Знаходження періодичного розв’язку рівняння Матьє із запізненням
The work suggests an approach for finding periodic solution of the nonlinear delayed differential Mathieu equations applied in the theory of oscillatory processes. The application of the numerical-analytical method to finding periodic solutions of this equation is known. This idea includes reducing...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/168448 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302386737250304 |
|---|---|
| author | Bokhonov, Yuriy Ye. |
| author_facet | Bokhonov, Yuriy Ye. |
| author_sort | Bokhonov, Yuriy Ye. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-08-07T15:26:27Z |
| description | The work suggests an approach for finding periodic solution of the nonlinear delayed differential Mathieu equations applied in the theory of oscillatory processes. The application of the numerical-analytical method to finding periodic solutions of this equation is known. This idea includes reducing the equation to the system of the first order. The article proposes the use of the previously developed method for finding periodic solutions of nonlinear second-order ordinary differential equations, also used for equations with delay, without being reduced to a system. In this case, the Green's function is constructed for a self-adjoint differential operator of the second derivative, defined on functions that satisfy periodic boundary conditions. The necessary and sufficient conditions for the existence of a periodic solution of the Mathieu equation are given. The solution itself is found by the method of successive approximations. The estimates for the method's rate of convergence were obtained. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.1.10 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ю.Є. Бохонов, 2019
128 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 1
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 517.94
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.1.10
ЗНАХОДЖЕННЯ ПЕРІОДИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ
РІВНЯННЯ МАТЬЄ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Ю.Є. БОХОНОВ
Анотація. Запропоновано підхід до знаходження періодичного розв’язку нелі-
нійного диференціального рівняння Матьє із запізненням, що використову-
ється в теорії коливальних процесів. Відомо застосування числово-
аналітичного методу знаходження періодичного розв’язку цього рівняння
шляхом зведення рівняння другого порядку до системи диференціальних рів-
нянь першого порядку. Використано розроблену автором методику знахо-
дження періодичних розв’язків нелінійних звичайних диференціальних рів-
нянь другого порядку, яку поширено також на рівняння із запізненням без
зведення до системи. Побудовано функцію Гріна для самоспряжено-
го диференціального оператора другої похідної, визначеного на функціях, які
задовольняють періодичні крайові умови. Наведено необхідні і достатні умови
існування періодичного розв’язку рівняння Матьє. Сам розв’язок знайдено ме-
тодом наближених обчислень. Отримано оцінку швидкості збіжності методу.
Ключові слова: рівняння Матьє, періодичні розв’язки, нелінійне диференціа-
льне рівняння із запізненням, періодична крайова задача, функція Гріна, само-
спряжений диференціальний оператор.
ВСТУП
У роботі знайдено періодичні розв’язки рівняння Матьє із запізненням, що
базується на використанні методики автора для звичайного нелінійного ди-
ференціального рівняння другого порядку та рівняння із запізненням ([1, 2]).
Періодичний розв’язок інтерпретується як розв’язок крайової задачі з пері-
одичними умовами. У процесі дослідження буде побудовано функцію Гріна
такої задачі та послідовні наближення періодичного розв’язку.
Пропонована методика є альтернативною до відомого числово-
аналітичного методу, викладеного у працях [3], [4], який також застосову-
ється до рівняння Матьє.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Знаходження періодичного розв’язку диференціального рівняння Матьє із
запізненням зводиться до розв’язання періодичної крайової задачі:
ttxtxtx sin)()()cos1( 3 ; (1)
Знаходження періодичного розв’язку рівняння Матьє із запізненням
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 1 129
)()0(),()0( TxxTxx , (2)
де
2
T . Зазвичай T0 .
Досліджувати рівняння будемо в області, що визначається умовами
.)(;)(),,( AtxAtxt (3)
Оцінимо праву частину рівняння (3), яку позначатимемо через
))(),(,( txtxtf :
ttxtxttxtxtf sin)()()cos1())(),(,( 3
MAA 12 3 . (4)
Очевидно, що функція у правій частині рівняння задовольняє умову
Ліпшица:
21
2
212211 32),,(),,( yyAxxyxtfyxtf . (5)
Увівши позначення
000
2
0
~~
,2,3 KKKK KA , (6)
перепишемо умову (5) у вигляді
2102102211
~
),,(),,( yyxxyxtfyxtf KK . (7)
РОЗВ’ЯЗАННЯ ПЕРІОДИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ
У праці автора [2] запропоновано методику знаходження періодичних
розв’язків, що еквівалентно виконанню крайових умов (2) для рівняння із
запізненням більш загального вигляду:
))(),(),(),(,( txtxtxtxtfx ,
тобто функція в правій частині рівняння може залежати також від похідних.
