Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони

Наведено огляд алгоритмів розв’язання однієї з найпростіших задач ідентифікації, яка, однак, має чисельні застосування, а саме, задачі визначення параметрів лінійної стаціонарної системи з неперервним часом за результатами реєстрації в дискретні моменти часу перехідного процесу в цій системі. Порядо...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Ларин, В.Б., Апостолюк, А.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Методы идентификации и адаптивного управления
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207321
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони / В.Б. Ларин, А.С. Апостолюк // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 21–37. — Бібліогр.: 48 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207321
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2073212025-10-07T00:18:19Z Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони Задачі ідентифікації лінійних стаціонарних систем. Частина 1. Метод Проні Identification Problems of Linear Stationary Systems. Part I. Prony’s Method Ларин, В.Б. Апостолюк, А.С. Методы идентификации и адаптивного управления Наведено огляд алгоритмів розв’язання однієї з найпростіших задач ідентифікації, яка, однак, має чисельні застосування, а саме, задачі визначення параметрів лінійної стаціонарної системи з неперервним часом за результатами реєстрації в дискретні моменти часу перехідного процесу в цій системі. Порядок системи припускається відомим. Похибка реєстрації моделюється шляхом утримання тільки фіксованого числа значущих цифр після коми. Розглянуті алгоритми базуються на ідеї метода Проні про декомпозицію загальної задачі ідентифікації на задачу визначення показників експонент і подальше знаходження амплітуд відповідних мод. Відзначається, що за методом Проні і за методом матричних в’язок декомпозиція здійснюється шляхом переходу від системи з неперервним часом до відповідної системи з дискретним часом. Наступний (зворотний) перехід від системи з дискретним часом до системи з неперервним часом, в свою чергу, може викликати додаткові похибки оцінок параметрів вихідної системи з неперервним часом. The review of algorithms of solving of one of the simplest identification problems, which however has multiple applications, namely the problem of parameters determination of linear stationary system with continuous time by the results of transient process registration in this system in discrete instants is presented. The order of the system is assumed to be known. The registration error is modelled by means of retention of fixed number of significant digits after decimal point only. The considered algorithms are based on the idea of Prony’s method on the decomposition of general identification problem to the problem of exponent power determination and subsequent finding of the amplitudes of corresponding modes. It’s noticed that in Prony’s method and in matrix pencil method the decomposition is realised by means of conversion from the system with continuous time to the corresponding system with discrete time. Subsequent (inversed) transition from the system with the discrete time to the system with continuous one in turn can cause the additional errors of parameters estimation of initial system with continuous time. 2011 Article Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони / В.Б. Ларин, А.С. Апостолюк // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 21–37. — Бібліогр.: 48 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207321 517.977.58 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i8.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Ларин, В.Б. Апостолюк, А.С. Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони Проблемы управления и информатики
description	Наведено огляд алгоритмів розв’язання однієї з найпростіших задач ідентифікації, яка, однак, має чисельні застосування, а саме, задачі визначення параметрів лінійної стаціонарної системи з неперервним часом за результатами реєстрації в дискретні моменти часу перехідного процесу в цій системі. Порядок системи припускається відомим. Похибка реєстрації моделюється шляхом утримання тільки фіксованого числа значущих цифр після коми. Розглянуті алгоритми базуються на ідеї метода Проні про декомпозицію загальної задачі ідентифікації на задачу визначення показників експонент і подальше знаходження амплітуд відповідних мод. Відзначається, що за методом Проні і за методом матричних в’язок декомпозиція здійснюється шляхом переходу від системи з неперервним часом до відповідної системи з дискретним часом. Наступний (зворотний) перехід від системи з дискретним часом до системи з неперервним часом, в свою чергу, може викликати додаткові похибки оцінок параметрів вихідної системи з неперервним часом.
format	Article
author	Ларин, В.Б. Апостолюк, А.С.
author_facet	Ларин, В.Б. Апостолюк, А.С.
author_sort	Ларин, В.Б.
title	Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони
title_short	Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони
title_full	Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони
title_fullStr	Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони
title_full_unstemmed	Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони
title_sort	задачи идентификации линейных стационарных систем. часть 1. метод прони
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207321
citation_txt	Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони / В.Б. Ларин, А.С. Апостолюк // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 21–37. — Бібліогр.: 48 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT larinvb zadačiidentifikaciilinejnyhstacionarnyhsistemčastʹ1metodproni AT apostolûkas zadačiidentifikaciilinejnyhstacionarnyhsistemčastʹ1metodproni AT larinvb zadačíídentifíkacíílíníjnihstacíonarnihsistemčastina1metodproní AT apostolûkas zadačíídentifíkacíílíníjnihstacíonarnihsistemčastina1metodproní AT larinvb identificationproblemsoflinearstationarysystemspartipronysmethod AT apostolûkas identificationproblemsoflinearstationarysystemspartipronysmethod
