Збіжність ітерацій у формулі Троттера–Далецького для нелінійного збурення
An iterative method for constructing a solution to the Cauchy problem for a parabolic equation with a nonlinear potential ("reaction–diffusion" type equation) is proposed and substantiated. The method is based on the Trotter–Daletsky formula that is generalized for a nonlinear pert...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/184654 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302626590621696 |
|---|---|
| author | Bondarenko, Viktor G. Markevych, Ihor S. |
| author_facet | Bondarenko, Viktor G. Markevych, Ihor S. |
| author_sort | Bondarenko, Viktor G. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-13T15:15:18Z |
| description | An iterative method for constructing a solution to the Cauchy problem for a parabolic equation with a nonlinear potential ("reaction–diffusion" type equation) is proposed and substantiated. The method is based on the Trotter–Daletsky formula that is generalized for a nonlinear perturbation of an elliptic operator. The essence of the generalization is the composition of the semigroup of an elliptic generator and the phase flow generated by an ordinary differential equation. The estimates of the rate of convergence of iterations established in the proof of this formula were confirmed by the computational experiment performed for the Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov–Fisher equation. The obtained results suggest the feasibility of an unconventional approach to the modeling of dynamic systems with distributed parameters. A model of the space-time dynamics of the water community in terms of the two-species "predator–prey" system was shown as an example. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.3.11 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:26:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
, В.Г. Бондаренко, И.С. Маркевич, 2019
118 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3
УДК 517.956+519.63
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.3.11
СХОДИМОСТЬ ИТЕРАЦИЙ В ФОРМУЛЕ
ТРОТТЕРА–ДАЛЕЦКОГО ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО
ВОЗМУЩЕНИЯ
В.Г. БОНДАРЕНКО, И.С. МАРКЕВИЧ
Аннотация. Предложен и обоснован итерационный метод построения реше-
ния задачи Коши для параболического уравнения с нелинейным потенциалом
(уравнение типа «реакция–диффузия»). Основой метода является обобщенная
для нелинейного возмущения эллиптического оператора формула Троттера–
Далецкого. Суть обобщения—композиция полугруппы с эллиптическим гене-
ратором и фазового потока, порожденного обыкновенным дифференциальным
уравнением. Установленные при доказательстве этой формулы оценки скоро-
сти сходимости итераций подтверждены вычислительным экспериментом, вы-
полненным для уравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова–Фишера.
Полученные результаты позволяют предположить целесообразность нетради-
ционного подхода к моделированию динамических систем с распределенны-
ми параметрами. В качестве примера рассмотрена модель пространственно-
временной динамики водного сообщества в терминах двухвидовой системы
«хищник–жертва».
Ключевые слова: параболическое уравнение, полугруппа операторов, тео-
рия возмущений.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть 0 ttu — функция, принимающая значения в некотором нормиро-
ванном пространстве X , удовлетворяющая эволюционному уравнению
)Φ(u
dt
du
, (1)
где оператор Φ: XX . Следуя общепринятой терминологии, назовем
уравнение (1) динамической системой, а функцию )(tu — характеристикой
