MATHEMATICAL MODEL OF HYDROGEN STORAGE IN AQUIFER
A mathematical model of the underground storage of hydrogen in an aquifer is proposed, which describes the hydrodynamic interaction between hydrogen, which is injected through a well, and water in porous aquifers, which is displaced from the formation by the pressure of hydrogen gas. The model is a...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
2023
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/435 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Vidnovluvana energetika |
| Download file: |  |
Institution
Vidnovluvana energetika| _version_ | 1871103709455319040 |
|---|---|
| author | Morozov, Yu. Zhokhin, А. |
| author_facet | Morozov, Yu. Zhokhin, А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Yu. Morozov",
"institution": "Institute of Renewable Energy NAS Ukraine, Kyiv, Ukraine"
},
{
"author": "А. Zhokhin",
"institution": "Institute of Renewable Energy NAS Ukraine, Kyiv, Ukraine"
}
] |
| author_sort | Morozov, Yu. |
| baseUrl_str | https://ve.org.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T06:32:19Z |
| description | A mathematical model of the underground storage of hydrogen in an aquifer is proposed, which describes the hydrodynamic interaction between hydrogen, which is injected through a well, and water in porous aquifers, which is displaced from the formation by the pressure of hydrogen gas. The model is a system of differential equations in partial derivatives for functions of the coordinates and time of the pressure potential and the gas-water contact boundary. The considered model is proposed to be used in numerical calculations using difference schemes in time and space coordinates of non-stationary methods of approximation of differential equations. The relevance of the use and study of gas storages and their mathematical modeling is given.
A mathematical model of hydrogen storage in the aquifer was built, which describes the displacement of liquid water by hydrogen gas in the porous layer into its peripheral horizontal region. The model is a system of evolutionary partial differential equations for hydrogen pressure and movement of the boundary between water and hydrogen gas. Cylindrical symmetry is assumed in the model. For the analysis of time-space processes in the sto-rage of hydrogen based on the presented model, it is proposed to use finite-difference numerical methods that allow to closely investigate and analyze the processes of hydrogen injection and pumping in aquifers. Since these processes occur deep underground and are quite difficult to observe, the use of a mathematical model helps predict these processes with some accuracy, both qualitatively and quantitatively. |
| doi_str_mv | 10.36296/1819-8058.2023.4(75).85-92 |
| first_indexed | 2025-07-17T11:39:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
85
Відновлювана енергетика. №4/2023 | Геотермальна енергетика
УДК 622.2; 691 https://doi.org/10.36296/1819-8058.2023.4(75)85-92
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СХОВИЩА ВОДНЮ У ВОДОНОСНОМУ ПЛАСТІ
Отримано 11 груд. 2023 р.; рекомендовано до публікації 20 груд. 2023 р.
Доступно онлайн 30 груд. 2023 р.
Ю. П. Морозов1, А. С. Жохін2
Автор для коресподенції: Юрій Морозов,
e-mail: geotherm@ukr.net
Пропонується математична модель підземного схо-
вища водню у водоносному пласті, яка описує гідродинамічну взаємодію між воднем, що нагнітається
через свердловину, і водою в пористих водоносних земних пластах, що витісняється з пласта тиском
газу водню. Модель являє собою систему диференціальних рівнянь в частинних похідних для функцій
від координат і часу потенціалу тиску й межі газо-водного контакту. Розглянуту модель пропону-
ється використовувати в чисельних розрахунках за допомогою різницевих схем у часових і просторо-
вих координатах нестаціонарних методів наближення диференціальних рівнянь. Наведено актуаль-
ність використання і вивчення газових сховищ та їх математичне моделювання.
Побудовано математичну модель сховища водню у водоносному пласті, яка описує витіснення рідкої
води газом водню в пористому пласті в його периферійну горизонтальну область. Модель являє со-
бою систему еволюційних диференціальних рівнянь в частинних похідних для тиску водню й руху гра-
ниці між водою і водневим газом. У моделі приймається циліндрична симетрія. Для аналізу часово-
просторових процесів на основі представленої моделі пропонується використовувати скінченно-різ-
ницеві чисельні методи, які дають змогу наближено дослідити й проаналізувати процеси нагнітання
і викачку водню у водоносних пластах. Оскільки ці процеси відбуваються на глибині під землею і є до-
сить складними для спостережень, використання математичної моделі допомагає прогнозувати з
деякою точністю ці процеси як якісно, так і кількісно.
Ключові слова: газове сховище, водень, водоносний масив, математична модель, скінченно-різнице-
вий метод.
MATHEMATICAL MODEL OF HYDROGEN STORAGE IN AQUIFER
Received Dec. 11. 2023; accepted Dec. 20. 2023
Available online Dec. 30. 2023
Yu. Morozov1, А. Zhokhin2
Author for correspondence: Yurii Morozov,
e-mail: geotherm@ukr.net
A mathematical model of the underground storage of hydrogen
in an aquifer is proposed, which describes the hydrodynamic in-
teraction between hydrogen, which is injected through a well, and water in porous aquifers, which is displaced
from the formation by the pressure of hydrogen gas. The model is a system of differential equations in partial
derivatives for functions of the coordinates and time of the pressure potential and the gas-water contact bound-
ary. The considered model is proposed to be used in numerical calculations using difference schemes in time and
space coordinates of non-stationary methods of approximation of differential equations. The relevance of the use
and study of gas storages and their mathematical modeling is given.
