Stochastic threshold model for the spread of memetic viruses in social media
Modern social media have become a key environment for the rapid diffusion of information, where disinformation and manipulative narratives spread with extreme intensity, shaping public opinion and coordinating collective actions. Traditional analytical tools, such as the PageRank and HITS algorithms...
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2026
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://drsp.ipri.kiev.ua/article/view/363137 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Data Recording, Storage & Processing |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Data Recording, Storage & Processing| _version_ | 1868294450164269056 |
|---|---|
| author | Качинський, А. Б. Ланде, Д. В. Іванюта, С. П. |
| author_facet | Качинський, А. Б. Ланде, Д. В. Іванюта, С. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Б. Качинський",
"institution": "Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»"
},
{
"author": "Д. В. Ланде",
"institution": "Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», Інститут проблем реєстрації інформації НАН України"
},
{
"author": "С. П. Іванюта",
"institution": "Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»"
}
] |
| author_sort | Качинський, А. Б. |
| baseUrl_str | http://drsp.ipri.kiev.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-17T17:50:04Z |
| description | Modern social media have become a key environment for the rapid diffusion of information, where disinformation and manipulative narratives spread with extreme intensity, shaping public opinion and coordinating collective actions. Traditional analytical tools, such as the PageRank and HITS algorithms, focus on assessing the static centrality of nodes and are unable to capture the temporal dynamics of social contagion. Deterministic threshold models, despite their theoretical value, ignore the stochastic nature of real-world communications, which significantly limits their predictive accuracy in highly uncertain digital environments. This research proposes a stochastic modification of the classical linear threshold model that accounts for the randomness in the number of active contacts and the heterogeneity in the influence strength of individual messages. Based on the assumptions of a Poisson distribution for active neighbors and a uniform distribution for influence intensity, an analytical expression for the node activation probability is derived using normal approximation and Laplace transforms. This enables a shift from computationally expensive simulation experiments to a rigorous mathematical description of social contagion processes, formalizing users' cognitive barriers and the nonlinearity of cascading interactions. A comparative analysis of the proposed approach with classical structural ranking algorithms reveals their fundamental ontological limitations. While PageRank and HITS capture the static state of graph topology through eigenvectors of adjacency matrices, the probabilistic threshold model describes the dynamics of a system's phase transition — from local spread to a global information cascade. The model is capable of identifying critical «tipping points», where minimal changes in influence intensity lead to qualitative shifts in network behavior, a feature fundamentally inaccessible to deterministic centrality metrics. The proposed framework can be applied in the fields of information and cybersecurity, as well as strategic communications. It enables the prediction of uncontrolled disinformation spread, quantitative assessment of countermeasure effectiveness, and modeling of the "Overton Window" mechanism through the dynamics of threshold distributions. The transition from static topological centrality to dynamic stochastic approaches opens new opportunities for real-time monitoring and neutralization of information threats, as well as for building interdisciplinary models of societal cognitive resilience. Tabl.: 1. Refs: 10 titles. |
| doi_str_mv | 10.35681/1560-9189.2026.28.2.363137 |
| first_indexed | 2026-06-18T01:00:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичні методи обробки даних
20
DOI: https://doi.org/10.35681/1560-9189.2026.28.2.363137
УДК 519.24: 004.9
А. Б. Качинський1, Д. В. Ланде1,2, С. П. Іванюта1
1Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»
Берестейський проспект, 37, 03056 Київ, Україна
2Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
вул. М. Шпака, 2, 03113 Київ, Україна
Стохастична порогова модель поширення
меметичних вірусів у соціальних медіа
Запропоновано стохастичну модифікацію класичної лінійної порогової
моделі, яка враховує випадковість кількості активних контактів і не-
однорідність сили впливу окремих повідомлень. Це дозволило перейти
від ресурсомістких імітаційних експериментів до строгого математи-
чного опису процесів соціального зараження, формалізуючи когнітивні
бар’єри користувачів і нелінійність каскадних взаємодій. Проведено по-
рівняльний аналіз запропонованого підходу з класичними алгоритмами
структурного ранжування. Якщо методи PageRank та HITS фіксують
статичний стан топології графа через власні вектори матриць суміж-
ності, то ймовірнісна порогова модель описує динаміку фазового пере-
ходу системи — від локального поширення до глобального інформацій-
ного каскаду. Перехід від статичної топологічної центральності до ди-
намічних стохастичних підходів відкриває нові можливості для моні-
торингу, нейтралізації інформаційних загроз у реальному часі та побу-
дови міждисциплінарних моделей когнітивної стійкості суспільства.
Запропонований інструментарій може застосовуватись у сфері інфор-
маційної і кібернетичної безпеки, стратегічних комунікацій.
Ключові слова: ймовірнісна порогова модель, кібербезпека, інформа-
ційна безпека, соціальні мережі, інформаційні впливи, бімодальний роз-
поділ ступенів, каскадне поширення.
Вступ
Сучасні цифрові засоби комунікації створили передумови для надзвичайно
швидкої дифузії дезінформації, фейкових повідомлень та інших форм інформацій-
них маніпуляцій у соціальних мережах [1, 2]. Соціальні медіа перетворилися на клю-
чове середовище формування суспільної думки та координації колективних дій.
© А. Б. Качинський, Д. В. Ланде, С. П. Іванюта
https://doi.org/10.35681/1560-9189.2026.28.2.363137
Стохастична порогова модель поширення меметичних вірусів у соціальних медіа
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2026. Т. 28, № 2 21
У цьому контексті особливої актуальності набуває кількісний опис механізмів
соціального зараження та прогнозування динаміки негативних впливів з метою своє-
часного виявлення загроз інформаційній безпеці.
