Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект

Показано, что достоверность результатов моделирования физических объектов, дискретная модель которых описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), зависит не от плохой обусловленности матрицы, а от некорректного выбора переменных СЛАУ на этапе составления уравнений методом узловых п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Волобоев, В.П., Клименко, В.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2014
Schriftenreihe:	Математичні машини і системи
Schlagworte:	Моделювання і управління
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84457
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. — 2014. — № 4. — 129-138. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-84457
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-844572015-07-09T03:02:04Z Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект Волобоев, В.П. Клименко, В.П. Моделювання і управління Показано, что достоверность результатов моделирования физических объектов, дискретная модель которых описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), зависит не от плохой обусловленности матрицы, а от некорректного выбора переменных СЛАУ на этапе составления уравнений методом узловых потенциалов или его аналогами, а сам метод есть частный случай метода корректной постановки задачи. Предложена методика проверки на корректность СЛАУ, составленной методом узловых потенциалов, имеющей невырожденную и симметричную матрицу, и если необходимо преобразование её к корректному виду. Показано, що вірогідність результатів моделювання фізичних об'єктів, дискретна модель яких описується системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), залежить не від поганої обумовленості матриці, а від некоректного вибору змінних СЛАР на етапі складання рівнянь методом вузлових потенціалів або його аналогів, а сам метод є окремий випадок методу коректної постановки завдання. Запропоновано методику перевірки на коректність СЛАР, складеної методом вузлових потенціалів, що має невироджену й симетричну матрицю, і якщо необхідно перетворення її до коректного виду. The paper shows that reliability of results of simulation of the physical objects, which discrete model is described by a system of the linear algebraic equations (SLAE) depends not on poor-conditioned matrix but on an incorrect choice of variable SLAE at generation of equations stage by a node potential method or its analogues, and the method is a special case of a method of correct statement of a problem. It was suggested the check-out method on a correctness of SLAE, made by a node potential method, having nonsingular and a symmetric matrix and if it is necessary its transformation to a correct form. 2014 Article Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. — 2014. — № 4. — 129-138. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84457 519.61:621.3 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Моделювання і управління Моделювання і управління
spellingShingle	Моделювання і управління Моделювання і управління Волобоев, В.П. Клименко, В.П. Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект Математичні машини і системи
description	Показано, что достоверность результатов моделирования физических объектов, дискретная модель которых описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), зависит не от плохой обусловленности матрицы, а от некорректного выбора переменных СЛАУ на этапе составления уравнений методом узловых потенциалов или его аналогами, а сам метод есть частный случай метода корректной постановки задачи. Предложена методика проверки на корректность СЛАУ, составленной методом узловых потенциалов, имеющей невырожденную и симметричную матрицу, и если необходимо преобразование её к корректному виду.
format	Article
author	Волобоев, В.П. Клименко, В.П.
author_facet	Волобоев, В.П. Клименко, В.П.
author_sort	Волобоев, В.П.
title	Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект
title_short	Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект
title_full	Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект
title_fullStr	Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект
title_full_unstemmed	Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект
title_sort	об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Моделювання і управління
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84457
