Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати

Наведено алгоритми, що дозволяють одночасно знаходити як стабілізуючий, так і антистабілізуючий розв’язки дискретного алгебраїчного рівняння Ріккаті. Ці алгоритми пов'язані з розглядом матричних пучків, які можна поставити у відповідність дискретному алгебраїчному рівнянню Ріккаті....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2006
Main Author:	Ларин, В.Б.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2006
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206929
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 5-16. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-206929
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2069292025-09-27T00:13:14Z Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати Алгоритми відшукання стабілізуючого і антистабілізуючого розв’язків дискретного алгебраїчного рівняння Ріккаті Algorithms of determination of both stabilizing and antistabilizing solutions of the discrete algebraic Riccati equation Ларин, В.Б. Проблемы динамики управляемых систем Наведено алгоритми, що дозволяють одночасно знаходити як стабілізуючий, так і антистабілізуючий розв’язки дискретного алгебраїчного рівняння Ріккаті. Ці алгоритми пов'язані з розглядом матричних пучків, які можна поставити у відповідність дискретному алгебраїчному рівнянню Ріккаті. The algorithms allowing to find simultaneously both stabilizing solution and antistabilizing solution of the discrete algebraic Riccati equation are considered. These algorithms are connected with consideration of the matrix pencil, which can be put in correspondence to discrete algebraic Riccati equation. 2006 Article Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 5-16. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206929 62-502 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Ларин, В.Б. Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати Проблемы управления и информатики
description	Наведено алгоритми, що дозволяють одночасно знаходити як стабілізуючий, так і антистабілізуючий розв’язки дискретного алгебраїчного рівняння Ріккаті. Ці алгоритми пов'язані з розглядом матричних пучків, які можна поставити у відповідність дискретному алгебраїчному рівнянню Ріккаті.
format	Article
author	Ларин, В.Б.
author_facet	Ларин, В.Б.
author_sort	Ларин, В.Б.
title	Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати
title_short	Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати
title_full	Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати
title_fullStr	Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати
title_full_unstemmed	Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати
title_sort	алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения риккати
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206929
citation_txt	Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 5-16. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT larinvb algoritmyotyskaniâstabiliziruûŝegoiantistabiliziruûŝegorešenijdiskretnogoalgebraičeskogouravneniârikkati AT larinvb algoritmivídšukannâstabílízuûčogoíantistabílízuûčogorozvâzkívdiskretnogoalgebraíčnogorívnânnâríkkatí AT larinvb algorithmsofdeterminationofbothstabilizingandantistabilizingsolutionsofthediscretealgebraicriccatiequation
first_indexed	2025-09-27T01:16:44Z
last_indexed	2025-09-28T01:13:11Z
_version_	1844468243589234688