A mathematical model of hydrogen storage in the aquifer was built, which describes the displacement of liquid
water by hydrogen gas in the porous layer into its peripheral horizontal region. The model is a system of evolu-
tionary partial differential equations for hydrogen pressure and movement of the boundary between water and
1 Doc. of Tech. Sciences.
https://orcid.org/0000-0003-1632-9735
2 Cand. of Phys. and Math. Sciences.
https://orcid.org/0000-0001-7826-6608
1 Institute of Renewable Energy NAS Ukraine,
Kyiv, Ukraine
1 д-р техн. наук.
https://orcid.org/0000-0003-1632-9735
2 канд. фіз.-мат. наук.
https://orcid.org/0000-0001-7826-6608
1, 2 Інститут відновлюваної енергетики НАН
України, м. Київ, Україна
86
Відновлювана енергетика. №4/2023 | Геотермальна енергетика
hydrogen gas. Cylindrical symmetry is assumed in the model. For the analysis of time-space processes in the sto-
rage of hydrogen based on the presented model, it is proposed to use finite-difference numerical methods that
allow to closely investigate and analyze the processes of hydrogen injection and pumping in aquifers. Since these
processes occur deep underground and are quite difficult to observe, the use of a mathematical model helps pre-
dict these processes with some accuracy, both qualitatively and quantitatively.
Keywords: gas storage, hydrogen, aquifer, mathematical model, finite difference method.
Мета
Метою статті є побудова математичної моделі підзем-
ного сховища водню в підземних водоносних масивах.
Необхідність математичних моделей для таких проце-
сів, які відбуваються в підземних масивах, обумовлена
складними умовами спостереження за геофізичними
явищами на відносно великих глибинах земної поверхні
й вимірів їх параметрів. Завдяки таким моделям можна
передбачати й імітувати відповідні підземні процеси та
їх параметри ще до фізичного проведення практичних
експериментів, які є досить дорогими й трудомісткими,
визначати й прораховувати бажані режими цих проце-
сів.
Про проблему зберігання і підземні сховища газу
Газовим сховищем може бути штучна або природна єм-
ність, де зберігають (резервують) великі обсяги газу, яка
також використовується для регулювання подачі газу в
разі нерівномірності його споживання. Підземні газо-
сховища зазвичай розташовують недалеко від ліній ма-
гістральних газопроводів, а також центрів споживання
газу.
В разі зниження споживання газу він закачується у схо-
вище, якщо споживання газу збільшується, він зі схо-
вища передається назад у газопровід. Закачування газу
в газосховище і відбирання газу з нього відбувається че-
рез свердловину.
Є наземні та підземні сховища газу. Підземні сховища
газу створюються в підземних резервуарах штучного і
природного походження.
Розрізняють пористі та порожнисті підземні резервуари.
Як пористі резервуари можуть використовуватися ви-
снажені газові, газоконденсатні, газонафтові й нафтові
родовища, поклади негорючих газів, водоносні пласти.
До порожнистих підземних резервуарів належать поро-
жнини, які утворюються у відкладах кам’яної солі, в не-
проникних або практично непроникних гірських поро-
дах, у покинутих шахтах і кар’єрах, у гірничих виробках,
у щільних гірських породах.
Найбільше підземних газових сховищ розміщують у ви-
снажених газонафтових і газових родовищах, які ство-
рені методом закачування газу через свердловини у ви-
снажений продуктивний пласт. Також багато є
підземних газових сховищ у водоносних пластах, в яких
вода витісняється з порового простору газом, який зака-
чують у сховище. Підземне газове сховище в пористому
середовищі – це штучний газовий поклад, який екс-
плуатується циклічно в часі. Основними параметрами для
такого сховища в пористому середовищі є проникність,
товщина і глибина залягання пласта-колектора, об’єм
порового простору, який можна заповнити газом, при-
сутність над пластом-колектором герметичної покри-
шки, активність водонапірної системи. Найпоширені-
шим типом підземних газових сховищ у непроникних
гірських породах є газові сховища у відкладах кам’яної
солі, які утворюють вимиванням порожнини в пласті
солі через нагнітання в пласт води і наступним закачу-
ванням у порожнину газу.
Для спостереження за тиском, газонасиченістю, сольо-
вим складом води, складом розчинених газів по горизо-
нтах зберігання і по спеціально виділених у розрізі кон-
трольних горизонтах застосовують гідродинамічні,
гідрохімічні, геологічні, газометричні і геофізичні ме-
тоди контролю.
Першими газосховищами були Олишівське і Червонопа-
ртизанське. Їх створили у водоносних пластах для газо-
постачання м. Києва. Дослідне закачування газу в Олиш-
ківське підземне газове сховище започатковане в 1964
році. Червонопартизанське підземне газове сховище
функціонує з 1968 року. Подальший розвиток підзем-
ного зберігання газу базувався переважно на викорис-
танні відпрацьованих газових родовищ Прикарпаття.
Українські підземні сховища природного газу в Прикар-
патті: Калуське, Щелківське, Гатчинське, Кущівське, Ін-
чукалнське, Червонопартизанське, Дашавське, Угер-
сько-Білче-Волицьке, Опарське, Богородчанське, в
Луганській області: Червонопопівське, Вергунське.