citation_txt	Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. — 2014. — № 4. — 129-138. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Математичні машини і системи
work_keys_str_mv	AT voloboevvp obodnompodhodekrešeniûplohoobuslovlennojsistemylinejnyhalgebraičeskihuravnenijopisyvaûŝihfizičeskijobʺekt AT klimenkovp obodnompodhodekrešeniûplohoobuslovlennojsistemylinejnyhalgebraičeskihuravnenijopisyvaûŝihfizičeskijobʺekt
first_indexed	2025-07-06T11:27:01Z
last_indexed	2025-07-06T11:27:01Z
_version_	1836896718099054592
fulltext	© Волобоев В.П., Клименко В.П., 2014 129 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 УДК 519.61:621.3 В.П. ВОЛОБОЕВ, В.П. КЛИМЕНКО ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ФИЗИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ * Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина Анотація. Показано, що вірогідність результатів моделювання фізичних об'єктів, дискретна мо- дель яких описується системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), залежить не від поганої обумовленості матриці, а від некоректного вибору змінних СЛАР на етапі складання рівнянь ме- тодом вузлових потенціалів або його аналогів, а сам метод є окремий випадок методу коректної постановки завдання. Запропоновано методику перевірки на коректність СЛАР, складеної мето- дом вузлових потенціалів, що має невироджену й симетричну матрицю, і якщо необхідно перетво- рення її до коректного виду. Ключові слова: система, моделювання, некоректне завдання, погана обумовленість, система лі- нійних алгебраїчних рівнянь, метод вузлових потенціалів, метод коректної постановки завдання, перевірка на коректність. Аннотация. Показано, что достоверность результатов моделирования физических объектов, дискретная модель которых описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), зависит не от плохой обусловленности матрицы, а от некорректного выбора переменных СЛАУ на этапе составления уравнений методом узловых потенциалов или его аналогами, а сам метод есть частный случай метода корректной постановки задачи. Предложена методика проверки на корректность СЛАУ, составленной методом узловых потенциалов, имеющей невырожденную и симметричную матрицу, и если необходимо преобразование её к корректному виду. Ключевые слова: система, моделирование, некорректная задача, плохая обусловленность, систе- ма линейных алгебраических уравнений, метод узловых потенциалов, метод корректной поста- новки задачи, проверка на корректность. Abstract. The paper shows that reliability of results of simulation of the physical objects, which discrete model is described by a system of the linear algebraic equations (SLAE) depends not on poor-conditioned matrix but on an incorrect choice of variable SLAE at generation of equations stage by a node potential method or its analogues, and the method is a special case of a method of correct statement of a problem. It was suggested the check-out method on a correctness of SLAE, made by a node potential method, having nonsingular and a symmetric matrix and if it is necessary its transformation to a correct form. Keywords: system, simulation, incorrect problem, poor-conditioned, system of the linear algebraic equa- tions, node potential method, method of correct statement of a problem, check-out on a correctness. 1. Введение Многие задачи моделирования физических (технических) объектов сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Поскольку все вычисления при ре- шении таких систем выполняются с конечным числом значащих цифр, то точность может значительно теряться из-за ошибок округления. Плохо обусловленной (неустойчивой) сис- темой или в более общей формулировке - некорректно поставленной задачей принято счи- тать ту задачу, которая при фиксированном уровне ошибок входных данных и точности вычислений не гарантирует в решении никакой точности. В качестве априорной наихуд- шей оценки возможных ошибок решения СЛАУ используется число обусловленности [1]. Как следует из литературы, разработка методов решения некорректно поставленных задач рассматривается как чисто математическая задача, в которой не учитываются особенности физических (технических) объектов, несмотря на то, что численное решение многих задач математической физики и математического моделирования сложных физических процес- 130 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 сов и технических систем является неиссякаемым источником задач линейной алгебры. Для перечисленного класса