first_indexed	2025-10-07T01:09:00Z
last_indexed	2025-10-08T01:03:49Z
_version_	1845373624048943104
fulltext	© В.Б. ЛАРИН, А.С. АПОСТОЛЮК, 2011 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 21 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 517.977.58 В.Б. Ларин, А.С. Апостолюк ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ. Часть 1. МЕТОД ПРОНИ Введение В различных инженерных задачах (см., например, [1–14]) возникают пробле- мы идентификации в той или иной постановке. Как отмечено в предисловии [15]: «Существенной частью многих задач современной теории систем является необ- ходимость провести идентификацию или моделирование системы. Под идентифи- кацией или моделированием здесь понимается процесс определения разностного или дифференциального уравнения (или коэффициентов этого уравнения), описы- вающего физические явления в системе …». Вероятно, одной из простейших задач такого рода является задача идентификации линейных объектов эволюционного типа [16], изменение во времени выходной координаты которых описывается ли- нейной комбинацией экспонент, т.е. функцией, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Обычно по ре- зультатам наблюдения выходного сигнала в дискретные моменты времени требует- ся определить количество экспонент (порядок модели) и получить оценки парамет- ров. Можно отметить, что такого рода задачи имеют широкую область применения, например: процессы нефтегазодобычи [16], химия полимеров [17], определение па- раметров радиоактивного распада [18], идентификации гибких конструкций [19], оценка параметров гармонического сигнала [20] и др. Далее будем рассматривать только вторую часть сформулированной пробле- мы, а именно: получение оценок параметров модели, предполагая известным ее порядок. Дело в том, что определение порядка модели является самостоятельной задачей [21, 22], и для ее решения могут использоваться различные подходы (процедура упорядоченной минимизации среднего риска [16], информационные критерии [23], t-тест [24–26] и др.). Что касается второй части упомянутой про- блемы, то следует отметить одно из первых ее решений, которое было предложе- но еще в 1795 г. [27, 28] (см. также [18, 29]). Этот подход (метод Прони) основан на введении промежуточной конечно-разностной системы. Сравнение метода Прони с другими методами приведено в [20]. Отметим, что автор этого метода, барон Прони (Gaspard Clair François Marie Riche de Prony), был известным французским ученым. Его имя фигурирует на Эй- фелевой башне в Париже среди имен 72-х выдающихся деятелей Франции (подроб- нее об этом см. http://ru.wikipedia.org/wiki/Прони,_Гаспар_де; http://annales.org/ archives/x/prony.html). В разд. 1, 2 приведена постановка задачи, отмечены возникающие трудности (высокая чувствительность оценок параметров модели, влияющая на их точность). Эти трудности указывают на целесообразность декомпозиции исходной задачи. 22 ISSN 0572-2691 В этой связи изложены алгоритмы, позволяющие произвести такую декомпозицию (метод Прони, разд. 3, метод матричных пучков, разд. 5). В разд. 4 приводятся про- цедуры, позволяющие повысить точность получаемых оценок (тотальный метод наименьших квадратов и т.п.). В связи с тем, что алгоритмы, описанные в разд. 3, 5, предполагают переход от исходной непрерывной модели к дискретной с тем или иным шагом дискретизации (выборки), возникают вопросы, связанные с оптимиза- цией этого шага. Этим вопросам посвящены разд. 6, 7. Вышеупомянутая высокая чувствительность оценок параметров модели в [18] объясняется неортогональностью экспоненциальных функций. 1. Постановка задачи Задача идентификации объекта управления, т.е. выбора модели объекта уп- равления и оценки ее параметров [4, 8], возникает при решении различных проб- лем управления и других прикладных задач (см., например, [30, 31]). Одна из простейших задач такого рода — определение параметров стацио- нарной линейной системы по результатам регулярных измерений, т.е. регистра- ции в равноотстоящие моменты времени реакции системы на то или иное воздей- ствие. Далее, как и в [16], предполагаем, что движение идентифицируемого объ- екта во время переходного процесса моделируется следующим образом: ,)( 1     n j tj jedty (1) где jj d , — подлежащие определению параметры, n — порядок модели. В качестве исходной информации предполагается известной последователь- ность регулярных измерений: , , ,1,)1(,)()(E NiTittyty siiii  (2) где i — погрешности измерений, sT — период регистрации информации. Обычно в управляемых системах как внешние воздействия, так и погрешно- сти измерений описываются в рамках тех или иных гипотез (см., например, [32]). Ниже при рассмотрении примеров (кроме примера 2), как и в [18], принимается простейшая гипотеза, а именно, предполагается, что в (2) погрешности измерений i моделируются путем сохранения только фиксированного числа  значащих цифр после запятой при регистрации ).( ity Легко видеть, что функция ),(ty определяемая (1), удовлетворяет дифферен- циальному уравнению     n j jn j n yay 1 )()( 0 (3) с начальными условиями .,,1),0()0()( njxy jn jn    В свою очередь дифференциальное уравнение (3) можно переписать в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка: ,xAx  ,])0()0()0([)0( T 110  nxxxx  (4) ,T xCy  ,]001[ TC . 