Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем

Запропоновано і обґрунтовано асимптотичну форму подання класів моделей складних систем, що наближено описують процеси, які протікають в них. Розглянуто особливості задач ідентифікації з таким поданням класів моделей. На основі кінцево-різницевих апроксимацій описано метод, в якому комбінується непар...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автор:	Губарев, В.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы идентификации и адаптивного управления
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208077
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем / В.Ф. Губарев // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 50-64. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208077
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2080772025-10-20T00:08:37Z Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем Асимптотичне моделювання та ідентифікація складних лінійних систем Asymptotic modeling and identification of complex linear systems Губарев, В.Ф. Методы идентификации и адаптивного управления Запропоновано і обґрунтовано асимптотичну форму подання класів моделей складних систем, що наближено описують процеси, які протікають в них. Розглянуто особливості задач ідентифікації з таким поданням класів моделей. На основі кінцево-різницевих апроксимацій описано метод, в якому комбінується непараметрична і структурно-параметрична ідентифікація, що дозволяє будувати редуковані моделі, узгоджені за точністю з похибкою вихідних даних. Asymptotic form for model classes of complex systems approximately describing processes in them is proposed and justified. Identification peculiarities for such model classes are considered. On the basis of finite-difference approximations it is described the method, which arranges nonparametric and structure-parametric identification that allows to construct reduced models agreed in accuracy with errors in initial data. 2016 Article Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем / В.Ф. Губарев // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 50-64. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208077 681.5:519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i4.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Губарев, В.Ф. Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано і обґрунтовано асимптотичну форму подання класів моделей складних систем, що наближено описують процеси, які протікають в них. Розглянуто особливості задач ідентифікації з таким поданням класів моделей. На основі кінцево-різницевих апроксимацій описано метод, в якому комбінується непараметрична і структурно-параметрична ідентифікація, що дозволяє будувати редуковані моделі, узгоджені за точністю з похибкою вихідних даних.
format	Article
author	Губарев, В.Ф.
author_facet	Губарев, В.Ф.
author_sort	Губарев, В.Ф.
title	Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем
title_short	Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем
title_full	Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем
title_fullStr	Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем
title_full_unstemmed	Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем
title_sort	асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208077
citation_txt	Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем / В.Ф. Губарев // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 50-64. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT gubarevvf asimptotičeskoemodelirovanieiidentifikaciâsložnyhlinejnyhsistem AT gubarevvf asimptotičnemodelûvannâtaídentifíkacíâskladnihlíníjnihsistem AT gubarevvf asymptoticmodelingandidentificationofcomplexlinearsystems
first_indexed	2025-10-20T01:16:32Z
last_indexed	2025-10-21T01:10:33Z
_version_	1846551808217972736
fulltext	© В.Ф. ГУБАРЕВ, 2016 50 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 681.5:519.6 В.Ф. Губарев АСИМПТОТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ СЛОЖНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Введение Прежде всего определим, какие системы будем считать сложными. Чаще всего это объекты, для которых невозможно на основе физических или иных за- конов либо знаний элементарных явлений и взаимодействий записать уравнения или системы уравнений, в количественно-замкнутой форме описывающие про- цессы, протекающие в них. В то же время их можно считать причинно-след- ственными, т.