Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц

Розглянуто сімейства матриць, які залежать від параметрів, що змінюються, та мають особливості власних значень невисокої корозмірності. Ці дослідження призначені для побудови структурно стійких («грубих») алгоритмів приведення матриць загального вигляду до спеціального спрощеного вигляду, зручного...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Набивач, В.Е.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2007
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207135
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц / В.Е. Набивач // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 14-25. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207135
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2071352025-09-30T00:17:43Z Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц Задача структурно стійкої параметризації сімейств Сільвестрових матриць The problem of structurally stable parametrization of Silvester matrixes families Набивач, В.Е. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто сімейства матриць, які залежать від параметрів, що змінюються, та мають особливості власних значень невисокої корозмірності. Ці дослідження призначені для побудови структурно стійких («грубих») алгоритмів приведення матриць загального вигляду до спеціального спрощеного вигляду, зручного для чисельної реалізації дослідження систем великої розмірності, асоційованих з коливальними системами. The families of matrixes depending on variable parameters and containing eіgenvalues features of low codemenensionality are considered. The aime of these investigations is construction of structurally stable («rough») algorithms of reducing a general form to special form convenient for numerical realization of study of large dimensional systems, associated with oscillatory systems. 2007 Article Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц / В.Е. Набивач // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 14-25. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207135 681.5:519.6 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Набивач, В.Е. Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто сімейства матриць, які залежать від параметрів, що змінюються, та мають особливості власних значень невисокої корозмірності. Ці дослідження призначені для побудови структурно стійких («грубих») алгоритмів приведення матриць загального вигляду до спеціального спрощеного вигляду, зручного для чисельної реалізації дослідження систем великої розмірності, асоційованих з коливальними системами.
format	Article
author	Набивач, В.Е.
author_facet	Набивач, В.Е.
author_sort	Набивач, В.Е.
title	Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц
title_short	Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц
title_full	Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц
title_fullStr	Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц
title_full_unstemmed	Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц
title_sort	задача структурно устойчивой параметризации семейств сильвестровых матриц
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207135
citation_txt	Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц / В.Е. Набивач // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 14-25. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT nabivačve zadačastrukturnoustojčivojparametrizaciisemejstvsilʹvestrovyhmatric AT nabivačve zadačastrukturnostíjkoíparametrizacíísímejstvsílʹvestrovihmatricʹ AT nabivačve theproblemofstructurallystableparametrizationofsilvestermatrixesfamilies
first_indexed	2025-09-30T01:29:56Z
last_indexed	2025-10-01T01:27:52Z
_version_	1844740958195810304
fulltext	© В.Е. НАБИВАЧ, 2007 14 ISSN 0572-2691 УДК 681.5:519.6 В.