EQUIVALENT CIRCUITS OF A SYNCHRONOUS GENERATOR IN A VARIABLE-SPEED WIND TURBINE FOR POWERING A REVERSE OSMOSIS WATER DESALINATION PROCESS LINE
 Synchronous generators are widely used as part of wind power plants operating in parallel with a centralized power system. At present, the application of high-capacity autonomous wind power plants with synchronous generators for powering various process configurations, in particular wa...
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
2026
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/610 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Vidnovluvana energetika |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Vidnovluvana energetika| _version_ | 1871104105435365376 |
|---|---|
| author | Vasko , P. Rybalchenko , V. |
| author_facet | Vasko , P. Rybalchenko , V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "P. Vasko ",
"institution": "Institute of Renewable Energy of NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine"
},
{
"author": "V. Rybalchenko ",
"institution": "Institute of Renewable Energy of NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine"
}
] |
| author_sort | Vasko , P. |
| baseUrl_str | https://ve.org.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T06:32:24Z |
| description |  Synchronous generators are widely used as part of wind power plants operating in parallel with a centralized power system. At present, the application of high-capacity autonomous wind power plants with synchronous generators for powering various process configurations, in particular water desalination by reverse osmosis, is becoming increasingly relevant. The development of rational circuit and engineering solutions for integrating wind power into this technology requires analysis of load operating conditions of all components over a wide range of operating wind speeds and rotational speeds. Effective modeling and computational studies of electromechanical processes in such systems can be implemented through the use of equivalent circuits of the equipment. Within the framework of this study, nonlinear and linear equivalent circuits of a synchronous generator phase with rotor magnetic asymmetry have been developed for a wide range of rotational speeds. The circuits take into account the inductance of the armature reaction and the presence of a braking mode caused by the magnetic torque acting to align the magnetically asymmetric rotor along the magnetic flux of the armature reaction. The research is based on the two-reaction theory for synchronous electrical machines and the application of alternating current circuit analysis using complex numbers. The circuits were constructed using a phasor diagram of the generator armature winding EMF on the complex plane. The developed equivalent circuits enable computational studies of electromechanical transient processes in power supply systems based on wind power plants, taking into account the pulsations of wind speed, rotation frequency, and load changes. Ref. 32, Fig. 8. |
| doi_str_mv | 10.36296/1819-8058.2026.1(84).249-267 |
| first_indexed | 2026-03-31T01:00:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
249
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
УДК 628.165: 621.311.24: 621.313.12.025.001.1 https://doi.org/10.36296/1819-8058.2026.1(84).249-267
ЕКВІВАЛЕНТНІ ЕЛЕКТРИЧНІ СХЕМИ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА В СКЛАДІ ВІТРОУСТАНОВКИ
ЗІ ЗМІННОЮ ЧАСТОТОЮ ОБЕРТАННЯ ДЛЯ ЕЛЕКТРОЖИВЛЕННЯ ТЕХНОЛОГІЧНОЇ ЛІНІЇ
ОПРІСНЕННЯ ВОДИ МЕТОДОМ ЗВОРОТНОГО ОСМОСУ
Отримано 18 лют. 2026 р.; рекомендовано до публікації 23 бер. 2026 р.
Доступно онлайн 31 бер. 2026 р.
Васько П. Ф.1, Рибальченко В. А.2
Автор для кореспонденції: Рибальченко Владислав,
e-mail: lemonua@gmail.com
Анотація. Синхронні генератори широко застосовуються у
складі вітроелектричних установок, що працюють паралельно
з централізованою електросистемою. Нині набуває актуаль-
ності задача застосування потужних автономних вітроелектричних установок з синхронними генера-
торами для електроживлення різних технологічних схем, зокрема опріснення води методом зворот-
ного осмосу. Розроблення раціональних схемо-технічних рішень з інтеграції енергії вітроустановок у
зазначену технологію потребує аналізу навантажувальних режимів роботи всіх складових в широкому
діапазоні зміни робочих швидкостей вітру й частоти обертання. Ефективне моделювання та прове-
дення розрахункових досліджень перебігу електромеханічних процесів у цих системах може бути реалі-
зовано застосуванням заступних електричних схем обладнання. У межах цього дослідження розроб-
лено нелінійну та лінійну еквівалентні електричні схеми фази синхронного генератора з магнітною
несиметрією ротора в широкому діапазоні зміни частоти обертання. Схеми враховують індуктив-
ність реакції якоря та наявність режиму гальмування, зумовленого дією магнітного моменту, спрямо-
ваного на розташування магнітно несиметричного ротора повздовж магнітного потоку реакції якоря.
Дослідження ґрунтується на застосуванні основних положень теорії двох реакцій для синхронних елек-
тричних машин та методів розрахунку електричних кіл змінного струму з використанням комплексних
чисел. Схеми побудовано за допомогою векторної діаграми для електрорушійної сили обмотки якоря
генератора на площині комплексних чисел. Застосування розроблених еквівалентних електричних схем
синхронного генератора надає можливості проведення розрахункових досліджень електромеханічних
перехідних процесів у системах електроживлення на основі вітроелектричних установок з урахуванням
пульсацій швидкості вітру, частоти обертання, зміни навантаження. Бібл. 32, рис. 8.
Ключові слова: вітроустановка, генератор синхронний, діаграма векторна, змінний струм, комплексні
числа, опріснення, реакція якоря, схема електрична.
Вступ. Виробництво прісної води з моря стало обов’яз-
ковим для багатьох економік світу. На сьогодні введено
в експлуатацію близько 21 000 опріснювальних заводів
та установок, здатних продукувати до 99 млн кубічних
метрів прісної води щодня [1, 2]. Ці заводи є стратегіч-
ними не лише для повсякденного життя людей, але і
для промислової діяльності. В Європі продукується по-
над 9.2 млн кубометрів опрісненої води щодоби, тобто
близько 10 % загальної світової потужності.
В Україні склалася несприятлива ситуація з водозабез-
печенням південних регіонів країни згідно з матеріа-
лами Національної доповіді про якість питної води та
стан питного водопостачання й водовідведення [3]. Руй-
нування греблі Каховської ГЕС російськими військами 6
червня 2023 року спричинило збільшення потреби в прі-
сній воді. Тому застосування технологій опріснення
води має хороші перспективи в промисловому, приват-
ному, сільськогосподарському секторах економіки та
знесоленні шахтних вод [4–7]. Крім того, участь України
в європейській програмі «2×40 GW Green Hydrogen
Initiative» [8, 9] передбачає спорудження на території
України 10 ГВт потужностей електролізерів для вироб-
ництва зеленого водню в обсязі 1.65 млн т на рік, що та-
кож потребуватиме споживання підготовленої прісної
води в обсягах не менше 24 млн м3/рік [10].
Основні тенденції та сучасні індикатори промислової
реалізації технологій опріснення води узагальнені та ви-
світлені в [11]. Найбільше опрісненої води отримують з
використанням технології зворотного осмосу (RO), яка
застосовується як для солонуватої води (BWRO), так і
морської (SWRO) [12]. Технологія RO [13] ґрунтується на
принципі проникнення молекул води крізь напівпро-
никну мембрану під дією гідростатичного тиску, що
створюється гідронасосами з приводом від електричних
двигунів зі споживанням електроенергії. Використання
викопного органічного палива для виробництва елект-
роенергії для опріснення води супроводжується знач-
ними викидами парникових газів, що з погляду поло-
жень Паризької кліматичної угоди спонукає до
використання енергії відновлюваних джерел, зокрема
1 д-р. техн. наук, професор
https://orcid.org/0000-0001-8807-7173
2 аспірант
https://orcid.org/0009-0009-3592-7897
1, 2 Інститут відновлюваної енергетики
НАН України, м. Київ, Україна
250
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
енергії вітру [14]. Південні території України характери-
зуються значним вітроенергетичним потенціалом [15–
17] та високими значеннями коефіцієнта використання
встановленої потужності сучасних вітроустановок зі
змінною частотою обертання під час роботи в складі
електроенергетичної системи [18, 19]. Для генерування
електроенергії вітроустановками використовують синх-
ронні генератори (СГ) потужністю до 20 МВт включно з
електромагнітним збудженням та збудженням від пос-
тійних магнітів [20, 21].
Інтеграція електроенергії цих вітроустановок в техноло-
гічні схеми опріснення води методом зворотного ос-
мосу потребує дослідження й аналізу автономних нава-
нтажувальних режимів роботи системи електро-
живлення за змінної частоти генерування напруги та
струму, що може бути ефективно реалізовано застосу-
ванням еквівалентних електричних схем обладнання
[22]. Для синхронного генератора з магнітною асимет-
рією розроблені заступні електричні схеми при роботі
на автономне навантаження зі зміною частоти обер-
тання лише в околі номінального значення. Тому аналіз
функціонування автономного генератора в широкому
діапазоні зміни частоти обертання зумовлює пошук но-
вих підходів для розрахунку навантажувальних режимів
роботи.
Постановка завдання та методи дослідження. Тради-
ційний підхід до аналізу режимів роботи СГ за змінної
частоти обертання ґрунтується на застосуванні дифере-
нційних моделей в осях магнітної симетрії, або у фазних
координатах [23]. Вони дають змогу досліджувати як не-
стаціонарні, так і усталені режими після перебігу швид-
коплинних процесів. Проте їх застосування для прове-
дення багатоваріантних розрахунків навантажувальних
режимів вітроелектричних установок з СГ здебільшого
обмежене через проблемні моменти стійкості та збіж-
ності обчислювального процесу на стандартизованому
розрахунковому інтервалі в 600 с для отримання
статистично стійких результатів за стохастичної зміни
швидкості вітру [24, 25]. Альтернативний варіант поля-
гає в застосуванні еквівалентних електричних схем СГ за
змінної частоти обертання. Такі схеми розроблені для
фіктивних складових струму якоря в осях магнітної си-
метрії. Це дослідження спрямоване на розроблення ек-
вівалентної електричної схеми СГ вітроелектричних ус-
тановок у функції реального значення струму обмотки
якоря в широкому діапазоні зміни частоти обертання
під час роботи на автономне навантаження технологіч-
ної лінії опріснення води.
