Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн

Запропоновано та досліджено паралельний алгоритм чисельного розв’язання прямої стаціонарної динамічної задачі теорії пружності про взаємодію SH-хвиль з системою пружних волокон довільного поперечного перетину, що знаходяться у напівпросторі з границею, вільною від сил. Крайову задачу зведено до сист...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
1. Verfasser:	Панченко, Б.Е.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Методы обработки информации
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207682
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн / Б.Е. Панченко // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 112-122. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207682
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2076822025-10-12T00:00:56Z Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн Система пружних волокон некругової форми у напівпросторі з вільною границею під впливом стаціонарних sh-хвиль System of elastic noncircular fibres in a half-space with a free boundary under the action of stationary sh-waves Панченко, Б.Е. Методы обработки информации Запропоновано та досліджено паралельний алгоритм чисельного розв’язання прямої стаціонарної динамічної задачі теорії пружності про взаємодію SH-хвиль з системою пружних волокон довільного поперечного перетину, що знаходяться у напівпросторі з границею, вільною від сил. Крайову задачу зведено до системи сингулярних інтегральних рівнянь, яка розв’язується чисельно. Схема паралельних обчислень дозволила дослідити ситуації зі збільшеним числом неоднорідностей. Наведено нові результати. The paper offers and studies a parallel algorithm of a numerical solution of a direct stationary dynamic problem of the elasticity theory about the interaction of SHwaves with a system of elastic fibres with an arbitrary cross-section, located in a halfspace with a force-free boundary. The boundary-value problem is reduced to a system of singular integral equations that can be solved numerically. The scheme of parallel calculations allowed to study situations with a large number of reflective heterogeneities. New numerical results are shown. 2013 Article Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн / Б.Е. Панченко // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 112-122. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207682 004.652,539.3 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i12.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы обработки информации Методы обработки информации
spellingShingle	Методы обработки информации Методы обработки информации Панченко, Б.Е. Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано та досліджено паралельний алгоритм чисельного розв’язання прямої стаціонарної динамічної задачі теорії пружності про взаємодію SH-хвиль з системою пружних волокон довільного поперечного перетину, що знаходяться у напівпросторі з границею, вільною від сил. Крайову задачу зведено до системи сингулярних інтегральних рівнянь, яка розв’язується чисельно. Схема паралельних обчислень дозволила дослідити ситуації зі збільшеним числом неоднорідностей. Наведено нові результати.
format	Article
author	Панченко, Б.Е.
author_facet	Панченко, Б.Е.
author_sort	Панченко, Б.Е.
title	Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн
title_short	Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн
title_full	Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн
title_fullStr	Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн
title_full_unstemmed	Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн
title_sort	система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207682
citation_txt	Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн / Б.Е. Панченко // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 112-122. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT pančenkobe sistemauprugihvolokonnekrugovojformyvpoluprostranstvesosvobodnojgranicejpodvozdejstviemstacionarnyhshvoln AT pančenkobe sistemapružnihvolokonnekrugovoíformiunapívprostorízvílʹnoûgraniceûpídvplivomstacíonarnihshhvilʹ AT pančenkobe systemofelasticnoncircularfibresinahalfspacewithafreeboundaryundertheactionofstationaryshwaves