этой динамической системы. Если Φ: NN RR , т. е. ))(,),(()( 1 tutut Nu ,
и (1) — автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений
),,( 1 Ni
i uuf
dt
du
, (2)
то соответствующая динамическая система является объектом с сосредото-
ченными параметрами (ОСП). Если же —X функциональное пространство
)),(,),,((),()( 1 xxxu tututtu N ,
где x — пространственная переменная, ,dRx и оператор Φ содержит
дифференцирование по этой переменной, то уравнение (1) описывает дина-
мическую систему — объект с распределенными параметрами (ОРП). В ря-
Сходимость итераций в формуле Троттера–Далецкого для нелинейного возмущения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 119
де случаев математической моделью такого объекта является система полу-
линейных параболических уравнений (реакция–диффузия):
, )(ufuL
t
u
iii
i
Ni ,,1 , (3)
где iL — эллиптический оператор второго порядка:
k
ki
d
kkj
jki
d
kj
i x
b
xx
aL
)()( ,
2
,
,
xx ,
с гладкими коэффициентами, а матрицы )()( , ‖‖ xx jkii aA удовлетворяют
неравенствам , )( IAi x λ ,0 . ,,1 Ni Приведенные условия гаран-
тируют существование фундаментального решения
)),,(,),,,((),,( 1 yxyxyxp tptpt N
соответствующей линейной системы
ii
i qL
t
q
: yyxyxx dtpqqetq iii
tL
i
i ),,(),0()()),0((),( . (4)
Систему (3) рассматриваем как возмущенную систему (4), где возму-
щением является )(uf . Одним из методов построения решений возмущен-
ных эволюционных уравнений является их сведение к интегральному
уравнению . Так, решение ),( xtu задачи Коши для одномерного полули-
нейного параболического уравнения
)(ufLu
t
u
, )(),0( xx u , dRx , ,0t (5)
),)(()(tr 2 uxbuxALu
удовлетворяет интегральному уравнению
yyxyy dtyxtpufddyxtpyxtu
t
),,(),,()),((),,()(),(
0
,
Свойства квазилинейных параболических уравнений, в частности сис-
тем (3), рассмотрены в работах [1–3].
В работе объектом изучения являются некоторые свойства решения за-
дачи Коши (5), где функция f сохраняет постоянный знак на области зна-
чений ),( xtu , ограничена на этой области и удовлетворяет некоторым усло-
виям гладкости. Тогда ),( xtu — классическое решение, обладающее
непрерывными производными
t
u
,
kx
u
,
kj xx
u
2
.
Введем обозначения:
1) ),( atr — решение задачи Коши
)( rf
dt
dr
, ,),0( aar aGatr t),( , tG — фазовый поток;
В.Г. Бондаренко, И.С. Маркевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 120
2) ) ,( xtq — решение задачи Коши невозмущенного линейного пара-
болического уравнения
Lq
t
q
, ,)(),0( xx q yyxyxx dtpetq tL ),,()()()(),( ;
3) ),,()),(,(),( xxx tqGtqtrtv t композиция решений; ).(),0( xx v
В работах [4, 5 ] установлена связь между x,tu . ., xtv В частности,
обобщена для нелинейного возмущения формула, традиционно называемая
формулой Троттера, которая в работе [6] приведена в виде
B
n
T
A
n
T
n
BAT eee lim , (6)
где BABA , , — генераторы сжимающих 0C -полугрупп tAe , BAttB ee ,
в некотором банаховом пространстве,
T
n
kT
n
T
,, — разбиение отрезка
T;0 , .0T Эта формула независимо (при различных условиях и разными
методами) доказана в работах [7, 8], в связи с чем в дальнейшем (6) будем
называть формулой Троттера–Далецкого.
Цель работы — обобщение формулы Троттера–Далецкого и исследо-
вание сходимости соответствующих итераций вычислительным экспери-
ментом.
Предлагаемую конструкцию решения задачи Коши назовем методом
композиции.
МЕТОД КОМПОЗИЦИИ
Упомянутое обобщение формулы (6) доказано для нелинейного возмуще-
ния f оператора L (при некоторых условиях f ), т. е. для полулинейного
уравнения (3) — для скалярного случая (5) и системы
)(ujj
j fu
t
u
, )(),0( xx jju , dRx .
Обозначим через tH нелинейную полугруппу, порожденную генера-
тором :fL
),())()(( xx tutH .