Побудовано функцію Гріна періодичної крайової задачі:
.0,
;0,
2
1
)2(
2
1
),( 2
Ttt
Ttt
t
T
tG
Періодичний розв’язок рівняння, права частина якого не залежить від
похідних, знаходимо методом послідовних наближень:
dxxf
T
t
T
T
xtx mm
t
m ))(),(,(
2122
1
)(
0
22
01
.))(),(,(
212
22
dxxf
T
t
T
mm
T
t
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 1 130
Для рівняння Матьє послідовні наближення мають вигляд
)(1 txm
dxx
T
t
T
T
x mm
t
)sin)()()cos1((
2122
1 3
0
22
0
.)sin)()()cos1((
212
3
22
dxx
T
t
T
mm
T
t
(8)
Скориставшись оцінкою і результатами, отриманими у праці [2], мати-
мемо
)()(1 txtx mm
dxxfxxftG mm
T
mm ))(),(,())(),(,(),( 11
0
1
318
100
318
22
)
~
( mm
T
mm
T xxKxxKK .
Ітераційний процес збігається за умови
2
318
T
K . (9)
Також повинна виконуватись умова
2
318
T
A
M . (10)
Тоді для існування періодичного з періодом T розв’язку ),( 0xtx
рівняння (1) необхідно і достатньо існування такого значення 0x , яке задо-
вольняє рівняння
.0sin)()()cos1(
0
3
T
mm dxx (11)
У праці [2] отримано оцінки для початкового наближення 0x і для
швидкості збіжності ітераційного процесу, які із застосуванням до рівняння
Матьє мають вигляд
Mx
39
2 2
0 ; (12)
m
m
m KMtxxt
1
2
2
0
39
2
)(),(
. (13)
Сформулюємо остаточний результат.
Теорема. Нехай функцію ),,( uxtf у правій частині рівняння (1) визна-
чено в області ],[],[),( AAAA . Нехай константи Ліпшица, визна-
Знаходження періодичного розв’язку рівняння Матьє із запізненням
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 1 131
чені формулами (6), (7), та стала M у рівнянні (4) задовольняють умови (9)
і (10). Тоді для існування періодичного з періодом
2
T розв’язку
),( 0xtx рівняння (1) необхідно і достатньо існування такого значення 0x ,
яке задовольняє рівняння (11), де ),( 0xt знаходиться методом послідовних
наближень, причому ітерації визначаються формулою (8) . При цьому 0x є
середнім значенням ),( 0xt на ],0[ T і міститься на проміжку, який задово-
льняє умову (12). Похибка між періодичним розв’язком рівняння Матьє (1) і
її m -м наближенням визначається умовою (13).
ВИСНОВКИ
Традиційно для знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійно-
го диференціального рівняння другого порядку та рівняння із запізненням
його зводять до системи першого порядку. У попередніх працях автора такі
рівняння розв’язуються безпосередньо. За такого підходу періодичний
розв’язок інтерпретується як розв’язок періодичної крайової задачі. Отри-
мана методика застосовується для знаходження періодичного розв’язку рів-
няння Матьє із запізненням. Будується ітераційний процес, що збігається до
шуканого періодичного розв’язку. Його збіжність зумовлюється оцінками
правої частини рівняння. Оцінюється швидкість збіжності процесу.
ЛІТЕРАТУРА
1. Бохонов Ю.Є. Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків не-
лінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку /
Ю.Є. Бохонов // Системні дослідження та інформаційні технології. —
2012. — № 2. — С. 138–143.
2. Бохонов Ю.Є. Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного
диференціального рівняння другого порядку із запізненням / Ю.Є. Бохонов
// Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 4. —
С. 133–140.
3. Митропольский Ю.А. Периодические и квазипериодические колебания систем
с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. — К.: Вища шк.,
1979. — 248 с.
4. Митропольский Ю.А. Системы эволюционных уравнений с периодическими и
условно-периодическими коэффициентами / Ю.А. Митропольский,
А.М. Самойленко, Д.И. Мартынюк. — К.: Наук. думка, 1984. — 213 с.
