Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов

Пропонуються прості обчислювальні процедури наближеного розрахунку двовимірних моделей стільникових мереж зв’язку зі схемою резервування каналів, в яких можлива організація необмеженої черги терплячих чи нетерплячих h -викликів. Нові виклики обслуговуються відповідно до схеми із явними втратами. Н...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
Hauptverfasser:	Ким, Чи Сон, Меликов, А.З., Пономаренко, Л.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2007
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Методы обработки информации
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207141
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов / Чи Сон Ким, А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 95-109. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207141
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2071412025-09-30T00:04:48Z Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов Двовимірні моделі бездротових стільникових мереж зв’язку з нескінченними чергами h-викликів Two-dimensional traffic models for wireless cellular telekommunication networks with infinite queues of h-calls Ким, Чи Сон Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Методы обработки информации Пропонуються прості обчислювальні процедури наближеного розрахунку двовимірних моделей стільникових мереж зв’язку зі схемою резервування каналів, в яких можлива організація необмеженої черги терплячих чи нетерплячих h -викликів. Нові виклики обслуговуються відповідно до схеми із явними втратами. На відміну від класичних моделей названих мереж допускається, що нові й h -виклики не ідентичнi за часом зайняття радіоканалів. Результати числових експериментів показують, що запропоновані формули мають високу точність для мікрой пікостільників, в яких інтенсивність h -викликів суттєво перевищує інтенсивність нових викликів. Simple computational procedures to approximate calculation of two-dimensional models of cellular networks with guard channels and infinite queue of patient or impatient handover calls are proposed. New calls are handled by pure lost scheme. Unlike the classical models here it is assumed that new and handover calls are not identical in a sense of time of busy channels. Numerical experiments are shown that the proposed approximate formulas have high accuracy in both microcells and picocells for which intensity of handover calls essentially exceeds intensity of new calls. 2007 Article Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов / Чи Сон Ким, А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 95-109. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207141 519.872:621.394.74 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы обработки информации Методы обработки информации
spellingShingle	Методы обработки информации Методы обработки информации Ким, Чи Сон Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов Проблемы управления и информатики
description	Пропонуються прості обчислювальні процедури наближеного розрахунку двовимірних моделей стільникових мереж зв’язку зі схемою резервування каналів, в яких можлива організація необмеженої черги терплячих чи нетерплячих h -викликів. Нові виклики обслуговуються відповідно до схеми із явними втратами. На відміну від класичних моделей названих мереж допускається, що нові й h -виклики не ідентичнi за часом зайняття радіоканалів. Результати числових експериментів показують, що запропоновані формули мають високу точність для мікрой пікостільників, в яких інтенсивність h -викликів суттєво перевищує інтенсивність нових викликів.
format	Article
author	Ким, Чи Сон Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А.
author_facet	Ким, Чи Сон Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А.
author_sort	Ким, Чи Сон
title	Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов
title_short	Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов
title_full	Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов
title_fullStr	Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов
title_full_unstemmed	Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов
title_sort	двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207141
citation_txt	Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов / Чи Сон Ким, А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 95-109. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT kimčison dvumernyemodelibesprovodnyhsotovyhsetejsvâzisbeskonečnymiočeredâmihvyzovov AT melikovaz dvumernyemodelibesprovodnyhsotovyhsetejsvâzisbeskonečnymiočeredâmihvyzovov AT ponomarenkola dvumernyemodelibesprovodnyhsotovyhsetejsvâzisbeskonečnymiočeredâmihvyzovov AT kimčison dvovimírnímodelíbezdrotovihstílʹnikovihmerežzvâzkuzneskínčennimičergamihviklikív AT melikovaz dvovimírnímodelíbezdrotovihstílʹnikovihmerežzvâzkuzneskínčennimičergamihviklikív AT ponomarenkola dvovimírnímodelíbezdrotovihstílʹnikovihmerežzvâzkuzneskínčennimičergamihviklikív AT kimčison twodimensionaltrafficmodelsforwirelesscellulartelekommunicationnetworkswithinfinitequeuesofhcalls AT melikovaz twodimensionaltrafficmodelsforwirelesscellulartelekommunicationnetworkswithinfinitequeuesofhcalls AT ponomarenkola twodimensionaltrafficmodelsforwirelesscellulartelekommunicationnetworkswithinfinitequeuesofhcalls