Виконання поставленого завдання ґрунтуватиметься на
основних положеннях теорії двох реакцій для синхрон-
них машин [22, 26] та застосуванні методів розрахунку
електричних кіл змінного струму з використанням ком-
плексних чисел [27, 28].
Вихідні положення. У подальшому будемо орієнтува-
тись на використання СГ у складі сучасних вітроелектри-
чних установок (ВЕУ), що можуть функціонувати зі змін-
ною частотою обертання за швидкостей вітру менше
номінального значення. Режим роботи ВЕУ зі змінною
частотою обертання надає можливості для збільшення
енергоефективності установки в порівнянні з режимом
сталої частоти обертання. Обґрунтування цього поло-
ження полягає ось у чому. Функціональні залежності по-
тужності вітротурбіни за змінних значень швидкості ві-
тру та частоти обертання, розраховані на основі
теоретичних положень вітротехніки [29], наведені на
рис. 1. Характеристики представлені у відносних одини-
цях виміру (в.о.) стосовно номінальних значень потуж-
ності та частоти обертання в діапазоні зміни швидкості
вітру від v1 до v5 = vnom:
nom
P в.о. P P= ,
nom
в.о. = , (1)
де P,ω – потужність та кутова швидкість обертання, від-
повідно.
Рис. 1. Залежність потужності вітротурбіни від частоти обертання та швидкості вітру
За номінального значення частоти обертання = 1.0
вітротурбіна починає розвивати потужність в режимі
вітродвигуна зі швидкостю вітру v1. З ростом швидкості ві-
тру від v1 до v5 = vnom потужність вітротурбіни також
251
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
збільшується з нульового до номінального значення P =
1.0. Проте, якщо надати можливість вітротурбіні оберта-
тися за швидкості вітру v1 з частотою = 0.6, то її потуж-
ність дорівнюватиме 0.2 і характеризуватиме максима-
льно можливе значення для цієї швидкості вітру.
Аналогічна ситуація спостерігається і на інших швидкос-
тях вітру до номінальної включно. Так, на швидкості вітру
v3 при зменшенні частоти обертання з = 1.0 до = 0.8
можна досягти збільшення генерованої потужності з P
= 0.4 до P = 0.5. Таким чином, в діапазоні зміни швидко-
сті вітру до номінального значення включно існує можли-
вість досягти більшої енергоефективності ВЕУ зміною ча-
стоти обертання. При швидкостях вітру більше
номінального значення ВЕУ функціонує зі сталою часто-
тою обертання = 1.0. Діапазон зміни частоти обер-
тання промислових ВЕУ лежить у межах 0.4≤ ≤1.0 [20].
У синхронному генераторі відбувається перетворення
механічної потужності обертового руху на електричну
потужність, яка передається через лінію електропере-
дачі в навантаження. Цей процес супроводжується втра-
тами потужності в різних конструктивних елементах ге-
нератора. Енергетична діаграма процесу перетворення
механічної потужності в генераторі наведена на рис. 2,
де позначено:
PM,ωm – механічна потужність та кутова швидкість на вхі-
дному кінці вала генератора; Pf – потужність системи
електромагнітного збудження генератора; P1 – потуж-
ність втрат у підшипникових вузлах; P2 – потужність
втрат на вентиляцію та охолодження; PEM – електромаг-
нітна потужність генератора, ωe – кутова швидкість обе-
ртання магнітного поля генератора; P3 – втрати потуж-
ності в сталі магнітопровода, Pa – втрати потужності на
нагрівання обмотки якоря генератора, PG – вихідна еле-
ктрична потужність генератора.
Рис. 2. Енергетична діаграма генератора [22]
При застосуванні СГ на постійних магнітах втрати потуж-
ності на збудження відсутні. Кутові швидкості обертання
ротора генератора і магнітного поля статора пропор-
ційні між собою:
e mp = , p const= ,
m e = = , (2)
де р – кількість пар полюсів збудження.
Електричну потужність генератора будемо визначати з
використанням комплексних чисел у такий спосіб:
G e G e eP ( ) mRe(U ( ) I ( )) = , (3)
де m – кількість фаз генератора; Re – ідентифікатор дійс-
ної складової комплексного числа;
GU , I – комплексне значення фазної напруги гене-
ратора та спряжений комплекс струму фази генератора,
відповідно.
Введемо також в подальший аналіз традиційні позна-
чення індуктивності обмотки якоря СГ ув повздовжній (Ld)
та поперековій (Lq) осях магнітної симетрії ротора і відпо-
відні їм реактивні опори за різної частоти обертання:
d e d q e qX L , X L = = , (4)
d d e nom d nom dX ( ) L ( ) ( X ) X = = = ,
q q e nom q nom qX ( ) L ( ) ( X ) X = = = .
Синхронні генератори для потужних ВЕУ мають різні
конструктивні модифікації з радіальним, аксіальним,
поперековим магнітним потоком [30] та ступенем маг-
нітної несиметрії (Ld/Lq) у межах (1,4 ... 1,7) для електро-
магнітного збудження та (1,0 ... 1,1) для роторів з постій-
ними магнітами.
Система електроживлення опріснювального заводу міс-
тить також лінію електропередачі, трансформаторні пі-
дстанції, перетворювачі параметрів електроенергії (у
разі потреби). Основними споживачами електроенергії
в технологічній схемі опріснення морської води мето-
дом зворотного осмосу (рис. 3) слугують електрогідро-
насоси забору та транспортування морської води до за-
воду, насоси етапів підготовки морської води, насоси
високого тиску подачі води мембранних ліній; насоси
бустерні високого тиску мембранних ліній, циркуляційні
насоси технологічних ліній, насоси відкачування та тра-
нспортування розсолу, насоси етапу підготовки та тран-
спортування прісної води. За наявності етапу підігріву
вхідної води суттєвим споживачем електроенергії бу-
дуть також термоелектричні нагрівачі. До решти спожи-
вачів належать різні побутово-комунальні пристрої, сис-
тема пожежної безпеки тощо. Переважна більшість
споживачів (електродвигуни гідронасосів) являють
252
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
собою активно-індуктивне навантаження з коефіцієн-
том потужності на рівні cos (0.8 0.9 ) = − . Лише
термоелектричні нагрівачі можна вважати активним на-
вантаженням з cos 1.0 = .
Рис. 3. Питомі затрати електроенергії на основних складових технологічної лінії SWRO [31]
Ґрунтуючись на наведених вище положеннях, предста-
вимо узагальнену електричну однолінійну схему фази
симетричної системи електроживлення технологічної
лінії опріснення води методом зворотного осмосу, як
показано на рис. 4, де позначено: E
·
𝐹 – комплексне зна-
чення електрорушійної сили (ЕРС) обмотки якоря від
магнітного потоку збудження; I
·
– комплексне значення
струму обмотки якоря; U
·
G, U
·
P – комплексні значення
напруги генератора та навантаження, відповідно;
Z
·
G, Z
·
L, Z
·
P – комплексні значення внутрішнього опору ге-
нератора, лінії електропередачі з трансформаторними
та перетворювальними підстанціями, навантаження.
Рис. 4. Узагальнена електрична схема фази симетричної автономної системи електроживлення
Відповідно до завдання дослідження, вихідних поло-
жень та узагальненої електричної схеми автономної си-
стеми електроживлення (рис. 4) побудова еквівалентної
електричної схеми СГ з магнітною несиметрією ротора
за різної частоти обертання полягає у визначенні актив-
них та реактивних компонент внутрішнього опору гене-
ратора:
(5)
Побудова еквівалентної електричної схеми. Введемо
для подальшого застосування позначення комплексних
значень опорів, струмів, напруг, та ЕРС схеми на рис. 4 у
такому вигляді [27, 28]:
(6)
253
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
де Re(Z
·
), Im(Z
·
) – ідентифікатор дійсної та уявної скла-
дових комплексного числа Z
·
; R, X – активна та реакти-
вна складові комплексного числа Z
·
, відповідно; Z – мо-
дуль комплексного числа;
ϕ,ψ – аргументи відповідних комплексних чисел.
Спершу представимо вихідне рівняння для ЕРС фази об-
мотки якоря СГ з магнітною несиметрією для сталого
значення частоти обертання, згідно з положеннями тео-
рії двох реакцій [22, 26], у такий спосіб:
(7)
де Ra – активний опір обмотки статора; Xa – індуктивний
опір обмотки статора, зумовлений потоком розсіювання;
𝐼
·
𝑞, 𝐼
·
𝑑 – розрахункові (фіктивні) складові комплексного
значення струму статора в поперековій та повздовжній
осях генератора, відповідно:
(8)
де β – кут зсуву по фазі між ЕF та струмом генератора.
Після підстановки (7) у (5) отримуємо в явному вигляді
перші дві складові 𝑍
·
𝐺, що являють собою послідовне
ввімкнення активного та індуктивного опору розсію-
вання обмотки якоря генератора:
(9)
Визначення решти складових 𝑍
·
𝐺 у (9), зумовлених реак-
цією якоря в обох осях, будемо здійснювати з викорис-
танням векторного представлення рівняння (7) на пло-
щині комплексних чисел [27, 28], як показано на рис. 5
товстими лініями.
