Оптимізація періодичності часткового календарного технічного обслуговування системи послідовно-паралельної структури
The mathematical model is constructed and the approximated values of reliability stationary characteristics of consistently-parallel system with partial calendar maintenance service of its consecutive part are found. Optimum terms of maintenance service realization are determined.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165556 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302356585447424 |
|---|---|
| author | Peschansky, A. I. Prikhodko, R. A. |
| author_facet | Peschansky, A. I. Prikhodko, R. A. |
| author_sort | Peschansky, A. I. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-04-25T16:24:40Z |
| description | The mathematical model is constructed and the approximated values of reliability stationary characteristics of consistently-parallel system with partial calendar maintenance service of its consecutive part are found. Optimum terms of maintenance service realization are determined. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.И. Песчанский, Р.А. Приходько, 2005
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 75
УДК 519.873
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧНОСТИ ЧАСТИЧНОГО
КАЛЕНДАРНОГО ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
СИСТЕМЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО–ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
СТРУКТУРЫ
А.И. ПЕСЧАНСКИЙ, Р.А. ПРИХОДЬКО
Построена математическая модель и найдены приближенные значения ста-
ционарных характеристик надежности последовательно-параллельной систе-
мы с частичным календарным техническим обслуживанием ее последо-
вательной части. Определены оптимальные сроки проведения технического
обслуживания.
ВВЕДЕНИЕ
Одна из серьезных проблем надежности функционирования технических
систем — организация технического обслуживания (ТО). Модели и страте-
гии ТО одно- и двухкомпонентных систем достаточно изучены [1–4]. Мно-
гокомпонентные системы исследованы меньше из-за своей размерности и
сложной структуры. Классы моделей и методов исследования таких систем
описаны в работах [3–6].
В данной статье рассматривается многокомпонентная система, имею-
щая следующую функциональную структуру: часть элементов соединена
последовательно, остальные — параллельно. Распределения времен безот-
казной работы элементов и их восстановления предполагаются общего вида.
В некоторый момент времени после начала работы проводится предупреди-
тельное ТО (полное обновление) элементов только последовательной части
системы. Находятся стационарные характеристики функционирования сис-
темы: стационарный коэффициент готовности, средняя прибыль за единицу
времени и средние затраты за единицу времени исправного функционирова-
ния системы. Определяются моменты проведения ТО для достижения опти-
мальных значений указанных критериев качества функционирования систе-
мы.
Для решения задачи привлекается аппарат теории полумарковских
процессов с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний.
Приближенные значения стационарных характеристик системы находятся с
помощью метода, основанного на алгоритме фазового укрупнения [7, 8].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Система состоит из MN + технологических ячеек (ТЯ), из которых N ТЯ
соединены последовательно, а M — параллельно. Время безотказной ра-
боты i-й ТЯ из последовательной цепочки — случайная величина (СВ) p
iα
А.И. Песчанский, Р.А. Приходько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 76
с функцией распределения (ФР) )()( tPtF p
i
p
i ≤= α , Ni ,1= , время безотказ-
ной работы j-й ТЯ из параллельной части системы — СВ jα с ФР
)()( tPtF jj ≤= α , Mj ,1= . Индикация отказа ТЯ происходит мгновенно и
восстановление (аварийное) i-й ТЯ из последовательной части системы
длится случайное время p
iβ с ФР PtG p
i =)( )( tp
i ≤β , Ni ,1= , а восстанов-
ление j-й ТЯ из параллельной части — случайное время jβ с ФР
)()( tPtG jj ≤= β , Mi ,1= .
Отказ системы наступает либо в результате отказа любой ТЯ из после-
довательной цепочки, либо в результате отказа всех ТЯ, соединенных па-
раллельно. При отказе системы работоспособные ТЯ отключаются. После
возобновления работы отключенные ТЯ включаются в работу с теми же ха-
рактеристиками безотказности, с которыми их застал отказ.
В момент начала работы системы (нулевой момент времени) планируе-
тся проведение предупредительного ТО последовательной части системы
через время, получаемое как реализация СВ γ с ФР )()( tPt ≤=Φ γ . При
этом ТО проводится только в том случае, если система находится в работо-
способном состоянии. В противном случае ТО откладывается на время γ .
Длительность проведения ТО — СВ ζ с ФР )()( tPt ≤=Ψ ζ . В момент
окончания ТО последующее ТО перепланируется. Предполагается, что по-
сле проведения любой из восстановительных работ ТЯ полностью обновля-
ются. СВ p
iα , p
iβ , Ni ,1= , iα , iβ , Mi ,1= , γ , ζ предполагаются незави-
симыми в совокупности, имеющими соответствующие плотности
распределения )(tfi , )(tf p
i , )(tg p
i , )(tgi , )(tϕ , )(tψ , конечные математи-
ческие ожидания p
iMα , p
iMβ , iMα , iMβ , γM , ζM и дисперсии.
Требуется определить следующие стационарные характеристики сис-
темы при условии быстрого восстановления ее элементов: среднюю нара-
ботку на отказ +T , среднее время восстановления −T , коэффициент готов-
ности Кг, среднюю прибыль S за единицу календарного времени, средние
затраты C за единицу времени исправного функционирования системы; оп-
тимальные моменты времени проведения ТО последовательной цепочки ТЯ
для достижения наилучших значений показателей функционирования сис-
темы Кг, CS , .
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ
Построим полумарковскую модель рассматриваемой системы. Введем сле-
дующую кодировку физических состояний ТЯ: 1 — ТЯ находится в работо-
способном состоянии, 0 — в отказовом. Кодами физических состояний сис-
темы будут совокупности двух двоичных векторов d и b . Компоненты N-
мерного вектора d описывают состояния ТЯ из последовательной части, а
компоненты M-мерного вектора b — состояния ТЯ из параллельной части
системы.
Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 77
Фазовое пространство полумарковских состояний рассматриваемой
системы S имеет вид
{ }1,0,,0;,1,;,1, )()( ==== kykybxdMjzybjxdNizybxdiE ji ,
где )( ji — номер ТЯ, изменившей свое состояние последней; =x
),...,( 1 Nxx= , kx — время, оставшееся до ближайшего изменения состояния
k -й последовательной ТЯ, Nk ,1= ; kM yyyy ),,...,( 1= — время, оставшее-
ся до ближайшего изменения состояния k -й параллельной ТЯ, Mk ,1= ;
)()( , ji yx — векторы, у которых соответственно i-я и j-я компоненты равны
нулю; z — время до ближайшего планового момента проведения ТО. Ко-
дом y0 обозначено начало ТО, y1 — начало работы системы после ТО,
ybxd0 — наступление планового момента ТО, которое не проводится из-за
нахождения системы в отказе.
