Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно В-гладких чисел
We will investigate the degree of acceleration of the basic quadratic sieve method based on the search for conditionally B-smooth numbers. An analysis is made of the influence, and the number of cases of using conditionally B-smooth numbers. It is shown that the modified algorithm based on the searc...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107581 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866301998018592768 |
|---|---|
| author | Misko, Vitalii M. |
| author_facet | Misko, Vitalii M. |
| author_sort | Misko, Vitalii M. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-12T11:42:34Z |
| description | We will investigate the degree of acceleration of the basic quadratic sieve method based on the search for conditionally B-smooth numbers. An analysis is made of the influence, and the number of cases of using conditionally B-smooth numbers. It is shown that the modified algorithm based on the search for conditionally B-smooth numbers allows to factor the number in those cases when the basic quadratic sieve algorithm (with the standard sieving interval and the size of the factor base) could not form a matrix for obtaining the solution. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.08 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:22:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.M. Місько, 2018
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 99
TIДC
ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИ
ІНТЕЛЕКТУАЛЬНИХ СИСТЕМ ПІДТРИМАННЯ
ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 511:003.26.09
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.08
ПРИСКОРЕННЯ МЕТОДУ КВАДРАТИЧНОГО РЕШЕТА
НА ОСНОВІ ВИКОРИСТАННЯ УМОВНО В-ГЛАДКИХ ЧИСЕЛ
В.M. МІСЬКО
Анотація. Досліджено ступінь прискорення базового методу квадратичного
решета на основі пошуку умовно В-гладких чисел. Проведено аналіз впливу на
ефективність алгоритму та кількості випадків використання умовно В-гладких
чисел. Показано, що модифікований алгоритм на основі пошуку умовно
В-гладких чисел дозволяє факторизувати число у тих випадках, коли базовий
алгоритм квадратичного решета (за стандартного інтервалу просіювання та
розміру факторної бази) не зміг сформувати матрицю для отримання розв’язку.
Ключові слова: факторизація, метод квадратичного решета, умовно В-гладкі
числа, прискорення.
ВСТУП
В інформаційно-телекомунікаційних системах для розв’язання задачі захис-
ту інформації часто використовують RSA алгоритм. Поширення цього ал-
горитму робить актуальним його криптоаналіз. В основі криптостійкості
найбільш популярного сьогодні асиметричного криптоалгоритму RSA
є складність факторизації великих цілих чисел. Відкритий ключ містить ве-
лике складене ціле число — криптомодуль N, що є добутком двох великих
простих чисел. Натепер немає відомого простішого універсального способу
зламати шифрування як факторизація N. Тоді можемо отримати два прості
числа з добутку та розшифрувати повідомлення [7, 8].
У 1977 р., коли був винайдений алгоритм RSA, факторизація цілих чи-
сел з 80-десятковими знаками здавалась неможливою; 256-бітові ключі були
надійними. Першим суттєвим проривом стало квадратичне решето
(Quadratic Sieve) [1] — метод, винайдений Карлом Померансом у 1981 р.,
який може факторизувати числа розміром 100 десяткових символів і більше.
Натепер це найефективніший відомий метод факторизації чисел, розміром
меншим за 100 десяткових знаків. Поява ідей, які дозволять знизити обчис-
лювальну складність методу квадратичного решета, може розширити мно-
жину великих чисел (більше 100 десяткових занків), де цей метод буде най-
кращим, це дасть змогу удосконалити процес криптоаналізу, хоча може
призвести до збільшення числа розрядів N для криптостійких шифрів RSA.
В.M. Місько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 100
Тому розроблення нових способів прискорення методу квадратичного реше-
та та їх дослідження є актуальним. У дослідженні пропонується додатково
використовувати В-гладкі з неодиничними залишками, які є квадратами
простих чисел. Такі В-гладкі числа будемо називати умовно В-гладкими.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Припустімо, що N — число, яке потрібно факторизувати, алгоритм квадра-
тичного решета намагається знайти два числа x та y таких, щоб
)(mod ny±x і )mod(22 ny=x . Це означатиме, що )(mod0)()( nyxyx ,
тоді вирахуємо множники N як ),(gcd nyx і ),(gcd nyx , використову-
ючи алгоритм Евкліда. Є імовірність 50 відсотків шансу, що цей додаток
буде нетривіальним дільником N [2].
