Про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності

Unilateral processes with models in the form of variational inequalities are considered. The unilateral properties of considered processes are given by nonsmooth functionals included into the model. For such problems an approximate solution through functional parametrization method development is pe...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автор:	Zhdanova, I. V.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019
Онлайн доступ:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171803
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	System research and information technologies
Завантажити файл:

Репозитарії

System research and information technologies

_version_	1866391916399034368
author	Zhdanova, I. V.
author_facet	Zhdanova, I. V.
author_sort	Zhdanova, I. V.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-06-27T14:30:07Z
description	Unilateral processes with models in the form of variational inequalities are considered. The unilateral properties of considered processes are given by nonsmooth functionals included into the model. For such problems an approximate solution through functional parametrization method development is performed.
first_indexed	2025-07-17T10:25:29Z
format	Article
fulltext	© І.В. Жданова, 2004 128 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 УДК 681.513.675 ПРО НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ОДНОСТОРОННІХ ЗАДАЧ ДИФУЗІЇ ТА ТЕПЛОМАСООБМІНУ ІЗ БАГАТОЗНАЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ВІДПОВІДНОСТІ І.В. ЖДАНОВА Розглянуто односторонні процеси із моделями у формі варіаційних нерівнос- тей. Односторонні властивості процесів задаються у вигляді негладких функ- ціоналів, які входять у модель та породжують багатозначні функції відповід- ності. Для задач цих типів виконано наближене розв’язання за допомогою розвитку методу функціональної параметризації. ВСТУП Урахування односторонніх властивостей процесів дифузії та тепломасооб- міну відіграє важливу роль при розв’язанні задач моніторингу оточуючого середовища, нафтовидобувної промисловості та інших сфер людської діяль- ності. Односторонні процеси якісно змінюють свій характер у випадку досяг- нення критичних значень. Час та місце цих змін заздалегідь невідомі. В ін- ших випадках вони поводяться як класичні двосторонні процеси. Зазвичай для опису подібних процесів використовуються методи математичної фізи- ки [1]. При цьому односторонні задачі розглядаються у вигляді сукупності двосторонніх. За наявності додаткових умов, характерних для односторон- ніх процесів, двосторонні моделі розширюються за рахунок співвідношень, які описують ці умови або коректують вихідну модель, причому додаткові співвідношення часто мають емпіричний характер. Такий підхід може при- звести до помилок. Більш змістовним з математичної точки зору підходом до розробки моделей односторонніх процесів є врахування впливу додатко- вих вимог на розв’язок задачі на етапі постановки, що вимагає застосування моделей у вигляді варіаційних нерівностей [2], [3]. Розробка та вдосконалення методів розв’язання односторонніх задач, представлених у вигляді варіаційних нерівностей, залишається актуальною задачею. Для практичної реалізації варіаційних задач зручним та ефектив- ним є метод функціональної параметризації на основі варіаційного підходу [4], теоретичні засади якого наведено у роботі [5]. Метод функціональної параметризації застосовувався до деяких видів односторонніх процесів [4]. Він дозволяє знаходити розв’язок односторонньої задачі, паралельно розв’язуючи задачу знаходження невідомих просторово-часових характери- стик функції, що зумовлює односторонню поведінку процесу, та орієнтова- ний на широкий клас задач. Однак застосування методу функціональної параметризації для класу процесів із багатозначними функціями перешкоди чи пропускної здатності вимагає деяких доповнень. Метою даної роботи є розвиток цього методу, який передбачає побудову критеріїв додаткових даних, що характеризують односторонню поведінку, визначення функцій перешкоди чи пропускної здатності процесу для випадків із багатозначною пропускною здатністю Про наближений розв’язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 129 товстої стінки та м’якою багатозначною перешкодою, за умови врахування таких властивостей цих процесів, як відсутність неперервної диференційо- ваності функціоналів відповідності або можливість досягнення цими функ- ціоналами нескінченних значень. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Розглянемо задачу знаходження розв’язку варіаційної нерівності, яка є мо- деллю одностороннього процесу дифузії та тепломасообміну [2] ,),()()(,A, t >−≥<−+>−<+>− ∂ ∂ < uvtfuvuvuuvu ψψ (1) ,)0( 0uu = де A — оператор (може містити компоненти дифузії, переносу та стоку); f — змушуюча функція (діє у деяких підобластях об’єму Ω , в якому роз- глядається еволюція процесу на протязі відрізку часу ],0[ T ). Нехай 3R⊂Ω — обмежена відкрита множина з регулярною границею Γ ; VH =Ω)(1 — гільбертів простір С.Л. Соболєва; )(2 Ω= LH ; V — спряжений простір до V , причому VHV ⊂⊂ . Через ),( ⋅⋅ позначимо ска- лярний добуток в H ( >⋅⋅< , — канонічна двоїстість просторів V , V ). Фун- кціонал: RV →:ψ будемо називати функціоналом відповідності, який опи- сує односторонні властивості процесу і може визначатися як ∫ Ω = dzzu ))(()( ϕνψ (2) або ∫ Γ = dssu ))(()( ϕνψ , (3) де ))(( zuϕ — функція перешкоди; ))(( suϕ — функція пропускної здатності границі, конкретний вигляд яких визначається у залежності від виду одно- стороннього процесу. Ці функції будемо називати функціями відповідності. Для (2) функціонал описує односторонню перешкоду в області, для (3) од- носторонні властивості мають місце на границі (одностороння пропускна здатність границі). У випадку одностороннього процесу в області з функці- оналом (2) задачі (1) відповідає задача ,),( fuAu t u =++ ∂ ∂ ξϕ (4) 0)0( uu = , 0=Γu , де ξ — невідомий параметр перешкоди в області. Якщо функціонал відповідності має вигляд (3), то задача (1) набуває вигляду І.В. Жданова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 130 fAu t u =+ ∂ ∂ , (5) 0)0( uu = , 0),( =+ ∂ ∂ Γ ξϕ u n u , де ξ — невідомий параметр пропускної здатності границі. У виразах (4), (5) функція u u ∂ ∂ = ψξϕ ),( , причому вона діє у невідомих заздалегідь просторово-часових підобластях простору ],0[ T×Ω . Задачу по- шуку цих підобластей важко розв’язати, тому, згідно із методом функціона- льної параметризації, було запропоновано замінити її пошуком параметрів, що повністю характеризують поведінку функції ϕ , які приймаються неві- домими на всьому просторі ],0[ T×Ω . В даній роботі функція ϕ представля- ється у лінійно параметризованому вигляді і ξ — невідомі параметри тако- го представлення. Для розв’язання задач (4), (5) при наявності невідомих параметрів ξ початкових та граничних умов недостатньо, тому, щоб застосувати метод функціональної параметризації, необхідно додатково використати інформа- цію про поведінку процесу. Для процесів із багатозначною пропускною здатністю товстої стінки, м’якою багатозначною перешкодою виникають складнощі, пов’язані з тим, що їхні функціонали перешкоди не є неперервно диференційованими, а для процесів із тонкою стінкою та жорсткою пере- шкодою також можуть приймати нескінченні значення. РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ Розв’язання односторонніх задач через їхню нелінійність вимагає додатко- вої інформації, яка доповнює модель, і формулюється у вигляді деякого критерію, що мінімізується. Першим підходом до конструювання таких критеріїв є інформаційний підхід, який застосовується, коли є можливість отримати інформацію про поведінку процесу із результатів вимірювань. Критерієм, що забезпечує додаткові дані, у цьому випадку може бути вираз, який мінімізує розходження між теоретичними даними та вимірюваннями. Але цей підхід може викликати проблеми, пов’язані із некоректністю задач при використанні точкових вимірювань [6]. Іншим підходом до конструю- вання критеріїв (застосовується у даній роботі) є фізичний підхід, згідно з яким критерій являє собою штраф за порушення специфічних умов фізики процесу. Опишемо механізм односторонніх процесів, які розглядаються. М’яка багатозначна перешкода діє у такий спосіб: коли значення стану процесу менше, ніж порогове, процес