STATISTICS OF SOLAR IRRADIANCE TIME SERIES FOR KYIV. I. FREQUENCY AND CORRELATION ANALYSES FOR PHOTOVOLTAIC SYSTEM APPLICATIONS

Modern photovoltaic (PV) systems demand precise design and power generation forecasting, making the investigation of regional statistical properties of solar radiation increasingly critical. This paper presents a statistical analysis of daily solar irradiation series for Kyiv over the past 10 years,...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2026
Main Authors:	Gaevskii , O., Gaevska , H.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2026
Subjects:	solar radiation clearness index stochastic residuals time series Kyiv stationarity frequency distribution KDE approximation bimodality ACF/PACF ARMA models photovoltaic systems energy reliability.
Online Access:	https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/625
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Vidnovluvana energetika
Download file:

Institution

Vidnovluvana energetika

_version_	1870287564598935552
author	Gaevskii , O. Gaevska , H.
author_facet	Gaevskii , O. Gaevska , H.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "O. Gaevskii ", "institution": "НТУУ «Київський політехнічний інсти-тут ім. Ігоря Сікорського» , м. Київ, Україна, Інститут відновлюваної енергетики НАН України, м. Київ, Україна" }, { "author": "H. Gaevska ", "institution": "НТУУ «Київський політехнічний інсти-тут ім. Ігоря Сікорського» , м. Київ, Україна" } ]
author_sort	Gaevskii , O.
baseUrl_str	https://ve.org.ua/index.php/journal/oai
collection	OJS
datestamp_date	2026-07-09T12:14:07Z
description	Modern photovoltaic (PV) systems demand precise design and power generation forecasting, making the investigation of regional statistical properties of solar radiation increasingly critical. This paper presents a statistical analysis of daily solar irradiation series for Kyiv over the past 10 years, expressed via the clearness index Kt and decomposed into seasonal and stochastic components. It is demonstrated that the frequency distribution of Kt exhibits a bimodal structure with pronounced peaks corresponding to "overcast" and "clear-sky" states. The "saddle" zone between these peaks indicates that intermediate states of variable cloudiness are less frequent and inherently less stable. This bimodality must be accounted for in PV system design, as calculations based solely on long-term monthly averages lead to significant systematic errors, potentially overestimating energy yield during prolonged overcast periods. The primary focus is placed on the stochastic residuals X of the Kt series, which are essential for generation forecasting and sizing battery energy storage systems (BESS). The stationarity of the residual time series, which retains a bimodal distribution, was confirmed via the Augmented Dickey-Fuller (ADF) test. Analysis of the autocorrelation (ACF) and partial autocorrelation (PACF) functions revealed short-term dependencies effectively captured by ARMA (p,q) models. Parameter estimation across this model family identified the ARMA (1,1) model as the most adequate in terms of both accuracy and parsimony, as confirmed by the Akaike Information Criterion (AIC). The results of these frequency and correlation analyses are essential for testing autonomous and backup PV systems through the generation of diverse weather scenarios, including worst-case conditions.&nbsp;
doi_str_mv	10.36296/1819-8058.2026.2(85).140-156
first_indexed	2026-07-10T01:00:14Z
format	Article
fulltext	140 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика УДК 621.311.16:620.92 https://doi.org/10.36296/1819-8058.2026.2(85).140-156 СТАТИСТИКА ЧАСОВИХ РЯДІВ ІНСОЛЯЦІЇ М. КИЄВА. І. ЧАСТОТНИЙ ТА КОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗИ ДЛЯ ФОТОЕЛЕКТРИЧНИХ СИСТЕМ Отримано 22 квіт. 2026 р.; рекомендовано до публікації 26 чер. 2026 р. Доступно онлайн 30 чер. 2026 р. Гаєвський О. Ю.1, Гаєвська Г. М.2 Автор для кореспонденції: Гаєвський Олександр, e-mail: a.gaevskii@kpi.ua Анотація. До сучасних фотоелектричних систем став- ляться жорсткі вимоги під час проєктування та прогно- зування вироблення електроенергії, що робить дослі- дження регіональних статистичних властивостей сонячного випромінювання дедалі важливішим. У цій статті представлено статистичний аналіз щоденних рядів сонячного опромінення для Києва за останні 10 років, виражених через індекс прозорості Kt та розкладених на сезонні та стохастичні компоненти. Показано, що розподіл частоти Kt має бімо- дальну структуру з яскраво вираженими піками, що відповідають станам «хмарно» та «ясне небо». «Сідлова» зона між цими піками вказує на те, що проміжні стани змінної хмарності трапля- ються рідше та за своєю суттю менш стабільні. Цю бімодальність необхідно враховувати під час проєктування ФЕ систем, оскільки розрахунки, засновані виключно на довгострокових місячних се- редніх значеннях, призводять до значних систематичних помилок, що потенційно переоцінює виро- біток енергії протягом тривалих періодів хмарності. Основна увага приділяється стохастичним залишкам X ряду Kt, які є важливими для прогнозування виробництва та визначення розмірів систем акумуляторного накопичення енергії. Стаціонарність залишкового часового ряду, який зберігає бі- модальний розподіл, була підтверджена за допомогою розширеного тесту Дікі Фуллера (ADF). Аналіз функцій автокореляції (ACF) та часткової автокореляції (PACF) виявив короткострокові за- лежності, які ефективно враховуються моделями ARMA(p,q). Оцінка параметрів у цьому сімействі моделей визначила модель ARMA(1,1) як найадекватнішу погляду точності та економного набору параметрів, що підтверджено інформаційним критерієм Акайке (AIC). Результати цих частотних та кореляційних аналізів є важливими для тестування автономних і резервних фотоелектричних систем шляхом генерації різноманітних погодних сценаріїв, включно з найгіршими умовами. Ключові слова: сонячна радіація, Київ, індекс прозорості, стохастичні залишки, часові ряди, стаціона- рність, розподіл частот, KDE-апроксимація, бімодальність, автокореляційні функції ACF/PACF, моделі ARMA, фотоелектричні системи, енергетична надійність. Абревіатури ACF( Autocorrelation Function) − автокореляційна функція ADF (Augmented Dickey-Fuller (test)) − розширений тест Дікі − Фуллера ADS (Atmosphere Data Store) − сховище атмосферних даних AIC (Akaike Information Criterion) − інформаційний кри- терій Акайке ARMA (Autoregressive Moving Average) − авторегресійна ковзна середня BESS (Battery Energy Storage System) − акумуляторна си- стема накопичення енергії CAMS (Copernicus Atmosphere Monitoring Service ) − служба моніторингу атмосфери «Copernicus» CDF (Cumulative Distribution Function) − кумулятивна функція розподілу ERA5 (European Centre for Medium-Range Weather Forecasts Reanalysis) − система реаналізу Європейсь- кого центру середньострокових прогнозів погоді GHI (Global Horizontal Irradiation ) − глобальне горизон- тальне опромінення KDE (Kernel Density Estimation) − ядерна оцінка щіль- ності LCOE (Levelized Cost of Energy) − усереднена вартість енергії PACF (Partial Autocorrelation Function) − частинна авто- кореляційна функція PDF (Probability Density Function) − функція щільності ймовірності PV (Photovoltaic) − фотоелектричний RMSE (Root Mean Square Error ) − середньоквадратична похибка 1 д-р. фіз.-мат. наук, професор https://orcid.org/0000-0001-6144-2441 2 ст. викладач https://orcid.org/0000-0001-7760-6789 1, 2 НТУУ «Київський політехнічний інсти- тут ім. Ігоря Сікорського» , м. Київ, Україна 1 Інститут відновлюваної енергетики НАН України, м. Київ, Україна 141 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика Вступ. Стрімкий розвиток фотоелектричних систем (ФЕС) та їх інтеграція до сучасних енергосистем висува- ють жорсткі вимоги до точності проєктування та прогно- зування вироблення електроенергії. На відміну від тра- диційної генерації сонячна енергія характеризується високою стохастичністю, обумовленою складною ди- намікою атмосферних процесів. В умовах початку де- централізованого енергопостачання та використання автономних (резервних) ФЕС стандартних методів ро- зрахунку за середньомісячними значеннями стає недо- статньо. Тому важливі дослідження статистичних вла- стивостей метеорологічних факторів (освітленості, температури навколишнього середовища, швидкості вітру) для прогнозування та оцінок надійності роботи установок на ВДЕ [1−3]. Вивчення статистичних власти- востей сонячного опромінення в конкретних регіонах актуальне також під час проектування та оцінок ефек- тивності роботи гібридних систем [4]. Ефективність і надійність енергооб’єктів безпосередньо залежить від розуміння структури часових рядів інсо- ляції. Статистичний аналіз дає змогу виділити де- терміновані сезонні тренди та глибоко дослідити при- роду стохастичних залишків − відхилень, спричинених локальними метеорологічними факторами. Саме ці відхилення визначають імовірність дефіциту енергії, відповідність критеріям надійності енергопостачання та диктують вимоги до ємності акумулювальних систем енергозбереження (BESS). Особливий інтерес являють дані з інсоляції для умов м. Києва. Клімат цього регіону характеризується значною мінливістю хмарного покриву, нгасамперед у перехідні осінньо-весняні періоди. Висока амплітуда стохастичних коливань інсоляції в умовах помірно континентального клімату потребує застосування інструментів математич- ної статистики, як-от частотний та кореляційний аналізи (ACF/PACF), авторегресійні моделі ARMA (Autoregressive and Moving Average Model) [5, 6]. Мета роботи і постановка задачі. Метою цієї роботи є розробка й верифікація статистичної моделі, яка описує внутрішню структуру та закономірності мінливості часо- вих рядів сонячної