Метод обернено-опуклого програмування та оптимальне пакування вантажів
Formalization of the problem for optimal goods packing for an airplane is proposed. To solve the problem, the method of inverse-convex programming is used. Numerical calculations of test and real problems are presented.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172275 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302479417737216 |
|---|---|
| author | Ostapenko, V. V. Sobolenko, L. A. Prokhorovich, I. V. |
| author_facet | Ostapenko, V. V. Sobolenko, L. A. Prokhorovich, I. V. |
| author_sort | Ostapenko, V. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-07-02T15:42:32Z |
| description | Formalization of the problem for optimal goods packing for an airplane is proposed. To solve the problem, the method of inverse-convex programming is used. Numerical calculations of test and real problems are presented. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.В. Остапенко, Л.А. Соболенко, И.В. Прохорович, 2004
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 95
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 519.8
МЕТОД ОБРАТНО-ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
И ОПТИМАЛЬНАЯ УПАКОВКА ГРУЗОВ
В.В. ОСТАПЕНКО, Л.А. СОБОЛЕНКО, И.В. ПРОХОРОВИЧ
Предложена формализация задачи оптимальной упаковки грузов в самолет.
Для ее решения используется метод обратно-выпуклого программирования.
Приведены численные расчеты тестовых и реальных задач.
Задача оптимальной упаковки грузов для перевозок тесно связана с задачей
классической математики о размещении различных объектов в пространстве
nR . В монографиях [1], [2] рассматриваются традиционные подходы к ре-
шению таких задач. Они требуют рассмотрения объектов одинаковых форм
и размеров (шары одинакового радиуса, равные многогранники и т.п.).
Для специалистов, работающих в области численных методов оптими-
зации, проблема упаковки достаточно интересная, но в то же время и трудная,
поскольку является одной из частных задач поиска глобального экстремума.
В работах [3], [4] предложен нетрадиционный подход к решению задач
размещения, основанный на формулировке проблемы в виде общей оптими-
зационной задачи обратно-выпуклого программирования и использования
численного метода для ее решения. Алгоритм, описанный в работе [3],
прост в реализации и позволяет отыскивать локальный экстремум. В зави-
симости от начальных данных он находит различные локальные экстрему-
мы, что позволяет сравнить их по значению целевой функции. Численные
результаты, приведенные в работах [3]–[5], показали эффективность метода
и небезнадежность получения глобального экстремума.
Кроме того, в отличие от традиционных методов решения задач разме-
щения, формулировка проблемы в виде общей оптимизационной задачи по-
зволяет снять ограничения на формы и размеры объектов, что значительно
расширяет сферу практического применения алгоритма. В этой работе рас-
сматривается одна из таких практических задач: упаковка грузов в заданном
объеме на примере их упаковки в самолет с известным центром тяжести.
Обозначения. Пусть xRx n ,∈ — n -мерный вектор-столбец, а ∗x —
соответствующая ему вектор-строка; *nR , сопряженное к nR , — простран-
ство вектор-строк. Тогда скалярное произведение двух векторов
∑
=
∗ ==
n
i
ii yxyxyx
1
),( , а евклидова норма вектора x — величина xxx ∗= .
В.В. Остапенко, Л.А. Соболенко, И.В. Прохорович
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 96
Задача обратно-выпуклого программирования. Под задачей обрат-
но-выпуклого программирования понимается задача
{ }.,...,1,0)(:)(max 0 mixfxf i
Rx n
=≥
∈
(1)
Здесь mixfi ,...,1,0),( = — выпуклые непрерывные функции, опреде-
ленные на всем пространстве nR . Задача (1) является негладкой, поскольку
mixfi ,...,1,0),( = только непрерывны. Известно [6], что для этих функций
в каждой точке nRx∈ существует выпуклое компактное непустое множест-
во (субдифференциал), определяемое соотношением
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ∈∀−′+≥∈′=∂
∗ n
iii
n
ii RyxyxfxfyfRxfxf ),)(()()(:)()( , (2)
где )(xfi
′ — субградиент функции )(xfi ; если )(xfi — дифференцируемая
в точке x функция, то )(xfi∂ состоит из единственного вектора )(xfi
′ —
градиента функции )(xfi ;
∗nR — пространство n -мерных вектор-строк,
поэтому )(xfi
′ есть вектор-строка. Предполагается, что существует прави-
ло, по которому каждой точке x можно поставить в соответствие один из
субградиентов )()( xfxf ii ∂∈′ .