задач при разработке методов решения не рассматривается этап составления СЛАУ, на котором тем или иным способом можно учесть особенности конкретной задачи. В том, что этот этап необходимо учитывать, подтверждают результаты следующих работ. Прежде всего, следует отметить работу [1], где приведены примеры матриц, для ко- торых потеря точности при решении СЛАУ невелика, а величина числа обусловленности огромна, то есть показано, что общепринятый критерий априорной оценки точности реше- ния СЛАУ по числу обусловленности есть необходимый, но недостаточный. Совершенно новый подход к решению некорректно поставленной задачи предложен в работах [2–5]. Он заключается в том, что с целью повышения точности решения СЛАУ даже при большой величине числа обусловленности на этапе описания дискретной модели физического объ- екта предлагается корректно составлять СЛАУ. Это означает не только то, что такие мат- рицы существуют, как об этом сообщалось в работе [1], но и то, что предложен метод кор- ректного составления матрицы СЛАУ, описывающей дискретную модель объекта. Метод составления матрицы СЛАУ рассмотрен применительно к задачам моделирования поведе- ния электрических цепей [2], энергосистем [3], стержневых систем механики [4] и эллип- тических уравнений матфизики [5]. Суть данного метода заключается в том, что, в отличие от существующих методов, при формировании СЛАУ целенаправленным выбором переменных учитываются пара- метры дискретной модели физического объекта. Следует заметить, что метод применим только к тем объектам, топология дискретной модели которых представлена графом. Этому требованию удовлетворяет расчетная модель электрической цепи и энерго- системы. Для многих задач математического моделирования сложных физических процес- сов, технических систем и математической физики представление топологии дискретной модели в виде графа не применяется. В работах [4, 5] показано, что вышеприведенное ог- раничение снимается за счет представления топологии элементов расчетных схем дис- кретной модели физического объекта в виде графа. Там же приведена методика представ- ления топологии элементов в виде графов. В данной работе будет предложен метод корректировки некорректно поставленной задачи для случая, когда топология дискретной модели не представлена в виде графа. При разработке метода учитывается тот факт, что общепринятый метод описания дискретных моделей задач математической физики и сложных физических процессов и технических систем (метод узловых потенциалов [6–8]) есть частный случай метода корректного со- ставления матрицы СЛАУ. 2. Связь между точностью решения СЛАУ, описывающей дискретную модель объек- та, и методом составления уравнений Академик Воеводин В.В. в работе [9] показал, что наибольшая точность результатов реше- ния СЛАУ методом Гаусса достигается в случае применения метода с выбором главного элемента. На основе этой идеи было опубликовано огромное число работ. Однако решение практических задач показало, что точность решения СЛАУ, особенно в случае плохо обу- словленных матриц, значительно теряется из-за ошибок округления, то есть для повыше- ния точности результатов на этапе решения недостаточно одного применения метода Га- усса с выбором главных элементов. Дальнейшим развитием этой идеи есть метод, предложенный в работе [2], где пред- лагается на этапе составления описания дискретной модели объекта формировать диаго- нальные элементы матрицы как главные. Для этого при составлении описания использует- ся дополнительная информация, а именно, параметры дискретной модели. Эффективность данного подхода, а именно, зависимость точности решения СЛАУ, описывающей дискрет- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 131 11 =E 11 =G 12 =G 15 3 10+=G 14 =G 15 =G 16 =G Рис. 1. Электрическая цепь ную модель объекта, от метода составления уравнений будет продемонстрирована на мо- дельном примере. Ниже будет рассмотрено составление описания модельного примера методом, описанным в [2], с выбором главного элемента и без выбора и его решение. В качестве модельного примера выбрана электрическая цепь, приведенная на рис. 1. Известно [10], что обусловленность СЛАУ, описывающей электрическую цепь, за- висит от диапазона разброса величин проводимостей (сопротивлений) компонент цепи. Выбранный диапазон изменения проводимостей компонент электрической цепи, равный 15 порядкам, обеспечивает плохую обусловленность СЛАУ и тем самым, как принято счи- тать, некорректность задачи. На