Для нахождения приближенных значений стационарных характеристик
используем метод, основанный на алгоритме фазового укрупнения [7, 8].
Предположим, что времена аварийного восстановления ТЯ и длитель-
ность ТО зависят от некоторого малого параметра ε так, что для =p
iβ
εβ ,p
i= , εββ jj = , εζζ = справедливы предельные равенства =
→
ε
ε
β ,
0
lim p
iM
0limlim
00
===
→→
ε
ε
ε
ε
ζβ MM j .
В дальнейшем для упрощения записи формул параметр ε будем опус-
кать. В качестве опорной системы 0S рассмотрим систему, в которой ТО и
аварийное восстановление ТЯ проводятся мгновенно. Опорная система име-
ет пространство состояний
{ NizyxizyxiE iii ,1,11,11 )()()(
0 == ;
}yyMjzyjxzyjx jjj 1,0,,1,11,11 )()()( = ,
где 1 — вектор, все компоненты которого равны 1; )(1 i ( )(1 j ) — вектор, у
которого i-я (j-я) компонента равна 0, остальные — 1.
Времена пребывания опорной системы в состояниях (см. рисунок) оп-
ределяются формулами
min
1
1 yp
i
N
i
y ∧∧= ∧
=
γαθ , Nizyxip
izyxi i ,1,minmin11 )( =∧∧∧=αθ ;
Mjzyx j
jzyjx j ,1,minmin11 )( =∧∧∧= αθ ,
где ∧ — знак минимума;
i
N
i
xx ∧
=
=
1
min ; l
N
il
l
i xx ∧
≠
=
=
1
min ; i
M
j
yy ∧
=
=
1
min ; l
M
jl
l
j yy ∧
≠
=
=
1
min .
Состояния y0 , zyxi ii 11 )()( , zyjx jj )()(11 являются мгновенными.
А.И. Песчанский, Р.А. Приходько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 78
Определим вероятности переходов вложенной цепи Маркова (ВЦМ)
}0,{ 0 ≥nnξ полумарковского процесса (ПМП), описывающего функциони-
рование опорной системы.
1. Из состояний y0 , zyxi ii 11 )()( , zyjx jj )()(11 система с вероятно-
стью 1 переходит соответственно в состояния y1 , zyxi i 11 )( , zyjx j)(11 .
2. Из состояния y1 система переходит в одно из состояний )(0 ty − ,
ztyxi ii )(11 )()( − , zyjx jj )()( '11 в зависимости от значения ∧∧∧
=
γα p
i
N
i 1
miny∧ :
а) если min
1
yp
i
N
i
∧< ∧
=
αγ , тогда ∏
=
− =
N
i
p
i
ty
y tFtp
1
)(0
1 )()(ϕ , minyt < ;
б) если γαα ∧∧< ∧
≠
=
min
1
yp
l
N
il
l
p
i , тогда ∏
≠
=
− ×=
N
il
l
p
l
p
i
ztyxi
y ftfp
ii
1
)(11
1 )(
)()(
0,0),()( >>++× zxztxt ll ϕ , Niyt ,1,min =< ;
в) если γα ∧∧< ∧
=
jp
i
N
i
j yy min
1
, тогда ×+=∏
=
N
i
ji
p
i
zyjx
y yxfp
jj
1
'11
1 )(
)()(
)( zy j +×ϕ , jll yyy −=' , Ml ,1= , 0, >zxi , Mj ,1= .
TO
Временная диаграмма функционирования опорной системы
Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 79
3. Из состояния zyxi i 11 )( , Ni ,1= система переходит в состояния
)()(1)(1 )()( tztytxi ii −−− , ijzyxj
jj ≠,''1'1
)()( , ''1'1
)()( zyjx
jj , '0y :
a) если zyxip
i ∧∧< minminα , тогда )())((1)(1
11
)()(
)( tfp p
i
tztytxi
zyxi
ii
i =−−− , <t
zyxi ∧∧< minmin ;
б) если zyxx p
i
i
j ∧∧<= minmin α , тогда )()('1'1
11
)()(
)( j
p
i
xzyxj
zyxi
xtfp j
jj
i +=− ,
tx i =' , jll xxx −=' , Nl ,1= , jil ,≠ , jll xyy −=' , Ml ,1= , 0>t ;
в) если zxyy ip
ij ∧∧<= minmin α , тогда )()('1'1
11
)()(
)( j
p
i
yzyjx
zyxi
ytfp j
jj
i +=
− ,
tx i =' , jll yxx −=′ , Nl ,1= , il ≠ , jll yyy −=' , Ml ,1= , jl ≠ , 0>t ;
г) если minmin yxz ip
i ∧∧<α , тогда )('0
11 )( zFP p
i
y
zyxi i = , zyy ll −=' ,
Ml ,1= .
4. Из состояния zyjx j)(11 , Mj ,1= система может перейти в состоя-
ния ''1'1 )()( zyjx jj , ''1'1
)()( zyxi
ii , ''1'1
)()( zyix
ii , ji ≠ , '0y :
a) если zyx j
j ∧∧< minminα , тогда )()('1'1
11
)()(
)( tfp j
tzyjx
zyjx
jj
j =− , ∧< minxt
zy j ∧∧ min , txx ll −=′ , Nl ,1= , tyy ll −=′ , Ml ,1= , jl ≠ ;
б) если zyxx j
ji ∧∧<= minmin α , тогда )(''1'1
11
)()(
)( ij
zyxi
zyjx
xtfp
ii
j += , =′lx
il xx −= , Nl ,1= , il ≠ , ill xyy −=′ , Ml ,1= , jl ≠ , ixzz −=' , 0>t ;
в) если zxyy j
j
i ∧∧<= minmin α , тогда )(''1'1
11
)()(
)( ij
zyix
zyjx
ytfp
ii
j += , =′lx
il yx −= , Nl ,1= , ty j =′ , ill yyy −=′ , Ml ,1= , jil ,≠ , 0>t ;
г) если j
j yxz minmin ∧∧<α , тогда )('0
11 )( ztfp j
y
zyjx j += , ty j = , =′ly
zyl −= , Ml ,1= , jl ≠ , 0>t .
НАХОЖДЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ
Фазовое пространство системы E разобьем на два непересекающихся под-
множества +E (работоспособных состояний) и −E (отказовых состояний).