1000 0010 1               aa A n      Здесь и далее верхний индекс «T» означает транспонирование. Отметим, что со- гласно (4) имеем ).0()( T xeCty iAt i  (5) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 23 Очевидно, что коэффициенты ja уравнения (3) однозначно связаны с пара- метрами j формулами Виета, а параметры jd определяются начальными усло- виями )0(jnx  и параметрами .j Качество идентификации будем характеризовать квадратичной целевой функцией ,)](~)([ 1 2 E   N i ii tytyJ (6) где )(~ ity — некоторое приближение, определяемое выбором оценок величин  ,1a na , и вектора )0(x в соотношениях (4), (5). Отметим, что целевая функция (6) — дискретный аналог квадратичного функционала, используемого в [16]. Тогда задачу определения параметров )0(jnx  и ja ),,1( nj  можно сформулировать как задачу минимизации по этим параметрам целевой функции (6). Прежде чем рассмотреть вопросы декомпозиции, отметим, что в ряде задач идентификации вместо параметров jj d, в (1) могут определяться параметры соответствующей передаточной функции идентифицируемой системы, которая связывает изображения по Лапласу выходной (наблюдаемой) координаты систе- мы и управляющего воздействия u. В такого рода задачах предполагается, что воздействие u задает начальные условия, т.е. принимается, что u есть -функция Дирака, приложенная к системе в момент  0t [33]. В этой связи приведем не- которые соотношения, позволяющие переходить от описания системы в терминах передаточных функций к описанию в терминах пространства состояний, и наобо- рот [34]. Итак, пусть задана дробно-рациональная передаточная функция )(sG между выходной координатой y и управляющим воздействием u : ,)( usGy  , )( )( )( s sN sG   (7) ,)( 1 1 n nn asass    .)( 2 2 1 1 n nn bsbsbsN    Можно также описать систему (4) в терминах пространства состояний, пред- ставляя ее в виде ,BuAww  ,TwCy  ,],,[ T 1 nwww  (8) где A — матрица размера ,nn B, C — векторы размера .1n Тогда )(sG выра- жается соотношением .)()( 1T BAIsCsG  (9) Здесь и далее I — единичная матрица соответствующего размера. Выбирая в качестве вектора w вектор T 121 ],,,,[  nxxxxw  , где , )( )( i i i dt xd x  1,,1  ni  , согласно [34] имеем            11 0 aaa I A nn    ,                            nn b b aa a B      1 1 11 1 1 01 ,              0 0 1  C . (10) 24 ISSN 0572-2691 Отметим, что если в (8) u есть -функция Дирака, то согласно (9) имеем .)( T BeCty iAt i  (11) Подчеркнем, что и при таком представлении системы возможна описанная выше процедура декомпозиции задачи. Первый этап решения задачи состоит в получении оценок коэффициентов знаменателя передаточной функции (7) (коэф- фициентов характеристического полинома матрицы A). Эти коэффициенты можно получить тем или иным способом (например, представленным ниже методом Прони). Далее, располагая результатами наблюдений ),( ity можно определить параметры вектора B, рассматривая (11) как систему линейных уравнений относи- тельно элементов вектора B. После этого согласно (10) искомый вектор коэффи- циентов числителя )(sG определяется следующим соотношением: . 1 01 11 1 1 B aa a b b nn                                (12) 2. Процедура минимизации При решении задачи идентификации представляется естественным попы- таться определять все искомые параметры, непосредственно находя минимум функционала (6) по этим параметрам. В частности, очевиден поиск такого мини- мума по показателям j и начальным условиям ),0(jnx  определяющим коэф- фициенты ,jd используя наблюдаемые значения (2). Однако при одновременном определении параметров j и jd путем мини- мизации (6) могут возникнуть трудности. В случае действительных показателей ,j фигурирующих в (1), они обусловлены неортогональностью экспоненциаль- ных функций и, как следствие, — «…исключительной чувствительностью пока- зательных функций и амплитуд к весьма малым изменениям данных» [18]. В частности, при использовании стандартных вычислительных процедур отмечен- ная особенность задачи может проявиться в изменении результатов решения при изменении начального приближения [35]. Покажем неэффективность такого подхода на примере определения парамет- ров радиоактивного распада (см. [18]). Пример 1 [18]. Определение параметров радиоактивного распада. В этом случае фигурирующие в (1) параметры имеют следующие значения: .557,1,8607,0,0951,0,5,3,1 321321  ddd (13) Для решения задачи идентификации доступны 24 измерения, выполненные через равные промежутки времени, т.е. в (2) ),1(05,0  iti .24N Погреш- ность измерений )( i моделируется округлением значений элементов последова- тельности (2) до  цифр после запятой. Другими словами, если )( ity — точное значение, то принимается, что )},(10{10)(E ii tyty  (14) где }{ — операция округления до ближайшего целого числа (процедура round.m пакета MATLAB). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 25 Далее, при ,3 задача минимизации (6) решалась методом Нелдера–Мида (поиск по деформируемому многограннику [36]) с использованием процедуры fminsearch.m пакета MATLAB. Получено три решения при различных значениях начального приближения. Во всех экспериментах в качестве начального прибли- жения для j выбирались их точные значения, указанные выше, а в качестве начального приближения для )0(x — точное значение ,]7814,464652,105134,2[)0( Tx и два других, не совпадающих с :)0(x ,]50102[)0( T 1 x .]40102[)0( T 2 x В таблице приведены значения ,j полученные при решении задачи мини- мизации (6) при таком выборе начальных приближений. Таблица j Начальное приближение для x(0) )0(x )0(1x )0(2x 1 0,9554 0,8820 1,0935 2 3,0525 2,9750 3,2300 3 5,0715 5,0420 5,1485 Отметим, что полученное во всех трех экспериментах минимальное значение целевой функции J равнялось 0,0010. Подчеркнем, что во всех численных экспе- риментах в качестве начального приближения принимались точные значения па- раметров .j Полученные результаты подтверждают вывод [18, с. 284], что этот «… пример хорошо иллюстрирует те поразительные каверзы, которые может сде- лать неортогональный характер экспоненциальных функций». В этой связи целесо- образно рассмотреть возможность декомпозиции исходной задачи на задачу опре- деления j и последующую задачу нахождения ,jd т.е. использовать подход, из- вестный как метод Прони [27]. 