Алгоритм квадратичного решета генерує послідовність квадратів, ви-
користовуючи багаточлен Nx 2 , змінюючи x від N до M+N [2].
Величина M збільшується до межі ,bLM де bL — інтервал просію-
вання. Це місце, де метод стає евристичним, оскільки абсолютно точного
способу обчислення інтервалу просіювання немає.
У квадратичному решеті вираховуємо залишок Nx mod2 для деяких x і
знаходимо таку множину, добуток елементів якої є квадратом. Це дає змогу
порівняти квадрати. Однак піднесення до квадрата множини випадкових
чисел за модулем N приводить до великої кількості різних простих множни-
ків, великих векторів та до великого розміру матриці спеціальної системи
лінійних рівнянь. Тому для спрощення додатково шукаємо пари цілих чисел
x і y(x), які відповідають значно простішим умовам ніж N)(y=x mod22 . Ал-
горитм вибирає набір простих чисел, який називається факторною базою,
і намагається знайти x таке, щоб залишок Nx=xy mod)( 2 був добутком
простих чисел, що входять до факторної бази. Такі x називаються гладкими
стосовно факторної бази, або В-гладкими.
Як факторну базу B беремо множину простих чисел, яка складається з
простих чисел p, які не перевищують задану межу aL (вибирається з ураху-
вань оптимальності). Межа aL — це ще одне евристичне місце алгоритму.
Алгоритм працює в два етапи: етап збирання даних, які можуть привес-
ти до рівності квадратів, та етап оброблення даних, де він розміщує всю зі-
брану інформацію у матрицю і оброблює її для отримання розв’язку. Дру-
гий етап потребує великої ємності пам’яті і його важко розпаралелити.
Швидкість та результати роботи алгоритму залежать від розміру фак-
торної бази та розміру інтервалу просіювання.
Якщо кількість простих чисел у факторній базі (розмір факторної бази)
дуже мала, то розмір вектора степенів буде теж малим, що значно зменшує
кількість операцій. Проблема полягає в тому, щоб знайти такі B-гладкі чис-
ла, які б входили в цю факторну базу. Чим менша факторна база, тим суттє-
во меншою є кількість В-гладких чисел, тобто необхідно значно збільшува-
Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно B-гладких чисел
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 101
ти інтервал просіювання. Якщо створити велику за розміром факторну базу,
то постала б проблема розв’язання системи лінійних алгебричних рівнянь
спеціального вигляду з матрицею великої розмірності, що потребує великої
ємності пам’яті та ресурсів. Оптимальне значення розміру факторної бази
пропонується у праці [3], яке обчислюється за формулою
4/24/2
4/2
)(ln)ln(ln )( L=nL=e=L=A nna
. (1)
Ця формула не дає остаточної відповіді. Для кожного випадку найкра-
щий розмір факторної бази є індивідуальним і може відрізнятися від зна-
чення, отриманого за формулою (1).
Наприклад, коли факторизували RSA-129 у 1994 р., використовували
факторну базу простих чисел розміром 534339.
Інтервал просіювання повинен бути таким, щоб кількість B-гладких бу-
ла більшою за кількість елементів у кожному векторі. Але цієї умови не до-
статньо. Можна скласти матрицю, де кількість векторів більша за кількість
елементів у кожному векторі, та отримати хибний розв’язок. У тако-
му випадку знадобиться розширити інтервал просіювання для отримання
додаткових векторів. Для загального випадку (згідно з працею [3]) визначи-
ти розмір інтервалу просіювання можна за формулою
4/234/23
4/23
)(ln)ln(ln
max )( L=nL=e=L=M nnb
. (2)
Якщо після ділення числа M на всі прості числа з факторної бази B, за-
лишок не дорівнює одиниці, то таке число відкидаємо. Додатковий аналіз
цих чисел може надати більшу кількість векторів для побудови матриці.