Е. Набивач ЗАДАЧА СТРУКТУРНО УСТОЙЧИВОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ СЕМЕЙСТВ СИЛЬВЕСТРОВЫХ МАТРИЦ Введение Понятие версальной деформации математических объектов (матриц, функ- ций, векторных полей и др.) введено в работах [1–4]. Интерес к построению вер- сальных моделей обусловлен тем, что исследование разнообразных задач управ- ления в пространстве варьируемых параметров версальной деформации имеет весьма большую общность и универсальность. Деформация матрицы 0A — это росток семейства матриц А в окрестности некоторой точки пространства параметров, принятой за окрестность начала коор- динат и обозначенной как «0» [1]. Деформация X матрицы 0A называется вер- сальной, если любая деформация A матрицы 0A эквивалентна деформации X, индуцированной из .0A Версальные деформации целесообразно использовать при построении кано- нических форм исследовательских математических моделей объектов управле- ния [5], в частности при построении устойчивых в пространстве варьируемых пара- метров нормальных форм, изучении особенностей декремент-диаграмм [4, 6, 7]. Таким образом, возникает задача о нормальной форме матриц, зависящих от па- раметров [1–16]. Если индивидуальная матрица известна лишь приближенно, то при кратных собственных числах задача приведения ее к нормальной жордановой форме структурно неустойчива. Если рассматривать не отдельную матрицу, а семейство матриц, зависящих от параметров, то в этом семействе кратные собственные чис- ла могут существовать структурно устойчиво. В этом случае, хотя приведение к нормальной жордановой форме каждой индивидуальной матрицы семейства воз- можно, однако и эта нормальная форма, и приводящее к ней преобразование, во- обще говоря, разрывно зависят от параметров. Преобразование подобия матриц разбивает все пространство матриц на многообразия (орбиты группы преобразо- ваний подобия) следующим образом: две матрицы принадлежат одной орбите, ес- ли у них совпадают собственные числа и размеры жордановых клеток [3, 4]. Среди всех семейств матриц можно выделить такие, приведение к которым осуществляется гладко зависящей от параметров заменой базиса. Именно этот случай рассматривается в данной работе. 1. Постановка задачи Цель настоящих исследований — применение алгебро-топологического под- хода к исследованию моделей динамических систем с варьируемыми парамет- рами для построения структурно устойчивой канонической формы (версальной деформации), необходимой для исследования однопараметрических семейств матриц. Результаты этих исследований будут использованы для изучения динамичес- ких свойств линейных динамических систем с варьируемыми параметрами, изу- чения возможных особенностей моделей систем и синтеза «грубых» (структурно устойчивых, робастных) как моделей систем, так и непосредственно систем управления. Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 15 В этой работе методология построения версальных моделей, предложенная в [3], применяется для построения версальной модели для структурно устойчивой параметризации семейств сильвестровых матриц четвертого порядка. Бифуркационной диаграммой семейства матриц обычно называют разбиение пространства параметров по жордановым типам матриц [4]. При этом разбиении (стратификации) объединяются матрицы с одинаковыми размерами жордановых клеток, которые различаются только величиной собственных чисел. В однопараметрическом семействе матриц общего вида структурно устойчи- во встречаются матрицы с простыми собственными числами, а при отдельных, изолированных значениях параметра, — матрицы с одной жордановой клеткой второго порядка. Если в семействе имеются матрицы более сложной жордановой структуры, то от них можно избавиться малым шевелением параметров семейства. Поэтому рассматриваемый случай имеет достаточную общность в пространстве парамет- ров семейств матриц, ассоциированных с колебательными системами. В теории динамических систем часто приходится рассматривать не индиви- дуальные объекты, задающие систему, а некоторое семейство таких объектов. По- этому когда изучаемый объект зависит от параметров, будем говорить, что задан не индивидуальный объект, а семейство объектов (семейство систем) ,)( xAx = ,lR где lR — пространство варьируемых параметров. Объект управления, находящийся под действием управляющих воздействий, — это также деформация модели исходного объекта в пространстве варьируемых параметров, которую можно записать в виде ),()( 0 += XAA где 0A — заданный объект управления; )(X — деформация исходного объекта управления. Среди возможных деформаций исходного объекта управления отметим его версальную деформацию. То свойство версальной деформации, что в нее можно отобразить любую деформацию исходного объекта, связанную с изучением се- мейства систем фиксированной размерности [1], важно для приложений. В нашем случае приведения семейств матриц ставим требование, чтобы не- прерывным изменениям параметров исходной модели объекта управления соот- ветствовали непрерывные изменения параметров приведенной модели. Тогда приведенная модель сохраняет физический смысл подсистем исходной модели, что существенно для решения прикладных задач [17]. Возможны различные критерии выбора структуры версальных моделей: например, для матриц можно строить версальные деформации с минимальным количеством параметров, максимальным количеством нулевых элементов матри- цы в виде блочно-треугольных или блочно-диагональных матриц, с минимально допустимыми размерами блоков и т.