fulltext	© В.Б. ЛАРИН, 2006 Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 62-502 В.Б. Ларин АЛГОРИТМЫ ОТЫСКАНИЯ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО И АНТИСТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО РЕШЕНИЙ ДИСКРЕТНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ Введение. Задачи оптимизации систем с дискретным временем продолжают привлекать внимание исследователей (см., например [1–7], где есть дальнейшие ссылки). Важное место в таких задачах занимают вопросы отыскания решения дискретного алгебраического уравнения Риккати (ДАУР). Цель данной статьи состоит в построении алгоритмов, при помощи которых можно одновременно находить как стабилизирующее, так и антистабилизирующее решения ДАУР, что позволяет, в частности, строить минимально-фазовую и максимально-фазовую факторизации функции Попова [8]. Эти алгоритмы связаны с рассмотрением мат- ричных пучков соответствующих ДАУР и базируются на результатах работ [9–13]. Отметим, что в статье не рассматриваются вопросы существования искомых решений ДАУР (некоторые из этих вопросов изучались в [8]). 1. Общие соотношения. Рассмотрим линейную квадратичную задачу [14]. Движение объекта описывается разностными уравнениями jjj BuAxx +=+1 ),,2,1( =j (1) где ,jx ju — фазовый вектор и вектор управляющих воздействий соответствен- но. Необходимо путем выбора закона цепи обратной связи )( jj xfu = минимизи- ровать квадратичный функционал , 2 1 1 T T j j j z RN NQ zJ   =         = ,         = j j j u x z (2) при условии асимптотической устойчивости замкнутой системы .)0itlim( = → j j x Оптимальный закон цепи обратной связи определяется соотношением ,)()( TT1T jj xNASBBSBRu ++−= − − − (3) где матрица −S представляет собой стабилизирующее решение ДАУР ,)()()( TT1TTTTT QNSABSBBRNSABSAAS ++++−= − (4) т.е. такое решение, при котором собственные значения матрицы )()( TT1T NASBBSBRBAAC ++−= − − −− (5) 6 ISSN 0572-2691 лежат внутри окружности единичного радиуса. Если матрица −CA обратима, то решение +S уравнения (4), при котором матрица )()( TT1T NASBBSBRBAAC ++−= + − ++ (6) имеет собственные значения, лежащие вне окружности единичного радиуса, бу- дем называть антистабилизирующим решением ДАУР (4). В общем случае, когда матрица −CA может быть сингулярной, антистабили- зирующее решение можно найти, используя матрицу ,+CA которая определяет связь между 1+jx и jx в возвратной замкнутой системе (см. п. 6) следующим образом: .1++= jCj xAx В связи с тем, что ,1 jCj xAx ++ = то в этом смысле можно интепретировать ра- венство 1− ++ = CC AA и в случае, когда −CA сингулярна. Так, антистабилизирую- щим решением ДАУР (4) будем называть решение, при котором собственные зна- чения матрицы +CA лежат внутри окружности единичного радиуса (далее будут приведены явные выражения для матрицы +CA в случаях, когда 0=N и когда 1−R существует). Другими словами, для определения матрицы +S условие обра- тимости матрицы −CA не принципиально. Oно обусловлено тем, что, как извест- но [14], собственные значения матриц −CA и +CA расположены симметрично относительно окружности единичного радиуса, т.е. если  — собственное значе- ние матрицы −CA , то /1 — собственное значение .+CA Поэтому в случае 0= более естественно определять антистабилизирующее решение в терминах матрицы .+CA В случае ,0=N предполагая обратимость матрицы ,QS −+ мож- но записать следующее выражение для матрицы, обратной (6): .)( T11 + − + − ++ −== SAQSAA CC (7) Действительно, согласно (4) ,T QSASA C −= +++ откуда следует (7). Отметим, что собственные значения матрицы +CA совпадают с собственными значениями матрицы .−CA Итак, вариационной задаче, определяемой (1), (2), соответствуют уравнения Эйлера ,1 jjj BuAxx +=+ ,1 T +++= jjjj ANuQx (8) ,01 TT =++ +jjj BuRxN в которых j — вектор множителей Лагранжа. Уравнениям (8) соответствует матричный пучок . 00 00 00 0 0 T T T             − −             −− B A I RN NIQ BA (9) Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 7 Здесь и далее I — единичная матрица соответствующего размера. Как и в [1], предполагая, что матрица BBRW T+= обратима, умножим слева пучок (9) на матрицу , 0 0 T 1T1 1T1             −− −− −− IB NWIBNW BWBBWI что приводит (9) к виду , 0 0 0 0 TTTT             − −             +       BB F WNAB M где , )( 0)( TT1 TT1         −+ +− = − − IQNABNW NABBWA M . T1TT1 T1T1         − − = −− −− BNWABNW BBWBBWI F (10) Согласно [15, 16], для построения искомого решения ДАУР вместо пучка (9) можно рассматривать пучок ,FM − (11) которому соответствует система разностных соотношений . 1 1          =          + + j j j j x M x F (12) Если существует ,1−R то ДАУР (4) можно записать так: .)