Найдем приближенные значения следующих стационарных характеристик
системы: +T , −T , Кг, CS , . Значения перечисленных характеристик найдем
по формулам [8–10].
∫
∫
+
+
−
+ ≈
E
E
ExPdx
dxxm
T
),()(
)()(
ρ
ρ
,
∫
∫
+
−
−
− ≈
E
E
ExPdx
dxxm
T
),()(
)()(
ρ
ρ
,
−+
+
+
=
TT
TКг , (1)
А.И. Песчанский, Р.А. Приходько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 80
∫
∫
≈
E
E
S
dxxm
dxxfxm
S
)()(
)()()(
ρ
ρ
,
∫
∫
+
≈
E
E
C
dxxm
dxxfxm
C
)()(
)()()(
ρ
ρ
, (2)
где )(•ρ — стационарное распределение ВЦМ }0,{ 0 ≥nnξ опорной систе-
мы; )(xm — средние времена пребывания в состояниях исходной системы;
),( −ExP — вероятности переходов ВЦМ }0,{ ≥nnξ исходной системы из
работоспособных состояний в отказовые; )(xf S ( )(xfC ) — функции, опре-
деляющие доход (затраты) в каждом состоянии.
Начнем с нахождения стационарного распределения ВЦМ }0,{ 0 ≥nnξ .
Система интегральных уравнений для стационарных плотностей )(•ρ имеет
вид
( ) +++++= ∑ ∫
=
=
∞N
x
j
ji
j
p
j
ii
i
dttztytxjxtfzyxi
0
1 0
)()()()( ))((1)(1)()11( ρρ
( ) ++++++∑ ∫
=
∞M
j
ji
jj dttztyjtxytf
1 0
)()( )()(1)(1)( ρ
,,1,))(1()()()(
0 1
∫ ∏
∞
≠
=
=++++ Nidttytzxtftf
N
il
l
l
p
l
p
i ρϕ
( ) +++++= ∑ ∫
=
=
∞M
y
l
lj
ll
jj
j
dttztyltxytfzxjx
0
1 0
)()()()( )()(1)(1)()11( ρρ
( ) ++++++∑ ∫
=
∞N
i
ji
i
p
i dttztytxitxf
1 0
)()( ))((1)(1)( ρ
∫ ∏
∞
=
=++++
0
)(
1
,,1,))(1()()( Mjdttyxtfzt j
N
i
i
p
i ρϕ
++= ∫ ∏
∞
=0 1
))(1()()()0( dttytFty
N
i
p
i ρϕρ
( ) ++++∑ ∫∫
=
∞
+
N
i
i
i
R
i dtttytxitFxd
iN1 0
)()( )(1)(1)(
,
ρ
( ) ,)(1)(1)(
1 0
)(∑ ∫ ∫
=
∞
+
++++
M
j R
j
jj
N
xdttyjtxdtytf ρ
( ) ( ),1111),1()0( )()()( zyxizyxiyy iii ρρρρ ==
Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 81
( ) ( ),1111 )()()( zyjxzyjx jjj ρρ =
⎢
⎢
⎣
⎡
++∑ ∫ ∫∫∫
=
∞
+++
N
i R
i
R
i
R
dzzyxiydxdydy
MiNM 1 0
)()( )11()0(2
,
ρρ
1)11(
1 0
)()(
,
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
+∑ ∫ ∫∫
=
∞
+ +
M
j R
i
R
j
N jM
dzzxjxydxd ρ , (3)
где NR+ ( MR+ ) — )(MN -мерные ортанты векторов с неотрицательными
компонентами; },1,0,{ )(, NkxxR k
iiN =≥=+ , 0{ )(, ≥=+
jjM yR , },1 Ml = .
Покажем, что решения системы (3) определяются формулами
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+Φ+=
==
=+=
==
=+=
==
−
==
∞
=
=
∞
=
≠
=
∞
≠
==
∑∑∫∏
∏
∫∏∏
∫ ∏∏
,1)()(1
2
1
),()1()0(
,,1,)(),()(
)11()11(
,,1,)(),()()(
)11()11(
1
11 01
0
1
0
0 11
0
)()()(
0 11
0
)()()(
M
j j
N
i
p
i
M
l
l
M
j
jj
N
i
i
p
i
M
jl
l
ll
jjj
N
il
l
l
p
l
p
i
M
j
jj
iii
M
MdttthM
yFyy
MidttzxtvyF
zyjxzyjx
NidttzxtvthyF
zyxizyxi
α
γαρ
ρρρ
ϕρ
ρρ
ϕρ
ρρ
(4)
где )(1)( tFtF jj −= ; )(1)( tt Φ−=Φ ; )(th p
i — плотность функции восста-
новления ∑
∞
=
=
1
)(* )()(
n
np
i
p
i tFtH рекуррентного потока, порожденного СВ
p
iα ; ),( i
p
i xtv — плотность функции распределения прямого остаточного
времени восстановления.
В дальнейших преобразованиях будем использовать следующие тожде-
ства:
+++ ∏∏
==
M
j
jji
N
i
p
i ytFtxf
11
)()(
++−−++−+ ∏ ∏∑∫
≠
= ==
N
il
l
M
j
jjl
p
l
N
i
i
p
i
t
p
i dytFtxvxtfh
1 11 0
)(),()()( ττττττ
А.И. Песчанский, Р.А. Приходько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 82
=+−−++−+ ∏ ∏∑∫
=
≠
==
N
i
M
jl
l
lli
p
i
M
j
t
jj dytFtxvytf
1 11 0
)(),()( τττττ
∏ ∏
= =
≥=
N
i
M
j
ijjji
p
i txyyFxtv
1 1
0,,),(),( , (5)
++∏ ∏
= =
N
i
M
j
jj
p
i ytFtF
1 1
)()(
++−−+ ∏ ∏∑∫
≠
= ==
N
il
l
M
j
jj
p
l
N
i
p
i
t
p
i dyFtVFth
1 11 0
)(),()()( ττττττ
∏∏ ∏∑∫
==
≠
==
≥=+−++
M
j
jjj
N
i
M
jl
l
ll
p
i
M
j
t
jj tyyFdyFtVyf
11 11 0
0,),()(),()( τττττ , (6)
+−−+ ∏ ∏∫∑∫∏ ∏∫
≠
= =
∞
== =
∞ N
il
l
M
j
j
p
l
N
i
i
t
p
i
N
i
M
j t
j
p
i dssFdtVFthdssFtF
1 11 01 1
)(),()()()()(
τ
τττττ
∏∏ ∏∫∑∫
==
≠
=
∞
=
≥=−+
M
j
j
N
i
M
jl
l
l
p
i
M
j
t
j tMdssFdtVF
11 11 0
0,)(),()( αττττ
τ
, (7)
+∏ ∏∫∏
≠
= =
∞
=
N
il
l
M
j t
j
p
l
N
i
p
i dssFtFtf
1 11
)()()(
+−−−+ ∏ ∏∫∑∑∫
≠
= =
∞
=
≠
=
N
ilm
m
M
j
j
p
m
N
i
N
il
l
p
i
p
l
t
p
l dssFdtVtvFth
,
1 11 1 0
)(),(),()()(
τ
τττττττ
+−−+ ∏ ∏∫∑∫
≠
= =
∞
=
N
im
m
M
j
j
p
m
N
i
p
i
t
p
i dssFdtVfth
1 11 0
)(),()()(
τ
τττττ
=−−+ ∏ ∏∫∑∑∫
≠
=
≠
=
∞
= =
N
il
l
M
jl
l
l
p
l
N
i
M
j
j
t
p
i dssFdtVFtv
1 11 1 0
)(),()(),(
τ
ττττττ
∏∑
==
≥=
M
j
j
N
i
p
i tMth
11
0,)( α , (8)
где ∫
∞
=
z
p
i
p
i dsstvztV ),(),( — нестационарный коэффициент оперативной
готовности [1] i-й ТЯ, т.е. вероятность того, что ячейка, работающая к
моменту t, не откажет на промежутке ],( ztt + .
Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 83
Тождество (5) следует из формулы интегрирования по частям
определенного интеграла с учетом того, что ×=−+ )(),( τττ
τ
p
ii
p
i htxv
d
d
)( i
p
i xtf +−× τ , )(),0( txftxv i
p
ii
p
i +=+ . Действительно,
++−−++− ∏ ∏∑∫
≠
= ==
ττττττ dytFtxvxtfh
N
il
l
M
j
jjl
p
l
N
i
i
p
i
t
p
i
1 11 0
)(),()()(
=+−+−+−+ ∏ ∏∑∫
=
≠
==
τττττ dytFxtvytf
N
i
M
jl
l
lli
p
i
M
j
j
t
j
1 11 0
)(),()(
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+−= ∫ ∏ ∏
= =
ττττ
τ
dytFxtv
d
dt N
i
M
j
jji
p
i
0 1 1
)(),(
∏ ∏∏ ∏
= == =
++−=
N
i
M
j
jji
p
i
N
i
M
j
jji
p
i ytFtxfyFxtv
1 11 1
)()()(),( .
Если проинтегрировать обе части равенства (5) по ортанту NR+ , то по-
лучим тождество (6). Интегрирование обеих частей тождества (6) по ортан-
ту MR+ приводит к тождеству (7).
Если в тождестве (5) последовательно положить 0=ix , Ni ,1= , про-
интегрировать обе части полученных тождеств соответственно по ортанту
iNR ,
+ и MR+ и почленно сложить полученные равенства, то получим тожде-
ство (8).
Непосредственная подстановка с учетом тождества (5) показывает, что
формулы (4) определяют решение первых N уравнений системы (3).
++++++∑ ∫ ∏ ∫ ∏
=
=
∞
=
∞
≠
=
N
x
j
M
k
N
jl
l
l
p
l
p
ikkj
p
j
i
dstzsxtsvshdtytFxtf
0
1 0 1 0 1
0 )(),()()()( ϕρ
+++++++ ∑ ∫ ∫∏∏
=
∞ ∞
=
=
≠
=
M
j
N
x
l
l
p
l
M
jk
k
kkjj dstzstxsvdtytFytf
i
1 0 0
0
11
0 )(),()()( ϕρ
=++++ ∫ ∏∏
∞
=
≠
=0 11
0 )()()()( dtytFtzxtftf
M
j
jj
N
il
l
l
p
l
p
i ϕρ
+
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+++−−+= ∑∫ ∏∏∫
=
= =
≠
=
∞ N
x
j
M
k
kkj
p
j
N
jl
l
l
p
l
p
j
i
dtytFxtfxttvthz
0
1 0 110
0 )()(),()()(
τ
τττϕρ
А.И. Песчанский, Р.А. Приходько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 84
++++−+∑∫ ∏∏
=
≠
=
=
=
M
j
M
jk
k
kkjj
N
x
l
l
p
l dtytFytftxtv
i
1 0 1
0
1
)()(),(
τ
τ
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
+++ ∏∏
=
=
=
ττ dyFxtf
M
k
kj
N
x
l
l
p
l
i
1
0
1
)()(
)11()(),()()( )()(
1 0 1
0 zyxidzxvhyF ii
M
k
N
il
l
l
p
l
p
ikk ρττϕττρ =+= ∏ ∫ ∏
=
∞
≠
=
.
Аналогично можно убедиться, что формулы (4) определяют решения
остальных уравнений системы (3). Значения постоянной 0ρ находятся из
условия нормировки.
Найдем приближенные значения стационарных характеристик рас-
сматриваемой системы по формулам (1) и (2). В подмножество работоспо-
собных состояний +E попадают эргодические состояния опорной системы
y1 , zyxi i 11 )( , Ni ,1= ; zyjx jj )()(11 , zyjx j)(11 , Mj ,1= , а в подмноже-
ство отказовых состояний −E — эргодические состояния y0 , zyxi ii 11 )()( ,
Ni ,1= . Средние времена пребывания реальной системы в эргодических
состояниях опорной системы определяются формулами
∫ ∏
=
Φ=
min
0 1
)()()1(
y N
i
p
i dttFtym , ∫
∧∧
=
zyx
p
i
i
i
dttFzyxim
minmin
0
)( )()11( ,
∫
∧∧
=
zyx
j
jj
j
dssGzyjxm
minmin
0
)()( )()11( , ∫
∧∧
=
zyx
j
j
j
dttFzyjxm
minmin
0
)( )()11( ,
dttym
y
)()0(
min
0
∫ Ψ= , ∫=
z
p
i
ii dssGzyxim
0
)()( )()11( .
Вычислим функционал в числителе первой дроби формул (1), исполь-
зуя тождество (7).