е. подчиняющимися некоторой закономерности, однозначно опре- деляющей отклик системы на произвольное допустимое входное воздействие. Переменные, характеризующие внутреннее состояние такого объекта, могут быть пространственно-временными или чисто временными. При этом число входных внешних воздействий, как и количество измеряемых величин, конечно. Во многих случаях их можно трактовать как сосредоточенные, так как они яв- ляются известными, задаваемыми и измеряемыми временными функциями. Примером таких систем может быть энергоблок ТЭС, спроектированный так, что на входе имеем контролируемую подачу топлива, а на выходе измеряем желаемые параметры пара, подаваемого в турбогенераторы электрического тока. Физико-химические процессы горения, фазовых превращений и движения здесь настолько сложны, что описать их с помощью уравнений матфизики в большин- стве случаев практически нереально. Тем не менее в некотором операторном представлении можно говорить о существовании гипотетической динамической модели, связывающей вход и выход в этой сложной системе. В последнее время появляется интерес к построению моделей, описывающих биохимические реакции человеческого организма на прием лекарственных препа- ратов или на физические нагрузки в процессе тренировок спортсменов. Знание таких моделей позволило бы эффективнее с учетом индивидуальных особенно- стей человеческого организма проводить лечение или подготовку спортсменов к соревнованиям. Очевидно, что такие системы имеют бесконечное или конечное, но большое число обобщенных внутренних переменных. Соответственно класс описывающих их моделей характеризуется бесконечной или большой конечной размерностью. Поэтому целесообразно представлять модели таких систем в виде асимптотиче- ских разложений, которые рассмотрены в данной статье. 60 1956 2016 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 51 1. Стандартизованное описание линейных систем Причинно обусловленные сложные системы в самом общем представлении можно записать с помощью функционально-аналитического подхода в виде опе- раторных уравнений. Для линейных систем они принимают форму дифференци- альных операторов следующего вида: ,)( fwDL  (1) где L — линейный дифференциальный оператор, D — операция дифференци- рования, которая может быть в общем случае обобщенной; ),( tzww  для про- странственно распределенных систем, где z принадлежит открытой области G евклидова пространства, включая границу ;G )(tww  для сосредоточенных си- стем, где 0tt  или принадлежит конечному интервалу времени .St Уравнение (1) следует дополнить начальными условиями .,)( 00 ttwwDlI  (2) Когда имеем систему с распределенными в пространстве параметрами, к (1), (2) добавляются краевые условия 0,),,(),()( ttGztzgtzwDlB  или ,St (3) где Bl — линейный оператор, а ),( tzg — функция (вектор-функция, обычная или обобщенная). С использованием идеи стандартизации, предложенной в [1, 2], описание (1)–(3) приводится к эквивалентной ему форме ,или,,0)( ,,0)( ,)( 0 0 StttGzwDl ttwDl fwDL I     (4) где f — обобщенная функция, которая специальным образом [1] формируется из 0, wf и .g Для системы (4) можно найти функцию Грина или функцию влияния, решив ее при ),()(),(  tztzf где ,, 0tG   — функция Дирака, а G — замыкание области .G В результате получим функцию четырех переменных ).,,,(  tzH Для известных функции Грина и стандартизирующей функции f состояние системы определяется уравнением   dzdftzHtzw G t t ),(),,,(),( 0 . (5) Уравнение (5) задает различные классы моделей. Статические и квазистати- ческие модели являются частным случаем (5) и записываются в виде .)(),()(   dfzHzw G (6) Для систем с сосредоточенными параметрами формула (5) преобразуется в хорошо известную формулу Коши   dutwttzw t t )(),(),()( 0 00 , (7) где ),(  t — переходная матрица линейной системы, в которую преобразуется функция Грина. При этом обобщенная стандартизирующая функция )(f имеет выражение ),()()( 00 twuf  где )( 0t — функция Дирака. 52 ISSN 0572-2691 На практике наиболее часто измеряются локальные или интегральные ха- рактеристики поля ).,( tzw Представим их как выходные переменные )(ty )).(,),(),((col 21 tytyty M Как локальные, так и интегральные измерения при этом могут быть выражены в виде ,),()()( dztzwzty m G m   где )(zm — обоб- щенная весовая функция, определенная на соответствующем многообразии или как функция Дирака. Внешнее воздействие во многих случаях представляется как ),( tzf ),()( 1 zftu rr R r    где )(tur — сосредоточенный вход, а )(zfr определяет его про- странственную природу. Чисто граничное воздействие учитывается также с по- мощью обобщенной функции ).(zf Например, для электромагнитных процессов токи в обмотках можно трактовать как сосредоточенное воздействие, а его про- странственный характер определяется конфигурацией и неоднородностью намот- ки катушек. На множестве всех интегрируемых ограниченных финитных функций с областью определения ,G принадлежащих некоторому гильбертову простран- ству ,H зададим какую-нибудь полную систему линейно независимых функ- ций }.,,,{ 321 hhh Функции положения ),(zfr начальное состояние )(0 zw и обобщенные весовые функции )(zm представим разложениями ),()( 1 zhbzf jrj j r     ),()( 0 1 0 zhxzw jj j     ).