Підземні газові сховища виконували функцію надійного
забезпечення внутрішнього споживання і експорту газу
в Європу.
Комплекс підземних сховищ природного газу на терито-
рії України на початок ХХІ ст. складається з 13 об’єктів. Їх
проєктна потужність за активним газом становить
37,8 млрд куб. м. Максимальна добова продуктив-
ність – 383,0 млн куб. м. Комплекс підземних газосхо-
вищ в Україні посідає третє місце в світі і друге – в Єв-
ропі. Питома вага активної місткості українських ПСГ в
Європі становить 20 %.
Підземні сховища природного газу є одним із найваж-
ливіших технологічних елементів газотранспортної сис-
теми України, який забезпечує її надійну та безпере-
бійну роботу. Підземні сховища газу, створені на базі
виснажених газових і газоконденсатних родовищ, роз-
ташовані в усіх нафтогазових провінціях країни на гли-
бині від 400 до 2000 м.
87
Відновлювана енергетика. №4/2023 | Геотермальна енергетика
На сьогодні Україна має розвинуту мережу підземних
сховищ природного газу зі значними потенційними мо-
жливостями. Загально досягнута активна місткість під-
земних сховищ становить понад 24 млрд куб. м газу, що
відповідає 70 % проєктної величини, а їхня сумарна мо-
жлива максимальна продуктивність на початок сезону
відбирання дорівнює близько 327 млн куб. м/добу. За-
хідноукраїнський комплекс підземних сховищ газу (ПСГ)
є найпотужнішим комплексом сховищ в Україні, який за-
довольняє потреби Західного регіону країни як у необ-
хідних об’ємах зберігання газу, так і в продуктивності.
Він забезпечує надійність постачання газу не тільки в за-
хідному регіоні, а й транзитних поставок експортного
газу в країни Західної та Східної Європи. Водночас в ін-
ших регіонах України (Північному, Центральному, Схід-
ному та Південному) існує значний дефіцит потужнос-
тей підземного зберігання газу. Особливо це стосується
Східного регіону та Подніпров’я, де зосереджений най-
більший промисловий потенціал країни.
З технічного погляду підземні сховища газу є надзви-
чайно складною системою, основними елементами якої
є пласт-колектор, зв’язаний з поверхневим обладнанням
свердловинами. Режими роботи цих об’єктів на відміну
від газових родовищ нестабільні в часі, що ускладнює їх
надійну експлуатацію. Тому наукові дослідження особли-
востей експлуатації підземних сховищ газу в умовах пру-
жноводонапірного режиму їх розроблення, які спрямо-
вані на вивчення формування газонасиченого об’єму
покладу, виявлення особливостей прояву пружноводо-
напірного режиму під час циклічної експлуатації схо-
вища, визначення впливу покладу на водоносну зону
пласта, є актуальними проблемами підвищення надійно-
сті газопостачання. Враховуючи геостратегічне поло-
ження України та впровадження в її економіку ринкових
відносин, наявність значної потужності сховищ в захід-
ному регіоні дає можливість створювати в майбутньому
необхідні резерви природного газу для країн Східної Єв-
ропи, де є обмежені можливості для його підземного
зберігання. Для їх експлуатації передбачені 1535 сверд-
ловин і компресорні станції загальною потужністю
631,1 МВт. Із загальної кількості газосховищ п’ять мають
проєктний об’єм від 2 млрд куб. м і більше, а одне з них
перевершує 21 млрд куб. м. При проєктних об’ємах збе-
рігання український комплекс газосховищ дозволяє за-
безпечувати 40 % річного й близько 50 % добового обсягу
споживання газу в країні й, окрім того, гарантує надій-
ність транзиту газу.
Основними технологічними показниками підземних
сховищ газу є буферний і активний газ, добова продук-
тивність сховища, тривалість відбирання активного газу,
кількість експлуатаційно-нагнітальних свердловин, мак-
симальний і мінімальний пластові тиски.
Для накачування газу в підземне газосховище використо-
вуються компресорні станції з тиском 15 МПа. При екс-
плуатації сховища газ циклічно закачується у сховище й
викачується з нього. При цьому він викачується не повні-
стю. Тому маємо буферний об’єм газу газосховища – це
обєм газу в газосховищі, що в період циклічної експлуа-
тації залишається в підземному газовому сховищі до мо-
менту закінчення процесу відбирання.
Буферний об’єм газу газосховища є джерелом механіч-
ної енергії, яка необхідна для подачі газу з пласта до за-
даного пункту транспортування газу.
Завдяки буферному об’єму газу газосховища дебіти све-
рдловин у сховищах перебувають на необхідному рівні
функціонування.
При водонапірному режимі в підземному сховищі газу
буферний об’єм газу газосховища протидіє руху пласто-
вих вод, а також запобігає процесу обводнення екс-
плуатаційних свердловин.
Буферний об’єм газу газосховища залежить від глибини
залягання, фізико-геологічних параметрів і потужності
пласта-колектора, технологічного режиму експлуатації
свердловин.
Буферний об’єм газу газосховища у сховищах, що ство-
рені у виснажених газових родовищах, можна форму-
вати з початкових запасів, що залишаються в газоносних
пластах недобутими.
Частка буферного об’єму газу в усьому об’ємі газу в водо-
носних пластах-сховищах – 40–50 %, у виснажених газових
родовищах – 30–50 %, а в штучних пустотах – 10–20 %.
