Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди з рівномірною структурою

A finite-dimensional Riemann manifold with a uniform structure and the corresponding Riemann measure of the volume were considered. For an embedded surface an induced Riemann volume measure can be constructed with the tensor induced by an embedding. An alternative approach to the construction of an...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2017
Main Author:	Moravetska, Kateryna V.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017
Subjects:	Ріманів многовид міра об’єму векторне поле поверхнева міра
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/111899
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1866302140275752960
author	Moravetska, Kateryna V.
author_facet	Moravetska, Kateryna V.
author_sort	Moravetska, Kateryna V.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-04-04T16:37:16Z
description	A finite-dimensional Riemann manifold with a uniform structure and the corresponding Riemann measure of the volume were considered. For an embedded surface an induced Riemann volume measure can be constructed with the tensor induced by an embedding. An alternative approach to the construction of an associated surface measure is proposed. The construction assumes an assignment of the differential form associated with the surface and a set of pairwise commuting vector fields on the manifold, strictly transversal to the surface. Under the action of the flow of the vector fields with small values of t, the subset on the surface transforms into a neighborhood on the manifold, and by passing to the limit the value of the surface measure can be obtained. It is shown that the construction of a surface measure using the mentioned alternative approach yields an exactly induced Riemann measure of the volume.
doi_str_mv	10.20535/SRIT.2308-8893.2017.4.11
first_indexed	2025-07-17T10:23:12Z
format	Article
fulltext	 К.В. Моравецька, 2017 130 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 4 УДК 517.98+515.165 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.4.11 КОНСТРУКЦІЯ ПОВЕРХНЕВИХ МІР НА ПОВЕРХНЯХ, УКЛАДЕНИХ У РІМАНОВІ БАГАТОВИДИ З РІВНОМІРНОЮ СТРУКТУРОЮ К.В. МОРАВЕЦЬКА Анотація. Розглянуто скінченновимірний ріманів многовид з рівномірною структурою і відповідна ріманова міра об’єму. Для вкладеної поверхні можна побудувати індуковану риманову міру об’єму, що задається тензором, індуко- ваним вкладенням. Запропоновано альтернативний підхід до побудови асоційованої поверхневої міри. Конструкція передбачає задання на багатовиді диференціальної форми, асоційованої з поверхнею, і строго трансверсального до поверхні набору векторних полів, що попарно комутують. Під дією потоку векторних полів за близьких до нуля значеннь t множина на поверхні перехо- дить в окіл багатовиду, і при граничному переході можна отримати значення поверхневої міри. Показано, що побудова поверхневої міри за допомогою вказаного альтернативного підходу дає якраз індуковану ріманову міру об’єму. Ключові слова: ріманів багатовид, міра об’єму, векторне поле, поверхнева міра. ВСТУП Побудова поверхневих мір на поверхнях, укладених у нескінченновимірний простір, є однією з ключових проблем нескінченновимірного аналізу. Розв’язуючи подібні задачі, важливо забезпечити узгодженість з класични- ми результатами скінченновимірного аналізу. Існують різні підходи до побудови поверхневих мір. Зокрема, у працях [1, 2] розвинуто апарат поверхневого інтегрування у просторах Фреше. У праці [3] для побудови поверхневих мір на множинах рівня соболевських функцій в локально опуклих просторах використано соболевські ємності. У працях [4, 5] запроваджено інший підхід до побудови асоційованої міри на гладкій межі області в нескінченновимірному просторі. Адекват- ність цього підходу підтверджено дослідженням крайових задач в областях гільбертового простору [6, 7]. Узагальнення на випадок поверхонь дові- льної скінченної корозмірності на банаховому багатовиді з рівномірною структурою запропоновано у працях [8, 9]. У праці [10] указаний підхід використано для скінченновимірного евк- лідового простору і показано його узгодженість з класичними формулами площі поверхні. Роботу присвячено дослідженню адекватності запропонованого підхо- ду до побудови поверхневої міри, асоційованої з мірою об’єму на ріманово- му багатовиді з рівномірною структурою. Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди … Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 4 131 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Нехай задано ріманів багатовид M з рівномірною структурою і вкладену в його компактну підмножину U замкнену поверхню S . Тоді S також являє собою ріманів багатовид і відповідний ріманів тензор T ~ може бути індуко- ваний тензором T на M : , ~ TiT  де MSi : — вкладення S у M . При цьому на S коректно визначено рі- манову міру об'єму V ~ :      )( 1))( ~ (det)( ~ G kmdxdxxTGV  , де  — така карта на S , для якої множина G повністю належить області визначення (для множин, які повністю не лежать в області визначення однієї карти, значення міри задається адитивністю). З іншого боку, за допомогою метричного тензора T можна задати міру об'єму V на багатовиді U і, використовуючи підхід, описаний у працях [8, 9], побудувати на S поверхневу міру V̂ , асоційовану з V . Мета роботи — показати еквівалентність поверхневої міри, асоційова- ної з мірою об’єму на багатовиді, та міри об’єму, що задається індукованим тензором на поверхні. ПОПЕРЕДНІ ВІДОМОСТІ У працях [8, 9] описано конструкцію поверхневих мір на банахових багато- видах з рівномірною структурою. Зокрема, цей підхід може бути використа- ний і для ріманових багатовидів. Коротко наведемо основні означення та схему побудови поверхневих мір. Нехай M є дійсним скінченновимірним багатовидом класу 2C з моде- льним простором m і атласом )},{(   U . Вважаємо, що M зв'язний і наділений обмеженою структурою, тобто для деякого атласу )},{(   U на M існує така додатна стала K , що для кожного відображення склейки 1   F умови CxF  ‖)(‖ , CxF  ‖)(‖ виконані для всіх )(   UUx . Окрім того, вважаємо, що обмежена структура на M є рівномірною, тобто існує така стала 0r , що для кожного Mx існує така карта  ),(U , що Ux і ))(()( xBU r   (тут і далі через )(zBr позначатимемо відкриту кулю в модельному просторі m радіуса r з центром у точці z ). Нехай M і N — два багатовиди з обмеженими атласами 1 і 2 від- повідно. Будемо вважати, що відображення NMf : належить до класу )(2 MCb (або є обмеженим морфізмом класу 2C ), якщо для нього існує таке число 0C , що для кожної пари карт 1),( U і 2),( V функція К.В. Моравецька ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 4 132 )()(:1 VUff     є двічі неперервно диференційовною і Cpf  ‖)(‖ і Cpf  ‖)(‖ для кожного )(Up  . Якщо при цьому відображення f є ізоморфізмом і 1f також належить до класу 2 bC , тоді f називають обмеженим ізоморфізмом класу 2 bC . Неперервно диференційовне тензорне поле T називатимемо обмеженим (або полем класу 1 bC ), якщо для нього існує така стала 0L , що для кожної карти  ),( U і кожного Ux : LxT  ‖)(‖ , LxT  ‖)(‖ , де T — локальне зображення тензора в карті. Означення 1. Замкнену підмножину MS  будемо називати вкладе- ною в M поверхнею корозмірності k ( mk  ), якщо існує багатовид N з обмеженою структурою, моделлю якого є kmR , відкритий окіл нуля kD R , відкрита підмножина U в M і обмежений 2 bC -ізоморфізм UDNg : , для якого SNg  })0{(  . Позначатимемо через  проекцію NDN  : на першу координату, DDNP : — на другу. Тоді для кожної точки вкладеної поверхні Sx можна розглянути карту }))0{(,() ~ ,~( 1     WggW , де ),( W — карта на N в точці ))(( 1 xg   і таким чином S також наділе- на обмеженою структурою. Відповідна карта ))(,)(()ˆ,ˆ( 1 DWggidW   , (1) на M узгоджується із заданою обмеженою структурою. Зауваження. Для атласу )},{(  W на N можна побудувати підатлас )},{(  G таким чином, щоб кожна множина G лежала в W разом з дея- ким околом і   BG )( . Тому можемо вважати, що кожна функція  визначена в деякому околі множини W , а образами W є кулі в kR . Означення 2. Нехай S — вкладена в M поверхня корозмірності k , UDNg : — відповідний ізоморфізм. Тоді диференціальну k -форму  класу )(1 UCb називатимемо асоційованою формою поверхні S , якщо вико- нано дві умови: 1) для кожного Sx : STxiMTY xYx  }0)(∣{ ; 2) існує таке 0 , що для всіх Sx виконано нерівність  ‖)(‖ x . Означення 3. Набір векторних полів },,{ 1 kXXX   , що попарно ко- мутують на U , називається строго трансверсальним до вкладеної поверхні S (корозмірності k ) з асоційованою формою  , якщо існує таке 0 , що для кожного Sx виконано нерівність  \|))(( xX  \| . Як показано у праці [8], таке означення є коректним, тобто не залежить від вибору асоційованої форми поверхні. Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди … Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 4 133 Через X t позначатимемо потік векторного поля X для набору век- торних полів X  , що попарно комутують: k k X t X t X t  1 1   ,  )(xX W  }∣)({ WtxX t    . Через k будемо позначати міру Лебега на kR . Нехай на багатовиді M з рівномірною структурою задано вкладену поверхню S корозмірності k , асоційовану з нею диференціальну форму  та строго трансверсальний до S набір векторних полів X  , що попарно ко- мутують. Нехай на M також задано міру  . У випадку, якщо для кожної множини )(SA B існує границя )( ))(( lim:)( 0 rk X B rX B A A r       , (2) функція множин X  є мірою на S і називається поверхневою мірою пер- шого типу, породженою сім’єю векторних полів X  . У випадку, коли на U задано два строго трансверсальних до S набори векторних полів X  та Y  , що попарно комутують, для яких SS YX \|\| \|)(\|\|)(\|   , і при цьому обидві міри X  і Y  є коректно визначени- ми та скінченними на S , вказані поверхневі міри збігаються (теорема 3 та зауваження 3 [8]). Таким чином, забезпечується коректність такого означення. Означення 4. Поверхневою мірою другого типу на S , індукованою мі- рою  і асоційованою формою  , називається міра X SX     \|\|)(\| 1 , де X  — строго трансверсальний до S набір векторних полів, що попарно ко- мутують, для якого границя (2) існує для кожного )(SA B . Будемо вважати, що багатовид M є рімановим, тобто на M задано тен- зорне поле T типу (2,0) класу 2C таке, що для кожної точки Mp біліній- ний функціонал )( pT і MTp є симетричним і додатно визначеним. Таким чином, на MTp визначено скалярний добуток: ),)((, vupTvu T  і відповід- на норма: ),)((‖‖ uupTu T  . Побудова міри об'єму на поверхні, вкладеній у ріманів багатовид Нехай M — ріманів 2C -багатовид з рівномірною структурою, )},{(   U — рівномірний атлас на M , T — відповідний ріманів тен- зор, UK  — компактна підмножина в M . Тоді на K визначено міру об’єму V :        i G m ii i dxdxxTGV )( 1))((det)(  , (3) К.В. Моравецька ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 4 134 де  i iGG  — таке розбиття множини )(KG  на скінченну кількість підмножин iG , що попарно не перетинаються, за якого кожна i UGi  для деякого i . Легко бачити, що значення )(GV скінченне ( )(GV рівномірно обмежена) і не залежить від способу розбиття, а тому формула (3) коректно задає скінченну міру. Нехай замкнена поверхня S задана відповідно до означення 1, тобто })0{(   NgS , де MUDNg : — 2 bC -ізоморфізм; N — багатовид з обмеженою структурою, моделлю якого є ;R km D — відкритий окіл нуля в kR . Поверхнева міра, асоційована з мірою об'єму на багатовиді Побудуємо на S поверхневу міру, використовуючи описаний вище підхід з праць [8, 9]. Оскільки )( 1 kdtdtP  — диференціальна k -форма на DN  , асоційована з поверхнею }0{  N , за асоційовану форму поверхні S можна взяти форму )()( 1 *1 kdtdtPg   на U . При цьому для UUx   і MTuu xk ,,1 маємо:   ))(,,)()((),,)(( 1 1 1 11 kxxkk ugPTugPTdtdtuux  ),)()'(,,)()'det(( 11 1 11          kugPugP  де m iu )( — зображення дотичного вектора iu в карті  . Для карти )ˆ,ˆ( W (див. вираз (1)) отримуємо ),)(,,)((det),,)(( ˆ2ˆ121   kk uPuPuux (4) де kmP RR:2  — проекція на останні k координат. Зафіксуємо деяку точку Sygx  )0,(  . Зображення тензора )(xT у кар- ті ̂ має вигляд симетричної додатно визначеної блокової матриці:         x T x xx x CF FA TyTxT )0),(())(ˆ( ˆˆ  , де xA і xC — симетричні матриці knkn  і kk  відповідно; xF — мат- риця kkn  . Лема. Нехай Mx , позначимо      k i Ti k MTuu T u uux x xk 1 1 ,, ‖‖ ),,)(( sup)( 1 . Тоді x x T T A x det det )(  . Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди … Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 4 135 Доведення. Оскільки матриця xT є симетричною додатно визначеною, для неї можна застосувати розклад Холецького: T xxx LLT  , де        ...... 0x x K L — нижня трикутна матриця з xxx AKK T . І нехай 1 xL має блоковий вигляд:        x x x H B L ... ...1 , де 0xxBK . При цьому за лемою 1 із праці [10] маємо рівність:                        )0( 0 det)(detdet TTT x x x x xx K K H B HBL .det)(det T xxx AKK  Тоді:              (4) рівність ˆ карта ‖‖ ),,)(( sup)( 1 1 ,,1 k i Ti k MTuu T u uux x xk         k i i T xi T x k MTuu uLuL uPuP xk 1 ˆˆ ˆ2ˆ12 ,, )(,)( ))(,,)((det sup 1 . ‖‖ ))((det sup ][ )( 1 TT R,,1 ˆ T 1             k i i xx vvk ixi v VHB vvV uLv m k За лемою 2 [10] маємо:                x x xxk i i xx vv T H B HB v VHB x m k )(det ‖‖ ))((det sup)( TT 1 TT R,,1 . det det det det x xx T A L A  Лему доведено. Оскільки нормування диференціальної форми зберігає її асоційованість з поверхнею, за асоційовану форму поверхні S можемо також взяти форму: )( det det ‖)(‖ )( )( x A T x x x x x T        . Розглянемо набір векторних полів },,{ 1 kXXX   на DN  , де k z ik i NT i NTzX z                   0 1 0 0 )( 1    — одиниця на i -й позиції в k . Очевидно, що К.В. Моравецька ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 4 136 поля з набору X  попарно комутують та утворюють строго трансверсаль- ний до }0{  N набір векторних полів (оскільки  ))())((( 1 zXdtdtP k  1det  kE ). Тому набір ),,( 1 kXXX   векторних полів на U , g -пов’язаних з Y  , є строго трансверсальним до S набором векторних по- лів, що попарно комутують. Тоді зображення iX у карті )ˆ,ˆ( W (див. рів- ність (1)) має вигляд                  ik ikm idii xgYidgxX 0 1 0 ))(()()')(ˆ())(ˆ()( 1 11 ˆ    , а тому .1)det()))((ˆ())(( ˆˆ   kEXxXx  Оскільки 1 gg ii Y t X t  , для всіх Sx і Dt маємо рівність }){))((())(()( 11 txggxggx Y t X t        . Тоді при )(SA  і Rr , для якого DBr  , отримуємо рівність )))((()( 1 r X B BAggA r    . Візьмемо тепер борелівську підмножину SG  , що разом з деяким околом лежить у межах однієї карти )ˆ,ˆ( W на M . Тоді за малих r       rX rB r BG m G mX B dxdxxTdxdxxTGV )(~ 1 ˆ )(ˆ 1 ˆ ))((det))((det)(    .)),((det )(~ ˆ    rB G tdzdtzT  Урахувавши гладкість і обмеженість тензорного поля ̂T (на компакт- ній множині RBW  )( , див. зауваження), знайдемо границю (2) для міри V :         r r B G rrk X B r tdzdtzT B GV )(~ ˆ 00 )),((detlim )( ))(( lim   ).(~))0,((det))0,((det ˆ )(~ ˆ GTzdzT km G                 Беручи до уваги компактність U і зауваження, кожну множину )(SG  можемо подати у вигляді скінченного об'єднання підмножин, що разом з далеким околом лежать у межах однієї карти. Отже, поверхнева міра ][VXX   визначена на )(SB коректно і є образом міри kmzT  ))0,((det ˆ  при відображенні SW  )(:~ 1 . Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди … Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 4 137 Переходимо тепер до поверхневої міри другого типу, індукованої асо- ційованою формою  :               X G S X S d X G X G  \|\| \|)(\| 1 )( \|)(\| 1 )( .))0,((det))(~( )(~ ˆ 1 zdzTz G T      За лемою для )(~)0),(( 11 zzgx    маємо рівність   T z))(~( 1  ))0,((det det ˆ  zT Ax   . Тому для кожного )(SG B : dxAzdAGGV G x G z      detdet)(:)(ˆ )(~ )(~ 1   . Поверхнева міра об'єму, задана індукованим на поверхні тензором Укладення MSi : поверхні S у багатовид M індукує на S ріманів тен- зор , ~ *TiT  і, таким чином, поверхня S також являє собою ріманів багато- вид. Тому на S визначено ріманову міру об'єму V ~ аналогічно формулі (3):        i G m ii i dxdxxTGV )( 1))( ~ det()( ~  , де  i iGG  — таке розбиття множини )(MG B на скінченну кількість підмножин iG , що попарно не перетинаються, за якого кожна iG лежить в області визначення деякої карти ),( ii U   багатовиду S . Зафіксуємо карту ),( W на N і відповідні карти ) ~ ,~( W і )ˆ,ˆ( W на S і M . Для SWx  ~ зображення тензора T ~ у карті ) ~ ,~( W має вигляд xAxT  )( ~ ~  (у позначеннях леми), оскільки    ))))((~()'~ˆ(),))((~()'~ˆ)(((),)(( ~ 11 ˆ~ vxuxxTvuxT  . 0 , 0 )(ˆ                        vu xT Таким чином, для підмножини )(SG B , WG ~  маємо: ).