3. Метод Прони Рассмотрим случай, когда переходные процессы в системе (4) измеряются через равные интервалы времени .sT Пусть матрица A определяется (4), а характеристиче- ский полином матрицы sAT e имеет вид .1 1 n nn    (15) Приняв во внимание (5), рассмотрим сумму   )()()( 11 ininin tytyty  ).0()]()()[( 1 1 xeIeeC iAT n nATnAT sss    (16) Поскольку матрица sAT e обращает в нуль свой характеристический полином, можно утверждать, что .0 Отметим, что корни j характеристического по- линома (15) и корни j характеристического полинома матрицы A связаны соот- ношением .sjT j e   (17) 26 ISSN 0572-2691 Таким образом, в случае точных равноотстоящих измерений задачу можно разбить на две: задачу нахождения j — коэффициентов характеристического полинома (15) из системы линейных уравнений, что позволит найти корни j этого полинома и согласно (17) определить ;j и вторую задачу (при извест- ных ),j которая сводится к нахождению )0(x или коэффициентов jd в (1) пу- тем решения системы линейных уравнений. Эта декомпозиция исходной задачи и составляет суть метода Прони и построенных на его основе алгоритмов. Остановимся на первой задаче. Коэффициенты полинома (15), учитывая, что ,0 можно определить из следующей системы линейных уравнений: ,0ZZ  (18) , 1 21 1                iin n n yy yy yy Z     , 1 0            in n y y Z  . 1            n  (19) Здесь и далее используются обозначения ).( ii tyy  Определив из (18), (19) коэффи- циенты j полинома (15) и вычислив корни j этого полинома, согласно (17) на- ходим .j Располагая значениями ,j можно найти коэффициенты ,jd фигури- рующие в (1). Отметим, что алгоритм Прони можно представить в более общем виде, про- изводя выборку через кратные периоду sT интервалы времени. Тогда аналогич- но (15) можно записать выражение для характеристического полинома матрицы sAkT e (k — целое число): .1 1 nk n kk n k    (20) В этом случае аналогом (16) будет соотношение .0)1(1   inkiknkink yyy  (21) Соответственно имеем аналог соотношений (17) , skTj jk e   (22) где jk — корень характеристического полинома (20). Затем можно найти иско- мые показатели: jk s j kT  ln 1 и коэффициенты .jd В связи с тем, что измерения (2) сопровождаются погрешностями, возникает необходимость оценки точности получаемых оценок и потребность разработки процедур, позволяющих повысить точность оценок параметров модели. 4. Учет погрешностей регистрации Выше, при изложении сути метода Прони, предполагалось, что погрешности i в (2) отсутствуют. Однако с учетом этих погрешностей соотношения (18) надо переписать следующим образом: ),()( 00 ZZZZ  (23) где матрица Z и вектор 0Z обусловлены погрешностями i в измерениях (2), век- тор  является искомой оценкой вектора параметров , т.е. наличие погрешно- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 27 стей в (2) приводит к появлению возмущений как в матрице Z, так и в правой ча- сти системы линейных уравнений, которая определяет вектор искомых парамет- ров. Поэтому наличие погрешностей измерений ставит задачу выбора алгоритма для получения наиболее точной оценки вектора параметров . Здесь, кроме мето- да наименьших квадратов, можно отметить тотальный метод наименьших квадра- тов [11, 37, 38], метод оценивания линейных систем с неопределенностью интер- вального типа [39], метод матричных пучков [40] и др. Кратко опишем метод наименьших квадратов и тотальный метод наимень- ших квадратов [37, 38] применительно к решению системы линейных уравнений .bAx  (24) Метод наименьших квадратов [41] для решения системы (24) состоит в сле- дующем. Необходимо определить x из условия ,min bAx x  (25) где  — евклидова норма [42]. Формулировка (25) эквивалентна следую- щей [37, 38]: b bx   , min при условии .bbAx  (26) При такой постановке искомое решение имеет вид ,†bAx  (27) где верхний символ «†» означает операцию псевдообращения (процедура invp.m пакета MATLAB). В случае переопределенной системы (24), когда матрица A имеет полный ранг, решение (27) можно записать в виде ,)( T1T bAAAx  (28) но вычисления по этой формуле могут сопровождаться существенными погреш- ностями. Тотальный метод наименьших квадратов используется, когда в (24) возмущен- ными являются как матрица A, так и вектор b, т.е. .)( bbxAA  По аналогии с (26) в этом случае решение (24) интерпретируется как результат минимизации bA  при условии .)( bbxAA  Решение этой задачи имеет вид [37] ,)( T12T bAIAAx  (29) где  — минимальное сингулярное число матрицы ].[ bA Другие выражения для решений (27), (29) приведены, например, в [37, 38]. Описанные выше процедуры позволяют, в известной степени, повысить (по сравнению с (28)) точность оценок коэффициентов ,j определяемых (23), а следовательно, и точность оценок .j Дальнейшее повышение точности оценок j может быть достигнуто с помощью метода матричных пучков. 5. Метод матричных пучков Отметим, что развитием метода Прони, направленным на повышение точно- сти определения ,j можно считать метод матричных пучков [40], позволяющий находить j без предварительного определения .j 28 ISSN 0572-2691 Суть этого метода заключается в следующем. Из элементов последователь- ности )}({ E ity формируется матричный пучок ,01 XX  (30) где матрицы 0X и 1X размером LLN  )( имеют вид ],)0()2()1([0 xLxLxX  (31) .])1()([1 xLxX  (32) Столбцы )(tx этих матриц определяются следующим образом: .])1()1()([)( T tLNytytytx  (33) Величина L называется параметром пучка. Согласно [40] при выборе величины L нужно руководствоваться следующими соотношениями: .23, NLNnL  Нетрудно видеть, что матрицы 10 , XX допускают следующее представление через параметры , , jjd  фигурирующие в (1), (20): ;, 10 RLRL RZZZXRZZX  , 11 1 1                 n n LZ     ;1 LN ; 1 1 21 2 1 1 1                   L n L n LL RZ }; , ,{diag 1 nZ   }. , ,{diag 1 nddR  Таким образом, пучок (30) может быть записан в следующем виде: .)