Підземне зберігання газу є засобом регулювання поста-
чання газу газотранспортними підприємствами, які екс-
плуатують протяжні системи газопроводів і забезпечу-
ють постачання газу не тільки місцевим розподільчим
підприємствам, але і пряме постачання великим проми-
словим підприємствам і електростанціям. Підземні га-
зосховища України характеризуються: активним
об’ємом газу обсягом 31,95 млрд куб. м, добовою про-
дуктивністю 250 мл куб. м/добу.
Історично необхідність зберігання газу вперше виникла
в другій половині XIX ст. у зв’язку з розвитком виробни-
цтва штучних газів. Проблема тоді була вирішена шля-
хом спорудження металевих сховищ у вигляді плаваю-
чих в циліндрі ковпаків-газгольдерів об’ємом до
100 тис. куб. м.
Газ займає значно більший об’єм, ніж тверде тіло або
рідина. Тому знайти для нього герметичні резервуари
було б складно, якби природа вже не побудувала їх. По-
ристі пласти в земній корі, герметично закупорені згори
куполом з шару глини, є природними ПСГ. У порах гірсь-
ких порід може бути вода, але можуть скупчуватися і ву-
глеводні. В процесі створення ПСГ у водоносному шарі
газ, що скупчується під глиняною покрівлею, витісняє
воду вниз. А якщо в пласті-колекторі спочатку є нафта
або газ, то герметичність такої структури вже доведена
тим, що в ній скупчилися вуглеводні. Тому перші відпра-
цьовані родовища вуглеводнів і стали ПСГ.
У сучасних умовах підземне зберігання газу використо-
вують для:
88
Відновлювана енергетика. №4/2023 | Геотермальна енергетика
− регулювання сезонної нерівномірності газоспожи-
вання;
− зберігання резервів газу на випадок аномально хо-
лодних зим;
− регулювання нерівномірності експортних постачань
газу;
− забезпечення подачі газу в разі нештатних ситуацій;
− створення довгострокових резервів газу на випадок
форс-мажорних обставин при видобуванні або тран-
спортуванні газу;
− виснажених вуглеводневих родовищ.
Перше промислове сховище місткістю 62 млн куб. м
було створено в 1916 році в США (газове родовище, ПСГ
Зоар). Основним недоліком газових сховищ такого типу
є віддаленість їх на значні відстані від місця кінцевого
споживання газу.
Також перше ПСГ у водоносному пласті було створено в
1946 році в США – ПСГ Doe Run Upper в штаті Кентуккі.
Перше газосховище у водоносному пласті в СРСР було
створене в 1958 році – Калузьке ПСГ. Найбільше у світі
сховище у водоносному пласті – Касимовське ПСГ (Ря-
занська область) – було створене в 1977 році.
Також ПСГ створюють в соляних кавернах, твердих гір-
ських породах, відпрацьованих шахтах.
На сьогоднішній день Україна має одну з найпотужні-
ших в Європі мереж підземного зберігання газу. Вона
посідає друге місце в Європі за сумарним обсягом підзе-
много зберігання газу.
Молекулярний водень має дуже велику густину енергії
за масою, як газ за звичайних умов він має дуже низьку
густину енергії за об’ємом. При використанні як палива,
що зберігається на борту транспортного засобу, чистий
водень повинен бути зрідженим або перебувати під ти-
ском, щоб забезпечити достатню дальність руху.
Підземне зберігання водню – це практика зберігання
водню в підземних сховищах з соляним склепінням і в
вичерпаних нафтових і газових родовищах. Велика кіль-
кість газоподібного водню зберігається в підземних схо-
вищах в Imperial Chemical Industries (ICI) протягом бага-
тьох років без будь-яких труднощів[36]. Велика кількість
сховищ для зберігання водню під землею може стати
розгалуженою системою зберігання енергії, що має ве-
лике значення для водневої енергетики. Це дає можли-
вість перейти до використання якісно нових, чистих від-
новлюваних джерел енергії й підвищити енергетичну
безпеку та незалежність України.
Спливання і розтікання газу в горизонтальному водо-
носному шарі під дією сили Архімеда
Математична модель сховища водню описує гідро- й
аеродинамічні процеси, які відбуваються в водоносних
підземних пластах між воднем і водною масою, яка за-
повнює порожнини і пори в пласті. Водень як газ може
добре стискуватися, зменшуючи об’єм і збільшуючи
тиск, вода як рідина має властивість нестискуваності,
зберігає об’єм незалежно від тиску. Вважаємо, що при
нагнітанні водню за допомогою високого тиску в водо-
носний пласт через свердловину водень як стискуваль-
ний газ витісняє нестискувальну рідину води від сверд-
ловини, і вода прямує далі на горизонт сховища,
заповнює вільні пористі місця або навіть видавлюється
з пласта на земну поверхню.
Для нашої моделі важливі функції зміни потенціалу ти-
ску газу від часу і просторових координат, а також функ-
ція зміни границі в часі й просторі між воднем і поверх-
нею води всередині сховища.
Припускаємо, що в горизонтальному водоносному шарі
постійної потужності H з непроникними покрівлею і пі-
дошвою формується газова порожнина підземного схо-
вища газу. Внаслідок сили Архімеда газ закачується і
буде спливати й розтікатися по покрівлі пласта. Потрі-
бно з’ясувати, як швидко відбувається цей процес і як
змінюється при цьому форма газової порожнини.