Рис. 5. Векторна діаграма напруг системи електроживлення на основі СГ з магнітною несиметрією
Побудова складової частини векторної діаграми (𝑈
·
𝐶𝐾 +
𝑈
·
𝐾𝐴) на рис. 5 виконується з використанням розрахунко-
вих (фіктивних) складових струму 𝐼
·
𝑑 та 𝐼
·
𝑞 (8). Тому для ви-
значення елементів схеми заміщення на цій дільниці не-
обхідно розрахувати відповідні падіння напруги через
фізичну величину струму якоря 𝐼
·
. Для цього виконаємо до-
даткові геометричні побудови, як показано на рис. 5 тон-
кою лінією, де подовжено відрізок 𝑗𝐼
·
𝑋𝑎, який перпендику-
лярний вектору струму 𝐼
·
, до перетину з вектором 𝑈
·
𝐾𝐴 в
точці B. Після чого представимо (𝑈
·
𝐶𝐾 + 𝑈
·
𝐾𝐴) такими скла-
довими:
𝑈
·
𝐶𝐾 + 𝑈
·
𝐾𝐴 = 𝑈
·
𝐶𝐵 + 𝑈
·
𝐵𝐴 (10)
У цьому разі складова 𝑈
·
𝐶𝐵, з урахуванням позначень на
рис. 5 та співвідношень (8), дорівнює:
𝑈
·
𝐶𝐵 = 𝑗𝐼
·
𝑋𝑞 (11)
Після підстановки (10), (11) у (9) отримуємо ще один па-
раметр схеми заміщення, а саме опір Xq, який повинен
бути ввімкненим послідовно з Ra та Хa:
𝑍
·
𝐺 = 𝑅𝑎 + 𝑗𝑋𝑎 + +𝑗𝑋𝑞 + 𝑈
·
𝐵А/𝐼
·
. (12)
Вектор 𝑈
·
𝐵𝐴 збігається за напрямом з 𝐸
·
𝐹 (рис. 5) і може
бути представлений за результатами виконаної геомет-
ричної побудови як:
(13)
KA
254
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
β = arctg
a q L P
a L P
X X X X
R R R
+ + +
+ +
(14)
Взаємне положення векторів електрорушійної сили 𝐸
·
𝐹
та напруги на навантаженні 𝑈
·
𝑃 визначається аргумен-
тами комплексних чисел:
e P ψ = β - φ ,
P φ = arctg P
P
X
R
. (15)
Після підстановки (13), (12) у (5) отримуємо рівняння на-
пруг у генераторі для фіксованого значення частоти обе-
ртання:
(16)
Для врахування впливу частоти обертання на складові
рівняння (16) використаємо умови (1), (2), (4) і таке спів-
відношення для комплексних значень опорів:
(17)
Запишемо рівняння (16) з урахуванням (1), (2), (4), (17) у
такому вигляді:
, де (18)
d qE (I ) = (I (X - X ) sinβ )a ,
( )
β = arctg
a q L P
a L P
X X X X
R R R
+ + +
+ +
,
P φ = arctg P
P
X
R
. (19)
Ліва частина рівняння (18) характеризує собою резуль-
туючу ЕРС, яка складається з ЕРС від магнітного потоку
збудження (ЕF ) та від магнітного потоку реакції якоря
(Eaω), яка пропорційна струму якоря, магнітній несиме-
трії ротора, співвідношенню активно-реактивних скла-
дових навантаження. Для активно-індуктивного наван-
таження (векторна діаграма напруг СГ на рис. 5 по-
будована для цього випадку) Eaω зменшує ЕF. Тому ре-
зультуюча ЕРС залежить також від струму генератора,
визначення якого потребує розв’язку нелінійного рів-
няння одним із числових методів наближення [32].
Оскільки функція (18) монотонна відносно струму в за-
даному діапазоні зміни частоти обертання, то вибір
конкретного методу розв’язку може бути довільним.
Рівнянню (18) відповідає електрична нелінійна схема
СГ, наведена на рис. 6.
Рис. 6. Еквівалентна електрична нелінійна схема синхронного генератора за різної частоти обертання
Щоб позбутися нелінійності складових схеми від струму,
виконаємо додаткові перетворення. Після підстановки
(18) у (5) отримуємо такий вираз для внутрішнього
опору генератора:
Z = Z + ( )G dq a a qR j X X + + , (20)
( ) sin
Z =
ej
d q
dq
I X X e
I
−
. (21)
У рівнянні (21) значення аргументу ЕРС та комплексу
струму визначимо з векторної діаграми (рис. 5):
e P ψ = β - φ I = I Pj
e
−
. (22)
Після підстановки (22) у (21) отримуємо:
Z = ( ) sin
j
dq d qX X e
− (23)
Для подальшого перетворення виразу (23) застосуємо
таку операцію комплексних чисел:
= cosβ + j sinβ
j
e
. (24)
Внаслідок підстановки (24) у (23) отримуємо розрахун-
кові формули складових комплексного опору реакції
якоря:
2Z = ( ) sin cos ( ) sindq d q d q dq dqX X j X X R jX − + − = + , (25)
= ( ) sin cosdq d qR X X − ,
2( ) sindq d qX X X = − .
Коректність отриманих виразів для складових комплек-
сного опору в (25 ) перевіримо за умовою:
2 2 2Z = Rdq dq dqX + ,
2 2 2 2( ( ) sin ) ( ( ) sin cos ) ( ( ) sin )d q d q d qX X X X X X − = − + − . (26)
255
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
Після виконання математичних операцій у (26) отриму-
ємо тотожність:
2 21= cos β + sin β
, (27)
що засвідчує достовірність визначення складових ком-
плексного опору реакції якоря.
Тепер, з урахуванням (25), (20), трансформуємо нелінійну
електричну схему генератора на рис. 6 до еквівалентної
лінійної відносно струму якоря, що наведена на рис. 7.
Рис. 7. Еквівалентна електрична лінійна схема синхронного генератора за різної частоти обертання
Отримана електрична схема генератора (рис. 7) містить
три реактивні та два активні опори. Реактивна потуж-
ність на індуктивних опорах I2
ω Xаω і I2
ω Xqω характеризує
витрати на створення магнітного поля обмотки якоря
(розсіювання та реакції якоря в поперековій осі магніт-
ної симетрії). Потужність на активному опорі I2
ω Rа хара-
ктеризує нагрівання обмотки. Фізичну суть активної по-
тужності I2
ω Rdqω , яка обраховується з використанням
індуктивних опорів, з’ясуємо шляхом аналізу рівняння
(18). Синхронна машина з магнітною несиметрією в по-
вздовжній та поперековій осях може функціонувати, згі-
дно (18), і за відсутності магнітного потоку системи збу-
дження (EFω = 0) через наявність ЕРС реакції якоря Eаω ,
яка діє в протилежному напрямку. Оскільки рівняння
(18) отримано для режиму генерування, то від’ємне зна-
чення Eаω характеризує режим гальмування, який вини-
кає внаслідок дії магнітного моменту, спрямованого на
розташування ротора повздовж магнітного потоку реа-
кції якоря. Активну потужність режиму гальмування
(Pdqω) визначимо по аналогії з (3) у такий спосіб:
P = E I cosdq a . (28)
Після підстановки в (28) виразу для Eаω з (19) можна за-
писати:
2 2P = I ( ) sin cos Idq d q dqX X R − = , (29)
= ( ) sin cosdq d qR X X − . (30)
Отриманий вираз (30) збігається з визначенням Rdqω у
(25) при розробленні електричної схеми, наведеної на
рис. 7. Отже, всі елементи еквівалентної електричної
схеми генератора мають фізичне представлення. На
цьому будемо вважати побудову еквівалентних елект-
ричних схем синхронного генератора за різної частоти
обертання ротора обґрунтованою.
Числовий експеримент та аналіз результатів. Викорис-
таємо розроблені еквівалентні схеми для проведення
досліджень з визначення спроможності синхронного ге-
нератора продукувати електроенергію за зміни частоти
обертання в діапазоні 0.4≤ ≤1.0. Приділимо увагу та-
ким характеристикам, як генерована потужність, струм
та напруга на клемах генератора.
Параметри еквівалентної електричної схеми генератора
та автономної системи електроживлення технологічної
лінії представимо такими характерними кількісними
значеннями у відносних одиницях:
Спочатку проведемо оцінку впливу параметрів опору
реакції якоря на значення кута β, яке в теоретичній час-
тині розраховувалось за (19) без урахування параметрів
Rdq та Xdq. Розрахунки виконаємо лише для номіналь-
ного режиму роботи, в якому параметри схеми замі-
щення мають найбільші значення.
Відповідно до розрахункового виразу (19):
( ) 1 (0,1 0,6 0,6)
β = arctg arctg 57,6
0,025 0,8
a q L P o
a L P
X X X X
R R R
+ + + + +
= =
+ + +
. (31)
256
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
Відповідно до електричної схеми на рис. 7:
( ) 1 (0,1 0,6 0,6 0,285)
β = arctg arctg 57,6
0,025 0,8 0,181
a q L P dq o
a L P dq
X X X X X
R R R R
+ + + + + + +
= =
+ + + + +
, (32)
= ( ) sin cos 1 (1,0 0,6) sin57,6 cos57,6 0,181o o
dq d qR X X − = − = ,
2 2( ) sin 1 (1,0 0,6) sin 57,6 0,285o
dq d qX X X = − = − = .
Результати розрахунків за (31), (32) засвідчують, що складові опору реакції якоря не змінюють значення кута β у
розроблених еквівалентних електричних схемах, що узгоджується з властивостями векторної діаграми (рис. 5).
Результати числового експерименту з визначення параметрів навантажувальних режимів роботи СГ за різної час-
тоти обертання представлені в графічному вигляді на рис. 8.
Рис. 8. Залежність параметрів навантажувальних режимів генератора від частоти обертання
У разі зменшення частоти обертання в заданому діапазоні потужність генератора зменшується на 50 %:
Зменшення потужності вітротурбіни (WT) у тому самому діапазоні зміни частоти обертання (див. рис. 1) становить
85 %:
За отриманими результатами можна зазначити, що
зміна потужності вітротурбіни інтенсивніша, ніж генера-
тора при зміні частоти обертання. Тому генератор спро-
можний продукувати електроенергію в навантажуваль-
них режимах роботи зі змінною частотою обертання без
обмежень потужності вітротурбіни. Генератор здатний
перетворити всю механічну енергію вітротурбіни за
зміни частоти обертання менше номінального значення
на електричну енергію.
