Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3
Досліджується проблема вибору часового зсуву при реконструкції хаотичних атракторів за однією спостережуваною змінною. Проведено числові експерименти, що демонструють залежність розмірності вкладення, отриманої методом ламаних, від часового зсуву. Сформульовано рекомендації щодо вибору часового зсув...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207680 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3 / В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 32-40. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207680 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2076802025-10-12T00:20:08Z Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3 Cамоперетин фазових траєкторій як міра розмірності вкладення хаотичних атракторів. Частина 3 Self-intersection of phase trajectories as the measure for embedding dimension of chaotic attractors. Part III Городецкий, В.Г. Осадчук, М.П. Методы обработки информации Досліджується проблема вибору часового зсуву при реконструкції хаотичних атракторів за однією спостережуваною змінною. Проведено числові експерименти, що демонструють залежність розмірності вкладення, отриманої методом ламаних, від часового зсуву. Сформульовано рекомендації щодо вибору часового зсуву, який дає змогу отримати дійсне значення розмірності вкладення при використанні методу ламаних. The problem of choosing the time delay while reconstructing chaotic attractor, using one observable variable is investigated. The performed numerical experiments have demonstrated the dependence of the embedding dimension, obtained by the polygonal lines method, on the time delay. Recommendations on the choice of the time delay were formulated to obtain the actual value of the embedding dimension when using the polygonal lines method. 2013 Article Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3 / В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 32-40. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207680 517.9;523.2 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i12.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методы обработки информации Методы обработки информации |
| spellingShingle |
Методы обработки информации Методы обработки информации Городецкий, В.Г. Осадчук, М.П. Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3 Проблемы управления и информатики |
| description |
Досліджується проблема вибору часового зсуву при реконструкції хаотичних атракторів за однією спостережуваною змінною. Проведено числові експерименти, що демонструють залежність розмірності вкладення, отриманої методом ламаних, від часового зсуву. Сформульовано рекомендації щодо вибору часового зсуву, який дає змогу отримати дійсне значення розмірності вкладення при використанні методу ламаних. |
| format |
Article |
| author |
Городецкий, В.Г. Осадчук, М.П. |
| author_facet |
Городецкий, В.Г. Осадчук, М.П. |
| author_sort |
Городецкий, В.Г. |
| title |
Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3 |
| title_short |
Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3 |
| title_full |
Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3 |
| title_fullStr |
Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3 |
| title_full_unstemmed |
Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3 |
| title_sort |
самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. часть 3 |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Методы обработки информации |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207680 |
| citation_txt |
Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 3 / В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 32-40. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT gorodeckijvg samoperesečeniefazovyhtraektorijkakmerarazmernostivloženiâhaotičeskihattraktorovčastʹ3 AT osadčukmp samoperesečeniefazovyhtraektorijkakmerarazmernostivloženiâhaotičeskihattraktorovčastʹ3 AT gorodeckijvg camoperetinfazovihtraêktoríjâkmírarozmírnostívkladennâhaotičnihatraktorívčastina3 AT osadčukmp camoperetinfazovihtraêktoríjâkmírarozmírnostívkladennâhaotičnihatraktorívčastina3 AT gorodeckijvg selfintersectionofphasetrajectoriesasthemeasureforembeddingdimensionofchaoticattractorspartiii AT osadčukmp selfintersectionofphasetrajectoriesasthemeasureforembeddingdimensionofchaoticattractorspartiii |
| first_indexed |
2025-10-12T01:15:36Z |
| last_indexed |
2025-10-13T01:14:25Z |
| _version_ |
1845827275886428160 |
| fulltext |
© В.Г. ГОРОДЕЦКИЙ, Н.П. ОСАДЧУК, 2013
32 ISSN 0572-2691
УДК 517.9;523.2
В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук
САМОПЕРЕСЕЧЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
КАК МЕРА РАЗМЕРНОСТИ ВЛОЖЕНИЯ
ХАОТИЧЕСКИХ АТТРАКТОРОВ. Часть 3
Введение
При решении задачи реконструкции неизвестной системы по одной наблюдае-
мой переменной часто применяется метод сдвига [1]. Он предполагает получение
недостающих переменных путем последовательного сдвига исходного временного
ряда (наблюдаемой переменной) на некоторую величину . Согласно теореме Та-
кенса [2] эта величина может быть произвольной. В то же время, как отмечено во
многих исследованиях, значение влияет на форму аттракторов [3] и, следова-
тельно, на результаты расчета их количественных характеристик. К таким характе-
ристикам относится и размерность вложения .Ed Поэтому в разных работах пред-
лагаются разные рекомендации по выбору величины временного сдвига.