примере расчета потенциала узла 2 (напряжение на ком- поненте 2G ) будет анализироваться зависимость достоверности результатов расчета от способа формирования диагонального элемента при составлении описания электрической цепи. Ниже приведены основные положения, необходимые для решения модельного при- мера методом корректной постановки задачи [2]. Построение математической модели электрической цепи данным методом базируется на основной системе уравнений электри- ческой цепи, куда входят компонентные уравнения и уравнения, составленные на основе законов Кирхгофа. Для модельного примера компонентное уравнение имеет вид iii UGI = , (1) где iU – напряжение, падающее на компоненте, iI – ток, протекающий через компоненту, iG – проводимость компоненты. Для описания графа электрической цепи и, соответственно, уравнений на основе за- конов Кирхгофа применяются топологические матрицы контуров и сечений. Граф цепи совпадает с электрической цепью. Составление топологических матриц контуров и сече- ний включает выбор дерева графа цепи и составление контуров для выбранного дерева. Дерево графа электрической цепи выбирается таким образом, чтобы все источники напря- жения включались в дерево, а все источники тока в хорды. Элементы в векторах напряже- ний U и токов I компонент цепи группируются на входящие в дерево (индекс Д ), то есть ветви и хорды (индекс x ), таким образом: Х Д Х Д I I I, U U U == . (2) Контуры образуются присоединением хорд к дереву графа схемы. В этом случае топологическая матрица контуров имеет вид tF 1 , где 1 – единичная подматрица хорд, t – обозначает транспонирование матрицы, а топологическая матрица сечений – вид F−1 , где 1 – единичная подматрица ветвей. Как следует из [2], диагональные члены матрицы 132 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 будут главными в том случае, когда проводимости компонент дерева в контурах имеют максимальную проводимость. Учитывая вид топологических матриц, уравнения цепи, со- ставленные на основе законов Кирхгофа, в матричном виде можно записать следующим образом: t Х ДU F U= − , (3) ХД IFI = . (4) Переменные составляемой системы уравнений выбираются из напряжений и/или токов компонент в результате анализа основной системы уравнений. В случае выбора в качестве переменных напряжений компонент, входящих в ветви дерева, компонентные уравнения (1) и уравнения (3), (4) можно преобразовать к следующему виду: 0=−− ))UF((GFUG Д t ХДД . (5) Ниже будет приведено составление уравнений для модельного примера. Вначале составляется описание электрической цепи таким образом, чтобы диагональные члены матрицы были главными. Этому требованию удовлетворяет набор компонент 1 6 3 2E , G , G , G, входящих в дерево (на рис. 1 ветви дерева выделены жирной линией). Выбранному дереву соответствуют следующие векторы напряжений, токов компонент: 5 4 1 2 3 6 1 5 4 1 2 3 6 ХД 1 ,,, G G G G G G E G G G Х G G G Д I I I I I I I I I U U U U U U U E U ==== (6) и топологические матрицы 111 110 100 001 1 1 1 110 100 001 −− − − − F =, - =F t . (7) Уравнение (5), с учетом (6), (7) и компонентных уравнений после преобразований, имеет следующий вид: 11 2 3 6 5421545 545435 5565 0 0 )( )( EGU U U GGGGGGG GGGGGG GGGG G G G = ++++−− +−++ −+ . (8) СЛАУ (8) есть плохо обусловленная, так как собственные числа матрицы 1 2 31,5857864376253 5,0 14 5,0 14 5,0 14 5,0 14λ ,λ E j E ,λ E j E= = + + + = + − + . Для того, чтобы определить, как зависит точность результатов решения системы от выбора варианта со- ставления уравнений, расчет потенциала 2GU узла 2 будет выполнен в общем виде: 5 5 6 3 25 6 5 6 G G U U UG G GG G G G= − ++ + , (9) ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 133 2 5 4 5 5 6 23 25 3 4 5 5 6 G G G G G U UG GG G G G G G + − + = + + − + , (10) 1 1 22 25 2 4 5 5 5 6 1 2 4 5 2 5 6 5 3 4 5 5 6 G E UG G ((G G ) ) G (G G ) (G G G G ) (G G ) G G G G G G = + + + + + + − − + + + − + . (11) Из анализа вычислительного процесса (9–11) следует, что, несмотря на большой диапазон изменения величин проводимостей (15 порядков), нет жестких требований к ко- нечной точности представления чисел как при составлении уравнений, так и при их реше- нии. Для получения достоверного результата достаточно выполнить вычислительный про- цесс составления и решения СЛАУ с точностью представления чисел в две значащие циф- ры. Следует заметить, что в СЛАУ (8) диагональный элемент второй строки (столбца) матрицы 543 GGG ++ значительно больше (на 15 порядков) суммы