Висновки.
1. Розроблено еквівалентну електричну нелінійну
схему синхронного генератора за змінної частоти
обертання в навантажувальних автономних режи-
мах роботи. Схема містить зустрічне з’єднання елек-
трорушійних сил обмотки якоря від магнітних пото-
ків збудження та реакції якоря. Нелінійність схеми
зумовлена залежністю електрорушійної сили реакції
якоря від струму. Послідовно з результуючою
електрорушійною силою ввімкнені індуктивні опори
розсіювання і поперекової реакції якоря та активний
опір обмотки якоря. Розрахунок навантажувальних
режимів роботи схеми потребує розв’язку неліній-
ного рівняння відносно струму.
2. Розроблено еквівалентну електричну лінійну схему
синхронного генератора за змінної частоти обер-
тання в навантажувальних автономних режимах ро-
боти. Схема базується на послідовному ввімкненні
електрорушійної сили обмотки якоря від магнітного
потоку збудження, активного і індуктивного опорів
розсіювання обмотки якоря, індуктивного опору по-
перекової реакції якоря та активно-індуктивного
опору гальмівного режиму, зумовленого дією магні-
тного моменту, спрямованого на розташування ро-
тора повздовж магнітного потоку реакції якоря.
3. Синхронний генератор у складі вітроустановки зі
змінною частотою обертання спроможний
257
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
продукувати електроенергію під час роботи на авто-
номне навантаження технологічної лінії опріснення
води без обмежень потужності вітротурбіни. Генера-
тор здатний перетворити всю механічну енергію віт-
ротурбіни за зміни частоти обертання менше номі-
нального значення на електричну енергію.
Фінансування. Дослідження виконано в межах науково-
дослідної роботи Національної академії наук України на
тему: «Наукові та технологічні засади використання ене-
ргії відновлюваних джерел для опріснення морської
води»(ДР № 0123U100871).
ПОСИЛАННЯ
1. Marc-Antoine Eyl-Mazzega and Élise Cassignol, “The
Geopolitics of Seawater Desalination”, Études de l’Ifri,
Ifri, September 2022. 30 P.
2. Distribution of desalination capacity worldwide in
2022, by region.
https://www.statista.com/statistics/1379757/global-
water-desalination-capacity-share-by-region/ [Дата
звернення – 28.01.2026].
3. Національна доповідь про якість питної води та стан
питного водопостачання та водовідведення в Укра-
їні у 2022 р. Міністерство розвитку громад, терито-
рій та інфраструктури України. Київ. 2023. 397 с.
4. Хорольський А. О., Лапко В. В., Саллі В. С., Мамай-
кін О. Р. Вибір технології демінералізації стічних вод
як складової технологічних потоків вугільних шахт.
Збірник наукових праць НГУ. 2020. № 63. С. 61–73.
https://doi.org/10.33271/crpnmu/63.061
5. Салєєв І.А. Опріснення шахтних вод при закритті
шахти ім. М. І. Сташкова ПрАТ «ДТ–-93.
https://doi.org/10.33271/crpnmu/66.081
6. Єлатонцев Д. О., Мухачев А. П. Перспективи отри-
мання опрісненої води з вод вугільних шахт із одно-
часною утилізацією шахтного метану. Матеріали VІІ
Міжнародної науково-практичної конференції «Чи-
ста вода. Фундаментальні, прикладні та промислові
аспекти» (25-26 листопада 2021 р., м. Київ, Україна).
Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського. 2021. С. 124–126.
https://ela.kpi.ua/bitstream/123456789/46891/1/Pure
_water_2021-124-126.pdf [Дата звернення –
28.01.2026].
7. Kulikova D. V. Development of a resource-saving
technology for integrated processing of highly
mineralized mine water in the enterprises of the Kryvyi
Rih iron ore basin. Екологічні науки. 2022. № 5(44). C.
158–162. https://doi.org/10.32846/2306-
9716/2022.eco.5-44.23
8. Ad van Wijk, Jorgo Chatzimarkakisr. Green Hydrogen
for a European Green Deal A 2x40 GW Initiative.
Brussels: Hydrogen Europe. 40 p.
9. Memorandum of understanding between the
European Union and Ukraine on a Strategic
Partnership on Biomethane, Hydrogen and other
Synthetic Gases. 02.02.2023. P. 8. –
https://energy.ec.europa.eu/ memorandum-
understanding-between-european-union-and-ukraine-
strategic-partnership-biomethane_en [Accessed –
04.01.2026].
10. Philip Woods, Heriberto Bustamante, Kondo-Francois
Aguey-Zinsou. The hydrogen economy –Where is the
water? Energy Nexus. Vol. 7. September 2022. 100123.
– https://doi.org/10.1016/j.nexus.2022.100123
11. Бриль А. О., Васько П. Ф., Кромпляс Б. А. Основні те-
нденції та індикатори промислової реалізації техно-
логій опріснення води (за матеріалами науково-
практичної конференції "Відновлювана енергетика
та енергоефективність у XXI столітті. 2024. Київ. Ук-
раїна). Відновлювана енергетика. 2024. № 4. С. 89–
103. https://doi.org/10.36296/1819-
8058.2024.4(79)89-103
12. Desalination Technologies Market Size, Share & Industry
Analysis, By Technology Type (Multi Stage Flash
Distillation (MSF), Multi-Effect Distillation (MED), Reverse
Osmosis (RO), Electrodialysis (ED), Nanofiltration, and
Others), By Source (Sea Water, Brackish Water, River
Water, and Others), By End-User (Municipal, Industrial,
and Power Generation), and Regional Forecast, 2024-
2032. September 02, 2024. Report ID: FBI10980.
https://www.fortunebusinessinsights.com/desalination-
technologies-market-109806 [Дата звернення –
21.11.2025].
13. Kucera J. Reverse Osmosis. 3rd Edition. Scrivener
Publishing LLC, John Wiley & Sons. 2023. 671 p.
14. Рибальченко В.А. Вітроенергетика та опріснення
води. Відновлювана енергетика. 2024. № 3. С. 92–
109. https://doi.org/10.36296/1819-
8058.2024.3(78).92-109
15. Atlas of the Energy Potential of Renewable Energy
Sources of Ukraine. Kyiv: Instytut vidnovliuvanoi
enerhetyky NAN Ukrainy. [Kyiv: Institute of Renewable
Energy of the NAS of Ukraine]. 2024. 56 p. (Ukr.)
DOI:10.36296/atlas-2024
16. Going Global: Expanding Offshore Wind to Emerging
Markets (Vol. 42 of 66): Technical Potential for
Offshore Wind in Ukraine – Map
(English). Washington, D.C.: World Bank Group. –
https://documents1.worldbank.org/curated/en/70939
1586844502062/pdf/Technical-Potential-for-Offshore-
Wind-in-Ukraine-Map.pdf [Дата звернення –
10.02.2026].
17. Benton B. N., Buster G., Pinchuk P. et al. Super
Resolution for Renewable Energy Resource Data With
Wind From Reanalysis Data (Sup3rWind) and
Application to Ukraine. –
https://doi.org/10.1016/j.nexus.2022.100123
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2024.3(78).92-109
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2024.3(78).92-109
258
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
https://docs.nrel.gov/docs/fy24osti/89241.pdf [Дата
звернення – 10.02.2026].
18. Vasko P. F., Mazurenko I. L. [Express analysis of proba-
bilistic characteristics of wind power stations as a
source of energy for seawater desalination in the Azov-
Black Sea region of Ukraine]. Enerhotekhnolohii ta
resursozberezhennia [Energy Technologies & Resource
Saving]. 2023. No. 4. Pp. 42−56. (Ukr.)
DOI:10.33070/etars.4.2023.04
19. Vasko P., Mazurenko I., Sysak R. The influence of wind
speed probability distribution parameters on the
energy efficiency of coastal and offshore wind farms in
enclosed seas: a case study of the Azov-Black sea
region of Ukraine. Vidnovluvana Energetika. 2025.
№ 3. P. 125–136. https://doi.org/10.36296/1819-
8058.2025.3(82).125-136
20. Xu Yang, Dean Patterson, Jerry Hudgins. Permanent
Magnet Generator Design and Control for Large Wind
Turbines. IEEE Power Electronics and Machines in
Wind Applications (PEMWA). Denver. Coronado. July
16–18. 2012. DOI: 10.1109/PEMWA/2012.6316367
21. Seok-Won Jung, Dohyun Kang, Kumarasamy
Palanimuthu, Young Hoon Joo, Sang-Yong Jung. Design
of 20 MW direct-drive permanent magnet
synchronous generators for wind turbines based on
constrained many-objective optimization. Wind
Energy. 2024. Volume 27, Issue 9. P. 843–974.
https://doi.org/10.1002/we.2916
22. Півняк Г. Г., Шкрабець Ф. П., Довгань В. П. Електри-
чні машини. Навчальний посібник. Дніпропет-
ровськ. Видавництво Національного гірничого уні-
верситету, 2003. 328 с.
23. Мельник В.П . Математичні моделі і методи аналізу
режимів електроенергетичних систем. К.,2005. 608 с.
24. ІЕС 61400-12:1998 Wind turbine generator systems –
Part 12: Wind turbine power performance testin.
25. Васько П. Ф., Мазуренко І. Л. Особливості застосу-
вання числового методу рішення математичної мо-
делі нестаціонарних електромеханічних процесів у
системі вітроелектрична установка – електрогідрав-
лічний насос станції опріснення морської води. Від-
новлювана енергетика. 2023. № 1. С. 52–60.
DOI: https://doi.org/10.36296/1819-
8058.2023.1(72).52-60
26. Abhijit Chakrabart, Sudipta Debnath. Electrical
Machines. 2015. McGraw Hill Education (India)
Private Limited. 1238 P.
27. Маляр В. С. Теоретичні основи електротехніки. Еле-
ктричні кола: навч. посібник. Львів: Видавництво
Львівська політехніка, 2012. 312 с.
