Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту
У статті розглянуто застосування теорії мультимножин для побудови індивідуальної навчальної траєкторії студента в адаптивній системі дистанційного навчання. Описана технологія дає змогу побудувати базу знань навчального контенту на основі найменших неподільних квантів інформації....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2014
|
| Назва видання: | Математичні машини і системи |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84435 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту / М.В. Пікуляк // Математичні машини і системи. — 2014. — № 3. — 96-103. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84435 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-844352015-07-08T03:02:25Z Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту Пікуляк, М.В. Моделювання і управління У статті розглянуто застосування теорії мультимножин для побудови індивідуальної навчальної траєкторії студента в адаптивній системі дистанційного навчання. Описана технологія дає змогу побудувати базу знань навчального контенту на основі найменших неподільних квантів інформації. В статье рассмотрено применение теории мультимножеств для построения индивидуальной учебной траектории студента в адаптивной системе дистанционного обучения. Описанная технология позволяет построить базу знаний учебного контента на основе наиболее неделимых квантов информации. The article deals with multisets theory application to form individual learning trajectory of a student in adaptive system of distance learning. The described technology allows to build a knowledge base of educational content based on the smallest indivisible quantum information. 2014 Article Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту / М.В. Пікуляк // Математичні машини і системи. — 2014. — № 3. — 96-103. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84435 004.85, 004.416.3 uk Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Моделювання і управління Моделювання і управління |
| spellingShingle |
Моделювання і управління Моделювання і управління Пікуляк, М.В. Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту Математичні машини і системи |
| description |
У статті розглянуто застосування теорії мультимножин для побудови індивідуальної навчальної траєкторії студента в адаптивній системі дистанційного навчання. Описана технологія дає змогу побудувати базу знань навчального контенту на основі найменших неподільних квантів інформації. |
| format |
Article |
| author |
Пікуляк, М.В. |
| author_facet |
Пікуляк, М.В. |
| author_sort |
Пікуляк, М.В. |
| title |
Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту |
| title_short |
Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту |
| title_full |
Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту |
| title_fullStr |
Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту |
| title_full_unstemmed |
Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту |
| title_sort |
застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Моделювання і управління |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84435 |
| citation_txt |
Застосування теорії мультимножин для формування індивідуального квантового набору навчального контенту / М.В. Пікуляк // Математичні машини і системи. — 2014. — № 3. — 96-103. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT píkulâkmv zastosuvannâteoríímulʹtimnožindlâformuvannâíndivídualʹnogokvantovogonaborunavčalʹnogokontentu |
| first_indexed |
2025-07-06T11:25:35Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:25:35Z |
| _version_ |
1836896627798835200 |
| fulltext |
96 © Пікуляк М.В., 2014
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 3
УДК 004.85, 004.416.3
М.В. ПІКУЛЯК*
ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ МУЛЬТИМНОЖИН ДЛЯ ФОРМУВАННЯ
ІНДИВІДУАЛЬНОГО КВАНТОВОГО НАБОРУ НАВЧАЛЬНОГО КОНТЕНТУ
*
ДВНЗ «Прикарпатський національний університет імені В.Стефаника», Івано-Франківськ, Україна
Анотація. У статті розглянуто застосування теорії мультимножин для побудови індивідуальної
навчальної траєкторії студента в адаптивній системі дистанційного навчання. Описана техно-
логія дає змогу побудувати базу знань навчального контенту на основі найменших неподільних
квантів інформації.
Ключові слова: адаптивна система, теорія мультимножин, база знань, квант інформації.
Аннотация. В статье рассмотрено применение теории мультимножеств для построения инди-
видуальной учебной траектории студента в адаптивной системе дистанционного обучения. Опи-
санная технология позволяет построить базу знаний учебного контента на основе наиболее неде-
лимых квантов информации.
Ключевые слова: адаптивная система, теория мультимножеств, база знаний, квант информа-
ции.
Abstract. The article deals with multisets theory application to form individual learning trajectory of a
student in adaptive system of distance learning. The described technology allows to build a knowledge
base of educational content based on the smallest indivisible quantum information.
Keywords: adaptive system, multisets theory, knowledge base, quantum information.
1. Вступ
Сучасний навчальний процес важко уявити собі без використання комп’ютерних посібни-
ків, збірників задач, тренажерів, лабораторних практикумів, довідників, енциклопедій, тес-
туючих і контролюючих систем та інших комп’ютерних засобів навчання [1].