д. [3, 9]. 1.1. Математическая постановка задачи в общем виде. Пусть задана мат- рица объекта управления размером ,nn аналитически зависящая от вектора параметров ,lR которую можно записать в виде ),()(ˆ += BAA причем матрица )(B такая, что ,0)0( =B .)0(ˆ AA = Будем искать приведенную матрицу )()( ~ += XAA как версальную дефор- мацию матрицы A относительно группы преобразований подобия ),(nGL полу- 16 ISSN 0572-2691 ченную по критериям версальности [5, 12], т.е. матрицу деформации )(X разме- ром ,nn линейно зависящую от параметров версальной деформации .PR По критериям версальности нужно определить такую версальную деформа- цию, чтобы получить представление исходной матрицы в виде ),()))((()()( 1 +=+ − TXATBA (1) где )()(,)0( nGLTET n = — приводящее преобразование подобия, A — матри- ца канонического представителя, в окрестности которого решается задача пара- метризации; )(B — матрица параметрических возмущений окрестности канони- ческого представителя; ))(( X — версальная деформация. Ставится задача построения системы параметров и методов вычисления их значений — параметров приводящего преобразования подобия ),(T а также па- раметров матрицы версальной деформации ))(( X — по известной матрице параметрических возмущений ).(B Если B — численно заданная матрица, то будем говорить о численных алго- ритмах определения значений параметров матриц T и X. Если элементы матриц T и X определяются как функции параметров , то можно говорить о численно-ана- литических алгоритмах определения значений параметров версальной деформа- ции матрицы системы. Исходя из того, что семейства матриц с фиксированными спектром корней и жордановой структурой — это орбиты матриц относительно действия группы преобразований подобия, задача параметризации версальной деформации сводит- ся к отысканию решения матричного уравнения )())()(()( 0 1 0 +=+ − TXATBA (2) относительно параметров матриц )(T и ),(X где )(X будем искать как блоч- но-диагональную матрицу с минимально возможными размерами блоков для сильвестровых матриц — блоков второго порядка; матрица параметрических воз- мущений )(B — матрица произвольного вида. Матрицу приводящего преобразования подобия T найдем в виде ,TET += ),(nAGLT  (3) где T — произвольная (nn)-матрица. Матрицы T задают локальную пара- метризацию группы GL(n) в окрестности единицы. Эти матрицы представляют собой элементы алгебры Ли )(nAGL всех (nn)-матриц. Элементы матрицы T будем называть групповыми параметрами. Используя представление (3) матрицы T, запишем уравнение (2) в виде .BTXTBXTATA =+−+− (4) Таким образом, задача отыскания групповых параметров и параметров вер- сальной деформации сводится к решению квадратичного матричного уравне- ния (4). При построении решения, соответствующего универсальной модели, на не- го налагается, кроме требования единственности, дополнительное условие — размерность многообразия решения X должна быть минимально допустимой, Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 17 а размерность многообразия решения T (инвариантное многообразие относи- тельно большинства свойств линейных динамических систем управления), наобо- рот, максимально допустимой. Рассмотрим эти требования более подробно. Согласно теореме о неявной функции [13], уравнение (4) имеет решение в том случае, когда имеет решение соответствующее линеаризованное уравнение .B̂XTATA =+− (5) Линеаризация означает переход от нелинейных отображений к линейным отображениям касательных пространств. Соотношение (5) выражает условие вер- сальности деформации XA+ матрицы A. Будем рассматривать случаи, когда уравнение (5) имеет решение при любой матрице .B̂ Для этого необходимо найти централизатор матрицы A (централизатор — это подмножество кольца, группы или полугруппы R, состоящее из элементов, перестановочных (коммутирующих) со всеми элементами из некоторого множества RS  [18]). Централизатор матрицы A обозначим :)(ACGL .)(dim},0{)( pACTATATAC GLGL ==−= (6) Алгоритм определения централизатора матрицы A состоит в отыскании мно- жества линейно независимых матриц ,...,,1 pTT  которые удовлетворяют усло- вию (6), т.