(ˆdet))( ~ (det)( ~ )(~ )(~ )(~ ~ 1 GVxdAxdxTGV G x G          Урахувавши компактність S , отримаємо, що індукована міра V ~ збіга- ється з побудованою асоційованою мірою V̂ . К.В. Моравецька ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 4 138 ВИСНОВКИ У роботі отримано поверхневі міри першого та другого типів, асоційовані з рімановою мірою об'єму на поверхні, вкладеній у ріманів багатовид з рів- номірною структурою. Показано, що отримана міра збігається з мірою об'єму поверхні, що задається індукованим тензором. Таким чином, обґрун- товано адекватність використання вказаного підходу до побудови поверхне- вих мір на поверхнях скінченної корозмірності в нескінченновимірних прос- торах. Перспективним вбачається подальше дослідження поверхневих мір другого типу на поверхнях, укладених у нескінченновимірні банахові бага- товиди. ЛІТЕРАТУРА 1. Угланов А.В. Поверхностные интегралы в пространствах Фреше / А.В.Угланов // Математический сборник. — 1998. — Т. 189, № 11. — С. 139–157. 2. Uglanov A.V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications / A.V. Uglanov. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000. — 262 p. 3. Пугачев О.В. Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых про- странствах / О.В. Пугачев // Теория вероятностей и ее применения. — 2008. — 53, № 1. — С. 178–188. 4. Богданский Ю.В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и форму- ла Гаусса–Остроградского / Ю.В. Богданский // Укр. мат. журн. — 2012. — 64, № 10. — С. 1299–1313. 5. Богданский Ю.В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в 2L -версии / Ю.В. Богданский // Укр. мат. журн. — 2011. — 63, № 9. — С. 1169–1178. 6. Богданский Ю.В. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом про- странстве / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Укр. мат. журн. — 2014. — 66, № 6. — С. 733–739. 7. Богданский Ю.В. Граничный оператор следа в области гильбертова пространс- тва и характеристическое свойство его ядра / Ю.В. Богданский // Укр. мат. журн. — 2015. — 67, № 11. — С. 1450–1460. 8. Богданский Ю.В. Поверхностные меры на банаховых многообразиях с равномерной структурой / Ю.В. Богданский, Е.В. Моравецкая // Укр. мат. журн. — 2017. — 69, № 8. — С. 1030–1048. 9. Богданский Ю.В. Транзитивность поверхностных мер на банаховых многооб- разиях с равномерной структурой / Ю.В. Богданский, Е.В. Моравецкая // Укр. мат. журн. — 2017. — 69, №10. — С. 1299–1309. 10. Моравецька К.В. Альтернативна конструкція поверхневих мір у скінченно- вимірних просторах та її узгодженість із класичним підходом / К.В. Мора- вецька // Наук. вісті НТУУ «КПІ». — 2017. — № 4. — С. 66–72. Надійшла 12.10.2017
id	journaliasakpiua-article-111899
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2025-07-17T10:23:12Z
publishDate	2017
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/8d/76bb557ef8960b0ae10c512cb430108d.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1118992018-04-04T16:37:16Z Measure construction on surfaces embedded into Riemann manifolds with uniform structure Конструкция поверхностных мер на поверхностях, вложенных в римановы многообразия с равномерной структурой Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди з рівномірною структурою Moravetska, Kateryna V. Riemann manifold volume measure vector field surface measure Риманово многообразие мера объема векторное поле поверхностная мера Ріманів многовид міра об’єму векторне поле поверхнева міра A finite-dimensional Riemann manifold with a uniform structure and the corresponding Riemann measure of the volume were considered. For an embedded surface an induced Riemann volume measure can be constructed with the tensor induced by an embedding. An alternative approach to the construction of an associated surface measure is proposed. The construction assumes an assignment of the differential form associated with the surface and a set of pairwise commuting vector fields on the manifold, strictly transversal to the surface. Under the action of the flow of the vector fields with small values of t, the subset on the surface transforms into a neighborhood