розвивається за класичною схемою; при пере- вищенні станом цього максимального значення виникає перешкода, яка деформує стан процесу до максимального стану. В окремих точках області функція перешкоди може приймати нескінченну кількість значень, які на- Про наближений розв’язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 131 лежать деякому скінченному діапазону. До процесів такого типу можна від- нести часткові випадки процесів розповсюдження газоподібних або дрібно- дисперсних домішок в умовах наявності ефекту самоочищення середовища. Аналогією до цього типу односторонніх процесів серед процесів із односто- ронніми властивостями на границі є процеси із багатозначною пропускною здатністю товстої стінки. За типом дії перешкоди виділяють також процеси із перешкодою зверху або знизу. Вище розглянуто механізм дії перешкоди зверху. У випадку перешкоди знизу процес розвивається за класичною схе- мою, коли значення стану, що перевищує деяке мінімальне значення, а при значеннях, менших за мінімальне, вмикається механізм перешкоди. Процеси із тонкою стінкою відбуваються в області, обмеженій «мем- браною» нескінченно малої товщини. Така границя пропускає субстанцію всередину області, якщо значення стану процесу на внутрішньому боці «мембрани» менше (або дорівнює) стану ззовні. Але мембрана перешкоджає витіканню субстанції із області у зворотному напрямку. З деяким набли- женням локальна реалізація процесу з тонкою стінкою виконується різно- манітними клапанами. При цьому пропускна здатність границі може при- ймати будь-які додатні значення, в тому числі і нескінченність. Аналогією до цього типу односторонньої пропускної здатності границі серед односто- ронніх процесів із перешкодою всередині області є процеси із жорсткою пе- решкодою. За напрямком провідності границі виділяють процеси із прямою та зворотною провідністю границі. Приймемо, що границя із прямою прові- дністю дозволяє субстанції ззовні проникати всередину області, але зворот- ній рух неможливий. Відповідно, границя із зворотною провідністю допус- кає лише витікання субстанції із області у зовнішній простір. Із урахуванням особливостей поведінки процесів потрібно зконструю- вати критерії, які надають додаткову інформацію, що дозволяє знайти стан процесу u та невідомий параметр типу процесу ξ . Тоді розв’язок задач (4) або (5) буде розв’язком задачі знаходження значень },{ ξu , які доставляють мінімум критерію при наявності обмежень (4), (5). Відповідну задачу опти- мізації будемо розв’язувати методом Лагранжа. Розглянемо односторонній процес з м’якою багатозначною перешко- дою зверху (4), де функціонал відповідності типу (2) визначається виразом ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < = . ),( ,,0 max max max uu uu uu ξψ Відповідно, функція ϕ має вигляд [ ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < = ,, ,,,0 ,,0 max max max uu uu uu ξ ξϕ (6) де ξ — параметр перешкоди. Фізичний критерій для задачі з товстою стінкою із багатозначною про- пускною здатністю повинен забезпечити настройку ξ до нуля і перешко- джати зростанню ξ для max),( utxu < . На ділянці max),( utxu > внаслідок односторонніх властивостей процесу, який не допускає перевищення мак- І.В. Жданова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 132 симально допустимого значення, параметр ξ повинен забезпечувати цю властивість. Також потрібно забезпечити неперервну диференційованість кри- терію за u та ξ . Критерій, що задовольняє цим вимогам, визначається як dtdz uuuu uuuuJ T ∫ ∫ Ω ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− <− = 0 max 2 max max 2 max 2 ,)( ,,)(ξ . Оскільки функція (6) не визначена при maxuu = , застосуємо для розв’язання задачі субградієнтний підхід, обґрунтований у роботі [7] для випадку скінченних функціоналів, які не є неперервно диференційованими. Для maxuu = функція )(uϕ є множиною. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = → max max )()( lim max uu uu М uu ψψ . (7) У даному випадку )(uϕ називається субдиференціалом ψ у точці maxu . Функція )(uϕ може бути представлена у вигляді сукупності диферен- ційованих функцій-селекторів ),( ξη u , Mu ∈),( ξη . При maxuu = можна розглядати задачу для окремих елементів множини M , які для заданого моменту часу та позиції в просторі є числами з інтервалу [ ],0 ξ , де ξ — значення параметру ξ , і можуть бути перебрані із деяким кроком i∆ . ∆+= −1ii ηη , (8) NMM /)inf(sup −=∆ , де N — деяке ціле. Оскільки величина Msup — значення параметру ξ , вона є невідомою заздалегідь, тому можна обирати i∆ в процесі моделю- вання та користуватись виразом , iLi F ηξθ ==∆ Mi ∈η , (9) ξ∂ ∂ = LFL , де θ — деякий малий параметр; L — лагранжіан. Перебираючи значення M∈η , знайдемо ξ , що доставляє мінімум лаг- ранжіану L при maxuu = . Наведемо алгоритм розв’язання задачі із багатозначною м’якою пере- шкодою. 1. На кроці 0=j градієнтної процедури задаємо початкове значення параметру типу процесу 0ξ . 2. Використовуючи відоме jξ , розраховуємо ju за виразом (5). 2.1. Для maxuu ≠ за рівнянням (6) обчислюємо jq на основі спряжено- го рівняння вигляду ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− <− −=+ ∂ ∂ − maxmax max 2 max 2 ),(2 ,,)(2 uuuu uuuuqA t q ξ , (10) Про наближений розв’язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 133 0=Γq , 0)( =Tq . 2.2. Обчислюємо необхідні умови оптимальності ∫ ∫ Ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <− += T L dtdz uu uuuuqF 0 max max 2 max ,0 ,,)(2ξ . (11) Побудова лагранжіану та отримання необхідних умов оптимальності проводяться за схемою, наведеною у роботі [6]. 2.3. Для точок, де maxuu = , переходимо до п.2.3.1. 2.3.1. Покладаємо 0:inf =M , jM ξ=:sup , Minf0 =η . 2.3.2. Обчислюємо значення u на основі (5) для кожного iη , обчисле- ного за виразом (8), Ni …0= . В точках, де на етапі 2.3 виконувалося maxuu = як ),( ξϕ u , при розрахунках використовуємо значення iη , в інших точках — jξ . 2.3.3. На основі u , отриманих у п. 2.3.2, розраховуємо iJ . Знаходимо iη , для якого критерій iJ приймає найменше значення. Тоді значення пара- метру процесу для maxuu = дорівнює izt ηξ =),( . 3. При maxuu ≠ розраховуємо для 1+j кроку 1+jξ . Пошук оптимального ξ здійснюється за градієнтним методом (8), де крок розраховується за формулою (9). 4. Обчислюємо значення критерію закінчення пошуку невідомого па- раметру. J jjj JJJ ε≤− ++ 11 . Якщо нерівність виконується, переходимо до п.5. Інакше 1: += jj ξξ і переходимо до п.2. 5. Закінчення алгоритму. Розглянемо процес із прямою пропускною здатністю тонкої стінки, якому відповідає рівняння (5). Зазначимо, що функція f тут приймає від'ємні значення. Для процесів цього типу, які можуть мати місце при односторон- ній провідності границі, функціонал відповідності типу (3) має вигляд ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤∞ > = Γ Γ .),,0[ ,0 зов ,зов uu uu ψ Специфіка дії стінки забороняє стани зовuu <Γ внаслідок нескінченно малої товщини, тому вираз для функціоналу пропускної здатності ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =∞ > = Γ Γ .),,0[ ,,0 зов зов uu uu ψ Функція пропускної здатності І.В. Жданова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 134 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ →∞∈− > = Γ Γ .),,0[),( ,,0 зовзов зов uuuu uu ξξ ϕ (12) Припустимо, що ξ може приймати великі, але скінченні значення. То- ді можна перейти до задачі про товсту стінку, в якій значення параметру ξ не обмежується зверху фізичними умовами. Алгоритм розв’язання подібних задач наведено у роботі [4]. Критерій, що враховує особливості фізичної по- ведінки процесу, набуває вигляду dtds uuuu uuuu uJ T ∫ ∫ Γ ΓΓ ΓΓ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <− ≥− = 0 зов 2 зов зов 2 зов 2 ,)( ,,)( )( ξ . (13) Умови оптимальності (11) для цього типу односторонніх процесів ∫ ∫ Γ Γ ΓΓ Γ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥− +−= T зовL dtds uu uuuu quuF 0 зов зов 2 зов ,0 ,,)(2 )( ξ . Основні результати обчислень, які характеризують поведінку процесів із багатозначною перешкодою в області та односторонніх процесів із тон- кою стінкою, зображені на рис. 1–3. На рис. 1, 2 вказано значення величин у а б в Рис. 1. Стан процесу із багатозначною перешкодою на першому (а), другому (б), останньому (в) кроках градієнтної процедури (3 год. 48 хв.) u u u Про наближений розв’язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 