first_indexed	2025-10-12T01:15:46Z
last_indexed	2025-10-13T01:14:32Z
_version_	1845827283512721408
fulltext	© Б.Е. ПАНЧЕНКО, 2013 112 ISSN 0572-2691 УДК 004.652,539.3 Б.Е. Панченко СИСТЕМА УПРУГИХ ВОЛОКОН НЕКРУГОВОЙ ФОРМЫ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СТАЦИОНАРНЫХ SH-ВОЛН Введение Для численного анализа взаимодействия стационарных волн перемещений и напряжений с системой упругих включений [1] произвольного поперечного се- чения требуются большие объемы вычислительных ресурсов. В этой связи особое значение приобретают эффективные параллельные алгоритмы [2]. Особую роль при разработке кластерных алгоритмов решения задач дифракции плоских и ан- типлоских упругих волн на системах неоднородностей произвольной формы иг- рает метод сингулярных интегральных уравнений [3, 4]. Высокая скорость схо- димости решения и сокращение числа пространственных переменных [4, 5] обес- печивают данному методу хорошие конкурентные преимущества. В настоящей работе исследован алгоритм с параллельной организацией вы- числений решения системы сингулярных интегральных уравнений (СИУ), моде- лирующей дифракцию SH-волн на системе упругих волокон некруговой цилин- дрической формы, находящихся в упругом полупространстве со свободной от сил границей. В отличие от задачи, рассмотренной в [5], на контурах упругих вклю- чений использованы другие граничные условия, которые моделируют поведение системы как единого целого — равенство перемещений со стороны матрицы и со стороны включений. Это приводит к системе интегральных уравнений иного класса — системе СИУ. Для ее однозначной разрешимости необходимо также ис- пользовать дополнительное условие, обеспечивающее непрерывность перемещений на каждом из контуров. Предлагаемый алгоритм учитывает эти новые особенности задачи. 1. Постановка задачи Рассмотрим упругое полупространство 0y с границей ,0y свободной от сил, которое содержит m туннельных вдоль оси Oz упругих волокон, поперечные сечения которых ограничены замкнутыми (без общих точек) контурами ,,1, mjL j  ти- па Ляпунова. Предполагается, что упругое полупростанство имеет плотность 2 и мо- дуль сдвига .2 Пусть L — совокупность указанных контуров. Положительное направ- ление выбрано так, что при движении вдоль L область 2D остается слева (рис. 1). Предположим, что источники внешнего поля перемещений 0W размещены в области .2D В качес- тве такого источника может быть набегающая на включения из бес- конечности монохроматическая SH- волна, нормаль к фронту которой составляет угол  с осью OX (  const), s0 X D2 L j Lm L1 mD1 n s n0 Рис. 1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 113 , )sincos( 0 2   yxi eW , 2 2 c   (1) или гармонический источник интенсивности P, сосредоточенный в точке ),( 000 yxM и порождающий поле перемещений: ),( 4 1 2 )1( 0 2 0 rH i P W    ,0zzr  ,iyxz  .000 iyxz  (2) Здесь 2c — скорость волны сдвига,  — частота колебаний, 2 — модуль сдви- га, i — мнимая единица ),1( 2 i )()1( xHn — функция Ханкеля первого рода n-го порядка, зависимость от времени выражается множителем .tie  В результате взаимодействия с включениями каждой из волн (падающей и от- раженной от границы y  0) возникает дифрагированное волновое поле. Обозначим 3W амплитуду волны сдвига, отраженной от свободной от сил границы y  0. Тогда суммарное поле амплитуд перемещений представимо в виде .320 WWWW  В случае набегающей из бесконечности волны сдвига (1) отраженная от гра- ницы волна имеет вид [4] , )sincos( 3 2   yxi eW , 2 2 c   а в случае гармонического источника (2): ),( 4 1 12 )1( 0 2 3 RH i P W    ,01 zzR  .000 iyxz  (3) Неизвестная функция 2W должна удовлетворять однородному уравнению Гельмгольца в области 2D с волновым числом :2 ,02 2 22  WW , 2 2 2 2 yx       (4) а также условиям излучения на бесконечности типа Зоммерфельда [3]. Поскольку области mD1 представляют собой упругие включения, в них ,1 mWW  где функции mW1 — решение однородного уравнения Гельмгольца с волновыми числами m,1 ,/( ,1 2 ,1 2 ,1 mmm  m,1 — плотность, а m,1 — модуль сдвига каждого m-го включения). На совокупности всех контуров L будем требовать выполнения условий со- пряжения, вытекающих из непрерывности перемещений и сдвиговых напряжений на границе раздела двух сред. Граничные условия на каждом включении таковы (для упрощения записи индекс номера неоднородности опускаем): ),( , 302 0 2 0 1 1 3021 WWW nn W WWWW         (5) где 0n — нормаль к L в точке .0 L 114 ISSN 0572-2691 Таким образом, задача дифракции волны сдвига (1) или (2) на системе упру- гих включений в изотропном полупространстве с границей, свободной от сил, сводится к решению краевой задачи (4), (5) при выполнении дополнительных условий излучения на бесконечности. 2. Метод решения Следуя [4, 5], запишем функцию ),,( yxWk характеризующую неизвестную волну перемещений в областях 1D и ,2D следующим образом (k  1, 2): ,),,,()(),(   L kkk dsyxGsfyxW (6) ),( 4 1 1 )1( 01 rH i G  )),()(( 4 1 12 )1( 02 )1( 02 rHrH i G  , zr ,1  zr ,iyxz  . i Здесь L — совокупность контуров mjL j ,1,  (см. рис. 1); )(sfk — неизвестные функции, удовлетворяющие на L условию Гельдера. Интегральные представления (6) удовлетворяют уравнению Гельмгольца (4) в областях kD и обеспечивают выполнение условий излучения на бесконечности. Остается выполнить граничные условия (5). Однако непосредственное выполне- ние первого из них приводит к уравнению с логарифмическим ядром. Для полу- чения СИУ, схема численной реализации которого более эффективна [3], про- дифференцируем равенство по дуговой координате .0s Для осуществления предельного перехода в (6) при Lz  0 частные про- изводные 0/ sW  и 0/ nW  запишем так: , 0 00 0                 z ii L z W e z W e s W , 0 0 0                 z ii L z W e z W ei n W 0 (7) , 0 00 ds d e i    .000 Li  Воспользуемся также известными соотношениями [3–5]: ,),( 2 )( ),( 2 )(),( 2 )( 1 )1( 1 )1( 1 )1( 0 )1( 1 )1( 0                i ii rezrH ri rH rHerH z rHerH z (8) где )(1 xH — непрерывная функция в точке x  0. Привлечение формулы Сохоцкого–Племеля [3] для вычисления предельных значений интегралов типа Коши, возникающих при удовлетворении граничных условий (5) с учетом соотношений (6)–(8), приводит к системе СИУ относительно неизвестных функции :)(sfk Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 115    L L k sNdsssBssgsfdsssBssgsf ),()],(),()[()],(),()[( 002020101 (9) ),()],()(),()([)]()([ 2 1 0022011022011 sKdsssEsfssEsfsfsf k L   ,Re 2 1 0 0           i e g ,0 00   i er ,10 100   i er ;10 1000   i eRz ,0 000   i eRz ,4/)sin()( 0001 )1( 1111 irHE  ,4/)]sin()()sin()([ 100102 )1( 10002 )1( 1222 irHrHE  ,4/)cos()( 0001111 irHB  ,4/)]cos()()cos()([ 100102 )1( 10002122 irHrHB  ,)]cos()()cos()([ 00300021  sWsWiN ,4/)]cos()()cos()([ 2100102 )1( 10002 )1( 122   iRHRHPN )],sin()()sin()([ 003000221  sWsWiK .4/)]sin()()sin()([ 100102 )1( 10002 )1( 122 iRHRHPK   Здесь функции )( 0sNk и )( 0sKk отвечают случаям (1) и (2) соответственно, ядро ),( 0ssg сингулярно, ядра ),( 0ssBk и ),( 0ssEk непрерывны (k  1, 2). В первой группе (9) интегральные уравнения являются сингулярными, а во второй — урав- нениями Фредгольма второго рода. Для выделения единственного решения СИУ присовокупим к ней дополни- тельные условия: ,)( 030201   jj LL dsWWWdsW (10) их выполнение обеспечивает непрерывность перемещений на каждом из контуров .jL 3. Дискретизация задачи Численная реализация системы СИУ (9) проводилась методом механических квадратур [3]. Вводилась параметризация контура jL с помощью соотношений ),( jj ),( 000  jj ,2,0 0  (11) причем ).2()0(  jj Интегральное уравнение, соответствующее контуру ,kL удовлетворялось в узлах вида ,/)1(2 kl nl  ,,1 knl  и сводилось к системе ли- нейных алгебраических уравнений относительно значений функции )(jf в узлах вида jp np /)12(  , ),,1( jnp  где jn — число точек разбиения контура .jL Внеинтегральные значения )( lkf  выражались с помощью интерполяционных 116 ISSN 0572-2691 полиномов Лагранжа через искомые значения )( pkf  . Для нечетных kn имеем следующее выражение [4, 5]: . 