Хотя функции mixfi ,...,1,0),( = выпуклы, задача (1) не является вы-
пуклой в обычном смысле. Она многоэкстремальная.
Алгоритм [3] для отыскания локального экстремума задачи (1) состоит
в следующем.
Пусть { }mixfxD i ,...,1,0)(: =≥= — допустимое множество задачи
(1). С каждой точкой Dx∈ свяжем вспомогательную задачу квадратичного
программирования
.,...,1,0)()(:
2
1)(min 2
0
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ =≥+′+′−
∈
mixfpxfppxf ii
Rp n
(3)
Так как Dx∈ , то 0=p удовлетворяет ограничениям задачи (3), и она
всегда имеет единственное решение )(xp . Пусть mixui ,...,1),( = — соот-
ветствующие (3) множители Лагранжа, которые являются решением двой-
ственной к (3) задачи квадратичного программирования [7]
( ) ( ) .,...,1,0:)()()(
2
1min
1
2
1
0
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=≥+′+′− ∑∑
==
∗∗
∈
miuxfuxfuxf
m
i
i
i
i
m
i
i
i
Ru m
(4)
Решения задач (3) и (4) связаны соотношением [3]
( ) ( )∑
=
∗∗ ′+′=
m
i
i
i xfuxfxp
1
0 .)()()( (5)
Метод обратно-выпуклого программирования и оптимальная упаковка грузов
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 97
Будем предполагать, что начальная точка Dx ∈0 . Тогда точки итера-
ционной последовательности { }∞0kx определяются формулой
kkk pxx +=+1 . (6)
Здесь вектор направления )( kk xpp = — решение задачи (3). Задача (4)
имеет более простые ограничения. Поэтому на практике часто легче решить
задачу (4), а для определения вектора направления kp воспользоваться со-
отношением (5). Итерационный процесс останавливается, когда 1ε≤kp ,
где 1ε — заданная точность решения. При этом выполняются ограничения
задачи (1) и необходимые условия экстремума [3]. Сходимость алгоритма,
его свойства, особенности при решении конкретных задач описаны в рабо-
тах [3]–[5].
Задача об упаковке грузов в самолет. Пусть имеется m грузов для
перевозок самолетом и известны их массы mimi ,...,1, = . Для обеспечения
нормального маневра самолета грузы необходимо уложить в имеющийся в
самолете контейнер так, чтобы отклонение от известного центра тяжести
самолета ∗x было минимальным.
Предположим, что грузы и контейнер самолета являются параллелепи-
педами. Пусть в пространстве nR параллелепипед задается с помощью сво-
его центра nRx∈ и вектора полуосей nRa∈ , т. е. параллелепипед )(xSa
определен системой неравенств { kkkn
a axyRyxS ≤−∈= :)( , }nk ,...,1= .
Совместим начало координатных осей с центром контейнера. Если
nkAk ,...,1, = — полуоси контейнера, то он определен системой нера-
венств { }nkAyRyS kkn
A ,...,1,:)0( =≤∈= . Грузы mixS iai
,...,1),( = за-
даются своими центрами mixi ,...,1, = или покоординатно mixk
i ,...,1, = ,
nk ,...,1= и полуосями miai ,...,1, = с координатами miak
i ,...,1, = ,
nk ,...,1= . В пространстве грузы можно перемещать только параллельным
сдвигом. Обозначим nkk ,...,1, =ξ величины выхода грузов за границы
контейнера по каждой из сторон. Тогда формально задача об упаковке гру-
зов в самолет сводится к следующей оптимизационной задаче.