Традиційним інструментом моделювання подібних процесів виступають поро-
гові моделі колективної поведінки [3, 4]. Їхня концепція ґрунтується на припущенні,
що індивід (вузол мережі) змінює свій стан лише тоді, коли сукупний вплив його
активних сусідів перевищує індивідуальне порогове значення.
Класична лінійна порогова модель, попри фундаментальне значення, здебіль-
шого розглядається в детермінованій постановці, що не відображає стохастичної
природи реальних соціальних взаємодій. Водночас поширені метрики, такі як алго-
ритм PageRank [5, 6], акцентують увагу на статичній центральності вершин графа,
не враховуючи динаміку фазових переходів системи від локального поширення до
глобального каскаду.
Необхідність врахування випадкових чинників, зокрема варіативності кіль-
кос-ті активних контактів та неоднорідності сили впливу окремих повідомлень,
обумовлює потребу у розробці ймовірнісних підходів до моделювання процесів со-
ціального зараження. Це відкриває можливість переходу від імітаційного моделю-
вання до отримання аналітичних виразів для оцінки ймовірності активації вузла
соціальної мережі.
Метою цієї статті є розробка ймовірнісної модифікації лінійної порогової мо-
делі, що дає змогу отримати аналітичні вирази для обчислення ймовірності активації
вузла без залучення масивних імітаційних експериментів. Окремим завданням ви-
ступає порівняльний аналіз запропонованого підходу з відомими алгоритмами стру-
ктурного ранжування (PageRank, HITS) та класичними детермінованими моделями
дифузії, що підкреслює його спроможність відтворювати часову динаміку соціаль-
ного зараження, враховувати індивідуальні когнітивні бар’єри та стохастичну при-
роду реальних комунікацій. Додатково у роботі обґрунтовується практична цінність
моделі для прогнозування критичних точок каскадного поширення дезінформації та
кількісної оцінки ефективності механізмів протидії, що позиціонує її як дієвий ін-
струмент стратегічного аналізу в сфері інформаційної безпеки та кіберзахисту.
Характеристика об’єкта дослідження
Порогові моделі належать до одного з базових класів моделей соціального за-
раження, що застосовуються для опису процесів дифузії дезінформації, поширення
фейкових повідомлень, епідемій чуток, формування колективних думок та інших
явищ масової комунікації. Їхня концептуальна основа полягає у припущенні, що ін-
дивід (вузол мережі) переходить у стан активації лише тоді, коли сукупний вплив від
його активних сусідів перевищує індивідуальне порогове значення.
Величина цього впливу визначається не лише кількістю активних контактів,
але й силою зв’язків у мережі: чим інтенсивніший зв’язок, тим вагоміший внесок
сусіда у процес активації. Таким чином, порогові моделі дозволяють формалізувати
механізм колективної поведінки, де локальні взаємодії між окремими вузлами мо-
жуть призводити до глобальних каскадних ефектів.
Вони забезпечують аналітичний інструментарій для виявлення критичних то-
чок, у яких система переходить від стану локального поширення до масштабної ди-
А. Б. Качинський, Д. В. Ланде, С. П. Іванюта
22
фузії, що має особливе значення для дослідження інформаційної безпеки та прогно-
зування соціальних ризиків.
У базовій версії лінійної порогової моделі вплив на вузол визначається сумою
внесків його активних сусідів, де кожен внесок зважується відповідно до ваги
зв’язку, що поєднує вузли 𝑖
та 𝑗 [7]:
𝐼(𝑖) = ∑ 𝑤𝑖𝑗𝑗 ≥ θ𝑖, (1)
де 𝑤𝑖𝑗 — вага зв’язку між вузлами 𝑖 та 𝑗.
Це рівняння передбачає включення до суми лише тих сусідів вузла 𝑖, які пере-
бувають у стані активації. Якщо вузол 𝑗 не є сусідом, то зв’язок між ним та 𝑗 відсут-
ній, і відповідно 𝑤𝑖𝑗 = 0. Вузол переходить у стан активації тоді, коли сумарний
вплив перевищує індивідуальний поріг θ𝑖, що інтерпретується як готовність прий-
няти певну ідею, інформацію чи поведінку.
Отже, запропонований підхід математично описує колективну динаміку, за
якої обмежені взаємодії між окремими учасниками мережі здатні трансформуватися
у широкомасштабні каскадні процеси. Ваги зв’язків у цій схемі виконують роль
кількісних індикаторів різних соціальних чинників: щільності спілкування, рівня
довіри, регулярності контактів або потужності інформаційного імпульсу. Завдяки
такій деталізації модель точно відтворює структурну неоднорідність мережевого
середовища та дає чітке пояснення причин, через які певний контент залишається
в межах локальних кластерів, тоді як інший запускає ланцюгову реакцію глобаль-
ного поширення.
Умова для активації вузла i є наступною:
𝐼(𝑖) = θ𝑖, (2)
де θ𝑖 — це конкретне порогове значення вузла, яке призначається вузлу i до того, як
процес розпочнеться. Його значення зазвичай варіює від одного вузла до іншого.
У рівнянні (1) для кожного активного вузла справедливо:
𝑛𝑖
𝑜𝑛 ≥ θ𝑖 , (3)
де 𝑛𝑖
𝑜𝑛 — це число активних сусідів вузла 𝑖. У разі якщо кількість активних сусідів
перевищує поріг вузла, то вузол активується, в іншому разі він залишається неак-
тивним.
