t
µ∂
=
∂
T
T
,
тоді маємо два диференційні рівняння
( )
( )
2
2
2 0d x x
dx
µ− =
X X ,
( )
( )2 0t a t
t
µ∂
− =
∂
T T ,
що їх розв’язками є
( ) 1 2
x xx C e C eµ µ−= +X ; ( ) 2a tt Ce µ=T ,
де 1 2, ,C C C – невідомі сталі, що їх можна визначити з
межових та початкових умов задачі. Отже, розв’язок (за
умови такого µ ) і для скінченного інтервалу [ ],x a b∈ ,
,a b≠ ∞ ≠ ∞ можна написати так:
( ) ( ) 2
0
, n n nx x a t
n n
n
T x t C e B e eµ µ µ
∞
−
=
= +∑ (2)
nµ – корені трансцендентного рівняння, що випливає з
межових умов.
Цей розв’язок цікавий тим, що з плином часу він зростає
і прямує до безмежності. Ми наводимо його тут чисто з
методологічних міркувань, бо не так просто підібрати
таку ситуацію, де виникає потреба скористатися саме та-
ким розв’язком.
Нехай
( )
( )2
2
2
1 x
x x
µ∂
= −
∂
X
X
,
( )
( ) 21 t
a t t
µ∂
= −
∂
T
T
тоді маємо два диференціальні рівняння
( )
( )
2
2
2 0d x x
dx
µ+ =
X X ,
( )
( )2 0t a t
t
µ∂
+ =
∂
T T , (3)
що їх розв’язками є
( ) 1 2sin cosx C x C xµ µ= +X ; ( ) 2a tt Ce µ−=T . (4)
Отже,
( ) ( ) 2
0
, sin cos na t
n n n n
n
T x t C x B x e µµ µ
∞
−
=
= +∑ . (5)
Це класичний найвживаніший розв’язок для скінчен-
ного інтервалу [ ],x a b∈ , ,a b≠ ∞ ≠ ∞ .
Нехай тепер 2 i
a
ωµ = , 1i = − (це завжди можна зро-
бити, бо на µ не накладено жодних умов). Підстави-
вши це значення µ до (3), отримаємо два диференцій-
них рівняння, що їхніми розв’язками є
( )
( )
2
2 0d x i x
dx a
ω
+ =
X X ,
( )
( ) 0t i a t
t a
ω∂
+ =
∂
T T ,
( )
i ix x
a ax Ae Be
ω ω
−
= +X , ( ) i tt Ce ω−=T .
Оскільки
1
2
ii +
= ± , то
( )1
2
ix x i x i
a a a
ω ω ω
= = + .
132
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
Отже,
( )
( ) ( )1 1
2 2
x i x i
a ax Ae Be
ω ω
+ − +
= +X , ( ) i tt Ce ω−=T ,
а розв’язок буде такий:
( )
( ) ( )1 1
2 2,
x i x i i ta aT x t Ae Be e
ω ω
ω+ − +
−
= + =
( )
22 2 2
i t xx x i t x
aa a aAe e Be e
ωω ω ωω ω
− − − − +
= + .
За Ойлером
( )
( ) ( )2 cos sin
2 2
i t x
ae t x i t x
a a
ωω ω ωω ω
− +
= − + + − +
,
але ( )cos cosα α− = , ( )sin sinα α− = − . Отже,
( )
( ) ( )2 cos sin
2 2
i t x
ae t x i t x
a a
ωω ω ωω ω
− +
= + − + ,
( ) ( ) ( )2, cos sin
2 2
x
aT x t Ae t x i t x
a a
ω ω ωω ω
== − − − +
( ) ( )2 cos sin
2 2
x
aBe t x i t x
a a
ω ω ωω ω
−
+ + − +
. (6)
Тут ,A B – довільні сталі, що їх визначають з межових умов.
У деяких задачах, як-от стінка, що до неї з одного боку
надходить періодичний потік тепла, а з другого боку тем-
пература є константою, доцільно перейти до комплекс-
них змінних. Якщо взяти 2 i
a
ωµ = − , 1i = − та під-
ставити таке значення µ до (3), отримаємо два дифе-
ренційних рівняння, та їхні розв’язки
( )
( )
2
2 0d x i x
dx a
ω
− =
X X ,
( )
( ) 0t i a t
t a
ω∂
− =
∂
T T ,
( ) ch shi ix A x B x
a a
ω ω
= +
X , ( ) i tt Ce ω=T ,
де ch ix
a
ω
, sh ix
a
ω
– гіперболічні косинус та
синус від уявного аргументу.
Позаяк ( )1
2
ix x i x i
a a a
ω ω ω
= = +
( ) ( ) ( ), ch 1 sh 1
2 2
i tT x t A x i B x i e
a a
ωω ω
= + + +
, (7)
де, як і раніше, ,A B – довільні сталі, що їх визначають з межових умов. Оскільки [10]
( ) ( ) ( )ch 1 ch cos sh sin
2 2 2
x i x x i x x
a a a
ω ω ω
+ = +
,
( ) ( ) ( )sh 1 sh cos ch sin
2 2 2
x i x x i x x
a a a
ω ω ω
+ = +
( ) ( ) ( )[ ], ch sh cos
2
i tT x t A x B x x e
a
ωω
= + +
( ) ( )[ ]sh ch sin
2
i ti A x B x x e
a
ωω
+ +
.
Отже, періодичними розв’язками рівняння (1) будуть (6)
чи (7).
Задачі про теплопровідність твердого тіла з періодично
змінною температурою на поверхні трапляються у
випадках коливання температури кори Землі, що пере-
буває під періодичним впливом Сонця, при визначенні
коефіцієнта температуропровідності на різноманітних
пристроях тощо.
133
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
Розгляньмо достатньо тривалий температурний процес,
так що впливом початкового розподілу температури
тіла можна знехтувати. Тоді маємо:
шукати розв’язок, що задовольняє лише межові умови.