інсоляції для умов м. Києва на основі актуальних даних за останнє десятиріччя. У процесі до- слідження вирішувались такі задачі: − декомпозиція часового ряду: виділення довгостро- кової сезонної складової та отримання ряду стохас- тичних залишків інсоляції; − частотний (імовірнісний) аналіз: дослідження функ- цій щільності ймовірності (PDF) та інтегральних фун- кцій розподілу (CDF) індексу прозорості Kt та його за- лишків X; − кореляційна діагностика: обчислення та аналіз автоко- реляційних (ACF) та частинних автокореляційних (PACF) функцій для оцінки «пам’яті» досліджуваного процесу; − ідентифікація та параметризація моделі: вибір опти- мальної моделі ARMA, розрахунок її коефіцієнтів та оцінка статистичної значущості параметрів; − верифікація моделі: перевірка адекватності моделі шляхом аналізу залишкового шуму на відповідність критеріям стаціонарності та відсутності серійної за- лежності (тести ADF, Льюнг − Бокс [6, 7]). Для забезпечення достовірності статистичних висновків у роботі використано масив даних добової інсоляції за останній десятирічний період, 2026−2025 рр., у м. Києві. Багаторічна ретроспектива дає змогу врахувати не лише сезонні цикли, а й варіативність синоптичних процесів, за винятком впливу випадкових екстремальних погод- них аномалій одного конкретного року. Дослідження багаторічних рядів актуально в задачах оптимізації ком- понентного складу ФЕС, довгостроковому прогно- зуванні й отриманні поточної діагностики з ефектив- ності шляхом генерування синтетичних рядів інсоляції [8−10]. Вихідними даними для дослідження слугували добові ряди сумарної сонячної інсоляції GHI (Global Horizontal Insolation) з сервісу Atmosphere Data Store (ADS) бази да- них Copernicus Atmosphere Monitoring Service (CAMS) [11]. Цей сервіс надає результати моделювання як для умов ясного неба (Cloud-free / Clear-sky), так і для фак- тичних метеоумов (Actual weather). У цій роботі порівняння зазначених двох сценаріїв дало змогу виділити чистий внесок хмарності в стохастичну струк- туру часового ряду. Використання сервісу ADS, в основі якого лежить глобальний набір даних реаналізу ERA5- Land, забезпечує високу часову і просторову (9 км) дис- кретизацію, а також статистичну достовірність. Процеси обробки та аналізу рядів виконувались у цій роботі в середовищі Python/Spyder існуючими інстру- ментами бібліотек numpy, pandas, scipy, statsmodels, sklearn, tslearn та інших [12, 13]. Структура добових рядів сонячного опромінення м. Києва. Для аналізу статистичних закономірностей со- нячного опромінення земної поверхні ми переходимо до індексу прозорості Kt − безрозмірного показника, що дорівнює відношенню глобального сонячного опромінення (GHI) на поверхні Землі до позаземного опромінення G0: 𝐾𝑡 = 𝐺 𝐺0 (1) де G – глобальна горизонтальна радіація на земній по- верхні (GHI), G0 − позаземна горизонтальна радіація. Пе- рехід до Kt у подальшому дасть змогу перетворити вихідні ряди до стаціонарної форми. Необхідною умо- вою при цьому є усунення впливу детермінованої астро- номічної складової G0. При розрахунках Kt (1) фільтру- ються фізично неможливі значення поза діапазоном 0.05 ÷ 0.085. Під час аналізу поведінки сонячної радіації слід врахо- вувати, що часовий ряд не є однорідним, а являє собою суперпозицію різних за природою процесів, тому ряд Kt прийнято поділяти на його сезонну складову та за- лишки: 142 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика 𝐾𝑡 = 𝐾𝑡,season + 𝑋 (2) Перша складова Kt,season являє собою детерміновану компоненту, яка визначається циклічними коливаннями інсоляції, зумовленими астрономічними факторами: обертанням Землі навколо своєї осі (добовий цикл) і навколо Сонця (річний цикл). Друга складова X стоха- стичні залишки, які є різницею між реальними вимірами та сезонним трендом. Залишки виникають через ди- наміку атмосферних процесів: рухи хмарності, зміни во- логості та запиленості повітря. Якщо аналізувати ряд (2) цілком, потужні сезонні коли- вання маскуватимуть локальні швидкі короткочасні зміни. Відділення сезонності дає змогу сфокусувати ма- тематичний апарат на аналізі випадкових відхилень. Це важливо для: − мінімізації відхилень модельних рядів від реальних значень (наприклад, за критерієм RMSE), оскільки модель, яка навчена на залишках, точніше відобра- жає короткострокові зміни погоди; − оптимізації обчислень завдяки фокусуванню саме на аналізі стохастичних процесів без втрати ресурсівна сезонну складову. Знання часової залежності сезонної складової Kt,season дає змогу визначати теоретичний максимум генерації ФЕС для конкретної географічної точки в конкретний час. Вона приблизно описується моделлю чистого неба (Clear Sky Models) і сама вона не несе невизначеності, яку потрібно знаходити статистичними методами. Не- визначеність міститься саме в залишках Х, де прихована основна волатильність, що ускладнює прогнозування. Залишки акумулюють у собі вплив метеорологічної тур- булентності, випадкових змін хмарності та аерозоль- ного складу атмосфери. Метою виділення залишків є досягнення стаціонарності часового ряду: під час до- слідження переходимо від нестаціонарного ряду інсо- ляції до стаціонарного ряду залишків. Стаціонарність є обов’язковою умовою для застосування моделей ARMA, а також для забезпечення збіжності алгоритмів машинного навчання [5, 6]. Ряди добових значень коефіцієнта прозорості Kt і за- лишків X на інтервалі 10 років показані на графіках на рис. 1 – зверху і знизу, відповідно. На графік Kt накла- дена сезонна складова, яка має чітко виражений періодичний характер. Приведемо результати стати- стичних оцінок отриманих рядів. Середні значення 0.466 − для Kt, 0.00018 − для X (має бути ≈ 0). Стандартне відхилення залишків − 0.1832. Перевірка отриманого часового ряду залишків X розширеним тестом Дікі − Фуллера ADF [6, 7] показала його стаціонарність: p-value << 0.001 (має бути < 0.05). Тест Льюнга – Бокса LB [5, 6], який перевіряє, чи є автокореляції часового ряду (у на- шому випадку − залишків X), показав їх наявність на ла- гах до 20 днів (p <0.05). Це свідчить про доцільність пе- реходу в подальшому до застосування та ідентифікації авторегресійної моделі з ковзним середнім ARMA(p,q). Рис. 1. Часові ряди періоду 2016–2025 рр. для м. Києва: зверху − добові значення індексу прозорості Kt з сезон- ною складовою (червона крива); знизу − стохастичні залишки Х Частотні та кумулятивні розподіли індексу Kt та за- лишків. Основою для розуміння динамічної поведінки сонячного ресурсу, що виходить за межі передбачу- ваної сезонної циклічності, є аналіз щільності ймовір- ності (PDF) та функції розподілу (CDF) індексу прозорості та стохастичних залишків. Теоретичний потенціал фото- 143 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика електричної системи визначається детермінованою компоненто – інсоляцією при ясному небі. Але для визначення реальної експлуатаційної надійності ФЕС потрібний аналіз статистичних властивостей фактичної інсоляції − розкиду, асиметрії та форми розподілу. З по- гляду проєктування та оптимізації ФЕС дослідження розподілів Kt, X важливе для рішення таких завдань фо- тоенергетики: − Прогнозування екстремальних режимів. Аналіз «хвостів» розподілу дає змогу оцінити ймовірність і тривалість глибоких провалів генерації, спричинених аномальними погодними умовами, що недоступно при використанні середньомісячних даних. − Розрахунок критеріїв надійності (LLP − Loss of Load Probability) [9, 14]. Точне знання функції розподілу залишків необхідне для обчислення ймовірності де- фіциту енергії, тобто для обґрунтування вибору поту- жності панелей та ємності накопичувачів. − Стохастична оптимізація. Форма щільності ймові- рності слугує основою для моделювання реалістич- них сценаріїв роботи системи в умовах невизначено- сті, що необхідно для оцінок економічної окупності (LCOE, CAPEX) [15, 16] у довгостроковій перспективі. Результати статистичного аналізу ряду добових значень Kt показані на рис. 2 у формі гістограми частот та її непа- раметричної апроксимації методом ядерної оцінки щільності KDE (Kernel Density Estimation) [17] і кумуля- тивної функції розподілу (CDF) з її PCHIP-інтерполяцією (Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial). Об- ласть визначення апроксимуючої функції щільності ймовірності була встановлена за емпіричними межами накопиченого масиву даних. При цьому обрізаються теоретично нескінченні «хвости» апроксимуючих функцій, щоб у подальшому забезпечити достовірність синтетичних рядів для тестування моделей ФЕС. На графіках частотного розподілу індексу прозорості (рис. 2, а) бачимо бімодальну структуру з двома вира- женими локальними піками. Перший з них (0.20) відповідає режиму «хмарного неба» (overcast). Висока щільність імовірності в цій зоні характерна для клімату Києва, особливо в осінньо-зимовий період. Другий пик (0.73) відповідає режиму «ясного неба» (clear sky). Зона «сідла» з відносно низькою щільністю в центрі вказує на те, що проміжні стани (мінлива хмарність) є менш стій- кими – атмосфера прагне «звалитися» в один з двох означених станів. Графік накопиченої ймовірності CDF (рис. 2, б) підтвер- джує неоднорідність статистичної структури Kt: медіана (0.446) перебуває якраз у зоні «сідла» PDF. Цей важли- вий факт означає, що середнє значення індексу прозо- рості для Києва описує стан, який насправді зустрічається найрідше. Можна вважати це аргументом проти використання найпростіших середніх моделей сонячної радіації м. Києва в задачах фотоенергетики. На графіках (див. рис 2, а, б) вказаний інтервал 0.05– 0.95 квантілів (довірчий інтервал), що обмежує діапазон індексу прозорості Kt (приблизно від 0.15 до 0.74), за межами якого перебувають екстремальні, але малой- мовірні викиди. Використання KDE-апроксимації (чер- вона лінія на PDF) дає змогу згладити шум гістограми і