Вважатимемо рух води осесиметричним (OZ – вісь си-
метрії; r – радіальна координата), а її швидкість фільтра-
ції задовольняє закон Дарсі::
∂
∂
−
∂
∂
− gρ+
r
ρ
μ
k=v
r
ρ
μ
k=u β
ββ
; (2.19.1)
де u, v – відповідно, радіальна і вертикальна складові
вектора швидкості фільтрації води.
Схематично це наведено на рис. 1, де схематично пока-
зано взаємодію між газом і водою всередині підзем-
ного сховища:
Рис. 1. Схема процесів взаємодії у газовому сховищі між газом і водою
Fig. 1. Scheme of interaction processes in a gas storage between gas and water
89
Відновлювана енергетика. №4/2023 | Геотермальна енергетика
Рівняння зміни потенціалу тиску в підземному схо-
вищі з центральною свердловиною
Розглядаємо рівняння в частинних похідних параболіч-
ного типу (Фур’є) в циліндричних координатах:
2
2
2
2 1
z
pa+
r
p
r
a+
r
pa=
t
p
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. (1)
Воно описує еволюцію зміни тиску підземної газо-
водяної суміші, яка відбувається при нагнітанні через
свердловину газу в сховище. Тут p позначає поле потен-
ціалу тиску в об’ємі сховища, t – час, z – координата по
вертикалі, r – відстань від свердловини.
Початкові умови задовольнять виконання постійного
градієнта тиску по вертикалі:
Γz+p=)=tz,p(r, 00 . (2)
Межові умови для системи рівнянь (1)-(2) беруться
такі:
L=z=z=
z
pz;p=p
r
p;=r=
r
p 0,0,0, 0 ∂
∂
Γ+
∂
∂
∞
∂
∂
.
L=z=z=
z
pΓz;+p=p
r
p;=rp=p 0 0,0,,
∂
∂
∂
∂
∞∞ .
(3)
Параметри системи позначають:
a – коефіцієнт провідності тиску;
0p – тиск на поверхні;
L – глибина свердловини;
Г – градієнт тиску.
Для чисельного моделювання й отримання наближених
чисельних розв’язків проводиться дискретизація сис-
теми рівнянь по просторовим координатам на сітці вузлів
),( ii zr . Отримаємо систему звичайних диференціаль-
них рівнянь, яку розв’язуємо методами Рунге – Кутта –
Мерсона.
Границя газоводяного контакту – умова Кельвіна
Швидкість руху води визначається рівнянням Дарсі:
+
∂
∂
−=
∂
∂
−= g
r
kv
r
ku ρρ
µ
ρ
µ
; . (4)
Де u, v – радіальна та вертикальна складові швидкості.
Границя контакту водню й води визначається рівнян-
нями, які називаються умовою Кельвіна і представля-
ється в такий спосіб:
0),,,( =tzyxF (5)
0321 =
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
Fv
y
Fv+
x
Fv+
t
Fm . (6)
Неявний функціональний зв’язок 0),,,( =tzyxF задає
координати границі газ-рідина в сховищі водню у водо-
носному пласті.
У нашому радіально-симетричному випадку ці рівняння
газоводяного контакту набувають такого вигляду:
0),( == tzFr . (7)
І з цього рівняння отримаємо умову Кельвіна:
BB u
z
Fv+
t
Fm =
∂
∂
∂
∂
. (8),
Bu і Bv – швидкості води на границі вода-газ визнача-
ються з (4) при brr = , br – радіальна координата гра-
ниці контакту газ-вода.
На межах вгорі та внизу по вертикалі швидкість руху гра-
ниці нульова 0=Bv .
Що стосується руху газу, то в силу відносної малості його
в’язкості, розподіл тиску в газовій порожнині вважати-
мемо залежним тільки від часу t: )(trr ρρ =
Величина rρ залежить від маси газу в сховищі й темпу
закачування. Зокрема, тиск rρ можна прийняти постій-
ним (при цьому необхідно звичайно, щоб масова ви-
трата )(tqq rr = закачування (або відбирання) газу змі-
нювалася за певним законом, який до речі, може бути
знайдений після розв’язання цієї задачі:
Kr const ρρ >= . (9)
де Kρ – тиск на підошві пласта на достатньому вида-
ленні від газової порожнини, тобто на контурі живлення
при KRr = . При цьому саме тиск на контурі живлення
вважається розподіленим по гідростатичному закону:
gztzR K βρρρ −=),,( . (10)
На покрівлі (Ζ =Н) і підошві ( 0Ζ = ) пласта повинна
виконуватися умова v = 0 або
B
Hzz
g
Z
ρρρ
β−=
∂
∂
== ;0
, (11)
що означає непроникність цих границь для частин води.
Таким чином, задача зводиться до розв’язання рівняння
Лапласа:
τ
ρρρκ
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ))(1( 2
2
Z
+
r
r
rr . (12)
Воно описує рух води у водоносній частині горизонту
області, яка має невідому рухливу границю Г розділу
фаз, на якій підтримується постійний тиск rρ . Цю гра-
ницю потрібно розрахувати. Крім того, функція
90
Відновлювана енергетика. №4/2023 | Геотермальна енергетика
),,( tzrρ у водоносній частині горизонту повинна за-
довольняти умові (10) на покрівлі й підошві пласта, а та-
кож умові (11) на контурі живлення.