І хоча на ринку освітніх послуг сьогодні представлено чималу кількість як зарубіж-
них, так і вітчизняних навчальних комп’ютерних продуктів, розробка нових ефективних
систем передачі знань, що базуються на найбільш передових інформаційних технологіях та
засобах навчання, в даний час є досить актуальною задачею й вимагає нових підходів до
проблем практичної її реалізації.
Як показує проведений аналіз відомих програмних продуктів у системі дистанцій-
ної освіти (ANGEL, BlackBoard, Moodle, Lotus LearningSpace, WebCT), для побудови бази
знань навчального матеріалу широко застосовуються формальні (числення предикатів, ло-
гіка висловлювань) та неформальні (семантичні, реляційні, продукційні, фреймові) моделі
представлення.
У даній роботі описується використання теорії мультимножин для побудови бази
знань навчального контенту в адаптивній навчальній системі, що дає змогу в зручний спо-
сіб програмно забезпечити сукупність окремих елементів (квантів) навчальної області та
встановити зв’язки між ними.
2. Огляд літературних джерел
Зародження теорії мультимножин пов’язано з бурхливим розвитком багатьох галузей дис-
кретної математики. Передумовою її появи послужило те, що засоби класичної мови кан-
торівської теорії множин виявились недостатніми для вирішення задач, де досліджувалися
сукупності об’єктів, серед яких зустрічаються і однакові елементи.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 3 97
У зв’язку з цим із середини минулого століття все більшої ваги починає набувати
поняття мультимножини, у структурі якої досліджуються сукупності елементів, що мо-
жуть повторюватись довільну кількість разів. Зокрема, В. Блізард представив розгорнутий
огляд теорії мультимножин, увівши змістовні визначення, та дослідив специфіку їх засто-
сування [2].
Д. Кнут в [3] описав операції об’єднання, перетину та додавання мультимножин, а
Дж. Альберт в [4] представив алгебраїчні властивості мультимножин.
В.Н. Сачковим було введено поняття первинної та вторинної специфікації [5], яке
виявилось зручним для опису та характеризації мультимножин.
У 70-ті роки до вивчення мультимножин епізодично звертаються різні автори
(Б.С. Стєчкін, В.І. Большаков, К. Грін, Д.А. Клейтман, М. Ліпскі та ін.), а присвячені муль-
тимножинам розділи займають достойне місце на сторінках класичних монографій М. Ай-
гнера [6] та Р. Стенлі [7].
Загальні комбінаторні теореми про сполучення та перестановки на мультимножинах
доведені Р.А. Заторським в [8], яким також побудовані ефективні алгоритми пошуку рі-
шення подібних задач.
Поняття множини є частковим випадком поняття мультимножини. Тому всі опера-
ції теорії множин переносяться на випадок мультимножин.
Крім математики, мультимножини набули широкого застосування в фізиці, філосо-
фії, психології, логіці, лінгвістиці. В кінці минулого століття все більше авторів починають
використовувати теорію мультимножин для комп’ютерних досліджень. Зокрема, елементи
застосування мультимножин у базах даних (БД) описані в роботі Ж. Ламперті, який над
таблицями проводив різного роду мультимножинно-орієнтовані маніпуляції [9].
Завдяки введенню спеціальних конструкцій значень-мультимножин (multiset value
constructor) та агрегатних функцій (collect, fusion, intersect), мультимножини набули широ-
кого застосування в SQL-подібних мовах [10].
Теоретичні питання побудови баз даних на основі мультимножин досліджені також
у працях Л. Лібкіна та Л. Вонга, які особливу увагу приділили мові запитів для мультим-
ножин [11].
Незважаючи на те, що теорія мультимножин та практика їх застосування знаходять-
ся на початковому етапі свого становлення, на сьогодні у світі відомо багато успішних
прикладів її використання:
• для аналізу складних систем та моделювання задач комбінаторики [12];
• для вирішення задач прогнозування у штучному інтелекті [13];
• у математичному програмуванні [14];
• у методах обробки інформації [15];
• у визначенні основних понять мереж Петрі [16];
• в задачах розпізнавання образів символів [17];
• для проведення обрахунків у табличних базах даних та ДНК-обчисленнях [18].
Оскільки під час проектування та наповнення бази знань в адаптивній навчальній
системі, що розробляється, окремі кванти інформації утворюють сукупності елементів, які
можна розглядати як скінченні мультимножини, тому апарат мультимножин використову-
ється як математичний об’єкт дослідження задачі квантування навчального контенту.