2 ctg)()1( 1 )( 1 pl pk n p pn k lk f n f k k      (12) Таким образом, при численной реализации системы интегральных уравнений (9) за- дача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с N  mnnn  21 неизвестными. Дополнительные условия учитывались в соот- ветствии с теоремой Лифанова [6]. 4. Схема вычислений Система СИУ, как и в [4, 5], сведена к системе линейных алгебраических уравнений, все элементы матрицы которой — результат дискретизации контуров. Очевидно, что размер матрицы пропорционален числу неоднородностей. Для ис- следования описанного метода при большом числе включений, а также для полу- чения высокоточных результатов и проверки сходимости решений при большом числе точек коллокации потребуются существенные вычислительные ресурсы. Применим распараллеливание алгоритма. Из системы уравнений (9) следует, что каждый элемент матрицы определяется координатами узлов дискретизации. Важная особенность алгоритма заключается в том, что все элементы матрицы формируются независимо один от другого, что доказывает возможность примене- ния параллельного вычисления. Таким образом, переменная 0k формирует строки матрицы системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), а переменная k — ее столбцы. Диагональные элементы матрицы соответствуют коэффициентам системы, вычисленным в узлах общих для 0k и k включений. Иные коэффици- енты вычисляются так, что значения 0k принадлежат множеству точек коллокации с одних контуров, а значения переменных интегрирования k — с других. Параллельно-конвейерная схема вычислений представлена в [5]. Первый, вто- рой и четвертый этапы макроконвейера не требуют пересылок данных, что означает независимость вычислений. На третьем этапе для решения СЛАУ методом Гаусса существует оптимальное число процессов, определяемое спецификой матрицы. Для описанного алгоритма оптимальным числом оказалось 200–250 процес- сов при заданной точности 10 8 . Увеличение числа процессов приводит к незна- чительному снижению суммарного времени вычислений за счет части алгоритма без пересылок, но также и к приросту вычислительных расходов на балансировку загрузки процессоров. На рис. 2 показан график зависимости времени кластерных вычислений мас- сива контурных напряжений на ромбическом упругом включении от числа про- цессов для одного варианта нагрузки. Из графика видно, что, как и в [5], весь ал- горитм хорошо масштабируется. Поскольку для данной мето- дики решения краевой задачи ос- новная операция при вычислении каждого элемента матрицы — это определение расстояния между точ- ками контуров, которое является аргументом цилиндрических функ- ций Ханкеля, а также вычисление самих этих функций и коэффициен- тов при них, на каждом клоне хоста запускаются цикл процедур опреде- 50 100 150 200 P 0 0,5 1,0 1,5 2,0 t Рис. 2 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 117 ления указанных коэффициентов. Итоговая матрица собирается по факту заверше- ния последнего. Вычислительный процесс решения СЛАУ также распараллелива- ется согласно [7]. Параллельное вычисление итоговых искомых характеристик осуществляется подстановкой массивов значений неизвестных функций )( pkf  в представление (7) аналогично процедурам формирования матрицы СЛАУ. 5. Численные результаты В исследовании достигалась точность вычислений порядка 10 8 . Такую точ- ность обеспечивают высокая сходимость самого алгоритма, разрешающая спо- собность компиляторов языков высокого уровня и разрешающая способность операционных сред. Метод СИУ обеспечивает быструю сходимость решения, а также функциональную зависимость стабилизации знаков результирующих данных от увеличения числа точек коллокации. Для указанной точности в опи- санной задаче достаточно 1000–1500 точек коллокации каждого контура. Для исследования сходимости построенного алгоритма рассмотрим случай нормального падения )2/(  волны сдвига (1) на систему однородных эллип- тических или ромбических включений, расположенных вдоль одной линии на одинаковом расстоянии d один от другого (рис. 3). Используем известные [8] параметрические уравнения для задания основного контура :0L ,3sinsin)(  b ,3coscos)(  a  20 , (13) где при   0,14036 контур имеет вид ромба со скругленными