Тогда
, lim)(
n
L
n
T
n
T
n
eGTH
(7)
где сходимость имеет место в норме пространства .)( dRC
Сходимость итераций в формуле Троттера–Далецкого для нелинейного возмущения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 121
Для доказательства (7) строятся последовательности функций
:0
n
T
t
yyxyx dtptq ),,()(),(0 , )),(,(),( 01 xx tqtrtv ;
yyxyx dtp
n
T
vtq ),,(,),( 11
, )),(,(, 12 xx tqtr
n
T
tv
;
yyxyx dtp
n
T
kvtq kk ),,(,),(
, )),(,(,1 xx tqtr
n
T
ktv kk
,
10 nk ;
xxx ,,),0( 1 n
kT
v
n
kT
vq kkk .
В терминах эволюционных операторов
, 1
n
kT
veG
n
kT
tv k
tL
tk ),( xTvn )( x
n
L
n
T
n
T eG .
Далее доказывается оценка
3
3
2 1
)),(),(( T
n
n
TuTvn
xx ,
т. е. скорость сходимости определяется неравенством
THeG
n
L
n
T
n
T 2
3
T
n
C
, ‖‖ — норма в )( dRC . (8)
Замечание. В монографии [9, c. 307–315] нелинейная формула Тротте-
ра–Далецкого для const)( AxA доказана в следующей версии. Для по-
следовательности
),(Tn
n
n
T
L
n
T
Ge
получена оценка nCTuT VVn ),(),( ‖‖‖‖ , где V — некоторое ба-
нахово пространство; приведен ряд примеров, )( dRCV , и сходимость
),( Tn требует дополнительных условий для начальной функции.
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В качестве примера для вычислительного эксперимента выберем уравнение
Колмогорова–Петровского–Пискунова–Фишера (КППФ)
)1(
2
2
uu
x
u
t
u
.
В.Г. Бондаренко, И.С. Маркевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 122
Решение задачи Коши ),( xtu для этого уравнения интерпретируется
как нормированная )10( u плотность популяции на одномерном ареале
и представляет собой волну, описывающую расселение популяции с на-
чальной плотностью ) ,0( xu [10]. Рассмотрим временной интервал ;10 t
тогда функцию ),( xtu достаточно исследовать в той части ареала, которой
достигла волна в некотором пространственном интервале ].:[ ll
Целью проведенного вычислительного эксперимента являются сравне-
ние решения ),( xTu задачи Коши для уравнения КППФ с функцией
),( xTvn , определенной равенством (8), и численная интерпретация скорости
сходимости итераций, соответствующая неравенству (9). Начальным усло-
вием выбрана функция
)1(2
1
),0(
2x
xu
.
Решение ),( xtu задачи Коши для уравнения КППФ получено числен-
ным методом с использованием пакета Matlab: при вычислении значений
),( xTvn использовалась функция pdepe пакета Matlab. Выбрана величина
параметра .6l Результаты вычислений представлены графически на
рис. 1–4.
Так, на рис. 1 изображена поверхность, заданная уравнением
),( xtuu , 66, 10 xt ,
на рис. 2, 3 изображены графики разности ),(),( xTvxTu n , т. е. отклоне-
ние композиции от решения задачи Коши.
На рис. 2:
2
1
T , ; 50n на рис. 3: 1T , 100n .
Рис. 1
1
0,5
0
1
0,5
0 –10 –5 0 5 10
0,15
0,1
0,05
0
u 1
–
u
2
Рис. 2
Сходимость итераций в формуле Троттера–Далецкого для нелинейного возмущения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 123
Зависимость отклонения ),(max),(),( xTuxTvxTuT xn ‖‖
),( xTvn от длины T временного интервала показана на рис. 4.
Результаты вычислений подтверждают оценку (8): погрешность при-
ближения убывает с возрастанием количества итераций и возрастает как
функция временного интервала длины T .