( 1T HUSISS +−= − (13) Ему соответствует матричный пучок (11), в котором матрицы F, M имеют вид [9] , 0         −  = IH M . 0 T          − = UI F (14) ,T1NBRA −−= ,T1BBRU −−= .T1NNRQH −−= В этом случае справедливо следующее выражение для матрицы :+CA .)( T1 + − ++ −= SHSAC (15) Вернемся к задаче отыскания +S и .−S Искомые решения (4) определяются ин- вариантным подпространством пучка (11), т.е. выполняются соотношения (см., например [13]) ,− −−       =      S I F S I M (16) ,      =      + + + S I F S I M (17) собственные значения матриц − и + совпадают с собственными значениями матриц −CA и .+CA 8 ISSN 0572-2691 2. Метод удвоения интервала. Пусть получено соотношение, связывающее          j jx и ,          + + pj pjx а именно: .          =          + + j j pj pj x M x F (18) При 1=p это соотношение совпадает с (12). В этом случае из (16)–(18) следуют соотношения ,P S I F S I M − −−       =      (19) .      =      + + + S I F S I M p (20) Поскольку собственные значения матриц − и + лежат внутри окружности единичного радиуса, то ,0lim =− → p p .0)(lim =+ → p p Следовательно, если существуют ,lim MM p →  = ,lim FF p →  = то из (19), (20) следуют соотношения ,0=      −  S I M (21) ,0=      +  S I F (22) определяющие стабилизирующее )( −S и антистабилизирующее )( +S решения ДАУР (4). Таким образом, задача определения −+ SS , сводится к задаче построения матриц .,  FM Для достижения этой цели целесообразно использовать так называемый метод удвоения интервала [10]. Суть его заключается в разработке алгоритма, позволяющего строить по матрицам M, F, фигурирующим в (12), мат- рицы ,, FM фигурирующие в (18), для случая .2=p Эти матрицы обозначим ., 11 MF Далее, принимая матрицы 11, FM в качестве исходных, следует найти соответствующие матрицы для ,4=p которые обозначим ,, 22 MF и т.д. Таким образом, на k-м шаге этого процесса для матриц (18) получаем выражения, соот- ветствующие .2kp = Это дает возможность получить последовательность мат- риц, сходящуюся к ,,  LM которые, в свою очередь, определяют ., −+ SS 3. Построение матриц F1, M1. Начнем с общего случая. Пусть заданы мат- рицы M, F, фигурирующие в (12). Необходимо найти матрицы 1F и .1M Итак, есть система двух разностных уравнений , 1 1          =          + + j j j j x M x F . 1 1 2 2          =          + + + + j j j j x M x F (23) Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 9 Пусть существуют матрицы L и G такие, что .GFLM = (24) Умножая слева первое уравнение (23) на G и второе на L, получаем . 2 2          =          + + j j j j x GM x LF Таким образом, ,LFF = .GMM = (25) Отметим, что для отыскания матриц L, G можно использовать как аналитиче- ские выражения, так и численные алгоритмы. Как показано в [11], соотношение (24) соответствует выражению (22). Там же приведены различные аналитические выражения для матриц L, G, в частности выражение (24), согласно [11], имеет вид ,)( T1T MMMFMIL −+−= .)( 1T −+= MMFMG (26) Можно указать и численные алгоритмы отыскания матриц L и G. Отметим, что, согласно (24), матрица T][ GL служит ядром матрицы T       − F M и, следова- тельно, для определения матриц L, G можно использовать процедуру null.m паке- та MATLAB. В [17] матрицы L, G предлагается находить при помощи QR-разло- жения (процедура qr.m). Таким образом, используя соотношение (26) или описанные численные алго- ритмы определения матриц L, G, можно, согласно (25), найти матрицы ., 11 FM 4. Случай существования R−1. В этом случае матрицы M, F определяются выражениями (14). Для определения матриц 11, FM можно использовать соотно- шения, приведенные в [10–12, 14], которые связаны с построением решения периодического дискретного уравнения Риккати. Как частный случай этих со- отношений можно получить выражение для матриц ,,, 111 UH определяю- щих :, 11 FM , 0 1 1 1         −  = IH M , 0 T 1 1 1          − = UI F ,)( 1 1 −= −UHI ,)( T1 1 UHUIUU +−= − .)( 1T 1 −= − HHUIH Соответственно соотношения, определяющие ,, 22 FM имеют вид ,)( 1 1 1112 −= −HUI ,)( 1 T 1 1 11112 UUHIUU +−= − (27) 11 1 11 T 12 )( −= − HUHIH и т.