точками возврата, а в случае   0 — эллиптическую форму. Остальные контуры для простоты бу- дем располагать симметрично относительно оси Y. При условии, что физические характеристики всех включений одинаковы, рассматриваемая дифракционная за- дача обладает свойством симметрии, что позволяет осуществлять первичное са- мотестирование получаемых результатов. В ходе численной реализации вычислялись безразмерные контурные напря- жения 2/ s и ./ 2 nn Точность вычислений проверялась путем срав- нения результатов при различных значениях N, сравнивались также полученные результаты с результатами, приведенными в [4, 5] для случая системы эллиптиче- ских или ромбических отверстий (как частного случая упругого включения) и для одиночного упругого включения. d d Y 0 X 0M zY pL 1L 0L 1L kL a – a Рис. 3 118 ISSN 0572-2691 Применение метода параллельных вычислений, проведенного на кластере «Ин- парком-256», подтвердило вывод о том, что сходимость решения СИУ практически не зависит от числа отражателей. Численное исследование показало, что в случае границы, свободной от сил, при воздействии из бесконечности SH-волны в описанной системе эффект насы- щения [5, 9] наблюдается нестрого (как и в [5]). И хотя при линейном и симмет- ричном относительно нагрузки расположении вдоль границы физически одинако- вых включений для усредненного исследования достаточно не более 11 неодно- родностей, все же при дальнейшем наращивании числа включений наблюдаются незначительные пульсации в распределении напряжений. Обусловленность мат- риц при этом проверялась на основании алгоритма, описанного в [10]. При фиксированной размерности матриц СЛАУ число включений не влияет на оптимальное число процессов, поскольку в СИУ каждый контур неоднородно- сти является частью суммарного контура интегрирования. Поэтому при прочих равных условиях свойства СЛАУ, полученных как для одного включения, так и для нескольких, не изменяются. Как и в случае [5, 9], от числа включений не зави- сит и сходимость алгоритма. В настоящей работе проводились вычисления контурных напряжений  и n вдоль контуров центрального 0L и крайнего kL включений (рис. 3) в случае ре- шетки, состоящей из нечетного числа неоднородностей (p  k). Отсчет угла  ве- дется от нуля (теневая точка) до  (лобовая точка) для центрального включения (учитывается симметрия в случае нормального распределения волны сдвига) и от 0 до 2 — для крайних волокон (в силу симметрии и равенства упругих постоян- ных распределения напряжений на контурах kL и kL зеркальны). Рассматрива- ется случай ромбов, вытянутых вдоль набегающей волны. Для всех рисунков ,0,5/ 21  ,0,2/ 21  ,5,2/ ab а расстояние от границы до центрального волокна 4h (на рис. 3 не приведено). На рис. 4, а, б показаны распределения напряжения  вдоль контура крайнего слева и центрального волокон соответственно в случае решетки, состоящей из трех ромбов. На рис. 5, а, б показаны распределения напряжений n вдоль тех же конту- ров. Воздействие — волна из бесконечности. Значения безразмерного волнового чис- ла a2 для кривой 1 составляет 0,3, для кривой 2 — 0,9, для кривой 3 — 1,5. Из результатов следует, что чем выше частота колебаний, тем больший вклад в напряженно-деформированное состояние контура волокна вносит напряжение .n Это говорит о том, что разрушение, например, в композиционном материале может происходить вследствие отрыва по границам раздела фаз.  2   0,2 0 0,4 0,6 0,8 1,0 1 2 3     0,2 0 0,4 0,6 0,8 1,0 1 2 3 1,2 а б Рис. 4 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 119  2   1 0 2 3 4 1 2 3     1 0 2 3 4 5 1 2 3 6 а б Рис. 5 Если в теневой )0(  и лобовой )(  точках ,0 то в зоне соскальзыва- ния с увеличением a число локальных максимумов  также увеличивается, при- чем растет и максимальное значение . Напряжение n имеет обратный характер. Такой вывод полностью совпадает с результатами работы [4]. На рис. 6, 7 показаны зависимости для аналогичной решетки, состоящей из трех эллиптических упругих волокон, при воздействии волны сдвига от сосредо- точенного точечного источника, находящегося на оси симметрии. Здесь .1zY На рис. 6, а, б приведено распределение