(01 RL ZIZRZXX  (34) Как показано в [40], при nNLn  значение j уменьшает ранг пуч- ка (34). Соответствующая обобщенная задача на собственные значения имеет вид .0)( 01  qXX (35) Умножив слева (35) на † 0X — результат псевдообращения матрицы 0X — получим обычную задачу на собственные значения qqXX 1 † 0 (36) для матрицы ,1 † 0 XX которая имеет ранг .Ln  Как показано в [40], интересую- щие нас значения j совпадают с ненулевыми собственными значениями матри- цы ,1 † 0 XX фигурирующей в (36). Приведенные соотношения позволяют указать алгоритм определения j (с по- следующим определением согласно (17) величин ).j Задавшись величиной L, фор- мируем согласно (30)–(32) матрицы 0X и .1X Далее строим сингулярное разло- жение (SVD) [41–43] матрицы :0X ,T 0 VUX  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 29 где U, V — ортогональные матрицы, . 0 1      Диагональная матрица 1 разме- ром LL имеет вид .0} ,{diag0} , 0, , , ,{diag 011   n (37) Разбив матрицы U, V,  на блоки ] ,[,] ,[, 00 0 1010 0 VVVUUU        , получим следующее представление матрицы 0X : . ,, 0 T 00 T 0 T 0000 IVVIUUVUX  (38) Согласно (38) T 0 1 00 † 0 VUX  и соотношение (36) можно записать так: .1 T 0 1 00 qqXVU  (39) Поскольку интерес представляют только ненулевые значения матрицы ,1 † 0 XX то, умножив соотношение (39) слева на ,T 0V перепишем его в виде [40]: .)( T 0 T 001 T 0 1 0 qVqVVXU  Последнее соотношение позволяет находить величины j как собственные значения несимметричной nn -матрицы .01 T 0 1 0 VXUZE  (40) Отметим, что при наличии погрешности измерений в общем случае в матри- це (37) все диагональные элементы будут нулевыми. Однако при малых погреш- ностях регистрации первые n элементов этой матрицы будут существенно пре- восходить остальные, что можно использовать как индикатор порядка модели идентифицируемой системы. 6. Оптимизация величины шага выборки Рассмотрим вопрос выбора оптимальной величины k [44]. В соответствии с (22) на точность оценивания j влияет как точность оценки ,ˆ j так и величина шага выборки .skT Эта зависимость отмечена в [45]. Касаясь проблемы выбора шага, К. Ланцош в работе [18, с. 281] дает такую рекомендацию по выбору шага: «… На практике не следует брать … ординаты близко отстоящих точек, нужно сделать skT как можно большим, чтобы умень- шить влияние ошибок наблюдения». Отметим, что эта рекомендация (выбирать maxkk  при постоянном )sT неверна. Как отмечено в [18, 21, 44, 46], варьируя параметр k в соотношениях (20)–(22), можно повысить точность определения .j Таким образом, совершенствование алгоритма идентификации должно вклю- чать повышение точности определения j и минимизацию погрешностей, свя- занных с переходом от j к j [44, 47, 48]. Для иллюстрации механизма возникновения таких погрешностей рассмотрим связь относительных и абсолютных погрешностей, присутствующих при опреде- 30 ISSN 0572-2691 лении j и j в простейшем случае, когда j — отрицательное действительное число. Итак, пусть j̂ и j̂ — приближенные значения j и :j .ˆ ,ˆ jjjjjj m Предполагая, что j и j связаны соотношением (17), при малых погрешностях j и jm имеем )1( )( sjj mT jj Tme jjs   или .sjT s j j e T m   Из этого соотношения следует, что при фиксированной величине погрешности j при ,0sT sT величина ,jm т.е. существует такое (оптимальное) значение ,sT при котором погрешность jm минимальна. В этой связи для повы- шения точности определения j было предложено [44] модифицировать соотно- шения (20)–(22), заменяя интервал sT интервалом ,skT и искать оптимальное значение k. Пусть теперь, в общем случае, j — комплексный корень: jjj  j . Если jj 21 j — погрешность оценки ,ˆ jk а jj mm 21 j — погрешность ,ˆ j то ,)j(jˆ 21 )j( 21 21 sjsjsjjj kT sjj kTkTmm jjjkjk ekTmmee   (41) откуда ,sincos 211 sjjsjjj s kT kTmkTm kT e sj   (42) sjjsjjj s kT kTmkTm kT e sj   cossin 212 , (43) и, следовательно, с точностью до малых величин более высокого порядка связь между модулями погрешностей jk̂ и j̂ имеет вид , 1 j kT s mj sje kT    (44) где ,)()( 2 2 2 1 jjmj mm  .)()( 2 2 2 1 jjj  Таким образом, необходимо аппроксимировать зависимость j от k. Пусть jk — погрешность определения коэффициента ,jk jk — погрешность опре- деления j-го корня ,jk т.е. ,ˆ jkjkjk  ,ˆ jkjkjk  . , ,1 nj  (45) Считая малыми jk и jk (удерживая в (45) члены jk и jk не выше пер- вой степени), можно записать следующее соотношение:   1 1 11 1 ˆˆˆˆ n jkkjk n jk n jknk n jkk n jk n .0)1( 2 1 1 1   nknkjk n jkk n jkk n  (46) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 31 Принимая во внимание (20), определим, что jk — погрешность определе- ния j-го корня — при выбранном k составляет .)( 1 1 1 11 1                 n q qn jkqk n jk n q qn jkqkjk qnn Найдем статистические характеристики этих погрешностей. Среднее значе- ние квадрата модуля погрешности j-го корня равно .)( 2 1 1 112                n q qn jkqk n jkjkkjkjjkjk qnntt (звездочка означает транспонирование и замену компонент вектора комплексно- сопряженными величинами). Здесь среднеквадратичное значение модуля погреш- ности определения корня j равно ],1 , , , ,[ 21 jk n jk n jkjkt    а элементы jk корреляционной матрицы k равны .T jkjkjk  Найдем выражение, которое связывает погрешность jk с погрешностью ре- гистрации функции ),(ty что позволит определить матрицу .k Погрешность )(ii  в (2) считаем стационарной случайной последовательностью, у которой ,0 )(  i       .при ,при0 )()( 2 q q q    С учетом сказанного систему (23) запишем так: ,)())(( kkkkkk ZZ  где , )1()1(1 )1(]1)1[(1            nkNykNy ykny Zk    ; )1()1(0 )1(]1)1[(0            nkNkN kn Zk    ,] , , ,[ 10 T nkkkk   ]; , , ,[ 10 T nkkkk   )],( , ),1( ),([T Nynkynkyk  .)]( , ),1( ),([T Nnknkk   Определим статистические характеристики вектора ,k предполагая, что произведения погрешностей дают величины более высокого порядка малости, ко- торыми можно пренебречь. Принимая во внимание, что ,kkkZ  имеем .kkkkk ZZ  Корреляционная матрица погрешностей k равна искомой матрице :k .T kkk  Имеем ,kkkkkk ZZ  а , TTTT kkkkkkkkk ZZZZ  откуда .)