Числове моделювання задачі керування хвильовими процесами в неоднорідних середовищах
An optimal control problem for parabolic Schrodinger-type wave equation with a complex non-self conjugate operator is considered. An optimality criterion is formulated. A numerical method for solving optimisation problem is proposed. A difference scheme stability is examined.
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176741 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302608074866688 |
|---|---|
| author | Gladky, A. V. Skopetsky, V. V. Harrison, D. A. |
| author_facet | Gladky, A. V. Skopetsky, V. V. Harrison, D. A. |
| author_sort | Gladky, A. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-08-23T03:22:41Z |
| description | An optimal control problem for parabolic Schrodinger-type wave equation with a complex non-self conjugate operator is considered. An optimality criterion is formulated. A numerical method for solving optimisation problem is proposed. A difference scheme stability is examined. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:26:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.В. Гладкий, В.В. Скопецкий, Д.А.Харрисон
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 1 131
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ
І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ
СИСТЕМ
УДК 517.9:519.6
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
ВОЛНОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
А.В. ГЛАДКИЙ, В.В. СКОПЕЦКИЙ, Д.А. ХАРРИСОН
Рассматривается задача оптимального управления для параболического
волнового уравнения типа Шредингера с комплексным несамосопряженным
оператором. Сформулирован критерий оптимальности; предложен численный
метод решения оптимальной задачи и исследована устойчивость разностной
схемы.
Основой успешного решения широкого круга научно-технических задач
дистанционного мониторинга природных сред являются достоверные
математические модели распространения волновых процессов на большие
расстояния и эффективные численно-аналитические методы их
исследования [1–3]. Значительный интерес, прежде всего для многих
разделов геофизики и акустики океана, представляют вопросы
формирования акустических полей с заданными свойствами и исследования
особенностей распространения звуковых волн в неоднородных волноводах с
учетом потерь в среде.
С математической точки зрения расчет звукового поля точечного или
распределенного источников сводится к решению краевой задачи для
эллиптического волнового уравнения Гельмгольца в неоднородных
областях. Отличительными особенностями таких задач являются
комплекснозначность решения, несамосопряженность дифференциального
оператора по пространственным переменным, неоднородность и
неограниченность области определения исследуемых процессов. Один из
подходов к решению краевых задач для уравнения Гельмгольца в
неограниченных областях состоит в использовании параболических
аппроксимаций. В предположении плавно изменяющихся параметров среды
он позволяет свести решение краевых задач к решению задачи Коши для
уравнений параболического типа с несамосопряженным комплекснозначным
оператором, что приводит к необходимости разработки эффективных
численных методов решения соответствующих аппроксимационных
задач.
Рассмотрим оптимизационную задачу формирования звукового поля с
заданными свойствами в подводном неоднородном волноводе, предполагая,
что распространение акустической энергии описывается параболическим
приближением. В рамках этого приближения при описании акустического
поля в осесимметрическом волноводе { ,0 ∞<<= rrG }0,0 0 ><< rLz ,
А.В. Гладкий, В.В. Скопецкий, Д.А. Харрисон
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 1 132
где ),( zr — цилиндрические координаты и ось z направлена вертикально
вниз, широко используется волновое параболическое уравнение [4]
0)),(1),((2 22
02
2
0 =+−+
∂
∂
+
∂
∂ pzrizrnk
z
p
r
pik υ . (1)
Здесь ),( zrp — комплекснозначная функция; 1−=i — мнимая
единица; 00 /2 cfk π= — волновое число; ),(/),( 0 zrcczrn = , 0),( ≥zrυ —
непрерывные достаточно гладкие функции (коэффициенты преломления и
поглощения соответственно).