напряжения  вдоль контура крайнего слева и центрального волокон в случае решетки, состоящей из трех эллипсов. На рис. 7, а, б показано распределение напряжений n вдоль тех же контуров. Нуме- рация кривых имеет тот же смысл. Значения безразмерного волнового числа a2 для кривой 1 составляет 0,3, для кривой 2 — 1,1, для кривой 3 — 2,5. Здесь у  также наблюдаются локальные минимумы в теневой )0(  и ло- бовой )(  точках. Число локальных максимумов в зоне соскальзывания с уве- личением a2 также увеличивается. Максимальное значение , как и на рис. 4, растет с увеличением a2 . Аналогично SH-волне из бесконечности для случая нагрузки от точечного источника с повышением частоты колебаний прирост ам- плитуды n выше, чем у , причем напряжения  и n также имеют взаимно- обратный характер.  2   0,02 0 0,04 0,06 1 2 3     0,02 0 0,04 0,06 0,08 0,10 1 2 3 0,12 а б Рис. 6 120 ISSN 0572-2691    n 0,05 0 0,10 0,15 0,20 1 2 3 0,25  2  n 0,2 0 0,4 0,6 1 2 3 0,8 а б Рис.7 2 1/2  ,max n 1 0 2 3 4 1 2 3 4 4 6 8 10 12 2 1/2  ,max n 1 0 2 3 4 1 2 3 4 4 6 8 10 12 5 а б Рис. 8 На рис. 8, а, б показаны зависимости максимумов амплитуд нормальных и касательных напряжений для крайнего слева и центрального упругого волокна от соотношения 21 / для аналогичной решетки, состоящей из трех эллиптиче- ских неоднородностей, при воздействии волны сдвига из бесконечности. Здесь также показаны соотношение осей эллипса 5,2/ ab , соотношение плотностей включения и матрицы ,0,2/ 21  значения безразмерного волнового числа a2 для кривых 1 и 2 составляют 0,9, а для кривых 3 и 4 — 1,5. Разработанная схема численного эксперимента позволила сформировать уни- кальные таблицы высокоточных значений максимумов нормальных и касательных напряжений и соответствующих угловых координат на контуре эллиптического или ромбического центрального или крайних упругих включений (в системе от 3 до 9 объектов). Воздействие — волна из бесконечности или расположенный вблизи точечный источник гармонических SH-волн для любых геометрических соотношений включений и большинства волновых чисел. По мнению автора, та- кие таблицы сформированы впервые. В таблице приводится фрагмент этого результата для волны из бесконечно- сти и точеного источника, воздействующих на систему из трех эллиптических или ромбических упругих включений с соотношением осей 5,2/ ab , соотношением ,0,5/ 11  0,2/ 21  и волновыми числами ,2a равными 0,9 и 1,5 соответ- ственно. Как видно из графиков, приведенных на рис. 8, начиная с соотношения ,3/ 11  значения амплитуд максимальных касательных напряжений централь- ного и крайнего включений существенно ниже соответствующих максимальных значений нормальных напряжений. Этот результат также полностью совпадает с соответствующим результатом работы [4]. Поэтому в таблице приведены только значения максимальных нормальных напряжений. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 121 Таблица Тип источника Тип контура 2a Расположение неоднородности Угол  в радианах Максимум N Волна Эллипс 0,9 Центральное 0 3,21767380 Волна Эллипс 0,9 Крайнее слева 3,14781721 2,67104904 Волна Ромбик 0,9 Центральное 0 4,71586843 Волна Ромбик 0,9 Крайнее слева 6,27121734 3,85712888 Источник Эллипс 0,9 Центральное 0 0,69316719 Источник Эллипс 0,9 Крайнее слева 6,05948066 0,29930583 Источник Ромбик 0,9 Центральное 0 2,35815848 Источник Ромбик 0,9 Крайнее слева 6,24863284 0,33145361 Волна Эллипс 1,5 Центральное π 4,33680121 Волна Эллипс 1,5 Крайнее слева 3,11242821 3,22658328 Волна Ромбик 1,5 Центральное π 6,12208056 Волна Ромбик 1,5 Крайнее слева 3,13126909 4,05454180 Источник Эллипс 1,5 Центральное 0 0,35980907 Источник Эллипс 1,5 Крайнее слева 5,83291359 0,33304392 Источник Ромбик 1,5 Центральное π 1,76280359 Источник Ромбик 1,5 Крайнее слева 6,14275573 0,28472961 Заключение Из анализа описанной предметной области следует, что для широкого класса задач математической физики, решаемых методом СИУ, структура алгоритма и большинство вычислительных процедур типизируемы. Поэтому при рассмотре- нии вопроса проектирования инструментальных программных средств (CASE- средств) [11], позволяющих синтезировать и