3. Постановка задачі дослідження
Мета статті – розглянути питання щодо застосування мультимножинних маніпуляцій для
побудови навчальної траєкторії студента в адаптивних системах передачі знань.
Виходячи з поставленої мети, в роботі вирішуються такі задачі:
– теоретичне обґрунтування основних понять теорії мультимножин;
– розробка мультимножинної моделі бази знань навчального контенту;
98 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 3
– практична реалізація описаної технології та дослідження навчальної поведінки
студента під час адаптивного навчання;
– дослідження ефективності застосування мультимножинних операцій над даними в
автоматизованих комп’ютерних програмах.
4. Основні поняття та означення теорії мультимножин
Для квантової прив’язки навчального контенту вводимо основні означення та поняття, що
визначені в загальній теорії мультимножин [19, 20]:
Означення 1. Мультимножиною A називають довільний невпорядкований набір
елементів деякої множини [ ]A , яку називають базисом цієї мультимножини. Кратність k
входження елемента a множини [ ]A в мультимножину A позначають через ka A∈ .
Нижче будемо розглядати лише мультимножини, що складаються із скінченного
числа елементів, тобто скінченні мультимножини.
Розглянемо поняття первинної та вторинної специфікації мультимножини [5].
Означення 2. Первинною специфікацією мультимножини A із базисом
[ ] { }1 2, , , nA a a a= … і відповідними кратностями елементів цього базису
{ }1 2( ) , , , nk A k k k= … називають символ 1
1 , , nk k
na a
… . Кратності ik у первинній специфі-
кації називають також її показниками.
Таким чином, кожна мультимножина однозначно задається за допомогою первинної
специфікації, яка відповідає їй. Зауважимо, що кратності елементів { }1 2( ) , , , nk A k k k= …
мультимножини A задовольняють рівняння:
1 2 nk k k A+ + + =… ,
де A – потужність цієї мультимножини.
Якщо мультимножина A складається із m елементів, то A m= і її називають m-
мультимножиною.
Означення 3. Нехай серед кратностей { }1 2( ) , , , nk A k k k= … елементів базису
[ ] { }1 2, , , nA a a a= … мультимножини A є 1λ одиниць, 2λ двійок і т.д. nλ n -ок, тоді сим-
вол 1 21 2 nnλλ λ
… називають вторинною специфікацією мультимножини A.
Очевидно, що показники { }1 2( ) , , , nAλ = λ λ λ… вторинної специфікації мультим-
ножини A задовольняють рівність 1 22 nn Aλ + λ + + λ =… .
На мультимножинах вводять операції, аналогічні до операцій на множинах [20].
При цьому всі позначення, введені для операцій над множинами, зберігають і для аналогі-
чних операцій над мультимножинами. Якщо в мультимножині деякий елемент базової
множини відсутній, то вважають, що його кратність у цій мультимножині дорівнює нулю.
Позначимо через ( )ak A кратність елемента a в мультимножині A .
Мультимножину B називають підмультимножиною мультимножини A , якщо ви-
конується співвідношення [ ] [ ]B A⊆ і для всіх [ ]a B∈ виконується нерівність
( ) ( )a ak B k A≤ . В такому випадку кажуть, що мультимножина B міститься в A або B
включено в A [21]: тобто кратність входження всіх a в мультимножині B не перевищує
їх кратності в мультимножині А. Якщо підмультимножина B мультимножини A має по-
тужність m, то її називають m-підмультимножиною мультимножини A.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 3 99
Рис. 1. Прив’язка тестових завдань та квантів
Об’єднанням BA∪ двох мультимножин A і B називають таку мультимножину
C , що [ ] [ ] [ ]C A B= ∪ , і для довільного [ ]a C∈ виконується рівність
( )( ) max ( ), ( )a a ak C k A k B= .
Перетином BA∩ двох мультимножин A і B називають мультимножину C , для
якої виконується рівність [ ] [ ] [ ]C A B= ∩ , причому для кожного елемента [ ]a C∈ спра-
ведлива рівність ( )( ) min ( ), ( )a a ak C k A k B= .
Сумою BA+ двох мультимножин A і B називають таку мультимножину C , що
[ ] [ ] [ ]C A B= ∪ , і для кожного [ ]a C∈ виконується рівність ( ) ( ) ( )a a ak C k A k B= + . Ця
операція не має аналога для звичайних множин. Якщо мультимножини A і B лінійні, то і
їх сума BA+ є лінійною мультимножиною.