д. Выражения (27) с точностью до обозначений совпадают с соотношениями алгоритма SDA-1 [13]. Как показано в [13], ,0lim = → k k поэтому матрицы ,M F имеют структуру 10 ISSN 0572-2691 , 00         − = IH M . 00         − = UI F Принимая во внимание выражения (21), (22), находим, что ,HS =− .)( 1− + = US (28) 5. Оценка точности полученных решений. Если матрица BSBR ++ T обра- тима, то точность антистабилизирующего решения ДАУР (4) можно оценить ве- личиной невязки, получающейся в результате подстановки +S в ДАУР (4). В слу- чае, если матрица BSBR ++ T сингулярна (не существует матрицы ,+CA опреде- ляемой (6)) невозможно непосредственной подстановкой матрицы +S в ДАУР (4) убедиться в том, что +S — решение этого ДАУР. Следовательно, в этом случае не представляется возможным оценить точность найденного антистабилизирую- щего решения ДАУР (4) как величину невязки, получающуюся в результате под- становки найденного значения +S в ДАУР (4). В данной ситуации следует ис- пользовать другие способы оценки точности, один из которых рассмотрим при- менительно к ДАУР (13). Суть его состоит в том, что антистабилизирующему решению ДАУР (матрице )+S ставится в соответствие стабилизирующее реше- ние некоторого другого ДАУР. Подробно рассмотрим эту процедуру для случая, когда в соотношениях (12) матрицы M и F определяются выражениями (14). Как показано в [13], ,     − =     − I Y FT I Y M ,)( T1+= −HYIT (29) где симметричная матрица Y — стабилизирующее решение ДАУР .)( T1 UHYIYY −+= − (30) Следовательно, собственные значения матрицы T лежат внутри окружности еди- ничного радиуса. Предполагая существование ,1−Y соотношения (29) можно за- писать в виде, аналогичном (17): ,1 1 1       − =      − − − − Y I FYTY Y I M откуда следует .1−+ −= YS (31) Соотношение (31) устанавливает связь между антистабилизирующим решением ДАУР (13) и стабилизирующим решением ДАУР (30). Это соотношение можно использовать, в частности, для оценки точности найденного антистабилизирую- щего решения ДАУР (13) в случае, когда матрица BSBR ++ T сингулярна. Так, приняв во внимание (30), (31), можно записать следующее соотношение, опреде- ляющее точность полученного антистабилизирующего решения ДАУР (13): ./))(( T1 ++ − + −−+= SSUSHIa (32) Аналогичным образом можно записать оценку точности найденного стабилизи- рующего решения ДАУР (13) ./)( 1T −− − −− −+−= SSHUSISs (33) В (32), (33)  обозначает матричную норму. Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 11 Таким образом, в случае существования 1−R соотношения (32), (33) позво- ляют контролировать точность полученных решений ДАУР (4). 6. Возвратное ДАУР. Отметим, что ряд соотношений ((15), (30) и др.) мо- гут быть интерпретированы в терминах возвратных систем и соответствующего возвратного ДАУР (ВДАУР). Кратко обсудим этот вопрос применительно к ДАУР (13). Итак, ДАУР (13) соответствует система .1 jjj Buxx +=+ (34) В [8] рассматривалась система, возвратная по отношению к (34), а именно: .1 1 1 jjj Buxx − + − −= (35) Применительно к системе (35) управляющее воздействие, согласно [5], определя- ется соотношением ,1+= jj xFu (36) в котором .)())(( 1TT11TT −−−−− −−+= SHBBSHBRF (37) В (37) матрица S удовлетворяет ДАУР +−−−+ −−−−− TT1T1T ()()( BRBSHSHS ,0)())( 1TT11 =−− −−−− SHBBSH (38) которое представляет собой ВДАУР по отношению к ДАУР (13). Отметим суще- ственное отличие алгоритмов цепи обратной связи (3) и (36). Так, в (3) управляю- щее воздействие ju — функция ,jx в то время как в (36) ju — функция .1+jx Покажем связь (38) и (30). Используя матричные тождества [18], запишем ВДАУР (38) в виде, где не фигурирует :1− .0))(( 1T1 =−−+ −− USHS (39) Обозначения в (39) соответствуют принятым в (13). Подстановка 1−−= YS (40) приводит ВДАУР (39) к виду (30), и таким образом устанавливается связь между ДАУР (30) и ВДАУР (38). Пусть возвратная система (35) охвачена обратной связью, определяемой (36). Эту замкнутую систему можно записать следующим образом: ,1+= jj xx ).