∑ ∑
∑
∑
= =
∗
=
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
n
k
n
k
k
m
i
i
m
i
k
ii
kk
x
x
m
xm
CC
1 1
2
1
1
1,
:{min ξ
ξ
,,...,1,,...,1, minkAax kkk
i
k
i ==−−≥− ξ
,,...,1,,...,1, minkAax kkk
i
k
i ==+≤+ ξ (7)
В.В. Остапенко, Л.А. Соболенко, И.В. Прохорович
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 98
( ) ( )( ) ( )( )∑
=
≥+−−=
n
k
k
j
k
i
k
j
k
ijaia aaxxfxSxS
ji
1
0, εερ ,
},,...,1,,, mjijiji =<≠
где
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
,0,
,0,
tt
tt
f
εε ( ) nkCCaaxxt kk
j
k
i
k
j
k
i ,...,1,,),1,0(, 1 =∈+−−= ε —
весовые коэффициенты. Первые две группы ограничений показывают, что
грузы не должны выходить за границы контейнера, а условия попарного не-
пересечения грузов задаются с помощью введенной в работе [4] функции
квазирасстояния ))(),((),( ySxSyx baεε ρρ = . Предполагается, что центр тя-
жести самолета ∗x совпадает с центром контейнера. В такой постановке
грузы будут упаковываться вокруг центра контейнера. Однако центр тяже-
сти ∗x может не совпадать с центром контейнера. Кроме того, часто возни-
кает необходимость упаковывать грузы на пол контейнера вокруг проекции
центра тяжести.
Допустим, что начало координатных осей совпадает с центром тяжести
∗x . Предположим, что полуоси контейнера могут быть не равны между со-
бой. Пусть nkAk ,...,1,0 =≥ — полуоси контейнера, соответствующие от-
рицательным осям координат; nkBk ,...,1,0 =≥ — положительным, а
nkik
i ,...,1,2,1, ==ξ — величины выхода грузов за границы контейнера по
каждой из сторон. Введем в рассмотрение вектор nR∈α с компонентами
nkk ,...,1, =α , которые могут принимать значения 0 или 1. Тогда оптими-
зационная задача об упаковке грузов преобразуется к виду
( ) :min
2
1
1
1
1
2211,
{ ∑
∑
∑
∑
=
∗
=
=
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−++
n
k
k
m
i
i
m
i
k
iin
k
kkkk
x
x
m
xm
CCC ξξ
ξ
,,...,1,,...,1,1 minkAax kkkk
i
k
i ==−−≥− ξα
,,...,1,,...,1,2 minkBax kkk
i
k
i ==+≤+ ξ (8)
( ) ( )( ) ( )( )∑
=
≥+−−=
n
k
k
j
k
i
k
j
k
ijaia aaxxfxSxS
ji
1
,0, εερ
}mjijiji ,...,1,,, =<≠ .
Если в (8) положить 011 ==== nnnn CA ξα , то грузы будут укладывать-
ся на пол контейнера вокруг проекции центра тяжести.
Метод обратно-выпуклого программирования и оптимальная упаковка грузов
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 99
Очевидно, что задачи (7),(8) легко приводятся к виду (1), и для их ре-
шения можно использовать метод обратно-выпуклого программирования
[3]. Из выражений (5),(6) видно, что этот метод требует вычисления
mixfi ,...,1,0),( =′ . В задачах (7) и (8) затруднения могут вызвать только
вычисления субградиентов ,)),(),(( jixSxS jaia ji
≠′ερ mjiji ,...,1,, =< .
Заметим, что при фиксированных a иb , ))(),((),( ySxSyx baεε ρρ = является
выпуклой функцией переменных yx, . Поэтому можно найти ∈′ ),( yxερ
),( yxερ∂∈ . Опуская технические детали вычислений, которые можно най-
ти в работе [6], запишем
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ,,...,1,Sign.
),(
,,...,1,Sign.
),(
nkyxbayxf
y
yx
nkyxbayxf
x
yx
kkkkkk
k
kkkkkk
k
=−+−−′−=
∂
∂
=−+−−′=
∂
∂
ε
ε
ε
ε
ρ
ρ
(9)
где
( )
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<+−−
≥+−−
=′
,0,
,0,1
kkkk
kkkk
bayx
bayx
f
ε
ε ( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<−−
≥−
=−
.0,1
,0,1
Sign
kk
kk
kk
yx
yx
yx
Численные результаты. Поскольку грузы упаковываются в самолет,
то размерность пространства 3=n . Алгоритм применим для любых nRx∈ .