135 площині просторового горизонтального перерізу, в якому розташовується джерело збурення. На останньому кроці градієнтної процедури стан проце- су в областях, де maxuu > , скориговується до максимального значення maxu (напівпрозора площина 1=u ). При розрахунках моделювання задачі з багатозначною перешкодою розповсюдження концентрації деякої речовини, яка утворюється джерелами збурення, початкові умови було прийнято у вигляді 00 =u мкг/м3, 00 =ξ . Максимальне значення стану процесу — 1max =u мкг/м3, коефіцієнт тур- булентної дифузії — 100=k м3/с, розміри просторової області, м — 200× 200× 200, крок дискретизації за просторовою координатою — 10 м, позиції джерел збурення, м — (30, 50, 50), (40, 50, 50), (40, 40, 50), (40, 60, 50), (40, 70, 50), (40, 100, 50), (50, 40, 50), (50, 50, 50), (50, 60, 50), (50, 70, 50), (60, 40, 50), (60, 50, 50). Величина збурення, яка надається дже- релом () — 1,6 мкг/хв., іншими джерелами — 0,6 мкг/хв. Проміжок часу, на якому проводиться моделювання — 4 год., крок за часом — 6 хв. Градієнт- ну процедуру закінчено при значенні критерію 0,00317. Рис. 3 ілюструє поведінку процесу поблизу верхньої границі для пер- шого та останнього кроків градієнтної процедури настройки параметру ξ . На рис. 3 ,а на верхній границі сформувалася відкрита ділянка, де зовuu <Γ , крізь яку відбувається проникнення субстанції ззовні всередину а б в Рис. 2. Значення параметру процесу із багатозначною перешкодою ξ на першому (а), другому (б), останньому (в) кроках градієнтної процедури (3 год. 48 хв.) ξ ξ ξ І.В. Жданова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 136 області. Внаслідок цього проникнення стан процесу на границі збільшуєть- ся, і на рис. 3,б на верхній границі встановлюється на рівні зовнішнього, границя замикається. Результати наведено для вертикального зрізу в пло- щині розташування джерела збурення. Оскільки всередині області за постановкою задачі постійно існує збу- рення, внаслідок дії якого значення стану процесу всередині області і, від- повідно, на границі зменшується, для його нейтралізації і встановлення на границі значень, які більше або дорівнюють зовнішнім, значення параметру пропускної здатності тонкої стінки повинні бути ненульовими для ділянки, де на вихідному етапі градієнтної процедури зовuu <Γ . На рис. 3,в початко- ві значення параметру ξ відповідають рис.3,а, а його значення в результаті настройки градієнтною процедурою відповідають стану процесу, наведено- му на рис.3,б . Вихідні дані, використані при розрахунках задачі із тонкою стінкою: 2100 =u , 00 =ξ , значення стану процесу ззовні області — =зовu 205= мкг/м3, 50=k мкг/м3, крок за просторовою координатою — 10 м, крок за часом — 6 хв., величина збурення — 6,10=f мкг/хв., позиція джерела збурення, м — (30, 50, 50), розміри області за просторовими координатами, м — 100× 100× 100. На рис. 3 наведено результати для 2 год.12 хв. Градієн- тну процедуру закінчено при значенні 21092,9 −⋅=J . Рис. 3. Стан процесу поблизу границі та її пропускна здатність на першому (а) і останньому (б) кроках градієнтної процедури, а також значення параметру пропус- кної здатності границі на першому (1) і останньому (2) кроках а) б) в) Про наближений розв’язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 137 Еволюція процесів розглядалася, починаючи із станів, які відповідають класичному протіканню процесу, в напрямку до «аномальних станів». За аналогією можна навести відповідні вирази та алгоритми для випадків одно- сторонніх процесів із товстою стінкою з багатозначною прямою чи зворот- ною пропускною здатністю та жорсткою перешкодою зверху чи знизу. ВИСНОВКИ Розвинуто метод функціональної параметризації для односторонніх проце- сів із функціоналами відповідності, що не є неперервно диференційованими або можуть приймати нескінченні значення. При цьому для задачі із м’якою багатозначною перешкодою застосовано субградієнтний підхід. Задачу із тонкою стінкою трансформовано за допомогою граничного переходу до за- дачі із товстою стінкою, але при відсутності обмежень зверху на параметр функції пропускної здатності. Результати обчислювального експерименту узгоджуються із теоретичними міркуваннями про поведінку односторонніх процесів даних типів. ЛІТЕРАТУРА 1. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей сре- ды. — М.: Наука, 1982. — 315 с. 2. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1980. — 383с. 3. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариацион- ных неравенств. — М.:Мир,1979. — 574с. 4. Згуровский М.З., Новиков А.Н. Анализ и управление односторонними физиче- скими процессами. — Киев: Наук. думка, 1996. — 326 с. 5. Иваненко В.И., Мельник В.С. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. — Киев: Наук. думка, 1988. — 286 с. 6. Жданова І.В., Новіков О.М. Регуляризація просторово-розподілених одно- бічних процесів при знаходженні невідомих характеристик функції переш- коди // Наук. вісті НТУУ «КПІ». — 2003. — № 2. — С.134–140. 7. Ржевский С.В. Монотонные методы выпуклого программирования. — Киев: Наук. думка, 1993 — 315 с. Надійшла 27.05.2004
id	journaliasakpiua-article-171803
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2025-07-17T10:25:29Z
publishDate	2019
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/f3/90d04685a8e4f5ec44ea1892ec1fc9f3.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1718032019-06-27T14:30:07Z About approximate solution of unilateral diffusion and heat-mass exchange problems with multivalued functions of accordance О приближенном решении односторонних задач диффузии и тепломассообмена с многозначными функциями соответствия Про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності Zhdanova, I. V. Unilateral processes with models in the form of variational inequalities are considered. The unilateral properties of considered processes are given by nonsmooth functionals included into the model. For such problems an approximate solution through functional parametrization method development is performed. Рассмотрены односторонние процессы с моделями в форме вариационных неравенств. Односторонние свойства процессов задаются в виде негладких функционалов, которые входят в модель и порождают многозначные функции соответствия. Для задач этих типов выполнено приближенное решение на основе развития метода функциональной параметризации. Розглянуто односторонні процеси із моделями у формі варіаційних нерівностей. Односторонні властивості процесів задаються у вигляді негладких функціоналів, які входять у модель та породжують багатозначні функції відповідності. Для задач цих типів виконано наближене розв'язання за допомогою розвитку методу функціональної параметризації. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-27 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171803 System research and information technologies; No. 3 (2004); 128-137 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2004); 128-137 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2004); 128-137 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171803/171518 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Zhdanova, I. V. Про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності
title	Про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності
title_alt	About approximate solution of unilateral diffusion and heat-mass exchange problems with multivalued functions of accordance О приближенном решении односторонних задач диффузии и тепломассообмена с многозначными функциями соответствия
title_full	Про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності
title_fullStr	Про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності
title_full_unstemmed	Про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності
title_short	Про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності
title_sort	про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171803
work_keys_str_mv	AT zhdanovaiv aboutapproximatesolutionofunilateraldiffusionandheatmassexchangeproblemswithmultivaluedfunctionsofaccordance AT zhdanovaiv opribližennomrešeniiodnostoronnihzadačdiffuziiiteplomassoobmenasmnogoznačnymifunkciâmisootvetstviâ AT zhdanovaiv pronabliženijrozvâzokodnostoronníhzadačdifuzíítateplomasoobmínuízbagatoznačnimifunkcíâmivídpovídností

Про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності

Репозитарії

Схожі ресурси