Для врахування стохастичної природи соціальних взаємодій у моделі вво-
дяться припущення щодо випадковості кількості активних сусідів та варіативності
сили їхнього впливу. Кількість активних сусідів розглядається як випадкова вели-
чина, що має пуасонівський розподіл.
Це означає, що вузол може бути активованим лише тоді, коли число його акти-
вованих сусідів дорівнює випадковій величині 𝜈, яка підпорядковується закону роз-
поділу Пуассона:
𝑃(𝜈 = 𝑛) =
𝜆𝑛𝑒−𝜆
𝑛!
, (4)
де λ — середня інтенсивність активних зв’язків.
Інтенсивність впливу окремого сусіда 𝑤, моделюється як випадкова вели-
чина, рівномірно розподілена на інтервалі [𝑎, 𝑏]. Це означає, що всі можливі зна-
Стохастична порогова модель поширення меметичних вірусів у соціальних медіа
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2026. Т. 28, № 2 23
чення впливу в межах цього проміжку є рівно ймовірними, а щільність розподілу
ймовірностей залишається сталою:
𝑓(𝑤) =
1
𝑏−𝑎
, 𝑤 ∈ [𝑎, 𝑏]. (5)
Такий підхід дозволяє врахувати неоднорідність сили інформаційного
впливу, яка може варіюватися залежно від змісту повідомлення, рівня довіри до
джерела чи інтенсивності комунікації. Поєднання цих припущень створює основу
для ймовірнісної модифікації лінійної порогової моделі, що забезпечує перехід від
детермінованого опису до стохастичного аналізу.
У результаті модель здатна не лише прогнозувати факт активації окремого
вузла, але й оцінювати ймовірність виникнення каскадних процесів у мережі, що
має критичне значення для дослідження поширення дезінформації та розробки ефе-
ктивних механізмів її протидії.
Метод дослідження
За допомогою формули повного математичного сподівання випадкової вели-
чини 𝐼(𝑖) та характеристичних функцій, застосовуючи перетворення Лапласа, мо-
жна отримати класичний результат для складеного розподілу Пуассона, описаний
у [8]:
Ψ(𝑡) = 𝐸𝑒−𝑡𝐼(𝑖) = ∑
𝜆𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0 𝑒−𝜆(𝐸𝑒−𝑡𝑤𝑗𝑖)𝑛 = 𝑒𝜆ψ(𝑡)−𝜆, (6)
де λ — параметр пуасонівської величини ν, а Ψ(𝑡) = 𝐸𝑒−𝑡𝑤𝑗𝑖 — перетворення Лап-
ласа для величини впливу окремих активних сусідів на вузол.
Диференціюючи в точці t = 0 по t, ми отримаємо моменти величини 𝐼(𝑖):
𝐸𝐼(𝑖) = Ψ′′(𝑡)|𝑡 = 0 = 𝜆𝐸𝑤𝑖𝑗, (7)
𝐸𝐼(𝑖)2 = Ψ′′(𝑡)|𝑡 = 0 = 𝜆Ψ′′(0) + (𝜆Ψ′′(0))2. (8)
𝑉𝑎𝑟𝐼(𝑖) = 𝜆𝐸𝑤𝑖𝑗
2 . (9)
Оскільки випадкові величини wji рівномірно розподілені на відрізку [a, b], ви-
користовуючи формули для моментів рівномірного розподілу ми маємо:
𝐸𝑤𝑖𝑗 =
𝑏 + 𝑎
2
, (10)
𝐸𝑤𝑗𝑖
2 =
(𝑏 − 𝑎)2
12
.
(11)
Таким чином, математичне сподівання та дисперсія лінійної порогової моделі
сумарного впливу на вузол дорівнюють:
𝐸𝐼(𝑖) = 𝜆 (
𝑏 + 𝑎
2
), (12)
𝐸𝐼(𝑖)2 = 𝜆(
(𝑏 − 𝑎)2
12
).
(13)
А. Б. Качинський, Д. В. Ланде, С. П. Іванюта
24
Для коректного використання нормального наближення необхідно стандар-
тизувати випадкову величину сумарного впливу. Тому умову активації вузла i
𝑃(𝐼(𝑖) ≥ θ𝑖) запишемо через функцію стандартного нормального розподілу [9]:
𝑃(𝐼(𝑖) ≥ θ𝑖) = 𝑃 (
𝐼(𝑖) − 𝐸𝐼(𝑖)
√𝑉𝑎𝑟(𝑖)
>
θ𝑖 − 𝐸𝐼(𝑖)
√𝑉𝑎𝑟(𝑖)
). (14)
Використовуючи нормальне наближення, отримуємо:
𝑃(𝐼(𝑖) ≥ θ𝑖) ≈ 1 − (𝛷
θ𝑖 − 𝐸𝐼(𝑖)
√𝑉𝑎𝑟(𝑖)
). (15)
Таким чином, отримано аналітичний вираз для ймовірності активації вузла
соціальної мережі, що враховує випадковість кількості активних сусідів і варіатив-
ність сили їхнього впливу. Це дозволяє перейти від імітаційних експериментів до
строгого математичного аналізу, забезпечуючи можливість прогнозування критич-
них точок каскадного поширення інформації і оцінки ефективності механізмів про-
тидії дезінформації.
Розвиток підходу
Подальші дослідження аналітичного виразу для оцінки ймовірності активації
вузла соціальної мережі мають бути спрямовані на емпіричну верифікацію параме-
трів моделі (𝜆, 𝑎, 𝑏, θ𝑖) для різних типів соціальних мереж та меметичних констру-
кцій. Важливим напрямом є також розширення моделі з урахуванням кореляції по-
рогових значень у кластерах, що відображає ефект гомофілії, а також моделювання
зворотного впливу активації на топологію мережі. Це дозволить наблизити модель
до реальних соціальних процесів, де структура мережі не є статичною, а змінюється
під впливом інформаційних каскадів.