Расчеты проводились для обеих оптимизационных задач (7) и (8).
Вначале рассмотрим задачу (7). Пусть даны пять параллелепипедов.
Параллелепипеды в начальном положении и контейнер, в который их нужно
уложить, изображены на рис. 1. Цифра на параллелепипеде соответствует
его индексному номеру. Размеры полуосей параллелепипедов k
ia , 5,...,1=i ,
3,2,1=k и координаты их центров k
ix , 5,...,1=i , 3,2,1=k в начальном по-
ложении приведены в табл.1.
Т а б л и ц а 1 . Размеры параллелепипедов и координаты их центров в
начальном положении (7)
Номер
п/п
1a 2a 3a 1
0x 2
0x 3
0x
1 0,5 1,0 0,5 -0,5 0,5 5,5
2 0,5 0,5 1,0 4,0 1,5 -5,0
3 1,0 0,5 0,5 7,5 5,0 -2,0
4 0,5 0,5 0,5 5,0 4,0 6,5
5 0,5 0,5 0,5 -8,5 -7,0 0,5
В.В. Остапенко, Л.А. Соболенко, И.В. Прохорович
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 100
Параллелепипеды требуется упаковать в контейнер с полуосями
5,1321 === AAA . Нужно найти такое положение центров параллелепипе-
дов ,3,...,1,5,...,1, == kixk
i при котором величины выхода грузов за гра-
ницы контейнера 3,..,1, =kkξ и отклонение от центра тяжести самолета
∗
∗ = ),0,0,0(x будут минимальными. В данном случае центр тяжести самоле-
та совпадает с центром контейнера и началом координатных осей. Положим
значения весовых коэффициентов 3,...,1,1,1 1 === kCC k , массы грузов
5,...,1,1 == imi , а начальные значения 5,03
0
2
0
1
0 === ξξξ . В оптимизаци-
онной задаче (7) число неизвестных равно 18=+×= nmnin , а число огра-
ничений 01,0,402 2 ==+××= εmCnmim . Для получения решения с точ-
ностью 2109,0 −⋅≤kp алго-
ритму потребовалось выпол-
нить 22 итерации. Решение
показано на рис. 2. Координа-
ты центров параллелепипедов
в решении указаны в табл. 2.
При этом значения величин
выхода грузов за границы кон-
тейнера равны === 321 ξξξ
49,0−= .
1
-12
-5
0
-8 7
6
x2
12
4
2
5
3
x1
3
x2
x3
Рис. 1. Начальное положение грузов (7)
Т а б л и ц а 2 . Координаты центров в
решении задачи (7)
Номер
п/п
1
∗x 2
∗x 3
∗x
1 -0,51 -0,01 0,51
2 0,51 -0,51 0,00
3 0,01 0,51 -0,51
4 0,51 0,51 0,51
5 -0,51 -0,51 -0,51
Метод обратно-выпуклого программирования и оптимальная упаковка грузов
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 101
Отклонения от центра тяжести ∗
∗ = )0;0;0(x равны: по координате 1x —
0,002, по 2x — 0,0006, по 3x — 0,0006. Квадрат нормы отклонения равен
0,000000303. Очевидно, что в данном случае получен глобальный минимум.
Заметим: вопреки требованию метода обратно-выпуклого программирова-
ния начальная точка итерационного процесса не является допустимой, т.е.
Dx ∉0 . Однако это не было препятствием для получения решения, по-
скольку вспомогательная задача (4), соответствующая точке 0x , оказалась
разрешимой. Тогда, начиная с точки 1x , все последующие точки Dxk ∈ , и
сходимость процесса не нарушается [3], что является существенным пре-
имуществом, расширяющим возможности пользователя при выборе началь-
ных точек для отыскания приемлемого решения. Данные для этого примера
выбраны совершенно произвольно. При существенном изменении начально-
го положения получены различные локальные решения.