()( 1 zhcz jmj j m     (8) Тогда (5) при сдвиговой инвариантности примет вид ,,1,)()()()( 0 1 00 11 MmdutHbttHxcty rij t t rj R r ijjmi ji m                 (9) или в векторно-матричной форме (9) будет записано как   dButCHxttCHty t t )()()()( 0000 0 , (10) где ,C ,0H B — тройка линейных операторов, осуществляющих отображение различных бесконечномерных линейных векторных пространств. Асимптотически устойчивая система имеет эквивалентное (10) описание    dutHty )()()( 1 0 , (11) где .01 BCHH  При нулевых начальных условиях из (10) получаем соотношение вход-выход, представляемое с помощью оператора свертки   dutHty t t )()()( 1 0 . (12) Системе (11) соответствует оператор Ганкеля, который записывается в виде    dutHtu )()()( 1 0 . (13) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 53 При этом оператор * ( сопряженный -оператору) является самосо- пряженным, имеет счетное множество положительных собственных значений   22 2 2 1 i , таких, что 02 i называют сингулярными числами опера- тора , а пару нормализованных собственных векторов ),1,,(  iii удовлетво- ряющую системе уравнений ,2,1,,  iiiiiii , (14) — парой Шмидта оператора . Тогда система (11) будет ядерного типа, если    j j 1 [3, 4]. На практике большинство сложных систем относится именно к этому классу. Полученная форма операторных уравнений (10)–(12) единообразно описыва- ет динамические процессы в сложных распределенных и сосредоточенных систе- мах с конечным числом входов и выходов. Она позволяет трактовать задачу пря- мой, когда 1H и u заданы, а надо найти .y Задача на основе этих уравнений ста- новится обратной или задачей идентификации, когда по известной паре ),( uy необходимо найти .1H Будем считать полученное описание исходным для построения других экви- валентных классов моделей и разработки на их основе метода и алгоритмов иден- тификации. 2. Рациональная и разностная аппроксимации Передаточная матрица )(pW оператора свертки ,1H получаемая преобразо- ванием Лапласа, в общем случае иррациональна, т.е. ее элементы являются ирра- циональными функциям, что наиболее характерно для систем с распределенными параметрами. В этом случае представляет интерес задача аппроксимации беско- нечномерной системы конечномерной, а в случае конечной, но большой размер- ности — задача редукции порядка модели [5]. Для этого можно использовать тео- ретические результаты, полученные в [6, 7] и ряде других публикаций. Конечно- мерная модель в пространстве состояний размерности n xCyuBxAx nnn  , (15) является аппроксимирующей для (11), если ее параметры определяются конечным числом собственных векторов и сингулярных чисел по формулам )].0(,),0([)],0(,),0([ ,,,2,1,,)()()()()( 111 * 0 * 0 nnnnn ji j i jiijn BC njidsssdsssA          (16) Доказана асимптотическая сходимость [8] усеченной импульсной матрицы откли- ка и соответствующей ей передаточной функции )(pWn к точным их значениям по различным нормам, т.е. 011  HH n и 0WWn при n . Для практики и особенно для идентификации важно иметь модель в форме разностной аппроксимации. Импульсный отклик (11) и оператор конволюции (12) в этом случае примут вид )),(()()( 1 jkujhky j     )),(()()( 1 jkuhhky k j     (17) 54 ISSN 0572-2691 где  — шаг дискретизации, ).()( 1 jHh  Шаг  зависит от размерности аппроксимирующей модели так, что 0)(  n при n . В асимптотически устойчивой системе .0)(lim   jh j Это означает, что всегда найдется такое ,N что  )2( Nh , где )( — погрешность, обусловленная дискретизацией. Для заданного  (17) может быть записано в безразмерной форме .0 2 1 jkj N j k uhy    (18) Тогда оператор Ганкеля становится матрицей Ганкеля следующего вида . 02100 100201 00100                       NNN N N hhh hhh hhh H     (19) Итак, модель сложной системы представляется в приближенной форме, кото- рая будет асимптотически стремиться к точному описанию, когда размерность ее неограниченно увеличивается. Это имеет место в детерминированном случае и при точных вычислениях. 3. Проблема аппроксимации при идентификации Рассмотрим некоторые особенности использования конечно-разностных ап- проксимирующих моделей (17), (18) в задачах идентификации. Переход от непре- рывного описания в форме бесконечномерной конволюции (11) к аппроксимиру- ющему его конечномерному, т.е. усеченному, приводит к рациональной аппрок- симации, представляемой системой уравнений (15). Параметры этой усеченной модели определяются сингулярными числами и парой Шмидта оператора Ганке- ля. Когда же уравнения конволюции записываются в дискретной форме, ганкелев оператор становится матрицей Ганкеля и в результате имеем конечно-разностную модель. При этом подразумевается конечномерная модель, максимально допу- стимая размерность которой согласовывается с выбранным шагом дискретизации. В свою очередь это приводит к тому, что импульсная матрица отклика становится конечномерной, порождающей описание (18). Для точных исходных данных (18) будет стремиться к точному описанию, когда 0 и N согласовано с  . Однако когда величина  определяется осуществляемыми на объекте измерени- ями, т.