first_indexed	2025-09-30T01:30:21Z
last_indexed	2025-10-01T01:28:30Z
_version_	1844740998001852416
fulltext	© ЧИ СОН КИМ, А.З. МЕЛИКОВ, Л.А. ПОНОМАРЕНКО, 2007 Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 95 УДК 519.872:621.394.74 Чи Сон Ким, А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко ДВУМЕРНЫЕ МОДЕЛИ БЕСПРОВОДНЫХ СОТОВЫХ СЕТЕЙ СВЯЗИ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ОЧЕРЕДЯМИ h-ВЫЗОВОВ Введение Дальнейшее развитие современных сотовых сетей связи требует более эф- фективного использования скудных радиоресурсов сети для удовлетворения раз- личных требований к качеству обслуживания (Quality of Service — QoS), предъ- являемых разнотипными запросами. Эта цель, в основном, достигается за счет уменьшения геометрических размеров сот, т.е. в перспективных сетях все чаще будут использоваться микро- и пикосоты. Однако уменьшение размера сот увели- чивает интенсивность хэндовер-вызовов. Как известно, процедура перехода мо- бильного пользователя (МП) из канала некоторой соты в канал соседней соты называется хэндовер (handover или handoff), а вызов, порождающий эту процеду- ру, — хэндовер-вызовом (h-вызовом). Если в новой соте имеется хотя бы один свободный канал, то разговор h-вызова возобновляется для него незаметно; в про- тивном случае происходит вынужденное прерывание этого разговора. Проблемы расчета показателей QoS рассматриваемых сетей исследовались многими авторами. Так, в [1, 2] использованы аналитические модели соты с бес- конечной очередью h-вызовов при использовании допущения о том, что длитель- ность интервала деградации (затухания сигнала) имеет экспоненциальное распре- деление. Аналогичная модель с ограниченной длиной очереди h-вызовов и не- ограниченным интервалом деградации исследована в [3]. В [4, 5] предложены численные алгоритмы исследования моделей с ограниченной длиной очереди h-вызовов, при этом рассматриваются модели с терпеливыми [4] и нетерпеливыми вызовами [5]. Во всех указанных работах предполагается, что новые (o-вызовы) и h-вызовы идентичны по времени занятия каналов. Однако, как отмечается в [6, глава 11, с. 267–268], последнее допущение нереалистично в традиционных сотовых сетях связи из-за отличия в скоростях передвижения разнотипных вызо- вов. Отметим, что модели рассматриваемых сетей с неидентичными (по времени занятия каналов) новыми и h-вызовами изучаются недостаточно. Подробный спи- сок работ по данной тематике можно найти в [6]. Приближенный метод расчета моделей сотовых сетей связи с неидентичными (по времени занятия каналов) вызовами, в которых не допускается образование очереди, рассмотрен в [7]. Здесь предлагаются простые вычислительные процеду- ры приближенного расчета показателей QoS моделей традиционных сотовых се- тей связи с неограниченной очередью терпеливых или нетерпеливых h-вызовов, в которых разнотипные вызовы имеют, вообще говоря, различное время занятия каналов. Предложенный в данной статье подход к разработке соответствующих алгоритмов основан на результатах работы [7]. 1. Описание моделей Рассмотрим модель соты, которая содержит N  1 радиоканалов и бесконеч- ный буфер для ожидания в очереди h-вызовов. Предполагается, что o-вызовы (h-вызовы) поступают в данную соту согласно закону Пуассона с интенсивностью ),( ho  а время занятия канала o-вызовами (h-вызовами) — экспоненциально распределенная случайная величина со средним ).( 11 −−  ho Отметим, что время занятия канала учитывает обе составляющие периода занятости: время обслужи- 96 ISSN 0572-2691 вания вызовов и их мобильность. Если в период обслуживания вызова любого ти- па происходит процедура хэндовер, то из-за «отсутствия памяти» у экспоненци- ального распределения оставшееся время обслуживания данного вызова в новой соте (уже в качестве h-вызова) также имеет экспоненциальное распределение с тем же средним. Обслуживание разнотипных вызовов осуществляется по схеме резервирова- ния каналов, т.е. поступивший o-вызов принимается лишь тогда, когда свободных каналов имеется не меньше, чем g+1; в противном случае o-вызов теряется (бло- кируется). Хэндовер-вызов принимается при наличии хотя бы одного свободного канала; если все N каналов заняты, то h-вызов присоединяется к бесконечной оче- реди. В момент освобождения канала очередь h-вызовов (если она имеется) об- служивается согласно дисциплине FIFO; если очередь отсутствует, то освобож- денный канал простаивает. Здесь рассматриваются модели двух типов: с терпеливыми и нетерпеливыми h-вызовами. В моделях с терпеливыми h-вызовами не происходят потери вызовов из очереди, в моделях с нетерпеливыми h-вызовами такие потери возможны из-за истечения допустимого времени ожидания в очереди (т.