Например, в [4] в качестве предлагается выбирать абсциссу точки перехода
через ноль графика автокорреляционной функции или первого локального мини-
мума функции взаимной информации. По мнению авторов [5], значение времен-
ного сдвига должно выбираться исходя из геометрии аттрактора и составлять
примерно четверть квазипериода колебаний временного ряда. В [6] предлагается
вместо использовать объединенный параметр — так называемое окно рекон-
струкции .)1( Edw Рекомендации к выбору этого параметра также предпола-
гают, что наиболее точная реконструкция будет при неискаженном аттракторе.
Цель данного исследования — оценка влияния величины на размерность вложе-
ния ,Ed полученную методом ломаных (МЛ), предложенным в [7, 8].
1. Метод исследования
Исследование проводилось следующим образом. При помощи МЛ определя-
лась размерность вложения Ed одной и той же временной последовательности
для разных величин временного сдвига . На основе полученных данных был по-
строен график ).(Ed Для сравнения размерность вложения той же временной
последовательности определялась при помощи метода ближайших ложных сосе-
дей (FNN) [9]. При использовании метода FNN были приняты два значения поро-
гового коэффициента: 2tR и .10tR Размерность, при которой доля ложных
соседей становилась меньше 0,05, принималась за размерности вложения.
Для исследования использовались следующие исходные данные.
1. Временные последовательности, сгенерированные системой Ресслера [10]:
),(
,
),(
133
212
321
cxxbx
axxx
xxx
(1)
где ;15,0a ;2,0b .10c Эта и последующие системы решались с использо-
ванием метода Рунге–Кутта четвертого порядка. Шаг дискретизации составлял
005,0t с. После установления хаотических колебаний выбирался участок дли-
тельностью 400t с. Для ускорения вычислений на указанном участке записыва-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 33
лась каждая вторая точка ).2( S Полученная временная последовательность,
содержащая 00040N точек, использовалась для дальнейшего анализа. Иссле-
дование проводилось для всех переменных системы (1).
2. Временные последовательности, сгенерированные системой Лоренца [11]:
,
,
),(
3213
31212
121
bxxxx
xxxrxx
xxx
(2)
где ;40 ;3/8b .28r Шаг дискретизации составлял 001,0t с. После
установления хаотических колебаний выбирался участок длительностью 80t с,
на котором записывалась каждая вторая точка ).2( S Полученная временная
последовательность длиной 00040N точек использовалась для дальнейшего
анализа. Исследование проводилось для всех переменных системы (2).
3. Временная последовательность переменной 1x системы из двух связанных
генераторов Ван-дер-Поля [12]:
,)1(
,
,)1(
,
324
2
34
43
312
2
12
21
xcxxbxx
xx
xxxaxx
xx
(3)
где ;5a ;1,0b .50c Шаг дискретизации составлял 00125,0t с. Выбирал-
ся участок длительностью 200t с, на котором записывалась каждая четвертая
точка ).4( S Полученная временная последовательность длиной 00040N
точек использовалась для дальнейшего анализа.
4. Временная последовательность, сгенерированная потоком
),sin()sin()( tttx (4)
где 01,0t , 800t с, .2S
5. Данные солнечной активности [13]. Первый ряд (Monthly averages of
sunspot numbers — MASN) включал среднемесячные значения чисел Вольфа с
1749 г. по 2009 г. включительно. Второй ряд (Smoothed sunspot numbers — SSN)
получен из первого сглаживанием методом скользящего среднего. Данные для
усреднения выбирались за год. Оба ряда содержали 3126N точек, .1S
2. Результаты
Вследствие применения МЛ и метода FNN к числовым последовательностям,
приведенным в разд. 1, построены зависимости )(Ed (рис. 1–5). Графики для си-
стемы Ресслера (1) показаны на рис. 1 (а–в — переменная ;1x г–е — переменная
;2x ж — переменная 3x (уровень шума, %: б, д — 5; в, е — 10)), для системы Ло-
ренца (2) — на рис. 2 (а–в — переменная ;1x г–е — переменная ;2x ж–и — пере-
менная 3x (уровень шума, %: б, д, з — 5; в, е, и — 10)), для связанных генераторов
Ван-дер-Поля (3) и для потока (4) — соответственно рис. 3, рис. 4 (уровень шума,
%: а — 0, б — 5, в — 10), для рядов солнечной активности — на рис. 5 (а — сгла-
женный ряд (SSN)); б — исходный (MASN)). На рис. 1–5: сплошная линия — МЛ;
штриховая — FNN, ;10tR штрихпунктирная — FNN, .2tR Основные резуль-
таты расчетов для систем (1)–(4) приведены в табл. 1, а для рядов солнечной ак-
тивности — в табл. 2.