е. возможностями измерительной аппаратуры и обработкой получаемых данных, то с этим необходимо считаться. Полагаем, что априори  известно и его значение задано. Тогда N в общем случае не может неограниченно увеличиваться, за исключением случая, когда входное воздействие )(tu — кусочно-постоянная функция, интервалы постоян- ства которой кратны  . В последнем случае при точных данных N можно не- ограниченно увеличивать. Если же измерения неточные, т.е. содержат ошибку, то и в случае кусочно-постоянного входного воздействия не всегда возможно не- ограниченное увеличение .N Это допустимо только при следующих предположе- ниях: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 55  возмущения на входе (неизмеряемые) и шумы на выходе предполагаются случайными, стационарными, эргодическими процессами типа белого шума с ну- левым математическим ожиданием;  кусочно-постоянный вход моделируется как квазистационарная детерми- нистская постоянно возбуждающая последовательность в том смысле, что его ко- вариационная матрица uR удовлетворяет условию IRu  , где 0 и I — единичная матрица. Матричное неравенство понимается как по- элементное;  входные и выходные погрешности не коррелированы с входом .u При этих предположениях предложен ряд методов идентификации, в основе которых лежит теория реализаций Калмана и Хо, т.е. с использованием описания в пространстве состояний. В англоязычной литературе эти методы получили название subspace-based state-space system identification, или 4 SID (произносится как «форсид») [9]. В некоторых из них сначала осуществляется непараметриче- ская оценка .0kh Для этого на каждый вход r подается стационарный сигнал в виде белого шума, отклик на который на m выходе имеет вид ,0 1 mr k r jk mr j j m k vuhy      (20) так что автоковариационная матрица равна ,][ T jsusj ruuE  где js — символ Кронекера. В (20) mr kv — аддитивный шум с нулевым средним, такой, что mr ju и mr kv не коррелированы для всех j и .k Тогда непараметрическая состоятельная оценка (стремящаяся к точной при неограниченном увеличении данных) опреде- ляется формулой ,)()( T ukkyu rhuyEr   (21) где T — операция транспонирования. Это позволяет непосредственно получать матрицу Ганкеля подходящей раз- мерности, которая затем представляется как произведение матриц наблюдаемости и управляемости. Когда матрица Ганкеля переопределена по отношению к пред- полагаемой размерности искомой модели, форсид-метод позволяет корректно устанавливать размерность модели и все матрицы системы в дискретной форме, эквивалентной (18). На основе той же теории реализаций, кроме двухэтапного подхода, была предложена оригинальная постановка задачи, в которой матрица наблюдаемости и треугольная теплицева импульсная матрица отклика находятся непосредственно из входных и выходных данных без использования матрицы Ганкеля вида (19). Этот подход породил группу методов, в которых не требовалось обращения плохо обусловленных матриц, т.е. решать некорректно поставленную задачу. Среди них следует особо отметить методы, в которых используется идеология инструмен- тальных переменных, с помощью которых удается существенно уменьшить влия- ние коррелированных исходных данных. Состоятельность оценивания, т.е. сходимость с вероятностью почти 1 к мо- дели, соответствующей точным исходным данным при их стремлении к беско- нечности, доказывается при тех предположениях, которые были указаны в [10]. Тем не менее на практике эти методы широко используются при построении ап- проксимирующих моделей. При этом остается открытым вопрос выбора подхо- 56 ISSN 0572-2691 дящей размерности модели. Основанием для использования этих методов в тех случаях, когда указанные выше предположения могут не выполняться, является то, что в большинстве случаев при их реализации не применяются положения и методы статистического анализа. Более того, сами методы, основанные на теории реализаций, были разработаны для чисто детерминированных систем, и только при обосновании состоятельности оценивания использовался ковариационный анализ. Совершенно очевидно, что при построении моделей, асимптотически при- ближающихся к точному описанию с увеличением их порядка, существует огра- ничение на размерность, при превышении которой число обусловленности при- ближенных матриц, подлежащих обращению, становится очень большим, а реше- ния сильно чувствительными к ошибкам в данных. В данной работе предложен такой способ нахождения ,0 mr jh входящих в (20), при котором удается избежать обращения плохо обусловленных матриц и получить гарантированные оценки погрешности с учетом конкретно реализуемой в экспери- менте погрешности измерения выходного сигнала .m ky Тогда предельно допусти- мую размерность приближенной модели можно устанавливать по этим гарантиро- ванным оценкам. Описание такого подхода будет сделано для скалярного случая, т.е. по отклику на m выходе при подаче возбуждающего сигнала на r входе. 4. Непараметрическая идентификация Решение задачи построения аппроксимирующей модели осуществим в два эта- па. На первом находим дискретную функцию ,0 mr jh а на втором — эквивалентную ей дискретную модель в пространстве состояний. Для удобства изложения на пер- вом этапе нахождения дискретной функции отклика опустим индексы ,,,0 rm т.