Задача (8) исследовалась на тестовых примерах. Проведен эксперимент
решения конкретной практической задачи. Так из начального положения
(рис. 1 и табл. 1) при ∗= )1;1;1(α , 3,...,1,5,1 === kBA kk и тех же, что в
задаче (7), весовых коэффициентах получено решение (рис. 2 и табл. 2).
Результаты расчетов практической задачи в полном объеме здесь не
приводятся. Это связано с тем, что возникающая задача имеет большую
размерность, и графическое представление ее не будет наглядным. Так для
тридцати грузов число неизвестных в задаче (8) равно 96, а число ограниче-
ний – 615. Тогда при решении вспомогательной задачи (4) возникает необ-
ходимость работать с матрицами размера 615615× , причем все расчеты
проводятся с двойной точностью. Грузов может быть и больше. Для нагляд-
ности графического представления здесь приводятся результаты расчетов
упаковки пяти грузов в самолет типа ИЛ-76. В этом случае число неизвест-
ных задачи (8) равно 21, а число ограничений — 40. В табл. 3 приведены на-
Рис. 2. Решение задачи (7)
-3
-3
-7
3
1 4
3
3
x2
7
2 x1
x2
x3
В.В. Остапенко, Л.А. Соболенко, И.В. Прохорович
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 102
чальные положения центров и размеры полуосей параллелепипедов, опре-
деляющих грузы в метрах.
Т а б л и ц а 3 . Начальные значения параметров для задачи (8)
Номер
п/п
1a 2a 3a 1
0x 2
0x 3
0x
1 5,0 0,5 0,5 5,5 2,2 2,5
2 5,0 0,5 0,5 -1,0 1,2 5,0
3 4,5 0,5 0,25 5,0 -0,5 2,0
4 4,5 0,5 0,25 -10 -10 4,0
5 3,0 0,5 0,25 13 5,0 3,2
Размеры контейнера следующие: 75,1;9 2211 ==== BABA ; 03 =A ;
2,33 =B . Координаты центра тяжести ∗
∗ = )6,1;0;0(x . Весовые коэффици-
енты принимают значения: 1;0;2,1,;1;1 3
2
3
1 ===== CCkiCC k
i . Массы
грузов имеют значения 1,2,3 54321 ===== mmmmm . Таким образом,
грузы будут укладываться вокруг проекции центра тяжести на плоскость
),( 21 xx . Такая специфика упаковки вполне допустима, так как для нормаль-
ного маневра отклонение от центра тяжести, соответствующее оси 3x , не
является столь существенным, как отклонения по осям 21, xx . Положение
грузов в решении задачи изображено на рис. 3, а значения координат их цен-
тров приведены в табл. 4.
Значения величин выхода за границы контейнера в решении следующие:
068,0;182,4;0;177,0;818,3 3
2
1
2
3
1
2
1
1
1 −=−==−=−= ξξξξξ ; 636,13
2 −=ξ .
Отклонение от проекции центра тяжести по координате 1x равно нулю, по
2x — 0,0022, по 3x — 0,590. Полученные расчеты показывают, что грузы
лежат на полу )0( 3
1 =ξ и находятся внутри контейнера, так как значения
остальных k
iξ отрицательны. Кроме того, упакованные грузы практически
не изменили координат центра тяжести самолета по осям 21, xx .
10
x2
3
-11
-12
1
5
5
x
x1
x2
x3
Рис. 3. Положение грузов в решении задачи (8)
Метод обратно-выпуклого программирования и оптимальная упаковка грузов
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 103
Т а б л и ц а 4 . Решение задачи (8)
Номер
п/п
1
∗x 2
∗x 3
∗x
1 –0,182 1,157 0,500
2 –0,182 0,047 0,500
3 0,318 –1,048 0,250
4 –0,682 –1,047 0,840
5 1,818 0,605 1,314
Изложенное выше подтверждает эффективность применения метода
обратно-выпуклого программирования для решения конкретных задач упа-
ковки грузов в самолетах и то, что формализованная модель задачи упаков-
ки грузов адекватно учитывает расположение центра тяжести самолета и
специфику размещения грузов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тот Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. — М.: Физ-
матгиз, 1958. — 363 с.
2. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковка шаров, решетки и группы. — М.: Мир,
1990. — 1, 2. — 791с.
3. Пшеничный Б.Н., Соболенко Л.А. Метод линеаризации для обратно-выпуклого
программирования // Кибернетика и системный анализ. — 1995. — № 6. —
С. 86–97.
4. Пшеничный Б. Н., Соболенко Л. А. Метод обратно-выпуклого программирова-
ния и укладка параллелепипедов // Кибернетика и системный анализ. —
1996. — № 3. — С. 16–26.
5. Пшеничный Б.Н., Соболенко Л.А. Использование метода линеаризации в не-
гладкой оптимизации // Міжнар. конф. з управління «Автоматика 2000»,
Львів, 11 – 15 вересня 2000 р. — Львів, 2000. — 1. — С. 217–221.
6. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М.: Наука,
1980. — 319 с.
7. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. — М.: Наука, 1983. — 136 с.
Поступила 1.08.2003
|
| id | journaliasakpiua-article-172275 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:33Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/e5/975cabb0e583643ae2d6cb4fc6757de5.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1722752019-07-02T15:42:32Z Method of inverse-convex programming and optimal goods packing Метод обратно-выпуклого программирования и оптимальная упаковка грузов Метод обернено-опуклого програмування та оптимальне пакування вантажів Ostapenko, V. V. Sobolenko, L. A. Prokhorovich, I. V. Formalization of the problem for optimal goods packing for an airplane is proposed. To solve the problem, the method of inverse-convex programming is used. Numerical calculations of test and real problems are presented. Предложена формализация задачи оптимальной упаковки грузов в самолет. Для ее решения используется метод обратно-выпуклого программирования. Приведены численные расчеты тестовых и реальных задач. Запропоновано формалізацію задачі оптимального пакування вантажів у літак. Для її розв’язання використовується метод обернено-опуклого програмування. Наведені чисельні розрахунки тестових і реальних задач. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-07-02 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172275 System research and information technologies; No. 2 (2004); 95-103 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2004); 95-103 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2004); 95-103 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172275/172018 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Ostapenko, V. V. Sobolenko, L. A. Prokhorovich, I. V. Метод обернено-опуклого програмування та оптимальне пакування вантажів |
| title | Метод обернено-опуклого програмування та оптимальне пакування вантажів |
| title_alt | Method of inverse-convex programming and optimal goods packing Метод обратно-выпуклого программирования и оптимальная упаковка грузов |
| title_full | Метод обернено-опуклого програмування та оптимальне пакування вантажів |
| title_fullStr | Метод обернено-опуклого програмування та оптимальне пакування вантажів |
| title_full_unstemmed | Метод обернено-опуклого програмування та оптимальне пакування вантажів |
| title_short | Метод обернено-опуклого програмування та оптимальне пакування вантажів |
| title_sort | метод обернено-опуклого програмування та оптимальне пакування вантажів |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172275 |
| work_keys_str_mv | AT ostapenkovv methodofinverseconvexprogrammingandoptimalgoodspacking AT sobolenkola methodofinverseconvexprogrammingandoptimalgoodspacking AT prokhorovichiv methodofinverseconvexprogrammingandoptimalgoodspacking AT ostapenkovv metodobratnovypuklogoprogrammirovaniâioptimalʹnaâupakovkagruzov AT sobolenkola metodobratnovypuklogoprogrammirovaniâioptimalʹnaâupakovkagruzov AT prokhorovichiv metodobratnovypuklogoprogrammirovaniâioptimalʹnaâupakovkagruzov AT ostapenkovv metodobernenoopuklogoprogramuvannâtaoptimalʹnepakuvannâvantažív AT sobolenkola metodobernenoopuklogoprogramuvannâtaoptimalʹnepakuvannâvantažív AT prokhorovichiv metodobernenoopuklogoprogramuvannâtaoptimalʹnepakuvannâvantažív |