Метод чисельного розв’язання
Маємо таке диференціальне рівняння параболічного
типу:
2
2
2
2 1
z
pa+
r
p
r
a+
r
pa=
t
p
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. (13)
Для його чисельного розв’язання застосуємо дискретну
апроксимацію по простору, залишаючи неперервним
час. Тобто зводимо диференціальне рівняння в частин-
них похідних до звичайних диференціальних рівнянь:
(t)Φ=)p+p(p
RR
p
ijj1,+iji,j,i 21
12
2
−
∆
≈
∂
∂
− , (14)
(t)Ψ=)p+p(p
zz
p
ij1+ji,ji,ji, 21
12
2
−
∆
≈
∂
∂
− ,
(t)Ω=)p(p
Rir
p
r ijj,ij,+i2 112
11
−−
∆
≈
∂
∂
,
(t)Π=)p(p
Rjz
p
ijqji,+ji,2 −−
∆
≈
∂
∂
12
1
,
(t)Θ=(t)aΩ+(t)aΨ+(t)aΦ=
dt
dp
ijijijij
ij . (15)
А далі до звичайних диференціальних рівнянь застосо-
вуємо метод Рунге – Кутта – Мерсона, який реалізова-
ний в стандартних комп’ютерних бібліотеках наукових
програм чисельних методів (наприклад програмі
MERSON з бібліотеки CERN).
Рівняння умови Кельвіна чисельно розв’язується анало-
гічно.
)
z
Fv(u=
t
F
BB ∂
∂
−
∂
∂
Дискретизація рівняння в частинних похідних
(t)Ω=)F(F
Δzz
F
jj+j 112
1
−−≈
∂
∂
дає систему звичайних диференціальних рівнянь:
m(t)Ωvu=
dt
dF
jBB
j /)( −
Які доповняють нашу систему рівнянь.
Дискретизація в просторі приводить нас до звичайних
еволюційних диференціальних рівнянь першого по-
рядку з початковими умовами, ми отримуємо задачу
Коші. Метод Мерсона, що базується на методі Рунге –
Кутта, дає можливість при чисельних розрахунках слід-
кувати з похибками на кроках по часу, адаптувати крок
інтегрування й отримати задану точність розв’язків.
Використовуючи вищенаведений метод, було прове-
дено чисельні розрахунки. Графік одного з них наве-
дено на рис. 2, де відображається залежність тиску во-
дню від часу та відстані від центру свердловини на
глибині 1000 м.
Рис 2. Графік залежності тиску водню в сховищі від часу та відстані від свердловини на глибині Z = 1000 м
Fig. 2. Graph of the dependence of hydrogen pressure in the storage on time and distance from the well at a depth
of Z = 1000 m
91
Відновлювана енергетика. №4/2023 | Геотермальна енергетика
Висновок
У статті описано проблему зберігання великих об’ємів
водню в підземних газосховищах, їх практичне викори-
стання протягом історичного періоду для зберігання
природних вуглеводних газів. Наголошено, що во-
день – це газ, який стискується і має малу щільність, а
вода, яка обводнює підземні пласти, – нестислива рі-
дина і має порівняно з воднем велику щільність. За ра-
хунок зовнішнього штучного стиснення водень може
мати великий тиск, за рахунок якого він витісняє воду в
пласті.
Побудовано математичну модель сховища водню у во-
доносному пласті, яка описує витіснення рідкої води га-
зом водню в пористому пласті в його периферійну гори-
зонтальну область. Модель являє собою систему
еволюційних диференціальних рівнянь в частинних по-
хідних для тиску водню і руху границі між водою і вод-
невим газом. У моделі приймається циліндрична симе-
трія. Для аналізу часово-просторових процесів у сховищі
водню на основі представленої моделі пропонується ви-
користовувати скінченно-різницеві чисельні методи, які
дають змогу дослідити й проаналізувати з певною точ-
ністю процеси нагнітання й викачування водню у водо-
носних пластах. Оскільки ці процеси відбуваються на
глибині під землею і досить складні для спостережень,
використання математичної моделі допомагає прогно-
зувати з деякою точністю ці процеси як якісно, так і кіль-
кісно.
ПОСИЛАННЯ
1. Лурье М. В. Механика подземного хранения газа в
водоносных пластах. М.: Нефть и Газ. 2001.
2. Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гос-
топтехиздат. 1963.
3. Інкін О. В., Деревягіна Н. І., Хрипливець Ю. В. Моде-
лювання показників роботи сховищ газу в водонос-
них пластах масивного типу
https://doi.org/10.37101/ftpgp22.01.003
4. Кожевников А. О., Судаков А. К., Ратов Б. Т. 100 років
історії розвитку підземних сховищ газу [Електронний
ресурс]. – Режим доступу:
http://ir.nmu.org.ua/handle/123456789/150608 (дата
звернення – 16.08.2019).
