Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения

Запропоновано метод розв’язання задач прийняття рішень, в яких ціль особи, що приймає рішення, задається нечіткою множиною чітких відношень переваги. Побудовано функції належності нечіткої множини слабих та сильних ефективних альтернатив, досліджено їхні властивості і взаємозв’язок....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Мащенко, С.О., Бовсуновский, А.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207658
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения / С.О. Мащенко, А.Н. Бовсуновский // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 50-60. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207658
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2076582025-10-12T00:14:17Z Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения Ефективні альтернативи задач прийняття рішень з нечіткою множиною відношень переваги Effective alternatives to decision-making problems with a fuzzy set of preference relations Мащенко, С.О. Бовсуновский, А.Н. Оптимальное управление и методы оптимизации Запропоновано метод розв’язання задач прийняття рішень, в яких ціль особи, що приймає рішення, задається нечіткою множиною чітких відношень переваги. Побудовано функції належності нечіткої множини слабих та сильних ефективних альтернатив, досліджено їхні властивості і взаємозв’язок. The method of solving of decision making problems, in which the goal of decision maker is set by the fuzzy set of crisp preference relations, is offered. Membership functions of fuzzy sets of weak and strong effective alternatives are built, their properties and intercommunication are explored. 2013 Article Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения / С.О. Мащенко, А.Н. Бовсуновский // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 50-60. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207658 519.8 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i11.50 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации
spellingShingle	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации Мащенко, С.О. Бовсуновский, А.Н. Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано метод розв’язання задач прийняття рішень, в яких ціль особи, що приймає рішення, задається нечіткою множиною чітких відношень переваги. Побудовано функції належності нечіткої множини слабих та сильних ефективних альтернатив, досліджено їхні властивості і взаємозв’язок.
format	Article
author	Мащенко, С.О. Бовсуновский, А.Н.
author_facet	Мащенко, С.О. Бовсуновский, А.Н.
author_sort	Мащенко, С.О.
title	Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения
title_short	Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения
title_full	Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения
title_fullStr	Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения
title_full_unstemmed	Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения
title_sort	эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207658
citation_txt	Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения / С.О. Мащенко, А.Н. Бовсуновский // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 50-60. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT maŝenkoso éffektivnyealʹternativyzadačprinâtiârešenijsnečetkimmnožestvomotnošenijpredpočteniâ AT bovsunovskijan éffektivnyealʹternativyzadačprinâtiârešenijsnečetkimmnožestvomotnošenijpredpočteniâ AT maŝenkoso efektivníalʹternativizadačprijnâttâríšenʹznečítkoûmnožinoûvídnošenʹperevagi AT bovsunovskijan efektivníalʹternativizadačprijnâttâríšenʹznečítkoûmnožinoûvídnošenʹperevagi AT maŝenkoso effectivealternativestodecisionmakingproblemswithafuzzysetofpreferencerelations AT bovsunovskijan effectivealternativestodecisionmakingproblemswithafuzzysetofpreferencerelations