Якщо для кожного елемента a з перетину BA+ двох мультимножин A і B вико-
нується нерівність ( ) ( )a ak B k A≤ , то можна говорити про різницю BA− мультимножин
A і B . Вона визначається на базі [ ]A мультимножини A так, що для кожного елемента
[ ]a A∈ \[ ]B виконується рівність ( ) ( )a ak A B k A− = , а для кожного [ ] [ ]a A B∈ ∩ – рів-
ність ( ) ( ) ( )a a ak A B k A k B− = − .
5. Побудова мультимножинної моделі бази знань
Оскільки весь навчальний матеріал курсу (теми) у розробленій адаптивній системі розби-
вається на найпростіші неподільні кванти інформації , 1,2, ,jk j m= … , то кожному завдан-
ню тесту , 1,2, ,it i n= … відповідає мультимножина 1 2
1 2{ , , , }, 1,2, ,i i im
i mT k k k i nλ λ λ= =… … кван-
тів, які потрібно знати та вміти використовувати, роблячи потрібні висновки.
Нехай при перевірці засвоєння курсу правильно виконано s наборів тестових завдань.
Для того, щоб встановити незасвоєні кванти інформації, необхідно проаналізувати муль-
тимножину, яка є сумою мультимножин, що відповідають наборам тестів з негативними
відповідями. Очевидно, що кванти інформації, що відповідають негативним відповідям з
найбільшими показниками, не засвоєні, тому на повторне вивчення подається матеріал ку-
рсу, що базується на цих квантах.
Розглянемо загальний приклад з
метою визначення незасвоєних квантів.
При побудові наборів тестових завдань,
як правило, в одному і тому самому на-
борі окремий квант інформації може
бути перевірений за допомогою різних
за складністю завдань довільну кіль-
кість разів. Припустимо, що в тестово-
му наборі 1t використовуються 1r -
завдань, які перевіряють рівень знання
кванта 1k , 2r -завдань, які перевіряють
рівень знання кванта 2k , і т.д., kr -
завдань – рівень знання кванта kk
(рис. 1).
Тоді тестовому набору 1t буде
відповідати мультимножина 1T з наступною первинною специфікацією:
100 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 3
1 2
1 1 2{ , ,..., }krr r
kT k k k= .
Аналогічно тестовому набору nt буде відповідати мультимножина nT :
1 2
1 2{ , ,..., }kmm m
n kT k k k= ,
в якій квант 1k зустрічається 1m раз, 2k – 2m раз і т.д., kk – km раз.
За підсумками тестування для кожного студента формуються результуючі мульти-
множини ciT , які будуються на основі квантів, прив’язаних до тестових завдань, по яких
було отримано негативну відповідь. Після проведення сумування початкових та результу-
ючих мультимножин, а також нормування iндексiв при однакових номерах квантів, навча-
льна система для кожного студента формує індивідуальний набір квантів для повторного
чи поглибленого вивчення.
6. Приклад реалiзацiї квантово-мультимножинної технологiї
Реалізацію описаної технології розглянемо на прикладі вивчення теми "Бази даних". Під
час засвоєння лекції "Моделі даних та концептуальне моделювання" навчальний матеріал
було розбито на кванти 1 2 10, ,...,k k k , кожному з яких відповідав окремий параграф лекції
(рис. 2).
Рис. 2. Квантове представлення лекційного матеріалу
Для перевірки рівня засвоєння даної лекції в навчальній системі було розроблено 50
тестових завдань. Окремий тестовий набір, за яким проводилося тестування, складався з 15
запитань, кожне з яких було прив’язане до відповідного кванта ik .
Подальше налаштування навчальної траєкторії адаптивна система здійснює за ре-
зультатами проведених трьох тестувань:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 3 101
Рис. 3. Прив’язка неправильних відповідей
та квантів
1) початкове тестування (проводиться після вивчення лекційного матеріалу);
2) проміжне тестування (після виконання додаткових практичних завдань);
3) підсумкове завершальне тестування.
Під час тестування студента А навчальною системою було сформовано три набори
тестових завдань it , кожному з яких відповідає мультимножина iT квантів ik , знання яких
перевіряється відповідним тестовим питанням:
1t → 1 2 1 1 2 1 2 1 3 1
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10{ , , , , , , , , , }T k k k k k k k k k k= ,
2t → 3 3 1 3 2 1 1 1
2 1 2 3 5 6 7 9 10{ , , , , , , , }T k k k k k k k k= ,
3t → 2 2 1 2 2 2 2 1 1
3 1 2 3 4 5 7 8 9 10{ , , , , , , , , }T k k k k k k k k k= .