Принципова відмінність запропонованого підходу від алгоритму PageRank
[5] полягає в його онтологічному статусі. Алгоритм PageRank визначає статичну
міру центральності як властивість структури графа, тобто, PageRank відображає
статичну оцінку важливості вузла в мережі.
Натомість ймовірнісна порогова модель описує динаміку фазового переходу
системи — від локального поширення до глобального каскаду — через часову ево-
люцію ймовірності активації:
𝑃(𝑡) = 𝑃(𝐼(𝑖, 𝑡) ≥ θ𝑖). (16)
Основним механізмом, відсутнім у PageRank, є пороговий ефект θ𝑖, що моде-
лює когнітивний бар’єр індивіда, а також залежність інтенсивності 𝜆 від часу. Це
дозволяє прогнозувати критичні точки переходу, коли система змінює свій стан від
стабільного до нестабільного, породжуючи каскадне поширення інформації.
Теоретичний аналіз статичних і динамічних моделей
Алгоритми структурного ранжування, зокрема PageRank та HITS, утверди-
лися як фундаментальні інструменти аналізу топології соціальних мереж, визначаю-
чи впливовість вершин через механізми передачі авторитету чи подвійної центра-
льності. Їхня поширеність у дослідженнях мережевої структури зумовлена здат-
ністю відображати статичну ієрархію вузлів і їхню відносну значущість у системі.
Стохастична порогова модель поширення меметичних вірусів у соціальних медіа
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2026. Т. 28, № 2 25
Водночас застосування цих підходів для прогнозування поширення меметичних ві-
русів вимагає критичного переосмислення, оскільки їхня природа — статичне ран-
жування — принципово відрізняється від динаміки інформаційних каскадів.
Якщо зазначені алгоритми описують потенційну важливість вершини як не-
змінну властивість графа, то поширення інформації є часовим процесом, що зале-
жить від послідовності активації вузлів, індивідуальних когнітивних порогів та сто-
хастичної природи соціальних взаємодій. У цьому контексті ймовірнісна порогова
модель пропонує альтернативний онтологічний підхід: вона моделює не фіксова-
ний стан системи, а її динамічний перехід від локального поширення до глобаль-
ного каскаду.
Ця відмінність між статичними метриками та динамічною активацією визна-
чає межі застосування класичних алгоритмів у сфері інформаційної безпеки. Ста-
тичні інструменти не здатні врахувати критичні точки фазових переходів, тоді як
ймовірнісна порогова модель дозволяє прогнозувати моменти, коли система стає
вразливою до масштабного поширення дезінформації. Практичним наслідком є мо-
жливість використання моделі для виявлення зон ризику, оцінки стійкості соціаль-
них мереж та розробки превентивних механізмів протидії інформаційним атакам.
Математична формалізація PageRank
Алгоритм PageRank, запропонований Бріном і Пейджем (1998), визначає ста-
тичну міру центральності вузла через рекурсивний процес випадкового блукання
по графу. Для орієнтованого графа, ранг вершини i визначається рівнянням:
𝑃𝑅(𝑖) = (1 − 𝑑)/𝑁 + 𝑑∑
𝑃𝑅𝑗
𝐿𝑗
𝑛
𝑗∈𝐵𝑖
, (17)
де N — загальна кількість вершин у мережі; 𝐵𝑖 — множина вершин, що мають ви-
хідні ребра до вершини i; 𝐿𝑗 — кількість вихідних ребер з вершини j; 𝑑 ∈ (0,1) —
параметр демпфування (зазвичай d ≈ 0,85), що моделює ймовірність переходу за
посиланням замість випадкового стрибку.
У матричній формі рівняння набуває вигляду
𝑃𝑅 = (1 − 𝑑)/𝑁 + 𝑑𝑀𝑇𝑃𝑅, (18)
де M — стохастична матриця суміжності, елемент якої 𝑚𝑖𝑗 =
1
𝐿𝑗
, якщо існує зв’язок
між вузлами i та j, а 1 — вектор одиниць. Розв’язок рівняння (17) існує і єдиний
завдяки теоремі Перрона-Фробеніуса для нерозкладних стохастичних матриць.
Особливість PageRank полягає в тому, що він описує сталий стан Марківсь-
кого ланцюга, де ймовірність перебування «віртуального агента» у вершині Bi не
залежить від часу. Це робить алгоритм ідеальним для ранжування статичного кон-
тенту, але принципово нездатним до моделювання часової динаміки поширення ін-
формації.
Алгоритм HITS — статична подвійна центральність
Алгоритм HITS (Hyperlink-Induced Topic Search), запропонований Дж. Кляй-
нбергом у 1999 році, є ще одним класичним інструментом структурного аналізу
мереж, який широко застосовується для ідентифікації впливових вузлів у тематич-
А. Б. Качинський, Д. В. Ланде, С. П. Іванюта
26
них підграфах [10]. На відміну від PageRank, що оцінює універсальну «важливість»
вершини, HITS оперує двома взаємопов’язаними метриками: автором (author) і ха-
бом (hub). Вузол вважається якісним автором, якщо на нього посилаються потуж-
ні хаби, тоді як хабом виступає вершина, що агрегує посилання на високоавто-ри-
тетні ресурси. Такий підхід дозволяє виявляти функціональні ролі учасників ме-
режі, проте, як і PageRank, залишається фундаментально статичним і не відображає
часову природу інформаційних каскадів.