Розв’язок диференціального рівняння
( ) ( )2
2
, 1 , 0T x t T x t
x a t
∂ ∂
− =
∂ ∂
, ( )0 x< < ∞ (1)
будемо шукати у вигляді
( ) ( ), i tT x t x e ω= T . (2)
( )
( )
2
2 0d x i x
dx a
ω
− =
T T , (3)
що його розв’язки є
( ) exp expi ix A x B x
a a
ω ω
= − +
X . (4)
Позаяк
( )1
2
i i
a a
ω ω
= + ,
Цей розв’язок повинен мати період, що дорівнює
2π
ω
.
Підставивши (2) до рівняння (1), одержуємо
( ) ( ) ( )exp 1 exp 1
2 2
x A x i B x i
a a
ω ω
= − + + +
X . (5)
У цій формулі треба покласти 0B = , бо розв’язок на
безконечності обмежений. Тоді
( )
( )1
22 2,
i t xx i xi t aa aT x t Ae e Ae e
ωω ω ω
ω
−− + −
= =
чи
( ) ( ) ( )[ ], cos sinxT x t Ae t x i t xϑ ω ϑ ω ϑ−= − + − ,
2a
ωϑ = .
Позаяк уявна частина ( )sini t xω ϑ− не задовольняє
межові умови, її треба вилучити. Маємо розв’язок рів-
няння (1) з періодом
2π
ω
:
( ) ( ), cosxT x t Ae t xϑ ω ϑ−= − , (6)
Якщо на поверхні 0x = задано температуру, що зміню-
ється за законом 0 cosA tω , то розв’язок рівняння (1) на-
буває вигляду
( ) ( )0, cosxT x t A e t xϑ ω ϑ−= − . (7)
Цей розв’язок визначає температурну хвилю з хвильо-
вим числом
2a
ωϑ = і довжиною хвилі λ .
2 4 a
n
π πλ
ϑ
= = , (8)
де n – частота,
2
n ω
π
= .
Найважливіші властивості періодичної функції темпера-
тури (7) при усталеному режимі:
1. У будь який момент часу розподіл температури в ма-
сиві має вигляд хвилі, що її амплітуда меншає за глиби-
ною.
2. Амплітуда коливань температури меншає за законом
2
2
xxx ae e e
ω π
ϑ λ
− −− = = , (9)
і, отже, меншає тим швидше, чим більше ω чи частота
коливань
2
n ω
π
= .
3. Фаза температурної хвилі запізнюється за законом
2
x x
a
ωϑ = .
Це запізнювання більшає зі збільшенням ω чи частоти.
4. Температурні коливання (наприклад, розташування
максимуму та мінімуму) поширюються всередину тіла зі
швидкістю
2aω .
Тепловий потік Q на поверхні тіла 0x = буде такий:
( ) ( ) ( )[ ]0
, cos sinxT x t A e t x t x
x
ϑϑ ω ϑ ω ϑ−∂
= − − − −
∂
,
( ) ( )0
0
, cos sin
x
T x t A t t
x
ϑ ω ω
=
∂
= − −
∂
,
але
sin cos 2 sin
4
x x x π − = −
,
cos sin 2 cos
4
x x x π − = +
,
( )
0
, 2 cos
4
xT x t A e t x
x
ϑ πϑ ω ϑ−∂ = − − +
∂
,
134
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
( )
0
0
, 2 cos
4x
T x t A t
x
πϑ ω
=
∂ = − +
∂
.
Отже,
0
0
2 cos
4x
TQ A t
x
πλ ϑλ ω
=
∂ = − = +
∂
чи
0
0
2 sin
4x
TQ A t
x
πλ ϑλ ω
=
∂ = − = − −
∂
.
Якщо періодичну функцію ( )tϕ на поверхні тіла не опи-
сано за законом 0 cosA tω чи 0 sinA tω , проте вона є ча-
созалежною функцією з періодом
2π
ω
, то її можна роз-
винути в ряд Фур’є за косинусами:
( ) ( ) ( )0 1 2cos cos 2t A A t A tϕ ω ω= + + +
Коефіцієнти nA , 0,1,2,n = знаходимо за стандарт-
ною процедурою:
( ) ( ) ( )0 , cos
2 nA t dt A t n t dt
π π
ω ω
π π
ω ω
ω ωϕ ϕ ω
π π
− −
= =∫ ∫ ,
розв’язок набуває вигляду
( ) 2
0
1
, cos
2
nx
n
n
nT x t A A e n t x
ω
κ ωω
κ
∞ −
=
= + −
∑
.
Цей розв’язок цікавий ще й тим, що дає змогу досить
легко проаналізувати слабшання амплітуд температури
вищих гармонік при зростанні x .
Основним джерелом тепла, що надходить у ґрунт, є
промениста енергія Сонця, яка поглинається поверхнею
ґрунту, перетворюється на теплову енергію й переда-
ється у верхні, а потім і в глибокі його шари. Отже, пове-
рхня ґрунту, що поглинає та випромінює теплову енер-
гію, регулює тепловий режим ґрунту.
Ступінь нагрівання ґрунту залежить від його теплопро-
відності, під якою розуміють здатність ґрунту проводити
тепло з більш нагрітих шарів до менш нагрітих.
Проте зволоження ґрунту, тобто заміщення повітря во-
дою, збільшує теплопровідність ґрунту, проте не про-
порційно величині вологості.
Теплопровідність ґрунту має добовий та річний хід, че-
рез те, що вологість ґрунту має також добовий та річний
хід.
У вологому ґрунті добові коливання температури ґрунту
і зміни температури між його окремими шарами менші,
ніж у сухому.
Зміни температури ґрунту в часі, а також за глибинами
визначається його температуропровідністю, для цього
використовується коефіцієнт температуропровідності,
який дорівнює коефіцієнту теплопровідності, поділе-
ному на об’ємну теплоємність ґрунту:
К = Н/с
де К – коефіцієнт температуропровідності, Н – коефіці-
єнт теплопровідності, с – об'ємна теплоємність.