Індекси над квантами визначають кількість повторень відповідного кванта в окре-
мому тестовому наборі.
Оскільки, як було показано вище, на мультимножинах зберігається операція дода-
вання, то, застосувавши сумування до мультимножин iT , визначимо максимально можливу
кількість повторень кванта ik в усіх наборах тестових завдань:
(1)
Після завершення тестування для кожного студента системою формуються резуль-
туючi мультимножини ciT , побудовані на
основі квантів, що стосуються тестових
питань, по яких було отримано негативні
відповіді.
Зокрема, для студента А, який брав
участь у дослідженні, в системі було
отримано такі результуючi мультимножи-
ни 1cT , 2cT , 3cT (рис. 3):
1 1 1 1 1
1 2 6 7 9 10{ , , , , }cT k k k k k= , 1 2 1
2 2 5 7{ , , }cT k k k= , 1 1 1 1 1 2 1 1
3 1 3 4 5 7 8 9 10{ , , , , , , , }cT k k k k k k k k= ,
в кожній з яких індекс над квантом ik вказує на кількість тестових питань, по яких було
отримано негативну відповідь стосовно кванта ik в окремому тестовому наборі.
Підсумувавши індекси при однакових номерах квантів, можна зробити висновок,
які кванти є найбільш суттєвими для повторного їх вивчення:
3
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
2 6 7 9 10 2 5 7 1 3 4 5 7 8 9 10
1
1 2 1 1 3 1 3 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
{ , , , , } { , , } { , , , , , , , }
{ , , , , , , , , , }.
ciT k k k k k k k k k k k k k k k k
k k k k k k k k k k
= + + =∑
(2)
На заключному етапі адаптивна система проводить нормування сум (1) та (2) за ме-
тодом ділення на максимум серед компонент.
Виходячи, наприклад, з норми 50 % незасвоєння навчального матеріалу, очевидно,
що в описаному прикладі для студента А системою формується матеріал для повторного
вивчення, побудований на основі квантів 7k , 8k та 10k (рис. 4):
3
1 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 3 2 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 5 6 7 9 10
1
2 2 1 2 2 2 2 1 1 6 7 3 3 7 3 5 3 5 3
1 2 3 4 5 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
{ , , , , , , , , , } { , , , , , , , }
{ , , , , , , , , } { , , , , , , , , , }.
iT k k k k k k k k k k k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k
= + +
=
∑
102 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 3
Рис. 4. Графічне представлення результатів нормування мультимножин
У загальному випадку сума 1 2
1 2
1
{ , , , }m
n
i m
i
T k k kµµ µ
=
=∑ … всіх мультимножин iT є мульти-
множиною, в якій показники її елементів визначаються рівностями:
1
, 1, ,
n
j ij
i
j mµ λ
=
= =∑ … .
Залучення мультимножин до формування тестових завдань дає змогу також проана-
лізувати правильність складання тестових завдань та оцінити їх якість.
Для визначення оцінки якості тестів використовується стала
1
m
i
i
µ µ
=
=∑ . Чим біль-
шою є ця стала для даного набору тестів, тим якіснішим, з точки зору перевірки знань, є
такий набір.
Важливим показником при складанні тестових завдань є незалежність тестів. Якщо
перетин двох мультимножин i jT T = ∅∩ , то тестові завдання it та jt , яким відповідають
мультимножини iT та jT , вважаються незалежними, тобто вони спираються на різні кван-
ти.
Якщо i j iT T T=∪ , то тестовий набір jt є несуттєвим, оскільки він аналогічний до it .
Для визначення повноти набору тестових наборів проводять аналіз множини
1 2
1
{ , , , }
n
m i
i
P k k k T
=
= −
… ∪ .
Якщо множина P порожня, то тестовий набір наповнено правильно, оскільки для
його складання залучені всі кванти інформації. В іншому випадку успішне проходження
всіх тестових завдань не перевіряє знання деяких квантів інформації.