е. в результате окончания интервала деградации вызова). 2. Алгоритмы расчета моделей Вначале рассмотрим модели с терпеливыми h-вызовами. Для более детально- го описания работы соты используется двумерная цепь Маркова, т.е. состояние соты в произвольный момент времени задается вектором ),,( 21 kk=k где ki — число o-вызовов (h-вызовов) в системе, i = 1, 2. Тогда множество всех возможных состояний системы определяется следующим образом: .},2,1,0,,0:{: 21 =−== kgNkS k (1) Поскольку o-вызовы обслуживаются в режиме блокировки и система консер- вативна (т.е. при наличии очереди простои каналов не допускаются), то в состоя- нии Sk число h-вызовов в каналах )( 2 sk и в очереди )( 2 q k определяются так: },,min{ 212 kkNk s −= ,)( 212 +−+= Nkkk q (2) где ).,0(max xx =+ Замечание 1. В известных работах [1–3], исходя из того, что вызовы иден- тичны относительно времени занятия каналов, состояние соты описывается ска- лярной величиной, которая указывает общее число занятых каналов соты, т.е. в качестве математической модели используется одномерная цепь Маркова. По- скольку в исследуемых моделях время занятия каналов разнотипными вызовами разное, то описание состояния соты скалярной величиной принципиально невоз- можно. Элементы производящей матрицы, соответствующей двумерной цепи Мар- кова, ),,( kk q ,, Skk определяются так (см. рис. 1): случаях, остальных в0 , если, , если, , если, ,,1 если, ),( 22 11 2 121          −= −= += +=−−+ = ekk ekk ekk ekk kk h s o h o k k gNkk q (3) где e1 = (1, 0), e2 = (0, 1). Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 97 00 01 02 04 03 05 10 11 12 14 13 15 20 21 22 24 23 30 31 32 33 2 2 06 1 1 2 1 21 22 Рис. 1 Следовательно, математической моделью данной системы является двумер- ная цепь Маркова с фазовым пространством состояний (1), для которой элементы производящей матрицы определяются с помощью соотношений (3). Стационарная вероятность состояния Sk обозначается ).(kp Тогда, исхо- дя из того, что модель является марковской, согласно теореме PASTA [8] вероят- ность блокировки o-вызовов (Po) определяется следующим образом: .)()(: 21  −+= S s o gNkkIpP k k (4) Здесь и в дальнейшем I(A) означает индикаторную функцию события A. Среднее число занятых каналов системы (Nav) и средняя длина очереди h-вы- зовов (Lh) также определяются через стационарное распределение модели: ),(: 1 jjN N j av = = (5) ,)(: 1   = = l h llL (6) где NjjkkIpj S s ,1,)()(:)( 21 ==+=  k k и   == S q lkIpl k k )()(:)( 2 — марги- нальные распределения модели. Поскольку o-вызовы обслуживаются по схеме с явными потерями, то после определения средней длины очереди h-вызовов из формулы Литтла легко найти среднее время их задержки (Wh): . 1 : h h h LW  = (7) Следовательно, для нахождения характеристик (4)–(7) необходимо опреде- лить стационарное распределение модели ),(kp ,Sk из соответствующей си- стемы уравнений равновесия (СУР). Она имеет следующий вид: ,),()()1()1()()1( )1)(()2()1)(( ))1()(( 222111 0,2210,1 2121 21 SNkIpkgNkIpk pgkkIp kkgkkIp S h S o kh S ko h S oh S o +++−−+++ +−−+−+−−= =+++−+ kekek ekek k (8) .1)(  = S p k k (9) Здесь ji, — символы Кронекера. 98 ISSN 0572-2691 Использование метода двумерных производящих функций для нахождения стационарного распределения модели ),(kp Sk из СУР (8), (9) связано с опре- деленными вычислительными и методологическими трудностями. Для их преодо- ления предлагается использовать приближенный метод расчета стационарного распределения данной модели. Он приемлем для моделей микро- и пикосот, для которых интенсивность поступления h-вызовов намного превосходит интенсив- ность o-вызовов и время разговора, порожденного h-вызовом, является коротким. Иными словами, здесь предполагается, что ., ohoh  Замечание 2. Важно отметить, что последние условия не являются чрезмерно тяжелыми, так как выполняются во многих реальных сетях подобного типа [9]. Более того, как видно из дальнейшего изложения, конечные результаты прямо не зависят от нагрузочных параметров входящих трафиков, а лишь от их отношения }.,{,/: ohxxxx = Рассматривается следующее расщепление фазового пространства состояний (1): ,,, 0 jjSSSS jj gN j j ==  − =  (10) где },:{: 1 jkSS j == k .,0 gNj −= Множества jS объединяются в отдельные укрупненные состояния  j и вводится функция укрупнения с областью определения (1): ,)( = jU k если .,0, gNjS j −=k (11) Функция укрупнения (11) определяет укрупненную модель, которая являет- ся одномерной цепью Маркова с фазовым пространством состояний :{: ~ = jS }.,0 gNj −= Принятое выше допущение о соотношениях нагрузочных параметров разно- типных вызовов обеспечивает выполнение условия, необходимого для корректно- го применения алгоритмов фазового укрупнения: интенсивности переходов меж- ду состояниями внутри каждого класса ,jS ,,,1,0 gNj −=  существенно пре- восходят интенсивности переходов между состояниями из различных классов. Для нахождения стационарного распределения исходной модели потребуется предварительное определение стационарных распределений расщепленных и укрупненной моделей. Стационарное распределение j-й расщепленной модели с пространством со- стояний jS обозначается ,,2,1,0),( = iij .,,1,0 gNj −=  Оно определяется как стационарное распределение классической системы массового обслуживания (СМО) M / M / N − j / с нагрузкой h эрл.: ( )        +− − − −=  = −− ,1),0( )!