28. John Bird. Electrical Circuit Theory and Technology.
Third edition 2007. Published by Elsevier Ltd. 694 P.
29. Кривцов В. С., Олейников А. М., Яковлев А. И. Неис-
черпаемая энергия. Книга 2. Ветроэнергетика. Учеб-
ник. Харьков: Національний аерокосмічний універ-
ситет «Харківський авіаційний інститут». 2004. 519 с.
30. Bang, D.; Polinder, H.; Shrestha, G.; Ferreira, J.A.
Review of Generator Systems for Direct-Drive Wind
Turbines. In Proceedings of the European Wind Energy
Conference and Exhibition, Brussels, Belgium, 31
March–3 April 2008; Volume 31, pp. 1–11. Available
online:
https://www.semanticscholar.org/paper/Review-of-
Generator-Systems-for-Direct-Drive-Wind-Bang-
Polinder/f69a9
f66bfee76f0bb2f3d34a8d6ae20697c0bf4 (accessed on
10 February 2026).
31. Nikolay Voutchkov. Desalination Project Cost
Estimating and Management. CRC Press. Taylor &
Francis Group. 2019. 249 p.
32. Мусіяка В. Г. Основи числових методів. Підручник.
Дніпро: ЛІРА, 2017. 256 с.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.3(82).125-136
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.3(82).125-136
https://onlinelibrary.wiley.com/authored-by/Jung/Seok%E2%80%90Won
https://onlinelibrary.wiley.com/authored-by/Kang/Dohyun
https://onlinelibrary.wiley.com/authored-by/Palanimuthu/Kumarasamy
https://onlinelibrary.wiley.com/authored-by/Palanimuthu/Kumarasamy
https://onlinelibrary.wiley.com/authored-by/Joo/Young+Hoon
https://onlinelibrary.wiley.com/authored-by/Jung/Sang%E2%80%90Yong
https://doi.org/10.1002/we.2916
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2023.1(72).52-60
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2023.1(72).52-60
259
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
UDC 628.165: 621.311.24: 621.313.12.025.001.1 https://doi.org/10.36296/1819-8058.2026.1(84).249-267
EQUIVALENT CIRCUITS OF A SYNCHRONOUS GENERATOR IN A VARIABLE-SPEED WIND TURBINE
FOR POWERING A REVERSE OSMOSIS WATER DESALINATION PROCESS LINE
Received Feb. 18, 2026; accepted Mar. 23, 2026
Available online Mar. 31, 2026
Vasko P.1, Rybalchenko V.2
Author for correspondence: Rybalchenko Vladyslav,
e-mail: lemonua@gmail.com
Abstract. Synchronous generators are widely used as part
of wind power plants operating in parallel with a central-
ized power system. At present, the application of high-ca-
pacity autonomous wind power plants with synchronous generators for powering various process configurations,
in particular water desalination by reverse osmosis, is becoming increasingly relevant. The development of rational
circuit and engineering solutions for integrating wind power into this technology requires analysis of load operat-
ing conditions of all components over a wide range of operating wind speeds and rotational speeds. Effective
modeling and computational studies of electromechanical processes in such systems can be implemented through
the use of equivalent circuits of the equipment. Within the framework of this study, nonlinear and linear equivalent
circuits of a synchronous generator phase with rotor magnetic asymmetry have been developed for a wide range
of rotational speeds. The circuits take into account the inductance of the armature reaction and the presence of a
braking mode caused by the magnetic torque acting to align the magnetically asymmetric rotor along the mag-
netic flux of the armature reaction. The research is based on the two-reaction theory for synchronous electrical
machines and the application of alternating current circuit analysis using complex numbers. The circuits were
constructed using a phasor diagram of the generator armature winding EMF on the complex plane. The developed
equivalent circuits enable computational studies of electromechanical transient processes in power supply sys-
tems based on wind power plants, taking into account the pulsations of wind speed, rotation frequency, and load
changes. Ref. 32, Fig. 8.
Keywords: wind turbine, synchronous generator, vector diagram, alternating current, complex numbers, desali-
nation, armature reaction, electrical circuit.
Introduction. The production of fresh water from seawater
has become essential for many economies worldwide. Ap-
proximately 21,000 desalination plants have been commis-
sioned to date, capable of producing up to 99 million cubic
meters of fresh water per day [1, 2]. These facilities are
strategic not only for everyday human needs but also for
industrial operations. Europe produces more than 9.2 mil-
lion cubic meters of desalinated water daily, accounting for
approximately 10% of the total global capacity.
Ukraine faces an unfavorable water supply situation in its
southern regions, as documented in the National Report on
Drinking Water Quality and the State of Drinking Water
Supply and Sanitation [3]. The destruction of the Kakhovka
Hydroelectric Power Plant dam by Russian troops on June
6, 2023 further increased the need for fresh water. There-
fore, water desalination technologies offer good prospects
for the industrial, private, and agricultural sectors of the
economy, as well as for mine water treatment [4–7]. In ad-
dition, Ukraine's participation in the European "2×40 GW
Green Hydrogen Initiative" [8, 9] envisages the construc-
tion of 10 GW of electrolyzer capacity for the production of
1.65 million tons of "green" hydrogen per year, which will
require consumption of treated fresh water at no less than
24 million m³/year [10].
The main trends and current indicators of industrial water
desalination implementation are reviewed in [11]. The larg-
est share of desalinated water is produced using reverse os-
mosis (RO) technology, applicable to both brackish water
(BWRO) and seawater (SWRO) [12]. RO technology [13] is
based on the permeation of water molecules through a
semi-permeable membrane under hydrostatic pressure
generated by hydraulic pumps driven by electric motors.
The use of fossil fuels for this purpose is accompanied by
significant greenhouse gas emissions, which, under the
Paris Climate Agreement, encourages the adoption of re-
newable energy sources, particularly wind energy [14]. The
southern territories of Ukraine are characterized by signifi-
cant wind energy potential [15–17] and high capacity fac-
tors of modern variable-speed wind turbines operating
within the electric power system [18, 19]. Synchronous
generators (SGs) with ratings up to 20 MW, in both wound-
field and permanent magnet configurations, are commonly
used for electricity generation in wind turbines [20, 21].
Integration of electricity from such wind turbines into RO
desalination process lines requires research and analysis of
autonomous load operating conditions at variable gener-
ated voltage and current frequency, which can be effec-
tively accomplished using equivalent circuits of the equip-
1 Dr. of Sciences (Tech.), Professor
https://orcid.org/0000-0001-8807-7173
2 Ph.D. student
https://orcid.org/0009-0009-3592-7897
1, 2 Institute of Renewable Energy of NAS of Ukraine,
Kyiv, Ukraine
260
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
ment [22]. Equivalent circuits for SGs with magnetic asym-
metry have been developed for autonomous operation,
with rotational speed variation limited to near the rated
value. Analysis over a wide rotational speed range there-
fore necessitates new approaches to calculating load oper-
ating conditions.
Problem Formulation. The conventional approach to ana-
lyzing SG operating conditions at variable rotational speed
is based on the use of differential models in the axes of
magnetic symmetry or in phase coordinates [23]. These
models enable the study of both transient and steady-state
conditions after fast-transient processes have subsided.
However, their application to multi-variant load calcula-
tions for wind power plants (WPPs) with SGs is , in most
cases, limited by stability and convergence issues within the
standardized 600 s calculation interval required to obtain
statistically reliable results under stochastic wind speed
variation [24, 25].
An alternative approach uses SG equivalent circuits at vari-
able rotational speed. Such circuits have been developed
for equivalent current components in the axes of magnetic
symmetry. The present study aims to develop an SG
equivalent circuit for WPPs as a function of the actual ar-
mature winding current over a wide rotational speed range
under autonomous loading of a water desalination process
line.
The solution is based on the two-reaction theory for syn-
chronous machines [22, 26] and alternating current circuit
analysis methods using complex numbers [27, 28].
Preliminary Considerations. This study focuses on SGs op-
erating as part of modern WPPs capable of running at vari-
able rotational speed at wind speeds below the rated value.
Variable-speed operation enables higher energy efficiency
compared to constant-speed operation, as justified below.
The functional dependences of wind turbine output power
on rotational speed and wind speed, derived from wind en-
gineering theory [29], are shown in Fig. 1. The characteris-
tics are expressed in per-unit (p.u.) values relative to rated
power and rated rotational speed over the wind speed
range from v1 to v5=vnom:
, (1)
where P, ω - power and angular rotational speed, respectively.
Fig. 1. Wind turbine output power as a function of rotational speed and wind speed
At rated rotational speed = 1.0, the wind turbine begins
to generate power at wind speed v1. As wind speed in-
creases from v1 to v5=vnom, output power rises from zero to
rated value P = 1.0. However, if the turbine is permitted
to rotate at wind speed v1 with = 0.6, its output equals
P = 0.2 — the maximum achievable value at that wind
speed. A similar situation is observed at other sub-rated
wind speeds. At wind speed v3, for instance, reducing rota-
tional speed from = 1.0 to = 0.8 increases generated
power from P = 0.4 to P = 0.5. Thus, over the sub-rated
wind speed range, greater WPP energy efficiency is attain-
able by varying rotational speed. Above rated wind speed,
the WPP operates at constant rotational speed = 1.0.
The rotational speed range of industrial WPPs lies within
0.4 ≤ ≤ 1.0 [20].
In a synchronous generator, mechanical shaft power is con-
verted into electrical power delivered through the trans-
mission line to the load. This process involves power losses
in various generator components. The energy conversion
diagram is shown in Fig. 2, where: PM,ωm — mechanical
power and angular speed at the generator shaft input; Pf —
field excitation power; P₁ — bearing friction losses; P₂ —
ventilation and cooling losses; PEM — electromagnetic
power; ωe — angular speed of the rotating magnetic field;
P₃ — core losses; Pa — armature winding copper losses; PG
— generator output electrical power.
261
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
Fig. 2. Generator power flow diagram [22]
For permanent magnet SGs, excitation losses are absent.