first_indexed	2025-10-12T01:14:10Z
last_indexed	2025-10-13T01:13:00Z
_version_	1845827186255200256
fulltext	© С.О. МАЩЕНКО, А.Н. БОВСУНОВСКИЙ, 2013 50 ISSN 0572-2691 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УДК 519.8 С.О. Мащенко, А.Н. Бовсуновский ЭФФЕКТИВНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВЫ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ С НЕЧЕТКИМ МНОЖЕСТВОМ ОТНОШЕНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИЯ В настоящей работе рассматривается задача рационального выбора альтерна- тив при условии, что цель лица, принимающего решение (ЛПР), задана нечетким множеством четких отношений предпочтения. Такие модели обобщают задачи принятия решений с целью ЛПР, которая задана обычным (четким) множеством четких отношений предпочтения. С одной стороны, такое обобщение позволяет анализировать ситуации в случае, если невозможно построить функции полезнос- ти ЛПР, а с другой — позволяет использовать функцию принадлежности нечетко- го множества актуальных для ЛПР отношений предпочтения как источник допол- нительной информации для выбора единственной альтернативы. Предположим, что ЛПР может сравнить любую пару альтернатив x, y множест- ва X и построить четкие отношения предпочтения: ,XXRi  }....,,2,1{ nNi  Будем рассматривать их в достаточно широком смысле как полные бинарные от- ношения )., ( XyxyRxxRy  Отношения предпочтения ,iR ,Ni можно по- нимать как определенные критерии, по которым ЛПР сравнивает альтернативы с точки зрения достижения своей цели, поэтому назовем их критериальными. Напомним, что асимметричная часть 1\  RRS отношения R называется отношением доминирования (строгим предпочтением), которое асимметрично и антирефлексивно. Если отношение R полное, то .1 RS Рассмотрим два способа агрегации ,iR ,Ni в агрегированное отношение предпочтения :R объединением i Ni RR    и пересечением .i Ni RQ    Агрегация объединением критериальных отношений предпочтения Рассмотрим агрегированное отношение предпочтения .i Ni RR    Очевидно, что оно будет полным. Обозначим i Ni i Ni i Ni SRRRS               1 1 1 )( (1) отношение доминирования, индуцируемое ,R где 1 ii RS — критериальное от- ношение доминирования, индуцируемое критериальным отношением предпочте- ния ,iR .Ni Агрегация объединением критериальных отношений предпочтения приводит к следующему пониманию агрегированного отношения доминирования. Из (1) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 51 следует, что альтернатива x доминирует альтернативу y, если это справедливо для каждого критериального отношения. В случае существования функции полез- ности 1: EXui  критериального отношения доминирования NiSi  , yxSi( ),,)()( Xyxyuxu ii  приведенное выше толкование агрегированного от- ношения доминирования будет отвечать известной слабой аксиоме Парето срав- нения альтернатив ).),()(( Niyuxuyx ii  Такой способ сравнения альтернатив приводит к известному понятию сла- боэффективной альтернативы как максимального элемента множества X по отно- шению S. Альтернатива x называется слабоэффективной (их множество обозна- чим ),WE если . XyxSy  (2) С помощью (1) множество слабоэффективных альтернатив можно предста- вить в терминах критериальных отношений предпочтения следующим образом: .                XyyRxxWE i Ni  Множество нечетких слабоэффективных альтернатив Иногда ЛПР не может четко сказать, какие отношения предпочтения харак- теризуют его цель, а может задать некоторое нечеткое множество NN  ~ этих отношений. В этом случае обобщение понятия слабоэффективной альтернативы приведет к необходимости построения множества , ~                XyyRxxFWE i Ni  где отношение i Ni RR  ~ ~   представляет собой объединение нечеткого множества N ~ четких отношений ,iR .Ni Обозначим }1,0{:  XXr j характеристическую функцию отношения jR (т.