е запишем ее в виде последовательности },{ jh а скалярное уравнение конволюции в виде jkj N j k uhy    2 1 или ,2,1, 1     kuhy jkj k j k . (22) Последнее уравнение справедливо при нулевых начальных условиях и 0su при .0s Будем считать, что вход известен точно, а выход ky содержит такую по- грешность, что выполняется условие ,~ 0 kk yy (23) где ky~ — измеренный с погрешностью выход, ky — его точные значения, а 0 — достаточно малая величина, т.е. рассматривается случай с ошибкой на выходе. Пусть в начальный момент времени )0( k система находится в покое 00 y и в этот же момент времени подается начальное входное воздействие .0u Если на шаге дискретизации  0u и все последующие ku остаются постоянны- ми, то описание (22) является точным, когда в качестве jh берутся интегральные значения )(th на соответствующих интервалах дискретизации воздействия. Описание (22) дает дискретный отклик, совпадающий с реальным откликом сложной системы, для которой преобразованная по Лапласу функция )(th может быть иррациональной. Тогда при идентификации с кусочно-постоянным входным Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 57 сигналом ищется именно эта дискретная функция .jh Для непрерывного )(tu описание (22) становится приближенным и шаг квантования должен быть очень малым, чтобы непрерывная функция )(tu хорошо аппроксимировалась кусочно-по- стоянной. В классе же согласованных с  кусочно-постоянных сигналов шаг  может быть любым. Это обстоятельство далее будет учтено при построении ука- занной выше дискретной функции .jh Итак, при кусочно-постоянном ),(tu син- хронизованном с  , и нулевых начальных условиях возможна непараметрическая оценка jh из следующих рекуррентных формул: . , , 02211 20112 101 kkkk huhuhuy huhuy huy       (24) Если вместо точных имеем приближенные ,~,~ 21 yy , то (22) дает прибли- женные значения , ~ , ~ 21 hh и с учетом (23) легко находятся гарантированные ин- тервалы принадлежности для точных значений, определяемые формулой ,2,1], ~ , ~ [  khhhhh kkkkk , (25) где kh находятся из рекуррентных формул 11 0 1 1 0 1 11 ,     h u u h u u hh k k k k  , (26) где . 0 0 1 u   Нетрудно видеть из (26), что с увеличением k растет .kh Так, при условии ,2,1,0,1  iuu ii , имеем 1 12  k kh . Это означает, что при малом шаге дискретизации  ширина гарантированного интервала может быстро достичь не- информативного уровня, когда с некоторого k все последующие kh превыша- ют kh ~ . Получается, что более быстрые процессы можно по оценке kh ~ восстано- вить точнее, чем медленные. При увеличении  информативность мод, соответ- ствующих медленному затуханию, улучшается, а восстановление быстрых и не очень быстрых мод становится проблематичным. Тогда выбором подходящего  можно найти некоторое компромиссное решение. Используя свойство асимптотической устойчивости, можно по-другому по- дойти к задаче восстановления дискретной функции }.{ kh В соответствии с (18) все значения kh при Nk 2 настолько малы, что будем полагать их равными ну- лю. Тогда из (18) для оценки kh можно получить следующую систему уравнений: ,~ ,~ ,~ 21122 211212 201122 NKKNKN NNN NNN huhuy huhuy huhuy           (27) где .2NK  Для определения ,2,1, Nkhk  следует решить переопределенную систему линейных алгебраических уравнений (27) с неточно заданной правой частью, для которой имеем интервальную оценку (23). Для ее решения используем комбина- 58 ISSN 0572-2691 торный метод [11]. Формируем из (22) множество квадратных систем, выбирая для этого произвольные N2 уравнений. Таких комбинаций может быть .2N KС Оставляем только невырожденные и приемлемо обусловленные системы, которых может быть ровно N KС2 или меньше. Решаем каждую из них и находим оценку .ˆ kh Затем для каждой системы находим покомпонентно гарантированный интервал принадлежности точного значения .kh Для нахождения i kĥ и значения i kh для i-й квадратной системы ,,,2,1, SihUy iii  где ,2N KCS  можно использовать правило Крамера. Согласно правилу Крамера имеем , det 1 )( 1 ii i iii yU U yUh    где iU  — присоединенная матрица алгебраических дополнений. Оценка kĥ находится из ,2,1,~ det 1ˆ 2 1 NkUy U h i jk i j N j i i k     (28) где i jkU  — элементы матрицы ,iU  а значения i kh определяются формулой i i jk N j i k U U h det 2 1 0    . Значения i jy~ соответствуют измерениям, которые попали в i-ю квадратную систему. Для каждого k отдельно формируем из разных i множество интервалов .2,1 ],ˆ,ˆ[ ],ˆ,ˆ[ ],ˆ,ˆ[ 22222 11111 Nk hhhh hhhh hhhh S k S k S k S k S k kkkkk kkkkk      (29) Точное значение kh будет принадлежать интервалу, который образуется пе- ресечением интервалов (29), т.е. интервалу        )ˆ(min),ˆ(max i k i k i i k i k i k hhhh . (30) Середину этого интервала принимаем за окончательную оценку .ˆ kh Решение таким способом целесообразно находить итеративно, варьируя ве- личину , которая определяется равенством ,2 TN  где T — время переход- ного процесса, соответствующего информативному уровню функции .kh Тогда начинать можно с ,1N при котором . 