Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров

Описаны модели количественной конкуренции в условиях дуополии дифференцированных товаров, в которых управляемая переменная производителя (объем выпуска товара) считается случайной величиной. Выделен класс распределений случайных выпусков, гарантирующий существование решений бескоалиционных игр. Полу...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Косаревич, Е.В., Елейко, Я.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124844
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров / Е.В. Косаревич, Я.И. Елейко // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 127-136. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124844
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1248442017-10-07T03:03:37Z Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров Косаревич, Е.В. Елейко, Я.И. Системный анализ Описаны модели количественной конкуренции в условиях дуополии дифференцированных товаров, в которых управляемая переменная производителя (объем выпуска товара) считается случайной величиной. Выделен класс распределений случайных выпусков, гарантирующий существование решений бескоалиционных игр. Получены в явном виде формулы для определения «исправленного» равновесия по Нэшу для дуополии со случайной управляемой переменной одного и обоих производителей. Предложен метод оценки меры риска производителя. Запропоновано моделі кількісної конкуренції в умовах дуополії диференційованих товарів, в яких керована змінна виробника (обсяг випуску товару) вважається випадковою величиною. Виділено клас розподілів випадкових випусків, який гарантує розв’язки безкоаліційних ігор. Отримано в явному вигляді формули для визначення «виправленої» рівноваги за Нешем для дуополії з випадковою керованою змінною одного та обох виробників. Запропоновано метод оцінювання міри ризику виробника. The models of quantitative competition under duopoly of differentiated products in which the controlled variable of the producer (production amount) is considered a random variable is proposed. The class of distributions of random production amounts that guarantees the existence of solutions of non-cooperative games is described. Explicit formulas are obtained to find a “corrected” Nash equilibrium first for a duopoly with random controlled variable of one producer and then for both producers. The method for estimating the measure of risk of producer is proposed. 2015 Article Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров / Е.В. Косаревич, Я.И. Елейко // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 127-136. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124844 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Косаревич, Е.В. Елейко, Я.И. Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров Кибернетика и системный анализ
description	Описаны модели количественной конкуренции в условиях дуополии дифференцированных товаров, в которых управляемая переменная производителя (объем выпуска товара) считается случайной величиной. Выделен класс распределений случайных выпусков, гарантирующий существование решений бескоалиционных игр. Получены в явном виде формулы для определения «исправленного» равновесия по Нэшу для дуополии со случайной управляемой переменной одного и обоих производителей. Предложен метод оценки меры риска производителя.
format	Article
author	Косаревич, Е.В. Елейко, Я.И.
author_facet	Косаревич, Е.В. Елейко, Я.И.
author_sort	Косаревич, Е.В.
title	Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров
title_short	Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров
title_full	Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров
title_fullStr	Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров
title_full_unstemmed	Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров
title_sort	теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124844