е. ,1),(  yxryxR jj ),0),(  yxryRx jj ;Nj ]1,0[:  N — функцию принадлежности нечеткого множества N ~ отношений предпочтения ,iR ,Ni ха- рактеризующих цель ЛПР; ),,(),((:{),( yxryxrNjNiyxN ij  ))}()(),,(),(())()( jiyxryxrji ij  (3) — множество индексов критериальных отношений предпочтения, которые недо- минируемы при увеличении значений характеристических функций ),( yxri от- ношений ,iR ,Ni и функции принадлежности )(i нечеткого множества ; ~ N        ),,( ,0 ),,( ),( ),,( yxNi yxNii iyx    (4) — функцию принадлежности нечеткого подмножества множества N с носителем ).,( yxN Определим понятие объединения нечеткого множества четких отношений. Объединением нечеткого множества N ~ четких отношений ,iR ,Ni будем 52 ISSN 0572-2691 называть [1, 2] i Ni RR  ~ ~   — нечеткое отношение типа 2, которое определено на множестве X и задается тройками )),,,(,,( zyxryx где yx, — альтернативы из множества ;X         },1,0{ ,),(,0 ,),(,}),( )),,({max ),,( zzyxr zyxrzyxriyx zyxr i ii Ni  (5) функция принадлежности нечеткого отображения ),,(~ yxr которое выполняет роль нечеткой функции принадлежности нечеткого отношения R ~ типа 2. Значения нечеткого отображения ),(~ yxr при фиксированных Xyx 00, образуют нечеткое подмножество ),( ~ 00 yxR множества }1,0{ с функцией при- надлежности ),,,( 00 zyxr }.1,0{z Отметим, что множество }1,0{ представляет собой универсальное множество образов нечеткого отображения ).,(~ yxr Значе- ние )1,,( yxr можно понимать как степень принадлежности пары XXyx ),( отношению . ~ R Соответственно значение )0,,( yxr можно понимать как степень отсутствия принадлежности XXyx ),( отношению . ~ R Упростить функцию принадлежности ),,( zyxr позволяет теорема [1, 2]. Теорема. Пусть ,iR ,Ni — четкие отношения, которые заданы на множест- ве X соответствующими характеристическими функциями ),,( yxri ,, Xyx  ;Ni ),(i ,Ni — функция принадлежности нечеткого множества . ~ N Для того чтобы нечеткое отношение R ~ типа 2, которое задано функцией принадлеж- ности );,,( zyxr ;, Xyx  },1,0{z было объединением нечеткого множества N ~ отношений ,iR ,Ni т.е. i Ni RR  ~ ~   необходимо и достаточно, чтобы для :, Xyx                    .1),(:)(maxArg,0 ),(maxArg0),(),(max )0,,( ,,0),(,0 ,1),(:),(max )1,,( 1),( yxrji jiyxrj yxr Njyxr yxrNjj yxr i Nj Nj i Nj j j yxr j (6) Перейдем к выбору нечетких слабоэффективных альтернатив. Поскольку со- гласно теореме функция )1,,( yxr характеризует степень принадлежности пары альтернатив x, y агрегированному отношению предпочтения , ~ R то значение )1,,( yxr можно считать степенью предпочтения x альтернативе y. Тогда величи- ну )1,,(min)( yxrx Xy  можно интерпретировать как степень предпочтения x лю- бой альтернативе из множества X. Эти рассуждения дают основание определить множество решений задачи рационального выбора альтернатив с нечетким мно- жеством отношений предпочтения в случае, когда агрегированное отношение предпочтения задается их объединением, следующим образом. Нечетким множеством слабо эффективных альтернатив будем называть не- четкое множество ,FWE определенное на множестве альтернатив X с функцией принадлежности ).1,,(min)( yxrx Xy  (7) Установим связь нечеткого множества слабоэффективных альтернатив FWE и множества слабо эффективных альтернатив .WE Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 53 Утверждение 1. Если функция принадлежности нечеткого множества N ~ це- ли ЛПР тождественно не равна нулю, т.