+= ∫∫
++ MRE
ydymydxxm )1()1()()( ρρ
++ ∫∫∑ ∫
++
=
∞
MiN R
ii
R
i
N
i
ydzyximzyxixddz )11()11( )()()(
1 0 ,
ρ
++ ∫∫∑ ∫
++
=
∞
jMN R
jjj
R
M
j
ydzyjxmzyjxxddz
,
)()()(
1 0
)11()11(ρ
Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 85
=+ ∫∫∑ ∫
++
=
∞
jMN R
jjjjj
R
M
j
ydzyjxmzyjxxddz
,
)()()()()(
1 0
)11()11(ρ
+
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Φ= ∏∫∏∫
=
∞
=
∞ M
j t
jjj
N
i
p
i dyyFdttFt
110
0 )()()(ρ
++Φ+ ∫ ∏∏∫∑ ∫
∞
≠
==
∞
=
∞
0 111 0
)(),()()()( dttsstVthdyyFdssF
N
il
l
p
l
p
i
M
j
j
s
jj
N
i
p
i
( ) =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
+Φ++ ∫∏∏∫∑ ∫
∞
=
≠
=
∞
=
∞
0 111 0
)(),()()()( dttsstVydyFdssGsF
N
i
p
i
M
jl
l s
lll
M
j
jj
+
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ= ∏∫∏∫
=
∞
=
∞ M
j
jjj
N
i
p
i dyyFdF
110
0 )()()(
τ
τττρ
+−−+ ∫ ∏ ∫∏∑
=
∞
≠
==
τ
ττ
0 111
)()(),()(
M
j
j
s
jj
p
i
N
il
l
p
l
p
i
N
i
dyyFdssFssVsh
+
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−+ ∫ ∏ ∫∏∑
≠
=
∞
==
τ
τ
0 111
)()(),(
M
jl
l s
lll
N
i
j
p
i
M
j
dyyFdssFssV
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
+Φ+ ∫∏∑ ∏∫∫
∞
==
≠
=
∞∞
0 11 10
)(),()()( dttsstVdyyFdssG
N
i
p
i
M
j
M
jl
l s
lllj
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+Φ+= ∫∏∑ ∏∫∫∏
∞
==
≠
=
∞∞
= 0 11 101
0 )(),()()( dttsstVdyyFdssGMM
N
i
p
i
M
j
M
jl
l s
lllj
M
j
jαγρ .
Если учесть, что семейство функций
ε
ε
β j
j
M
sG )(
является δ -образным [11],
то при 0→ε
∏∫∏∏∫∫
≠
=
∞
=
≠
=
∞∞
+Φ
M
jl
l
lj
N
i
p
i
M
jl
l s
lllj MMMdttsstVdyyFdssG
10 110
~)(),()()( αβγ εε .
А.И. Песчанский, Р.А. Приходько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 86
Поэтому
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≈ ∑∏∫
==+
M
j j
j
M
l
l
E M
M
MMdzzm
11
0 1)()(
α
β
αγρρ .
Вычислим функционал в знаменателях дробей формул (1). Для этого
понадобятся вероятности перехода реальной системы в отказовые состояния
из эргодических состояний опорной системы, входящих в подмножество
работоспособных состояний. Предположим, что число ТЯ, соединенных па-
раллельно, больше двух. Тогда из любого эргодического работоспособного
состояния система попадает в отказовое за один шаг либо после отказа лю-
бой ТЯ из последовательной цепочки, либо в результате ТО системы. К вы-
писанным ранее вероятностям перехода добавим
)(),11( )()(
ij
jj xGEzyjxP =− , zyxx j
ji
i ∧∧∧< βminmin ,
)(),11( )()( zGEzyjxP j
jj =− , Mjyxz j
j ,1,minmin =∧∧< β .
В следующих преобразованиях используются обозначения =jix ,
min
l
N
jil
l
x∧
≠
=
=
,
1
, }0,,1,0,{ ),(,, ===≥=+ jik
jijiN xxNkxxR и тождества (7), (8).
=∫
+
−
E
ExPdx ),()(1
0
ρ
ρ
+
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ+= ∫ ∏∑∏∫ ∏
≠
====
+
min
0 1111
)()()()()()(
y N
il
l
p
l
N
i
p
i
N
i
p
i
R
M
j
jj dtttFtfdttFtydyF
M
ϕ
+++ ∫∫ ∏∫ ∫ ∏∑∫
∧∧∞
≠
===
∞
+ +
zyx
p
i
N
il
l
l
p
l
p
i
R R
M
j
jj
i
N
i
i
iN M
dssfdttzxtvthydyFxddz
minmin
, 00 11
)(
1 0
)()(),()()( ϕ
∑ ∫∫ ∏∫ ∫ ∏
=
∧∞
≠
==
+++
+ +
N
i
yx
p
i
N
il
l
l
p
l
p
i
R R
M
j
jj
i
i
iN M
dzzFtzdtxtvthydyFxd
1 00 11
)(
minmin
,
)()(),()()( ϕ
×++ ∫ ∏∫ ∫ ∏∑∑ ∫
∞
≠
===
≠
=
∞
+ + 0
,
11
),(
1 1 0
)(),()()(
,,
dttzxtvthydyFxddz
N
jil
l
l
p
l
p
i
R R
M
j
jj
ji
N
i
N
ij
j jiN M
ϕ
+× ∫
∧∧ zyx
jj
p
jj
p
i
ji
dxxtvxF
min
,
min
0
),()(
×++ ∫∏∫ ∫ ∏∑∑∫
∞
≠
=
≠
== =
∞
+ + 0 1
)(
1
)(
1 1 0
)(),()(
, ,
dttzxtvydyFxddz
N
il
l
l
p
l
R R
j
M
jl
l
ll
i
M
j
N
i iN jM
ϕ
Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 87
( ) ++× ∫
∧∧ zyx
iijiji
p
i
ji
dxxGxFxtv
minmin
0
)()(),(
( ) =+++ ∫∑ ∫∏∫ ∫ ∏
∧
=
∞
=
≠
=
+ +
j
N jM
yx
jj
M
j
N
i
i
p
i
R R
j
M
jl
l
ll dzzGzFtzdtxtvydyFxd
minmin
, 01 0 1
)(
1
)()()(),()( ϕ
+
⎢
⎢
⎣
⎡
= ∫ ∏ ∫∏
∞
=
∞
=0 11
)()()( j
M
j
jj
N
i
p
i dyyFdFt
τ
ττϕ
∑∫ ∏∫∏
= =
∞
≠
=
+−−+
N
i
M
j s
jjj
N
il
l
p
i
p
l
p
i dyyFsFssVsh
1 0 11
)()(),()(
τ
ττ
∑ ∫ ∏∫∏
=
≠
=
∞
=
+
⎥
⎥
⎦
⎤
−+
M
j
M
jl
l s
lll
N
i
p
ij ddyyFdsssVsF
1 0 11
)(),()(
τ
ττ
+
⎢
⎢
⎣
⎡
Φ+ ∏∫∏∑∫
=
∞
≠
==