Визначення коефіцієнта температуропровідності
Якщо на поверхні 0x = міститься періодичне джерело
тепла з деякою частотою коливань n ( 2 nω π= ) чи з
періодом
1 2
n
π
ω
= =T , то рівняння (7) описує процес
поширення температурної хвилі в півпростір:
( ) ( )0, cosxT x t A e t xϑ ω ϑ−= − ,
2
n
a a a
ω π πϑ = = =
T ,
( ) 0, cos 2
x
a tT x t A e x
a
π π π−
= −
T
T T .
Нехай на певній відстані 1x та 2x від джерела тепла мі-
стяться датчики температури. В будь-який момент часу
температура в точках 1x , 2x буде така:
( ) 1
1 0 1, cos 2
x
a tT x t A e x
a
π π π−
= −
T
T T
,
( ) 2
2 0 2, cos 2
x
a tT x t A e x
a
π π π−
= −
T
T T
.
Максимальна температура певної хвилі (амплітуда) в
точках 1x , 2x буде, коли аргумент косинуса дорівнює
нулеві. Маємо
( ) 1
max 1 0,
x
aT x t A e
π
−
= T ,
( ) 2
max 2 0,
x
aT x t A e
π
−
= T .
Прилад реєстрації (наприклад. самописець) реєструє як
довжину хвилі, так і її амплітуду в точках 1x , 2x . Вибра-
вши хвилю максимальної довжини (така хвиля згасає
найповільніше), знаходимо відношення максимальних
амплітуд θ .
( )
( )
1
2
max 1 0
max 2
0
,
,
x
a
x
a
T x t A e
T x t
A e
π
π
θ
−
−
= =
T
T
,
135
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
1
2
x
a
x
a
e
e
π
π
θ
−
−
=
T
T
,
2 1x x
a ae e
π π
θ
− −
=T T ,
2 1ln x x
a a
π πθ − = −
T T
,
2 1ln x x
a a
π πθ = −
T T
,
2 1
ln
a x x
π θ
=
−T
, ( )2
2 1
2ln
x x
a
π
θ
−
=
T
.
Передача тепла в глиб ґрунту відбувається переважно
шляхом молекулярної теплопровідності, а також в ре-
зультаті радіаційного та конвективного теплообміну.
Основні закономірності розподілу коливань темпера-
тури вглиб ґрунту, сформульовані Фур’є, такі:
1. Період коливань температури є незмінним у всіх гли-
бинах (протягом доби, року).
2. Амплітуда коливань температури зменшується з гли-
биною. При зростанні глибини з арифметичною прогре-
сією амплітуда зменшується в геометричній прогресії і
на деякій глибині згасає.
3. Час настання максимумів і мінімумів запізнюється з гли-
биною. Запізнення відбувається пропорційно до глибини.
4. Глибина постійної річної та добової температури відно-
сяться як корінь квадратний з періодів коливань. Оскільки
період коливань зіставляє добу і рік, то згідно з цим поло-
женням глибина загасання річних коливань у 19 разів пе-
ревищує глибину загасання добових коливань.
Для визначення глибини проникнення теплової хвилі
знову скористаймося формулою
( ) 0, cos 2
x
a tT x t A e x
a
π π π−
= −
T
T T
.
На поверхні 0x = максимальна температура (амплі-
туда) буде
( )0 00,T t A= ,
а на деякій відстані x X= максимальна амплітуда
( ) 0,
X
a
XT X t A e
π
−
= T .
Нехай тепер в точці x X= амплітуда в 100 разів менша
від початкової 0A . Маємо відношення
( )
( )
0 0
0
0, 1
, X XX a a
T t A
T X t
A e e
π π
− −
= =
T T
,
1 100
X
ae
π
−
=
T
,
1
100
X
ae
π
−
=T , ln100 aX
π
=
T
.
Отже, теплова хвиля слабшає в 100 разів на глибині чи
відстані від поверхні 0x =
ln100 aX
π
=
T ,
де T – період.
Нехай, наприклад, маємо для сухого піщаного ґрунту
2
0,00273 мa
год
= , 24год=T , тобто добові коли-
вання.
0,00273 24ln100 ln100 0,665aX м м
π π
×
= = =
T
.
Отже, добові коливання температури в сухому піща-
ному ґрунті згасають у 100 разів на глибині 66 см.
Для ґрунту піщаного з вологістю 8%
2
0,0033 мa
год
=
0,0033 24ln100 ln100 0,731aX м м
π π
×
= = =
T
,
а для ґрунтів (в середньому)
2
0,0046 мa
год
=
0,0046 24ln100 ln100 0,863aX м м
π π
×
= = =
T
.
Для гірських порід (середнє значення)
2
0,0118 мa
год
=
0,0118 24ln100 ln100 1,382aX м м
π π
×
= = =
T
.
Визначимо також, на яку глибину поширюється «літня
спекотлива» хвиля, тобто глибину, до якої надійде
фронт температурної хвилі за час, що дорівнює поло-
вині періоду коливання температури. Для цього потрі-
бно в формулі
( ) 0, cos 2
x
a tT x t A e x
a
π π π−
= −
T
T T
покласти
cos 2 1t x
a
π π
− =
T T , отже
2 0t x
a
π π
− =
T T
,
далі покласти 2
t = T
. Тоді
2 0
2
x
a
π π
− =
T
T T
,
x aπ= T .
136
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
Оскільки рік має 8760год 4380
2
год=
T
, для гірських
порід (середнє значення)
2
0,0118 мa
год
= маємо
0,0118 8760 18,02x a мπ π= = × =T .
Добова хвиля 24год=T
0,0118 24 0,943x a мπ π= = × =T .
Температура ґрунту має добову та річну періодичність.
Добовий перебіг температури ґрунту обумовлений в ос-
новному добовим ходом сонячної радіації та випромі-
нюванням земної поверхні. Добовий перебіг темпера-
тури поверхні ґрунту характеризується одним максиму-
мом (близько 13 год) та одним мінімумом (перед схо-
дом Сонця).
Добові коливання температури ґрунту (м. Київ) у серед-
ньому за рік характеризуються даними, наведеними в
табл. 1.