5. Марчук Я. С. Розвиток та перспективи підземного
зберігання природного газу в УМГ "Київтрансгаз" /
Я. С. Марчук, М. П. Андріїшин, М. П. Яцків. Науковий
вісник Івано-Франківського національного технічного
університету нафти і газу. 2004. № 2 (8). С. 22–27.
http://elar.nung.edu.ua/bitstream/123456789/987/1/
1484p.pdf
6. N. Ford Versypt and R. D. Braat. “Analysis of Finite Dif-
ference Discretization Schemes for Diffusion in Spheres
with Variable Diffusivity,” Computers and Chemical En-
gineering. 2014. 71, 241–252.
7. J. Christiansen, "Numerical solution of ordinary simulta-
neous differential equations of the 1st order using a
method for automatic step change" Numer. Math. 14
(1970). Pp. 317–324.
8. J.C. Butcher, "The numerical analysis of ordinary differ-
ential equations. Runge–Kutta and general linear meth-
ods", Wiley (1987).
9. R.H. Merson, "An operational method for the study of
integration processes", Proc. Symp. Data Processing,
Weapons Res. Establ. Salisbury, Salisbury (1957).
Pp. 110–125.
10. Савків Б. П. Підземне зберігання газу в Україні/ Б. П. Сав-
ків. К.: Наукове видання. 2008. 239 с.
11. Федутенко А. М. Проблеми та перспективи розвитку
підземного зберігання газу в Україн/ А. М. Федуте-
нко. Науковий вісник Івано-Франківського НТУНГ
(спецвипуск). 2004. № 2 (8). С. 9–14.
12. Деркач М. П. Роль підземних сховищ газу в надійно-
сті транзитних поставок газу до Європи та газопоста-
чання споживачів України/М. П. Деркач. Нефть и газ
2001. № 4. С. 2–8.
13. Фык М. И., Донской Д. Ф. Основы технологий R&D
проектирования и эксплуатации подземных храни-
лищ нефти и газа. Конспект лекций с базовыми прак-
тическими упражнениями и вопросами для тестиро-
вания / Под общей редакцией докт. техн. наук.,
проф. Фык И. М. Для студентов 5 и 6 курсов спе-
циальности 7.05030401 и 8.05030401 «Добыча нефти
и газа»/ Фык М. И., Донской Д. Ф. Харьков: НТУ
«ХПИ»; ТО Эксклюзив. 2014. 164 с.
REFERENCES
1. Lurie M. V. Mechanics of underground gas storage in
aquifers. M.: Oil and Gas, M. 2001.
2. Charny I. A. Underground hydrogas dynamics. M.:
Gostoptekhizdat. 1963.
3. Inkin O. V., Derevyagin N. I., Khryplyvets Yu. V. Mode-
ling of performance indicators of gas stora-ges in aqui-
fers of massive type
https://doi.org/10.37101/ftpgp22.01.003
4. Kozhevnikov A. O., Sudakov A. K., Ratov B. T. 100 years
of development history underground gas storage facili-
ties [Electronic resource]. -- Access mode:
http://ir.nmu.org.ua/handle/123456789/150608 (date
of application - 16.08.2019).
5. Marchuk, Ya. S. Development and prospects of under-
ground storage of natural gas in UMG "Kyivtransgaz" /
Ya. S. Marchuk, M. P. Andriyshyn, M. P. Yatskiv. Scien-
tific Bulletin of the Ivano-Frankivsk National Technical
92
Відновлювана енергетика. №4/2023 | Геотермальна енергетика
University of Oil and Gas. 2004. No. 2 (8). pp. 22–27.
http://elar.nung.edu.ua/bit-
stream/123456789/987/1/1484p.pdf
6. A. N. Ford Versypt and R. D. Braatz,. "Analysis of Finite
Difference Discretization Schemes for Diffusion in
Spheres with Variable Diffusivity," Computers and
Chemical Engineering, 2014. 71, 241–252, 2014.
7. J. Christiansen, "Numerical solution of ordinary simulta-
neous differential equations of the 1st order using a
method for automatic step change" Numer. Math., 14
(1970). Pp. 317–324.
8. J. C. Butcher, "The numerical analysis of ordinary differ-
ential equations. Runge–Kutta and general linear meth-
ods", Wiley (1987).
9. R. H. Merson, "An operational method for the study of
integration processes", Proc. Symp. Data Processing,
Weapons Res. Establ. Salisbury, Salisbury (1957).
Pp. 110–125.
10. Savkiv B. P. Underground gas storage in Ukraine/ B. P. Sav-
kiv. K.: Scientific edition. 2008. 239 p.
11. Fedutenko A. M. Problems and prospects for the devel-
opment of underground gas storage in Ukraine/ A. M. Fedu-
tenko.// Scientific Bulletin of Ivano-Frankivsk NTUNG (spe-
cial issue). 2004. No. 2 (8). P. 9–14.
12. Derkach M. P. The role of underground gas storage fa-
cilities in the reliability of gas transit supplies to Europe
and gas supply to consumers of Ukraine/M. P. Der-kach.
Oil and gas, 2001. No. 4. Pp. 2–8.