( )( ,,1),0( ! jNi jN jN jNi ii j ijNi h j i h j (12) где . )!(! )0( 1 1 0 − −−− =         −− − −  +  =  h jN h jN i i hj jN jN jNi (13) Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 99 Условием эргодичности j-й расщепленной модели является .jNh − Сле- довательно, для существования стационарного режима в каждой расщепленной модели необходимо выполнение условия .gh  Примечательно, что условие эр- годичности модели не зависит от нагрузки о-вызовов. Этого следовало ожидать, так как по предположению ohh  ,0 и о-вызовы обслуживаются по схеме с явными потерями. В частном случае g = 1 получаем условие .1h Для нахождения стационарного распределения , ~ ),( Sjj  укрупненной модели необходимо определить элементы производящей матрицы соответствую- щей укрупненной цепи, обозначим их . ~ ,),,( Sjjjjq  Используя тех- нику, предложенную в [7], находим, что они определяются из следующих соот- ношений:       −= +=+ = случаях, остальных в0 ,1 если, ,1 если),1( ),( jjj jjj jjq o o (14) где .1,0 , ! )0(:)1( 1 0 −−=  =+  −−− = gNj i j jgN i i hj Из последних соотношений следует, что стационарное распределение укруп- ненной модели , ~ ),( Sjj  определяется как соответствующее распределение классического процесса размножения и гибели. Иными словами, ,,1),0()( ! )( 1  = −=  = j i j o gNji j j (15) где 1 1 1 )( ! 1)0( − − = =           +=   gN i i j i o j i . (16) Таким образом, стационарное распределение исходной модели приближенно определяется так: .),(),()(),( 211221 1 Skkkkkkp k  (17) После выполнения необходимых математических преобразований находятся следующие приближенные формулы для вычисления характеристик (4)–(6) модели с бесконечной очередью терпеливых h-вызовов при наличии резервных каналов: ,)()(1 1 0 1 0   −− = −−− = − gN j jgN i j o jiP (18) +−+−    − +−= − = − = = 1 1 01 0 )()()()( N gNj gN i i gN j j i i av iikjiijjN ,)(1)( 0 1 0   − = −− =         −+ gN j jN i j ijN (19) . )(!)( )0()( 0 2 1  − = −+ −− − −   gN i h iN hi h iN iN iN iL (20) 100 ISSN 0572-2691 Далее с использованием (7) находится приближенное значение среднего вре- мени задержки h-вызовов. Теперь рассмотрим модель с бесконечной очередью нетерпеливых h-вызовов при наличии резервных каналов. В данной модели нетерпеливый h-вызов может быть потерян из очереди, если до окончания интервала его деградации не осво- бождается ни один канал новой соты. Для получения обозримых результатов, как и в [1, 2], предполагается, что интервалы деградации для всех h-вызовов — неза- висимые одинаково экспоненциально распределенные случайные величины со средним .1− Фазовое пространство состояний данной модели также задается с помощью множества (1). Однако здесь элементы производящей матрицы соответствующей двумерной цепи Маркова определяются из следующих соотношений (рис. 2): случаях. остальных в0 , если, , если, , если, ,,1 если, ),( 222 11 2 121          −=+ −= += +=−−+ = ekk ekk ekk ekk kk q h s o h o kk k gNkk q (21) Аналогично (8), (9) для данной модели также можно разработать соответ- ствующую СУР для стационарных вероятностей состояний системы. Однако ука- занные выше трудности использования такой СУР в данном случае усугубляются еще больше. В связи с этим также будем использовать описанный выше подход к расчету стационарного распределения модели. 08 07 2 62 + 2 17 06 2 16 52 + 2 26 2 62 + 2 52 +  2 42 + 2 2 32 + 2 32 +  05 15 25 35 04 14 24 34 2 42 +  2 03 13 23 33 2 02 12 22 32 01 11 21 31 2 2 1 00 10 20 30 2 22 1 1 1 21 . . . . . . . . . . . . Рис. 2 Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 101 Не повторяя описанные выше процедуры, отметим лишь, что здесь также ис- пользуется аналогичная (10) схема расщепления пространства состояний модели. Поскольку выбор схемы расщепления полностью определяет структуры расщеп- ленных и укрупненной моделей, то ниже приводятся лишь краткие комментарии к предложенным формулам. Стационарное распределение j-й расщепленной модели в данном случае определяется так:        +− −++−  −  −=  =  +−= − ,1 если),0( )()(!)( ,,1 если),0( ! )( 1 jNi NjkjNjN jNi i i j i jNk h h jN h j i h j (22) где . )()(!)