Таблиця 1. Добові коливання температури ґрунту (м. Київ) у середньому за рік
Table 1. Daily variations in soil temperature (Kyiv) on average over the year
Глибина, см Амплітуда, °С Час, год
Максимум Мінімум
Поверхня ґрунту 14,1 13:10 03:25
20 2,7 18:10 08:10
40 1,0 23:25 12:45
80 0,2 07:00 19:00
В окремі дні добовий перебіг температури ґрунту має
суттєві відхилення, що обумовлено значною мірою ста-
ном хмарності, опадами, вітрами та ін.
На значення амплітуди добового ходу температури вер-
хніх шарів ґрунту великий вплив має рослинний шар влі-
тку та сніговий шар взимку.
Річний перебіг температури ґрунту характеризується в
помірних широтах одним максимумом у червні чи сер-
пні та одним мінімумом у січні чи лютому.
У помірних широтах амплітуда річного ходу темпера-
тури поверхні оголеного ґрунту приблизно однакова й
дорівнює 30 °С.
Отже, по-перше, якщо будинок опалюється, глибина
промерзання ґрунту в м. Київ або у будь-якому іншому
місті може знизитися до трьох разів від тієї, яка
прийнята за нормативну відповідно до ДБН В.2.1-10
(Об’єкти будівництва та промислова продукція буді-
вельного призначення. Основи та фундаменти будинків
і споруд).
По-друге, незалежно від геометрії будови і географіч-
ного розташування будівлі ґрунт рівномірно промер-
зати не може. Наприклад, з південного боку при обди-
манні підйом складе 5 см, а з північного – 15 см. На це
може впливати що завгодно, зокрема:
− розташування будівлі на ділянці неправильної фо-
рми (нерівномірний рельєф);
− відведення дощових вод до однієї сторони будинку;
− склад ґрунту різний відносно всієї площі будинку.
По-третє, після того, як земля відтає навесні, вона не по-
вторить точну геометрію свого стану до заморозків.
Тобто щорічно відбувається значна деформація, яка має
бути врахована під час проєктування й будівництва фу-
ндаменту.
У випадку, коли немає можливості скористатися табли-
цею промерзання ґрунту в Україні, побудованої на ос-
нові багаторічних спостережень, використовується сис-
тема теплотехнічного розрахунку. Цим займається інже-
нер, який створює проєкт майбутньої будівлі.
Глибина промерзання ґрунту залежить від:
− типу і складу ґрунту;
− ступеня зволоженості;
− рівня від’ємних температур у зимовий період.
Але всі ці параметри доволі відносні. Наприклад,
взимку одного року мінімальна температура може до-
сягати –7 °C градусів, а в наступному році вже –25 °C.
Клімат наразі дуже мінливий і нестабільний. Так само і
зі складом ґрунту – він може разюче відрізнятися навіть
у межах однієї ділянки. А щодо зволоженості, то вона
залежить: 1) від ґрунтових вод (їх близькості до повер-
хні); 2) від характеру осінньої погоди (що більше дощів
перед заморозками, то більше зволожений ґрунт).
З непрямих, але значущих чинників – проєкт самої будівлі.
Наприклад, для літнього складського приміщення глибину
слід враховувати велику, а при будівництві будинку з гли-
боким опалювальним підвалом вона буде меншою.
Зверніть увагу: нормативна глибина промерзання і
фактична – не те саме!
Як визначити глибину промерзання ґрунту в Україні за
Державними будівельними нормами (ДБН)?
Це – завдання суто фахівців, оскільки результат зале-
жить від правильного розрахунку за досить складною
формулою згідно з ДБН В.2.1-10 (П. 7.5.2; п. 7.5.3).
137
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
Вона враховує:
− хімічний і структурний склад ґрунту;
− вивчення його фізичних властивостей;
− визначення рівня ґрунтових вод;
− вплив сусідніх будівель на температурний режим та
інше.
Згідно з п. 7.5.2 ДСТУ Б.В.2.1-2. нормативну глибину се-
зонного промерзання ґрунту приймають такою, що до-
рівнює середній із щорічних максимальних глибин се-
зонного промерзання ґрунтів (за даними спостережень
за період не менше, ніж 10 років) на відкритій, оголеній
від снігу і доступній для впливу вітру горизонтальній по-
верхні майданчика при рівні підземних вод, розташова-
ному нижче глибини сезонного промерзання ґрунтів.
При використанні результатів спостережень за фактич-
ною глибиною промерзання слід ураховувати, що вона
повинна визначатись за температурою, що характери-
зує (згідно з ДСТУ Б.В.2.1-2) перехід пластичномерзлого
ґрунту у твердомерзлий.
Відповідно до п. 7.5.3 ДСТУ Б.В.2.1-2. нормативну гли-
бину сезонного промерзання ґрунту dtn , м, за відсутно-
сті даних багаторічних спостережень слід визначати на
основі теплотехнічних розрахунків, її нормативне зна-
чення допускається визначати за формулою
dfn=d0√Mt , (10)
де d0 – величина, що дорівнює, м, для:
− суглинків і глин d0 = 0,23;
− супісків і пісків пилуватих та дрібних d0 = 0,28;
− пісків гравіюватих, крупних та середньої крупності
d0 = 0,3;
− великоуламкових ґрунтів d0 = 0,34.
Значення d0 для ґрунтів неоднорідного складу визначають
як середньозважене в межах глибини промерзання;
Mt – безрозмірний коефіцієнт, що чисельно дорівнює
сумі абсолютних значень середньомісячних негативних
температур за зиму в певному районі, визначають згі-
дно зі СНиП 2.01.01, а за відсутності даних для конкрет-
ного району будівництва – за результатами спостере-
жень гідрометеорологічної станції, що перебуває в ана-
логічних умовах з районом будівництва.
Максимальні значення глибини промерзання ґрунту в
Україні наведено в табл 2.