е. ,0)(  i то носитель )supp(FWE нечет- кого множества FWE слабоэффективных альтернатив совпадает с множеством слабоэффективных альтернатив ,WE т.е. .)supp( WEFWE  Доказательство. Пусть .WEx Предположим противное, что ).(supp FWEx Тогда .0)(  x Отсюда по формуле (7) получим .0)1,,(min)(   yxrx Xy Поэтому ,Xy для которого в силу условия 0)(  i согласно (6) .0),( Njyxrj  То- гда очевидно, что yRx i .Nj Отсюда в силу полноты отношения iR получим xySi .Ni Тогда в соответствии с (2) .WEx Получили противоречие, поэто- му ).supp(FWEWE Пусть ).(supp FWEx Предположим противное, что .WEx Тогда по опре- делению (2) ,Xy для которой .ySx Поэтому согласно (1) .yRx Отсюда следу- ет, что ,yRx i поэтому . ,0),( Niyxri  По формуле (6) ,0)1,,( yxr поэтому согласно (7) 0)(  x и ).(supp FWEx Получили противоречие. Таким образом, ,)(supp WEFWE  поэтому и .)(supp WEFWE  Утверждение доказано. Поскольку ЛПР, как правило, интересует выбор какой-либо единственной альтернативы, то ему целесообразно выбирать нечеткую слабоэффективную аль- тернативу x с максимальной степенью предпочтения ).(x Эти рассуждения приводят к следующему понятию. Будем называть Xx  максимизирующей нечеткой слабоэффективной аль- тернативой, если ).1,,(minmax)(max)( * yxrxx XyXxXx   (8) Понятно, что ЛПР в первую очередь будет интересовать такое решение x задачи рационального выбора альтернатив с нечетким множеством отношений предпочтения, в котором .0)(  x С одной стороны, такое требование осложня- ет проблему выбора, поскольку это возможно не в любом случае. С другой сторо- ны, это требование даже упрощает задачу (8) . Это объясняется тем, что согласно (6) для выполнения условия 0)( *  x необходимо и достаточно, чтобы ,Nj для которого ,0),(  yxrj и тогда ).(max)1,,( 1),( jyxr yxr j   Таким образом, при условии 0)( *  x задача (8) нахождения максимизирующей нечеткой слабоэф- фективной альтернативы принимает вид .1),()(maxminmax)( 1),( *           yxrjx Nj j yxrXyXx j (9) Агрегация пересечением критериальных отношений предпочтения Рассмотрим агрегированное отношение .i Ni RQ    В отличие от предыдуще- го случая агрегации объединением критериальных отношений предпочтения, от- ношение Q уже может не быть полным. Обозначим                   111\ i Ni i Ni RQRQQQT                              i Ni i Ni i Ni i Ni SRRR  1 (10) отношение доминирования ЛПР, индуцируемое агрегированным отношением предпочтения .Q 54 ISSN 0572-2691 Агрегация пересечением критериальных отношений приводит к следующему пониманию агрегированного отношения доминирования. Будем считать, что аль- тернатива x доминирует альтернативу y, если x предпочтительнее y по каждому критериальному отношению предпочтения и хотя бы одно из них должно быть строгим (доминированием). В случае существования функций полезности 1: EXui  отношений нестрогого предпочтения NiRi  , )()(( yuxuyxR iii  ),, Xyx  приведенное выше толкование агрегированного отношения домини- рования будет отвечать известной сильной аксиоме Парето сравнения альтерна- тив, а именно ).()(: ;)()( yuxuNjNiyuxuyx jjii  Этот способ сравнения альтернатив приводит к известному понятию сильно эффективной альтернативы как максимального элемента множества X по отноше- нию T. Альтернатива x называется сильноэффективной (их множество обозна- чим ),PE если . XyxTy  (11) Сравним множества сильно- и слабоэффективных альтернатив. Поскольку ,SSSSSRSQT i Ni ik NkNi ik NkNi i Ni                      то WE  PE. Множество нечетких сильноэффективных альтернатив Рассмотрим случай, когда ЛПР не может четко сказать, какие отношения предпочтения ,iR ,Ni характеризуют его цель, а может задать некоторое не- четкое подмножество NN  ~ этих отношений. Тогда цель ЛПР будет задаваться агрегированным отношением предпочтения . ~ ~ i Ni RQ    Оно представляет