Дифференциальное уравнение (1) является базовым для определения
дальнего комплекснозначного акустического давления ),( zrP , создаваемого
точечным гармоническим источником с координатами ),0( 0z . Это давление
удовлетворяет уравнению Гельмгольца
r
zzrPzrizrnk
z
P
r
Pr
r
u
r π
δδ
υ
2
)()()),(),((1 022
02
2 −
−=++
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
и при 10 >>rk представляется в виде ),()(),( 0
)1(
0 zrprkHzrP = , где )()1(
0 ⋅H
— функция Ханкеля первого рода нулевого порядка. Для волн,
распространяющихся в направлениях, близких к горизонтальному, плавная
комплекснозначная амплитуда ),( zrp удовлетворяет псевдодифференци-
альному уравнению
( ) ,0)( 2/1
0 =+−+
∂
∂ pQEEik
r
p (2)
где Е — единичный оператор, а оператор Q определяется выражением
p
zk
EzrizrnQp ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++−= 2
2
2
0
2 1),(1),(( υ .
Подставляя в уравнение (2) приближенное выражение оператора корня
квадратного в виде
,
2
1)( 2/1 QEQE +≅+
получаем параболическое волновое уравнение (1).
Отметим, что область эффективного использования уравнения (1) для
моделирования акустических волн ограничена углами распространения до
горизонтали, не превышающими 10 . Кроме того, наличие в уравнении (1)
мнимого коэффициента ),( zrυ позволяет проводить моделирование
акустических полей с учетом поглощения.
Сформулируем математическую постановку задачи управления
звуковыми полями в неоднородном волноводе как решение вариационной
задачи минимизации некоторого функционала с целью обеспечения
минимального отклонения характеристик акустического поля от заданных в
Численное моделирование задачи управления волновыми процессами …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 1 133
некоторой области волновода. При этом в качестве управления принимается
начальное распределение решения краевой задачи Для определенности
будем считать, что нижняя граница волновода мягкая, т.е. взаимодействие
акустического поля с дном описывается однородным граничным условием
первого рода. Тогда одну из экстремальных задач математически можно
сформулировать следующим образом.
Требуется минимизировать функционал
[ ]∫ +−=
L
dzzuzzpzRpzuJ
0
22
0 )()()(),()()( γα (3)
при условии, что ),,( uzrp является решением начально-краевой задачи
Gzrpzrizrnk
z
p
r
pik ∈=+−+
∂
∂
+
∂
∂ ),(,0)),(1),((2 22
02
2
0 ν , (4)
,,0,0 00 ∞<≤== == rrpp Hzz (5)
Lzzuzrp <<= 0),(),( 0 . (6)
Здесь ),,( ),( uzRpzRp = ; 0)(,0)( ≥> zz γα — заданные непрерывные
вещественные весовые функции; )(0 zp — заданная комплекснозначная
функция; )(zu — комплекснозначное управление из множества
U = { 1)(:)()( )(2 2
≤Ω∈ ΩLzuLzu },
где )(2 ΩL — пространство комплекснозначных функций, интегрируемых с
квадратом в области ),0( L=Ω . Скалярное произведение и норма в )(2 ΩL
определяются по формулам
( ) ,)()(,,
2/1
2
)(
2/1
2 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∫∫
Ω
Ω
Ω
dzzuzudzvuvu L
в которых черта означает комплексное сопряжение.
Таким образом, оптимизационная задача состоит в определении
комплекснозначного управления Uu∈ , при котором функционал (1)
достигает своей нижней грани. Покажем, что при каждом фиксированном
элементе Uu∈ соответствующее решение ),,( ),( uzrpzrp = задачи (4) – (6)
определяется однозначно.
Имеет место следующая лемма.
Лемма 1. Для комплекснозначного решения начально-краевой задачи
(4) – (6) справедлива оценка
А.В. Гладкий, В.В. Скопецкий, Д.А. Харрисон
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 1 134
( )∞∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫∫ ,,)(),( 0
2/1
0
2
2/1
0
2 rrdzzudzzrp
LL
. (7)
Для доказательства неравенства (7) умножим скалярно уравнение (4) на
комплексно-сопряженную функцию ),,( uzrp :
∫∫∫ =+−+
∂
∂
+
∂
∂ LLL
dzpzrizrnkdzp
z
pdzp
r
pik
0
222
0
0
2
2
0
0 0)),(1),((2 υ . (8)
Отделяя мнимую часть в тождестве (8), получаем
∫ ∫ ∫ +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂L L L
pdz
z
pdzp
z
p
i
dzp
r
pp
r
pk
0 0 0
2
2
2
2
0 2
1
∫ =+
L
dzpzrk
0
22
0 0),(υ . (9)
Учитывая граничные условия (5), находим
0
0 0
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
∫ ∫
L L
pdz
z
pdzp
z
p .