citation_txt	Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров / Е.В. Косаревич, Я.И. Елейко // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 127-136. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT kosarevičev teoretikoigrovyemodelikonkurenciiproizvoditelejsoslučajnymivypuskamivusloviâhduopoliidifferencirovannyhtovarov AT elejkoâi teoretikoigrovyemodelikonkurenciiproizvoditelejsoslučajnymivypuskamivusloviâhduopoliidifferencirovannyhtovarov
first_indexed	2025-07-09T02:08:33Z
last_indexed	2025-07-09T02:08:33Z
_version_	1837133381899386880
fulltext	ÓÄÊ 519.21 Å.Â. ÊÎÑÀÐÅÂÈ×, ß.È. ÅËÅÉÊÎ ÒÅÎÐÅÒÈÊÎ-ÈÃÐÎÂÛÅ ÌÎÄÅËÈ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖÈÈ ÏÐÎÈÇÂÎÄÈÒÅËÅÉ ÑÎ ÑËÓ×ÀÉÍÛÌÈ ÂÛÏÓÑÊÀÌÈ Â ÓÑËÎÂÈßÕ ÄÓÎÏÎËÈÈ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÒÎÂÀÐÎÂ Àííîòàöèÿ. Îïèñàíû ìîäåëè êîëè÷åñòâåííîé êîíêóðåíöèè â óñëîâèÿõ äóîïîëèè äèôôåðåíöè- ðîâàííûõ òîâàðîâ, â êîòîðûõ óïðàâëÿåìàÿ ïåðåìåííàÿ ïðîèçâîäèòåëÿ (îáúåì âûïóñêà òîâàðà) ñ÷èòàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Âûäåëåí êëàññ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âûïóñêîâ, ãàðàíòèðó- þùèé ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé áåñêîàëèöèîííûõ èãð. Ïîëó÷åíû â ÿâíîì âèäå ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ «èñïðàâëåííîãî» ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó äëÿ äóîïîëèè ñî ñëó÷àéíîé óïðàâëÿåìîé ïå- ðåìåííîé îäíîãî è îáîèõ ïðîèçâîäèòåëåé. Ïðåäëîæåí ìåòîä îöåíêè ìåðû ðèñêà ïðîèçâîäèòåëÿ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîëè÷åñòâåííàÿ êîíêóðåíöèÿ, äóîïîëèÿ, äèôôåðåíöèðîâàííûå òîâàðû, «èñïðàâëåííîå» ðàâíîâåñèå ïî Íýøó, ìåðà ðèñêà. Ïðèíÿòèå ïðîèçâîäèòåëÿìè ñòðàòåãè÷åñêèõ ðåøåíèé ÷àñòî ñîïðîâîæäàåòñÿ îòñóò- ñòâèåì òî÷íîé èíôîðìàöèè î ðûíî÷íîì ñïðîñå è îáúåìå âûïóñêà òîâàðà, íàïðè- ìåð, êîãäà ïðîèçâîäèòåëü âûõîäèò íà ðûíîê âïåðâûå èëè ïðåäñòàâëÿåò íà íåì êà÷åñòâåííî íîâûå òîâàðû. Ïîýòîìó âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ñîçäàíèÿ ìîäåëåé êîíêóðåíöèè [1–3], êîòîðûå ó÷èòûâàëè áû ñâîéñòâåííóþ ïðîèçâîäèòåëÿì íåîïðå- äåëåííîñòü. Â óñëîâèÿõ ãëîáàëüíîé èíôëÿöèè îñîáåííî àêòóàëüíî èññëåäîâàíèå ðûíêà íå îäíîðîäíûõ, à äèôôåðåíöèðîâàííûõ òîâàðîâ [4, 5]. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÄÓÎÏÎËÈÈ ÑÎ ÑËÓ×ÀÉÍÛÌ ÂÛÏÓÑÊÎÌ ÒÎÂÀÐÀ ÎÄÍÈÌ ÏÐÎÈÇÂÎÄÈÒÅËÅÌ Ðàññìîòðèì êîëè÷åñòâåííîå êîíêóðåíòíîå âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ïðîèçâîäèòå- ëåé íà ðûíêå äèôôåðåíöèðîâàííûõ òîâàðîâ. Ïóñòü òîâàð i ïðîèçâîäèòñÿ ïðåä- ïðèÿòèåì i, i Î{ }1 2, . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåøåíèå îá îáúåìå âûïóñêà òîâàðà, ïðèíèìàåìîå îäíèì ïðîèçâîäèòåëåì, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì, à ðåøåíèå äðóãîãî ïðîèçâîäèòåëÿ — äåòåðìèíèðîâàííûì. Ïóñòü îáúåì q1 òîâàðà, âûïóñêàåìîãî ïåðâûì ïðåäïðèÿòèåì, — ñëó÷àéíàÿ âåëè- ÷èíà ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f x( ; )l , ãäå l > 0 — èçìåíÿåìûé ïàðàìåòð ðàñïðåäå- ëåíèÿ (íåèçâåñòíûé â ìîìåíò íà÷àëà âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîèçâîäèòåëåé), à ôóíêöèÿ f x( ; )l òàêàÿ, ÷òî Eq1 < ¥, Eq 1 2 < ¥ " >l 0, E ( )× — îïåðàòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäà- íèÿ. Ïîñêîëüêó îáúåì âûïóñêà òîâàðà ïåðâûì ïðîèçâîäèòåëåì ñëó÷àéíûé, ïîñëåäíèé ìàêñèìèçèðóåò ñâîþ îæèäàåìóþ ïðèáûëü, ïðèíèìàÿ ðåøåíèå îá îæèäàåìîì îáúåìå âûïóñêà, Eq xf x dx1 = =ò ( ; ) ( )l j l . Âòîðîé ïðîèçâîäèòåëü ìàêñèìèçèðóåò îæèäàåìóþ ïðèáûëü, âûáèðàÿ äåòåðìèíèðîâàííûé îáúåì q2 âûïóñêà òîâàðà. Êîëè÷åñòâåííîå êîíêóðåíòíîå âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ïðîèçâîäèòåëåé ñî ñëó- ÷àéíûì îáúåìîì âûïóñêà òîâàðà îäíèì èç íèõ ïðåäñòàâèì â âèäå èãðû â ñòðàòåãè÷åñêîé ôîðìå G I S E Eq q i Ii i1 2 1 2 ( ) ( ,{ }, { ( , )}, )= Îp , ãäå I = { }1 2, — ìíî- æåñòâî èãðîêîâ; S i — ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêà i IÎ ; E Eq q E q D q c qi i i j j I i ip ( , ) ( )1 2 1= æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - Î å — ôóíêöèÿ âûèãðûøà (îæèäàåìàÿ ïðèáûëü) èãðîêà i IÎ ; D qi j j I - Î å æ è ç ç ö ø ÷ ÷ 1 — îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ðûíî÷íîãî ñïðîñà íà òîâàð i ; c qi i( ) — ôóíêöèÿ èçäåðæåê èãðîêà i IÎ . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 127 © Å.Â. Êîñàðåâè÷, ß.È. Åëåéêî, 2015 Çàìåòèì, ÷òî G 1 2( ) ÿâëÿåòñÿ èãðîé â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ (Eq1 äëÿ ïåðâîãî è q2 äëÿ âòîðîãî èãðîêà), íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îáúåì âûïóñêà òîâàðà îäíèì èç ïðîèç- âîäèòåëåé â äàííîé ìîäåëè — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ìîäåëü íåçàâèñèìîé êîíêóðåíöèè èãðîêîâ îïðåäåëÿåòñÿ çàäà÷åé ìàêñèìè- çàöèè îæèäàåìîé ïðèáûëè: — äëÿ ïåðâîãî ïðîèçâîäèòåëÿ E q D q c qj j I Eq S 1 1 1 1 1 1 1 - Î Î å æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ®( ) max ; (1) — äëÿ âòîðîãî ïðîèçâîäèòåëÿ E q D q c qs s I q S 2 2 1 2 2 2 2 - Î Î å æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ®( ) max . (2) Îïðåäåëåíèå 1. «Èñïðàâëåííûì» ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó â èãðå G 1 2( ) áóäåì íàçûâàòü íàáîð q Eq q* * (( ) , ( ) )= 1 2 îæèäàåìîãî è äåòåðìèíèðîâàííîãî âûïóñ- êîâ òîâàðîâ ñîîòâåòñòâåííî ïåðâûì è âòîðûì ïðîèçâîäèòåëÿìè òàêîé, ÷òî E q E Eq qp p1 1 1 2( ) ( , ( ) ) ³ " ÎEq S1 1, (3) E q E Eq qp p2 2 1 2( ) (( ) , ) ³ " Îq S2 2 . Ïóñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ñïðîñà (öåíà) íà òîâàð i ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, ò.å. D q q a b q b qi i j - + = - -1 1 2 1 2( ) , i j I, Î , i j¹ , (4) ãäå a > 0, b1 0> , b2 0> — íåêîòîðûå ïàðàìåòðû. Òîãäà ïðè ñëó÷àéíîì îáúåìå âû- ïóñêà òîâàðà ïåðâûì ïðîèçâîäèòåëåì èìååì E D q q a b Eq b q( ( )) 1 1 1 2 1 1 2 2 - + = - - , E D q q a b q b Eq( ( )) 2 1 1 2 1 2 2 1 - + = - - , ïðè÷åì E D q qi( ( ))- + ³1 1 2 0, îòêóäà Eq a b b b q a b b b q1 1 2 1 2 2 1 2 2£ - - ì í î ü ý þ min ; , q a b b b Eq a b b b Eq2 1 2 1 1 2 1 2 1£ - - ì í î ü ý þ min ; . Òàêèì îáðàçîì, îáëàñòü äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ S a b a b 1 1 2 0= ì í î ü ý þ é ë ê ù û ú, ;min , S a b a b 2 1 2 0= ì í î ü ý þ é ë ê ù û ú, ;min . Ñ ó÷åòîì (4) ïðè ëèíåéíûõ ôóíêöèÿõ èçäåðæåê è îäèíàêîâûõ ïðåäåëüíûõ ïîñòî- ÿííûõ èçäåðæêàõ ( )c c c1 2= = îæèäàåìàÿ ïðèáûëü ïåðâîãî ïðîèçâîäèòåëÿ ñîñòàâëÿåò E Eq q aEq b Eq b q Eq cEqp1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1( , ) = - - - , (5) Eq a b b b q a b b b q1 1 2 1 2 2 1 2 2£ - - ì í î ü ý þ min ; , ãäå Eq 1 2 = y l( ). Ââèäó ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó l è Eq1 ïîëó÷àåì Eq Eq 1 2 1= y( ), à ñëåäîâàòåëüíî, (5) ïðèìåò âèä E Eq q aEq b Eq b q Eq cEqp y1 1 2 1 1 1 2 2 1 1( , ) ( )= - - - , (6) Eq a b b b q a b b b q1 1 2 1 2 2 1 2 2£ - - ì í î ü ý þ min ; . 128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 Èñïîëüçóÿ äåòåðìèíèðîâàííóþ ñòðàòåãèþ, âòîðîé ïðîèçâîäèòåëü ìàêñèìè- çèðóåò ñâîþ îæèäàåìóþ ïðèáûëü, êîòîðàÿ ââèäó (4) ñîñòàâëÿåò E Eq q aq b q b q Eq cqp 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2( , ) = - - - , (7) q a b b b Eq a b b b Eq2 1 2 1 1 2 1 2 1£ - - ì í î ü ý þ min ; . C ó÷åòîì (6), (7) çàäà÷è (1), (2) ïðèíèìàþò âèä aEq b Eq b q Eq cEq Eq S 1 1 1 2 2 1 1 1 1 - - - ® Î y( ) max , (8) Eq a b b b q a b b b q1 1 2 1 2 2 1 2 2£ - - ì í î ü ý þ min ; , aq b q b q Eq cq q S 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 - - - ® Î max , (9) q a b b b Eq a b b b Eq2 1 2 1 1 2 1 2 1£ - - ì í î ü ý þ min ; . Ðåàêöèÿ ïðîèçâîäèòåëÿ íà äåéñòâèå êîíêóðåíòà (êðèâàÿ ðåàêöèè) îïðåäåëÿ- åòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷ (8), (9) ïðè ôèêñèðîâàííîì îáüåìå (îæèäàåìîãî) âûïóñêà òîâàðà êîíêóðåíòîì. Òåîðåìà 1 (î ôîðìå «èñïðàâëåííîãî» ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó â èãðå G 1 2( ) â óñëîâèÿõ äèôôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè). Ïóñòü ôóíêöèÿ y( )Eq1 ïðèíàäëåæèò êëàññó êâàäðà- òè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé Eq1, ïðè÷åì y( ) ( )Eq k Eq k Eq k1 1 1 2 2 1 3= + + , ãäå k1 0> , k2 , k3 — íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Òîãäà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé a c> , (10) b b1 2> , (11) k1 1 2 > , (12) - - - £ £ - -( )( ) ( )( )a c b b b b k a c b b b 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 (13) íàáîð îæèäàåìîãî è äåòåðìèíèðîâàííîãî âûïóñêîâ òîâàðîâ ñîîòâåòñòâåííî ïåðâûì è âòîðûì ïðîèçâîäèòåëÿìè ( ) ( )( ) Eq a ñ b b b k k b b 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 = - - - - , (14) ( ) ( )( )q a ñ k b b b b k k b b 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 4 = - - + - (15) ÿâëÿåòñÿ «èñïðàâëåííûì» ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó â èãðå G 1 2( ) â óñëîâèÿõ äèô- ôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ââèäó óñëîâèÿ òåîðåìû ôóíêöèè âûèãðûøà (6) è (7) èãðî- êîâ èìåþò âèä E Eq q aEq b k Eq k Eq k b q Eq cEqp1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 3 2 2 1( , ) ( ( ) )= - + + - - 1, ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 129 Eq a b b b q a b b b q1 1 2 1 2 2 1 2 2£ - - ì í î ü ý þ min ; , E Eq q aq b q b q Eq cqp 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2( , ) = - - - , q a b b b Eq a b b b Eq2 1 2 1 1 2 1 2 2£ - - ì í î ü ý þ min ; . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ E Eq qp 2 1 2( , ) ÿâëÿåòñÿ âîãíóòîé ïî ïåðåìåííîé q2 , à ôóíêöèÿ E Eq qp1 1 2( , ) — ïî Eq1. Ïîýòîìó îïòèìàëüíûé îáüåì (îæèäàåìî- ãî) âûïóñêà òîâàðà îäíèì èç ïðîèçâîäèòåëåé ïðè ôèêñèðîâàííîì îáüåìå (îæè- äàåìîãî) âûïóñêà òîâàðà êîíêóðåíòîì íàõîäèì èç óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè ïåð- âîãî ïîðÿäêà äëÿ çàäà÷ (8), (9), êîòîðûå ïðèíèìàþò âèä: — äëÿ ïåðâîãî ïðîèçâîäèòåëÿ aEq b k Eq k Eq k b q Eq cEq Eq S 1 1 1 1 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 - + + - - ® Î ( ( ) ) max ; (16) — äëÿ âòîðîãî ïðîèçâîäèòåëÿ aq b q b q Eq cq q S 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 - - - ® Î max . (17) Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ çàäà÷ (16), (17) ñëåäóþùèå: ¶ ¶ = ( ( , )) ( ) E Eq q Eq p1 1 2 1 0 , ¶ ¶ = ( ( , ))E Eq q q p 2 1 2 2 0 , èëè ¶ - + + - - ¶ = ( ( ( ) ) ) ( ) aEq b k Eq k Eq k b q Eq cEq Eq 1 1 1 1 2 2 1 3 2 2 1 1 1 0 , ¶ - - - ¶ = ( )aq b q b q Eq cq q 2 1 2 2 2 2 1 2 2 0 . Èç óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè ïîëó÷àåì ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûå ðåàêöèè: — äëÿ ïåðâîãî èãðîêà B q a c b k k b b b k q q a c b k b 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 22 2 ( ) , , = - - - £ - - åñëè 0 1 2 2 , ;åñëè 2q > - - ì í ïï î ï ï a c b k b — äëÿ âòîðîãî èãðîêà B Eq a c b b b Eq Eq a c b E a2 1 1 2 1 1 1 22 2 0 ( ) , , , = - - £ - > - åñëè åñëè 1q c b2 . ì í ïï î ï ï Ñîãëàñíî (3) íàáîð îæèäàåìîãî è äåòåðìèíèðîâàííîãî âûïóñêîâ òîâàðîâ ñî- îòâåòñòâåííî ïåðâûì è âòîðûì ïðîèçâîäèòåëÿìè ÿâëÿåòñÿ «èñïðàâëåííûì» ðàâ- íîâåñèåì ïî Íýøó â èãðå G 1 2( ) â óñëîâèÿõ äèôôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè, åñëè ( ) (( ) ) Eq B q1 1 2= , ( ) (( ) ) q B Eq2 2 1= . Ïîýòîìó ðàâíîâåñíûé íàáîð íàõîäèì èç ñèñòåìû óðàâíåíèé 130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 ( ) ( ) , ( ) * * Eq a c k k b b b k q q a c b b b 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 = - + - = - - ( ) .Eq1 ì í ïï î ï ï Ïîëó÷àåì ðåøåíèå (14), (15), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ «èñïðàâëåííûì» ðàâíîâåñè- åì ïî Íýøó â èãðå G 1 2( ) â óñëîâèÿõ äèôôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè. Óñëîâèÿ (10)–(13) òåîðåìû ãàðàíòèðóþò íåîòðèöàòåëüíîñòü ðàâíîâåñíûõ îáúåìîâ (îæèäàåìûõ) âûïóñêîâ è îáåñïå÷èâàþò âûïîëíåíèå óñëîâèé Eq a b b b q a b b b q1 1 2 1 2 2 1 2 2£ - - ì í î ü ý þ min ; , q a b b b Eq a b b b Eq2 1 2 1 1 2 1 2 1£ - - ì í î ü ý þ min ; äëÿ E D q qi( ( ))- + ³1 1 2 0, i Î{ }1 2, . Òåîðåìà äîêàçàíà. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÄÓÎÏÎËÈÈ ÑÎ ÑËÓ×ÀÉÍÛÌÈ ÂÛÏÓÑÊÀÌÈ ÒÎÂÀÐÎÂ Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ íà ðûíêå äèôôåðåíöèðîâàííûõ òîâàðîâ, êîãäà èõ âû- ïóñêè îáîèìè ïðîèçâîäèòåëÿìè ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè. Ïóñòü îáúåì q i òîâàðà i, âûïóñêàåìîãî ïðåäïðèÿòèåì i IÎ , — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ïëîòíîñòüþ ðàñ- ïðåäåëåíèÿ f xi i i( ; )l , ãäå l i > 0 — èçìåíÿåìûé ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ, à ôóíêöèÿ f xi i i( ; )l òàêàÿ, ÷òî Eq i < ¥, Eq i 2 < ¥ " >l i 0 . Ïîñêîëüêó îáúåìû âûïóñêîâ òîâàðîâ ïðîèçâîäèòåëÿìè ñëó÷àéíûå, êàæäûé èç íèõ ìàêñèìèçèðóåò ñâîþ îæèäàåìóþ ïðèáûëü, ïðèíèìàÿ ðåøåíèå îá îæèäàåìîì îáúåìå âûïóñêà Eq x f x dxi i i i i i i i= =ò ( ; ) ( )l j l . Êîëè÷åñòâåííîå êîíêóðåíòíîå âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ïðîèçâîäèòåëåé ñî ñëó- ÷àéíûìè îáúåìàìè âûïóñêîâ òîâàðîâ ïðåäñòàâèì â âèäå èãðû â ñòðàòåãè÷åñêîé ôîðìå G I S E Eq Eq i Ii i2 2 1 2 ( ) ( ,{ },{ ( , )}, )= Îp , ãäå I = { }1 2, — ìíîæåñòâî èãðîêîâ; S i — ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêà i IÎ ; E Eq Eqip ( , )1 2 = = æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - Î åE q D q c qi i j j I i i 1 ( ) — ôóíêöèÿ âûèãðûøà (îæèäàåìàÿ ïðèáûëü) èãðîêà i IÎ ; D qi j j I - Î å æ è ç ç ö ø ÷ ÷ 1 — îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ðûíî÷íîãî ñïðîñà íà òîâàð i ; c qi i( ) — ôóíêöèÿ èçäåðæåê èãðîêà i IÎ . Ñ ó÷åòîì (4) ïðè ñëó÷àéíîì îáúåìå âûïóñêà òîâàðà ïðîèçâîäèòåëåì i èìååì E D q q a b Eq b Eqi i j( ( ))- + = - -1 1 2 1 2 , ïðè÷åì E D q qi( ( ))- + ³1 1 2 0, îòêóäà Eq a b b b Eq a b b b Eqi j j£ - - ì í î ü ý þ min ; 1 2 1 2 1 2 . Òàêèì îáðàçîì, îáëàñòüþ äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêà i ÿâëÿåòñÿ S a b a b i = ì í î ü ý þ é ë ê ù û ú0 1 2 , min ; . Îïðåäåëåíèå 2. «Èñïðàâëåííûì» ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó â èãðå G 2 2( ) áóäåì íàçûâàòü íàáîð q ( )= ( ) ( )1 2Eq , Eq* * îæèäàåìûõ âûïóñêîâ òîâàðîâ ïðîèçâîäè- òåëÿìè òàêîé, ÷òî E q E Eq Eqp p1 1 1 2( ) ( , ( ) )* ³ " ³Eq1 0 , (18) E q E Eq Eqp p2 2 1 2( ) (( ) , ) ³ " ³Eq2 0 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 131 Ïðè ëèíåéíûõ ôóíêöèÿõ èçäåðæåê è îäèíàêîâûõ ïðåäåëüíûõ ïîñòîÿííûõ èçäåðæêàõ ( )c c c1 2= = îæèäàåìàÿ ïðèáûëü ïðîèçâîäèòåëÿ i ñîñòàâëÿåò E Eq Eq aEq b Eq b Eq Eq cEqi i i i j ip ( , )1 2 1 2 2= - - - , (19) Eq a b b b Eq a b b b Eqi j j£ - - ì í î ü ý þ min ; 1 2 1 2 1 2 , ãäå Eq i i i 2 = y l( ). Ââèäó ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó l i è Eq i ïîëó- ÷àåì Eq Eqi i i 2 = y ( ), à ñëåäîâàòåëüíî, (19) ïðèìåò âèä E Eq Eq aEq b Eq b Eq Eq cEqi i i i i j ip y( , ) ( )1 2 1 2= - - - , (20) Eq a b b b Eq a b b b Eqi j j£ - - ì í î ü ý þ min ; 1 2 1 2 1 2 . Ñ ó÷åòîì (20) çàäà÷è (1), (2) ïðèíèìàþò âèä aEq b Eq b Eq Eq cEqi i i i j i Eq Si i - - - ® Î 1 2y ( ) max , (21) Eq a b b b Eq a b b b Eqi j j£ - - ì í î ü ý þ min ; 1 2 1 2 1 2 . Ðåàêöèÿ ïðîèçâîäèòåëÿ íà äåéñòâèÿ êîíêóðåíòà (êðèâàÿ ðåàêöèè) îïðåäåëÿ- åòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (21) ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå îæèäàåìîãî âûïóñêà òî- âàðà êîíêóðåíòîì. Òåîðåìà 2 (î ôîðìå «èñïðàâëåííîãî» ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó â èãðå G 2 2( ) â óñëîâèÿõ äèôôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè). Ïóñòü ôóíêöèè y i iEq( ) ïðèíàäëå- æàò êëàññó êâàäðàòè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ Eq i , ïðè÷åì y i i i i i i iEq k Eq k Eq k( ) ( )( ) ( ) ( )= + + 1 2 2 3 , ãäå k i 1 0( ) > , k i 2 ( ) , k i 3 ( ) — íåêîòîðûå êîí- ñòàíòû. Òîãäà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé a c> , (22) b b1 2> , (23) k k b b 1 1 1 2 2 2 1 24 ( ) ( ) > , (24) k a c b b a c b k b k i j j2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) £ - - - - (25) íàáîð îæèäàåìûõ âûïóñêîâ òîâàðîâ ïðîèçâîäèòåëÿìè ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eq b k a c b k b a c b k k 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 4 = - - - - - k b b 1 2 1 2 2 2( ) - , (26) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) Eq b k a c b k b a c b k k 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 