Таблиця 2. Глибина промерзання ґрунту в Україні [16]
Table 2. Depth of soil freezing in Ukraine [16]
Регіон Максимальна глибина промерзання, см
Автономна Республіка Крим 60
Вінницька область 100
Волинська область 80
Дніпропетровська область 90
Донецька область 95 м. Бахмут – 80
Житомирська область 100
Закарпатська область 65 м. Ужгород – 63
Запорізька область 80
Івано-Франківська область 70
Київська область 90 м. Київ – 80–90
Кіровоградська область 80 Максимальна зафіксована – 100
Луганська область 100
Львівська область 80
Миколаївська область 60
Одеська область 60
Полтавська область 90
Рівненська область 100 м. Рівне– 70
Сумська область 95
Тернопільська область 80
Харківська область 95
Херсонська область 60 Максимальна зафіксована – 90
Хмельницька область 80
Черкаська область 90 Максимальна зафіксована – 110
Чернівецька область 75
Чернігівська область 95
138
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
Щодо амплітуди річного ходу температури ґрунту, то з
глибиною вона зменшується, запізнюється час настання
максимуму та мінімуму температури на різних
глибинах. Зміни річних амплітуд температури ґрунту в
Київській області за багаторічними спостереженнями
наведені в табл. 3.
Таблиця 3. Зміни річних амплітуд температури ґрунту в Київській області [17]
Table 3. Changes in annual soil temperature amplitudes in the Kyiv region [17]
Глибина, см Амплітуда температур, °C
Поверхня ґрунту 31
10 21
25 18
50 16
100 14
200 10
Якщо на поверхні ґрунту максимуми температури спос-
терігаються наприкінці червня, то на глибині 2 м він на-
стає лише в середині серпня.
Згідно з теоретичними розрахунками Фур’є, глибина
проникнення річної температури ґрунту повинна приб-
лизно в 19 разів перевищувати глибину проникнення
добових коливань. Однак насправді величини цього ві-
дношення більше внаслідок збільшення температуроп-
ровідності з глибиною, зміни вологості ґрунту за глиби-
нами та в часі й унаслідок меншої пористості ґрунту в
глибоких шарах. У середньому глибина проникнення рі-
чних коливань температури в глиб ґрунту становить від
8 до 25 м, у деяких випадках вона досягає 30 м.
Час настання максимуму й мінімуму температури з гли-
биною запізнюється в середньому на 20–30 діб за кожен
метр глибини.
Річний перебіг температури ґрунту залежить в основ-
ному від рослинного покриву ґрунту – характеру та ви-
соти його протягом року.
Найбільші відмінності спостерігаються в зимовий пе-
ріод, внаслідок зменшення охолодження ґрунту сніго-
вим покривом, що має малу теплопровідність і велику
відбивну здатність. Найбільша амплітуда річних коли-
вань температури – на оголеному ґрунті. Природна по-
верхня ґрунту, покрита взимку сніговим покривом, а влі-
тку травою, має сильно згладжені амплітуди коливань;
влітку оголений ґрунт тепліший за ґрунт під природним
покривом, взимку (в помірних широтах) оголений ґрунт
значно холодніший за ґрунт під сніговим покривом.
Висновки:
Теоретично обґрунтовано, що ґрунт є ефективним дже-
релом низькопотенційної теплової енергії для побудови
систем опалення на основі теплових насосів, оскільки
температура ґрунту нижче глибини промерзання протя-
гом зимового періоду становить від 2 до 10 °С.
Доведено, що встановлення горизонтальних геотерма-
льних теплообмінників на глибині менше 1,5 м недоці-
льна у зв’язку з тим, що можливе промерзання ґрунту
на цю глибину та пошкодження системи відбору низь-
копотенційної теплової енергії.
Наведено математичний апарат для визначення гли-
бини проникнення теплової хвилі та аналітично розра-
ховано, що глибина поширення теплової хвилі дорівнює
0,94 м за добу та 18,02 м за рік, тобто глибину, до якої
надійде фронт температурної хвилі за час, що дорівнює
половині періоду коливання температури.
Аналітично обґрунтовано, що перебіг температури ґру-
нту залежить від рослинного покриву ґрунту – його ха-
рактеру та висоти протягом року.
Мають перспективу подальші дослідження щодо розра-
хунку можливості застосування сонячної енергії для
отримання теплової енергії для зменшення девіації те-
мператури теплоносія на вході у випарник теплового на-
сосу, що поступає від горизонтального ґрунтового теп-
лообмінника, змонтованого в ґрунті нижче глибин про-
мерзання та вище нейтрального шару температур.
ПОСИЛАННЯ
1. Безродний М. К. Пуховий І. І., Кутра Д. С. Теплові на-
соси та їх використання: навч. посіб. К.: НТУУ «КПІ».
2013. 312 с.
2. Долинский А. А., Драганов Б. Х. Тепловые насосы в
системе теплоснабжения зданий. Промышленная
теплотехника. 2008. Т. 30. № 6. С. 71–83.
3. Кудря С. О. Відновлювані джерела енергії. К.: ІВЕ
НАН України. 2020. 354 с.
4. Lund J., Sanner B., Rybach L. Curtis R., Hellstrоm G.
Geothermal (ground-source) heat pumps a world
overview. GHC bulletin. 2004. Vol. 9. Pp. 1–10.
5. Морозов Ю. П., Чалаєв Д. М., Ніколаєвська Н. В., До-
бровольський М. П. Оцінка ефективності викорис-
тання теплового потенціалу довкілля та верхніх ша-
рів Землі України. Відновлювана енергетика. 2019.
№ 4 (63). С. 80–88. https://doi.org/10.36296/1819-
8058.2020.4(63).80-88
139
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
6. Zhu Ke, Blum Philipp, Ferguson Grant, Balke Klaus-
Dieter, Bayer Peter. The geothermal potential of urban
heat islands. 2010. Environ. Res. Lett. No. 5. Pp. 1–6.
http://dx.doi.org/10.1088/1748-9326/6/1/019501
7. Морозов Ю. П. та ін. Енергетична ефективність вико-
ристання перших від поверхні водоносних горизон-
тів для тепло- і хладопостачання / Ю. П. Морозов, А.