2 1 T Затем уменьшаем  так, чтобы Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 59 N оставалось целым числом. Этот процесс продолжается до такой итерации с  , что дальнейшее его уменьшение приводит к потере информативности .2Nh В данном случае препятствием при достижении приемлемых малых зна- чений  может оказаться плохая обусловленность матриц iU при больших .N Поэтому предлагается оригинальный алгоритм определения дискретной функ- ции ,kh который имеет все преимущества приведенных выше подходов. В качестве входного воздействия возьмем последовательность прямоуголь- ных импульсов длительности ,T чередующихся с интервалами релаксации, т.е. с нулевым входом той же длительности. Амплитуду импульсов считаем единич- ной, поскольку всегда можно нормировать выход ),(ty поделив его на амплитуду импульсов. При этом нормируется и величина ,0 характеризующая ограничение погрешности. Значение T выбирается таким, что переходный процесс для мо- мента T практически затухает. Шаг дискретизации  будем задавать услови- ем ,2 )1( Ts где ,2,1,0s . При этом описание (22) для выбранного воз- буждения системы сохраняется точным при любом ,s а jh — есть интеграл не- прерывной функции )(th на каждом шаге. Тогда с увеличением s выполняются следующие соотношения: , , , 12,12,12, 2,14,3, 1,12,1,       sss sss sss sss hhh hhh hhh  (31) где 1s соответствует предшествующему шагу дискретизации, а последователь- ность }{ ,ksh определяет дискретную функцию kh для шага квантования с вы- бранным .s Пусть ,jK ,,,2,1 Jj  определяет дискретные начальные моменты време- ни приложения прямоугольных импульсов, начиная со второго 1j и заканчивая последним .Jj  Ненулевые начальные условия к моменту времени 1j прак- тически затухают. На интервалах jj KK 1 процессы идентичны, что позволяет уточнить оценки (23) гарантированных интервалов функции выхода, которые бу- дут использоваться для оценок .ˆ skh С этой целью из нормированных выходов формируем множество }2,,2,1,{ 12  s kk kyy  по следующему правилу. Для каждого значения k записываем гарантированные интервалы принадлежности, учитывающие идентичность процессов, в виде ].,[ ],,[ ],,[ 00 00 2 00 1 22 11       kKkK k y kKkKy kKkKy JJ J k k k yy yy yy  (32) Тогда точное значение нормированных ky будет принадлежать интервалу 60 ISSN 0572-2691 .,1,)(min),(max 00 Jjyy kK j kK j y jjk            (33) Середину этого интервала принимаем за ,ˆ ky а ky 2 1 будет определять уточ- ненный гарантированный интервал принадлежности точного значения .ky Дан- ный результат справедлив, если к моменту приложения очередного прямо- угольного импульса система находится в нулевом состоянии. Поэтому для надежности можно увеличить значение ,T чтобы выполнить это условие с при- емлемой точностью. Процедуру (32), (33) можно рассматривать как сведение задачи непараметри- ческого оценивания на достаточно большом интервале наблюдения к нахождению последовательностей дискретной функции ,,2,1,2,,2,1,,   sjh s js на эк- вивалентном уединенном интервале длительностью T3 с двумя интервалами ре- лаксации (первый и последний) и единичным нормированным прямоугольным импульсом между ними. Если измерения точные, то отпадает необходимость ис- пользования процедуры (32), (33), а идентификацию можно проводить на том же интервале T3 с аналогичным расположением интервалов релаксации и возбуж- дения. При этом первый интервал релаксации необходим для приведения началь- ных условий к 0 и как интервал, на котором .0ju Все это позволяет находить с уменьшающейся дискретизацией последовательности функций jsh , из следую- щих рекуррентных уравнений: .ˆ ,ˆ ,ˆ ,ˆ ,ˆ 2,2 2,3,2,12 2,2,1,2 2,1,2 1,1 12 ss ss ss s sss sss ss s hy hhhy hhhy hhy hy            (34) Добавляя к (34) соотношения (31), получим для каждого s переопределенную систему уравнений. Решать ее будем комбинаторным способом, аналогичным тому, который использовался для решения переопределенной системы (27), только мно- жество квадратных систем будем формировать в рекуррентном виде (24), комби- нируя соответствующим образом уравнения, входящие в (31) и (34). Для каждой рекуррентной системы из этого множества определяем приближенные значения , ~ , ~ 2,1, ss hh и гарантированные интервалы (25), (26). В качестве оценки jsh , ˆ при- нимаем среднее значение отрезка (30), получаемого аналогично (29). Задачу непараметрической идентификации начинаем с ,0s выполняя все описанные выше действия. Затем последовательно решаем ту же задачу для ,1s 2s и т.д. В результате шаг дискретизации  каждый раз уменьшается в два раза, что приближает к непараметрическому оцениванию непрерывной функ- ции )(th на временном интервале, где можно считать ее отличной от нуля. Нали- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 61 чие ограниченных помех, хотя и ослабленных процедурой (29), (30), позволит определить только предельно допустимое ,min после которого решение стано- вится сильно чувствительным к этим помехам. 