візуалізувати локальні максимуми розподілу. PCHIP-ін- терполяція на графіку CDF забезпечує монотонність кри- вої, що важливо для коректного синтезу рядів методом зворотної інтегральної трансформації [9, 18]. На частотному розподілі стохастичних залишків X (рис. 3, а) також спостерігаємо бімодальність, що вира- жена слабше. Це очікуваний, але цікавий результат, який вказує на те, що бімодальність не лише сезонний ефект (вплив сезонів був виключений при розрахунку X), а й фундаментальна властивість сонячного опромінення в регіоні. а б Рис. 2. Результати статистичного аналізу індексу прозорості Kt: a − гістограма частот та її непарамет- рична KDE апроксимація; б − кумулятивна функція розподілу (CDF) та її PCHIP-інтерполяція. Тінню показані 95%-ні довірчі інтервали 144 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика а б Рис. 3. Результати статистичного аналізу залишків X: a − гістограма частот та її непараметрична KDE апроксимація; б − кумулятивна функція розподілу (CDF) та її PCHIP-інтерполяція. Тінню показані 95%-ні довірчі інтервали Отже, графік PDF (див. рис. 3, а) для залишків показує збереження бімодальності, але її характер якісно змінився. Два максимуми зблизилися, а зона «сідла» стала менш глибокою порівняно з PDF(Kt). Моди за- лишків зміщені – тепер вони центровані щодо нуля (приблизно -0.12 і 0.13). Негативний пік – це «нестача» радіації через хмари, позитивний – «надлишок» радіації щодо середнього тренду в ясні періоди. Форма розподілу стала більш симетричною та компактною, що значно полегшує завдання статистичного синтезу рядів, оскільки екстремальні хвости стали менш вираженими. Бачимо також характерне центрування (медіана (- 0.005), що необхідно для роботи ARMA-моделей. На графіку накопиченої ймовірності CDF (рис. 3, б) крива стала плавнішою, майже наближаючись до S-подібної форми (притаманної нормальному розподілу), але з ха- рактерним «зламом» у районі медіани (зміна знаку дру- гої похідної). Цей злам – прямий наслідок бімодальності та аргумент на користь того, що нормальний розподіл Гауса не підходить для моделювання залишків інсоляції – він повністю ігнорує наявність двох погодних режимів. Визначені особливості розподілу частот залишків та емпіричної функції розподілу є фундаментом для по- дальшої генерації ансамблів синтетичних часових рядів, необхідних для верифікації проєктних рішень ФЕС [8–10]. Аналіз кореляцій. Попередні дослідження статистики рядів залишків показали наявність у рядах внутрішньої структури та зв’язків між елементами Xt (значеннями в різні моменти t). Для отримання інформації про коре- ляційну структуру застосуємо апарат функції автокоре- ляції (ACF – Autocorrelation Function) та часткової авто- кореляції (PACF – Partial Autocorrelation Function) [5, 6]. Саме ці функції дають змогу виявити приховану періодичність і визначити структуру стохастичної моделі (наприклад, ARMA/ARIMA). Функція ACF, що містить інформацію про кореляцію ряду з самим собою, зрушеним на k кроків, допомагає знайти сезонність (добову, місячну чи річну). Коефіцієнти ACF k вказують на кореляційну залежність між поточним значенням Xt і зсунутим на лаг k минулим значеннями Xt-k. Для стаціонарних рядів ці коефіцієнти визначаються на основі експериментальних даних або результатів моделювання як 𝜌𝑘 = 𝛾𝑘 𝛾0 = 𝐸[(𝑋−𝜇)(𝑋𝑡−𝑘−𝜇)] 𝐸[(𝑋𝑡−𝑘−𝜇) 2] (3) де k − автоковаріація на лазі k, 0 − дисперсія ряду,  − математичне очікування. ACF вказує на інерційність ат- мосфери та відображає тривалість інтервалів схожої по- годи. Обчислення ACF дає змогу визначити порядок ко- взного середнього (MA). Якщо ACF обривається після лага q, це свідчить на користь моделі MA(q). Друга функція − PACF – показує кореляцію зі зсувом k, виключаючи вплив всіх проміжних. Це дає змогу зро- зуміти, чи обумовлена інсоляція в день i безпосередньо інсоляцією в день i−k, чи цей зв’язок є лише наслідком ланцюжка проміжних метеорологічних станів. PACF − ключовий інструмент для визначення порядку авторе- гресії (AR). Різке згасання PACF після лага p вказує на мо- дель AR(p). Для фотоенергетики спільний кореляційний аналіз ACF/PACF важливий з таких причин. По-перше, він визначає тип процесу: за видом згасання функцій мо- жемо судити, чи маємо ми справу з процесом AR, MA або змішаним типом ARMA. По-друге, цей аналіз дає змогу визначити горизонт прогнозу за ознакою виходу автокореляції за межі довірчого інтервалу (кореляція стає статистично незначною). При кластеризації ряду Х це буде визначати межу передбачуваності конкретного кластера інсоляції. 145 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика Для отриманих внаслідок передобробки рядів інсоляції були розраховані коефіцієнти ACF і PACF для лагів від 1 до 12 у двох сценаріях: фактичні метеодані (a, б) і мо- дель чистого неба (в, г). Результати наведені на рис. 4. Для отриманих даних характерне швидке згасання обох функцій: ACF стає незначною (менше 0.05) на 9-му лазі, а PACF – вже на 3-му або 4-му. Для фактичних метеода- них (за показаннями датчиків) значення першого лага PACF(1) = 0.354, для ясного неба PACF(1) = 0.458. Відно- шення PACF(1)/ PACF(2) становить для цих випадків 4.72 і 7.75, відповідно. Це може говорити на користь вибору моделі ковзного середнього першого порядку для умов фактичної погоди та ясного неба. Враховуючи ці зна- чення та поведінку корелограм, можна назвати найімовірнішими кандидатами для опису динаміки X моделі AR(1), AR(2) чи ARMA(1,1). a б в г Рис. 4. Коефіцієнти автокореляції (ACF) (a, в) та частинної автокореляції (PACF) (бb, г) залишків X для фактич- них метеоданих (a, б) та для моделі ясного (в, г). Блакитною смужкою показаний діапазон за межами довір- чого інтервалу Вибір та верифікація моделі ARMA. У моделі ARMA(p,q) часовий ряд Xt представлений як комбінація своїх попе- редніх значень Xt-i (авторегресія) і попередніх помилок (ковзне середнє). Рівняння для поточного Xt має вигляд 𝑋𝑡 = 𝑐 + 𝜀𝑡 + ∑  𝑖 𝑝 𝑖=1 𝑋𝑡 + ∑ 𝑗 𝑞 𝑗=1 𝜀𝑡−𝑗 (4) де i − параметри авторегресії (AR), j − параметри ко- взного середнього (MA), t − білий шум (помилки) у мо- мент часу t, c − константа. Параметри i показують вагу безпосереднього впливу минулого значення Xt-i на поточне Xt, коли вплив проміжних лагів Xt-i+1,… Xt-1 вже врахований. Розрахунок i здійснюється через коефіцієнти k (значення ACF) за допомогою систем лінійних рівнянь Юла – Уокера [5, 6]. Параметри j часто описують інерційність атмосферних процесів: якщо  велике, це означає, що «помилка» (випадкова зміна хмарності минулого часу) продовжує сильно впливати на поточне значення радіації. На графіку ACF це виглядає як короткий сплеск на перших 1–3 лагах, який швидко зникає. Взагалі з поведінки ко- релограм можна робити такі висновки: якщо ACF обри- вається, а PACF загасає − у ряді домінує MA-компонента; якщо PACF обривається, а ACF загасає − домінує AR-ком- понента. Ідентифікація адекватної моделі з усього класу ARMA, тобто вибір значень p та q може бути здійснений двома способами. 1. Розрахунок параметрів i, j, виходячи з корелог- рами ACF, PACF. Для знаходження кожного конкрет- ного параметра k лага k потрібно розв’язати згадану систему k лінійних рівнянь Юла −Уокера, у якої k слугують коефіцієнтами. Параметри j обчислю- ються за складнішою процедурою, оскільки потрі- бно розв’язувати систему рівнянь, які являють собою вирази k через нелінійні функції від множини змін- них {j }. Розв’язання здійснюється послідовними іте- раціями в межах методу моментів або за допомогою рекурсивного алгоритму інновацій [5]. 146 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика 2. Знаходження параметрів i, j, виходячи з наявного емпіричного часового ряду Xt. При цьому здійсню- ється підганяння i, j під ряд залишків методом ма- ксимальної правдоподібності [6]. Для надійності ідентифікації ми використовували оби- два способи. Для автоматичного перебору параметрів із заданого набору (у другому способі) застосовувався ме- тод пошуку через сітку (Grid Search). Відбір оптимальної комбінації параметрів здійснювався за умовою мінімальності інформаційного критерію Акаїки (AIC) [19]: чим менше AIC, тим краще модель описує дані за мінімальної кількості параметрів. Внаслідок розрахунку трьох моделей ARMA, що акту- альні для опису інсоляції в м. Києві, були знайдені зна- чення коефіцієнтів i, j у двох сценаріях: фактичної по- годи та ясного неба (таблиця). Оскільки внесок ковзних середніх дуже помітний та має демпфуючий характер (j < 0) для подальших розрахунків вибираємо модель ARMA(1,1). Таблиця. Кореляційні коефіцієнти моделей AR(1), AR(2) і ARMA(1,1) Модель Коефіцієнт Фактична погода Ясне небо AR(1) 1 0.354 0.457 AR(2) 1 0.327 0.430 2 0.075 0.059 ARMA(1,1) 1 -0.308 -0.139 Після видалення ряду ARMA з X отримані залишки та їх корелограма мають вигляд, показаний на рис. 5 (для фактичних метеоумов). На цьому етапі необхідно пере- конатися, що ці залишки мають характеристики, набли- жені до ідеальних шумових. Доведення моделі до стану «білого шуму» в залишках мінімізує ризик недооцінки екстремальних періодів (хмарно − ясно). Це критично важливе для автономних систем, де помилка з ро- зрахунку «хвостів» розподілу веде до відмови системи електропостачання. a b Рис. 5. Результати для залишків ARMA(1,1): a − часовий ряд залишкі ARMA; б − корелограма ACF Графік ACF (рис. 5, б) візуально нагадує білий шум: прак- тично всі значення виходять за межи довірчого інтер- валу − перебувають у синій смужці, крім лагу 7, який трохи «вистрибує» зі смужки. Тест Льюнга − Бокса пока- зує такі значення критерію p-value: 0.001 − для 10-го лага, 0.022 – для 20-го та 0.063 – для 30-го. Це означає, що на коротких та середніх інтервалах (до 20 днів) у залишках все ще простежується слабка автокореляція. Саме лаг 7, який показує остаточний ефект тижневої циклічності, може впливати на показники короткострокових