Надійшла 16.11.2018
|
| id | journaliasakpiua-article-168448 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:09Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/ac/b628ae4a4de9080a13e5bafd1f4af3ac.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1684482019-08-07T15:26:27Z Finding of periodic solution of the Mathieu equation with the delay Нахождение периодического решения уравнения Матье с запаздыванием Знаходження періодичного розв’язку рівняння Матьє із запізненням Bokhonov, Yuriy Ye. Mathieu equation periodic solutions nonlinear delayed differential equation periodic boundary problem the Green function self-adjoint differential operator уравнение Матье периодические решения нелинейное дифференциальное уравнение с запаздыванием периодическая краевая задача функция Грина самосопряженный дифференциальный оператор рівняння Матьє періодичні розв’язки нелінійне диференціальне рівняння з запізненням періодична крайова задача функція Гріна самоспряжений диференціальний оператор The work suggests an approach for finding periodic solution of the nonlinear delayed differential Mathieu equations applied in the theory of oscillatory processes. The application of the numerical-analytical method to finding periodic solutions of this equation is known. This idea includes reducing the equation to the system of the first order. The article proposes the use of the previously developed method for finding periodic solutions of nonlinear second-order ordinary differential equations, also used for equations with delay, without being reduced to a system. In this case, the Green's function is constructed for a self-adjoint differential operator of the second derivative, defined on functions that satisfy periodic boundary conditions. The necessary and sufficient conditions for the existence of a periodic solution of the Mathieu equation are given. The solution itself is found by the method of successive approximations. The estimates for the method's rate of convergence were obtained. Предложен подход к нахождению периодического решения нелинейного дифференциального уравнения Матье с запаздыванием, используемого в теории колебательных процессов. Известно применение численно-аналитического метода нахождения периодического решения этого уравнения путем сведения уравнения второго порядка к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Использована разработанная автором методика нахождения периодических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, распространенная также на уравнения с запаздыванием без сведения к системе. Построена функция Грина для самосопряженного дифференциального оператора второй производной, определенного на функциях, удовлетворяющих периодическим краевым условиям. Приведены необходимые и достаточные условия существования периодического решения уравнения Матье. Само решение найдено методом последовательных приближений. Получена оценка скорости сходимости метода. Запропоновано підхід до знаходження періодичного розв’язку нелінійного диференціального рівняння Матьє із запізненням, що використовується в теорії коливальних процесів. Відомо застосування числово-аналітичного методу знаходження періодичного розв’язку цього рівняння шляхом зведення рівняння другого порядку до системи диференціальних рівнянь першого порядку. Використано розроблену автором методику знаходження періодичних розв’язків нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, яку поширено також на рівняння із запізненням без зведення до системи. Побудовано функцію Гріна для самоспряженого диференціального оператора другої похідної, визначеного на функціях, які задовольняють періодичні крайові умови. Наведено необхідні і достатні умови існування періодичного розв’язку рівняння Матьє. Сам розв’язок знайдено методом наближених обчислень. Отримано оцінку швидкості збіжності методу. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-03-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/168448 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.1.10 System research and information technologies; No. 1 (2019); 128-131 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2019); 128-131 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2019); 128-131 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/168448/168264 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | рівняння Матьє періодичні розв’язки нелінійне диференціальне рівняння з запізненням періодична крайова задача функція Гріна самоспряжений диференціальний оператор Bokhonov, Yuriy Ye. Знаходження періодичного розв’язку рівняння Матьє із запізненням |
| title | Знаходження періодичного розв’язку рівняння Матьє із запізненням |
| title_alt | Finding of periodic solution of the Mathieu equation with the delay Нахождение периодического решения уравнения Матье с запаздыванием |
| title_full | Знаходження періодичного розв’язку рівняння Матьє із запізненням |
| title_fullStr | Знаходження періодичного розв’язку рівняння Матьє із запізненням |
| title_full_unstemmed | Знаходження періодичного розв’язку рівняння Матьє із запізненням |
| title_short | Знаходження періодичного розв’язку рівняння Матьє із запізненням |
| title_sort | знаходження періодичного розв’язку рівняння матьє із запізненням |
| topic | рівняння Матьє періодичні розв’язки нелінійне диференціальне рівняння з запізненням періодична крайова задача функція Гріна самоспряжений диференціальний оператор |
| topic_facet | Mathieu equation periodic solutions nonlinear delayed differential equation periodic boundary problem the Green function self-adjoint differential operator уравнение Матье периодические решения нелинейное дифференциальное уравнение с запаздыванием периодическая краевая задача функция Грина самосопряженный дифференциальный оператор рівняння Матьє періодичні розв’язки нелінійне диференціальне рівняння з запізненням періодична крайова задача функція Гріна самоспряжений диференціальний оператор |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/168448 |
| work_keys_str_mv | AT bokhonovyuriyye findingofperiodicsolutionofthemathieuequationwiththedelay AT bokhonovyuriyye nahoždenieperiodičeskogorešeniâuravneniâmatʹeszapazdyvaniem AT bokhonovyuriyye znahodžennâperíodičnogorozvâzkurívnânnâmatʹêízzapíznennâm |