(1 BFI −= − (41) В рассматриваемом случае существования 1−R выражение для (37), используя матричные тождества [18] и с учетом (39), можно записать так: .T1 SBRF −−= (42) Принимая во внимание (39) и (42), получаем .)( T1 SHS −= − (43) Если в (43) ,+= SS то  совпадает с матрицей ,+CA определяемой (15). 12 ISSN 0572-2691 Рассмотрим связь между матрицей  и матрицей T, фигурирующей в (29). На основании (40) .1TSS−= Таким образом, в случае существования 1− +S можно утверждать, что матри- цы  и +CA совпадают, а матрицы +CA и T подобны. Собственные значения этих матриц лежат внутри окружности единичного радиуса и, следовательно, как отмечено в [8], решение системы (41) при любых начальных условиях стремится к нулю при .−→j В заключение как на один из примеров использования ВДАУР укажем на предложенную ранее оценку точности решения .+S Так, оценка (30) — это, по сути, норма невязки, получающейся после подстановки в ВДАУР (39) найденного значения .+S 7. Примеры. Пример 1. Рассмотрим пример, изученный в [2, 4, 19–27]. Для матриц в (4) имеем следующие выражения: , 00 10       =A , 1 0       =B ,1=R , 42 21       =Q .0=N (44) В [21, 23, 25–27] утверждается, что в этом случае ДАУР имеет только два решения: , 522 21 1         + =S . 522 21 2         − =S (45) Но, как отмечено в [2, 19, 20, 22, 24], при исходных данных (44) кроме реше- ний (45) ДАУР имеет еще два решения , 10 052 3         − −=S , 10 052 4         + −=S (46) которые обращают в нуль .TSBBR + Причем решения как (45), так и (46) могут быть получены [19, 20, 24] при помощи алгоритма, связанного с преобразованием Кэли [1]. Кроме того, эти решения могут быть получены как предел )0( → ре- шений возмущенной задачи (подробнее см. в [19, 20, 24]), в которой . 0 10        =A (47) Приведем асимптотические разложения решений возмущенной задачи (матрица A определяется (47), остальные матрицы — (44)), пределом )0( → которых слу- жат решения (46) невозмущенной задачи [4]: , 52 9 2 5 7 3 4 3 5 7 3 4 3 0 )53( 4 )53( 2 1 2 1 5 3 1 2 33                       +−        +         + +               +  +− −        +− += SS . 2 52 9 5 7 3 4 3 5 7 3 4 3 0 )53( 4 )35( 2 1 )35( 2 1 1 5 3 2 44                       −−        −         − +             −  − −− += XX Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 13 При достаточно малом 0 для этих решений .0T + SBBR Поэтому их можно подставить в ДАУР (4) и убедиться, что величина невязки имеет порядок .3 Отметим, что, как показано в [19, 20, 24], матрица 4S — это антистабилизи- рующее решение ДАУР, соответствующего возмущенной задаче. Очевидно, что 1S и 4S — точные значения матриц −S и +S (их подстановка в (32), (33) дает нулевые значения )., sa  Им, согласно (5), (7), соответствуют следующие матрицы −CA и :+CA , )53/(20 10       +− =−CA . 01 0)53/(2         +− =+CA Отметим, что матрицы −CA и +CA сингулярны и имеют одинаковые собствен- ные значения, лежащие внутри окружности единичного радиуса. Это еще раз сви- детельствует о том, что матрица 4S представляет собой антистабилизирующее решение ДАУР. Найдем матрицы −S и ,+S используя описанные выше алгоритмы. Алго- ритм, определяемый соотношениями (21), (22), (25), в которых матрицы L и G находятся при помощи процедуры null.m пакета MATLAB, будем называть алго- ритмом 1. Алгоритм, который определяется соотношением (28), будем называть алгоритмом 2. В данном примере использование алгоритма 1 дало следующие результаты: ,101,4/ 16 1 − −− =− SSS ,102,2/ 16 4 − ++ =− SSS ,109,5 17−=a .104,3 16−=s Применяя в этом примере алгоритм 2, находим ,107,1/ 16 1 − −− =− SSS ,101,2/ 16 4 − ++ =− SSS ,102,5 17−=a .107,1 16−= s Здесь величины a и s определяются согласно (32), (33). Пример 2 (пример 15 из [21]). Исходные данные следующие: , 00 1 0 100 0010               =      A , 1 0 0             =  B ,1=R ,IQ = ,0=N размерность матрицы A — ,nn остальные матрицы имеют соответствующую размерность. Известно, что точное значение  −S стабилизирующего решения ДАУР (4) при этих исходных данных следующее: .