е. не изменяют окрестность матрицы приведения. Размерность централизатора матрицы A равна коразмерности орбиты, инду- цированной действием группы преобразований подобия [1]. Размерность орбиты группы преобразований подобия .2 pnl −= Подпространство )},({ iAA TTGm = порожденное действием группы преоб- разований G на канонический представитель A, определяется множеством матриц ,iT ,,1 li = для которых в касательном подпространстве действия группы вы- полняется соотношение 0)( −= iiiA TAATTT при ненулевых значениях па- раметров группы преобразований подобия. В качестве матриц версальной деформации Х, которая должна удовлетворять условиям ,dim, 2 plnTTX =−== ⊥⊥ выбираем матрицы ортогонального до- полнения к подпространству централизатора. Тогда в пространстве матриц ),(A параметризуемом локальным действием группы преобразований подобия и такого трансверсального дополнения Х к ней, что ,dimdim 2nXGmA =+ получаем единственное решение уравнения (4) и соответственно (n 2 – l)-мерную версаль- ную деформацию. Алгоритм построения (n 2 – l)-мерной версальной деформации на языке ал- гебраических уравнений описан в [3]. Матрицы T будем искать в виде разложения по базису подпространства ),( iA TT  ортогонального или трансверсального (более слабое условие общего положения) к централизатору ),(ACGL  = = m i ii TT 1 , ,2 pnm −= (7) где }{ iT — базисные матрицы. 18 ISSN 0572-2691 Размерность подпространства, параметризуемого действием группы преобра- зований подобия ,AGm равна размерности орбиты группы преобразования подо- бия, т.е. размерности касательного пространства ATGm орбиты действия группы в точке A: ).(/)(dimdim ACnGLTGm GLA = Матрицу )(X найдем в виде разложения по базису подпространства, орто- гонального к орбите, , 1  = = p k kk XX (8) где Ak NX =}{ — базис нормали к касательному пространству .ATGm Матрицы нормали к орбите группы преобразований должны удовлетворять условию ,0)(, = iA TTX ....,,1 mi = (9) Размерности орбиты группы преобразований и нормали к ней связаны соот- ношением .dimdim 2 mpnNGm AA +==+ (10) Таким образом, получаем разложение пространства квадратных матриц в окрестности матрицы A в прямую сумму двух ортогональных подпространств . 2 AA n NTGmR += (11) На полученном отображении существует единственное решение уравнения (5) при любой матрице ,B̂ удовлетворяющее требованию минимальной размерности подпространства версальной деформации X. На основании теоремы о неявной функции этот вывод распространяется на исходное квадратичное уравнение (2) в некоторой окрестности матрицы параметрических возмущений .B̂ Размеры этой окрестности определяются областью существования диффеоморфизма, определя- емого разложением (11) и уравнением (4): . 2n AA RNTGm → Подставляя разложения (7), (8) в уравнение (5), получаем линеаризированное матричное уравнение для определения групповых параметров и параметров уни- версальной деформации   = = =+− m i p k kkiii BXTAAT 1 1 .ˆ)( (12) Обычно решение исходного нелинейного уравнения (3) строится итерацион- ным методом. Поэтому нелинейные слагаемые будем относить к правой части и включать в матрицу параметрических возмущений .B̂ Иначе говоря, рассматри- ваемые в дальнейшем алгоритмы относятся к уравнению .ˆ TXTBBBXTATA −+=+− (13) Фактическое построение базисов подпространства }{ iA TGm = и },{ kA XN = необходимых для решения уравнения (13), существенно зависит от структуры Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 19 матрицы A. Поэтому далее будут рассмотрены некоторые варианты отыскания ба- зисных матриц для случаев, представляющих наибольший практический интерес при исследовании колебательных систем. После перехода к разложениям (7), (8) в матричном квадратичном уравнении (13) оказывается возможным применение известных методов решения квадратичных матричных уравнений. Один из вариантов построения универсальной деформации, имеющий важное практическое применение, — случай, когда матрица A — сильвестрова, т.е. каж- дому собственному числу матрицы 2nCA соответствует одна клетка Жордана (т.е. A — матрицa простой структуры, имеющая в комплексном пространстве 2nC диагональную форму и различные собственные числа). 