()( TTT1T kkkkkkkkk ZZZZZZ   Реализация полученного выражения на ЭВМ может вызвать определенные затруднения, поскольку вычисление матрицы T kk даже при принятой не- коррелированности погрешностей регистрации )( и )(q хотя и элементарное, но громоздкое (матрица T kk имеет размер , где ).1 nkN Поэто- му представляется более целесообразным ограничиться вычислением приближен- 32 ISSN 0572-2691 ного значения .k Считаем, что основной вклад в элементы k делают диаго- нальные элементы матрицы T kk , т.е. принимаем такую аппроксимацию:           I n jkkk 1 22T 1 I( — единичная матрица размера ). Это предположение позволяет записать выражение для матрицы k в виде .1 1 22 k n jkk P           Матрица ,kP которая входит в это выражение, получается вычеркиванием из матрицы )( T kkk ZZP  первой строки и первого столбца. Итак, выражение для среднеквадратической погрешности оценки j-го корня j при выбранном k с учетом соотношения (44) имеет вид . )( 1 1 1 11 *         n q qn jkqk n jk jkkjkkT s k mj qnn tt e kT sj (47) Полученное соотношение (47) позволяет найти оптимальное значение k, со- ответствующее наиболее точной оценке j-го корня j (это k соответствует ).min k mj k  Более подробно указанные процедуры изложены в [21, 44]. Пример 2. Исходные данные: функция tety t sin)(  ( ),1 ,1 ,1(  j ,30  t регистрируется с погрешностью примерно 3 % ).105( 3 Интервал квантования ,1,0sT а последовательность (2) содержит 31 точку. Результаты решения задачи идентификации иллюстрируются рис. 1: черные точки, соединен- ные штриховой линией — значения среднеквадратической погрешности ,k m вы- численные по формуле (47), в зависимости от k, светлые кружочки — полученные модули погрешностей оценок корня при разных реализациях шума. Полученный график наглядно показывает существование оптимального зна- чения k, соответствующего минимальным значениям среднеквадратической по- грешности .k m 0 2 4 6 8 10 12 14 k m 10  2 10 1 10  0 10 1 k Рис. 1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 33 7. Обобщение метода матричных пучков Для оптимизации процедуры перехода от j к j ниже изложим модифика- цию метода матричных пучков [49], способствующую отысканию k j )( без предварительного определения коэффициентов jk полинома (20). Условно можно считать, что приведенный выше алгоритм соответствует мето- ду Прони, определяемому соотношениями (20), (21) (в том смысле, что позволяет находить значения ).j Руководствуясь соображениями, приведенными в разд. 5, целесообразно построить матричный пучок, позволяющий сразу вычислить ,jk т.е. построить аналог алгоритма, базирующегося на соотношениях (20), (21). Простейший вариант такого обобщения может быть связан с построением матричного пучка, имеющего структуру, аналогичную (34), но матрица Z в этом случае заменена матрицей .kZ Пучок, обладающий такими свойствами, может быть сформирован следующим образом. По элементам последовательности (2) формируются матрицы ],)()1()([ , ],)0()1()([ 1 0 kxLxLxX kLxxxX k k     (48) столбцы которых ))(( tx определяются соотношением (33). При ,1k очевидно, ,00 XX k  11 XX k  Непосредственной проверкой можно убедиться, что матри- цы kX 0 и kX1 допускают следующее представление: ,0 RKLk RZZX  kX1 RK k L ZRZZ , где матрицы ,LZ R, Z совпадают с соответствующими матрицами, определяющими 0X и 1X , матрица RKZ имеет следующую структуру: . , 1 1 1 1 11 kLZ nn RK                    Эти соотношения позволяют записать пучок kk XX 01  в форме (34) .)(01 RK k Lkk ZIZRZXX  (49) Соответствующая задача на собственные значения (аналог (35)) имеет вид .0)( 01  qXX kk (50) Сравнивая (34) и (49), можно утверждать, что значение jk будет умень- шать ранг пучка (49). Умножив слева (50) на † 0kX , получим аналог (36) ,1 † 0 qqXX kk  (51) т.е. отличные от нуля собственные значения матрицы kk XX 1 † 0 будут соответ- ствовать корням уравнения (20). Алгоритм определения этих значений аналоги- чен вышеописанному и включает следующие этапы. Задавшись величиной k, формируем матрицы kk XX 10 , согласно (48). Используя сингулярное разложение матрицы :0kX , ,, TTT 0 IVVIUUVUX k  (52) 34 ISSN 0572-2691 ,}0 ,{diag0} , ,0 , , ,{diag , 0 011 1         n } , ,{diag 10 n  , формируем аналогичное (38) представление матрицы :0kX .T 0000 VUX k  (53) Приняв во внимание (53), перепишем (51) в следующем виде: ),()( T 0 2/1 0 T 0 2/1 0 2/1 001 T 0 2/1 0 qVqVVXU k   что позволяет находить величины sjkT jk e   как собственные значения nn - матрицы .2/1 001 T 0 2/1 0   VXUZ kEK Пример 3. Проиллюстрируем возможности повышения точности решения задачи идентификации путем соответствующего выбора параметра k в (48). В этой связи снова рассмотрим пример 1 [18] определения постоянных радиоактивного распада. Принимаем, что процесс регистрируется через промежутки времени T s  10 2 и в последовательности (2) .116N Погрешность регистрации моделируется сле- дующим образом. Значения элементов последовательности (2) округляются до трех цифр после запятой ).3(  Значение параметра L, принято равным 70, что удовле- творяет условиям ,nL  .23 NLN  Используя алгоритм, изложенный выше, при указанных исходных данных находим оценки j̂ постоянных распада j )3 ,2 ,1( j как функции параметра k. Графики относительных погрешностей jjjj  /)ˆ( изображены на рис. 2. Рис. 2 демонстрирует возможность повышения точности путем выбора k (например, при 10k и 22k наблюдается уменьшение погрешностей). Как сле- дует из этого рисунка, даже при использовании весьма эффективного алгоритма [40], величина относительной погрешности определения параметров j может достигать 15–20 % при условии, что исходная информация довольно точна (со- хранялось три значащих цифры после запятой). Как уже отмечалось в примере 1, этот эффект обусловлен неортогональностью экспоненциальных функций [18]. 