},,2,1{diag nS = − 14 ISSN 0572-2691 При численном определении −S и +S принимаем .10=n Используя алгоритм 1, находим ,107,4 16−=a .101,3 15−=s Применяя алгоритм 2, получаем ,0== sa ,−− = SS }.1,,9,10diag{ −=+S Таким образом, использование алгоритма 2 позволило найти точные значе- ния ., +− SS Отметим, что и в этом примере матрица BSBR ++ T сингулярна. Пример 3 [28]. Исходные данные следующие: , 01 12       − =A , 0 1       =B ,0=R , 10 00       =Q .0=N Известно, что при этих исходных данных ДАУР (4) имеет стабилизирующее ре- шение .IS =− Ему соответствует матрица . 01 00       =−CA Численное решение этого примера с использованием алгоритма 1, в котором мат- рицы M, F определяются по (10), позволяет получить следующие значения реше- ний ДАУР (4): ,IS =− . 00 00       =+S Найденное значение +S представляет собой антистабилизирующее решение, так как удовлетворяет соотношению (17), в котором . 00 10       =+ Однако для оценки точности найденного значения +S нельзя использовать оценку (32), поскольку .0=R Кроме того, для вычисления +CA нельзя использовать выражения (7), (15), так как в этом примере матрицы R и QS −+ сингулярны. Для вычисления +CA целесообразно использовать соотношения из п. 6, принимая во внимание, что .=+CA Отметим, что найденное значение +S удовлетворяет ВДАУР (38) и ему, согласно (37), (41), соответствуют следующие значения матриц +CA и F: , 00 10       ==+CA .]21[=F Как и следовало ожидать, собственные значения матриц +CA и −CA совпадают. Отметим, что найденные значения для матриц F и +CA можно получить при помощи асимптотического разложения антистабилизирующего решения возму- щенной задачи. В связи с этим рассмотрим следующую возмущенную задачу. Предположим, что в исходных данных этого примера ,0=R где  — малая величина. Значения остальных матриц оставим без изменений. Нетрудно прове- рить, что асимптотическое разложение +S (при подстановке его в (4) невязка имеет порядок ) рассматриваемой возмущенной задачи имеет вид . 04 41 52 21 2       − − +      − − =+S Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 15 Подставив это значение в (42) и выполнив предельный переход ),0( → получаем .]21[=F Далее, согласно (41), находим полученные ранее значения .+= CA Приведен- ное асимптотическое разложение +S возмущенной задачи дает возможность найти и матрицу ,+CA используя соотношение (7), так как матрица QS −+ обра- тима при .0 Действительно, подставив +S в (7) и выполнив предельный пере- ход ),0( → получаем уже найденное значение для .+CA В.Б. Ларін АЛГОРИТМИ ВІДШУКАННЯ СТАБІЛІЗУЮЧОГО І АНТИСТАБІЛІЗУЮЧОГО РОЗВ’ЯЗКІВ ДИСКРЕТНОГО АЛГЕБРАЇЧНОГО РІВНЯННЯ РІККАТІ Наведено алгоритми, що дозволяють одночасно знаходити як стабілізуючий, так і антистабілізуючий розв’язки дискретного алгебраїчного рівняння Ріккаті. Ці алгоритми пов'язані з розглядом матричних пучків, які можна поставити у відповідність дискретному алгебраїчному рівнянню Ріккаті. V.B. Larin ALGORITHMS OF DETERMINATION OF BOTH STABILIZING AND ANTISTABILIZING SOLUTIONS OF THE DISCRETE ALGEBRAIC RICCATI EQUATION The algorithms allowing to find simultaneously both stabilizing solution and antista- bilizing solution of the discrete algebraic Riccati equation are considered. These al- gorithms are connected with consideration of the matrix pencil, which can be put in correspondence to discrete algebraic Riccati equation. 1. Kondo R., Furuta K. On the bilinear transformation of Riccati equations // IEEE Trans. Automatic Control. — 1986. — AC-31, N 1. — P. 50–54. 2. Larin V.B. Comments on «The set of positive semidefinite solution of the algebraic Riccati equa- tion of discrete-time optimal control» // Appl. and Comp. Math. — 2005. — 4, N 1. — P. 84–85. 3. Larin V.B. On reliable stabilization of linear periodic systems // Int. Appl. Mech. — 2005. — 41, N 10. — Р. 1182–1192. 4. Larin V.B. Special cases in a control problem // Ibid. — 2006. — 42, N 2. — Р. 221–227. 