2. Вычисление параметров миниверсальной модели подсистемы четвертого порядка Пусть )(ˆ 0 += BAA — исходная матрица системы четвертого порядка с по- стоянной сильвестровой матрицей, заданной в области вещественных чисел 0A и имеющей различные собственные числа, а )(B — матрица, аналитически зави- сящая от параметров ,lR ,16l и такая, что .0)0( =B Матричное уравнение для определения централизатора )( 0ACGL в окрестно- сти матрицы 0A имеет вид .000 =− TATA (14) Поскольку матрица 0A имеет разные собственные значения, можно найти общее решение этого уравнения, которое в окрестности сильвестровых мат- риц должно представлять собой четырехпараметрическое семейство матриц .4RTSt  Базис для централизатора )( 0ACGL в окрестности матрицы 0A определяем в соответствии с (14) при каноническом представителе вида               = 4443 2221 0 00 1000 00 0010 aa aa A . (15) Тогда соотношение (14) принимает вид .0 00 1000 00 0010 00 1000 00 0010 44434241 34333231 24232221 14131211 4443 2221 4443 2221 44434241 34333231 24232221 14131211 00 =                             −                             = =− tttt tttt tttt tttt aa aa aa aa tttt tttt tttt tttt TATA На основании этого уравнения можно показать, что последнее соотношение выполняется при любых значениях параметров .,,, 44432221 tttt Эти элементы определяют множество матриц базиса },,,{)( 43210 TTTTACGL = 20 ISSN 0572-2691 централизатора группы преобразований подобия. Такие матрицы не могут пара- метризировать деформации, принадлежащие орбите группы преобразований по- добия в окрестности сильвестровых матриц. Таким образом, множество матриц iT ,4,1=i структуры                                                             = 1000 0000 0000 0000 , 0100 0000 0000 0000 , 0000 0000 0010 0000 , 0000 0000 0001 0000 )( 0ACGL определяет базис централизатора )( 0ACGL в окрестности матрицы .0A В этом случае в соответствии с (6) централизатор )( 0ACGL группы преобра- зований подобия в окрестности матрицы 0A имеет вид , 00 0000 00 0000 43 21 4 1             ==  = tt tt iTitT i St (16) который в параметрах группы преобразований будем обозначать следующим об- разом: . 100 0100 001 0001 4443 2221 4             + + =+= tt tt TET StSt (17) Покажем, что для матрицы канонического представителя ,0A определяюще- го окрестность приведения системы, централизатор группы преобразований подо- бия является стационарной подгруппой. Теорема 1. Централизатор (16) группы преобразований подобия четверто- го порядка, который действует в окрестности канонического представителя ,0A представляющего собой сильвестрову матрицу, является стационарной под- группой 0AStG группы преобразований подобия G. Доказательство. Согласно условию (6) определения централизатора группы преобразований подобия, StT определяет четырехпараметрическое многообра- зие преобразований подобия. Покажем, что централизатор группы преобразований подобия в окрестности канонического представителя 0A — стационарная подгруппа группы преобразо- ваний подобия. Для этого достаточно показать, что элементы централизатора группы преобразований подобия сохраняют под действием групповой операции структуру матриц централизатора, а обратный элемент также имеет структуру матриц централизатора. Убедимся, что если )( 01 ACg GL и ),( 02 ACg GL то и ),( 0213 ACggg GL=  где  — групповая операция, в данном случае — умно- жение матриц: =             + +             + + == 100 0100 001 0001 1ˆˆ00 0100 001ˆˆ 0001 4443 2221 4443 2221 213 tt tt tt tt ggg  Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 21 ).( )1)(1ˆ()1ˆ(ˆ00 0100 00)1)(1ˆ()1ˆ(ˆ 0001 0 4444444343 2222222121 AC ttttt ttttt GL             ++++ ++++ = Обратный элемент рассматриваемого подмножества группы преобразований подобия имеет вид )( 11 00 0100 00 11 0001 0 44 44 44 43 22 22 22 21 1 2 AC t t t t t t t t g GL                 + − + − + − + − =− и также принадлежит этому подмножеству группы преобразований подобия. Таким образом, централизатор группы преобразований подобия окрестности канонического представителя 0A представляет собой четырехпараметрическую стационарную подгруппу 0AStGm матричной группы преобразований подобия G. Теорема доказана. Два подпространства называются трансверсальными, если вместе они по- рождают все пространство [13]. Поэтому для параметризации всего пространства действительных матриц четвертого порядка требуется построение соответствую- щего трансверсального дополнения к орбите группы преобразований подобия. Если в соответствии с (8) принять, что структура матриц базиса трансвер- сального дополнения аналогична структуре матрицы ,0A , 1000 0000 0000 0000 , 0100 0000 0000 0000 , 0000 0000 0010 0000 , 0000 0000 0001 0000 },,,{)( 43210                                                             = == XXXXAX то результирующая матрица трансверсального дополнения к орбите, индуциро- ванной действием фактор-многообразия 12 4241 34333231 2423 14131211 10 1 10 1 / 0 R tt tttt tt tttt StGG A                + + = (18) группы преобразований подобия (действие группы преобразований подобия без стационарной подгруппы) на многообразии сильвестровых матриц ,0A в соответ- ствии с (9) принимает вид , 00 0000 00 0000 43 21 4 1             ==  = xx xx XxX kk k 22 ISSN 0572-2691 или, для удобства представления в матричном виде, . 