Основною проблемою методу квадратичного решета є пошук достат-
ньої кількості В-гладких чисел. Тому пошук способів отримання додаткових
варіантів залишків, що можуть розглядатися як В-гладкі числа, є актуальним
завданням.
Додатковий аналіз В-гладких чисел згадується в літературі [2, 5, 6].
Пропонується запам’ятовувати В-гладкі з неодиничним простим залишком.
Для знаходження В-гладких з однаковими залишками потрібно використо-
вувати їх разом.
Пропонується розглянути неодиничні залишки, які є квадратами
простих чисел. Вектори таких чисел можна додавати до матриці, не вра-
ховуючи ці залишки. Як квадрати вони жодним чином не впливають на
розв’язок. Якщо 22 13723117)( =ay та 237)( =by , тоді =byay )()(
2222 13723117 . За обраного максимального числа для факторної бази
23, вектор )(ay увійде до матриці. Під час розв’язання матриці можна не
враховувати ,1372 оскільки 137 має парний степінь. Такі залишки і назива-
ються умовно В-гладкими.
Слід зазначити, що натепер в асиметричних криптосистемах викорис-
товуються числа розміру 1024 біт і більше. У цьому дослідженні викорис-
товувались числа розміром до 33 біт. Але результати дослідження дають
основу для подальшого вивчення цього питання на числах розміру 1024 біт і
більше.
В.M. Місько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 102
ЗАСТОСУВАННЯ АНАЛІЗУ УМОВНО В-ГЛАДКИХ ЧИСЕЛ
Розглянемо на прикладі ефективність запропонованої модифікації. Обе-
ремо 401p і 103q . Ці прості числа створюють число для факториза-
ції 41303 Nqp . Обчислимо за формулою (1) розмір факторної бази
6A . За допомогою формули (2) отримаємо інтервал просіювання
203M .
Після просіювання варіантів y(x) через факторну базу отримуємо
В-гладкі числа. Ці числа наведено в табл. 1.
Т а б л и ц я 1 . Результати просіювання варіантів )(xy
Вектори степенів В-гладких чисел
Знак числа
2 11 19 23 29 37
В-гладкі
1 1 1 0 0 2 0 –18502
1 0 1 0 0 0 2 –15059
1 1 0 0 1 0 1 –1702
0 1 0 2 0 0 0 722
0 0 0 0 2 1 0 15341
0 1 1 0 1 0 1 18722
Цих чисел не достатньо для факторизації обраного N. Знайдемо умовно
В-гладкі числа (табл. 2).
Т а б л и ц я 2 . Результати додаткового просіювання варіантів )(xy
Вектори степенів умовно
В-гладких чисел Знак
числа
2 11 19 23 29 37
Дільники, які не входять
до факторної бази
Умовно
В-гладкі
0 0 0 0 0 0 0 2149 22201
0 1 0 0 0 0 0 2131 34322
0 1 0 0 0 0 0 2157 49298
Число 22201 не ввійшло до матриці, оскільки воно має прості дільни-
ки, які не потрапили у факторну базу. Число 22201 є квадратом, за допомо-
гою якого отримуємо розв’язок. Числа 32322 та 49298 не є квадратами, але
разом дають ще один розв’язок.
Розглянемо інший приклад. Оберемо 11p і 601q , дістаємо
6611 Npq . Обчислимо розмір факторної бази та інтервал просіювання
5A , 102M .
Після просіювання варіантів )(xy через факторну базу отримуємо
В-гладкі числа. Ці числа наведено в табл. 3.
Обчислюючи матрицю створену з векторів з табл. 3, дістаємо тільки
хибні розв’язки. Знайдемо умовно B-гладкі числа (табл. 4).
Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно B-гладких чисел
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 103
Т а б л и ц я 3 . Результати просіювання варіантів )(xy
Вектори степенів В-гладких чисел
Знак числа
2 5 17 29 31
В-гладкі
1 1 1 1 1 0 –4930
1 0 1 0 1 1 –4495
1 1 1 2 0 0 –2890
1 1 0 1 1 0 –986
1 0 0 1 0 1 –527
1 1 2 0 0 0 –50
0 0 1 0 2 0 4205
0 1 1 1 0 1 5270
Т а б л и ц я 4 . Результати додаткового просіювання варіантів )(xy
Вектори степенів умовно
В-гладких чисел Знак
числа
2 5 17 29 31
Дільники, які не входять
до факторної бази
Умовно
В-гладкі
1 1 0 0 0 0 241 –3362
0 0 1 0 0 0 237 6845
Число –3362 дозволило сформувати розв’язок з чисел: –4930, –4495,
–3362 та –527.
Приклади випадків, де умовно В-гладкі числа входять до розв’язку, на-
ведено в табл. 5.
Т а б л и ц я 5 . Приклади факторизації з умовно В-гладкими числами
p q N
В-гладкі, які
утворюють
квадрат
Умовно
В-гладкі
Множники умовно
В-гладких чисел
27743 41203 1143094829 45292900 45292900 222 67375
89 46411 4130579
-1496450,
-5618
-1496450
,22 173521
25321
5647 40577 229138319
-29848630,
-2996875,
11514850
-29848630,
,27653521
,137751 2
1374152 22
29741 40087 1192227467 26759929 26759929 22 7397
30271 48533 1469142443 83375161 83375161 22 73923
30707 32089 985356923 477481 477481 2691
31729 32423 1028749367 120409 120409 2347
32443 45137 1464379691 40284409 40284409 22 57711
32887 39371 1294794077 10510564 10510564 22 16212
6163 44777 275960651
-22386875,
-2107,
23952473
23952473
,4317751 24
22 1187174371 ,
36353 39511 1436343383 2493241 2493241 21579
37561 43067 1617639587 7579009 7579009 22753
В.M. Місько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 104
Продовження табл. 5
38239 45413 1736547707 12866569 12866569 22 21117
39157 45119 1766724683 8886361 8886361 22 27111
40577 46811 1899449947 9715689 9715689 22 10393
41719 45137 1883070503 2920681 2920681 21709
6359 43051 273761309
-38568413
-23710340
-6177145
-685684
-38568413
-23710340
,226941131
,22 17937521
,113291351 2
113413721 2
44867 47911 2149622837 2316484 2316484 22 7612
45403 46589 2115280367 351649 351649 2593
48193 48539 2339240027 29929 29929 2173
ПОРІВНЮВАЛЬНА ОЦІНКА АНАЛІЗУ УМОВНО В-ГЛАДКИХ ЧИСЕЛ
Додаткові вектори у сформованій матриці дозволили отримати розв’язок без
розширення факторної бази або інтервалу просіювання.
Отримати числа, у яких залишок є квадратом, можна доволі часто. За
першими 5000 простими числами сформовано 61012.5 можливих варіантів
N, знайдено додаткові вектори у 99% випадках.
Корисну дію цього методу можна побачити, якщо обрати випадки, у
яких базовий алгоритм квадратичного решета за рекомендованими у працях
[2, 4, 6] розмірами факторної бази та інтервалу просіювання, обчислених за
формулами (1) і (2), не зміг знайти розв’язок, і застосувати аналіз )(xy , у
яких залишок після просіювання є простим числом у парному степені.
У 7% випадках модифікований алгоритм зміг факторизувати число
(див. рисунок).
Кількість удалих
розкладань методом
квадратичного
решета 1125386
Кількість удалих
розкладань
за допомогою
прискорення 825371
Кількість невдалих
розкладань методом
квадратичного
решета 1228642
Кількість невдалих
розкладань
за допомогою
прискорення 403271
Діаграма ефективності аналізу умовно В-гладких чисел
Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно B-гладких чисел
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 105
Варто зазначити, що якщо для порівнювального аналізу взяти меншу
кількість простих чисел, починаючи не з першого простого числа, отримає-
мо кращі результати. Наприклад, якщо взяти тисячу простих чисел, почи-
наючи з простого числа з порядковим номером 4000 або 5000, знайдемо, що
модифікований алгоритм зміг факторизувати всі числа.