В результате соотношение (8) принимает вид
∫∫ =+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂ LL
dzpzrkdzp
r
pp
r
pk
0
22
0
0
0 0)),(υ .
Проинтегрируем (9) по ),( 0 Rrr∈ , тогда после преобразований и учета
условий (5) имеем
∫ ∫∫∫ =+=
L LR
r
L
Rr dzudrdzpzrkdzp
0 0
22
0
0
2 )),(
0
υ . (10)
Поскольку 0),( ≥zrυ , то из (10) окончательно следует неравенство (7).
Оценка (7) означает единственность решения задачи (4) – (6) и его
непрерывную зависимость от начальных данных.
Исследуем дифференциальные свойства функционала (3). Для
использования градиентных методов оптимизации [5] покажем, что
функционал (3) дифференцируемый в произвольной точке Uzu ∈)( в
комплексном пространстве со скалярным произведением
)(2),Re(, Ω=>< Lvuvu . (11)
Для этого достаточно оценить главную линейную часть приращения
функционала )()()( uJuuJuJ −+=∆ δ в зависимости от приращения
управления .uδ
Рассмотрим более конкретно случай амплитудно-фазового управления,
для которого управление Uu∈ представляет собой комплекснозначную
Численное моделирование задачи управления волновыми процессами …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 1 135
функцию. Легко видеть, что в этом случае приращение решения
),,(),,( uzrpuuzrpp −+= δδ удовлетворяет краевой задаче
Gzrpzrizrnk
z
p
r
pik ∈=+−+
∂
∂
+
∂
∂ ),(,0)),(1),((2 22
02
2
0 δυδδ , (12)
∞<≤== == rrpp Hzz 00 ,0,0 δδ (13)
с начальным условием
).(
0
zup rr δδ == (14)
Рассматривая теперь выражение для приращения функционала (3),
имеем
[ ]{ [ ]}dzuuuzpuppuupzuJ
L
22
0
2
0
2
0 )()()()()( −++−−−+=∆ ∫ δγδα
где ),,()(),,,()( uzRpupuuzRpuup =+=+ δδ .
После несложных преобразований приращение функционала можна
записать в виде
( ) ∫∫ ++−=∆
LL
dzuuzdzpuppzuJ
00
0 )(Re2)()(Re2)( δγδα
[ ] .)()(
0
22
∫ ++
L
dzuzpz δγδα (15)
Для оценки второго слагаемого в выражении (15) воспользуемся
неравенством (7), учитывая, что приращение решения pδ удовлетворяет
краевой задаче (12) – (14). Отсюда имеем неравенство
,)(
0 0
22
∫ ∫≤=
L L
dzuMdzpz Rr δδα (16)
где 0const >=M .
Учитывая оценку (16), для приращения функционала )(uJ∆ получаем
( )∫ +−=∆
L
dzpuppzuJ
0
0)()(Re2)( δα
).()(Re2 )(
0
2 Ω∫ ++ L
L
uodzuuz δδγ (17)
Чтобы окончательно определить выражение для главной линейной
части в (17), введем в рассмотрение сопряженную функцию
А.В. Гладкий, В.В. Скопецкий, Д.А. Харрисон
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 1 136
),,(),( uzrzr ψψ = как решение в области { }LzRrrGR <<<<= 0,0
начально-краевой задачи
RGzrzrizrnk
zr
ik ∈=+−+
∂
∂
+
∂
∂
− ),(,0)),(1),((2 22
02
2
0 ψυψψ , (18)
,,0,0 00 RrrLzz ≤≤== == ψψ (19)
))()((2 0pupzRr −== αψ . (20)
Аналогично доказательству леммы 1 легко показать, что справедливо
следующее утверждение.