34 ISSN 0572-2691
400 800 1200
dE
0
2
4
6
8
10
400 800 1200
dE
0
2
4
6
8
10
а г
400 800 1200
dE
0
2
4
6
8
10
400 800 1200
dE
0
2
4
6
8
10
б д
400 800 1200
dE
0
2
4
6
8
10
400 800 1200
dE
0
2
4
6
8
10
в е
400 800 1200
dE
0
2
4
6
8
10
ж
Рис. 1
В процессе обработки данных временной сдвиг изменялся в пределах от min
до max с шагом . Величины временного сдвига на графиках и в таблицах при-
ведены как число шагов дискретизации исходной временной последовательности
.t Иными словами, для получения величины временного сдвига в единицах вре-
мени c необходимо умножить указанный на графиках (или в таблицах) временной
сдвиг на шаг дискретизации: .tc Величина max для систем (1)–(4) выби-
ралась примерно равной длительности одного квазипериода колебаний.
Также исследовалось изменение результатов из-за наличия шумов в исход-
ных данных. Для этого на числовые последовательности накладывался равномер-
но распределенный шум с уровнями %5A и %.10A Результаты отображены
в соответствующих строках табл. 1.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 35
36 ISSN 0572-2691
200 400 1000
dE
0
2
4
6
8
10
600 800
50 100 250
dE
0
4
8
12
150 200 400 300 350
а а
200 400 1000
dE
0
2
4
6
8
10
600 800 50 100 250
dE
0
4
8
12
150 200 400 300 350
б б
200 400 1000
dE
0
2
4
6
8
10
600 800
50 100 250
dE
0
4
8
12
150 200 400 300 350
в в
Рис. 3 Рис. 4
10 20 50
dE
0
2
4
6
8
10
30 40 60 70 100 80 90
10 20 50
dE
0
2
4
6
8
10
30 40 60 70 100 80 90
а б
Рис. 5
Эксперименты по наложению шумов на переменную 3x системы Ресслера не
проводились по следующей причине. Как известно [10], для графика переменной
)(3 tx характерно чередование сравнительно длинных участков, на которых зна-
чение переменной близко к нулю, и коротких участков, где значение переменной
достигает десятков единиц. Вследствие этого фазовая траектория содержит участ-
ки, которые проходят близко к нулю и, соответственно, расположены вблизи друг
от друга. Если на переменную 3x наложить шум, то на указанных участках воз-
никает значительно большее количество самопересечений, чем в случае перемен-
ных 1x и ,2x поэтому продолжительность вычислений становится недопустимо
большой.
Метод FNN, где пороговый коэффициент ,2tR не применялся к данным с
наложенными шумами, поскольку тут доля ложных соседей не уменьшалась до зна-
чения 0,05 (см. разд. 1). По этой же причине пороговый коэффициент 2tR не ис-
пользовался при обработке данных солнечной активности.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 37
Таблица 1
Источник
данных
t, с S min
max Переменная Метод A, % Ed
0d
(1) 0,005 2 10 1200 10
1x
МЛ
0 3–4
3
5 7–10
10 8–10
FNN, 10tR
0 2
5 5
10 5
FNN, 2tR 0 3
2x
МЛ
0 3–5
5 7–10
10 8–9
FNN, 10tR
0 2
5 5
10 5
FNN, 2tR 0 3
3x
МЛ 0 3–7
FNN, 10tR 0 2
FNN, 2tR 0 3
(2)
0,001 2 16 2048 16
1x
МЛ
0 3–4
3
5 7–10
10 7–10
FNN, 10tR
0 2
5 5
10 5
FNN, 2tR 0 3
2x
МЛ
0 3–5
5 7–10
10 7–10
FNN, 10tR
0 2
5 5
10 5
FNN, 2tR 0 3
0,001 2 12 1512 12 3x
МЛ
0 3–5
3
5 7–10
10 7–10
FNN, 10tR
0 2
5 5
10 5
FNN, 2tR 0 3–4
(3) 0,00125 4 8 1024 8 1x
МЛ
0 4–21
4
5 7–10
10 7–11
FNN, 10tR
0 2
5 5
10 5
FNN, 2tR 0 3
(4) 0,01 2 4 400 4 —
МЛ
0 4–14
3
5 7–10
10 8–10
FNN, 10tR
0 2
5 5
10 5
FNN, 2tR 0 8
Таблица 2
Временной ряд t, месяцы S min
max Метод Ed
SSN
1 1 1 100 1
МЛ 4–6
FNN, 10tR 3
MASN
МЛ 5–8
FNN, 10tR 5–6
38 ISSN 0572-2691
В качестве результата в табл. 1 и 2 приведены значения размерности вложе-
ния ,Ed полученные методами FNN и МЛ. Запись вида 21 dd указывает, что
размерность вложения изменяется в пределах от 1d до 2d в зависимости от вели-
чины временного сдвига. Для сравнения в табл. 1 приведено действительное зна-
чение размерности вложения .0d
Наложение шумов на ряды солнечной активности не производилось. Вместо
этого исходный ряд солнечной активности (MASN) рассматривался как сглажен-
ный ряд солнечной активности (SSN) с наложенным шумом.