остальных членов строки (столбца) 54 2GG + . Это означает, что, приняв 0 3 =GU , можно упростить СЛАУ (8), сохранив достоверность результатов. В эпоху ручного счета этому приему соответст- вовало объединение узла 2 с 3 (рис. 1). Во втором случае (без выбора диагонального элемента главным) достаточно вы- брать в дерево компоненты 1 6 4 2E , G , G , G (на рис. 1 ветви дерева помечены прерывистой линией). Падения напряжений на этих компонентах соответствуют узловым потенциалам 1, 4, 3, 2, отсчитываемым от нулевого узла. Это означает, что при таком выборе компонент в дерево метод корректного составления матрицы СЛАУ совпадает с методом узловых по- тенциалов. Выбранному дереву и хордам соответствуют следующие векторы напряжений, токов компонент: 5 3 1 2 4 6 1 5 3 1 2 4 6 1 G G G Х G G G E Д G G G Х G G G Д I I I I, I I I I I, U U U U, U U U E U ==== (12) и топологических матриц 100 110 011 001 1 0 0 100 110 011 − − − − − F =, - =F t . (13) Уравнение (5), с учетом (12), (13) и компонентных уравнений, примет следующий вид: 134 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 113213 35435 565 0 0 0 0 2 4 6 EGU U U GGGG GGGGG GGG G G G = ++− −++− −+ . (14) Система уравнений (14) есть плохая обусловленная, так как имеет следующие соб- ственные числа матрицы: 1515 3 1515 21 1010,1010,0.1 jj −=+== λλλ . Как в первом варианте примера, будет выполнен расчет потенциала 2GU узла 2 в общем виде: 6 4 5 5 6G G G G GU U= + , (15) 24 ) 65 ( 2 5) 543 ( 3 GG UU GG G GGG G + −++ = , (16) . ) 321 ( ) 65 ( 5) 543 ( 2 3 11 2 GGG GG G GGG G EG GU +++ + −++ − = (17) Из анализа вычислительного процесса решения системы уравнений (15–17) следует, что достоверность результатов зависит как при составлении, так и решении уравнений от конечной точности представления чисел. Так, если вычислительный процесс решения сис- темы (15–17) выполняется с точностью меньше 15 значащих цифр, то результат будет 0 1 1010 1 15152 ≈≈ +−GU , (18) а в случае, когда с точность больше 15 значащих цифр, будет 7 2 102 31010210 2 3 10 15 2 6301530 15 2 ≈ ++++−       + = )* UG . (19) Из сравнения матриц (8) и (14), а также вычислительных процессов решения систем уравнений, вытекают следующие выводы. Метод узловых потенциалов есть частный случай метода, предложенного в [2], а именно, в методе узловых потенциалов всегда в дерево выбраны ребра графа, связываю- щие базовый узел с остальными. Диагональные элементы матрицы по модулю больше остальных элементов, как в строках, так и столбцах, независимо от того, матрица составлена с или без выбора макси- мальных диагональных. Различие заключается только в том, насколько диагональные эле- менты больше недиагональных. Это означает, что решение такого типа СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента не повышает точности результатов для данного клас- са задач. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 135 Конечное число значащих цифр, используемых при решении методом Гаусса, суще- ственным образом зависит от того, матрица составлена с или без выбора максимальных диагональных элементов. Отличие одного варианта задачи от другого заключается только в том, что на этапе составления уравнений в одном случае компонента с максимальной проводимостью выбирается в дерево и тем самым напряжение этой компоненты выступает в качестве переменной составляемой СЛАУ. Проводимость этой компоненты участвует только при формировании диагонального элемента матрицы. В другом случае эта компо- нента попадает в хорды. Как следует из уравнения (3), напряжение компоненты определя- ется через напряжения компонент дерева. Из уравнения (4) следует, что проводимость компоненты участвует в формировании элементов строк и столбцов и тем самым прово- димость хорды определяет величину этих элементов матрицы. 3. Преобразование матрицы СЛАУ, составленной методом узловых потенциалов, к виду, соответствующему корректной постановке При численном решении задач математической физики и математического моделирования сложных физических процессов и технических систем для составления СЛАУ, описываю- щих дискретные модели этих задач, в основном применяется метод узловых потенциалов или его аналоги. Отличительной чертой этого метода есть то, что в качестве переменных СЛАУ применяются потенциалы расчетной схемы дискретной модели, отсчитываемые от базового узла к остальным узлам, простой алгоритм составления уравнений, слабо запол- ненная матрица СЛАУ. Платой за такую эффективность может быть некорректность по- ставленной задачи. Учитывая, что метод узловых потенциалов есть всего лишь один из ва- риантов метода корректной постановки задачи, то некорректно поставленную задачу мож- но откорректировать, применив преобразование матрицы. Ниже будет рассмотрен алго- ритм преобразования некорректно составленной методом узловых потенциалов задачи. Из всего многообразия физических объектов будут рассмотрены только те объекты, линейная дискретная модель которых описывается СЛАУ с невырожденной и симметрич- ной матрицей. 