ОЦІНЮВАННЯ СКЛАДНОСТІ ТА ЧАСУ ВИКОНАННЯ
Складання матриці для стандартного алгоритму квадратичного решета по-
требує кількості елементів aL2 [3]. Кількість потрібних варіантів )(xy
(В-гладких) для стандартного квадратичного решета можна розрахувати за
формулою
12 aL .
Усі залишки y(x) уже отримано, їх пошук не потрібен. Для застосування
аналізу умовно В-гладких чисел необхідно для кожного варіанта )(xy за-
пам’ятовувати залишок (якщо він є квадратом), тому потрібна ємність
пам’яті збільшується і дорівнює 12 +aL .
На перший погляд додатковий аналіз варіантів )(xy робить алгоритм
складнішим і збільшує час його роботи — додаткове обчислення квадратно-
го кореня з усіх залишків )(xy , більших за одиницю. Однак із застосуван-
ням додаткового аналізу варіантів )(xy кількість придатних y(x) збільшу-
ється (за рахунок умовно В-гладких) на деяке і становить
+a+a=b 1)4( . Значення b — кількість ітерацій в алгоритмі — обираєть-
ся таким, щоб кількість придатних варіантів )(xy становила aL , тому
1)4( a+a=b . Як бачимо ця кількість зменшилась.
Беручи до уваги те, що b — показник степені інтервалу просіюван-
ня
bL , тоді кожне знайдене умовно В-гладке значення значно зменшує ін-
тервал просіювання.
Оцінити швидкість модифікованого алгоритму можна за формулою
}3141{2max aa+a,+a y,L
.
Швидкість просіювання зменшилась на , де — кількість елементів
)(xy доданих умовно В-гладких залишків.
ВИСНОВКИ
Швидкість роботи методу квадратичного решета залежить від таких еврис-
тичних значень, як розмір факторної бази та інтервал просіювання. На осно-
ві проведених численних експериментів показано, що використання умовно
В-гладких чисел дозволяє факторизувати число у тих випадках, коли базо-
вий алгоритм квадратичного решета (за стандартного інтервалу просіюван-
ня та розміру факторної бази) не зміг сформувати матрицю для отримання
розв’язку.
В.M. Місько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 106
Модифікований алгоритм зміг зменшити кількість невдалих фактори-
зацій з 11% до 3% відносно базового алгоритму квадратичного решета.
Швидкість просіювання модифікованого алгоритму зменшилась на .
Для кожного випадку значення є різним і дорівнює кількості елементів
)(xy доданих завдяки використанню умовно В-гладких чисел.
Отримані результати є підставою для подальшого дослідження на чис-
лах 1024 біт і більше.
ЛІТЕРАТУРА
1. Pomerance C. The quadratic sieve factoring algorithm / С. Pomerance // Advances
in Cryptology (T. Beth, N. Cot and I. Ingemarrson eds.), Lecture Notes in Com-
put. Sei. — Paris, 1985. — P. 169–182.
2. Lindquist E. The Quadratic Sieve Factoring Algorithm / E. Lindquist // Math 488:
Cryptographic Algorithms, Diciembre. — New York, 2001. — P. 1–11.
3. Pomerance C. Analysis and comparison of some integer factoring algorithms /
C. Pomerance // Mathematisch Centrum Computational Methods in Number
Theory, Pt. 1. — Amsterdam: Math Centre Tract 154, 1982. — P. 89–139.
4. Pomerance C. Smooth numbers and the quadratic sieve / C. Pomerance // Proc. of an
MSRI workshop. — New York: Proc. Amer. Math. Soc. 115, 2008. — P. 69–81.
5. Song Y. Quadratic Sieve / Y. Song // Primality Testing and Integer Factorization in
Public-Key Cryptography Second Edition. — New York: Springer, 2008. —
P. 234–239.
6. Crandall R. Smooth numbers and the quadratic sieve / R. Crandall, C. Pomerance //
Prime Numbers A Computational Perspective Second Edition. — New York:
Springer, 2005. — P. 261–315.