00 0000 00 0000 )( 4443 2221             = xx xx X (19) В соответствии с критериями версальности, приведенными в [5], рассмотрим вопросы версальности выбранной структуры параметров орбиты группы преобра- зований 0Gm и трансверсального дополнения )(X к ней, которые должны обес- печить локальную параметризацию пространства сильвестровых матриц исходной системы. Для этого достаточно показать, что ядро оператора : XTTGMT AA 000 → равно нулю ),0(ker = т.е. система линейных уравнений 000 =+− XTATA при заданной структуре матриц имеет лишь тривиальное решение ,0=T .0=X Теорема 2. В окрестности канонического представителя семейства матриц четвертого порядка 0A вида (15), представляющего собой сильвестрову матрицу с ненулевыми собственными значениями, четырехпараметрическое семейство матриц 4)( RX  трансверсального дополнения вида (19) является миниверсаль- ным трансверсальным дополнением, позволяющим структурно устойчиво пара- метризировать окрестности сильвестровых матриц соответствующего вида. Доказательство. Как следует из критериев версальности [5, 12], достаточно показать, что система линейных уравнений, определяемая матричным уравнением ,000 =+− XTATA (20) при заданной структуре матриц (17)–(19) имеет лишь тривиальное решение ,0=T .0=X Это утверждение справедливо, если матрица соответствующей системы ли- нейных уравнений является матрицей полного ранга. Покажем это и определим условия падения ранга матрицы системы, определяющей параметризацию значе- ний параметров группы преобразований и трансверсального дополнения к ней .000 =+− XTATA Матрица соответствующей системы уравнений имеет вид , 0 2221 1211       AA A где ; 10000000 0000000 000000010 000000001 101000000 010000000 000010000 000000000 224421 432221 21 21 44 43 22 21 11                         −− −− − − − − = aaa aaa a a a a a a A Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 23 ; 0000001000 0000000100 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 21                       =A ; 00000 00000 1000 000 00100 00000 10001 01000 43 43 442243 214443 44 43 22 21 22                         − − −− −− − − = a a aaa aaa a a a a A 120 — нулевая матрица соответствующего размера, при векторе параметров ].[ 42413433323124231413121144432221 ttttttttttttxxxx Подматрицу системы в координатах ,12t ,14t ,24t ,32t ,34t 42t определяем пу- тем вычеркивания элементов подматриц полного ранга: . 0000 00000 00000 0000 00000 00000 442243 21 43 224421 43 21                     −− −− aaa a a aaa a a В результате линейных преобразований получаем подматрицу вида . 00000 00000 0000 00000 0000 00000 21 43 442243 43 224421 21                     −− −− a a aaa a aaa a (21) Если матрица (21) — матрица полного ранга, т.е. если 021 a и ,043 a то матричное уравнение (20) имеет только тривиальное решение ,0=T .0=X Таким образом, при 021 a и 043 a выбранная система параметров позво- ляет структурно устойчиво параметризовать окрестности сильвестровых матриц. Теорема доказана. 24 ISSN 0572-2691 Выводы На основе алгебро-топологического подхода к исследованию моделей дина- мических систем с варьируемыми параметрами построена структурно устойчивая система параметров для параметризации семейств сильвестровых матриц четвер- того порядка с ненулевыми собственными значениями. Благодаря выбранной структуре параметров версальной модели четвертого порядка полученные результаты можно обобщить на модели систем произвольно- го четного порядка. Наличие группы преобразований и выбор упомянутой структуры параметров версальной модели четвертого порядка позволяет применять эти результаты при разработке алгоритмов и программ для изучения динамических свойств моделей колебательных систем со многими степенями свободы. Эти алгоритмы и про- граммы имеют то преимущество, что локально действующая приводящая группа преобразований находится в окрестности единичного элемента группы и поэтому не изменяет физического смысла изучаемых подсистем. Предложенная система параметров версальной модели позволяет строить для рассматриваемого класса систем структурно устойчивые алгоритмы упрощения моделей линейных динамических систем с варьируемыми параметрами, изучать особенности корней и декремент-диаграмм, синтезировать структурно устойчи- вые (робастные) в пространстве варьируемых параметров системы управления. В.