3. Анализ результатов
Полученные в разд. 2 результаты показывают, что при обработке с помощью
МЛ гладких рядов полученная размерность вложения зависит от величины времен-
ного сдвига, но наименьшее полученное значение размерности совпадает с дейст-
вительной размерностью вложения. Иными словами, изменение значения мо-
жет привести к завышению (но не занижению) размерности.
Увеличение размерности вложения на некоторых графиках при малых зна-
чениях объясняется тем, что переменные )(tx и )( tx почти не различаются,
реконструированный аттрактор вытянут в узкой области вдоль главной диаго-
нали пространства вложения, из-за чего увеличивается количество самопересе-
чений [5].
Наличие шумов в исследуемой временной последовательности приводит к то-
му, что МЛ завышает размерность вложения. Это можно объяснить тем, что при
действительной размерности вложения фазовая траектория не содержит самопере-
сечений, но может содержать участки, которые расположены недалеко друг от
друга. Если же на эту последовательность наложить шум, то «близкие участки»
фазовой траектории будут пересекаться, что приводит к завышению размерности
вложения. Таким образом, МЛ обнаруживает чувствительность к наличию шумов
в исходных данных. Поэтому перед использованием этого метода необходимо
применить к исходной числовой последовательности какой-либо метод фильтра-
ции для отделения полезного сигнала от шума.
Особенностью потока (4) является его регулярность в отличие от других рас-
смотренных временных рядов, которые однозначно можно отнести к хаотиче-
ским. Это различие проявляется и в зависимостях ).(Ed Как видно на графике
для потока (4) (см. рис. 4), в диапазоне 280–320 точек (2,8–3,2 с) имеет место
увеличение размерности вложения до .14Ed Значения из указанного диапазона
примерно равны половине периода первого слагаемого в (4), амплитуда которо-
го наибольшая. Реконструированный с таким сдвигом аттрактор оказывается вы-
тянутым вдоль одной линии, что обусловливает увеличение числа самопересече-
ний. Соответственно, значение ,Ed полученное МЛ, также увеличивается. Такое
же резкое завышение размерности наблюдается и для значений 100 и 200
(1 с и 2 с), которые кратны половине периода второго слагаемого в (4). В случае
хаотических колебаний возникает аналогичный эффект, но поскольку последова-
тельные квазипериоды не одинаковы (в отличии от периодов синусоиды), размер-
ность вложения увеличивается незначительно.
Как следует из [14], фазовая траектория потока (4) образует трехмерный тор,
в котором интегральная кривая регулярно возвращается в малую окрестность
любой точки на поверхности тора. Так как МЛ использует замену непрерывной
интегральной кривой на ломаную, то при достаточно близком расположении то-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 39
чек этой кривой возможно пересечение на всех проекциях одной и той же пары
ломаной. Хотя реально самопересечение отсутствует, этот факт невозможно уста-
новить из-за дискретного представления фазовой траектории. Согласно использу-
емому алгоритму такое событие рассматривается как наличие самопересечения,
что может обусловить увеличение расчетной размерности вложения. Такое завы-
шение имеет место и в этом случае, поэтому на рис. 4 и в табл. 1 для потока (4)
получено, что .4Ed
Также отметим, что наложение шума на поток приводит к потере его регу-
лярности (из-за которой, как отмечено выше, могут возникать ложные самопере-
сечения). Вследствие этого исчезают пики на графиках с шумом (см. рис. 4). В то
же время, как и предполагалось, минимальное значение размерности при этом
увеличивается. В табл. 1 для потока (4) приведено наибольшее значение ,14Ed
хотя как видно из графика для гладкого ряда, размерность ограничена условно.
Это объясняется особенностями алгоритма, которые при отсутствии ограничения
могли бы привести к некорректным результатам.