інтер- валів. Навіть після застосування ARMA(1,1), складні ме- теорологічні процеси (наприклад, проходження серії фронтів або затяжні блокувальні антициклони) можуть залишати в даних «мікрозалежності», які проста лінійна модель не може повністю прибрати. Це може призво- дити до того, що навіть незначний сплеск на лазі 7 викли- кає формальне зниження p-value в тесті Льюнга − Бокса до 0.001. Хоча впевнено можна казати, що це не має вирішального значення для точності моделювання. Важ- ливе те, що загальні амплітуди автокореляцій ACF на пер- ших лагах знижені в десятки разів порівняно з вихідним ACF рядом залишків X. Слід також зауважити, що при великому об’ємі вибірки (> 3650 відліків) тест Льюнга − Бокса стає дуже чутливим і виявляє навіть незначні відхилення від ідеального білого шуму, які практично не впливають на точність прогнозу. Таким чином, модель ARMA(1,1) можна визнати адекватною для синтетичної генерації рядів та їх подальшого використання під час моделювання фото- електричних систем. Обговорення та висновки. У цьому дослідженні пред- ставлено комплексний статистичний аналіз довгостро- кових щоденних рядів сонячного опромінення для Києва. Використовуючи дані глобального горизонталь- ного опромінення (GHI) як для фактичних метеоро- логічних умов, так і для умов ясного неба, отримали ін- декс ясності Kt, який було розкладено на сезонну та стохастичну компоненти. Результати показують, що розподіл частоти Kt має чітку бімодальну структуру з яскраво вираженими піками, що відповідають станам «хмарно» та «ясне небо». «Сід- лова» зона між цими піками вказує на те, що проміжні стани змінної хмарності трапляються рідше та за своєю 147 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика суттю менш стабільні. Ця статистична неоднорідність додатково підтверджується кумулятивною функцією розподілу (CDF), де медіана перебцває в межах «сідло- вої» зони. Отже, ключовим висновком цього до- слідження є те, що середній індекс прозорості Kt для Київської області являє собою «фізичний артефакт» − стан, який виникає з найнижчою статистичною ймовірністю. Ця проблема бімодального розподілу означає, що атмосфера переважно займає режими «хмарно» або «ясне небо». Отже, проєктування фото- електричних систем, яке засноване виключно на дов- гострокових щомісячних середніх значеннях, призво- дить до значних систематичних помилок, потенційно переоцінюючи генерацію або не враховуючи критичні запаси акумульованої енергії, що необхідні протягом тривалих періодів похмурості. Основна увага цього дослідження була приділена стоха- стичним залишкам X рядів Kt, які є важливими для про- гнозування виробітку енергії та визначення розміру єм- ності систем зберігання. Стаціонарність часового ряду залишків була підтверджена за допомогою тесту ADF. Хоча ці залишки зберігають бімодальний розподіл ча- стот, їхні максимуми на кривій PDF(X) розташовані ближче один до одного та зосереджені навколо медіани (нуля). «Перегин», що спостерігається поблизу медіани на графіку CDF(X), є прямим наслідком цієї бімодальності. Зміна знаку другої похідної та наявність двох різних мод надають вагомі докази проти викори- стання гаусового (нормального) розподілу для моделю- вання залишків. Запропонована стохастична модель, що містить емпіричні характеристики PDF та CDF, забез- печує міцну основу для створення ансамблів синтетич- них часових рядів, необхідних для оцінки показників ефективності та надійності фотоелектричних систем. Для з’ясування внутрішньої структури та залежностей у рядах залишків функції ACF та PACF були обчислені як для фактичних метеорологічних сценаріїв, так і для сце- наріїв ясного неба. Хоча тест Люнга − Бокса вказав на на- явність автокореляції, подальший аналіз показав, що вона швидко спадає з часом. Для обох наборів даних коефіцієнти PACF(1) мали суттєві значення, тоді як наступні коефіцієнти PACF(2) були значно нижчими, що вказує на процес з короткочасною пам’яттю. Оцінка параметрів для сімейства моделей ARMA(p,q) показала, що модель ARMA(1,1) є найадекватнфшою з погляду як точності, так і економного набору пара- метрів, що підтверджено критерієм AIC. Застосування цієї моделі ефективно перетворило складну бімодальну структуру відхилень X на стаціонарний процес. Отри- мані залишки ARMA наближаються до білого шуму, по- при те, що тест Люнга − Бокса виявив слабку автокоре- ляцію залишків. Незначний сплеск на лазі 7 відображає, імовірно, фундаментальну синоптичну періодичність − типовий цикл трансформації повітряних мас у помірно континентальному кліматі. Хоча модель ARMA(1,1) ефективно усуває первинну стохастичну інерцію, на- явність цієї 7-денної «мікрозалежності» свідчить про те, що майбутні дослідження можуть отримати користь від інтеграції сезонних компонентів, таких як моделі SARIMA, для подальшого вдосконалення методу гене- рації синтетичних рядів. Виявлені бімодальні особливості та визначені коефіцієнти ARMA забезпечують надійний стохастичний «генератор погоди», спеціально розроблений для Київської області. Ці результати можна безпосередньо інтегрувати в програмне забезпечення з моделювання генерації енергії для оптимізації ФЕС у мікромережах, що дасть змогу проводити точніші оцінки LCOE та забез- печить стабільність децентралізованих систем електро- постачання за нестабільних метеорологічних умов. ПОСИЛАННЯ 1. Ding Y. Data Science for Wind Energy. Boca Raton, FL: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2020. 387 p. DOI: 10.1080/00401706.2020.1744901. 2. Zobaa A. F., Bihl T. J. (Eds). Big Data Analytics in Future Power Systems. Boca Raton: CRC Press, 2020. 188 p. 3. Unni A., Channi H. K. Data Analytics for Performance Optimization in Renewable Energy. In: Optimization in Sustainable Energy. Eds: P.Chatterjee, A.Khosla, A.Kumar, G.Demir Wiley, 2026. Ch. 9. https://doi.org/10.1002/9781394242139.ch9. 4. Кузнєцов М. П. Особливості комбінованих енергоси- стем з відновлюваними джерелами енергії: моног- рафія. Київ: ІВЕ, 2022. 142 с. 5. Brockwell P. J., Davis R. A. Introduction to Time Series and Forecasting. Third Edition. Springer, 2016. 425 p. 6. Box G. E. P., Jenkins G. M., Reinsel G. C., Ljung G. M. Time Series Analysis: Forecasting and Control. 5th Edition. Hoboken, New Jersey: John Wiley and Sons Inc., 2015. 712 p. https://doi.org/10.1111/jtsa.12194. 7. Said S. E., Dickey D. A. Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order. Biometrika, 1984. Vol. 71. Issue 3. P. 599–607. 8. Larrañeta M., Fernandez-Peruchena C., Silva-Pérez M. A., Lillo-bravo I., Grantham A., Boland J. Generation of synthetic solar datasets for risk analysis. Solar Energy.− 2019. Vol. 187. P. 212–225. https://doi.org/10.1016/j.solener.2019.05.042. 9. Гаєвський О. Ю. Гаєвська Г. М. Синтетичні ряди інсо- ляції при розрахунках фотоелектричних станцій. Відновлювана енергетика. 2025. №. 3. С. 97–106. https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.3(82).97- 106 10. Gaevskii О., Gaevska H. Two clustering approaches for generating synthetic insolation series. XXVIІ Conference "Renewable energy and energy efficiency in the XXI century". Kyiv, 2026. May 20–22. https://doi.org/10.1111/jtsa.12194 https://doi.org/10.1016/j.solener.2019.05.042 148 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика 11. Atmosphere Data Store. [Электронный ресурс]. URL: https://ads.atmosphere.copernicus.eu/. 12. Peixeiro M. Time Series Forecasting in Python. O’Reilly, 2022. 456 p. ISBN 9781617299889. 13. Time-series analysis and forecasting with Python. Tiger Data. [Електронний ресурс]. URL: https://www.tigerdata.com/learn/time-series-analysis- and-forecasting-with-python. 14. Khatib T., Ibrahim I.A., Mohamed A. A review on sizing methodologies of photovoltaic array and storage battery in a standalone photovoltaic system. Energy Conversion and Management, — 2016. Vol. 120. P. 430–448. https://doi.org/10.1016/j.enconman.2016.05.011. 15. Cristea M., Cristea C., Tîrnovan R. A., Șerban F. M. Levelized Cost of Energy (LCOE) of Different Photovoltaic Technologies. Appl. Sci. 2025. Vol. 15. Issue 12. 6710. https://doi.org/10.3390/app15126710. 16. Pillai D. S., Bayindir A. B., Thiruchutan A., Lopez Garcia J. et al. A comprehensive review of CAPEX-driven LCOE optimization strategies for utility-scale PV systems. Solar Energy. 2026. Vol. 306. 114296. https://doi.org/10.1016/j.solener.2025.114296. 17. Chen Y. C. A Tutorial on Kernel Density Estimation and Recent Advances. Biostatistics & Epidemiology. 2017. Vol. 1. Issue 1. DOI: 10.1080/24709360.2017.1396742. 18. Amato U., Andretta A., Bartoli B. et al. Markov processes and Fourier Analysis as a tool to describe and simulate daily solar irradiance. Solar Energy. 1986. Vol. 37. No. 3. Pp. 179–194. https://doi.org/10.1016/0038-092X(86)90075-7 19. Konishi S., Kitagawa G. Information Criteria and Statistical Modeling. Springer Nature. 2008. 