7. Горбенко И.Д. Анализ каналов уязвимости системы RSA / И.Д. Горбенко,
В.И. Долгов, А.В. Потий, В.Н. Федорченко // Безопасность информации. —
1995. — № 2. — С.22–26.
8. Brown D. Breaking RSA May Be As Difficult As Factoring [Електронний ресурс] /
Daniel R.L. Brown // Cryptology ePrint Archive. — 2005. — Режим доступу:
https://eprint.iacr.org/2005/380.
Надійшла 24.07.2017
|
| id | journaliasakpiua-article-107581 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:22:26Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/47/587de57f0f9b794a355bcf1e3b856347.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1075812018-04-12T11:42:34Z Acceleration of the quadratic sieve method based on the additional search of B-smooth numbers Ускорение метода квадратичного решета на основании использования условно В-гладких чисел Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно В-гладких чисел Misko, Vitalii M. factorization quadratic sieve method B-smooth conditionally B-smooth факторизация метод квадратичного решета условно В-гладкие ускорение факторизація метод квадратичного решета умовно В-гладкі прискорення We will investigate the degree of acceleration of the basic quadratic sieve method based on the search for conditionally B-smooth numbers. An analysis is made of the influence, and the number of cases of using conditionally B-smooth numbers. It is shown that the modified algorithm based on the search for conditionally B-smooth numbers allows to factor the number in those cases when the basic quadratic sieve algorithm (with the standard sieving interval and the size of the factor base) could not form a matrix for obtaining the solution. Исследована степень ускорения базового метода квадратичного решета на основе поиска условно В-гладких чисел. Проведено анализ влияния и количества случаев использования условно В-гладких чисел. Показано, что модифицированный алгоритм на основе поиска условно В-гладких чисел позволяет факторизовать число в тех случаях, когда базовый алгоритм квадратичного решета (при стандартном интервале просеивания и размере факторной базы) не смог сформировать матрицу для получения решения. Досліджено ступінь прискорення базового методу квадратичного решета на основі пошуку умовно В-гладких чисел. Проведено аналіз впливу на ефективність алгоритму та кількості випадків використання умовно В-гладких чисел. Показано, що модифікований алгоритм на основі пошуку умовно В гладких чисел дозволяє факторизувати число у тих випадках, коли базовий алгоритм квадратичного решета (за стандартного інтервалу просіювання та розміру факторної бази) не зміг сформувати матрицю для отримання розв’язку. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-03-20 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107581 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.08 System research and information technologies; No. 1 (2018); 99-106 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2018); 99-106 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2018); 99-106 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107581/123513 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | факторизація метод квадратичного решета умовно В-гладкі прискорення Misko, Vitalii M. Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно В-гладких чисел |
| title | Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно В-гладких чисел |
| title_alt | Acceleration of the quadratic sieve method based on the additional search of B-smooth numbers Ускорение метода квадратичного решета на основании использования условно В-гладких чисел |
| title_full | Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно В-гладких чисел |
| title_fullStr | Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно В-гладких чисел |
| title_full_unstemmed | Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно В-гладких чисел |
| title_short | Прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно В-гладких чисел |
| title_sort | прискорення методу квадратичного решета на основі використання умовно в-гладких чисел |
| topic | факторизація метод квадратичного решета умовно В-гладкі прискорення |
| topic_facet | factorization quadratic sieve method B-smooth conditionally B-smooth факторизация метод квадратичного решета условно В-гладкие ускорение факторизація метод квадратичного решета умовно В-гладкі прискорення |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107581 |
| work_keys_str_mv | AT miskovitaliim accelerationofthequadraticsievemethodbasedontheadditionalsearchofbsmoothnumbers AT miskovitaliim uskoreniemetodakvadratičnogorešetanaosnovaniiispolʹzovaniâuslovnovgladkihčisel AT miskovitaliim priskorennâmetodukvadratičnogorešetanaosnovívikoristannâumovnovgladkihčisel |