А. Барило, Д. М. Чалаєв, М. П. Добровольський. Від-
новлювана енергетика. 2019. № 2. С. 70–78. DOI:
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2019.2(57).70-78
8. Zurian O. V. Comparison of efficiency of geothermal and
hydrothermal energy systems. XIX International
Multidisciplinary Scientific GeoConference SGEM.
Renewable Energy Sources and Clean Tech. Varna.
Bulgaria. 2019. С. 83–90.
https://doi.org/10.5593/sgem2019/4.1/S17.011
9. Малкін Е. С., Кулінко Є. О. Перспективи та аспекти за-
стосування систем теплохолодопостачання, які вико-
ристовують приповерхневі шари води в якості тепло-
вого акумулятора. Вентиляція, освітлення та теплога-
зопостачання. 2014. № 17. С. 63–69.
10. Denisov O. I. Comparative energy analysis of heat
pumps and traditional heating systems. Tehnicheskaya
teplofizika i promyishlennaya teploenergetika. Ukraine.
2010. vol. 2. Pp. 22–34.
11. Bayer P., Saner D., Bolay S., Rybach L., Blum P.
Greenhouse gas emission savings of ground source heat
pump systems in Europe: a review. Renewable and
Sustainable Energy Reviews. 2012. №16.
1256–1267.
https://doi.org/10.1016/j.rser.2011.09.027
12. Зур’ян О. В., Олійніченко В. Г. Гідротермальна сис-
тема отримання теплової енергії, фізичні процеси,
ефективність. Вісник Вінницького політехнічного ін-
ституту. 2021. № 4. С. 40–46.
https://doi.org/10.31649/1997-9266-2021-157-4-40-
46
13. Zurian O. Barilo А. Impact of the natural temperature
regime of the upper layers of Earth on efficiency of a
hydrothermal heat pump system. Journal of Geology,
Geography and Geoecology. 2022. Vol. 31 No. 3 С. 575–
584 https://doi.org/10.15421/112254
14. Зур’ян. О. В. Експериментальні дослідження тепло-
вого режиму гідротермальної теплонасосної сис-
теми. Відновлювана енергетика. 2021. № 4 (67).
С. 77–89. https://doi.org/10.36296/1819-8058.2021.-
4(67).77-89
15. Морозов Ю. П., Чалаєв Д. М., Олійніченко В. Г., Вели-
чко В. В. Експериментальне дослідження добового
акумулювання холоду шляхом використання води
підземних горизонтів м. Києва. Відновлювана енер-
гетика. 2019. № 3. С. 67–77.
https://doi.org/10.36296/1819-058.2019.3(58).67-77
16. Глибина промерзання ґрунту. Website. URL:
https://royalbud.com.ua/blog/glubina-promerzaniya-
grunta
17. Морозов Ю. П. Видобування геотермальної енергії :
монографія. К.: ІВЕ НАНУ. 2022. 245 с
REFERENCES
1. Bezrodnyi M. K. Pukhovyi I. I., Kutra D. S. Teplovi nasosy
ta yikh vykorystannia. [Heat pumps and their use]:
navch. posib. K.: NTUU «KPI». 2013. 312 s.
2. Dolynskyi A. A., Drahanov B. Kh. Teplovыe nasosы v
systeme teplosnabzhenyia zdanyi. [Heat pumps in the
heat supply system are installed] Promіshlennaia
teplotekhnyka. 2008. Т. 30. № 6. S. 71–83.
3. Kudria S. O. Vidnovliuvani dzherela enerhii. [Renewable
energy sources]. K.: IVE NAN Ukrainy. 2020. 354 с.
4. Lund J., Sanner B., Rybach L. Curtis R., Hellstrоm G.
Geothermal (ground-source) heat pumps a world
overview. GHC bulletin. 2004. Vol. 9. Pp. 1–10.
5. Morozov Yu.P., Chalaiev D.M., Nikolaievska N.V.,
Dobrovolskyi M.P. Otsinka efektyvnosti vykorystannia
teplovoho potentsialu dovkillia ta verkhnikh shariv
Zemli Ukrainy. [Evaluation of the effectiveness of the
use of the thermal potential of the environment and the
upper layers of the Earth of Ukraine]. Vidnovliuvana
enerhetyka. 2019. № 4 (63). С. 80–88.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2020.4(63).80-88
6. Zhu Ke, Blum Philipp, Ferguson Grant, Balke Klaus-
Dieter, Bayer Peter. The geothermal potential of urban
heat islands. 2010. Environ. Res. Lett. No. 5. Pp. 1–6.
http://dx.doi.org/10.1088/1748-9326/6/1/019501
7. Morozov Yu. P. et al. Enerhetychna efektyvnist
vykorystannia pershykh vid poverkhni vodonosnykh
horyzontiv dlia teplo- i khladopostachannia. [Energy
efficiency of using the first aquifers from the surface for
heating and cooling] / Yu. P. Morozov, A. A. Barylo,
D. M. Chalaiev, M. P. Dobrovolskyi. Vidnovliuvana
enerhetyka. 2019. № 2. S. 70–78. DOI:
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2019.2(57).70-78
8. Zurian O. V. Comparison of efficiency of geothermal and
hydrothermal energy systems. XIX International
Multidisciplinary Scientific GeoConference SGEM.
Renewable Energy Sources and Clean Tech. Varna.
Bulgaria. 2019. С. 83–90.
https://doi.org/10.5593/sgem2019/4.1/S17.011
9. Malkin E. S., Kulinko Ye. O. Perspektyvy ta aspekty
zastosuvannia system teplokholodopostachannia, yaki
vykorystovuiut prypoverkhnevi shary vody v yakosti
teplovoho akumuliatora. [Prospects and aspects of the
application of heat and cold supply systems that use
near-surface layers of water as a heat accumulator].
Ventyliatsiia, osvitlennia ta teplohazopostachannia.