Лемма 2. Для решения сопряженной задачи (18)–(20) и задачи (12)–(14)
имеет место соотношение
dzpdzp Rr
L
rr
L
== ∫∫ = δψδψ
00
0
. (21)
Принимая во внимание начальное условие (14), выражение для приращения
функционала (17) можно окончательно представить в виде
( ) ).()(Re2Re)( )(
00
20 Ω= ∫∫ ++=∆ L
LL
rr uodzuuzdzuuJ δδγψδ (22)
Отсюда следует дифференцируемость функционала )(uJ по )(zu в )(2
2 ΩL .
Легко также видеть, что функционал (3) выпуклый.
Таким образом, установлена следующая теорема.
Теорема 1. Функционал (3) является выпуклым на множестве U ,
дифференцируемым по Фреше в пространстве )(2
2 ΩL действительных пар
.)Im,(Re uu Градиент функционала определяется выражением
})(2),,(,)(2),,({)( 202101 uzuzruzuzruJ γψγψ ++=′ , (23)
где )()( 21 ziuzuu += , 21 ψψψ i+= — комплекснозначное решение задачи
(18)–(20).
Из вышеизложенного следует, что для определения градиента
функционала (3) необходимо при фиксированном )(zu получить решение
двух краевых задач. Вначале с помощью задачи (4) – (6) нужно определить
функцию ),,( uzrp , а затем из (18)–(20) найти значение сопряженной
функции и подставить его в формулу (23). Для численного решения
начально-краевых задач (4) – (6) и (18) – (20) с комплексным
несамосопряженным оператором наиболее удобным является метод сеток,
применение которого требует исследования устойчивости по начальным
данным, по правой части, а также сходимости и оценки скорости
сходимости решения разностной схемы.
Рассмотрим болеее подробно некоторые из этих вопросов на примере
дифференциальной задачи (4) – (6). Следует отметить, что при исследовании
Численное моделирование задачи управления волновыми процессами …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 1 137
разностных схем наиболее важным является вопрос устойчивости по
начальным данным.
Для численного исследования дифференциальной задачи (4) – (6) на
сетке
hhhhhh ωωωγωωωω ττττττ ×==×= ,∪ ,
},/,,0,{ NLhNkkhzz kh =====ω
...},,2,1,0,{ 0 =+=== mmrrr m τωτ
,...},2,1,{ 0 =+=== mmrrr m τωτ
},/,1,1,{ NLhNkkhzz kh =−====ω
где hτγ — множество граничных узлов, уравнению (4) поставим в
соответствие разностное уравнение
.0))1((2 0 =+−+Λ+ ϕσσ yyyik r (24)
Здесь σ — числовой параметр, сеточная функция ϕ подлежит
определению из условия аппроксимации и введены следующие
обозначения [6]:
,/)(,,),( 1 τyyyyyyzryyy r
m
kkkm
m
k −===== +
,/)(,/)( 11 hyyyhyyy kkzkkz −+ −=−=
( )m
k
m
k
m
kzzzz yyy
h
yy
h
yy +−=−==Λ + 21)(1
12 .
Пользуясь разложением в ряд Тейлора, легко показать, что для
погрешности аппроксимации уравнения (24) справедливо соотношение
)())1((2 22
0 hOuuuik r +=+−+Λ+= τϕσσψ ,
если ,~~,2/1 yb== ϕσ )),(1),((),( 2
0 zrizrnkzrb υ+−= , ),2/(~ zrbb τ+= .
Полагая 2/)(~~~ yybyb += , задаче (4) – (6) можно поставить в
соответствие двухслойную неявную разностную схему второго порядка
аппроксимации
,02/)y)(,(~)(5,02 0 =+++Λ+ yzrbyyyki r
.0),()0,(,),( 00 === Lryryuzry (25)
Для исследования разностной схемы (25) введем гильбертово
пространство H комплекснозначных функций, заданных на hω и
А.В. Гладкий, В.В. Скопецкий, Д.А. Харрисон
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 1 138
равных нулю при Lzz == ,0 . Пусть 2/1),(,),( yyyyvhyv
hz
== ∑
∈ω
—
соответственно скалярное произведение и норма H, где черта означает
комплексное сопряжение. Устойчивость по начальным данным будем
исследовать в энергетическом пространстве DH . Применительно к
двухслойной схеме (25) равномерная устойчивость по начальным данным в
DH означает выполнение энергетического неравенства ≤++ ),( 11 mm yDy
),( mm yDy≤ , ,...,2,1,0=m где D — некоторый ( возможно зависящий от r )
самосопряженный положительно определенный оператор [6].