5. Структурно-параметрическая идентификация Непараметрическая оценка импульсной переходной функции не решает пол- ностью задачу идентификации, т.е. задачу нахождения детерминированной моде- ли системы, поскольку, как и выход ),(ty функция )(th является интегральной характеристикой сложной системы. Необходимо разбить ее на отдельные подси- стемы, или, как еще говорят, моды, включая связи между ними, и выделить мо- дель измерительной системы. Другими словами, исходя из знания функции ),(th хотя и приближенного, необходимо восстановить эквивалентную ей модель с описанием в пространстве состояний. Переход от конечно-разностной детерминированной модели системы в про- странстве состояний kk kkk xcy buAxx T 1 ,   (35) к описанию (18) определяется соотношением [8] bAch k k 1T  . (36) Обратный переход от (18) к (35) не может быть определен однозначно, по- скольку описание (35) не является единственным. C помощью неособого преобра- зования всегда можно перейти к другим cbA ,, и вектору состояния ,kx которые определяют модель по входу и выходу, эквивалентную исходной, т.е. имеющую одинаковый с ней отклик на любое входное воздействие. Все неособые преобра- зования задают класс эквивалентных в этом смысле реализаций модели. Поэтому в соответствии с теорией реализаций [12] опишем изящный по построению пере- ход к одной из моделей этого класса. Из последовательности kh строим матрицу Ганкеля H (19) или эквива- лентную ей верхнетреугольную матрицу размерности ,22 NN  полагая равными нулю все kh с .2Nk  Воспользуемся свойством матрицы H ,NNH  (37) где                  1T T T N N AC AC C  , ].,,,[ 1bAAbb N N   Это разложение непосредственно вытекает из (36). В (37) N и N — хорошо известные матрицы наблюдаемости и управляемости. Осуществим SVD-преобразование матрицы .H В результате получим ,TVQH  (38) 62 ISSN 0572-2691 где ,Q V — ортогональные матрицы, а  — диагональная матрица сингу- лярных чисел. Разобьем матрицы ,Q ,V  на блоки            e r erer VVVQQQ 0 0 ],,[],,[ , (39) где ,rQ ,r rV определяют редуцированную аппроксимирующую модель вы- бранной размерности, а первое сингулярное число матрицы e характеризует уклонение усеченной матрицы rrrrrr VQH  T от полноранговой H по норме . 2  В соответствии с теорией реализаций положим ., T2/12/1 rrrrr VQ  (40) Выражения (41) означают представление матрицы rH в виде произведения двух полноранговых матриц, которые для некоторой реализации в пространстве состояний соответствуют матрицам наблюдаемости и управляемости. Тогда матрицу A редуцированной системы можно найти из переопределен- ной системы матричных уравнений Arr 1:1:2  или ,1:1:2  rr (41) где матрица r:2 находится из матрицы r вычеркиванием первой строки, а 1:1  r — последней строки. Аналогично определяются матрицы r:2 и 1:1  r путем вычеркивания первого и последнего столбцов матрицы .r С помощью обычного или обобщенного метода наименьших квадратов (МНК) находятся мат- рицы .A В качестве вектора Tc берем первую строку матрицы ,r а первый столбец матрицы r равен вектору b для той же реализации (40). Принцип невязки используем для согласованного с гарантированной по- грешностью задания дискретной функции .jh Для этого варьируем r в разбие- нии (39) и находим такое его значение, при котором функция ,kh определяемая (36), принадлежит гарантированному интервалу, а при значении 1r выходит за его пределы. Условие принадлежности гарантированному интервалу устанавливаем по чебышевскому отклонению от середины гарантированного интервала. 6. Вычислительные эксперименты Работоспособность и эффективность метода идентификации и описанных способов его реализации проверялась в вычислительных экспериментах. Дан- ные генерировались системами 30 порядка с различным числом действитель- ных и комплексно-сопряженных чисел и их распределением на комплексной плоскости. Сначала проверялась работоспособность метода на точных данных. Все опи- санные способы дали примерно одинаковый результат, некоторое преимущество по точности имеет первый рекуррентный способ. Функция )(th восстанавливалась вплоть до ее значений меньше 1010 с достаточно малым шагом  . Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 63 После этого выходные данные зашумлялись. Задавалась погрешность так, чтобы выполнялось условие (23) при различных значениях  . Генерировались шумы с разными функциями распределения вероятностей, показанными на ри- сунке: кривая 1 соответствует нормальному распределению, 2 — равномерному и 3 — «boundary visiting» (двугорбому вблизи краев). Результат, как и следовало ожидать, существенно зависит от  и в меньшей мере от типа распределения, т.е. описанные способы непараметрической идентификации робастны к реализациям погрешности в пределах заданного ограничения (23). Наиболее чувствителен к погрешностям первый рекуррентный способ, и при реалистичных шумах допу- стимая дискретизация достаточно большая. Второй способ существенно улуч- шил результат идентификации и позволил продвинуться в область достаточно малых  и малых значений функции .kh Наиболее эффективен последний ком- бинированный способ, при котором получаем практически пригодные оценки  и импульсной переходной функции. 