on the manifold, and by passing to the limit the value of the surface measure can be obtained. It is shown that the construction of a surface measure using the mentioned alternative approach yields an exactly induced Riemann measure of the volume. Рассмотрены конечномерное риманово многообразие с равномерной структурой и соответствующая ему риманова мера объема. Для вложенной поверхности можно построить индуцированную риманову меру объема, которая задается тензором, индуцированным вложением. Предложен альтернативный подход к построению ассоциированной поверхностной меры. Конструкция предполагает задание на многообразии дифференциальной формы, ассоциированной с поверхностью, и строго трансверсального к поверхности набора попарно коммутирующих векторных полей. Под действием потока векторных полей при близких к нулю значениях t множество на поверхности переходит в окрестность многообразия, и в пределе можно получить значение поверхностной меры. Показано, что построение поверхностной меры с помощью указанного альтернативного подхода дает в точности индуцированную риманову меру объема. Розглянуто скінченновимірний ріманів многовид з рівномірною структурою і відповідна ріманова міра об’єму. Для вкладеної поверхні можна побудувати індуковану риманову міру об’єму, що задається тензором, індукованим вкладенням. Запропоновано альтернативний підхід до побудови асоційованої поверхневої міри. Конструкція передбачає задання на багатовиді диференціальної форми, асоційованої з поверхнею, і строго трансверсального до поверхні набору векторних полів, що попарно комутують. Під дією потоку векторних полів за близьких до нуля значень t множина на поверхні переходить в окіл багатовиду, і при граничному переході можна отримати значення поверхневої міри. Показано, що побудова поверхневої міри за допомогою вказаного альтернативного підходу дає якраз індуковану ріманову міру об’єму. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017-12-15 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/111899 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.4.11 System research and information technologies; No. 4 (2017); 130-138 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2017); 130-138 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2017); 130-138 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/111899/114238 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Ріманів многовид міра об’єму векторне поле поверхнева міра Moravetska, Kateryna V. Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди з рівномірною структурою
title	Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди з рівномірною структурою
title_alt	Measure construction on surfaces embedded into Riemann manifolds with uniform structure Конструкция поверхностных мер на поверхностях, вложенных в римановы многообразия с равномерной структурой
title_full	Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди з рівномірною структурою
title_fullStr	Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди з рівномірною структурою
title_full_unstemmed	Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди з рівномірною структурою
title_short	Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди з рівномірною структурою
title_sort	конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди з рівномірною структурою
topic	Ріманів многовид міра об’єму векторне поле поверхнева міра
topic_facet	Riemann manifold volume measure vector field surface measure Риманово многообразие мера объема векторное поле поверхностная мера Ріманів многовид міра об’єму векторне поле поверхнева міра
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/111899
work_keys_str_mv	AT moravetskakaterynav measureconstructiononsurfacesembeddedintoriemannmanifoldswithuniformstructure AT moravetskakaterynav konstrukciâpoverhnostnyhmernapoverhnostâhvložennyhvrimanovymnogoobraziâsravnomernojstrukturoj AT moravetskakaterynav konstrukcíâpoverhnevihmírnapoverhnâhukladenihurímanovíbagatovidizrívnomírnoûstrukturoû

Конструкція поверхневих мір на поверхнях, укладених у ріманові багатовиди з рівномірною структурою

Institution

Similar Items