The rotor and stator field angular speeds are proportional:
e mp = , p const= , m e = = , (2)
where p is the number of pole pairs.
Generator output power is expressed using complex nota-
tion as:
G e G e eP ( ) mRe(U ( ) I ( )) = , (3)
where m is the number of phases; Re denotes the real part
operator;
GU , I are the complex phase voltage and conjugate
phase current, respectively.
The following conventional d-axis (Ld) and q-axis (Lq) arma-
ture winding inductances and the corresponding reac-
tances at variable rotational speed are defined as:
d e d q e qX L , X L = = , (4)
d d e nom d nom dX ( ) L ( ) ( X ) X = = = ,
q q e nom q nom qX ( ) L ( ) ( X ) X = = = .
SGs for high-capacity WPPs are available in radial, axial, and
transverse flux configurations [30], with magnetic asym-
metry ratios (Ld/Lq) in the range 1.4–1.7 for electromagnetic
excitation and 1.0–1.1 for permanent magnet rotors.
The desalination plant’s power supply system also includes a
transmission line, transformer substations, and power con-
verters where required. The primary electricity consumers in
the SWRO process line (Fig. 3) are: seawater intake and
transport hydraulic pumps; pre-treatment stage pumps; high-
pressure membrane feed pumps; high-pressure booster
pumps; process line circulation pumps; brine discharge and
transport pumps; and fresh water preparation and transport
pumps. Where inlet water preheating is employed, thermoe-
lectric heaters constitute significant additional loads. Other
consumers include utility devices, fire safety systems, and an-
cillary equipment. Most consumers (hydraulic pump motors)
present inductive loads with a power factor of cosφ = 0.8–0.9.
Thermoelectric heaters alone may be treated as purely resis-
tive loads with cosφ = 1.0.
Fig. 3. Specific energy consumption of the main SWRO process line components [31]
Based on the foregoing, a generalized single-line diagram
of one phase of the symmetric power supply system is pre-
sented in Fig. 4, where: E
·
F— complex armature winding
EMF due to excitation flux; I
·
— complex armature current;
U
·
G , U
·
P — complex generator and load voltages; Z
·
G, Z
·
L, Z
·
P
— complex internal generator impedance, transmission
line impedance (including transformer and converter sub-
stations), and load impedance, respectively.
262
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
Fig. 4. Generalized single-phase equivalent circuit of the symmetric stand-alone power supply system
Based on the research objective, the preliminary considera-
tions, and the generalized single-phase equivalent circuit of the
stand-alone power supply system (Fig. 4), the derivation of the
SG equivalent circuit with rotor magnetic asymmetry at varia-
ble rotational speed reduces to determining the resistive and
reactive components of the internal generator impedance:
(5)
Equivalent Circuit Derivation. Complex impedances, cur-
rents, voltages, and EMFs of the circuit in Fig. 4 are ex-
pressed as [27, 28]:
(6)
where Re(Z
·
), Im(Z
·
) is the identifier of the real and imagi-
nary components of the complex number Z
·
; R, X are the
active and reactive components of the complex number Z
·
,
respectively; Z is the modulus of the complex number; ϕ, ψ
are the arguments of the corresponding complex numbers.
First, we present the initial equation for the armature wind-
ing phase EMF of an SG with magnetic asymmetry at a con-
stant rotational speed, in accordance with the provisions of
the two-reaction theory [22, 26], as follows:
(7)
where Ra is the stator winding resistance; Xa - is the leakage
reactance; I
·
q, I
·
d are the calculated (fictitious) d- and q-axis
stator current components:
(8)
where β is the phase angle between ЕF and the armature
current.
Substituting (7) into (5) yields the first two components of
Z
·
G in explicit form — the series combination of stator wind-
ing resistance and leakage reactance:
(9)
The remaining components Z
·
G of (9), arising from armature
reaction in both axes, are determined using the vector rep-
resentation of (7) on the complex plane [27, 28], as indi-
cated by the bold lines in Fig. 5.
Fig. 5. Voltage phasor diagram of the SG-based power supply system with rotor magnetic asymmetry
263
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
The partial phasor diagram (U
·
CK + U
·
KA) in Fig. 5 is con-
structed using the fictitious components 𝐼
·
𝑑and 𝐼
·
𝑞 from (8).
To determine the corresponding equivalent circuit ele-
ments, the voltage drops must be expressed in terms of the
physical armature current I
·
. Additional geometric construc-
tions, shown by thin lines in Fig. 5, extend the segment jI
·
Xa
perpendicular to I
·
until it intersects U
·
KA at point B. The vec-
tor (U
·
CK + U
·
KA) is then decomposed as:
U
·
CK + U
·
KA = U
·
CB + U
·
BA (10)
In this case, the component U
·
CB , taking into account the
notation of Fig. 5 and relations (8), is equal to:
U
·
CB = jI
·
Xq (11)
Substituting (10) and (11) into (9) yields the q-axis reac-
tance Xq to be connected in series with Ra and Хa:
Z
·
G = Ra + jXa + +jXq + U
·
BА/I
·
. (12)
The vector U
·
BA collinear with 𝐸
·
𝐹 (Fig. 5) is expressed from
the geometric construction as:
(13)
β = arctg
a q L P
a L P
X X X X
R R R
+ + +
+ +
(14)
The mutual position of the EMF 𝐸
·
𝐹 and load voltage𝑈
·
𝑃 vec-
tors are determined by the arguments of complex numbers:
e P ψ = β-φ ,
P φ = arctg P
P
X
R
. (15)
Substituting (13) and (12) into (5) gives the generator volt-
age equation at fixed rotational speed:
(16)
To incorporate the effect of rotational speed on the com-
ponents of (16), conditions (1), (2), (4) and the following im-
pedance scaling relation are applied:
(17)
Equation (16) rewritten in terms of (1), (2), (4), and (17) be-
comes:
, where (18)
d qE (I ) = (I (X - X ) sinβ )a ,
( )
β = arctg
a q L P
a L P
X X X X
R R R
+ + +
+ +
, P φ = arctg P
P
X
R
. (19)
The left-hand side of (18) represents the resultant EMF,
comprising the excitation flux EMF (ЕF) and the armature
reaction EMF (Eaω). The latter is proportional to the arma-
ture current, the degree of rotor magnetic asymmetry, and
the load power factor. For active-inductive loading (as in
the phasor diagram of Fig. 5), Eaω opposes and reduces ЕF.
The resultant EMF therefore depends on the generator
current, requiring solution of a nonlinear equation by nu-
merical methods [32]. Since (18) is monotonic with respect
to current over the given rotational speed range, any stand-
ard iterative method may be employed.
Equation (18) corresponds to the nonlinear equivalent cir-
cuit of the SG shown in Fig. 6.
Fig. 6. Nonlinear equivalent circuit of the synchronous generator at variable rotational speed
To linearize the circuit with respect to current, additional
transformations are performed. Substituting (18) into (5)
yields the following expression for the internal generator
impedance:
Z = Z + ( )G dq a a qR j X X + + , (20)
( ) sin
Z =
ej
d q
dq
I X X e
I
−
. (21)
The EMF and current arguments in (21) are obtained from
the phasor diagram (Fig. 5):
e P ψ = β - φ I = I Pj
e
−
. (22)
Substituting (22) into (21) gives:
KA
264
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
Z = ( ) sin
j
dq d qX X e
− (23)
To further transform expression (23), the following com-
plex number identity is applied:
= cosβ + j sinβ
j
e
. (24)
Substituting (24) into (23) yields the expressions for the re-
sistive and reactive components of the complex armature
reaction impedance:
2Z = ( ) sin cos ( ) sindq d q d q dq dqX X j X X R jX − + − = + , (25)
= ( ) sin cosdq d qR X X − ,
2( ) sindq d qX X X = − .
The validity of the expressions obtained for the components of the complex armature reaction impedance in (25) is veri-
fied by the following condition:
2 2 2Z = Rdq dq dqX + ,
2 2 2 2( ( ) sin ) ( ( ) sin cos ) ( ( ) sin )d q d q d qX X X X X X − = − + − . (26)
Performing the mathematical operations in (26) yields the
identity:
2 21= cos β + sin β , (27)
which confirms the validity of the derived armature reac-
tion impedance components.
Taking into account (25) and (20), the nonlinear circuit of
Fig. 6 is transformed into the linear equivalent circuit with
respect to armature current, shown in Fig. 7.
Fig. 7. Linear equivalent circuit of the synchronous generator at variable rotational speed
The circuit in Fig. 7 contains three reactances and two re-
sistances. The reactive power at inductances I2
ω Xаω and
I2
ω Xqω represents energy stored in the leakage field and the
q-axis armature reaction field. The power I2
ω Rа represents
winding copper loss. The physical meaning of I2
ω Rdqω is
clarified by examining (18): an SG with d/q magnetic asym-
metry can sustain operation even with zero excitation flux
(EFω = 0) through the opposing armature reaction EMF Eаω.
In generation mode, a negative Eаω corresponds to a brak-
ing torque that tends to align the rotor along the armature
reaction flux. The associated braking-mode active power
(Pdqω), by analogy with (3), is:
P = E I cosdq a . (28)
Substituting Eаω from (19) into (28):
2 2P = I ( ) sin cos Idq d q dqX X R − = , (29)
= ( ) sin cosdq d qR X X − . (30)
Expression (30) is consistent with the definition of Rdqω in
(25) used in deriving the circuit shown in Fig. 7. Thus, all
elements of the derived SG equivalent circuit have a physi-
cal interpretation. This completes the derivation of the SG
equivalent circuits at variable rotor rotational speed.
Simulation Results and Discussion. The derived equivalent
circuits are used to assess the capability of the SG to deliver
power as rotational speed varies within 0.4 ≤ ≤ 1.0, with
particular attention to output power, armature current,
and terminal voltage.