(! )0( 1 1 10 −  +−= +−= −− =         −++−  −  +  =   jNm m jNk h h jN h jN i i hj NjkjNjNi (23) Следует отметить, что в данной модели при любых допустимых значениях нагрузочных параметров в системе существует стационарный режим. Это легко доказать, так как анализ предела отношения двух соседних членов ряда показыва- ет, что участвующий в определении )0(j (см. формулы (23)) числовой ряд    +−= +−= −++−  = 1 1 )()( : jNm m jNk h h NjkjN R (24) сходится при любых положительных значениях нагрузочных параметров h-вызо- вов и интервала деградации. Вместе с тем, к сожалению, не удается найти точное значение суммы ряда (24), однако удается найти следующие пределы изменения указанной суммы: .1exp1 )( exp −        −        +−  h h h R jN (25) Замечание 3. Из последних соотношений видно, что в частных случаях, ког- да − hjN )( или когда величина hjN − )( достаточно малая, в качестве приближенного значения суммы R можно использовать правую часть неравен- ства (25). В данном случае элементы производящей матрицы укрупненной модели определяются по (14), но при этом следует учитывать, что в указанной формуле параметры ,1,0),0( −−= gNjj вычисляются из (23). Далее известным спосо- бом находится стационарное распределение укрупненной модели (см. (17)). Показатели QoS данной модели определяются аналогично (18)–(20), однако в указанных формулах теперь участвуют соответствующие распределения для мо- дели с нетерпеливыми h-вызовами. В данной модели также происходят потери h-вызовов из очереди вследствие их нетерпеливости. Вероятность такого события обозначим .hP Она вычисляется следующим образом: 102 ISSN 0572-2691 ,)( 1 1   = = nh h nTP (26) где .),(:)( 0  − = −+= gN i inNipnnT (27) 3. Численные эксперименты по расчету моделей Предложенные алгоритмы позволяют изучить поведения показателей QoS исследуемых систем практически во всех допустимых диапазонах изменения их структурных и нагрузочных параметров. Из-за ограниченности объема работы здесь приводятся лишь результаты изучения поведения указанных показателей относительно изменения числа резервных каналов для модели с терпеливыми h-вызовами. Некоторые результаты численных экспериментов для модели с параметрами N = 15 и 3=o показаны на рис. 3–5. Они полностью подтвердили все теорети- ческие ожидания. Так, вероятность потери о-вызовов возрастает (см. рис. 3), а среднее число занятых каналов (см. рис. 4) и среднее число h-вызовов в очереди (см. рис. 5) убывают при возрастании числа резервных каналов. Поскольку харак- тер изменения среднего времени задержки h-вызовов полностью совпадает с ана- логичной зависимостью для их среднего числа в очереди, то здесь график этой функции не приводится (см. (7)). lgPо g N = 15; o = 0,5; 1 – λo = 2; h = 4; h = 5; 2 – o = 1; h = 3; h = 4 1 2 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Рис. 3 g N ~ N = 15; o = 0,5; 1 – o = 2; λh = 4; h = 5; 2 – o = 1; h = 3; h = 4 1 2 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Рис. 4 Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 103 −16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 N = 15; μo = 0,5; 1 – λo = 2; λh = 4; μh = 5; 2 – λo =1; λh = 3; μh = 4 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 g lgLh 1 2 Рис. 5 Отметим, что все исследуемые функции возрастающие относительно интен- сивности трафика o-вызовов при фиксированных значениях остальных параметров модели. Однако в отличие от функции avN скорости изменения функций oP и hL (следовательно, и функции )hW достаточно высокие. Так, при N = 15, o = 4, h = 0,8 значения функций oP и hL в точках g = 1 и g = 10 равны )1(oP = 3,8E−04, )10(oP = 2,8E−01, )1(hL = 9,9E−05, )10(hL = 1,2E−10, а значения функции avN в этих точках равны 4,7985 и 3,6551 соответственно. Анализ результатов численных экспериментов показывает, что, несмотря на существенные различия в нагрузках о-вызовов, с ростом числа резервных кана- лов соответствующие значения функций oP и hL все больше сближаются. Например, в двух экспериментах при N = 15 нагрузочные параметры выбирались так: 1) o = 4, h = 0,80; 2) o = 2, h = 0,75. Для этих данных имеют место сле- дующие соотношения: )1(/)1( 21 oo PP  400, )14(/)14( 21 oo PP 1,01; )1(/)1( 21 hh LL 10 3 , )14(/)14( 21 hh LL 3, где i oP )( i h L — значение функции oP )( oL в i-м эксперимен- те, i = 1, 2. Соответствующие соотношения для функции avN имеют вид )1(/)1( 21 avav NN 1,8, )14(/)14(1 NNav 1,1. Результаты численных экспериментов для модели с нетерпеливыми h-вызо- вами показали, что вероятность потери о-вызовов также возрастает при увеличе- нии числа резервных каналов. В этой модели вероятность потери h-вызовов убы- вает относительно числа резервных каналов, и с увеличением числа резервных каналов также уменьшается среднее число занятых каналов, при этом эти функ- ции возрастающие относительно интенсивности трафика o-вызовов. Анализ QoS разных моделей при одинаковых исходных данных показал, что в модели с терпеливыми h-вызовами вероятность потери о-вызовов выше, чем в модели с нетерпеливыми h-вызовами. Это следовало ожидать, так как в модели с нетерпеливыми h-вызовами происходят потери h-вызовов из очереди, и тем са- мым увеличиваются шансы о-вызовов для занятия свободного канала. Эти ком- ментарии относятся и к другим показателям QoS, а именно, утилизация каналов в модели с нетерпеливыми h-вызовами хуже, чем в модели с терпеливыми h-вызо- вами; средняя длина очереди h-вызовов в модели с терпеливыми h-вызовами больше, чем в модели с нетерпеливыми h-вызовами. Кроме того, при проведении численных экспериментов оценивается точность предложенных формул. Точные значения (ТЗ) изучаемых показателей QoS для моделей с терпеливыми h-вызовами при идентичности времени занятия каналов разнотипными вызовами определяются из следующих формул, которые легко вы- водятся из классических формул одномерного процесса размножения и гибели: 104 ISSN 0572-2691 ,1 1 0 k gN k oP −=  −− = (28) ,1 1 0 1 1         −+=  − = − = N k k N k kav NkN (29) . )~1( ~ 2 1 h N h h A L −  = + (30) Здесь приняты следующие обозначения:        +−=            −=  = − ,,,1 если, ! ,,,2,1 если, ! 