∞ M
j
jjj
N
il
l
p
l
N
i
p
i dyyFFf
1110
)()()()(
τ
τττ
∑ ∏∫∫ ∏
= =
∞
≠
=
+−−+
N
i
M
j s
jjj
N
il
l
p
l
p
i
p
i dyyFdsssVsfsh
1 10 1
)(),()()(
τ
ττ
+−−−+∑∑ ∫ ∏∫∏
=
≠
= =
∞
≠
=
N
i
N
ij
j
M
j s
jjj
N
jil
l
p
l
p
i
p
i
p
i dyyFssVssvsFsh
1 1 0 1
,
1
)(),(),()()(
τ
τττ
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−−+ ∫ ∏ ∫∏∑∑
≠
=
∞
≠
== =
τττ
τ
ddyyFdsssVsFssv
M
jl
l s
lll
N
il
l
p
lj
p
i
M
j
N
i 0 111 1
)(),()(),(
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++Φ
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ ∏∑∫∏∫∑ ∫
≠
==
∞
≠
=
∞
=
∞
dttsstVstvdyyFdssG
N
il
l
p
l
N
i
p
i
N
jl
l
l
s
ll
M
j
j )(),(),()()(
11 011 0
∑ ∫∑ ∫∏∫∏
=
∞
=
∞
=
∞
=
×+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
++
M
j
j
N
i
p
i
M
j
j
N
i
p
i dssGdhMdttsstV
1 01 010 1
)()()(1)(),( ττταϕ
~)(),()(),(),()(
0 11 0 11
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++Φ× ∫∏∑∫ ∏∏∫
∞
==
∞
≠
=
≠
=
∞
dttsstVdttsstVstvdyyF
N
l
p
l
N
i
N
il
l
p
l
p
i
M
jl
l s
lll ϕ
А.И. Песчанский, Р.А. Приходько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 88
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ+ ∑ ∫∏∑∑∫∏
=
∞
≠
===
∞
=
N
i
p
i
M
jl
l
l
M
j
j
N
i
p
i
M
j
j dttthMMdhM
1 0111 01
)()(1)()(1~ αβτττα
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ+= ∑∑∫∏
==
∞
=
M
j j
j
N
i
p
i
M
j
j M
M
dttthM
11 01
1)()(1
α
β
α .
Следовательно, приближенное значение средней наработки системы на
отказ находится по формуле
∑∫
=
∞+
Φ+
≈
N
i
p
i dttth
MT
1 0
)()(1
γ .
Если в системе только две ТЯ соединены параллельно (М=2), то отказ
системы может произойти в результате последовательного отказа этих ТЯ.
В этом случае при вычислении значения функционала ∫
+
−E
ExPdx ),()(ρ
нужно добавить слагаемое
( ) ( )21
0 10
2121 ~)(),()()()()( ββγ MMMdttsstVdssGsFsFsG
N
i
p
i ++Φ+ ∫∏∫
∞
=
∞
.
Здесь ≈+T
( )21
21
2
101
2
1
1)()(1
1
ββ
αα
γ
α
β
α
β
γ
MM
MM
M
M
M
dttth
M
M
M
j j
jp
i
N
i
j j
j
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∑∫∑
∑
=
∞
=
=
.
При нахождении среднего стационарного времени восстановления сис-
темы следует учесть средние времена пребывания реальной системы −T в
эргодических отказовых состояниях y0 , zyxi ii 11 )()( , которые определя-
ются формулами
ζMym =)0( , NidssGzyxim
z
p
i
ii ,1,)()11(
0
)()( == ∫ ,
+= ∫∫
+− MRE
ydyymdxxm )0()0()()( ρρ
=+ ∫ ∫∑ ∫
+ +
=
∞
iN MR
ii
R
iii
N
i
ydzyximzyxixddz
,
)11()11( )()()()()(
1 0
ρ
∏∫
=
∞
+=
M
j
jjj dxxFM
1 0
0 )(ζρ
Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 89
=++ ∫ ∫∏∫ ∫ ∏∑∫
∞
≠
===
∞
+ + 0 011
)(
1 0
0 )()(),()()(
,
z
p
i
N
il
l
l
p
l
p
i
R R
M
j
jj
i
N
i
dssGdttzxtvthydyFxddz
iN M
ϕρ
∫ ∏ ∫∑ ∫∏
∞
=
∞
=
∞
=
+Φ+=
0 11 0
0
1
0 ~)()()()(
M
j s
jjj
p
i
N
i
p
i
M
j
j dyyFdtstthdssGMM ραζρ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ+ ∫∑∏
∞
== 011
0 )()(~ dttthMMM p
i
N
i
p
i
M
j
j βζαρ .
Следовательно,
3,
1)()(1
)()(
101
01
_ ≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ+
Φ+
≈
∑∫∑
∫∑
=
∞
=
∞
= M
M
M
dttth
dttthMM
T
M
j j
jp
i
N
i
p
i
N
i
p
i
α
β
βζ
,
( )
2,
1)()(1
)()(
21
2111 0
01 =
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ+
Φ+
≈
∑∑∫
∫∑
==
∞
∞
=
− M
MM
MM
M
M
M
dttth
dttthMM
T
M
j j
j
N
i
p
i
p
i
N
i
p
i
ββ
αα
γ
α
β
βζ
.
Приближенное значение стационарного коэффициента готовности на-
ходится по формуле
∫∑∑
∑
∞
==
=
−+
+
Φ++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
≈
+
=
011
1
)()(1
1
г
dttthMM
M
M
M
M
M
M
TT
T
К
p
i
N
i
p
i
M
j j
j
M
j j
j
βζ
α
β
γ
α
β
γ
. (9)
Определим экономические показатели функционирования системы на
бесконечном интервале времени по формулам (2). Введем следующие обо-
значения: 0c — прибыль за единицу времени исправного функционирова-
ния системы; ),1( Nic p
i = , ),1( Mjc j = — затраты за единицу времени
проведения аварийного восстановления i-й последовательной и j-й парал-
лельной ТЯ; ТОc — затраты за единицу времени проведения ТО системы.