4 = - - - - - k b b 1 2 1 2 2 2( ) - (27) ÿâëÿåòñÿ «èñïðàâëåííûì» ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó â èãðå G 2 2( ) â óñëîâèÿõ äèô- ôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè. 132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 Äîêàçàòåëüñòâî. Ââèäó óñëîâèÿ òåîðåìû ôóíêöèÿ âûèãðûøà (20) ïðîèçâî- äèòåëÿ i èìååò âèä E Eq Eq aEq b k Eq k Eq k bi i j i i i i i ip ( , ) ( ( ) )( ) ( ) ( )= - + + -1 1 2 2 3 2Eq Eq cEqi j i- , Eq a b b b Eq a b b b Eqi j j£ - - ì í î ü ý þ min ; 1 2 1 2 1 2 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ E Eq Eqi i jp ( , ) ÿâëÿåòñÿ âîãíóòîé ïî ïåðåìåííîé Eq i . Ïîýòîìó îïòèìàëüíèé îáúåì îæèäàåìîãî âûïóñêà òîâàðà îäíèì èç ïðîèçâîäèòåëåé ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå îæèäàåìîãî âûïóñêà òîâàðà êîíêóðåíòîì íàõîäèì èç óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è. Çàäà÷à (21) ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèè âûèãðûøà èãðîêà i ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå îæèäàåìîãî âûïóñêà òîâàðà êîíêóðåíòîì ïðèíèìàåò âèä aEq b k Eq k Eq k b Eq Eq cEqi i i i i i i j i- + + - - ®1 1 2 2 3 2( ( ) )( ) ( ) ( ) max Eq Si iÎ . (28) Óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ çàäà÷è (28) ñëåäóþùèå: ¶ ¶ = ( ( , )) ( ) E Eq Eq Eq i i j i p 0 èëè ¶ - + + - -( ( ( ) )( ) ( ) ( )aEq b k Eq k Eq k b Eq Eq cEqi i i i i i i j1 1 2 2 3 2 i iEq ) ( )¶ = 0 . Èç óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè ïîëó÷àåì êðèâóþ ðåàêöèè äëÿ èãðîêà i B Eq a c b k b k b b k Eq E q i j i i i j j ( ) , ( ) ( ) ( ) = - - - 1 2 1 1 2 1 1 2 2 åñëè £ - - > - - ì í ï ï î ï ï a c b k b E a c b k b i i 1 2 2 1 2 2 0 ( ) ( ) , , .åñëè q j Ñîãëàñíî (18) íàáîð îæèäàåìûõ âûïóñêîâ òîâàðîâ ïðîèçâîäèòåëÿìè ÿâëÿåòñÿ «èñïðàâëåííûì» ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó â èãðå G 2 2( ) â óñëîâèÿõ äèôôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè, åñëè ( ) (( ) )* Eq B Eqi i j= . Ïîýòîìó ðàâíîâåñíûé íàáîð íàõîäèì èç ñèñòå- ìû óðàâíåíèé ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) * * Eq a c b k b k b b k Eq Eq 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 = - - - = - - - ì í ï ïï î ï ï ï a c b k b k b b k Eq 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) *( ) . Ïîëó÷àåì ðåøåíèå (26), (27), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ «èñïðàâëåííûì» ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó â èãðå G 2 2( ) â óñëîâèÿõ äèôôåðåíöèðîâàííîé äóîïîëèè. Óñëîâèÿ (22)–(25) òåîðåìû ãàðàíòèðóþò íåîòðèöàòåëüíîñòü ðàâíîâåñíûõ îáúåìîâ îæèäàåìûõ âûïóñêîâ è îáåñïå÷èâàþò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Eq a b b b Eq a b b b Eqi j j£ - - ì í î ü ý þ min ; 1 2 1 2 1 2 äëÿ E D q qi( ( ))- + ³1 1 2 0, i Î{ }1 2, . Òåîðåìà äîêàçàíà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 133 ÌÅÒÎÄ ÎÖÅÍÊÈ ÌÅÐÛ ÐÈÑÊÀ ÏÐÎÈÇÂÎÄÈÒÅËß Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà ñëó÷àéíûå âûïóñêè òîâàðîâ ïðîèçâîäèòåëÿìè íå ÿâ- ëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Â äàííîì ñëó÷àå ïðåäëîæåííûå ìåòîäû àíàëèçà êîíêó- ðåíöèè ïðåäïðèÿòèé â êîíöåïöèè ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó íå ïðèìåíÿþòñÿ. Ýòèì îáóñëîâëåíà íåîáõîäèìîñòü ðàçðàáîòêè èíîãî ïîäõîäà ê àíàëèçó âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîèçâîäèòåëåé ñî ñëó÷àéíûìè âûïóñêàìè òîâàðîâ â óñëîâèÿõ äèôôåðåíöèðîâàí- íîé äóîïîëèè. Äàëåå ïîêàæåì, ÷òî, èñïîëüçóÿ àïïàðàò óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé [6], ìîæíî ïîëó÷èòü çíà÷åíèå îæèäàåìîé ïðèáûëè ïðîèçâîäèòåëÿ, åñëè íå èìååòñÿ ïðåäïîëîæåíèé î íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âûïóñêîâ. Â òî æå âðåìÿ ïðè ïðèíÿòèè ïðîèçâîäèòåëÿìè ñòðàòåãè÷åñêèõ óïðàâëåí÷åñ- êèõ ðåøåíèé çíà÷åíèå îæèäàåìîé ïðèáûëè ìàëîèíôîðìàòèâíî. Áîëåå âàæíîé ÿâëÿåòñÿ îöåíêà ñòåïåíè ðèñêà. Â êà÷åñòâå îòíîñèòåëüíîé ìåðû ðèñêà ïðîèçâî- äèòåëÿ [7] áóäåì èñïîëüçîâàòü êîýôôèöèåíò âàðèàöèè (ñòåïåíü ðàññåèâàíèÿ ñëó- ÷àéíîé âåëè÷èíû îòíîñèòåëüíî îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ), êîòîðûé ïîçâîëÿåò îáåñ- ïå÷èòü ñîïîñòàâèìîñòü ðåçóëüòàòîâ ïðè ðàçëè÷íûõ âàðèàíòàõ ñòðàòåãèè ïîâåäå- íèÿ è ðàçðàáîòàòü îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ óïðàâëåíèÿ ðèñêîì. Ïóñòü âûïóñêè òîâàðîâ q1 è q2 ñîîòâåòñòâåííî ïåðâûì è âòîðûì ïðîèçâîäèòå- ëÿìè — ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè íà èíòåð- âàëàõ [ , ]a a1 2 è [ , ]b b1 2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî q1 è q2 íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, èçâåñòíà ïëîòíîñòü èõ ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ f x yq q( , ) ( , ) 1 2 . Îæèäàåìàÿ ïðèáûëü ïåðâîãî ïðîèçâîäèòåëÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî îáúåì q2 âûïóñêà òîâàðà âòîðûì ïðîèçâîäèòåëåì ñëó÷àéíûé, åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà E q a ñ E q q b E q q b E q q q( / ) ( ) ( / ) ( / ) ( / )p1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2= - - - , ãäå p1 — ïðèáûëü ïåðâîãî ïðåäïðèÿòèÿ, E ( / )× × — îïåðàòîð óñëîâíîãî ìàòå- ìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Îïðåäåëåíèå 3. Âåëè÷èíó V E q D E q E E q ( ( / )) [ ( / )] [ ( / )] p p p 1 2 1 2 1 2 = áóäåì íàçûâàòü ìåðîé ðèñêà ïåðâîãî ïðîèçâîäèòåëÿ ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèé â óñëîâèÿõ êîëè÷åñòâåííîé êîíêóðåíöèè, êîãäà íå èìååòñÿ ïðåäïîëîæåíèé î íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âûïóñêîâ. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå âûïóñêà òîâàðà âòîðûì ïðîèçâî- äèòåëåì q y2 = óñëîâíàÿ îæèäàåìàÿ ïðèáûëü ïåðâîãî ïðîèçâîäèòåëÿ ñîñòàâëÿåò E q y a c E q q y b E q q y b E q q( / ) ( ) ( / ) ( / ) ( /p1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2= = - = - = - q y2 = ) " Îy [ , ]b b1 2 . Èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó ïîëíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ [6], ïîëó÷àåì óñðåäíåííóþ îæèäàåìóþ ïðèáûëü ïåðâîãî ïðîèçâîäèòåëÿ E E q E q y f y dyq[ ( / )] ( / ) ( )p p b b 1 2 1 2 2 1 2 = =ò , ãäå f y f x y dxq q q2 1 2 1 2 ( ) ( , )( , )= ò a a , èëè E E q f y a c E q q y b E q q y bq[ ( / )] ( )[( ) ( / ) ( / )p1 2 1 2 1 1 2 22 = - = - = - 2 1 2 1 2 yE q q y dy( / )] ,=ò b b 134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 ãäå E q q y x f x y dx f x y dx q q q q ( / ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = = ò a a a a2 ò , E q q y x f x y dx f x y dx q q q q ( / ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 = = ò a a a1 2a ò , y Î[ , ]b b1 2 . Âûïîëíèâ íåêîòîðûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ óñðåäíåííîé îæèäàåìîé ïðèáûëè ïåðâîãî ïðîèçâîäèòåëÿ E E q a c b y x f x y dxdyq q[ ( / )] ( ) ( , )( , )p a a b b 1 2 2 1 2 1 2 1 2 = - - -òò b x f x y dxdyq q1 2 1 2 1 2 1 2 ( , )( , ) ab b a òò . (29) Çàìåòèì, ÷òî âû÷èñëèòü Ep1 ìîæíî òàêæå, íå èñïîëüçóÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè- ÷åñêîãî îæèäàíèÿ, íåïîñðåäñòâåííî íà îñíîâàíèè ñîîòíîøåíèé (1), (2), (4). Òåì íå ìåíåå, ïðèìåíåíèå àïïàðàòà óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïîçâîëÿåò íàéòè çíà÷åíèå D E q[ ( / )]p1 2 , à çíà÷èò, ïîëó÷èòü êîëè÷åñòâåííóþ îöåíêó ìåðû ðèñêà ïðîèçâîäèòåëÿ ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ñòðàòåãèè êîíêóðåíòà. Äåéñòâèòåëüíî, D E q E E q E E q[ ( / )] [( ( / )) ] ( [ ( / )])p p p1 2 1 2 2 1 2 2= - . (30) Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì óòâåðæäåíèÿì ïîëó÷àåì E E q E q y f y dyq[( ( / )) ] ( ( / )) ( )p p b b 1 2 2 1 2 2 2 1 2 = =ò " Îy [ , ]b b1 2 èëè E E q f y a c b y E q q y b E qq[( ( / ) )] ( )[( ) ( / ) ( /p1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 = - - = - q y dy2 2 1 2 = =ò )] b b = - - = +f y a c b y E q q y dy f y b E qq q2 22 2 1 2 2 1 2 1 ( )[( ) ( ( / )) ] ( )[ ( ( 2 2 2 1 2 1 2 / )) ]q y dy= -òò b b b b - - - = =ò f y b a c b y E q q y E q q y dyq2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2( )[ ( ) ( / ) ( / )] b b " Îy [ , ]b b1 2 . Âûïîëíèâ íåêîòîðûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì E E q[( ( / )) ]p1 2 2 = = - - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ò ( ) ( , ) ( ( , ) ( , ) a c b y x f x y dx f q q q q 2 2 2 1 2 1 2 1 2 a a x y dx dy b x f q q , ) ( , ) a a b b 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ò ò é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú + ( , ) ( , )( , ) x y dx f x y dxq q a a a a 1 2 1 2 1 2 2 ò ò æ è ç ç ö ø ÷ ÷ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú -ò dy b b 1 2 - - - ò 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 b a c b y x f x y dx x f x y dq q q q ( ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) a a x f x y dx dy q q a a a a b b 1 2 1 2 1 2 1 2 ò ò ò é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ( , ) ( , ) " Îy [ , ]b b1 2 . (31) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 135 Èç (29) ñëåäóåò ( [ ( / )]) ( ) ( , )( , )E E q a c b y x f x y dxdyq qp a a b b 1 2 2 2 1 2 1 2 1 = - - ò 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ò òò- æ è ç ç ö ø ÷ ÷ =b x f x y dxdyq q( , ) ( , ) a a b b = - - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ +òò( ) ( , )( , )a ñ b y x f x y dxdy bq q2 2 2 1 2 1 2 1 2 a a b b 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x f x y dxdyq q( , ) ( , ) a a b b òò æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - - - - ò2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 b a ñ b y x f x y dxdy x f x yq q q q( ) ( , ) ( ,( , ) ( , ) a a )dxdy a a b b b b 1 2 1 2 1 2 òòò " Îy [ ]b , b21 . (32) Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (29)–(32) è îïðåäåëåíèå 3, ìîæíî âû÷èñ- ëèòü çíà÷åíèå ìåðû ðèñêà ïåðâîãî ïðîèçâîäèòåëÿ (â íàñòîÿùåé ñòàòüå ôîðìóëà äëÿ V E q( ( / ))p1 2 íå ïðèâåäåíà). Îïèñàííûé ìåòîä ïîèñêà îòíîñèòåëüíîé ìåðû ðèñêà ïðèìåíÿåòñÿ òàêæå è äëÿ âòîðîãî ïðîèçâîäèòåëÿ. Ïðåäëîæåííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò â ñëó÷àå, êîãäà íå èìååòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ î íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âûïóñêîâ, ïîëó÷èòü çíà÷å- íèå îæèäàåìîé ïðèáûëè ïðîèçâîäèòåëÿ è îöåíèòü ìåðó åãî ðèñêà ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ñòðàòåãèè êîíêóðåíòà, ÷òî î÷åíü âàæíî ïðè ïðèíÿòèè ñòðàòåãè÷åñêèõ óïðàâëåí÷åñêèõ ðåøåíèé. Ïîñòðîåííûå â ñòàòüå ìîäåëè êîëè÷åñòâåííîé êîíêóðåíöèè â óñëîâèÿõ äóî- ïîëèè äèôôåðåíöèðîâàííûõ òîâàðîâ, â êîòîðûõ îáúåì èõ âûïóñêà ñ÷èòàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè ìîäåëÿìè äóîïîëèè áîëåå àäàïòèðîâàíû ê ðåàëüíûì ðûíêàì. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. C o u r n o t A . Researches into the mathematical principles of the theory of wealth. English edition of Cournot (1838) translated by N.T. Bacon. — New York: A.M. Kelley, 1971. — 213 p. 2. N a s h J . Equilibrium points in n-person games // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1950. — 36. — P. 48–49. 3. Ô î í Í å é ì à í Ä æ . , Ì î ð ã å í ø ò å ð í Ý . Òåîðèÿ èãð è ýêîíîìè÷åñêîå ïîâåäåíèå. — Ì.: Íàóêà, 1970. – 708 ñ. 4. S i n g h N . , V i v e s X . Price and quantity competition in a differentiated duopoly // RAND J. Economics. — 1984. — 15, N 4. — P. 546–554. 5. Ã î ð á à ÷ ó ê Â . Ì . Ðàâíîâåñèÿ Êóðíî–Íýøà è Áåðòðàíà–Íýøà äëÿ ãåòåðîãåííîé äóîïîëèè äèôôå- ðåíöèðîâàííûõ ïðîäóêòîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 1. — Ñ. 29–37. 6. Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Ýëåìåíòû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Êèåâ: Âèùà øê., 1975. — 296 ñ. 7. K o s a r e v y c h K . V . , A l i y e v S . A . , Y e l e y k o Y a . I . Method of assessment of producers risks in one model of quantitative market competition // Caspian Journal of Applied Mathematics, Ecology and Economics. — 2014. — 2, N 2. — P.15–21. Ïîñòóïèëà 07.04.2015 136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4

Теоретико-игровые модели конкуренции производителей со случайными выпусками в условиях дуополии дифференцированных товаров

Institution

Ähnliche Einträge