5. Kuntzevich V.M., Lychak M. Guaranteed estimates, adaptation and robustness in control systems. — Berlin : Springer-Verlag, 1992. — 209 p. 6. Larin V.B. On the inverse optimization problem for periodic systems // Int. Appl. Mech. — 2005. — 41, N 12. –— Р. 1413–1417. 7. Larin V.B. On static output-feedback stabilization of a periodic systems // Ibid. — 2006. — 42, N 3. — Р. 357–363. 8. Oara C. Stabilizing solution to the reverse discrete-time Riccati equation : A matrix-pencil-based approach // Linear Algebra and its Applications. — 1996. — 246. — P. 113–130. 9. Бордюг Б.А., Ларин В.Б. Алгоритм решения уравнений Риккати, возникающих в задачах H-оптимизации // Автоматика. — 1991. — № 3. — С. 42–49. 10. Ларин В.Б. Оптимизация периодических систем // ДАН СССР. — 1978. — 239, № 1. — С. 67–70. 16 ISSN 0572-2691 11. Ларин В.Б. Оптимизация периодических систем с вырожденной весовой матрицей, которая определяет квадратичную форму управляющих воздействий // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 2. — С. 33–46. 12. Larin V.B. Optimization of periodic systems // J. Appl. Math. Mech. — 1980. — 44, N 8. — P. 727–732. 13. Lin W.W., Xu S.F. Convergence analysis of structure-preserving doubling algorithms for Riccati- type matrix equations // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2006. — 38, N 1. — P. 26–39. 14. Aliev F.A., Larin V.B. Optimization of linear control systems: analytical methods and computa- tional algorithms. — Amsterdam : Gordon and Breach Science Publishers, 1998. — 261 p. 15. Emami-Naeini A., Franklin G.F. Comments on «On the numerical solution of the discrete-time algebraic Riccati equation» // IEEE Trans. Automatic Control. — 1980. — 25, N 5. — P. 1015–1016. 16. Emami-Naeini A., Franklin G.F. Deadbeat control and tracking of discrete-time systems // Ibid. — 1982. — 27, N 2. — P. 631–641. 17. Chu T.K.-W., Fan H.-Y., Lin W.-W., Wang C.S. Structure-preserving algorithms for periodic dis- crete-time algebraic Riccati equation // Int. J. Control. — 2004. — 77, N 8. — P. 767–788. 18. Aoki M. Optimization of stochastic systems. Topics in discrete- time systems. — New York; London : Academic Press, 1967. — 424 p. 19. Ларин В.Б. О стабилизирующих и антистабилизирующих решениях алгебраического урав- нения Риккати // Проблемы управления и информатики. — 1996. — № 1–2. — С. 109–119. 20. Ларин В.Б. О существовании антистабилизирующего решения дискретного алгебраическо- го уравнения Риккати // Там же. — 2001. — № 6. — С. 29–36. 21. Benner P., Laub A., Mehrmann V. A collection of benchmark examples for the numerical solution of algebraic Riccali equations II : Discrete-time cas. // Tech. Report SPC 95.23, Fak. f. Mathe- matik, TU Chemnitz-Zwickau, 09107 Chemnitz, FRG. — 1995. — 28 p. 22. Brauldi R.A. From the Editor-in-Chief // Linear Algebra and its Application. — 1998. — 280. — P. 335–336. 23. Jonckheere E. On the existance of a negative semidefinite antistabilizing solution to the discrete- time algebraic Riccati equation // IEEE Trans. Automatic Control — 1981. — AC-26, N 3. — P. 707–712. 24. Larin V.B. About the antistabilizing solution of the DARE // Appl. and Comp. Math. — 2002. — 1, N 1. — P. 21–29. 25. Mehrmann V. A step toward a unified treatment of continuous and discrete time control prob- lem // Linear Algebra and its Applications. — 1996. — 241–243. — P. 749–779. 26. Wimmer H.K. On the existensce of a least and negative-semidefinite solution of the discrete-time algebraic Riccati equation // J. of Math. Syst. Estimation and Control. — 1995. — 5, N 4. — P. 445–457. 27. Wimmer H.K. The set of positive semidefinite solutions of the algebraic Riccati equation of dis- crete-time optimal control // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1996. — 41, N 5. — P. 660–670. 28. Van Dooren P. A generalized eigenvalue approach for solving Riccati equation // Numerical Analysis Project NA 80-02, Stanford University, July. — 1980. — 37 p. Получено 27.09.2006

Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискретного алгебраического уравнения Риккати

Institution

Similar Items