Для заданого підграфа з матрицею суміжності A алгоритм реалізується через
ітеративне оновлення векторів хабів h та авторів a:
𝑎𝑘 = 𝐴𝑇ℎ𝑘−1; ℎ𝑘 = 𝐴𝑎𝑘−1, (19)
де на кожному кроці вектори нормалізуються (наприклад, за евклідовою нормою)
для забезпечення збіжності. У границі розв’язок збігається до головних власних
векторів матриць ATA (для авторів) та AAT (для хабів). Цей процес описує сталий
стан топологічної структури і, подібно до PageRank, не залежить від послідовності
подій чи часових затримок між активаціями.
Застосування HITS для моделювання поширення мем-вірусів стикається з низ-
кою фундаментальних обмежень. По-перше, алгоритм фіксує мережу в певний мо-
мент часу і не здатний відтворити динаміку «зараження»: швидкість дифузії, черго-
вість активацій чи момент досягнення критичної маси, необхідної для фазового пе-
реходу. По-друге, відсутній механізм індивідуальних порогів сприйняття θi, який у
реальних соціальних процесах визначає когнітивну стійкість користувача до інфор-
маційного впливу. По-третє, передача «авторитету» чи «хаб-ваги» відбувається де-
терміновано та лінійно, без урахування стохастичної природи соціальних взаємодій,
варіативності сили впливу окремих повідомлень, а також ефектів насичення чи іму-
нітету, що виникають після попереднього контакту з контентом.
На противагу структурному ранжуванню HITS, запропонована модель описує
не топологічну роль вузла, а ймовірність його переходу в активний стан під впливом
випадкових факторів. Вона враховує часову еволюцію інтенсивності зв’язків λ(t), ко-
гнітивні бар’єри θi, а також нелінійність каскадних процесів через аналітичну оцінку
ймовірності активації (15). Це дозволяє прогнозувати критичні точки фазового пере-
ходу, коли система змінює режим від локального поширення до глобального інфор-
маційного вибуху, тоді як HITS залишається інструментом статичної класифікації
вузлів за їхньою структурною функцією. Інтеграція цього порівняння підкреслює не-
обхідність переходу від метрик топологічної центральності до динамічних стохасти-
чних підходів, здатних відображати реальну епідеміологію інформаційних впливів у
соціальних медіа.
Обмеження статичних моделей
Для задачі прогнозування поширення мем-вірусів критичним є врахування ча-
сової еволюції стану мережі. Вибір алгоритмів PageRank та HITS як об’єктів порів-
няльного аналізу зумовлений кількома фундаментальними причинами. По-перше, ці
алгоритми є загально визнаними інструментами мережевого аналізу, що стали де-
факто стандартом для оцінки впливовості вузлів у соціальних мережах. По-друге,
обидва підходи базуються на рекурсивному механізмі передачі «ваги» або «автори-
тету», що створює ілюзію придатності для моделювання соціального впливу. По-
Стохастична порогова модель поширення меметичних вірусів у соціальних медіа
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2026. Т. 28, № 2 27
третє, їхня математична зрілість та обчислювальна ефективність роблять їх приваб-
ливими для практичного застосування, проте саме ця зрілість маскує фундамента-
льні онтологічні обмеження при моделюванні динамічних процесів.
PageRank та HITS, незважаючи на їхню концептуальну відмінність (універса-
льна центральність проти подвійної структурної ролі), мають спільну фундамента-
льну ваду: вони описують статичний стан системи, тоді як поширення мем-вірусів є
динамічним часовим процесом. Це протиріччя між статичною топологічною метри-
кою та динамікою інформаційного зараження визначає межі застосування класичних
алгоритмів ранжування у сфері інформаційної безпеки.
Як випливає з таблиці, фундаментальні обмеження PageRank та HITS зумов-
лені їхньою статичною природою, тоді як ймовірнісна порогова модель забезпечує
необхідний інструментарій для аналізу динаміки інформаційних каскадів. Цю таб-
лицю розроблено авторами на основі аналізу [5, 6, 10] та запропонованої моделі.