13. Fyk M. I., Donskoi D. F. Fundamentals of R&D technolo-
gies for the design and operation of underground oil
and gas storage facilities. Synopsis of lectures with basic
practical exercises and questions for testing / Edited by
Dr. technical science, prof. Fyk I. M. For students of the
5th and 6th courses of the specialty 7.05030401 and
8.05030401 "Oil and gas production"/ Fyk M. I., Don-
skoi D.F. Kharkiv: NTU; TO Exclusive, 2014. 164 p.
|
| id | veorgua-article-435 |
| institution | Vidnovluvana energetika |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:12:31Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | veorgua/d9/bdbdd42be5a74fde7056e5b55bc468d9.pdf |
| spelling | veorgua-article-4352026-07-18T06:32:19Z MATHEMATICAL MODEL OF HYDROGEN STORAGE IN AQUIFER МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СХОВИЩА ВОДНЮ У ВОДОНОСНОМУ ПЛАСТІ Morozov, Yu. Zhokhin, А. gas storage, hydrogen, aquifer, mathematical model, finite difference method. газове сховище, водень, водоносний масив, математична модель, скінченно-різницевий метод. A mathematical model of the underground storage of hydrogen in an aquifer is proposed, which describes the hydrodynamic interaction between hydrogen, which is injected through a well, and water in porous aquifers, which is displaced from the formation by the pressure of hydrogen gas. The model is a system of differential equations in partial derivatives for functions of the coordinates and time of the pressure potential and the gas-water contact boundary. The considered model is proposed to be used in numerical calculations using difference schemes in time and space coordinates of non-stationary methods of approximation of differential equations. The relevance of the use and study of gas storages and their mathematical modeling is given. A mathematical model of hydrogen storage in the aquifer was built, which describes the displacement of liquid water by hydrogen gas in the porous layer into its peripheral horizontal region. The model is a system of evolutionary partial differential equations for hydrogen pressure and movement of the boundary between water and hydrogen gas. Cylindrical symmetry is assumed in the model. For the analysis of time-space processes in the sto-rage of hydrogen based on the presented model, it is proposed to use finite-difference numerical methods that allow to closely investigate and analyze the processes of hydrogen injection and pumping in aquifers. Since these processes occur deep underground and are quite difficult to observe, the use of a mathematical model helps predict these processes with some accuracy, both qualitatively and quantitatively. Пропонується математична модель підземного сховища водню у водоносному пласті, яка описує гідродинамічну взаємодію між воднем, що нагнітається через свердловину, і водою в пористих водоносних земних пластах, що витісняється з пласта тиском газу водню. Модель являє собою систему диференціальних рівнянь в частинних похідних для функцій від координат і часу потенціалу тиску й межі газо-водного контакту. Розглянуту модель пропонується використовувати в чисельних розрахунках за допомогою різницевих схем у часових і просторових координатах нестаціонарних методів наближення диференціальних рівнянь. Наведено актуальність використання і вивчення газових сховищ та їх математичне моделювання. Побудовано математичну модель сховища водню у водоносному пласті, яка описує витіснення рідкої води газом водню в пористому пласті в його периферійну горизонтальну область. Модель являє собою систему еволюційних диференціальних рівнянь в частинних похідних для тиску водню й руху границі між водою і водневим газом. У моделі приймається циліндрична симетрія. Для аналізу часово-просторових процесів на основі представленої моделі пропонується використовувати скінченно-різницеві чисельні методи, які дають змогу наближено дослідити й проаналізувати процеси нагнітання і викачку водню у водоносних пластах. Оскільки ці процеси відбуваються на глибині під землею і є досить складними для спостережень, використання математичної моделі допомагає прогнозувати з деякою точністю ці процеси як якісно, так і кількісно. Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2023-12-30 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/435 10.36296/1819-8058.2023.4(75).85-92 Vidnovluvana energetika ; No. 4(75) (2023): Scientific and applied Journal renewable energy ; 85-92 Возобновляемая энергетика; ##issue.no## 4(75) (2023): Scientific and applied Journal renewable energy ; 85-92 Відновлювана енергетика; № 4(75) (2023): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 85-92 2664-8172 1819-8058 10.36296/1819-8058.2023.4(75) uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/435/343 Copyright (c) 2023 Yu. Morozov, А. Zhokhin https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | gas storage hydrogen aquifer mathematical model finite difference method. Morozov, Yu. Zhokhin, А. MATHEMATICAL MODEL OF HYDROGEN STORAGE IN AQUIFER |
| title | MATHEMATICAL MODEL OF HYDROGEN STORAGE IN AQUIFER |
| title_alt | МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СХОВИЩА ВОДНЮ У ВОДОНОСНОМУ ПЛАСТІ |
| title_full | MATHEMATICAL MODEL OF HYDROGEN STORAGE IN AQUIFER |
| title_fullStr | MATHEMATICAL MODEL OF HYDROGEN STORAGE IN AQUIFER |
| title_full_unstemmed | MATHEMATICAL MODEL OF HYDROGEN STORAGE IN AQUIFER |
| title_short | MATHEMATICAL MODEL OF HYDROGEN STORAGE IN AQUIFER |
| title_sort | mathematical model of hydrogen storage in aquifer |
| topic | gas storage hydrogen aquifer mathematical model finite difference method. |
| topic_facet | gas storage hydrogen aquifer mathematical model finite difference method. газове сховище водень водоносний масив математична модель скінченно-різницевий метод. |
| url | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/435 |
| work_keys_str_mv | AT morozovyu mathematicalmodelofhydrogenstorageinaquifer AT zhokhina mathematicalmodelofhydrogenstorageinaquifer AT morozovyu matematičnamodelʹshoviŝavodnûuvodonosnomuplastí AT zhokhina matematičnamodelʹshoviŝavodnûuvodonosnomuplastí |