274 p. 149 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика https://doi.org/10.36296/1819-8058.2026.2(85).140-156 STATISTICS OF SOLAR IRRADIANCE TIME SERIES FOR KYIV. I. FREQUENCY AND CORRELATION ANALYSES FOR PHOTOVOLTAIC SYSTEM APPLICATIONS Received Apr. 22, 2026; accepted Jun. 26, 2026 Available online June. 30, 2026 Gaevskii O.1, Gaevska H.2 Author for correspondence: Oleksandr Gaevskii, e-mail: a.gaevskii@kpi.ua Abstract. Modern photovoltaic (PV) systems demand precise design and power generation forecasting, making the investigation of regional statistical properties of solar radiation increasingly critical. This paper presents a statistical analysis of daily solar irradiation series for Kyiv over the past 10 years, expressed via the clearness index Kt and decomposed into seasonal and stochastic components. It is demonstrated that the frequency distribution of Kt exhibits a bimodal structure with pronounced peaks corresponding to "overcast" and "clear-sky" states. The "saddle" zone between these peaks indicates that intermediate states of variable cloudiness are less frequent and inherently less stable. This bimodality must be accounted for in PV system design, as calculations based solely on long-term monthly averages lead to significant systematic errors, potentially overestimating energy yield during prolonged overcast periods. The primary focus is placed on the stochastic residuals X of the Kt series, which are essential for generation forecasting and sizing battery energy storage systems (BESS). The stationarity of the residual time series, which retains a bimodal distribution, was confirmed via the Augmented Dickey-Fuller (ADF) test. Analysis of the autocorrelation (ACF) and partial autocorrelation (PACF) functions revealed short-term dependencies effectively captured by ARMA (p,q) models. Parameter estimation across this model family identified the ARMA (1,1) model as the most adequate in terms of both accuracy and parsimony, as confirmed by the Akaike Information Criterion (AIC). The results of these frequency and correlation analyses are essential for testing autonomous and backup PV systems through the generation of diverse weather scenarios, including worst- case conditions. Keywords: solar radiation, clearness index, stochastic residuals, time series, Kyiv, stationarity, frequency distribution, KDE approximation, bimodality, ACF/PACF, ARMA models, photovoltaic systems, energy reliability. Abbreviations ACF – Autocorrelation Function ADF – Augmented Dickey-Fuller (test) ADS – Atmosphere Data Store AIC – Akaike Information Criterion ARMA – Autoregressive Moving Average BESS – Battery Energy Storage System CAMS – Copernicus Atmosphere Monitoring Service CDF – Cumulative Distribution Function ERA5 – ECMWF Reanalysis v5 GHI – Global Horizontal Irradiation KDE – Kernel Density Estimation LCOE – Levelized Cost of Energy PACF – Partial Autocorrelation Function PDF – Probability Density Function PV – Photovoltaic RMSE – Root Mean Square Error Introduction. The rapid development of photovoltaic (PV) systems and their integration into power grids demand high accuracy in design and generation forecasting. Unlike conventional power plants, solar energy is highly stochastic due to complex atmospheric dynamics. With the rise of de- centralized power and autonomous (backup) PV systems, standard methods based on monthly averages are insuffi- cient. Consequently, investigating the statistical properties of meteorological factors (irradiance, ambient temperature, wind speed) is essential for assessing the re- liability of renewable energy installations [1–3]. Further- more, regional solar radiation analysis is vital for evaluating hybrid system performance [4]. The efficiency and reliability of energy facilities depend di- rectly on understanding the structure of insolation time se- ries. Statistical analysis allows for isolating deterministic seasonal trends and investigating stochastic residuals— 1 Doctor of Phys. Math. Sci., Prof. https://orcid.org/0000-0001-6144-2441 2 Senior teacher https://orcid.org/0000-0001-7760-6789 1, 2 NTUU «Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, Ukraine 1 Іnstitute of Renewable Energy, NAS Ukraine, Kyiv, Ukraine 150 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика deviations caused by local weather. These fluctuations de- termine the probability of energy deficits, compliance with reliability criteria, and the required capacity for battery en- ergy storage systems (BESS). The Kyiv region is of particular interest due to its significant cloud cover variability, especially during transitional au- tumn–spring seasons. The high amplitude of stochastic fluctuations in this temperate continental climate necessi- tates advanced mathematical tools, including frequency and correlation analyses (ACF/PACF) and Autoregressive Moving Average (ARMA) modeling [5, 6]. Objective and Problem Statement. The objective of this work is to develop and verify a statistical model describing the internal structure and variability patterns of solar inso- lation time series in Kyiv, based on data from the last dec- ade. To achieve this, the following tasks were addressed: • Time series decomposition: Extracting the long-term seasonal component and deriving the stochastic insola- tion residual series; • Frequency (probabilistic) analysis: Investigating the probability density functions (PDF) and cumulative dis- tribution functions (CDF) of the clearness index Kt and its residuals X; • Correlation diagnostics: Computing and analyzing auto- correlation (ACF) and partial autocorrelation (PACF) functions to assess the "memory" of the process; • Model identification and parameterization: Selecting the optimal ARMA model, calculating its coefficients, and assessing the statistical significance of parameters; • Model verification: Evaluating model adequacy by test- ing residual noise for stationarity and the absence of se- rial dependence (using ADF and Ljung–Box tests [6, 7]). To ensure the reliability of the statistical conclusions, this study utilizes a daily insolation dataset for Kyiv covering the most recent ten-year period (2016–2025). This retrospec- tive approach accounts for both seasonal cycles and synop- tic variability, minimizing the impact of single-year weather anomalies. Such long-term analysis is critical for optimizing PV system components, long-term forecasting, and gener- ating synthetic insolation series for performance diagnos- tics [8–10]. The primary data consists of daily global horizontal irradia- tion (GHI) series obtained from the Atmosphere Data Store (ADS) of the Copernicus Atmosphere Monitoring Service (CAMS) [11]. This service provides modeled data for both clear-sky and actual weather conditions. Comparing these scenarios allowed for isolating the specific contribution of cloudiness to the stochastic structure of the time series. The ADS service, based on the global ERA5-Land reanalysis, ensures high temporal and spatial (9 km) resolution and statistical robustness. Data processing and analysis were performed in the Py- thon/Spyder environment using the NumPy, Pandas, SciPy, Statsmodels, Scikit-learn, and Tslearn libraries [12, 13]. Structure of Daily Solar Irradiation Series for Kyiv. To ana- lyze the statistical patterns of surface solar irradiation, we employ the clearness index Kt—a dimensionless parameter defined as the ratio of global horizontal irradiation (GHI) at the Earth's surface to the extraterrestrial irradiation G0: 𝐾𝑡 = 𝐺/𝐺0 , (1) where G is the global horizontal irradiation at the Earth's surface (GHI) and G0 is the extraterrestrial horizontal irradi- ation. Transitioning to Kt facilitates the conversion of the original series into a stationary form. A necessary condition for this is the elimination of the deterministic astronomical component G0. During the calculation of Kt (1), improbable values outside the range of 0.05 to 0.85 are filtered out. When analyzing solar radiation behavior, it should be noted that the time series is not homogeneous but represents a superposition of processes of different natures. Therefore, the Kt series is conventionally decomposed into a seasonal component and residuals: 𝐾𝑡 = 𝐾𝑡,season + 𝑋. (2) The first component Kt,season represents the deterministic part governed by cyclic fluctuations driven by astronomical factors: the Earth's rotation (diurnal cycle) and its orbit around the Sun (annual cycle). The second component, X, represents stochastic residuals—the difference between actual measurements and the seasonal trend. These resid- uals arise from atmospheric dynamics, including cloud movement, humidity changes, and atmospheric aerosol content. Analyzing the series (2) as a whole would result in pro- nounced seasonality masking rapid, short-term local changes. Isolating the seasonality allows the mathematical apparatus to focus on random deviations. This is crucial for: • Minimizing modeling errors: (e.g., by the RMSE criterion), as a model trained on residuals more accurately reflects short-term weather variability; • Optimizing computations: by focusing specifically on sto- chastic processes without the redundancy of the seasonal component. The temporal dependence of Kt,season defines the theoretical maximum PV generation for a specific location and time. This is typically described by Clear Sky Models and contains no inherent uncertainty requiring statistical modeling. The uncertainty resides within the residuals X, where the vola- tility that complicates forecasting is concentrated. Residu- als aggregate the effects of meteorological turbulence, ran- dom cloud cover changes, and aerosol composition. Extracting residuals ensures time series stationarity, a man- datory condition for applying ARMA models and ensuring the convergence of machine learning algorithms [5, 6]. The time series of daily clearness index Kt values and resid- uals X over the 10-year interval are shown in Fig. 1 (top and bottom, respectively). The seasonal component, exhibiting a clear periodic character, is superimposed on the Kt plot. Statistical estimates for the obtained series are as follows: 151 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика the mean values are 0.466 for Kt, and 0.00018 for X (which should ideally be zero). The standard deviation of the resid- uals is 0.1832. Verification of the residual series X using the Augmented Dickey–Fuller (ADF) test [6, 7] confirmed its stationarity (p-value << 0.001). The Ljung–Box (LB) test [5, 6] confirmed the presence of autocorrelation in the residu- als X at lags up to 20 days (p < 0.05). This justifies