Порівняльний аналіз статичних алгоритмів ранжування та ймовірнісної порогової моделі
Критерій
порів-
няння
PageRank HITS
Ймовірнісна поро-
гова модель
Наслідки для
моделювання
мем-вірусів
Онтологіч-
ний статус
Статична міра
центральності як
властивість топо-
логії графа
Подвійна стру-
ктурна роль
(хаб/автор) у
фіксованому
підграфі
Динаміка фазового
переходу системи
від локального по-
ширення до глобаль-
ного каскаду
Статичні метрики
не здатні відобра-
жати часову ево-
люцію процесу
Часова
залежність
Відсутня: розв'я-
зок описує сталий
стан Марківського
ланцюга
Відсутня: іте-
рації збіга-
ються до влас-
них векторів
Явна: ймовірність
активації Pi(t) ево-
люціонує у часі че-
рез λ(t)
Неможливо прог-
нозувати момент
піку популярності
чи швидкість ди-
фузії
Пороговий
механізм
Відсутній: верши-
на отримує ранг не-
залежно від кіль-
кості сусідів
Відсутній: пе-
редача ваги від-
бувається де-
терміновано
Наявний: когнітив-
ний бар’єр θi визна-
чає сприйнятливість
до інформації
Не враховується ін-
дивідуальна стій-
кість до маніпуля-
тивного впливу
Характер
впливу
Лінійний: внесок
сусіда пропорцій-
ний
𝑃𝑅𝑗
𝐿𝑗
Лінійний: реку-
рсивне онов-
лення
𝑎𝑘 = 𝐴𝑇ℎ𝑘−1
Нелінійний: зале-
жить від інтенсивно-
сті λ(t) та порогів
Не відображається
контекст сприй-
няття
Зворотний
зв'язок
Відсутній: стан ве-
ршини не впливає
на її подальшу
сприйнятливість
Відсутній: ролі
хаб/авторитет
фіксовані стру-
ктурою
Наявний: активація
змінює ймовірність
подальших перехо-
дів (імунітет/
підготовленість)
Неможливо моде-
лювати ефекти ко-
гнітивного наси-
чення
Стохасти-
чність
Детермінований
алгоритм: фіксова-
ний розподіл ран-
гів
Детермінова-
ний алгоритм:
фіксовані влас-
ні вектори
Ймовірнісна приро-
да: пуасонівський
розподіл активних
сусідів, нормальне
наближення
Не враховується
варіативність реа-
льних взаємодій
Фазові
переходи
Не моделюються:
відсутній механізм
критичних точок
Не моделюю-
ться: описує
лише структур-
ні ролі
Явно описуються:
аналіз 𝜕𝑃𝑖/𝜕𝜆вияв-
ляє точки переми-
кання
Неможливо іден-
тифікувати момен-
ти втрати стійкості
системи
А. Б. Качинський, Д. В. Ланде, С. П. Іванюта
28
Критерій
порів-
няння
PageRank HITS
Ймовірнісна поро-
гова модель
Наслідки для
моделювання
мем-вірусів
Локальні
ефекти
Глобальне ранжу-
вання: ігнорування
кластерної струк-
тури
Тематичний
підграф:
часткове
врахування
локальності
Врахування локаль-
них взаємодій: акти-
вація залежить від
сусіднього оточення
Не виявляються
зони ризику та ві-
русні спільноти
Практичне
застосу-
вання
Ранжування стати-
чного контенту,
ідентифікація ха-
бів
Виявлення ав-
торитетів та ха-
бів у тематич-
них спільнотах
Прогнозування кас-
кадів, оцінка ефек-
тивності, виявлення
критичних точок
PageRank та HITS
придатні лише для
попереднього ана-
лізу топології
Математи-
чний апа-
рат
Теорема Перрона-
Фробеніуса, власні
вектори стохасти-
чних матриць
Власні вектори
матриць ATA та
AAT
Складений розподіл
Пуассона, норма-
льне наближення,
перетворення Лап-
ласа
Динамічні моделі
потребують склад-
нішого, але більш
адекватного ін-
струментарію
Обидва класичні алгоритми ігнорують часову еволюцію, не мають механізму
індивідуальних порогів сприйняття та описують детерміновані процеси, що супере-
чить стохастичній природі реальних соціальних взаємодій.
Особливо критичним є те, що ні PageRank, ні HITS не здатні моделювати фа-
зові переходи — моменти, коли система різко змінює свій стан від локального поши-
рення до глобального інформаційного вибуху. Саме ця нездатність робить їх непри-
датними для прогнозування критичних точок каскадного поширення дезінформації,
що є ключовим завданням у сфері інформаційної безпеки.
Крім того, статичні моделі ігнорують локальні ефекти та кластерну структуру.
Вірусність часто виникає у невеликих спільнотах, які здатні лавиноподібно поши-
рити контент, проте PageRank та HITS не дозволяють прогнозувати момент піку по-
пулярності, що є критично важливим для аналізу інформаційних кампаній.
Саме тому для задач прогнозування каскадів необхідно використовувати дина-
мічні ймовірнісні моделі. Запропонована ймовірнісна порогова модель, на відміну
від статичного ранжування, здатна враховувати когнітивні бар'єри, нелінійність
впливів, стохастичність соціальних взаємодій та динаміку зворотних ефектів, що ро-
бить її більш адекватним інструментом для прогнозування критичних точок каскад-
ного поширення дезінформації та оцінки стійкості соціальних систем. Тому запро-
понована модель має не лише теоретичне значення, але й практичну цінність для
аналізу інформаційної безпеки, прогнозування ризиків та розробки стратегій проти-
дії дезінформаційним кампаніям.
Особливу увагу слід приділити інтеграції запропонованого підходу з систе-
мами цифрових двійників законодавства для прогнозування впливу мем-вірусів на
прийняття політичних рішень та формування нормативно-правової бази.
Висновки
У статті запропоновано ймовірнісну порогову модель впливів у соціальних ме-
режах, яка долає обмеження класичних детермінованих підходів завдяки враху-
ванню стохастичної природи соціальних взаємодій. Модель базується на припущен-
Стохастична порогова модель поширення меметичних вірусів у соціальних медіа
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2026. Т. 28, № 2 29
ні про пуасонівський розподіл кількості активних сусідів та рівномірний розподіл
інтенсивності впливу окремого сусіда, що створює підґрунтя для застосування нор-
мального наближення при обчисленні ймовірності активації вузла. Такий підхід до-
зволяє формалізувати процеси поширення інформації у мережах як випадкові, бага-
тофакторні явища, що відображають реальну складність соціальної динаміки.
Проведений порівняльний аналіз із класичними алгоритмами структурного ра-
нжування — PageRank та HITS — виявив їхні фундаментальні онтологічні обме-
ження для задач прогнозування інформаційних каскадів. Як показано у таблиці, оби-
два алгоритми описують статичний стан системи: PageRank визначає універсальну
міру центральності через сталий стан Марківського ланцюга, тоді як HITS фіксує
подвійну структурну роль (хаб/авторитет) через власні вектори матриць суміжності.