собой пересечение нечеткого множества четких отношений. Пусть  ))}(),,(())(),,((:{),( iyxrjyxrNjNiyxN ij  ))}()(),,(),(())()(),,(),((:{ jiyxryxrjiyxryxrNjNi ijij  (12) — множество индексов критериальных отношений предпочтения, которые не до- минируемы при уменьшении значений характеристических функций ),( yxri от- ношений ,iR ,Ni и увеличении функции принадлежности )(i нечеткого мно- жества ; ~ N        ),,( ,0 ),,(),( ),,( yxNi yxNii iyx    (13) — функции. принадлежности нечеткого подмножества множества N с носителем ).,( yxN Пересечением нечеткого множества N ~ четких отношений ,iR ,Ni будем называть [2, 3] i Ni RQ ~ ~    — нечеткое отношение типа 2, которое определено на множестве X, и задается тройками )),,,(,,( zyxqyx где yx, — альтернативы из множества X ;         },1,0{ ,),(0, ,),(,}),( )),,({max ),,( zzyxr zyxrzyxriyx zyxq i ii Ni  (14) — функция принадлежности нечеткого отображения ),,(~ yxq которое выполняет роль «нечеткой функции принадлежности» нечеткого отношения Q ~ типа 2. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 55 Оказывается, что взаимосвязь операций объединения и пересечения нечетко- го множества отношений такая же, как и четких. Лемма. Имеет место равенство . ~~ i Ni i Ni RR    Доказательство. Обозначим отношение .ii RD  Тогда его функция принад- лежности ),,(1),( yxryxd ii  ., Xyx  Отсюда очевидно, что для Xyx  , множество ),( yxN совпадет с ).,( yxN Поэтому согласно (4) и (13) для про- извольных ,Xx Ni также будут равны и функции принадлежности ),,( ix ).,( ix Отсюда в соответствии с (5) функция принадлежности нечеткого отно- шения i Ni i Ni RD ~~    типа 2 примет вид         .),(1),( ;0),( ,),(1 :};),(1),,({max ),,( Nivyxryxyx vyxrNivyxriyx vyx i ii Ni  Тогда дополнение i Ni R ~   будет иметь функцию принадлежности ).1,,( vyx  Обозначив vz 1 и ),1,,(),,( vyxzyxq  получим функцию принадлежности (14) нечеткого отношения i Ni RQ ~ ~    типа 2. Лемма доказана. Следствием из теоремы и леммы будет формула для функции принадлежности ),,,( zyxq ,, Xyx  },1,0{z нечеткого отношения типа 2, которое описывает пересечение i Ni RQ ~ ~    нечеткого множества четких отношений ,iR :Ni                   .0),(:)(maxArg,0 ),(maxArg1),(),(max )1,,( ,,1),(,0 ,0),(:),(max )0,,( 0),( yxrji jiyxrj yxq Njyxr yxrNjj yxq i Nj Nj i Nj j j yxr j (15) Обобщим понятие сильноэффективных альтернатив (формула (11)) в случае, когда цель ЛПР задана нечетким отношением предпочтения i Ni RQ ~ ~    типа 2. Для этого рассмотрим его асимметричную часть, которая будет отношением до- минирования . ~~ \ ~~ 1 ~~ 1 ~ 1                       i Ni i Ni i Ni RRRQQQT  Понятно, что это будет нечеткое отношение типа 2. Обозначим ),,,( zyxt ,, Xyx  },1,0{z его функцию принадлежности. Поскольку функция )0,,( yxt характеризует степень отсутствия принадлеж- ности пары альтернатив x, y нечеткому отношению доминирования T ~ типа 2, то можно считать )0,,( xyt степенью недоминируемости x некоторой альтернати- вой y. Тогда величину )0,,(min)( xytx Xy  можно интерпретировать как степень недоминируемости x любой альтернативой множества X. Эти рассуждения дают основание определить множество решений задачи рационального выбора альтер- натив с нечетким множеством отношений предпочтения в случае, когда агрегиро- ванное отношение предпочтения задается их пересечением, следующим образом. 