0 0 NgNk k gNk k k h gN h k k   ;~1 ~ !!! 1 1 10 0 − +− +−= −− =         −            +            +  =  h N h NgN h N gNk k h gN h gN k k N N kk ;:~;:;:;: N h hhoho  ===   =+= . ! : N N A NgN h −           = При выполнении принятого допущения относительно соотношений интен- сивности трафиков о- и h-вызовов (т.е. при )oh  и при идентичности време- ни занятия каналов разнотипными вызовами приближенные значения (ПЗ) изуча- емых QoS (см. формулы (18)–(20)) почти полностью совпадают с их точными значениями, вычисляемыми из формул (28)–(30). Некоторые сравнения для моде- лей с параметрами N = 10, o = 0,3, h = 2, ho = = 3 и N = 15, o = 2, h = 4, ho = = 5 приведены в табл. 1 и 2 соответственно. Как видно из этих таблиц, точность приближенных формул достаточно высо- кая. Аналогичные результаты получены и при других возможных значениях ис- ходных данных исследуемых моделей. Таблица 1 g Po Nav Lh ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ 1 1,18332E−07 1,20335E–07 0,766666588 0,76666659 2,57292E–11 5,31368E–10 2 1,39066E–06 1,41037E–06 0,766665740 0,76666573 3,35598E–12 1,51235E–10 3 1,45316E–05 1,46932E–05 0,766656979 0,76665687 4,37736E–13 3,60410E–11 4 1,32920E–04 1,33885E–04 0,766578053 0,76657741 5,70961E–14 6,56823E–12 5 1,04287E–03 1,04528E–03 0,765971420 0,76596981 7,44731E–15 8,94899E–13 6 6,83047E–03 6,80289E–03 0,762113022 0,76213141 9,71388E–16 8,95273E–14 7 3,60318E–02 3,56001E–02 0,742645458 0,74293325 1,26703E–16 6,41398E–15 8 1,46785E–01 1,43779E–02 0,668809421 0,67081413 1,65265E–17 3,19136E–16 9 4,46385E–01 4,35614E–01 0,469076476 0,47625721 2,15562E–18 1,08186E–17 Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 105 Таблица 2 g Po Nav Lh ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ 1 1,76280E–09 1,86813E–09 1,599999999 1,6000000 2,62346E–11 2,73750E–11 2 1,54833E–08 1,64400E–08 1,599999988 1,59999999 1,31173E–11 2,65173E–11 3 1,26382E–07 1,34674E–07 1,599999899 1,59999989 6,55865E–12 2,51571E–11 4 9,52992E–07 1,01936E–06 1,599999238 1,59999918 3,27933E–12 2,28218E–11 5 6,59388E–06 7,07790E–06 1,599994725 1,59999434 1,63966E–12 1,93241E–11 6 4,15307E–05 4,46986E–05 1,599966775 1,59996424 8,19832E–13 1,48828E–11 7 2,35835E–04 2,54048E–04 1,599811332 1,59979676 4,09916E–13 1,01637E–11 8 1,19341E–03 1,28238E–03 1,599045275 1,59897409 2,04958E–13 6,00668E–12 9 5,30507E–03 5,65419E–03 1,595755945 1,59547665 1,02479E–13 3,00061E–12 10 2,03616E–02 2,13408E–02 1,583710735 1,58292732 5,12395E–14 1,23831E–12 11 6,61732E–02 6,74847E–02 1,547061432 1,54601217 2,56197E–14 4,13800E–13 12 1,78719E–01 1,75864E–01 1,457024740 1,45930802 1,28099E–14 1,10834E–13 13 3,95653E–01 3,76449E–01 1,283477649 1,29884051 6,40494E–15 2,40351E–14 14 7,10236E–01 6,69481E–01 1,031811366 1,06441553 3,20247E–15 4,38201E–15 Важно отметить, что достаточно высокая точность наблюдается и для ис- ходных данных, не удовлетворяющих указанное выше допущение относительно соотношений интенсивности трафиков о- и h-вызовов. Иными словами, числен- ные эксперименты для моделей с симметричными трафиками (т.е. )oh = и для моделей, в которых интенсивность о-вызовов намного превосходит интенсив- ность h-вызовов, также показали достаточно высокую точность предложенных приближенных формул вычисления показателей QoS исследуемых моделей. Не- которые результаты сравнений для моделей с параметрами N = 10, o = 2, h = 0,3, ho = = 3 и N =15, ho = = 4, ho = = 5 показаны в табл. 3 и 4 со- ответственно. Как видно из табл. 3 и 4, небольшие отклонения зафиксированы лишь при вычислении средней длины очереди h-вызовов. При этом приближенные значе- ния указанного показателя всегда больше их точных значений. Последнее об- стоятельство говорит о том, что для увеличения надежности работы сети полу- ченные приближенные формулы можно использовать на первичных этапах ее проектирования. Таблица 3 g Po Nav Lh ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ 1 1,18332E−07 1,20335E−07 0,766666588 0,76666659 2,57292E−11 5,31368E−10 2 1,39066E−06 1,41037E−06 0,766665740 0,76666573 3,35598E−12 1,51235E−10 3 1,45316E−05 1,46932E−05 0,766656979 0,76665687 4,37736E−13 3,60410E−11 4 1,32920E−04 1,33885E−04 0,766578053 0,76657741 5,70961E−14 6,56823E−12 5 1,04287E−03 1,04528E−03 0,765971420 0,76596981 7,44731E−15 8,94899E−13 6 6,83047E−03 6,80289E−03 0,762113022 0,76213141 9,71388E−16 8,95273E−14 7 3,60318E−02 3,56001E−02 0,742645458 0,74293325 1,26703E−16 6,41398E−15 8 1,46785E−01 1,43779E−02 0,668809421 0,67081413 1,65265E−17 3,19136E−16 9 4,46385E−01 4,35614E−01 0,469076476 0,47625721 2,15562E−18 1,08186E−17 106 ISSN 0572-2691 Таблица 4 g Po Nav Lh ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ 1 1,76280E−09 1,86813E−09 1,599999999 1,6000000 2,62346E−11 2,73750E−11 2 1,54833E−08 1,64400E−08 1,599999988 1,59999999 1,31173E−11 2,65173E−11 3 1,26382E−07 1,34674E−07 1,599999899 1,59999989 6,55865E−12 2,51571E−11 4 9,52992E−07 1,01936E−06 1,599999238 1,59999918 3,27933E−12 2,28218E−11 5 6,59388E−06 7,07790E−06 1,599994725 1,59999434 1,63966E−12 1,93241E−11 6 4,15307E−05 4,46986E−05 1,599966775 1,59996424 8,19832E−13 1,48828E−11 7 2,35835E−04 2,54048E−04 1,599811332 1,59979676 4,09916E−13 1,01637E−11 8 1,19341E−03 1,28238E−03 1,599045275 1,59897409 2,04958E−13 6,00668E−12 9 5,30507E−03 5,65419E−03 1,595755945 1,59547665 1,02479E−13 3,00061E−12 10 2,03616E−02 2,13408E−02 1,583710735 1,58292732 5,12395E−14 1,23831E−12 11 6,61732E−02 6,74847E−02 1,547061432 1,54601217 2,56197E−14 4,13800E−13 12 1,78719E−01 1,75864E−01 1,457024740 1,45930802 1,28099E−14 1,10834E-13 13 3,95653E−01 3,76449E−01 1,283477649 1,29884051 6,40494E−15 2,40351E−14 14 7,10236E−01 6,69481E−01 1,031811366 1,06441553 3,20247E−15 4,38201E−15 4. Задачи выбора оптимальных значений числа резервных каналов Проведенные выше численные эксперименты по расчету моделей показали, что за счет выбора соответствующих значений числа резервных каналов можно достичь желаемого уровня обслуживания. Иными словами, если заданы ограни- чения на показатели QoS сети, то можно найти значения числа резервных кана- лов, при которых удовлетворяются такие ограничения. Ниже рассмотрим две задачи. Задача максимизации утилизации каналов сети при заданных ограничениях на вероятность потери о-вызовов и время ожидания h-вызовов, т.е. требуется найти такое значение числа резервных каналов, чтобы выполнялись заданные ограничения на вероятность потери о-вызовов и время ожидания h-вызовов и при этом среднее число занятых каналов было максимально возможным. Математиче- ски эта задача записывается следующим образом (поскольку в качестве управляе- мого параметра выбрано число резервных каналов, то ниже в обозначениях соот- ветствующих функций этот параметр указан как аргумент): max)( →gNav (31) при ограничениях ,)( oo PgP  (32) ,)( hh WgW  (33) где oP и hW — заданные величины. Учитывая свойства монотонности функций ),(gNav )(gPo и )(gWh для ре- шения задачи (31)–(33) можно предложить следующий алгоритм. Шаг 1. Если oo PP )1( или ,)1( hh WNW − то задача не имеет решения. Шаг 2. Параллельно решаются следующие задачи: }.1,,2,1)(min{arg: };1,,2,1)(max{arg: −== −== NgWgWg NgPgPg hhw oop   Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 107 Шаг 3. Если ,wp gg  то задача не имеет решения. В противном случае ре- шением задачи является .wg Отметим, что на шаге 2 для решения указанных задач может использоваться известный метод деления пополам (дихотомия). Некоторые результаты решения задачи (31)–(33) при N = 20 каналов показаны в табл. 5. Здесь и далее символ  означает, что соответствующая задача не имеет решения. Важно то, что задача (31)–(33) решается при фиксированных значениях нагрузочных параметров сети. Однако, как известно, интенсивности трафиков — это переменные величины, поэтому актуальной становится задача определения интервалов инвариантности найденного решения, т.е. необходимо установить ин- тервалы изменения значений нагрузочных параметров сети, внутри которых найденное решение остается без изменений. Эта проблема исследована с помо- щью численных экспериментов. Их результаты показали, что найденное решение не очень чувствительно относительно значений нагрузочных параметров сети. Таблица 5 № варианта Параметры o h o h oP qW g 1 10 15 1 16 E−01 E−04 2 2 10 15 1 16 E−02 E−04  3 8 15 1 16 E−01 E−05 2 4 8 15 1 16 E−01 E−04 2 5 11 15 1 16 2,0E−01 E−06 6 6 11 15 1 16 2,0E−01 E−07 7 7 11 15 1 16 2,0E−01 E−08  8 11 15 1 20 E−01 E−06 5 9 11 15 1 20 E−01 E−05 4 10 11 15 1 20 E−01 E−04 2 11 11 15 1 20 E−01 E−03 1 12 11 15 1 20 E−02 E−03  13 11 10 1 15 E−01 E−05 4 14 11 10 1 15 E−02 E−05  15 11 10 1 15 E−01 E−06 5 Теперь рассмотрим следующую задачу. Пусть заданы ограничения на все по- казатели QoS и нужно найти такой интервал (максимальной длины) изменения зна- чений числа резервных каналов, чтобы удовлетворялись эти ограничения. Иными словами, требуется найти такие ,],1,1[, ggNgg − чтобы max→− gg при ограничениях .)(,)(,)( NgNWgWPgP avhhoo  Учитывая свойства монотонности функций ),(gPo )(gWh и ),(gNav для решения задачи (34)–(37) можно предложить следующий алгоритм. Шаг 1. Если oo PP )1( или ,)1( hh WNW − или ,)1( NNav  то задача не имеет решения. Шаг 2. Параллельно решаются следующие задачи: }.1,,2,1)(max{arg: };1,,2,1)(min{arg: };1,,2,1)(max{arg: −== −== −== NgNgNg NgWgWg NgPgPg avav hhw oop    Шаг 3. Если ,},min{ wavp ggg  то задача не имеет решения. В противном случае перейти к следующему шагу. 108 ISSN 0572-2691 Шаг 4. Если ,pav gg  то оптимальным решением задачи будет ,: wgg = ;: avgg = в противном случае — ,: wgg = .: pgg = Некоторые результаты решения задачи (34)–(37) при N = 20 каналов показа- ны в табл. 6. Здесь, как и в задаче (31)–(33), имеется