Тогда функции дохода )(ef S и затрат )(efC имеют вид
{ }
{ }
{ }
{ }⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∈−
=∈−
=∈−
==∈
=
.0,
,,1,11,
,,1,11,
,,1,,1,11,11,1,
)(
ТО
)()(
)()(
0
)()(
0
yec
Nizyxiec
Mjzyjxecc
MjNizyjxzyxiyec
ef
iip
i
jj
j
ji
S
А.И. Песчанский, Р.А. Приходько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 90
{ }
{ }
{ }
{ }⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∈
=∈
=∈
==∈
=
.0,
,,1,11,
,,1,11,
,,1,,1,11,11,1,0
)(
ТО
)()(
)()(
)()(
yec
Nizyxiec
Mjzyjxec
MjNizyjxzyxiye
ef
iip
i
jj
j
ji
С
Приближенные значения средней прибыли S за единицу календарного
времени и средних затрат C за единицу времени исправного функциониро-
вания системы определяются формулами
∫∑∑
∫∑∑
∞
==
∞
==
Φ++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Φ−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
≈
011
01
ТО
1
00
)()(1
)()()(
dttthMM
M
M
M
dttthMcMc
M
M
cccM
S
p
i
N
i
p
i
M
j j
j
p
i
N
i
p
i
p
i
M
j j
j
j
βζ
α
β
γ
βζ
α
β
γ
, (10)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Φ++
≈
∑
∫∑∑
=
∞
==
M
j j
j
p
i
N
i
p
i
p
i
M
j j
j
j
M
M
M
dttthMcMc
M
M
cM
C
1
01
ТО
1
1
)()(
α
β
γ
βζ
α
β
γ
. (11)
ОПТИМИЗАЦИЯ СРОКОВ ПРОВЕДЕНИЯ ТО СИСТЕМЫ
Определим оптимальные моменты проведения ТО последовательной цепоч-
ки ТЯ системы для достижения экстремальных значений характеристик Кг,
CS , . В работе [3] доказано, что локальные экстремумы дробно-линейного
функционала достигаются на вырожденных функциях распределения. Если
⎩
⎨
⎧
∞+∈
∈
=Φ
),(,0
],0[,1
)(
τ
τ
t
t
t , то показатели качества функционирования системы
Кг, CS , зависят от параметра τ .
)(1
1
)(г
11
1
τβζ
α
β
τ
α
β
τ
τ
p
i
N
i
p
i
M
j j
j
M
j j
j
HMM
M
M
M
M
К
∑∑
∑
==
=
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
≈ ,
)(1
)()(
)(
11
1
ТО
1
00
τβζ
α
β
τ
τβζ
α
β
τ
τ
p
i
N
i
p
i
M
j j
j
p
i
N
i
p
i
p
i
M
j j
j
j
HMM
M
M
HMcMc
M
M
ccc
S
∑∑
∑∑
==
==
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
≈ ,
Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 91
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
≈
∑
∑∑
=
==
M
j j
j
p
i
N
i
p
i
p
i
M
j j
j
j
M
M
HMcMc
M
M
c
C
1
1
ТО
1
1
)(
)(
α
β
τ
τβζ
α
β
τ
τ .
Оптимальные моменты времени Kτ , Sτ , Cτ проведения ТО последо-
вательной части системы, при которых критерии качества Кг, CS , дости-
гают экстремальных значений, находятся из уравнений
( ) ζτττβ MHhM p
i
p
i
N
i
p
i =−∑
=
)()(
1
, (12)
+−+− ∑∑∑
== =
))(())(()( ТО
11 1
cchMMccHhMM p
i
p
i
N
i
p
i
p
j
p
i
p
j
p
i
N
i
N
j
p
j
p
i τβζττββ
( ) ( ) =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−++−+ ∑∑
==
M
j j
jp
ij
p
i
p
i
p
i
N
i
p
i M
M
cccccHhM
1
00
1
)()(
α
β
τττβ
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−++= ∑
=
M
j j
j
j M
M
cccccM
1
ТО0ТО0 α
β
ζ , (13)
( ) ζτττβ McHhMс p
i
p
i
N
i
p
i
p
i ТО
1
)()( =−∑
=
. (14)
В случае существования единственных корней этих уравнений опти-
мальные показатели качества функционирования системы определяются
формулами
)(1
1
г
11
1
max
K
p
i
N
i
p
i
M
j j
j
M
j j
j
hM
M
M
M
M
К
τβ
α
β
α
β
∑∑
∑
==
=
++
+
≈ ,
)(1
)()(
11
11
00
max
S
p
i
N
i
p
i
M
j j
j
S
p
i
N
i
p
i
p
i
M
j j
j
j
hM
M
M
hMc
M
M
ccc
S
τβ
α
β
τβ
α
β
∑∑
∑∑
==
==
++
−−+
≈ ,
∑
∑∑
=
==
+
+
≈ M
j j
j
C
p
i
N
i
p
i
p
i
M
j j
j
j
M
M
hMc
M
M
c
C
1
11
min
1
)(
α
β
τβ
α
β
.
А.И. Песчанский, Р.А. Приходько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 92
Если уравнения (12)–(14) имеют несколько корней, оптимальные зна-
чения τ находятся прямой подстановкой каждого их них в формулу для
случая единственного корня с последующим отбором лучшего из них, при-
чем необходимо учесть значение показателя при ∞=τ .
∑∑
∑
==
=
++
+
≈∞
N
i
p
i
p
i
M
j j
j
M
j j
j
M
M
M
M
M
M
К
11
1
1
1
)(г
α
β
α
β
α
β
,
∑∑
∑∑
==
==
++
+−+
≈∞
N
i
p
i
p
i
M
j j
j
N
i
p
i
p
ip
i
M
j j
j
j
M
M
M
M
M
M
c
M
M
ccc
S
11
11
00
1
)(
)(
α
β
α
β
α
β
α
β
,
∑
∑∑
=
==
+
+
≈∞
M
j j
j
N
i
p
i
p
ip
i
M
j j
j
j
M
M
M
M
c
M
M
c
C
1
11
1
)(
α
β
α
β
α
β
.
Отметим, что в случае отсутствия в системе параллельно соединенных
ТЯ ( 0=M ) полученные формулы совпадают с соответствующими
результатами работы [3], когда ТО проводится при достижении наработки
системы уровня τ .
В заключение приведем пример применения полученных результатов
(табл. 1, 2). Системы состоят из пяти последовательно и трех параллельно
соединенных ТЯ. Наработки на отказ ТЯ и времена их восстановления име-
ют распределение Эрланга.