56 ISSN 0572-2691 Нечетким множеством сильноэффективных альтернатив будем называть не- четкое множество FPE, определенное на множестве альтернатив X, с функцией принадлежности ).0,,(min)( xytx Xy  (16) Поскольку ЛПР, как правило, интересует выбор какой-либо единственной альтернативы, то ему целесообразно выбирать нечеткую слабоэффективную аль- тернативу x с максимальной степенью )(x недоминируемости. Эти рассужде- ния приводят к следующему понятию. Будем называть Xx  максимизирующей нечеткой сильноэффективной альтернативой, если ).0,,(minmax)(max)( * xytxx XyXxXx   (17) Осталось построить функцию ).0,,( xyt Пусть нечеткое отношение i Ni RQ ~ ~    типа 2 согласно (15) задается функцией принадлежности ).,,( zyxq Обозначим ),,( zyxp функцию принадлежности нечеткого отношения 1 ~ ~    i Ni RP  типа 2. Из (15) следует, что эта функция определяется так:                   .0),(:)(maxArg,0 ),(maxArg1),(),(max )0,,( ,1),(,0 ,0),(:),(max )1,,( 0),( xyrji jixyrj yxp Njxyr xyrNjj yxp i Nj Nj i Nj j j xyr j Поскольку согласно [4] пересечение T ~ нечетких отношений Q ~ и P ~ типа 2 задается функцией принадлежности )},,,(),,,(min{max),,( },min{ },1,0{, vyxpuyxqzyxt vuz vu    то значение )},1,,(),0,,(min{)},0,,(),0,,({{minmax)0,,( yxqyxpyxqyxpyxt  )}}.0,,(),1,,({min yxqyxp Построим эту функцию. Для этого обозначим )(maxArg= jI Nj    и рассмот- рим случаи. 1. Пусть .1),( Njyxr j  Тогда 1),( yxri . Ii Поэтому )1,,( yxq ),(max j Nj   0)0,,( yxq и ).0,,()}1,,(),0,,(min{)0,,( yxpyxqyxpyxt  а) пусть ,1),( Njxyr j  тогда ,1),( xyri , Ii поэтому )0,,( yxp ),(max j Nj   ,0)1,,( yxp );(max)0,,()}1,,(),0,,(min{)0,,( jyxpyxqyxpyxt Nj   б) пусть 0),(:  xyrNj j и 1),( xyri , Ii тогда ),(max)0,,( jyxp Nj   );(max)}1,,( 0),( jyxp xyrj   и );(max)0,,()}1,,(),0,,(min{)0,,( jyxpyxqyxpyxt Nj   в) пусть ,0),(:   xyrIi i тогда ),(max)(max)1,,( 0),( jjyxp Njxyr j   0)0,,( yxp и .0)0,,()}1,,(),0,,(min{)0,,(  yxpyxqyxpyxt Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 57 2. Пусть 0),(:  yxrNj j и ,1),( yxri . Ii Тогда ),(max)}1,,( jyxq Nj   ).(max)}0,,( 0),( jyxq yxrj   Поэтому ),0,,(min{)},0,,(),0,,({min{max)0,,( yxpyxqyxpyxt  )},1,,( yxq :)}}0,,(),1,,(min{ yxqyxp а) пусть .1),( Njxyr j  Тогда ,1),( xyri , Ii поэтому )0,,( yxp ),(max j Nj   0)1,,( yxp и );(max0),(max);(maxmax)0,,( 0),( jjjyxt NjNjyxr j           б) пусть 0),(:  xyrNj j и ,1),( xyri , Ii тогда )0,,( yxp ),(max j Nj   )(max)1,,( 0),( jyxp xyr j   и ),(max),(maxmax)0,,( 0),( jjyxt Njyxr j       );(max)(max),(maxmin 0),(0),( jjj Njyxrxyr jj            в) пусть .0),(:*  xyrIi i Тогда )(max)(max)1,,( 0),( jjyxp Njxyr j   , 0)0,,( yxp и ).(max)(max,0,0max)0,,( 0),(0),( jjyxt yxryxr jj         3. Пусть .0),(:   yxrIi i Тогда ),(max)(max)0,,( 0),( jjyxq Njyxr j   0)1,,( yxq и :)}1,,(),0,,({max)0,,( yxpyxpyxt  а) пусть ,1),( Njxyr j  тогда 1),( xyri , Ii отсюда )0,,( yxp ),(max j Nj   ,0)1,,( yxp );(max)0,,()}1,,(),0,,(max{)0,,( jyxpyxpyxpyxt Nj   б) Пусть 0),(:  xyrNj j и ,1),( xyri , Ii тогда ),(max)0,,( jyxp Nj   ),(max)1,,( 0),( jyxp xyr j   поэтому ),0,,(max{)0,,( yxpyxt   )0,,()}1,,( yxpyxp );(max j Nj   в) пусть ,0),(:   xyrIi i тогда ),(max)(max)1,,( 0),( jjyxp Njxyr j   0)0,,( yxp и ).(max)1,,()}1,,(),0,,({max)0,,( jyxpyxpyxpyxt Nj   Подведем итог. В случае, если: 1) ,1),(  Iixyri то );(max)0,,( jyxt Nj   2) ,0),(:   xyrIi i возможны три варианта: а) если ,0),(:   yxrIi i то );(max)0,,( jyxt Nj   б) если 0),(:  yxrNj j и ,1),(  Iiyxri то );(max)0,,( 0),( jyxt yxr j   в) если ,1),( Njyxr j  то .0)0,,( yxt Поскольку ),(maxArg= jI Nj    то пп. 2а) и 2б) можно объединить в один: если ,0),(:  yxrNj j то ).(max)0,,( 0),( jyxt yxr j   Таким образом, поменяв местами переменные x, и y, можно определить функцию )0,,( xyt для задачи (17) следующим образом:                 .,1),( ,0),(:;0 ;0),(: ,0),(:);(max ;1),();(max )0,,( 0),( NjxyryxrIi xyrNjyxrIij Iiyxrj xyt ji ji xyr i Nj j (18) 58 ISSN 0572-2691 Рассмотрим взаимосвязь множеств нечетких и «четких» сильноэффективных альтернатив. Без ограничения общности будем считать функцию принадлежности нечеткого множества N ~ цели ЛПР тождественно не равной нулю, т.