1 2 3 0 –  0 0,5 1 В том случае, когда получаемые оценки i kĥ или kK j y  ~ при разных i и j оказываются внутри гарантированных интервалов (30) и (33) и занимают меньшее подмножество, вместо гарантированных интервалов можно брать доверительные, которым принадлежат все вычисленные k ĥ или .~ kK j y  Заключение Универсальным способом моделирования сложных линейных динамических систем, характеризующихся в первую очередь большой или бесконечной размер- ностью внутренних переменных состояния, является представление моделей в ви- де конечномерных разложений, асимптотически приближающихся к точному описанию. Это вытекает из общих представлений о природе причинно обуслов- ленных систем, которые вписываются в функционально-аналитические формули- ровки протекающих в них процессов. При этом идентификация — единственно возможный путь конкретизации такого описания. Очевидно, что с ее помощью можно построить только приближенное описание, которое моделирует опреде- ленную часть протекающих процессов в некотором классе входных воздействий. Для практики прогнозирования или управления этого может оказаться вполне до- статочно. Сложность решения задач идентификации рассматриваемых систем связана с тем, что они, как правило, являются некорректно поставленными. В данной работе выполнены исследования и описан один из возможных методов корректного решения задач идентификации, позволяющий асимпто- тически улучшать описание, сохраняя при этом его устойчивость. Обозначены 64 ISSN 0572-2691 серьезные проблемы, которые встречаются на этом пути и которые не так просто преодолеть. В.Ф. Губарев АСИМПТОТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІДЕНТИФІКАЦІЯ СКЛАДНИХ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ Запропоновано і обґрунтовано асимптотичну форму подання класів моделей складних систем, що наближено описують процеси, які протікають в них. Розг- лянуто особливості задач ідентифікації з таким поданням класів моделей. На основі кінцево-різницевих апроксимацій описано метод, в якому комбінується непараметрична і структурно-параметрична ідентифікація, що дозволяє буду- вати редуковані моделі, узгоджені за точністю з похибкою вихідних даних. V.F. Gubarev ASYMPTOTIC MODELING AND IDENTIFICATION OF COMPLEX LINEAR SYSTEMS Asymptotic form for model classes of complex systems approximately describing processes in them is proposed and justified. Identification peculiarities for such mod- el classes are considered. On the basis of finite-difference approximations it is de- scribed the method, which arranges nonparametric and structure-parametric identifi- cation that allows to construct reduced models agreed in accuracy with errors in ini- tial data. 1. Бутковский А.Г. Структурный метод для систем с распределенными параметрами // Авто- матика и телемеханика. — 1975. — № 5. — C. 5–27. 2. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. — М. : Наука, 1977. — 320 с. 3. Power S.C. Hankel operators on Hilbert space. — Boston : Pitman Advanced Publishing Pro- gramme, 1982. — 278 p. 4. Curtain R.F. Sufficient conditions for infinite rank Hankel operators to be nuclear // Journal Math. Control Inform. — 1985. — N 2. — P. 171–180. 5. Gams M., Ozek M. Model order reduction for large LTI control systems // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2010. — N 5. — С. 17–22. 6. Curtain R.F., Glower K. Balanced realization for infinite dimensional systems // Proc. Workshop on Operator Theory and Systems; H. Bart, I. Gohberg, and M.A. Kaashock, eds.; Basel: Birkhau- ser-Verlag, 1986. — P. 87–104. 7. Glower K., Lam J., Partington J. Balanced realization and Hankel-norm approximation of sys- tems involving delays // Proc. IEEE Conf. on Decision and Control. — Greece : Athens, 1986. — P. 1810–1815. 8. Curtain R.F., Precopa A., Szelecsan J., Strazicky B. Balanced realizations for discrete-time infi- nite-dimensional systems // System Modelling Control and Information Science. — Berlin; New- York : Springer-Verlag, 1986. — N 84. — 186 p. 9. Viberg M. Subspace methods in system identification // Proc. 10th IFAC Symposium on System Identification. — Denmark : Copenhagen, 1994. — 1. — P. 1–12. 10. Verhaegen M. Identification of the deterministic part of MIMO state space models given in inno- vations form from input-output data // Automatica. — 1994. — 30, N 1. — P. 61–74. 11. Губарев В.Ф., Мельничук С.В. Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линей- ных систем при наличии ограниченных помех // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2015. — № 2. — С. 26–35. 12. Kailath T. Linear systems. — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1980. — 311 p. Получено 30.12.2015

Асимптотическое моделирование и идентификация сложных линейных систем

Репозитарії

Схожі ресурси