Обозначим через yAy Λ−= оператор, определенный на множестве
сеточных функций Hy∈ . Тогда разностную схему (25) можно представить
в операторном виде
),(),(
,0
00 zuzry
CyByr
=
=+
(26)
где B, C — операторы, определяемые по формулам
,5,0)),(~5,02( 0 AEzrbkiB ττ −+=
,),(~ EzrbAC +−=
а E — единичный оператор.
Имеет место следующая лемма.
Лемма 3. Разностная схема (25) имеет единственное решение.
Для доказательства леммы нужно показать существование обратного
оператора 1−B в задаче (26). Известно, что для существования оператора
1−B , обратного к оператору B , действующего в комплексном конечномерном
пространстве, достаточно положительной определенности его действительной
2/)()(Re ∗+= BBB или мнимой )2/()()(Im iBBB ∗−= части. Здесь ∗B —
оператор, сопряженный к B . В данном случае существование 1−B следует,
например, из операторного неравенства
.0)2/)),(~Im(2()(
2
1)Im( 0 >+=−= ∗ EzrbkBB
i
B τ
Существование оператора 1−B означает, что решение на )1( +n -м шаге
можно записать через решение на n –м шаге в виде
.,)( 11 CBESSyyCBEy −− −==−= ττ
Перейдем к вопросу устойчивости задачи (25) по начальным данным.
Свойство устойчивости является важнейшей характеристикой вычислительного
алгоритма, поскольку гарантирует отсутствие накопления ошибок, допущенных
на некотором шаге вычислений.
Численное моделирование задачи управления волновыми процессами …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 1 139
Теорема 2. Разностная схема (25) устойчива по начальным данным в
норме H.
Доказательство теоремы проведем методом энергетических неравенств.
Для этого в задаче (25) умножим разностное уравнение скалярно на )( yy +
и возьмем мнимую часть. Тогда получим тождество
⎩
⎨
⎧ −++++− ))(),((
2
1))(,(2 0 yyyyAyyyik rIm
.0))(),)(,(~(
2
1
=
⎭
⎬
⎫++− yyyyzrb (27)
Далее последовательно найдем мнимую часть каждого слагаемого в
тождестве (27). Согласно определению мнимой части, после некоторых
преобразований получим
( ) ).(1()(
2
1))(( 22 yyyyyiyyiy
i
yyiy rrr −=+++=+
τ
Im (28)
Следовательно, для мнимой части скалярного произведения ))(,( yyiyr +
справедливо соотношение
))(,( yyiyr +Im = ).(1)( 221
,
1
1
yyyyyih n
k
n
kkr
N
k
−=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
++
−
=
∑ τ
Im (29)
Для второго слагаемого в (27) с учетом самосопряженности
оператора А имеем
{ } .,0),(),(
2
1),( yywAwwwAw
i
wAw +==−=Im (30)
Наконец, для определения мнимой части третьего слагаемого учтем,
что
2)()),(~Im())())(,(~( yyzrbyyyyzrb +=++Im
и
0),()),(~( 2
0 ≥= zrkzrb υIm .
В результате получаем
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
++=++ ++
−
=
∑ )()(~))(),)(,(~( 11
1
1
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
N
k
yyyybhyyyyzrb ImIm
.)()),(~(())~( 22/121
1
1
yyzrbyybh n
k
n
k
n
k
N
k
+=+= +
−
=
∑ ImIm (31)
Учитывая соотношения (29)–(31), тождество (27) можно представить
в виде
А.В. Гладкий, В.В. Скопецкий, Д.А. Харрисон
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 1 140
( ) 0)()),(~((
2
12 22/1220 =++− yyzrbyy
k
Im
τ
или
.)()),(~((
2
222/1
0
2 yyyzrb
k
y =++ Imτ
Отсюда приходим к неравенству
Hyyyy nnnn ∈≤ ++ 11 ,, , (32)
из которого следует равномерная устойчивость разностной схемы (25) по
начальным данным в норме ⋅ . Прямым следствием неравенства (32)
является оценка
0
0101 ,, uyHyyy nn =∈≤ ++ ,
выражающая устойчивость разностной схемы (25) по начальным данным в
норме H. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. — Л.:
Гидрометеоиздат, 1982. — 264 с.