the appli- cation and identification of an autoregressive moving aver- age ARMA(p,q) model. Fig. 1. Time series for the 2016–2025 period for Kyiv: top—daily clearness index Kt values with the seasonal component (red curve); bottom—stochastic residuals X Frequency and Cumulative Distributions of the Index and Residuals. Analyzing the probability density function (PDF) and cumulative distribution function (CDF) of the clearness index and stochastic residuals is fundamental to under- standing solar resource dynamics beyond predictable sea- sonal cycles. While a PV system’s theoretical potential is dictated by the deterministic clear-sky component, as- sessing actual operational reliability requires a statistical analysis of real-world insolation, including its variance, skewness, and distribution shape. From a PV engineering perspective, investigating Kt and X distributions is essential for the following tasks: • Forecasting extreme regimes: Analyzing distribution "tails" enables the estimation of the probability and du- ration of significant generation deficits caused by anom- alous weather, which monthly average data fail to cap- ture. • Calculating reliability criteria: (e.g., Loss of Load Proba- bility—LLP) [9, 14]. Accurate knowledge of the residual distribution is necessary to compute energy deficit probabilities and justify the selection of PV array and storage capacities. • Stochastic optimization: The PDF shape provides a basis for modeling realistic operational scenarios under un- certainty, essential for long-term economic viability as- sessments (LCOE, CAPEX) [15, 16]. The statistical results for the daily Kt series are presented in Fig. 2 as a frequency histogram with a nonparametric Ker- nel Density Estimation (KDE) approximation [17], and a CDF with PCHIP (Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polyno- mial) interpolation. The domain of the approximating PDF was defined based on the empirical boundaries of the col- lected data. This approach truncates the theoretically infi- nite "tails" of the approximation functions, ensuring the re- liability of synthetic series generated for PV system testing. The frequency distribution of the clearness index (Fig. 2a) reveals a bimodal structure with two pronounced local peaks. The first peak (0.20) corresponds to the "overcast" regime, characteristic of Kyiv’s climate, particularly during autumn and winter. The second peak (0.73) corresponds to the "clear-sky" regime. The "saddle" zone between these peaks, characterized by low density, indicates that interme- diate states (variable cloudiness) are less stable; the atmos- phere tends to transition toward one of the two dominant states. 152 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика Fig. 2. Statistical analysis of the clearness index Kt: (a) frequency histogram and its nonparametric KDE approximation; (b) cumulative distribution function (CDF) with PCHIP interpolation. Shading indicates 95% confidence intervals The CDF plot (Fig. 2b) confirms the statistical inhomogene- ity of Kt: the median (0.446) falls precisely within the PDF's "saddle" zone. This signifies that the mean clearness index for Kyiv describes a state that occurs least frequently in re- ality. This finding strongly supports the argument against relying on simplistic average solar radiation models for PV engineering applications in this region. The plots (Fig. 2a, 2b) illustrate the 0.05–0.95 quantile in- terval (confidence interval), which constrains the clearness index Kt range (approximately from 0.15 to 0.74), beyond which low-probability extreme outliers occur. The KDE approximation (red line on the PDF) smooths histogram noise and highlights local distribution maxima. PCHIP inter- polation on the CDF plot ensures curve monotonicity, which is critical for accurate series synthesis using the in- verse transform sampling method [9, 18]. The frequency distribution of stochastic residu- als X (Fig. 3a) also exhibits bimodality, though less pro- nounced. This noteworthy result indicates that bimodality is not merely a seasonal artifact—since seasonal effects were removed during the calculation of X—but a funda- mental property of solar radiation in the region. Fig. 3. Statistical analysis of residuals X: (a) frequency histogram and its nonparametric KDE approximation; (b) cumula- tive distribution function (CDF) with PCHIP interpolation. Shading indicates 95% confidence intervals Although the PDF of the residuals (Fig. 3a) retains a bimodal structure, its character changes qualitatively. The two max- ima converge, and the "saddle" zone becomes shallower compared to the PDF of Kt. The residual modes have shifted and are now centered around zero (approximately -0.12 and 0.13). The negative peak represents a radiation "defi- cit" due to cloud cover, while the positive peak reflects a radiation "surplus" relative to the seasonal trend during clear periods. The distribution has become more symmetric and compact, facilitating statistical series synthesis as the 153 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика extreme tails are less pronounced. Furthermore, the resid- uals exhibit the necessary centering (median of -0.005) re- quired for ARMA modeling. On the CDF plot (Fig. 3b), the curve is smoother, approach- ing an S-shape (typical of a normal distribution) but with a distinct inflection near the median (a change in the sign of the second derivative). This inflection is a direct conse- quence of bimodality and serves as a strong argument that the Gaussian distribution is unsuitable for modeling insola- tion residuals, as it fails to account for the two distinct weather regimes. These identified features of the residual frequency distribution and the empirical CDF form the basis for generating ensembles of synthetic time series required to verify PV system design solutions [8–10]. Correlation Analysis. The statistical investigation of the re- sidual series revealed an internal structure and dependen- cies between elements Xt at different time steps t. To char- acterize this, we utilize autocorrelation (ACF) and partial autocorrelation (PACF) functions [5, 6]. These tools enable the detection of hidden dependencies and help determine the structure of the stochastic model (e.g., ARMA/ARIMA). The ACF, which measures the correlation of a series with its own values shifted by k steps, helps identify potential peri- odicities. The ACF coefficients k quantify the correlation between the current value Xt and the past value Xt-k at lag k. For stationary series, these coefficients are determined as: 𝜌𝑘 = 𝛾𝑘 𝛾0 = 𝐸[(𝑋−𝜇)(𝑋𝑡−𝑘−𝜇)] 𝐸[(𝑋𝑡−𝑘−𝜇) 2] (3) where k is the autocovariance at lag k, 0 is the series vari- ance, and  is the expected value. The ACF indicates atmos- pheric inertia and reflects the persistence of similar weather conditions. It is used to determine the moving av- erage (MA) order; if the ACF cuts off after lag q, an MA(q) model is suggested. The PACF measures the correlation at lag k while excluding the influence of all intermediate lags. This helps determine whether insolation on day i-k is directly influenced by day i or if the relationship is merely a consequence of a chain of intermediate meteorological states. The PACF is the primary tool for determining the autoregression (AR) order, where a sharp decay after lag p indicates an AR(p) model. For PV engineering, joint ACF/PACF analysis is crucial for two reasons. First, it identifies the process type (AR, MA, or mixed ARMA) based on the decay patterns. Second, it de- fines the forecasting horizon; once the autocorrelation falls within the confidence interval, it becomes statistically insig- nificant, marking the predictability boundary for a specific insolation cluster. For the preprocessed insolation series, ACF and PACF coef- ficients were calculated for lags 1 to 12 across two scenar- ios: actual meteorological data and the clear-sky model. The results are presented in Fig. 4. a b c d Fig. 4. Autocorrelation (ACF) (a, c) and partial autocorrelation (PACF) (b, d) coefficients of residuals X for actual meteoro- logical data (a, b) and the clear-sky model (c, d). The blue shading indicates the insignificance zone 154 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика The results show rapid decay in both functions: the ACF be- comes statistically insignificant by lag 9, while the PACF does so by lag 3 or 4. For actual meteorological data, the first lag value is PACF(1) = 0.354; for clear-sky conditions, PACF(1) = 0.458. The PACF(1)/PACF(2) ratios are 4.72 and 7.75, respectively. This suggests that a first-order model may be appropriate for both cases. Based on the correlo- gram behavior, the most likely candidates for describing X dynamics are AR(1), AR(2), or ARMA(1,1) models. ARMA Model Selection and Verification. In the ARMA(p,q) model, the time series Xt is represented as a linear combi- nation of its previous values (autoregression) and previous errors (moving average). The equation for Xt is: 𝑋𝑡 = 𝑐 + 𝜀𝑡 + ∑  𝑖 𝑝 𝑖=1 𝑋𝑡 + ∑ 𝑗 𝑞 𝑗=1 𝜀𝑡−𝑗 , (4) where i are AR parameters, j are MA parameters, t rep- resents white noise (error) at time t and c is a constant. The parameters i quantify the direct influence of Xt-i on Xt, accounting for the influence of intermediate lags. These are calculated via the Yule–Walker equations using ACF coeffi- cients [5, 6]. The j parameters describe the inertia of at- mospheric processes; a large  suggests that a past "error" (e.g., a random cloud cover change) continues to influence current radiation. This typically appears as a short burst in the first 1–3 lags of the ACF. Generally, if the ACF cuts off while the PACF decays, the MA component