е. .0)(  i Тогда имеет место следующее утверждение. Утверждение 2. Носитель )supp(FPE нечеткого множества сильноэффек- тивных альтернатив включает в себя множество сильноэффективных альтернатив PE. Если отношения предпочтения ,jR ),(maxArg iIj Ni    кото- рые характеризуют наиболее важные цели ЛПР, антисимметрично, то носитель )supp(FPE нечеткого множества сильноэффективных альтернатив совпадает с множеством сильноэффективных альтернатив PE. Доказательство. Пусть .PEx Предположим противное, что ).(supp FPEx Тогда .0)(  x Отсюда по формуле (16) получим .0)0,,(min)(   xytx Xy Поэто- му ,Xy для которого при условии 0)(  i согласно (18) ,1),( Njxyr j  и .0),(:   yxrIi i Тогда выполняются отношения xyR j ,Nj и ,Ni для которого .yRx i Последнее отношение в силу полноты iR равносильно .xySi Та- ким образом, xyR j ,Nj и .: xySNi i Поэтому xSRy i Ni i Ni               и согласно формуле (10) имеет место отношение .yTx Тогда из (11) следует .PEx Получили противоречие. Поэтому ).supp(FPEPE  Пусть ).(supp FPEx Предположим противное, что .PEx Тогда согласно определению (11) ,Xy для которой .yTx Поэтому согласно (10) .xSRy i Ni i Ni               Отсюда следует, что xyR j ,Nj и .: xySNi i Это означает, что ,1),( Njxyr j  и .0),(:  yxrNi i Согласно (18) возможны два варианта. В первом случае ,1),( Njxyr j  и ,1),(  Iiyxri поэтому yxR j и . IjyxR j Отсюда следует противоречие с условием антисимметричности отношений предпочтения ,jR . Ij Во втором случае, когда 0),(:  yxrNi i и ,0),(:   yxrIi i получим .0)0,,( xyt Поэтому согласно (16) .0)0,,(min)(   xytx Xy Тогда по определе- нию ).(supp FPEx Получили противоречие. Таким образом, ,)(supp PEFPE  поэтому и .)(supp PEFPE  Утверждение доказано. Следует отметить, что согласно утверждению 1 носитель множества нечет- ких слабоэффективных альтернатив совпадает с множеством слабоэффективных альтернатив. В отличие от этого для аналогичного свойства нечетких сильноэф- фективных альтернатив необходима, по крайней мере, антисимметричность от- ношений предпочтения, которые характеризуют наиболее важные цели ЛПР. Следует также отметить, что в случае существования функции полезности условие антисимметричности отношения предпочтения эквивалентно ее одно- значности. Установим связь множеств нечетких сильных и слабых эффективных альтер- натив. Утверждение 3. Множество нечетких слабоэффективных альтернатив вклю- чает в себя множество сильноэффективных альтернатив, т.е. .FPEFWE  Доказательство. Для доказательства утверждения достаточно показать, что функции принадлежности этих множеств удовлетворяют неравенствам )()( xx  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 59 .Xx Согласно формулам (7) и (16) эти неравенства равносильны )0,,()1,,( xytyxr  .Xx Для доказательства этих неравенств рассмотрим сле- дующие случаи. 1. Пусть .0),( Njyxrj  Тогда в силу полноты этих отношений предпо- чтения, получим .1),( Njxyrj  Отсюда в соответствии с (6) 0)1,,( yxr и согласно (18) .0)0,,( xyt Поэтому ).0,,()1,,( xytyxr  2. Пусть ,1),(:  yxrNj j тогда согласно (6) ).(max)1,,( 1),( jyxr yxr j    Если ,1),(  Iiyxri то ).(max)(max)1,,( 1),( jjyxr Njyxr j   В соответ- ствии с (18) получим ).(max)0,,( jxyt Nj   Поэтому ).0,,()1,,( xytyxr   Если ,0),(:   yxrIi i то возможны два варианта. — Если ,0),(:  xyrNj j то согласно (18) ).(max)0,,( 0),( jxyt xyr j   По- строим множества }0),({0  xyrNjN j и }.1),({1  yxrNjN j В силу полноты отношений предпочтения очевидно .10 NN  Отсюда )0,,( xyt ).1,,()(max)(max)(max)(max 1),(0),( 10 yxrjjjj yxrNjNjxyr jj   — Если ,1),( Njxyr j  то согласно (18) ,0)0,,( xyt поэтому очевидно ).0,,()1,,( xytyxr  Утверждение доказано. Посмотрим, как можно упростить задачу (17) нахождения максимизирующей нечеткой сильноэффективной альтернативы. Если существуют такие альтернативы Xx  (обозначим их множество ),XX  что для Xy выполняются условия: 1),(  yxrj ,Nj то, очевид- но, ).