The equivalent circuit parameters of the SG and the stand-
alone power supply system of the process line are specified
by the following characteristic values in per-unit form:
265
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
First, the influence of the armature reaction impedance
components on angle β is evaluated. In the theoretical
derivation, β was computed from (19) without Rdq
and Xdq. Calculations are performed at rated operating-
conditions, where the equivalent circuit parameters
reach their maximum values.
From expression (19):
( ) 1 (0,1 0,6 0,6)
β = arctg arctg 57,6
0,025 0,8
a q L P o
a L P
X X X X
R R R
+ + + + +
= =
+ + +
. (31)
From the circuit of Fig. 7:
( ) 1 (0,1 0,6 0,6 0,285)
β = arctg arctg 57,6
0,025 0,8 0,181
a q L P dq o
a L P dq
X X X X X
R R R R
+ + + + + + +
= =
+ + + + +
, (32)
= ( ) sin cos 1 (1,0 0,6) sin 57,6 cos57,6 0,181o o
dq d qR X X − = − = ,
2 2( ) sin 1 (1,0 0,6) sin 57,6 0,285o
dq d qX X X = − = − = .
The results from (31) and (32) confirm that the armature reac-
tion impedance components do not affect angle β, which is
consistent with the properties of the phasor diagram (Fig. 5).
Computed load operating condition parameters for
the SG at different rotational speeds are presented in
Fig. 8.
Fig. 8. Generator load operating parameters as a function of rotational speed
As the rotational speed decreases over the specified range, the generator output power reduces by 50%:
Wind turbine output power decreases by 85% over the same rotational speed range (Fig. 1):
Based on the obtained results, it can be noted that the
change in wind turbine power is more pronounced than
that of the generator, as the rotational speed varies. There-
fore, the generator is capable of producing electrical energy
in load operating modes with variable rotational speed
without limiting the wind turbine’s power. The generator is
able to convert all the mechanical energy of the wind
turbine into electrical energy when the rotational speed de-
creases below the rated value.
Conclusion.
1. A nonlinear equivalent circuit of the SG at variable rota-
tional speed under autonomous load operating condi-
tions has been developed. The circuit incorporates an
266
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
opposing connection of the armature winding EMFs as-
sociated with the excitation and armature reaction
magnetic fluxes. Nonlinearity arises from the depend-
ence of the armature reaction EMF on armature cur-
rent. The leakage reactance, q-axis armature reaction
reactance, and winding resistance are connected in se-
ries with the resultant EMF. Load condition analysis re-
quires solving a nonlinear current equation.
2. A linear equivalent circuit of the SG at variable rota-
tional speed under autonomous load operating condi-
tions has been developed. The circuit is based on the
series connection of the excitation EMF, armature wind-
ing resistance, leakage reactance, q-axis armature reac-
tion reactance, and the active-inductive impedance as-
sociated with the braking mode caused by the magnetic
torque acting to align the rotor along the armature re-
action flux.
3. An SG incorporated in a variable-speed wind turbine is
capable of supplying electrical power to an autonomous
RO desalination process line without constraining wind
turbine output. The generator converts the full mechan-
ical energy of the wind turbine into electrical energy
throughout the sub-rated rotational speed range.
Funding. This work was supported by the National Acad-
emy of Sciences of Ukraine under the research project "Sci-
entific and Technological Principles of Using Renewable En-
ergy Sources for Seawater Desalination" (State Registration
No. 0123U100871).
REFERENCES
1. Marc-Antoine Eyl-Mazzega and Élise Cassignol. "The
Geopolitics of Seawater Desalination". Études de l'Ifri,
Ifri, September 2022. 30 p.
2. Distribution of desalination capacity worldwide in
2022, by region.
https://www.statista.com/statistics/1379757/global-
water-desalination-capacity-share-by-region/
[Accessed: 28 January 2026].
3. National Report on Drinking Water Quality and the
State of Drinking Water Supply and Sanitation in
Ukraine in 2022. Ministry of Development of
Communities, Territories and Infrastructure of Ukraine.
Kyiv. 2023. 397 p. [in Ukrainian]
4. Khorolsky A.O., Lapko V.V., Salli V.S., Mamaykin O.R.
Selection of wastewater demineralization technology
as a component of coal mine process flows. Collection
of Scientific Works of the National Mining University.
2020. No. 63. Pp. 61–73.
https://doi.org/10.33271/crpnmu/63.061 [in
Ukrainian]
5. Saleev I.A. Desalination of mine water during the
closure of the M.I. Stashkov Mine of PJSC "DTEK
Pavlogradvuhillya". Collection of Scientific Works of
the National Mining University. 2021. No. 66. Pp. 81–
93. https://doi.org/10.33271/crpnmu/66.081 [in
Ukrainian]
6. Yelatontsev D.O., Mukhachev A.P. Prospects for
obtaining desalinated water from coal mine drainage
with simultaneous utilization of mine methane.
Proceedings of the VII International Scientific and
Practical Conference "Clean Water. Fundamental,
Applied and Industrial Aspects" (November 25–26,
2021, Kyiv, Ukraine). Kyiv: Igor Sikorsky Kyiv
Polytechnic Institute. 2021. Pp. 124–126. [in Ukrainian]
7. Kulikova D.V. Development of a resource-saving
technology for integrated processing of highly
mineralized mine water in the Kryvyi Rih iron ore
basin. Ecological Sciences. 2022. No. 5(44). Pp. 158–
162. https://doi.org/10.32846/2306-9716/2022.eco.5-
44.23
8. Ad van Wijk, Jorgo Chatzimarkakis. Green Hydrogen for
a European Green Deal: A 2×40 GW Initiative. Brussels:
Hydrogen Europe. 40 p.
9. Memorandum of Understanding between the
European Union and Ukraine on a Strategic
Partnership on Biomethane, Hydrogen and other
Synthetic Gases. 02.02.2023. 8 p.
https://energy.ec.europa.eu/memorandum-
understanding-between-european-union-and-ukraine-
strategic-partnership-biomethane_en [Accessed: 04
January 2026].
10. Philip Woods, Heriberto Bustamante, Kondo-Francois
Aguey-Zinsou. The hydrogen economy – Where is the
water? Energy Nexus. Vol. 7. September 2022. 100123.
https://doi.org/10.1016/j.nexus.2022.100123
11. Bryl A.O., Vasko P.F., Kromplias B.A. Main trends and
indicators of industrial implementation of water
desalination technologies. Renewable Energy. 2024.
No. 4. Pp. 89–103. https://doi.org/10.36296/1819-
8058.2024.4(79)89-103 [in Ukrainian]
12. Desalination Technologies Market Size, Share &
Industry Analysis. September 02, 2024. Report ID:
FBI10980.
https://www.fortunebusinessinsights.com/desalinatio
n-technologies-market-109806 [Accessed: 21
November 2025].
13. Kucera J. Reverse Osmosis. 3rd Edition. Scrivener
Publishing LLC, John Wiley & Sons. 2023. 671 p.
14. Rybalchenko V.A. Wind energy and water desalination.
Renewable Energy. 2024. No. 3. Pp. 92–109.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2024.3(78).92-
109 [in Ukrainian]
15. Atlas of the Energy Potential of Renewable Energy
Sources of Ukraine. Kyiv: Institute of Renewable
Energy of the NAS of Ukraine. 2024. 56 p.
DOI:10.36296/atlas-2024
267
Відновлювана енергетика. № 1/2026 | Гідро-воднева енергетика
16. Going Global: Expanding Offshore Wind to Emerging
Markets: Technical Potential for Offshore Wind in
Ukraine. Washington, D.C.: World Bank Group.
https://documents1.worldbank.org/curated/en/70939
1586844502062/pdf/Technical-Potential-for-Offshore-
Wind-in-Ukraine-Map.pdf [Accessed: 10 February
2026].
17. Benton B.N., Buster G., Pinchuk P. et al. Super
Resolution for Renewable Energy Resource Data with
Wind from Reanalysis Data (Sup3rWind) and
Application to Ukraine.
https://docs.nrel.gov/docs/fy24osti/89241.pdf
[Accessed: 10 February 2026].
18. Vasko P.F., Mazurenko I.L. Express analysis of
probabilistic characteristics of wind power stations as a
source of energy for seawater desalination in the Azov-
Black Sea region of Ukraine. Energy Technologies &
Resource Saving. 2023. No. 4. Pp. 42–56.
DOI:10.33070/etars.4.2023.04 [in Ukrainian]
19. Vasko P., Mazurenko I., Sysak R. The influence of wind
speed probability distribution parameters on the
energy efficiency of coastal and offshore wind farms in
enclosed seas: a case study of the Azov-Black Sea
region of Ukraine. Vidnovluvana Energetika. 2025. No.
3. Pp. 125–136. https://doi.org/10.36296/1819-
8058.2025.3(82).125-136
20. Xu Yang, Dean Patterson, Jerry Hudgins. Permanent
Magnet Generator Design and Control for Large Wind
Turbines. IEEE Power Electronics and Machines in
Wind Applications (PEMWA). Denver. July 16–18,
2012. DOI: 10.1109/PEMWA/2012.6316367
21. Seok-Won Jung, Dohyun Kang, Kumarasamy
Palanimuthu, Young Hoon Joo, Sang-Yong Jung. Design
of 20 MW direct-drive permanent magnet
synchronous generators for wind turbines based on
constrained many-objective optimization. Wind
Energy. 2024. Vol. 27. No. 9. Pp. 843–974.
https://doi.org/10.1002/we.2916
22. Pivniak G.G., Shkrabets F.P., Dovhan V.P. Electrical
Machines. Textbook. Dnipropetrovsk: National Mining
University Press. 2003. 328 p. [in Ukrainian]
23. Melnyk V.P. Mathematical Models and Methods for
the Analysis of Power System Conditions. Kyiv. 2005.
608 p. [in Ukrainian]
24. IEC 61400-12:1998. Wind turbine generator systems –
Part 12: Wind turbine power performance testing.