7. Висновок
Застосування для побудови адаптивних систем передачі знань теорії мультимножин дозво-
ляє вирішити такі навчальні задачі:
– побудувати базу знань навчального контенту на основі найменших неподільних
квантів інформації;
– здійснити ефективну прив’язку квантів до відповідних контролюючих тестових
завдань;
– адаптувати навчальний контент відповідно до здобутих успіхів студента під час
навчання;
– провести верифікаційні дослідження повноти та якості сформованих тестових за-
вдань.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 3 103
Це дає змогу забезпечити того, хто навчається, індивідуально спланованою страте-
гією навчання з урахуванням попереднього рівня його знань та на основі диференційного
підходу до реальних вмінь та навиків, які він проявив під час навчання.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Башмаков А.И. Разработка компьютерных учебников и обучающих систем // А.И. Башмаков,
И.А. Башмаков. – М.: Информационно-издательский дом «Филинь», 2003. – 616 с.
2. Blizard W. The Development of Multiset Theory / W. Blizard // Notre Dame J. of Formal Logic. –
1989. – Vol. 30, N 1. – P. 36 – 66.
3. Кнут Д. Искусство программирования: в 2 т. / Кнут Д.; пер. с англ. – М.: “Вильямс”, 2000. – [3-е
изд.]. – Т. 2. – 832 с.
4. Albert J. Algebraic properties of bag data types / J. Albert // Seventeenth International Conference on
Very Large Data Bases. – Barcelona, Spain, 1991. – P. 211 – 219.
5. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики / Сачков В.Н. – М.: Наука, 1977. –
319 с.
6. Айгнер М. Комбинаторная теория / Айгнер М.; пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 558 с.
7. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика / Стенли Р.; пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 440 с.
8. Заторський Р.А. Про число сполучень на мультимножинах / Р.А. Заторський // Вісник КНУ. –
(Серія «Фіз.-мат. науки»). – 2000. – Вип. 3. – С. 42 – 47.
9. Lamperti G. On Multisets in Database Systems / G. Lamperti, M. Melchiori, M. Zanella // Multiset
Processing: Mathematical, Computer Science, and Molecular Computing Points of View, number 2235 in
Lecture Notes in Computing Since. – Berlin: Springer-Verlag, 2001. – P. 147 – 215.
10. Наиболее интересные новшества в стандарте SQL:2003 [Электронный ресурс]. – Режим досту-
па: http://www.nestor. minsk.by/sr/2004/03/40331.htm.
11. Libkin L. Query Language for Bags and Aggregates Function / L. Libkin, L. Wong // J. of Computer
and System Sciences. – 1997. – Vol. 55, N 1. – P. 241 – 272.
12. Баранов В.И. Экстремальные комбинаторные задачи и их приложения // В.И. Баранов,
Б.С. Стечкин. – М.: Наука, 1989. – 54 с.
13. Величко В.Ю. Решение задачи прогнозирования свойств составных объектов на основе вывода
по аналогии / В.Ю. Величко // Информационные технологии и вычислительные системы. – 2002. –
№ 2. – С. 46 – 55.
14. Petrovsky A. Method for approximation of diverse individual sorting rules / A. Petrovsky // Informati-
ca. – 2001. – Vol. 12, N 1. – P. 109 – 118.
15. Dershowitz N. Proving termination with multiset or- dering / N. Dershowitz, Z. Manna // Communi-
cation of ACM. – 1979. – Vol. 22, N 8. – P. 465 – 476.
16. Ломазова И.А. Анализ семантических свойств некоторых классов программ и сетей Петри: ав-
тореф. дис. д-ра физ.-мат. наук / И.А. Ломазова. – Переяславль-Залесский: Ин-т программных сис-
тем РАН, 2001. – 44 с.
17. Славин О.А. Использование мультимножеств в распознавании символов / О.А. Славин // Труды
института системного анализа Российской академии наук. – 2006. – Т. 23. – С. 198 – 205.
18. Буй Д.Б. Теория мультимножеств: библиография, применение в табличных базах данных /
Д.Б. Буй, Ю.А. Богатырева // Радиоэлектронные и компьютерные системы. – 2010. – № 7 (48). –
С. 56 – 62.
19. Петровский А.Б. Пространства множеств и мультимножеств // А.Б. Петровский – Москва: Еди-
ториал УРСС, 2003. – 248 с.
20. Заторський Р.А. Деякі методи та задачі комбінаторного аналізу (Спеціальний курс математики)
// Заторський Р.А. – Івано-Франківськ: Лік, 2006. – 136 с.
21. Петровский А.Б. Мультимножества как модель представления многопризнаковых объектов в
принятии решений и распознавании образов / А.Б. Петровский // Искусственный интеллект. – 2002.
– № 2. – С. 236 – 243.
Стаття надійшла до редакції 13.06.2014
|