0 5 10 15 20 25 j 0,2 k 0,15 0,1 0,05 0 0,05 0,1 0,15 1 2 3 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 35 Рис. 2 Заключение Рассмотрена задача определения параметров линейной стационарной системы с непрерывным временем по результатам регистрации в дискретные моменты вре- мени переходного процесса в этой системе. Приведен обзор алгоритмов решения этой одной из простейших задач идентификации, имеющей, однако, многочислен- ные приложения. Порядок системы предполагается известным. Погрешность реги- страции, как и в [18], моделируется путем удержания только фиксированного числа значащих цифр после запятой. Общей чертой рассмотренных алгоритмов является использование идеи метода Прони о декомпозиции общей задачи идентификации на задачу определения показателей экспонент и последующее нахождение ампли- туд соответствующих мод. В методе Прони и в методе матричных пучков такая де- композиция осуществляется переходом от системы с непрерывным временем к со- ответствующей системе с дискретным временем. Последующий (обратный) пере- ход от системы с дискретным временем к системе с непрерывным временем, в свою очередь, может вызвать дополнительные погрешности оценок параметров исходной системы с непрерывным временем. В.Б. Ларін, О.С. Апостолюк ЗАДАЧІ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ЛІНІЙНИХ СТАЦІОНАРНИХ СИСТЕМ. Частина 1. МЕТОД ПРОНІ Наведено огляд алгоритмів розв’язання однієї з найпростіших задач ідентифі- кації, яка, однак, має чисельні застосування, а саме, задачі визначення пара- метрів лінійної стаціонарної системи з неперервним часом за результатами реєстрації в дискретні моменти часу перехідного процесу в цій системі. По- рядок системи припускається відомим. Похибка реєстрації моделюється шля- хом утримання тільки фіксованого числа значущих цифр після коми. Розгля- нуті алгоритми базуються на ідеї метода Проні про декомпозицію загальної за- дачі ідентифікації на задачу визначення показників експонент і подальше знаходження амплітуд відповідних мод. Відзначається, що за методом Проні і за методом матричних в’язок декомпозиція здійснюється шляхом переходу від системи з неперервним часом до відповідної системи з дискретним часом. Наступний (зворотний) перехід від системи з дискретним часом до системи з неперервним часом, в свою чергу, може викликати додаткові похибки оці- нок параметрів вихідної системи з неперервним часом. V.B. Larin, A.S. Apostolyuk IDENTIFICATION PROBLEMS OF LINEAR STATIONARY SYSTEMS. Part I. PRONY’S METHOD The review of algorithms of solving of one of the simplest identification problems, which however has multiple applications, namely the problem of parameters deter- mination of linear stationary system with continuous time by the results of transient process registration in this system in discrete instants is presented. The order of the system is assumed to be known. The registration error is modelled by means of reten- tion of fixed number of significant digits after decimal point only. The considered al- gorithms are based on the idea of Prony’s method on the decomposition of general identification problem to the problem of exponent power determination and subse- quent finding of the amplitudes of corresponding modes. It’s noticed that in Prony’s method and in matrix pencil method the decomposition is realised by means of con- 36 ISSN 0572-2691 version from the system with continuous time to the corresponding system with dis- crete time. Subsequent (inversed) transition from the system with the discrete time to the system with continuous one in turn can cause the additional errors of parameters estimation of initial system with continuous time. 1. Автоматизированная система для экспериментальных исследований низкочастотных виб- раций / Б.Ф. Бобров, С.А. Добрынин, А.В. Синев, В.С. Соловьев, И.Т. Чернявский // Мето- ды исследования динамических систем на ЭВМ. — М. : Наука, 1984. — С. 12–16. 2. Девис П., Хэммонд Дж.К. Сравнение метода преобразования Фурье и параметрических методов идентификации конструкций // Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Сер. «Конструирование и технология машиностроения». — 1984. — 106, № 1. — С. 38–48. 3. Идентификация и оценка параметров систем: Препр. IV симпозиума ИФАК: В 3 ч. — Тби- лиси, 21–27 сент. 1976. — Тбилиси : Мецниереба, 1976. 4. Льюнг Л. О точности модели в идентификации систем // Изв. РАН. Техн. кибернетика. — 1992. — № 6. — С. 55–64. 5. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состоя- ния. — М. : Мир, 1975. — 683 с. 6. Aström K.J., Eykhoff E. System identification — a survey // Automatika. — 1971. — 7. — P. 123–162. 7. Danilin A.N., Shalashilin V.I. A Method to identify hysteresis by an example of an antigalloping device // Int. Appl. Mech. — 2010. — 46, N 5. — P. 588–595. 8. Identification of continuous-time models from sampled data / H. Garnier, L. Wang (Eds.). — London : Springer-Verlag, 2008. — 281 p. 9. Identification of positive real models in subspace identification by using regularization / I. Go- ethals, T. Van Gestel, J. Suykens, P. Van Dooren, B. De Moor // IEEE Trans. Automat. Contr. — 2003. — 48, N 10. — P. 1843–1847. 10. Ljung L. System identification: theory for the user. — Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1983. — 609 p. 11. Application of structural total least squares for system identification and model reduction / Mar- kovsky I., Willems J.C., Van Huffel S., De Moor B., Pintelon R. // IEEE Trans. Automat. Contr. — — 2005. — 50, N 10. — P. 1490–1499. 12. McDonough R.N., Huggins W.H. Best least-squares representation of signals by exponentials // Ibid. — 1968. — 13, N 4. — P. 408–412. 13. Sergienko I.V., Deineka V.S. Identification of the parameters of the stress-strain problem for a multicomponent elastic body with an inclusion // Int. Appl. Mech. — 2010. — 46, N 4. — P. 377–387. 14. Tormakhov N.N. Experimental verification of constitutive equations of thermoelastoplasticity with taking into account the third invariant of stress deviator / Ibid. — 2010. — 46, N 11. — P. 49–56. 15. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. — М. : Наука, 1974. — 246 с. 16. Бахтизин Р.Н., Латыпов А.Р. Оценка порядка линейных объектов по экспериментальной информации // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 3. — С. 108–112. 