(max)0,,( jxyt Nj    Поэтому формула (17) примет вид )(max)( jx Nj    и Xx будет максимизирующей нечеткой сильно эффективной альтернативой. Другими словами, если yRx j  ,Xy ,Nj т.е. x является максималь- ным элементом множества альтернатив X одновременно по всем критериальным отношениям предпочтения, то x будет максимизирующей нечеткой сильноэф- фективной альтернативой. В противном случае .0),(:   yxrIi i Вполне понятно, что ЛПР в первую очередь будет интересовать такое реше- ние x задачи рационального выбора альтернатив с нечетким множеством отно- шений предпочтения, в котором .0)(  x Для этого необходимо и достаточно, чтобы ,Nj для которого ,0),( xyrj и тогда ).(max)0,,( 0),( jxyt xyr j   Таким образом, при условии 0)(  x задача (17) принимает вид .1),()(maxminmax)( 0),(            nxyrjx j NjxyrXyXx j Если воспользоваться характеристическими функциями ),(1),( xyryxs ii  критериальных отношений доминирования ,1 ii RS индуцируемых критери- альными отношениям предпочтения ,iR ,Ni то задачу (17) можно представить в виде .1),()(maxminmax)( 1),(            yxsjx j NjyxsXyXx j 60 ISSN 0572-2691 Предложенный выше подход к решению задач принятия решений с целью, которая задана нечетким множеством отношений предпочтения, на четком (обыч- ном) множестве альтернатив X может быть достаточно просто обобщен на случай нечеткого множества альтернатив. Для этого, например, можно применить из- вестный метод [5], который заключается в использовании наряду с отношениями предпочтения, которые задают цель ЛПР, еще одного, индуцируемого функцией принадлежности нечеткого множества альтернатив. С.О. Мащенко, О.М. Бовсунівський ЕФЕКТИВНІ АЛЬТЕРНАТИВИ ЗАДАЧ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ З НЕЧІТКОЮ МНОЖИНОЮ ВІДНОШЕНЬ ПЕРЕВАГИ Запропоновано метод розв’язання задач прийняття рішень, в яких ціль особи, що приймає рішення, задається нечіткою множиною чітких відношень перева- ги. Побудовано функції належності нечіткої множини слабих та сильних ефек- тивних альтернатив, досліджено їхні властивості і взаємозв’язок. S.O. Mashchenko, O.M. Bovsunivskyi EFFECTIVE ALTERNATIVES OF DECISION MAKING PROBLEMS WITH THE FUZZY SET OF PREFERENCE RELATIONS The method of solving of decision making problems, in which the goal of decision maker is set by the fuzzy set of crisp preference relations, is offered. Membership functions of fuzzy sets of weak and strong effective alternatives are built, their prop- erties and intercommunication are explored. 1. Мащенко С.О. Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях не- определенности с нечетким множеством состояний природы // Международный научно- технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2012. — № 5. — С. 102–110. 2. Мащенко С.О. Нечеткие индивидуально-оптимальные равновесия // Кибернетика и вычис- лит. техника. — 2010. — Вып.159. — С. 19–29. 3. Мащенко С.О. Задача математического программирования с нечетким множеством индек- сов ограничений // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — № 1. — С. 73–81. 4. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия реше- ний // Математика сегодня. — М. : Знание, 1974. — C. 5–49. 5. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М. : Наука, 1981. — 208 с. Получено 27.03.2013 Статья представлена к публикации членом редколлегии доктором техн. наук Ф.Г. Гаращенко.

Эффективные альтернативы задач принятия решений с нечетким множеством отношений предпочтения

Institution

Ähnliche Einträge