3.1. Алгоритм преобразования матрицы При разработке алгоритма преобразования матрицы используется тот факт, что j -ый не- диагональный элемент i -ой строки матрицы входит в матрицу со знаком минус и содер- жит параметр дискретной модели, описывающий связь между i -ым и j -ми узлами дис- кретной модели. Диагональный элемент входит в матрицу с положительным знаком, со- держит сумму недиагональных элементов и параметр дискретной модели, описывающий связь между i -ым узлом и базовым. Обычно при нумерации узлов дискретной модели ба- зисный узел принято считать нулевым. Как следует из исследования, выполненного выше, некорректность поставленной задачи на уровне составленной СЛАУ возникает только в том случае, если хотя бы один из недиагональных элементов строки будет значительно больше параметра дискретной моде- ли, входящего только в диагональный элемент. Ниже приводится методика проверки на корректность составленной СЛАУ. Пусть СЛАУ имеет вид yAx = , (20) где x – вектор узловых потенциалов (узловых воздействий), y – вектор внешних потоков, A – матрица вида 136 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 nnn jjjij inijiii nji aa aaa aaaa aaaa A ... .. . ..... . 1 1 1 11111 = , (21) где n – размер матрицы. Элементы матрицы удовлетворяют следующим требованиям: 0, 0, ,1 , 1ii ij ij jia a a a i n j n при j i≤ = ≤ ≤ ≤ ≤ ≠≻ . (22) Ниже будет рассмотрена проверка на корректность i -ой строки матрицы и, если не- обходимо, её корректировка. Прежде всего определяется параметр дискретной модели ita , входящий только в диагональный элемент i -ой строки матрицы, ∑ ≠= −= n ijj ijiiit aaa ,1 . (23) Считается, что i -ая строка матрицы корректно составлена, если параметр ita удов- летворяет условию .,1, ijприnjaa ijit ≠≤≤≥ (24) При невыполнении условия (24) выполняется корректировка i -ой строки. Вначале из недиагональных элементов выбирается наибольший. Пусть это будет j -ый элемент i - ой строки. Нетрудно убедиться, что в силу специфики составления матрицы (условие (22)) параметр дискретной модели, который участвует в формировании элементов ija и jia i -ой и j -ой строк, входит как составная часть в элементы iia и jja . Суть корректировки i -ой строки заключается в преобразовании i -ой и j -ой строк матрицы таким образом, чтобы величина элемента ija входила только в элемент iia . Нетрудно убедиться, что, представив переменную ix в виде ijji xxx += (25) и выполнив следующее преобразование элементов j -ого столбца матрицы СЛАУ nlaaa liljlj ≤≤+= 1, , (26) получим новый j -ый столбец матрицы, в котором преобразованные элементы ija и jja не содержат параметр дискретной модели, формировавший элементы ija и jja . На следующем шаге выполняется преобразование j -ой строки по формуле nlaaa iljljl ≤≤+= 1, . (27) Элементы jla преобразованной j -строки уже не содержат параметр дискретной модели, соответствующий элементу jia . ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 137 Проверка на корректность матрицы СЛАУ и корректировка некорректных строк выполняются для всей матрицы. В данной работе рассмотрен только подход к построению алгоритма преобразования матрицы к корректному виду. Вопросы, связанные с разработ- кой эффективно работающего алгоритма преобразования матрицы к корректному виду, в этой работе не рассматриваются. Ниже будет приведен пример преобразования матрицы СЛАУ (14), составленной методом узловых потенциалов. 