2014. № 17. S. 63–69.
https://doi.org/10.36296/1819-058.2019.3(58).67-77
https://royalbud.com.ua/blog/glubina-promerzaniya-grunta
https://royalbud.com.ua/blog/glubina-promerzaniya-grunta
140
Відновлювана енергетика. №3/2023 | Геотермальна енергетика
10. Denisov O. I. Comparative energy analysis of heat
pumps and traditional heating systems. Tehnicheskaya
teplofizika i promyishlennaya teploenergetika. Ukraine.
2010. Vol. 2. Pp. 22–34.
11. Bayer P., Saner D., Bolay S., Rybach L., Blum, P.
Greenhouse gas emission savings of ground source heat
pump systems in Europe: a review. Renewable and
Sustainable Energy Reviews. 2012. № 16:
P. 1256–1267.
https://doi.org/10.1016/j.rser.2011.09.027
12. Zurian O. V., Oliinichenko V. H. Hidrotermalna systema
otrymannia teplovoi enerhii, fizychni protsesy,
efektyvnist. [Hydrothermal system for obtaining
thermal energy, physical processes, efficiency]. Visnyk
Vinnytskoho politekhnichnoho instytutu. 2021. № 4. S.
40–46. https://doi.org/10.31649/1997-9266-2021-157-
4-40-46
13. Zurian O. Barilo А. Impact of the natural temperature
regime of the upper layers of Earth on efficiency of a
hydrothermal heat pump system. Journal of Geology,
Geography and Geoecology. 2022. Vol. 31. No 3. S. 575–
584 https://doi.org/10.15421/112254
14. Zurian. O. V. Eksperymentalni doslidzhennia teplovoho
rezhymu hidrotermalnoi teplonasosnoi systemy.
[Experimental studies of the thermal regime of the
hydrothermal heat pump system]. Vidnovliuvana
enerhetyka. 2021. No. 4 (67). S. 77–89.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2021.4(67).77-89
15. Morozov Yu. P., Chalaev D. M., Olynichenko V. G.,
Velichko V. V. Eksperymentalne doslidzhennia
dobovoho akumuliuvannia kholodu shliakhom
vykorystannia vody pidzemnykh horyzontiv m. Kyieva.
[Experimental study of daily accumulation of cold by
using water from the underground horizons of the city
of Kyiv]. Vidnovliuvana enerhetyka. 2019. No. 3. S. 67–
77. https://doi.org/10.36296/1819-
058.2019.3(58).67-77
16. Hlybyna promerzannia gruntu [Depth of soil freezing].
Website. URL:
https://royalbud.com.ua/blog/glubina-promerzaniya-
grunta
17. Morozov Yu. P. Vydobuvannia heotermalnoi enerhii:
monohrafiia. [Extraction of geothermal energy]. K.: IVE
NANU. 2022. 245 s.
https://royalbud.com.ua/blog/glubina-promerzaniya-grunta
https://royalbud.com.ua/blog/glubina-promerzaniya-grunta
|
| id | veorgua-article-421 |
| institution | Vidnovluvana energetika |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:12:03Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | veorgua/3b/29d6e7c15d697fb1c7aa7b4a2a47693b.pdf |
| spelling | veorgua-article-4212026-07-18T06:32:18Z ANALYTICAL CALCULATION OF THE DEPTH OF TEMPERATURE WAVE PROPAGATION DURING THE CONSTRUCTION OF GEOTHERMAL HEAT PUMP SYSTEMS АНАЛІТИЧНИЙ РОЗРАХУНОК ГЛИБИНИ ПОШИРЕННЯ ТЕМПЕРАТУРНОЇ ХВИЛІ ПРИ ПОБУДОВІ ГЕОТЕРМАЛЬНИХ ТЕПЛОНАСОСНИХ СИСТЕМ Morozov, Yu. Zurian, О. heat pump, soil storage, heat supply, conversion factor, periodicity, freezing layer. тепловий насос, ґрунтове акумулювання, теплопостачання, коефіцієнт перетворення, періодич-ність, шар промерзання. In the process of solving the tasks of soil accumulation and extraction of heat from the near-surface layers of the Earth, there is a need to obtain information about the depth of daily and annual temperature changes in the soil, which determines the layer of the Earth's surface that actively interacts with the Earth's atmosphere. In the cold season, the temperature in it drops, and in the warm season it rises. It is known that the efficiency of the heat pump system depends both on the temperature difference at the outlet of the heat pump condenser and the inlet to its evaporator, and on the stability of the temperature of the heat energy source. The temperature at the inlet to the heat pump evaporator is determined by the temperature of the soil at the place of installation of the thermal energy collector. It is known that the most economically profitable is the installation of geothermal heat exchangers located horizontally in the soil at a shallow depth, due to lower costs for land works and the absence of the need to drill deep wells. At the same time, these systems have the greatest vulnerability to the temperature difference that occurs in the near-surface layers. Therefore, there is a need to study thermophysical processes occurring in the soil under the influence of exogenous factors. It is known that soil temperature has daily and annual periodicity. The degree of heating of the soil depends on its thermal conductivity, which is understood as the ability of the soil to conduct heat from more heated layers to less heated layers. And the course of soil temperature can significantly depend on the vegetation cover of the soil, its nature and height throughout the year. At the same time, heat exchanger-soil systems, the effectiveness of which directly depends on the distribution of temperature in the soil and the factors affecting this distribution, remain insufficiently researched. The main feature of the geothermal heat energy extraction system is the combination of technical and natural elements of such systems. At the same time, the natural source of thermal energy is located in an environment that is not easily accessible for observation. The purpose of the research is to develop an applied methodology as a set of principles and approaches of mathematical modeling based on the proposed mathematical apparatus for analytical calculation of the depth of temperature wave propagation during the construction of geothermal heat pump systems. The basic mathematical apparatus for describing such processes includes differential equations that take into account the dependence of temperature on time and spatial coordinates. Further studies are promising for