dominates; con- versely, if the PACF cuts off while the ACF decays, the AR component dominates. The identification of an adequate model within the ARMA class − specifically, the selection of p and q values − can be achieved through two primary approaches: • Estimation of i and j based on ACF/PACF correlo- grams: To find a specific parameter k at lag k, the afore- mentioned system of k Yule–Walker linear equations must be solved, using k as coefficients. Calculating the j param- eters is more complex, requiring the solution of a system where k is expressed as a nonlinear function of the varia- ble set {j }. This is typically performed using successive iterations within the method of moments or the recursive innovations algorithm [5]. • Estimation of i, and j from the empirical time series Xt: This involves fitting the parameters to the residual series using the maximum likelihood estimation (MLE) method [6]. To ensure identification robustness, both approaches were employed. For the second approach, a Grid Search was used to iterate through parameter sets. The optimal model was selected based on the Akaike Information Criterion (AIC) [19] minimality condition: a lower AIC indicates a su- perior model that describes the data with a minimum num- ber of parameters. After evaluating three ARMA models relevant for describ- ing Kyiv’s insolation, the i and j coefficients were deter- mined for both actual weather and clear-sky scenarios (Ta- ble). Since the moving average contribution is significant and exhibits a damping character (j < 0), the ARMA (1,1) model was selected for further analysis. Table. Correlation coefficients of AR(1), AR(2), and ARMA(1,1) models Model Coeffi- cient Actual weather: Clear sky AR(1) 1 0.354 0.457 AR(2) 1 0.327 0.430 2 0.075 0.059 ARMA(1,1) 1 -0.308 -0.139 After applying the ARMA model to Xt, the resulting residu- als and their correlogram are shown in Fig. 5 (for actual me- teorological conditions). At this stage, it is essential to ver- ify that these residuals approximate ideal white noise. Achieving white noise in the residuals ensures that the model does not underestimate extreme periods (overcast vs. clear). This is critical for autonomous systems, where er- rors in distribution "tails" can lead to power supply failure. Fig. 5. Results for ARMA(1,1) residuals: (a) ARMA residual time series; (b) ACF correlogram The ACF plot (Fig. 5b) visually approximates white noise, as nearly all values fall within the confidence interval (the blue band), except for a minor spike at lag 7. The Ljung–Box test yields p-values of 0.001 for lag 10, 0.022 for lag 20, and 0.063 for lag 30. This indicates that some weak autocorre- lation persists at short to medium intervals (up to 20 days). 155 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика Specifically, the spike at lag 7 suggests a residual weekly cy- clicity that may influence short-term indicators. Even after applying the ARMA(1,1) model, complex meteorological processes—such as a series of fronts or prolonged blocking anticyclones—may leave "micro-dependencies" that a lin- ear model cannot entirely eliminate. Although these minor deviations formally reduce the Ljung–Box p-value at lag 10, they do not significantly compromise modeling accuracy. Crucially, the overall ACF amplitudes at the initial lags are reduced by an order of magnitude compared to the original ACF of the X series. Furthermore, given the large sample size (exceeding 3,650 observations), the Ljung–Box test becomes hyper-sensitive, detecting minor deviations from ideal white noise that have negligible impact on forecasting accuracy. Therefore, the ARMA (1,1) model is deemed adequate for generating syn- thetic series and for subsequent use in photovoltaic system modeling. Discussion and Conclusions. This study presented a com- prehensive statistical analysis of long-term daily solar irra- diation series for Kyiv. Using global horizontal irradiation (GHI) data for both actual meteorological and clear-sky con- ditions, the clearness index Kt was derived and decom- posed into seasonal and stochastic components. The results demonstrate that the frequency distribution of Kt exhibits a distinct bimodal structure, with pronounced peaks corresponding to "overcast" and "clear-sky" states. The "saddle" zone between these peaks indicates that in- termediate states of variable cloudiness are less frequent and inherently less stable. This statistical inhomogeneity is further confirmed by the cumulative distribution function (CDF), where the median resides within the "saddle" zone. Consequently, a key conclusion of this study is that the av- erage clearness index Kt for the Kyiv region represents a 'physical artifact'—a state that occurs with the lowest sta- tistical probability. This bimodal distribution challenge im- plies that the atmosphere predominantly occupies either 'overcast' or 'clear-sky' regimes. Therefore, PV system de- sign based solely on long-term monthly averages leads to significant systematic errors, potentially overestimating generation or failing to account for the critical reliability margins required during prolonged overcast periods. The primary focus of this investigation was the stochastic residuals X of the Kt series, which are essential for energy production forecasting and PV storage capacity sizing. The residual time series was confirmed to be stationary via the ADF test. While these residuals retain a bimodal frequency distribution, their maxima on the PDF(X) curve are more closely spaced and centered around the median (zero). The "inflection" observed near the median on the CDF(X) plot is a direct consequence of this bimodality. The sign change of the second derivative and the presence of two distinct modes provide robust evidence against using a Gaussian normal distribution for residual modeling. The proposed stochastic model, incorporating empirical PDF and CDF characteristics, provides a solid framework for generating ensembles of synthetic time series necessary for evaluating PV system efficiency and reliability indicators. To elucidate the internal structure and dependencies within the residual series, the ACF and PACF were com- puted for both actual meteorological and clear-sky scenar- ios. Although the Ljung-Box test indicated the presence of autocorrelation, the analysis revealed that it decays rapidly over time. For both datasets, the PACF(1) coefficients were significant, while subsequent PACF(2) values were substan- tially lower, indicating a short-term memory process. Parameter estimation for the ARMA(p,q) model family demonstrated that the ARMA(1,1) model is the most ade- quate in terms of both accuracy and parsimony, as con- firmed by the AIC criterion. Applying this model effectively transformed the complex bimodal structure of the X devia- tions into a stationary process. The resulting ARMA residu- als closely approximate white noise, despite the Ljung-Box test detecting a weak residual autocorrelation. The minor spike at lag 7 likely reflects a fundamental synoptic perio- dicity—the typical cycle of air mass transformation in tem- perate continental climates. While the ARMA(1,1) model effectively eliminates the primary stochastic inertia, the presence of this 7-day 'micro-dependency' suggests that fu- ture research could benefit from integrating seasonal com- ponents, such as SARIMA models, to further refine the method for synthetic series generation. The identified bimodal features and the determined ARMA coefficients provide a robust stochastic 'weather generator' specifically tailored for the Kyiv region. These results can be directly integrated into energy modeling software for the optimization of PV-microgrids, enabling more accurate LCOE assessments and ensuring the stability of decentral- ized power supply systems under volatile meteorological conditions. REFERENCES 1. Ding Y. Data Science for Wind Energy. Boca Raton, FL: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2020. 387 pp. DOI: 10.1080/00401706.2020.1744901. 2. Zobaa A.F., Bihl T.J. (Eds). Big Data Analytics in Future Power Systems. Boca Raton: CRC Press, 2020. 188 pp. 3. Unni A., Channi H.K. Data Analytics for Performance Optimization in Renewable Energy. In: Optimization in Sustainable Energy. Eds: Chatterjee P., Khosla A., Kumar A., Demir G. Wiley, 2026. Ch. 9. https://doi.org/10.1002/9781394242139.ch9. 4. Kuznetsov M. P. Features of combined energy systems with renewable energy sources: monograph. — Kyiv: IRE, 2022. 142 p. 5. Brockwell P.J., Davis R.A. Introduction to Time Series and Forecasting. Third Edition. Springer, 2016. 425 pp. 6. Box G.E.P., Jenkins G.M., Reinsel G.C., Ljung G.M. Time Series Analysis: Forecasting and Control. 5th Edition. https://doi.org/10.1002/9781394242139.ch9 156 Відновлювана енергетика. № 2/2026 \| Сонячна енергетика Hoboken, New Jersey: John Wiley and Sons Inc., 2015. 712 pp. https://doi.org/10.1111/jtsa.12194. 7. Said S.E., Dickey D.A. Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order. Biometrika, — 1984. Vol. 71. Issue 3. P. 599– 607. 8. Larrañeta M., Fernandez-Peruchena C., Silva-Pérez M.A., Lillo-bravo I., Grantham A., Boland J. Generation of synthetic solar datasets for risk analysis. Solar Energy, − 2019, Vol. 187, P.212-225. https://doi.org/10.1016/j.solener.2019.05.042. 9. Gaevskii O., Gaevska H. A synthetic insolation series in sizing calculations of PV plants. Vidnovlyuvana Energetica. −2025, No3, https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.3(82).97- 106 10. Gaevskii О., Gaevska H. Two clustering approaches for generating synthetic insolation series. XXVIІ Conference "Renewable energy and energy efficiency in the XXI century". Kyiv, — 2026. May 20–22. 