17. Тобольский А.В. Свойства и структура полимеров. — М. : Химия, 1964. — 324 c. 18. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа : Справ. руководство. — М. : Фи- зматгиз, 1961. — 524 с. 19. Moustafa K.A.F. Time-domain structural identification using free response measurements // Int. J. Contr. — 1992. — 56, N 1. — P. 51–65. 20. Kay S.M., Marple S.L. Spectrum analysis — a modern perspective // Proceedings of the IEEE. — 1981. — 69, N 11. — P. 5–51. 21. Апостолюк А.С., Бобров Б.Ф., Бордюг Б.А., Градецкий А.В., Ларин В.Б., Сафронов Ю.Г., Соловьев В.С. Оптимизация метода Прони при идентификации линейных динамических систем: Препр. / АН УССР. Ин-т математики. — Киев, 1987. — 64 с 22. Bellman R. On the separation of exponentials // Boll. Unione Matem. Ital. — 1960. — III, 15, N 1. — P. 38–39. 23. Reddy V.U., Biradar L.S. SVD-Based information theoretic criteria for detection of the number of damped/undamped sinusoids and their performance analysis // IEEE Trans. on Signal Proces. — 1993. — 41, N 9. — P. 2872–2881. 24. Felkaoui A., Apostoliouk A. Algorithme de détermination de l’ordre d’un modèle AR pour un sys- tème dynamique linéaire stationnaire // Proc. Conf. Int. MOAD’92 «Méthodes et outils d’aide à la décision». Béjaia (Algérie), 15–17 Dec. — 1992. — 1. — P. 309–314. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 37 25. Felkaoui A., Apostoliouk A., Fortas B. Sur l’estimation de l’ordre dans les processus vibratoires // Annexe of Proc. Conf. Int. of PROVIB'93 (Problématique des vibrations dans l’industrie). Blida (Algérie), 28–30 Nov. 1993. 26. Felkaoui A., Fortas B., Apostoliouk A. Sur la sélection de l’ordre dans l’analyse spectrale mo- derne des processus linéaires // Proc. conf. Int. of ICSS’94, Alger, 24–26 sept. — 1994. — 1. — P. 178–181. 27. Hildebrand F.B. Introduction to numerical analysis. — New York : McGraw-Hill, 1956. — 341 p. 28. Prony R. Essai expérimental et analytique sur les lois de la Dilatabilité des fluides élastiques et sur celles de la Force expansive de la vapeur de l’eau et de la vapeur de l’alkool, à différentes temperatures // Paris, J. de l’Ecole Polytechnique. — 1795. — 1 (2). — P. 24–76. 29. Hamming R.W. Numerical methods for scientists and engineers. — New York; San Francisco; Toronto; London : Mc Graw-Hill Book Company, Inc., 1962. — 411 p. 30. Апостолюк А.С. Вопросы идентификации систем виброзащиты // Четвертое республикан- ское совещание по проблемам динамики твердого тела (г. Донецк, ноябрь 1984 г.). Тез. докл. — Донецк : Изд-во Ин-та прикладной математики и механики АН УССР, 1984. — С. 4. 31. Apostoliouk A. Amélioration de la méthode de Prony dans le problème d'identification des sys- tèmes dynamiques // Proc. of ICEA’92 «First Intern. Conf. on Electron. and Automat. Contr.», Tizi-Ouzou (Algérie). — 4–6 mai 1992. — 3. — P. 92–99. 32. Кунцевич В.М., Куржанский А.Б. Области достижимости линейных и некоторых классов нелинейных дискретных систем и управления ими // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2010. — № 1. — С. 5–21. 33. Kailath T. Linear systems. — Englewood Cliffs; New York : Prentice-Hall, Inc., 1980. — 628 p. 34. Bryson A.E. Jr. Some connections between modern and classical control concepts // Trans. ASME. J of Dynamic Systems, Measurement, and Contr. — 1979. — 101, June. — P. 91–98. 35. Apostolyuk A.S., Larin V.B. On Identification of linear stationary systems // J. of Automat. and In- form. Scie. — 2008. — 40, N 7. — P. 37–47. 36. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М. : Мир, 1975. — 534 c. 37. Abatzoglou T.J., Mendel J.M., Harada G.A. The constrained total least squares technique and its applications to harmonic superresolution // IEEE Trans. on Signal Proc. — 1991. — 39, N 5. — P. 1070–1086. 38. DeGroat R.D., Dowling E.M. The data least squares problem and channel equalization // Ibid. — 1993. — 41, N 1. — P. 407–411. 39. Поляк Б.Т., Назин С.А. Оценивание параметров в линейных многомерных системах с ин- тервальной неопределенностью // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1–2. — С. 103–115. 40. Hua Y., Sarkar Т.К. Matrix pencil method for estimating parameters of exponentially damped/undamped sinusoids in noise // IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Proc. — 1990. — 38, N 5. — P. 814–824. 41. Golub G.H. Numerical method for solving linear least squares problems // Numerische Math. — 1965. — 7, N 3. — P. 206–216. 42. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М. : Наука, 1984. — 320 с. 43. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М. : Мир, 1980. — 279 с. 44. Deychenkova L.V., Larin V.B. The method of least squares used in the identification of vibromea- suring systems // Soviet Automat. Contr. — 1977. — N 3. — P. 11–17. 45. Smith F.W. System Laplace-transform estimation from sampled data // IEEE Trans. on Automat. Contr. — 1968. — AC-13, N 1. — P. 37–45. 46. Апостолюк А.С., Градецкий А.В., Сафронов Ю.Г. Оптимизация метода Прони при иденти- фикации линейных динамических систем // Шестая Всесоюз. конф. по управлению в меха- нических системах (г. Львов, 26-28 апреля 1988 г.). Тез. докл. — Львов : Ин-т прикладных проблем механики и математики АН УССР, 1988. — С. 11. 47. Апостолюк О.С., Апостолюк В.О. До переходу від дискретних до неперервних полюсів лі- нійної інваріантної в часі динамічної системи за методом Проні // Наукові вісті НТУУ «КПІ». — 2008. — № 3. — С. 80–86. 48. Fassions S.D., Eman K.F., Wu S.M. Sensitivity analysis of the discrete-to-continuous dy- namic system transformation // J. Dynamic System Measurement and Contr. — 1990. — 112. — P. 1–9. 49. Larin V.B. The use of matrix pencils in an identification problem // J. of Automat. and Inform. Sci. — 1996. — 28, N 3&4. — P. 53–62. Получено 29.03.2011

Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони

Institution

Ähnliche Einträge