Є. Набівач ЗАДАЧА СТРУКТУРНО СТІЙКОЇ ПАРАМЕТРИЗАЦІЇ СІМЕЙСТВ СІЛЬВЕСТРОВИХ МАТРИЦЬ Розглянуто сімейства матриць, які залежать від параметрів, що змінюються, та мають особливості власних значень невисокої корозмірності. Ці дослід- ження призначені для побудови структурно стійких («грубих») алгоритмів приведення матриць загального вигляду до спеціального спрощеного вигля- ду, зручного для чисельної реалізації дослідження систем великої розмірнос- ті, асоційованих з коливальними системами. V.E. Nabivach THE PROBLEM OF STRUCTURALLY STABLE PARAMETRIZATION OF SILVESTER MATRIXES FAMILIES The families of matrixes depending on variable parameters and containing eіgen- values features of low codemenensionality are considered. The aime of these in- vestigations is construction of structurally stable («rough») algorithms of reducing a general form to special form convenient for numerical realization of study of large dimensional systems, associated with oscillatory systems. 1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравне- ний. — М. : Наука, 1978. — 304 с. 2. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отобра- жений. — М. : Наука, 1982. — 304 с. Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 25 3. Удилов В.В. О построении версальных моделей динамических систем с варьируемыми па- раметрами // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 6. — С. 42–55. 4. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравне- ний. — Ижевск : Ижевская республиканская типография, 2000. — 400 с. 5. Удилов В.В. О критериях трансверсальности для управляемых динамических систем с па- раметрами // Кибернетика и вычисл. техника. — 1981. — Вып. 51. — С. 65–72. 6. Арнольд В.И. Особенности гладких отображений // Успехи математических наук. — 1968. — 23, № 1. — С. 3–44. 7. Удилов В.В., Набивач В.Е., Турчина О.В. Метод блочно-диагональной декомпозиции мат- риц с параметрами (D-метод) и его применение // Конечномерные и распределенные си- стемы управления : Сб. науч. тр. — Киев : ИК АН УССР, 1983. — C. 45–53. 8. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с. 9. Удилов В.В., Набивач В.Е. Устойчивость численных методов приведения матриц, завися- щих от параметров // Кибернетика и вычисл. техника. — 1988. — Вып. 77. — С. 7–18. 10. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М. : Наука, 1976. — 424 с. 11. Удилов В.В. Численные и численно-аналитические методы вычисления параметров вер- сальной модели на основе разложения Кэмпбелла–Хаусдорфа // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 4. — С. 5–9. 12. Удилов В.В. Метод инвариантных многообразий в задачах управления динамическими си- стемами // Кибернетика и вычисл. техника. — 1980. — Вып. 47. — С. 10–25. 13. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. — М. : Мир, 1980. — 608 с. 14. Кухтенко А.И., Семенов В.Н., Удилов В.В. Геометрические и абстрактно-алгебраические ме- тоды в теории автоматического управления // Кибернетика и вычисл. техника. — 1975. — Вып. 27. — С. 3–20. 15. Garc M.I. Reduction to versal deformations of matrix pencils and matrix pairs with application to control theory // SIAM J. on Matrix Analysis and Applications. — 2002. — 24. — P. 943–962. 16. Puerta F., Puerta X., Tarragona S. Versal deformations in orbit spaces // Linear Algebra and its Applications. — 2004. — 379. — P. 329–343. 17. Набивач В.Е., Дяченко С.Н. Гиперциклические модели и алгебро-топологические методы исследования сложных систем с параметрами // Кибернетика и вычисл. техника. — 2001. — Вып. 133. — С. 61–87. 18. Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М. : Советская энцик- лопедия, 1984. — 803 с. Получено 17.08.2007 После доработки 24.08.2007 http://www.ingentaconnect.com/content/els/00243795;jsessionid=12m8kddm9il13.henrietta http://www.ingentaconnect.com/content/els/00243795;jsessionid=12m8kddm9il13.henrietta

Задача структурно устойчивой параметризации семейств Сильвестровых матриц

Репозитарії

Схожі ресурси