11. Atmosphere Data Store. [Электронный ресурс]. URL: https://ads.atmosphere.copernicus.eu/. 12. Peixeiro M. Time Series Forecasting in Python. O’Reilly, 2022. 456 pp. ISBN 9781617299889. 13. Time-series analysis and forecasting with Python. Tiger Data. URL: https://www.tigerdata.com/learn/time- series-analysis-and-forecasting-with-python. 14. Khatib T., Ibrahim I.A., Mohamed A. A review on sizing methodologies of photovoltaic array and storage battery in a standalone photovoltaic system. Energy Conversion and Management, — 2016. Vol. 120. P. 430–448. https://doi.org/10.1016/j.enconman.2016.05.011. 15. Cristea M., Cristea C., Tîrnovan R.A., Șerban F.M. Levelized Cost of Energy (LCOE) of Different Photovoltaic Technologies. Appl. Sci., — 2025. Vol. 15. Issue 12. 6710. https://doi.org/10.3390/app15126710. 16. Pillai D.S., Bayindir A.B., Thiruchutan A., Lopez Garcia J. et al. A comprehensive review of CAPEX-driven LCOE optimization strategies for utility-scale PV systems. Solar Energy, — 2026. Vol. 306. 114296. https://doi.org/10.1016/j.solener.2025.114296. 17. Chen Y.C. A Tutorial on Kernel Density Estimation and Recent Advances. Biostatistics & Epidemiology, — 2017. Vol. 1. Issue 1. DOI: 10.1080/24709360.2017.1396742. 18. U. Amato, A. Andretta, B. Bartoli et al. Markov processes and Fourier Analysis as a tool to describe and simulate daily solar irradiance. Solar Energy, 1986, Vol. 37, N 3, 179-194. https://doi.org/10.1016/0038- 092X(86)90075-7 19. Konishi S., Kitagawa G. Information Criteria and Statistical Modeling. Springer Nature, 2008. 274 pp. https://doi.org/10.1111/jtsa.12194 https://doi.org/10.1016/j.solener.2019.05.042
id	veorgua-article-625
institution	Vidnovluvana energetika
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-07-10T01:00:14Z
publishDate	2026
publisher	Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	veorgua/51/b3245b5175e5c32fb99507091e734351.pdf
spelling	veorgua-article-6252026-07-09T12:14:07Z STATISTICS OF SOLAR IRRADIANCE TIME SERIES FOR KYIV. I. FREQUENCY AND CORRELATION ANALYSES FOR PHOTOVOLTAIC SYSTEM APPLICATIONS СТАТИСТИКА ЧАСОВИХ РЯДІВ ІНСОЛЯЦІЇ М. КИЄВА. І. ЧАСТОТНИЙ ТА КОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗИ ДЛЯ ФОТОЕЛЕКТРИЧНИХ СИСТЕМ Gaevskii , O. Gaevska , H. solar radiation, clearness index, stochastic residuals, time series, Kyiv, stationarity, frequency distribution, KDE approximation, bimodality, ACF/PACF, ARMA models, photovoltaic systems, energy reliability. сонячна радіація, Київ, індекс прозорості, стохастичні залишки, часові ряди, стаціонарність, розподіл частот, KDE-апроксимація, бімодальність, автокореляційні функції ACF/PACF, моделі ARMA, фотоелектричні системи, енергетична надійність. Modern photovoltaic (PV) systems demand precise design and power generation forecasting, making the investigation of regional statistical properties of solar radiation increasingly critical. This paper presents a statistical analysis of daily solar irradiation series for Kyiv over the past 10 years, expressed via the clearness index Kt and decomposed into seasonal and stochastic components. It is demonstrated that the frequency distribution of Kt exhibits a bimodal structure with pronounced peaks corresponding to "overcast" and "clear-sky" states. The "saddle" zone between these peaks indicates that intermediate states of variable cloudiness are less frequent and inherently less stable. This bimodality must be accounted for in PV system design, as calculations based solely on long-term monthly averages lead to significant systematic errors, potentially overestimating energy yield during prolonged overcast periods. The primary focus is placed on the stochastic residuals X of the Kt series, which are essential for generation forecasting and sizing battery energy storage systems (BESS). The stationarity of the residual time series, which retains a bimodal distribution, was confirmed via the Augmented Dickey-Fuller (ADF) test. Analysis of the autocorrelation (ACF) and partial autocorrelation (PACF) functions revealed short-term dependencies effectively captured by ARMA (p,q) models. Parameter estimation across this model family identified the ARMA (1,1) model as the most adequate in terms of both accuracy and parsimony, as confirmed by the Akaike Information Criterion (AIC). The results of these frequency and correlation analyses are essential for testing autonomous and backup PV systems through the generation of diverse weather scenarios, including worst-case conditions.&nbsp; До сучасних фотоелектричних систем ставляться жорсткі вимоги під час проєктування та прогнозування вироблення електроенергії, що робить дослідження регіональних статистичних властивостей сонячного випромінювання дедалі важливішим. У цій статті представлено статистичний аналіз щоденних рядів сонячного опромінення для Києва за останні 10 років, виражених через індекс прозорості Kt та розкладених на сезонні та стохастичні компоненти. Показано, що розподіл частоти Kt має бімодальну структуру з яскраво вираженими піками, що відповідають станам «хмарно» та «ясне небо». «Сідлова» зона між цими піками вказує на те, що проміжні стани змінної хмарності трапляються рідше та за своєю суттю менш стабільні. Цю бімодальність необхідно враховувати під час проєктування ФЕ систем, оскільки розрахунки, засновані виключно на довгострокових місячних середніх значеннях, призводять до значних систематичних помилок, що потенційно переоцінює виробіток енергії протягом тривалих періодів хмарності. Основна увага приділяється стохастичним залишкам X ряду Kt, які є важливими для прогнозування виробництва та визначення розмірів систем акумуляторного накопичення енергії. Стаціонарність залишкового часового ряду, який зберігає бімодальний розподіл, була підтверджена за допомогою розширеного тесту Дікі  Фуллера (ADF). Аналіз функцій автокореляції (ACF) та часткової автокореляції (PACF) виявив короткострокові залежності, які ефективно враховуються моделями ARMA(p,q). Оцінка параметрів у цьому сімействі моделей визначила модель ARMA(1,1) як найадекватнішу погляду точності та економного набору параметрів, що підтверджено інформаційним критерієм Акайке (AIC). Результати цих частотних та кореляційних аналізів є важливими для тестування автономних і резервних фотоелектричних систем шляхом генерації різноманітних погодних сценаріїв, включно з найгіршими умовами.&nbsp; Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2026-06-30 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/625 10.36296/1819-8058.2026.2(85).140-156 Vidnovluvana energetika ; No. 2(85) (2026): Scientific and applied Journal renewable energy ; 140-156 Возобновляемая энергетика; № 2(85) (2026): Scientific and applied Journal renewable energy ; 140-156 Відновлювана енергетика; № 2(85) (2026): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 140-156 2664-8172 1819-8058 10.36296/1819-8058.2026.2(85) uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/625/536 Copyright (c) 2026 Vidnovluvana energetika
spellingShingle	solar radiation clearness index stochastic residuals time series Kyiv stationarity frequency distribution KDE approximation bimodality ACF/PACF ARMA models photovoltaic systems energy reliability. Gaevskii , O. Gaevska , H. STATISTICS OF SOLAR IRRADIANCE TIME SERIES FOR KYIV. I. FREQUENCY AND CORRELATION ANALYSES FOR PHOTOVOLTAIC SYSTEM APPLICATIONS
title	STATISTICS OF SOLAR IRRADIANCE TIME SERIES FOR KYIV. I. FREQUENCY AND CORRELATION ANALYSES FOR PHOTOVOLTAIC SYSTEM APPLICATIONS
title_alt	СТАТИСТИКА ЧАСОВИХ РЯДІВ ІНСОЛЯЦІЇ М. КИЄВА. І. ЧАСТОТНИЙ ТА КОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗИ ДЛЯ ФОТОЕЛЕКТРИЧНИХ СИСТЕМ
title_full	STATISTICS OF SOLAR IRRADIANCE TIME SERIES FOR KYIV. I. FREQUENCY AND CORRELATION ANALYSES FOR PHOTOVOLTAIC SYSTEM APPLICATIONS
title_fullStr	STATISTICS OF SOLAR IRRADIANCE TIME SERIES FOR KYIV. I. FREQUENCY AND CORRELATION ANALYSES FOR PHOTOVOLTAIC SYSTEM APPLICATIONS
title_full_unstemmed	STATISTICS OF SOLAR IRRADIANCE TIME SERIES FOR KYIV. I. FREQUENCY AND CORRELATION ANALYSES FOR PHOTOVOLTAIC SYSTEM APPLICATIONS
title_short	STATISTICS OF SOLAR IRRADIANCE TIME SERIES FOR KYIV. I. FREQUENCY AND CORRELATION ANALYSES FOR PHOTOVOLTAIC SYSTEM APPLICATIONS
title_sort	statistics of solar irradiance time series for kyiv. i. frequency and correlation analyses for photovoltaic system applications
topic	solar radiation clearness index stochastic residuals time series Kyiv stationarity frequency distribution KDE approximation bimodality ACF/PACF ARMA models photovoltaic systems energy reliability.
topic_facet	solar radiation clearness index stochastic residuals time series Kyiv stationarity frequency distribution KDE approximation bimodality ACF/PACF ARMA models photovoltaic systems energy reliability. сонячна радіація Київ індекс прозорості стохастичні залишки часові ряди стаціонарність розподіл частот KDE-апроксимація бімодальність автокореляційні функції ACF/PACF моделі ARMA фотоелектричні системи енергетична надійність.
url	https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/625
work_keys_str_mv	AT gaevskiio statisticsofsolarirradiancetimeseriesforkyivifrequencyandcorrelationanalysesforphotovoltaicsystemapplications AT gaevskah statisticsofsolarirradiancetimeseriesforkyivifrequencyandcorrelationanalysesforphotovoltaicsystemapplications AT gaevskiio statistikačasovihrâdívínsolâcíímkiêvaíčastotnijtakorelâcíjnijanalízidlâfotoelektričnihsistem AT gaevskah statistikačasovihrâdívínsolâcíímkiêvaíčastotnijtakorelâcíjnijanalízidlâfotoelektričnihsistem

STATISTICS OF SOLAR IRRADIANCE TIME SERIES FOR KYIV. I. FREQUENCY AND CORRELATION ANALYSES FOR PHOTOVOLTAIC SYSTEM APPLICATIONS

Institution

Similar Items