Жоден із цих підходів не здатний врахувати часову еволюцію процесу, індивідуальні
когнітивні пороги θ𝑖, стохастичність соціальних взаємодій чи механізми зворотного
зв’язку (імунітет, насичення). Особливо критичною є нездатність статичних моделей
описувати фазові переходи — моменти, коли система різко змінює стан від локаль-
ного поширення до глобального інформаційного каскаду.
На противагу цьому, запропонована ймовірнісна порогова модель описує ди-
наміку фазового переходу системи через часову еволюцію ймовірності активації
𝑃𝑖(𝑡), яка залежить від інтенсивності зв'язків 𝜆(𝑡), розподілу порогів θ𝑖 та нелінійно-
сті каскадного посилення. Це дозволяє не лише констатувати структурну важливість
вузла, а й прогнозувати критичні точки «перемикання», де навіть мінімальна зміна
інтенсивності впливу призводить до якісної зміни режиму функціонування мережі.
Практична значущість моделі проявляється у кількох взаємопов’язаних пло-
щинах. Вона забезпечує кількісну формалізацію механізму «Вікна Овертона», де по-
ступове зниження порогів θ𝑖 у різних соціальних групах — від радикалів до консер-
ваторів — моделюється як зміна параметрів розподілу 𝑓(θ). Це відкриває можли-
вість не лише описувати, а й прогнозувати ефективність інформаційно-психологіч-
них операцій у цифровому середовищі. Додатково аналіз похідної 𝜕𝑃𝑖/𝜕𝜆 дозволяє
ідентифікувати критичні «точки-перемикачі», де навіть мінімальна зміна інтенсив-
ності впливу призводить до фазового переходу системи. Такий інструментарій є над-
звичайно важливим для розробки стратегій запобігання каскадному поширенню дез-
інформації та маніпулятивних наративів.
Модель також надає засоби для оцінки ефективності контрзаходів. Підвищення
рівня критичного мислення населення формалізується як зростання математичного
сподівання 𝐸[θ𝑖], що безпосередньо знижує ймовірність активації вузлів і, відпо-
відно, зменшує ризик неконтрольованого поширення інформаційних впливів. У
цьому контексті модель може бути використана для кількісної оцінки освітніх про-
грам, кампаній з медіаграмотності та інших соціальних інтервенцій, спрямованих на
підвищення стійкості суспільства до інформаційних загроз.
Таким чином, запропонована ймовірнісна порогова модель не лише розширює
теоретичні можливості аналізу соціальних мереж, але й формує практичний інстру-
ментарій для інформаційної безпеки, стратегічних комунікацій та протидії дезінфор-
мації. Її застосування дозволяє поєднати математичну точність із соціально-політич-
ними завданнями, створюючи основу для міждисциплінарних досліджень у сфері кі-
бербезпеки та когнітивної стійкості суспільства. Перехід від метрик статичної топо-
логічної центральності (PageRank, HITS) до динамічних стохастичних підходів
А. Б. Качинський, Д. В. Ланде, С. П. Іванюта
30
відкриває нові можливості для прогнозування, моніторингу та нейтралізації інфор-
маційних загроз у реальному часі.
1. Baspehlivan U. Theorising the memescape: The spatial politics of internet memes. Review of
International Studies. 2024. 50(1). Р. 35–57. DOI: 10.1017/S0260210523000049.
2. Diengdo B.N.D. Memes and Social Media Affects. Visual Cultures in India: Contesting the Site
of Sights. 2024. Р. 179.
3. Liu Y., Zhang P., Shi L., and Gong J. A survey of information dissemination models, datasets,
and insight. Mathematics. 2023. 11(17). Р. 3707. DOI: 10.3390/math11173707.
4. Granovetter M. Threshold models of collective behavior. American journal of sociology. 1978.
83(6). Р. 1420–1443. DOI: 10.1086/226707
5. Gleich D.F. PageRank beyond the web. SIAM Review. 2015. 57(3). Р. 321–363. DOI:
10.1137/140976649.
6. Ding J., Li Z., Wu X., Liu R., and Hu H. Information Dissemination Model Based on Social
Networks Characteristics. Mathematics. 2025. 13(8).Р. 1254. DOI: 10.3390/math13081254.
7. Rogers E.M., Singhal A., and Quinlan M.M. Diffusion of innovations. In An integrated approach
to communication theory and research. 2014. Р. 432–448.
8. William Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 1, 3rd
Edition. New York: John Wiley & Sons, 1991. 528 p.
9. Jonson N.L., Leone F.C. Statistics and Experimental Design in Engineering and Physical
Sciences. Vol. 1. 2-edition. New York: John Wiley & Sons, 1977. 510 p.
10. Kleinberg J.M. Authoritative sources in a hyperlinked environment. Journal of the ACM. 1999.
46(5). Р. 604-632. DOI: 10.1145/324133.32414.