!)1(
)(
1
−
=
−−
i
tkk
ip
i k
et
tf
iii λλ
,
)!1(
)(
1
−
=
−−
i
tmmm
ip
i m
ettg
iiiµ , 5,1=i ;
)!1(
)(
1
−
=
−−
i
tkk
i
i k
et
tf
iii λλ
,
)!1(
)(
1
−
=
−−
i
tmmm
i
i m
et
tg
iiiµ
, 8,6=i ;
)!1(
)(
TO
1
TO
TOTOTO
−
=
−−
m
et
t
tmmmµ
ψ , 0≥t .
Таким образом, построена математическая модель функционирования
системы последовательно-параллельной структуры с учетом проведения
календарного частичного ТО ее последовательной части, найдены основные
стационарные характеристики надежности системы и оптимальные сроки
ТО.
Полученные результаты могут быть использованы в области машино- и
приборостроения при эксплуатации автоматизированных производственных
систем.
Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 93
Т а б л и ц а 1 . Исходные данные системы
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 ТО
ik 4 3 4 2 3 4 2 3 -
1, −чiλ 0,09 0,05 0,06 0,03 0,06 0,03 0,04 0,05 -
чM i ,α 44,44 60,00 66,67 66,67 50,00 133,33 50,00 60,00 -
im 3 4 2 3 4 2 4 2 4
1, −чiµ 1,5 1,3 1,2 1,6 1,4 1,5 1,3 1,6 5,0
чM i ,β 2,00 3,08 1,67 1,88 2,86 1,33 3,08 1,25 0,80
чеyci /.., 3,2 3,0 3,2 3,1 3,1 3,2 3,4 3,1 1,1
чеyc /..,0 10
Т а б л и ц а 2 . Результаты расчетов
Кτ )(г КК τ )(г ∞К Sτ )( SS τ )(∞S Сτ )( СC τ )(∞C
15,16 0,92 0,84 11,34 9,92 7,68 7,96 0,39 0,87
В дальнейшем предполагается разработка моделей функционирования
автоматизированных производственных систем с различными стратегиями
проведения планового ТО и нахождение оптимальных моментов времени ее
проведения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. — М.: Сов. радио,
1969. — 488 с.
2. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математи-
ческий подход. — М.: Радио и связь, 1988. — 392 с.
3. Барзилович Е.Ю., Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы теории
обслуживания сложных систем. — М.: Сов. радио, 1971. — 272 с.
4. Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надежности систем (теория и практика).
— М.: Европейский центр по качеству, 2002. — 470 с.
5. Cho D.I., Parlar M. A survey of maintenance models for multi-unit systems // Eur. J.
operational research. — 1991. — 51. — P. 1–23.
6. Dekker R., Wildeman R.A. A review of multi-component maintanence models with
economic dependence // Math. methods of operational research. — 1997. —
45. — P. 411–435.
7. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах
надежности систем. — Киев: Наук. думка, 1982. — 236 с.
8. Полумарковские модели восстанавливаемых систем и систем массового обслу-
живания / А.Н. Корлат, А.Н. Кузнецов, М.И. Новиков, А.Ф. Турбин. — Ки-
шинев: Штиинца, 1991. — 209 с.
9. Шуренков В.М. Эргодические процессы Маркова. — М.: Наука, 1989. — 336 с.
10. Зорич В.А. Математический анализ: Учебник. Ч. II. — М.: Наука, 1984. —
640 с.
Поступила 02.03.2005
|
| id | journaliasakpiua-article-165556 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:56Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/64/16b5837fe4ffff424b43e4f8e9ac1964.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1655562019-04-25T16:24:40Z Periodicity optimization of particular calendar maintenance of consecutive–parallel system Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания системы последовательно-параллельной структуры Оптимізація періодичності часткового календарного технічного обслуговування системи послідовно-паралельної структури Peschansky, A. I. Prikhodko, R. A. The mathematical model is constructed and the approximated values of reliability stationary characteristics of consistently-parallel system with partial calendar maintenance service of its consecutive part are found. Optimum terms of maintenance service realization are determined. Построена математическая модель и найдены приближенные значения стационарных характеристик надежности последовательно-параллельной системы с частичным календарным техническим обслуживанием её последовательной части. Определены оптимальные сроки проведения технического обслуживания. Побудовано математичну модель та знайдено приблизні значення стаціонарних характеристик надійности послідовно-паралельної системи з частковим календарним технічним обслуговуванням її послідовної частини. Визначено оптимальні терміни проведення технічного обслуговування. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-04-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165556 System research and information technologies; No. 4 (2005); 75-93 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2005); 75-93 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2005); 75-93 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165556/164758 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Peschansky, A. I. Prikhodko, R. A. Оптимізація періодичності часткового календарного технічного обслуговування системи послідовно-паралельної структури |
| title | Оптимізація періодичності часткового календарного технічного обслуговування системи послідовно-паралельної структури |
| title_alt | Periodicity optimization of particular calendar maintenance of consecutive–parallel system Оптимизация периодичности частичного календарного технического обслуживания системы последовательно-параллельной структуры |
| title_full | Оптимізація періодичності часткового календарного технічного обслуговування системи послідовно-паралельної структури |
| title_fullStr | Оптимізація періодичності часткового календарного технічного обслуговування системи послідовно-паралельної структури |
| title_full_unstemmed | Оптимізація періодичності часткового календарного технічного обслуговування системи послідовно-паралельної структури |
| title_short | Оптимізація періодичності часткового календарного технічного обслуговування системи послідовно-паралельної структури |
| title_sort | оптимізація періодичності часткового календарного технічного обслуговування системи послідовно-паралельної структури |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165556 |
| work_keys_str_mv | AT peschanskyai periodicityoptimizationofparticularcalendarmaintenanceofconsecutiveparallelsystem AT prikhodkora periodicityoptimizationofparticularcalendarmaintenanceofconsecutiveparallelsystem AT peschanskyai optimizaciâperiodičnostičastičnogokalendarnogotehničeskogoobsluživaniâsistemyposledovatelʹnoparallelʹnojstruktury AT prikhodkora optimizaciâperiodičnostičastičnogokalendarnogotehničeskogoobsluživaniâsistemyposledovatelʹnoparallelʹnojstruktury AT peschanskyai optimízacíâperíodičnostíčastkovogokalendarnogotehníčnogoobslugovuvannâsistemiposlídovnoparalelʹnoístrukturi AT prikhodkora optimízacíâperíodičnostíčastkovogokalendarnogotehníčnogoobslugovuvannâsistemiposlídovnoparalelʹnoístrukturi |