Как видно из графиков, результаты метода FNN практически не зависят от
временного сдвига. Но при этом подтверждается субъективность этого метода,
которая проявляется в явной зависимости результата от значения порогового ко-
эффициента .tR
Заключение
При исследовании гладких хаотических временных рядов значение размер-
ности, полученное с помощью МЛ, зависит от величины временного сдвига, но
наименьшее из полученных значений совпадает с действительной размерностью
вложения. Иными словами, при использовании МЛ необходимо варьировать ве-
личину временного сдвига и принимать наименьшее полученное значение раз-
мерности в качестве размерности вложения.
Добавление шума к исходным данным приводит к тому, что результаты
расчета МЛ оказываются завышенными. Поэтому перед тем, как применять МЛ
к данным с помехами, необходимо выполнить фильтрацию этих временных ря-
дов с помощью одного из известных методов. Таким образом, решение задачи
определения размерности вложения по временной последовательности с исполь-
зованием МЛ включает в себя один субъективный этап — отделение полезного
сигнала от помех.
В.Г. Городецький, М.П. Осадчук
CАМОПЕРЕТИН ФАЗОВИХ ТРАЄКТОРІЙ
ЯК МІРА РОЗМІРНОСТІ ВКЛАДЕННЯ
ХАОТИЧНИХ АТРАКТОРІВ. Частина 3
Досліджується проблема вибору часового зсуву при реконструкції хаотичних
атракторів за однією спостережуваною змінною. Проведено числові експери-
менти, що демонструють залежність розмірності вкладення, отриманої мето-
дом ламаних, від часового зсуву. Сформульовано рекомендації щодо вибору
часового зсуву, який дає змогу отримати дійсне значення розмірності вкла-
дення при використанні методу ламаних.
40 ISSN 0572-2691
V.G. Gorodetskyi, N.P. Osadchuk
SELF-INTERSECTION OF PHASE TRAJECTORIES
AS A MEASURE FOR EMBEDDING DIMENSION
OF CHAOTIC ATTRACTORS. Part III
The problem of choosing the time delay while reconstructing chaotic attractor, using
one observable variable is investigated. The performed numerical experiments have
demonstrated the dependence of the embedding dimension, obtained by the polygo-
nal lines method, on the time delay. Recommendations on the choice of the time de-
lay were formulated to obtain the actual value of the embedding dimension when us-
ing the polygonal lines method.
1. Pakkard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. Geometry from time series // Phys. Rev.
Lett. — 1980. — 59, N 9. — Р. 712–716.
2. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // D.A. Rand, L.S. Young (Eds.), Dynamical
System and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics. — New York : Springer, 1981. —
898. — P. 366–381.
3. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. — М. :
Эдиториал УРСС, 2000. — 336 с.
4. Abarbanel H., Brown R., Sidorovich J., Tsimring L.S. The analysis of observed chaotic data in
physical systems // Rev. of Modern Phys. — 1993. — 65, N 4. — P. 1331–1392.
5. Buzug Th., Pfister G. Optimal delay time and embedding dimension for delay-time coordinates by
analysis of the global static and local dynamical behavior of strange attractors // Phys. Rev. A. —
1992. — 45, N 10. — P. 7073–7084.
6. Gibson J.F., Farmer J.D., Casdagli M., Eubank S. An analytic approach to practical state space
reconstruction // Physica D. — 1992. —57. — P. 1–30.
7. Городецкий В.Г., Осадчук Н.П. Самопересечение фазовых траекторий как мера размерно-
сти вложения хаотических аттракторов. Часть 1 // Международный научно-технический
журнал «Проблемы управления и информатики». — 2012. — № 5. — С. 15–25.
8. Городецкий В.Г., Осадчук Н.П. Самопересечение фазовых траекторий как мера размерно-
сти вложения хаотических аттракторов. Часть 2 // Там же. — 2012. — № 6. — С. 5–12.
9. Kennel M., Brown R., Abarbanel H. Determining embedding dimension for phase-space recon-
struction using a geometrical construction // Phys. Rev. A. — 1992. — 45, N 6. — P. 3403–3411.
10. Rössler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A. — 1976. — 57, N 5. —
P. 397–398.
11. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journal Atmos. Sci. — 1963. — 20, N 2. —
P. 130–141.
12. Хайрер Э., Нёрсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Нежесткие задачи : Пер. с англ. — М. : Мир, 1990. — 512 с.
13. Sunspot data. — http://sidc.oma.be/sunspot-data/.
14. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулент-
ности. — М. : Мир, 1991. — 368 с.
Получено 26.03.2013
|