Надійшла до редакції 25.04.2026
Прийнята до друку 19. 50 .2026
Опублікована 17.06.2026
https://doi.org/10.3390/math13081254
|
| id | drspiprikievua-article-363137 |
| institution | Data Recording, Storage & Processing |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-18T01:00:32Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | drspiprikievua/04/a7a242578ae3849302ace3ca35075404.pdf |
| spelling | drspiprikievua-article-3631372026-06-17T17:50:04Z Stochastic threshold model for the spread of memetic viruses in social media Стохастична порогова модель поширення меметичних вірусів у соціальних медіа Качинський, А. Б. Ланде, Д. В. Іванюта, С. П. probabilistic threshold model, cybersecurity, information security, social networks, information influence, bimodal degree distribution, cascading spread ймовірнісна порогова модель, кібербезпека, інформаційна безпека, соціальні мережі, інформаційні впливи, бімодальний розподіл ступенів, каскадне поширення Modern social media have become a key environment for the rapid diffusion of information, where disinformation and manipulative narratives spread with extreme intensity, shaping public opinion and coordinating collective actions. Traditional analytical tools, such as the PageRank and HITS algorithms, focus on assessing the static centrality of nodes and are unable to capture the temporal dynamics of social contagion. Deterministic threshold models, despite their theoretical value, ignore the stochastic nature of real-world communications, which significantly limits their predictive accuracy in highly uncertain digital environments. This research proposes a stochastic modification of the classical linear threshold model that accounts for the randomness in the number of active contacts and the heterogeneity in the influence strength of individual messages. Based on the assumptions of a Poisson distribution for active neighbors and a uniform distribution for influence intensity, an analytical expression for the node activation probability is derived using normal approximation and Laplace transforms. This enables a shift from computationally expensive simulation experiments to a rigorous mathematical description of social contagion processes, formalizing users' cognitive barriers and the nonlinearity of cascading interactions. A comparative analysis of the proposed approach with classical structural ranking algorithms reveals their fundamental ontological limitations. While PageRank and HITS capture the static state of graph topology through eigenvectors of adjacency matrices, the probabilistic threshold model describes the dynamics of a system's phase transition — from local spread to a global information cascade. The model is capable of identifying critical «tipping points», where minimal changes in influence intensity lead to qualitative shifts in network behavior, a feature fundamentally inaccessible to deterministic centrality metrics. The proposed framework can be applied in the fields of information and cybersecurity, as well as strategic communications. It enables the prediction of uncontrolled disinformation spread, quantitative assessment of countermeasure effectiveness, and modeling of the "Overton Window" mechanism through the dynamics of threshold distributions. The transition from static topological centrality to dynamic stochastic approaches opens new opportunities for real-time monitoring and neutralization of information threats, as well as for building interdisciplinary models of societal cognitive resilience. Tabl.: 1. Refs: 10 titles. Запропоновано стохастичну модифікацію класичної лінійної порогової моделі, яка враховує випадковість кількості активних контактів і неоднорідність сили впливу окремих повідомлень. Це дозволило перейти від ресурсомістких імітаційних експериментів до строгого математичного опису процесів соціального зараження, формалізуючи когнітивні бар’єри користувачів і нелінійність каскадних взаємодій. Проведено порівняльний аналіз запропонованого підходу з класичними алгоритмами структурного ранжування. Якщо методи PageRank та HITS фіксують статичний стан топології графа через власні вектори матриць суміжності, то ймовірнісна порогова модель описує динаміку фазового переходу системи — від локального поширення до глобального інформаційного каскаду. Перехід від статичної топологічної центральності до динамічних стохастичних підходів відкриває нові можливості для моніторингу, нейтралізації інформаційних загроз у реальному часі та побудови міждисциплінарних моделей когнітивної стійкості суспільства. Запропонований інструментарій може застосовуватись у сфері інформаційної і кібернетичної безпеки, стратегічних комунікацій. Інститут проблем реєстрації інформації НАН України 2026-06-17 Article Article application/pdf https://drsp.ipri.kiev.ua/article/view/363137 10.35681/1560-9189.2026.28.2.363137 Data Recording, Storage & Processing; Vol. 28 No. 2 (2026); 20-30 Регистрация, хранение и обработка данных; Том 28 № 2 (2026); 20-30 Реєстрація, зберігання і обробка даних; Том 28 № 2 (2026); 20-30 1560-9189 uk https://drsp.ipri.kiev.ua/article/view/363137/350524 Авторське право (c) 2026 Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| spellingShingle | probabilistic threshold model cybersecurity information security social networks information influence bimodal degree distribution cascading spread Качинський, А. Б. Ланде, Д. В. Іванюта, С. П. Stochastic threshold model for the spread of memetic viruses in social media |
| title | Stochastic threshold model for the spread of memetic viruses in social media |
| title_alt | Стохастична порогова модель поширення меметичних вірусів у соціальних медіа |
| title_full | Stochastic threshold model for the spread of memetic viruses in social media |
| title_fullStr | Stochastic threshold model for the spread of memetic viruses in social media |
| title_full_unstemmed | Stochastic threshold model for the spread of memetic viruses in social media |
| title_short | Stochastic threshold model for the spread of memetic viruses in social media |
| title_sort | stochastic threshold model for the spread of memetic viruses in social media |
| topic | probabilistic threshold model cybersecurity information security social networks information influence bimodal degree distribution cascading spread |
| topic_facet | probabilistic threshold model cybersecurity information security social networks information influence bimodal degree distribution cascading spread ймовірнісна порогова модель кібербезпека інформаційна безпека соціальні мережі інформаційні впливи бімодальний розподіл ступенів каскадне поширення |
| url | https://drsp.ipri.kiev.ua/article/view/363137 |
| work_keys_str_mv | AT kačinsʹkijab stochasticthresholdmodelforthespreadofmemeticvirusesinsocialmedia AT landedv stochasticthresholdmodelforthespreadofmemeticvirusesinsocialmedia AT ívanûtasp stochasticthresholdmodelforthespreadofmemeticvirusesinsocialmedia AT kačinsʹkijab stohastičnaporogovamodelʹpoširennâmemetičnihvírusívusocíalʹnihmedía AT landedv stohastičnaporogovamodelʹpoširennâmemetičnihvírusívusocíalʹnihmedía AT ívanûtasp stohastičnaporogovamodelʹpoširennâmemetičnihvírusívusocíalʹnihmedía |