calculating the possibility of using a solar system to obtain thermal energy to reduce the temperature deviation of the heat carrier at the inlet to the evaporator of the heat pump, which comes from a horizontal ground heat exchanger mounted in the soil below freezing depths and above the neutral temperature layer. У процесі вирішення завдань ґрунтового акумулювання й вилучення теплоти з приповерхневих шарів Землі, виникає потреба одержати інформацію щодо глибини добових та річних змін температури в ґрунті, яка визначає шар земної поверхні, що активно взаємодіє з навколоземною атмосферою. У холодну пору року температура в ній знижується, а в теплу – підвищується. Відомо, що ефективність теплонасосної системи залежить як від різниці температур на виході з конденсатора теплового насоса та вході в його випарник, так і від стабільності температури джерела теплової енергії. Температура на вході у випарник теплового насоса визначається температурою ґрунту в місці встановлення колектора теплової енергії. Відомо, що найбільш економічно рентабельною є інсталяція геотермальних теплообмінників, розташованих горизонтально в ґрунті на невеликій глибині, за рахунок менших витрат на земельні роботи та відсутності необхідності буріння глибоких свердловин. Водночас ці системи найвразливіші до перепаду температур, що відбувається в приповерхневих шарах. Тож виникає потреба в дослідженні теплофізичних процесів, що відбуваються в ґрунті під впливом екзогенних факторів. Відомо, що температура ґрунту має добову та річну періодичність. Ступінь нагрівання ґрунту залежить від його теплопровідності, під якою розуміють здатність ґрунту проводити тепло з більш нагрітих шарів у шари менш нагріті. А коливання температури ґрунту може суттєво залежати від рослинного покриву ґрунту, характеру та висоти його протягом року. Разом з тим залишаються недостатньо дослідженими системи теплообмінник–ґрунт, ефективність використання яких безпосередньо залежить від розподілу температури в ґрунті та факторів, які на цей розподіл впливають. Головною особливістю системи добування геотермальної теплової енергії є поєднання технічних і природного елементів таких систем. При цьому природнє джерело теплової енергії перебуває в середовищі, яке малодоступне для спостережень. Метою дослідження є розроблення прикладної методології як сукупності принципів та підходів математичного моделювання на основі запропонованого математичного апарату аналітичного розрахунку глибини поширення температурної хвилі при побудові&nbsp; геотермальних теплонасосних систем. Основний математичний апарат для опису таких процесів включає в себе диференціальні рівняння, що враховують залежність температури від часу та просторових координат. Мають перспективу подальші дослідження щодо розрахунку можливості застосування сонячної системи для отримання теплової енергії для зменшення девіації температури теплоносія на вході в випарник теплового насоса, що поступає від горизонтального ґрунтового теплообмінника, змонтованого в ґрунті нижче глибин промерзання та вище нейтрального шару температур. Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2023-10-19 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/421 10.36296/1819-8058.2023.3(74).127-140 Vidnovluvana energetika ; No. 3(74) (2023): Scientific and applied Journal renewable energy ; 127-140 Возобновляемая энергетика; ##issue.no## 3(74) (2023): Scientific and applied Journal renewable energy ; 127-140 Відновлювана енергетика; № 3(74) (2023): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 127-140 2664-8172 1819-8058 10.36296/1819-8058.2023.3(74) uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/421/330 Copyright (c) 2023 Yu. Morozov, О. Zurian https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | heat pump soil storage heat supply conversion factor periodicity freezing layer. Morozov, Yu. Zurian, О. ANALYTICAL CALCULATION OF THE DEPTH OF TEMPERATURE WAVE PROPAGATION DURING THE CONSTRUCTION OF GEOTHERMAL HEAT PUMP SYSTEMS |
| title | ANALYTICAL CALCULATION OF THE DEPTH OF TEMPERATURE WAVE PROPAGATION DURING THE CONSTRUCTION OF GEOTHERMAL HEAT PUMP SYSTEMS |
| title_alt | АНАЛІТИЧНИЙ РОЗРАХУНОК ГЛИБИНИ ПОШИРЕННЯ ТЕМПЕРАТУРНОЇ ХВИЛІ ПРИ ПОБУДОВІ ГЕОТЕРМАЛЬНИХ ТЕПЛОНАСОСНИХ СИСТЕМ |
| title_full | ANALYTICAL CALCULATION OF THE DEPTH OF TEMPERATURE WAVE PROPAGATION DURING THE CONSTRUCTION OF GEOTHERMAL HEAT PUMP SYSTEMS |
| title_fullStr | ANALYTICAL CALCULATION OF THE DEPTH OF TEMPERATURE WAVE PROPAGATION DURING THE CONSTRUCTION OF GEOTHERMAL HEAT PUMP SYSTEMS |
| title_full_unstemmed | ANALYTICAL CALCULATION OF THE DEPTH OF TEMPERATURE WAVE PROPAGATION DURING THE CONSTRUCTION OF GEOTHERMAL HEAT PUMP SYSTEMS |
| title_short | ANALYTICAL CALCULATION OF THE DEPTH OF TEMPERATURE WAVE PROPAGATION DURING THE CONSTRUCTION OF GEOTHERMAL HEAT PUMP SYSTEMS |
| title_sort | analytical calculation of the depth of temperature wave propagation during the construction of geothermal heat pump systems |
| topic | heat pump soil storage heat supply conversion factor periodicity freezing layer. |
| topic_facet | heat pump soil storage heat supply conversion factor periodicity freezing layer. тепловий насос ґрунтове акумулювання теплопостачання коефіцієнт перетворення періодич-ність шар промерзання. |
| url | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/421 |
| work_keys_str_mv | AT morozovyu analyticalcalculationofthedepthoftemperaturewavepropagationduringtheconstructionofgeothermalheatpumpsystems AT zuriano analyticalcalculationofthedepthoftemperaturewavepropagationduringtheconstructionofgeothermalheatpumpsystems AT morozovyu analítičnijrozrahunokglibinipoširennâtemperaturnoíhvilípripobudovígeotermalʹnihteplonasosnihsistem AT zuriano analítičnijrozrahunokglibinipoširennâtemperaturnoíhvilípripobudovígeotermalʹnihteplonasosnihsistem |