3.2. Демонстрационный пример Прежде всего следует отметить, что матрица (14) симметричная и невырожденная. Коэф- фициенты матрицы удовлетворяют условию (22). Узловые потенциалы соответствуют па- дению напряжений на компонентах 246 234 ,, GGG UUUUUU === . (28) Учитывая (28), СЛАУ (14) можно представить следующим образом: 112 3 4 3213 35435 565 0 0 0 0 EGU U U GGGG GGGGG GGG = ++− −++− −+ . (29) Проверка на корректность матрицы включает следующие операции. Определение по формуле (23) параметра дискретной модели ita , входящего только в диагональный элемент. Для первой строки матрицы это будет 6G , для второй строки 4G и для третьей – )( 21 GG + . Проверка строк матрицы на корректность выполняется в соответствии с формулой (24). В результате этой проверки оказывается, что вторая строка не удовлетворяет требо- ванию корректности, так как )10()1( 15 34 == GG ≺ . Параметр 3G входит также в третью строку матрицы, поэтому в соответствии с формулой (25) выбирается представление пере- менной 3U в виде 2323 UUU += , (30) где 23U – напряжение между узлами 2 и 3. В результате преобразования элементов 3 -го столбца, в соответствии с формулой (26), получаем матрицу (29) следующего вида: 112 23 4 213 545435 5565 0 0 0 EGU U U GGG GGGGGG GGGG = +− +++− −−+ , (31) а после преобразования третьей строки, в соответствии с формулой (27), матрица (31) бу- дет иметь вид 112 23 4 5421545 545435 5565 0 0 )()( )()( )( EGU U U GGGGGGG GGGGGG GGGG = ++++− +++− −−+ . (32) СЛАУ (32) удовлетворяет требованию корректности, поэтому корректировка счита- ется завершенной. Переменные СЛАУ (32) соответствуют переменным СЛАУ (8), то есть в 138 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 результате преобразования в дерево были выбраны те же компоненты, что и в методе кор- ректной постановки задачи. Из сравнения СЛАУ (8) и (32) следует, что недиагональные элементы матрицы (32) второго столбца и второй строки отличаются по знаку от матрицы (8). Это есть результат того, что при преобразовании матрицы (14) было выбрано направ- ление тока компоненты 3G , противоположное направлению, выбранному при составлении СЛАУ (8). Выполнив замену переменной 23U на 2323 UU −= и поменяв во втором уравне- нии знаки элементов на противоположные, получим матрицу (8). 4. Заключение Моделирование стало неотъемлемой частью интеллектуальной деятельности человечества, а достоверность результатов моделирования – основным критерием оценки результатов моделирования. Для обеспечения достоверности результатов требуются новые подходы к разработке методов и алгоритмов описания сложных объектов и их решения. В отличие от существующего подхода к разработке методов решения некорректных задач, в данной работе предлагается некорректно поставленную задачу (плохо обуслов- ленную) приводить к корректному виду. Показано, что не плохая обусловленность матри- цы затрудняет получение достоверных результатов при решении СЛАУ, описывающих дискретные модели физических объектов, а некорректный выбор переменных СЛАУ на этапе составления уравнений, а метод узловых потенциалов и его аналоги, которые приме- няются для составления СЛАУ, описывающих дискретную модель, есть частный случай метода корректной постановки задачи. Предложена методика проверки на корректность составленной методом узловых потенциалов СЛАУ для случая, когда матрица СЛАУ есть невырожденная и симметричная. Рассмотрен алгоритм преобразования матрицы к кор- ректному виду. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Калиткин Н.Н. Количественный критерий обусловленности систем линейных алгебраических уравнений / Н.Н. Калиткин, Л.Ф. Юхно, Л.В. Кузьмина // Математическое моделирование. – 2011. Т. 23, № 2. – С. 3 – 26. 2. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию сложных систем / В.П. Волобоев, В.П. Кли- менко // Математичні машини і системи. – 2008. – № 4. – С. 111 – 122. 3. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию энергосистем / В.П. Волобоев, В.П. Климен- ко // Математичні машини і системи. – 2009. – № 4. – С. 106 – 118. 4. Волобоев В.П. Механика стержневых систем и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2012. – № 2. – С. 81 – 96. 5. Волобоев В.П. Метод конечных элементов и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2013. – № 4. – С. 114 – 126. 6. Пухов Г.Е. Избранные вопросы теории математических машин / Пухов Г.Е. – Киев: Изд-во Ака- демии наук УССР, 1964. – 264 с. 7. Сешу С. Линейные графы и электрические цепи / С. Сешу, М.Б. Рид. – М.: Высшая школа, 1971. – 448 с. 8. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. – М.: Мир, 1986. – 318 с. 9. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / Воеводин В.В. – М.: Наука, 1977. – 304 с. 10. Теоретические основы электротехники: учебник для ВУЗов / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. – [4-е изд.]. – Питер, 2003. – Т. 2. – 572 с. Стаття надійшла до редакції 17.09.2014

Об одном подходе к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений, описывающих физический объект

Institution

Ähnliche Einträge