ОБСУЖДЕНИЕ АДЕКВАТНОСТИ ТРАДИЦИОННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ
Пусть ))(,),(( 1 tutu N — характеристика ОСП, удовлетворяющая уравне-
нию (2). Примерами таких объектов, в частности, являются:
сообщество «хищник–жертва», описываемое системой Лотки–
Вольтерра
),( 211
1 uuf
dt
du
, ) ,,( 212
2 uuf
dt
du
где ),(1 tu )(2 tu — плотность популяции жертвы и хищника, вид функций
if зависит от вида особей;
функционирование ряда технических систем, также описываемое
системой (2), где ))(,),(( 1 tutu N — параметры ОСП.
Если же исследуемый объект, изначально описываемый системой (2),
трансформируется таким образом, что его характеристики зависят от про-
странственной переменной, то он переходит в класс ОРП. Примерами таких
трансформаций являются расселение популяций по двумерному ареалу, или
наличие «протяженности» объекта (зависимость амплитуды колебаний кры-
0,3
0,2
0,1
0
u 1
–
u
2
Рис. 3
Рис. 4
0,3
0,2
0,1
0,0
u 1
–
u
2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Distance x Maximum of Solution Difference Distance x
В.Г. Бондаренко, И.С. Маркевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 124
ла самолета от расстояния до фюзеляжа). При таком переходе математиче-
ской моделью ОРП традиционно постулируется система уравнений (3)
(при этом строгое обоснование, как правило, отсутствует), где функции
)(uif те же, что и в равенстве (2). Иначе введение пространственной пере-
менной учитывается диффузионным слагаемым . Lu Так, в работах [12, 13]
исследована пространственно-временная динамика водного сообщества
в терминах двухвидовой системы «хищник–жертва» (зоопланктон–
фитопланктон). Пусть ),,,(1 yxtu ),,(2 yxtu — плотность фитопланктона и
зоопланктона соответственно. Предполагается, что данный объект описы-
вается математической моделью в виде системы уравнений
2
1
1
1111
1 )1( u
hu
u
uuuD
t
u
;
22
1
1
22
2 muu
hu
u
kuD
t
u
,
полученной из соответствующей системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений Лотки–Вольтерра добавлением оператора Лапласа. В ре-
зультате численного эксперимента установлено, что решение ) ,( 21 uu обра-
зует некоторую пространственную структуру. Но такому же свойству
удовлетворяет векторная функция — композиция )),,(,(),,( yxttyxt qrv ,
определенная выше, также претендующая на роль модели. Иначе, транс-
формацию ОСП в ОРП предлагается моделировать не обязательно добав-
лением эллиптического оператора, а методом композиции фазового потока
и полугруппы (возможно, разбиением временного интервала). Заметим, что
для такой модели некоторые свойства решений системы (2), соответствую-
щей ОСП, сохраняются (например, наличие предельных циклов).
ЛИТЕРАТУРА
1. Aronson D.G. Multidimensional Nonlinear Diffusion Arising in Population Genetics
// D.G. Aronson, H.F.Weinberger // Advances Mathematics. — 1978. —
V. 30. — P. 33–76.
2. Amann H. Dynamic theory of quasilinear parabolic equations. II. Reaction-diffusion
systems / H. Amann // Differential Integral Equations. — 1990. — V.3, N 1. —
P. 13–75.
3. Yagi A. Abstract parabolic evolution equations and their applications / A. Yagi. —
Berlin: Springer, 2010.
4. Бондаренко В.Г. Формула Троттера–Далецкого для нелинейного возмущения /
В.Г. Бондаренко // Украинский математический журнал. — 2018. — 70,
№ 12. — С. 1717–1722.
5. Бондаренко В.Г. Метод композиции для систем с распределенными парамет-
рами / В.Г. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2018. —
№ 4. — С. 112–120.
6. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения /
Дж. Голдстейн. — К.: Вища шк., 1989. — 347 с.
7. Trotter T.F. Of the product of semi-groups of operators / T.F. Trotter // Pros. Am.
Math. Soc. — V. 959, N 10. — P. 545–551.