возможность провести чис- ленный анализ чувствительности оптимального решения относительно изменения значений нагрузочных параметров сети. Таблица 6 Номер варианта Параметры o h o h oP N qW ],[ gg 1 10 15 1 16 E−01 10 E−04 [2, 6] 2 10 15 1 16 E−02 10 E−04  3 8 15 1 16 E−01 5 E−05 [2, 8] 4 8 15 1 16 E−01 5 E−04 [2, 8] 5 11 15 1 16 2,0E−01 5 E−06 [6, 7] 6 11 15 1 16 2,0E−01 5 E−07 [7, 7] 7 11 15 1 16 2,0E−01 5 E−08  8 11 15 1 20 E−01 5 E−06 [5, 5] 9 11 15 1 20 E−01 5 E−05 [4, 5] 10 11 15 1 20 E−01 10 E−04 [2, 5] 11 11 15 1 20 E−01 10 E−03 [1, 5] 12 11 15 1 20 E−02 10 E−03  13 11 10 1 15 E−01 10 E−05 [4, 5] 14 11 10 1 15 E−02 10 E−05  15 11 10 1 15 E−01 10 E−06 [5, 5] Заключение В данной работе предложены простые вычислительные процедуры для при- ближенного расчета показателей QoS двумерных моделей традиционных сотовых сетей связи с классической схемой резервирования каналов для приоритетных h-вызовов и их бесконечной очередью. В отличие от известных работ здесь пред- полагается, что время занятия каналов o- и h-вызовами, вообще говоря, отличают- ся. Исследуются модели с терпеливыми и нетерпеливыми h-вызовами. Результаты численных экспериментов показали, что разработанные формулы имеют высокую точность при расчете моделей микро- и пикосот, в которых интенсивность h-вы- зовов существенно превышает интенсивность о-вызовов. Решены задачи выбора оптимальных значений числа резервных каналов, обеспечивающих заданный уро- вень качества обслуживания разнотипных вызовов, и изучены вопросы чувстви- тельности оптимальных решений к изменению интенсивности входящих потоков. Чі Сон Кім, А.З. Меліков, Л.А. Пономаренко ДВОВИМІРНІ МОДЕЛІ БЕЗДРОТОВИХ СТІЛЬНИКОВИХ МЕРЕЖ ЗВ’ЯЗКУ З НЕСКІНЧЕНИМИ ЧЕРГАМИ h-ВИКЛИКІВ Пропонуються прості обчислювальні процедури наближеного розрахунку двовимірних моделей стільникових мереж зв’язку зі схемою резервування каналів, в яких можлива організація необмеженої черги терплячих чи нетерп- лячих h-викликів. Нові виклики обслуговуються відповідно до схеми із явни- ми втратами. На відміну від класичних моделей названих мереж допускаєть- Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 109 ся, що нові й h-виклики не ідентичнi за часом зайняття радіоканалів. Резуль- тати числових експериментів показують, що запропоновані формули мають високу точність для мікро- й пікостільників, в яких інтенсивність h-викликів суттєво перевищує інтенсивність нових викликів. Che Soong Kim, A. Z. Melikov, L. А. Ponomarenko TWO-DIMENSIONAL TRAFFIC MODELS FOR WIRELESS CELLULAR TELEKOMMUNICATION NETWORKS WITH INFINITE QUEUES OF h-CALLS Simple computational procedures to approximate calculation of two-dimensional models of cellular networks with guard channels and infinite queue of patient or im- patient handover calls are proposed. New calls are handled by pure lost scheme. Un- like the classical models here it is assumed that new and handover calls are not iden- tical in a sense of time of busy channels. Numerical experiments are shown that the proposed approximate formulas have high accuracy in both microcells and picocells for which intensity of handover calls essentially exceeds intensity of new calls. 1. Hong D., Rapoport S.S. Traffic model and performance analysis of cellular mobile radio tele- phones systems with prioritized and nonprioritized handoff procedures // IEEE Trans. on Vehicu- lar Technology. — 1986. — 35, N 3. — P. 77–92. 2. Lin Y.B., Mohan S., Noerpel A. Queueuing priority channel assignment strategies for PCS handoff and initial access // Ibid. — 1994. — 43, N 3. — P. 704–712. 3. Yoon C.H., Un C.K. Performance of personal portable radio telephone systems with and without guard channels // IEEE J. Selected Areas in Com. — 1993. — 11, N 6. — P. 911–917. 4. L.A. Ponomarenko, A.Z. Melikov, A.T. Babayev. Numerical methods for investigation of cellular communication networks with finite queues of handover-calls // J. of Automat. and Inform. Sci. — 2005. — 37, N 6. — P. 1–11. 5. L.A. Ponomarenko, A.Z. Melikov, A.T. Babayev. Investigation of cellular network characteristics with limited queue of impatient h-calls // Ibid. — 2006. — 38, N 8. — P. 17–28. 6. Yue W., Matsumoto Y. Performance analysis of multi-channel and multi-traffic on wireless com- munication networks. — Boston : Kluwer Academ. Publ., 2002. — 324 p. 7. Melikov A.Z., Babayev A.T. Refined approximations for performance analysis and optimization of queuing model with guard channels for handovers in cellular networks // Comput. Com. — 2006. — 29, N 9. — P. 1386–1392. 8. Wolff R.W. Poisson arrivals see time averages // Oper. Res. — 1992. — 30, N 2. — P. 223–231. 9. Casares-Giner V. Integration of dispatch and interconnect traffic in a land mobile trunking sys- tems. Waiting time distribution // Telecom. Systems. — 2001. — 16, N 3, 4. — P. 539–554. Получено 26.09.2007 Статья представлена к публикации членом редколлегии В.В. Скопецким.

Двумерные модели беспроводных сотовых сетей связи с бесконечными очередями h-вызовов

Institution

Ähnliche Einträge