25. Vasko P.F., Mazurenko I.L. Application of a numerical
method to solve the mathematical model of non-
stationary electromechanical processes in a wind
power plant – electrohydraulic pump system of a
seawater desalination station. Renewable Energy.
2023. No. 1. Pp. 52–60. DOI:
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2023.1(72).52-60
[in Ukrainian]
26. Abhijit Chakrabarti, Sudipta Debnath. Electrical
Machines. 2015. McGraw Hill Education (India) Private
Limited. 1238 p.
27. Maliar V.S. Theoretical Foundations of Electrical
Engineering. Electrical Circuits: Textbook. Lviv: Lviv
Polytechnic Publishing House. 2012. 312 p. [in
Ukrainian]
28. John Bird. Electrical Circuit Theory and Technology. 3rd
ed. Elsevier Ltd. 2007. 694 p.
29. Kryvtsov V.S., Oleinikov A.M., Yakovlev A.I.
Inexhaustible Energy. Book 2: Wind Power
Engineering. Textbook. Kharkiv: National Aerospace
University "Kharkiv Aviation Institute". 2004. 519 p. [in
Russian]
30. Bang D., Polinder H., Shrestha G., Ferreira J.A. Review
of Generator Systems for Direct-Drive Wind Turbines.
Proceedings of the European Wind Energy Conference
and Exhibition (EWEC), Brussels, Belgium, 31 March – 3
April 2008. Vol. 31. Pp. 1–11.
31. Nikolay Voutchkov. Desalination Project Cost
Estimating and Management. CRC Press, Taylor &
Francis Group. 2019. 249 p.
32. Musiaka V.G. Fundamentals of Numerical Methods.
Textbook. Dnipro: LIRA. 2017. 256 p. [in Ukrainian]
|
| id | veorgua-article-610 |
| institution | Vidnovluvana energetika |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:18:48Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | veorgua/96/7e2c5851fb1010eb85390f69a33dfe96.pdf |
| spelling | veorgua-article-6102026-07-18T06:32:24Z EQUIVALENT CIRCUITS OF A SYNCHRONOUS GENERATOR IN A VARIABLE-SPEED WIND TURBINE FOR POWERING A REVERSE OSMOSIS WATER DESALINATION PROCESS LINE ЕКВІВАЛЕНТНІ ЕЛЕКТРИЧНІ СХЕМИ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА В СКЛАДІ ВІТРОУСТАНОВКИ ЗІ ЗМІННОЮ ЧАСТОТОЮ ОБЕРТАННЯ ДЛЯ ЕЛЕКТРОЖИВЛЕННЯ ТЕХНОЛОГІЧНОЇ ЛІНІЇ ОПРІСНЕННЯ ВОДИ МЕТОДОМ ЗВОРОТНОГО ОСМОСУ Vasko , P. Rybalchenko , V. wind turbine, synchronous generator, vector diagram, alternating current, complex numbers, desalination, armature reaction, electrical circuit. вітроустановка, генератор синхронний, діаграма векторна, змінний струм, комплексні числа, опріснення, реакція якоря, схема електрична.  Synchronous generators are widely used as part of wind power plants operating in parallel with a centralized power system. At present, the application of high-capacity autonomous wind power plants with synchronous generators for powering various process configurations, in particular water desalination by reverse osmosis, is becoming increasingly relevant. The development of rational circuit and engineering solutions for integrating wind power into this technology requires analysis of load operating conditions of all components over a wide range of operating wind speeds and rotational speeds. Effective modeling and computational studies of electromechanical processes in such systems can be implemented through the use of equivalent circuits of the equipment. Within the framework of this study, nonlinear and linear equivalent circuits of a synchronous generator phase with rotor magnetic asymmetry have been developed for a wide range of rotational speeds. The circuits take into account the inductance of the armature reaction and the presence of a braking mode caused by the magnetic torque acting to align the magnetically asymmetric rotor along the magnetic flux of the armature reaction. The research is based on the two-reaction theory for synchronous electrical machines and the application of alternating current circuit analysis using complex numbers. The circuits were constructed using a phasor diagram of the generator armature winding EMF on the complex plane. The developed equivalent circuits enable computational studies of electromechanical transient processes in power supply systems based on wind power plants, taking into account the pulsations of wind speed, rotation frequency, and load changes. Ref. 32, Fig. 8. Синхронні генератори широко застосовуються у складі вітроелектричних установок, що працюють паралельно з централізованою електросистемою. Нині набуває актуальності задача застосування потужних автономних вітроелектричних установок з синхронними генераторами для електроживлення різних технологічних схем, зокрема опріснення води методом зворотного осмосу. Розроблення раціональних схемо-технічних рішень з інтеграції енергії вітроустановок у зазначену технологію потребує аналізу навантажувальних режимів роботи всіх складових в широкому діапазоні зміни робочих швидкостей вітру й частоти обертання. Ефективне моделювання та проведення розрахункових досліджень перебігу електромеханічних процесів у цих системах може бути реалізовано застосуванням заступних електричних схем обладнання. У межах цього дослідження розроблено нелінійну та лінійну еквівалентні електричні схеми фази синхронного генератора з магнітною несиметрією ротора в широкому діапазоні зміни частоти обертання. Схеми враховують індуктивність реакції якоря та наявність режиму гальмування, зумовленого дією магнітного моменту, спрямованого на розташування магнітно несиметричного ротора повздовж магнітного потоку реакції якоря. Дослідження ґрунтується на застосуванні основних положень теорії двох реакцій для синхронних електричних машин та методів розрахунку електричних кіл змінного струму з використанням комплексних чисел. Схеми побудовано за допомогою векторної діаграми для електрорушійної сили обмотки якоря генератора на площині комплексних чисел. Застосування розроблених еквівалентних електричних схем синхронного генератора надає можливості проведення розрахункових досліджень електромеханічних перехідних процесів у системах електроживлення на основі вітроелектричних установок з урахуванням пульсацій швидкості вітру, частоти обертання, зміни навантаження. Бібл. 32, рис. 8. Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2026-03-28 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/610 10.36296/1819-8058.2026.1(84).249-267 Vidnovluvana energetika ; No. 1(84) (2026): Scientific and applied Journal renewable energy ; 249-267 Возобновляемая энергетика; ##issue.no## 1(84) (2026): Scientific and applied Journal renewable energy ; 249-267 Відновлювана енергетика; № 1(84) (2026): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 249-267 2664-8172 1819-8058 10.36296/1819-8058.2026.1(84) uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/610/521 Copyright (c) 2026 P. Vasko , V. Rybalchenko https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | wind turbine synchronous generator vector diagram alternating current complex numbers desalination armature reaction electrical circuit. Vasko , P. Rybalchenko , V. EQUIVALENT CIRCUITS OF A SYNCHRONOUS GENERATOR IN A VARIABLE-SPEED WIND TURBINE FOR POWERING A REVERSE OSMOSIS WATER DESALINATION PROCESS LINE |
| title | EQUIVALENT CIRCUITS OF A SYNCHRONOUS GENERATOR IN A VARIABLE-SPEED WIND TURBINE FOR POWERING A REVERSE OSMOSIS WATER DESALINATION PROCESS LINE |
| title_alt | ЕКВІВАЛЕНТНІ ЕЛЕКТРИЧНІ СХЕМИ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА В СКЛАДІ ВІТРОУСТАНОВКИ ЗІ ЗМІННОЮ ЧАСТОТОЮ ОБЕРТАННЯ ДЛЯ ЕЛЕКТРОЖИВЛЕННЯ ТЕХНОЛОГІЧНОЇ ЛІНІЇ ОПРІСНЕННЯ ВОДИ МЕТОДОМ ЗВОРОТНОГО ОСМОСУ |
| title_full | EQUIVALENT CIRCUITS OF A SYNCHRONOUS GENERATOR IN A VARIABLE-SPEED WIND TURBINE FOR POWERING A REVERSE OSMOSIS WATER DESALINATION PROCESS LINE |
| title_fullStr | EQUIVALENT CIRCUITS OF A SYNCHRONOUS GENERATOR IN A VARIABLE-SPEED WIND TURBINE FOR POWERING A REVERSE OSMOSIS WATER DESALINATION PROCESS LINE |
| title_full_unstemmed | EQUIVALENT CIRCUITS OF A SYNCHRONOUS GENERATOR IN A VARIABLE-SPEED WIND TURBINE FOR POWERING A REVERSE OSMOSIS WATER DESALINATION PROCESS LINE |
| title_short | EQUIVALENT CIRCUITS OF A SYNCHRONOUS GENERATOR IN A VARIABLE-SPEED WIND TURBINE FOR POWERING A REVERSE OSMOSIS WATER DESALINATION PROCESS LINE |
| title_sort | equivalent circuits of a synchronous generator in a variable-speed wind turbine for powering a reverse osmosis water desalination process line |
| topic | wind turbine synchronous generator vector diagram alternating current complex numbers desalination armature reaction electrical circuit. |
| topic_facet | wind turbine synchronous generator vector diagram alternating current complex numbers desalination armature reaction electrical circuit. вітроустановка генератор синхронний діаграма векторна змінний струм комплексні числа опріснення реакція якоря схема електрична. |
| url | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/610 |
| work_keys_str_mv | AT vaskop equivalentcircuitsofasynchronousgeneratorinavariablespeedwindturbineforpoweringareverseosmosiswaterdesalinationprocessline AT rybalchenkov equivalentcircuitsofasynchronousgeneratorinavariablespeedwindturbineforpoweringareverseosmosiswaterdesalinationprocessline AT vaskop ekvívalentníelektričníshemisinhronnogogeneratoravskladívítroustanovkizízmínnoûčastotoûobertannâdlâelektroživlennâtehnologíčnoílínííoprísnennâvodimetodomzvorotnogoosmosu AT rybalchenkov ekvívalentníelektričníshemisinhronnogogeneratoravskladívítroustanovkizízmínnoûčastotoûobertannâdlâelektroživlennâtehnologíčnoílínííoprísnennâvodimetodomzvorotnogoosmosu |