2. Завадский В.Ю. Метод конечных разностей в волновых задачах акустики. —
М.: Наука, 1982.— 272 с.
3. Гладкий А.В., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Численно-аналитические методы
исследования волновых процессов. — Киев: Наук. думка, 2001. — 452 с.
4. Тапперт Ф.Д. Метод параболического уравнения // Распространение волн в
подводной акустике. — М.: Мир, 1980. — С. 180–226.
5. Васильев П. Ф. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981. —
400 с.
6. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.
— 416 с.
Поступила 20.12.2001
|
| id | journaliasakpiua-article-176741 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:26:23Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/b0/08bdd90f6140caaeffbd9d2fa0531db0.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1767412019-08-23T03:22:41Z Numerical modelling of problem of control wave processes in inhomogeneous domains Численное моделирование задачи управления волновыми процесами в неоднородных сферах Числове моделювання задачі керування хвильовими процесами в неоднорідних середовищах Gladky, A. V. Skopetsky, V. V. Harrison, D. A. An optimal control problem for parabolic Schrodinger-type wave equation with a complex non-self conjugate operator is considered. An optimality criterion is formulated. A numerical method for solving optimisation problem is proposed. A difference scheme stability is examined. Рассматривается задача оптимального управления для параболического волнового уравнения типа Шредингера с комплексным несамосопряженным оператором. Сформулирован критерий оптимальности; предложен численный метод решения оптимальной задачи и исследована устойчивость разностной схемы. Розглядається задача оптимального керування для параболічного хвильового рівняння типу Шредінгера з комплексним несамоспряженим оператором. Сформульовано критерій оптимальності, запропоновано числовий метод розв’язання оптимізаційної задачі та досліджено стійкість різницевої схеми. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-08-23 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176741 System research and information technologies; No. 1 (2002); 131-140 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2002); 131-140 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2002); 131-140 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176741/176565 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Gladky, A. V. Skopetsky, V. V. Harrison, D. A. Числове моделювання задачі керування хвильовими процесами в неоднорідних середовищах |
| title | Числове моделювання задачі керування хвильовими процесами в неоднорідних середовищах |
| title_alt | Numerical modelling of problem of control wave processes in inhomogeneous domains Численное моделирование задачи управления волновыми процесами в неоднородных сферах |
| title_full | Числове моделювання задачі керування хвильовими процесами в неоднорідних середовищах |
| title_fullStr | Числове моделювання задачі керування хвильовими процесами в неоднорідних середовищах |
| title_full_unstemmed | Числове моделювання задачі керування хвильовими процесами в неоднорідних середовищах |
| title_short | Числове моделювання задачі керування хвильовими процесами в неоднорідних середовищах |
| title_sort | числове моделювання задачі керування хвильовими процесами в неоднорідних середовищах |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176741 |
| work_keys_str_mv | AT gladkyav numericalmodellingofproblemofcontrolwaveprocessesininhomogeneousdomains AT skopetskyvv numericalmodellingofproblemofcontrolwaveprocessesininhomogeneousdomains AT harrisonda numericalmodellingofproblemofcontrolwaveprocessesininhomogeneousdomains AT gladkyav čislennoemodelirovaniezadačiupravleniâvolnovymiprocesamivneodnorodnyhsferah AT skopetskyvv čislennoemodelirovaniezadačiupravleniâvolnovymiprocesamivneodnorodnyhsferah AT harrisonda čislennoemodelirovaniezadačiupravleniâvolnovymiprocesamivneodnorodnyhsferah AT gladkyav čislovemodelûvannâzadačíkeruvannâhvilʹovimiprocesamivneodnorídnihseredoviŝah AT skopetskyvv čislovemodelûvannâzadačíkeruvannâhvilʹovimiprocesamivneodnorídnihseredoviŝah AT harrisonda čislovemodelûvannâzadačíkeruvannâhvilʹovimiprocesamivneodnorídnihseredoviŝah |