сопровождать приложения, модели- рующие динамическое поведение сложных механических систем, достаточно изучить несколько базовых алгоритмов [5]. Как показано в [2, 5], в задачах механики сплошных сред параллельные алго- ритмы позволяют значительно сократить время вычислений и более детально проанализировать характеристики исследуемых полей. Это важно, так как полу- чение точных величин, например максимумов напряжений (вплоть до 8–10-го знака), а также точных координат их дислокации позволяет избежать разрушений конструкций. Сочетание метода интегральных уравнений, хорошо типизируемых и имею- щих высокую скорость сходимости, а также процедур распараллеливания, приво- дящих к значительной экономии времени вычислений, существенно увеличивает эффективность исследуемых алгоритмов. Это дает основание заключить, что построенные предложенным методом ин- струментальные программные средства синтеза приложений позволят своевре- менно и точно прогнозировать поведение различных систем с усложненными свойствами. Б.Є. Панченко СИСТЕМА ПРУЖНИХ ВОЛОКОН НЕКРУГОВОЇ ФОРМИ У НАПІВПРОСТОРІ З ВІЛЬНОЮ ГРАНИЦЕЮ ПІД ВПЛИВОМ СТАЦІОНАРНИХ SH-ХВИЛЬ Запропоновано та досліджено паралельний алгоритм чисельного розв’язання прямої стаціонарної динамічної задачі теорії пружності про взаємодію SH-хвиль з системою пружних волокон довільного поперечного перетину, що 122 ISSN 0572-2691 знаходяться у напівпросторі з границею, вільною від сил. Крайову задачу зведено до системи сингулярних інтегральних рівнянь, яка розв’язується чи- сельно. Схема паралельних обчислень дозволила дослідити ситуації зі збіль- шеним числом неоднорідностей. Наведено нові результати. B.E. Panchenko SYSTEM OF ELASTIC NONCIRCULAR FIBRES IN A HALF-SPACE WITH A FREE BOUNDARY UNDER THE INFLUENCE OF STATIONARY SH-WAVES The paper offers and studies a parallel algorithm of a numerical solution of a direct stationary dynamic problem of the elasticity theory about the interaction of SH- waves with a system of elastic fibres with an arbitrary cross-section, located in a half- space with a force-free boundary. The boundary-value problem is reduced to a sys- tem of singular integral equations that can be solved numerically. The scheme of par- allel calculations allowed to study situations with a large number of reflective hetero- geneities. New numerical results are shown. 1. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г., Яковлев В.В. Рассеяние волн локальными неоднородностями в сплошных средах. — Киев : Наук. думка, 1985. — 136 с. 2. Вертгейм И.И., Терпугов В.Н. Параллельные технологии вычислений в механике сплош- ных сред и МДТТ : Уч. пособие. — Пермь : ПГУ, 2007. — 84 с. 3. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. — Киев: Наук. думка, 1984. — 344 с. 4. Назаренко А.М. Дифракция волн сдвига на цилиндрических включениях и полостях в упругом полупространстве // Проблемы прочности. — 1990. — № 11. — С. 90–94. 5. Панченко Б.Е. Поведение системы некруговых отверстий в полупространстве со свободной границей от воздействия стационарных SH-волн // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2012. — № 4. —C. 84–93. 6. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). — М. : Янус, 1995. — 520 с. 7. Химич А.Н., Молчанов И.Н., Попов А.В. и др. Численное программное обеспечение интел- лектуального MIMD-компьютера «Инпарком». — Киев : Наук. думка, 2007. — 220 с. 8. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. — Киев : Наук. думка, 1989. — 352 с. 9. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Решение трехмерной задачи дифракции волн на группе объектов // Акустический журнал. — 2007. — 53, № 1. — С. 5 — 14. 10. Химич А.Н., Полянко В.В. Эффективность двумерных блочно-цикличных параллельных ал- горитмов // Проблемы программирования. — 2008. — № 2–3. — С. 145–149. 11. Колянов Г.Н. CASE. Структурный системный анализ (автоматизация и применение). — М. : Лори, 1996. — 360 c. Получено 30.05.2013 После доработки 18.07.2013

Система упругих волокон некруговой формы в полупространстве со свободной границей под воздействием стационарных sh-волн

Institution

Ähnliche Einträge