Сходимость итераций в формуле Троттера–Далецкого для нелинейного возмущения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 125
8. Далецкий Ю.Л. Континуальные интегралы, связанные с операторными эволю-
ционными уравнениями / Ю.Л. Далецкий // УМН. — 1962.— T. 17, № 5. —
С. 3–115.
9. Taylor M.E. Partial Differential Equations III / M.E. Taylor. — New York: Springer
Verlag, 1997.
10. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в
экологии / Ю.М. Свирежев. — М.: Наука, 1987. — 368с.
11. Murray J.D. Mathematical Biology / J.D. Murray. — New York: Springer-Verlag,
2002. — Vol. 1, 2.
12. Медвинский А.Б. Формирование пространственно-временных структур, фрак-
талы и хаос в концептуальных экологических моделях на примере динами-
ки взаимодействующих популяций планктона и рыбы / А.Б. Медвинский,
С.В. Петровский, И.А. Тихонова и др. // Успехи физических наук. —
2002. — Т. 172, № 1. — C. 31–66.
13. Medvinsky A.B. Spatiotemporal complexity of plankton and fish dynamics /
A.B. Medvinsky, S.V. Petrovskii, I.A. Tikhonova, H. Malchow // SIAM Re-
view. — 2002. — V. 44, N 3. — P. 311–370.
Поступила 17.07.2019
|
| id | journaliasakpiua-article-184654 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:26:32Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/7a/5000811e396efa327c0c0af2d327687a.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1846542019-12-13T15:15:18Z On the convergence of iterations in the Trotter–Daletsky formula for nonlinear perturbation Сходимость итераций в формуле Троттера–Далецкого для нелинейного возмущентия Збіжність ітерацій у формулі Троттера–Далецького для нелінійного збурення Bondarenko, Viktor G. Markevych, Ihor S. parabolic equation Semigroup of operators perturbation theory параболічне рівняння півгрупа операторів теорія збурень параболическое уравнение полугруппа операторов теория возмущений An iterative method for constructing a solution to the Cauchy problem for a parabolic equation with a nonlinear potential ("reaction–diffusion" type equation) is proposed and substantiated. The method is based on the Trotter–Daletsky formula that is generalized for a nonlinear perturbation of an elliptic operator. The essence of the generalization is the composition of the semigroup of an elliptic generator and the phase flow generated by an ordinary differential equation. The estimates of the rate of convergence of iterations established in the proof of this formula were confirmed by the computational experiment performed for the Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov–Fisher equation. The obtained results suggest the feasibility of an unconventional approach to the modeling of dynamic systems with distributed parameters. A model of the space-time dynamics of the water community in terms of the two-species "predator–prey" system was shown as an example. Предложен и обоснован итерационный метод построения решения задачи Коши для параболического уравнения с нелинейным потенциалом (уравнение типа "реакция–диффузия"). Основой метода является обобщенная для нелинейного возмущения эллиптического оператора формула Троттера–Далецкого. Суть обобщения—композиция полугруппы с эллиптическим генератором и фазового потока, порожденного обыкновенным дифференциальным уравнением. Установленные при доказательстве этой формулы оценки скорости сходимости итераций подтверждены вычислительным экспериментом, выполненным для уравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова–Фишера. Полученные результаты позволяют предположить целесообразность нетрадиционного подхода к моделированию динамических систем с распределенными параметрами. В качестве примера рассмотрена модель пространственно-временной динамики водного сообщества в терминах двухвидовой системы "хищник–жертва". Запропоновано й обґрунтовано ітераційний метод побудови розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з нелінійним потенціалом (рівняння типу "реакція–дифузія"). Основою методу є узагальнена для нелінійного збурення еліптичного оператора формула Троттера–Далецького. Суть узагальнення — композиція півгрупи еліптичного генератора і фазового потоку, породженого звичайним диференціальним рівнянням. Установлені під час доведення цієї формули оцінки швидкості збіжності ітерацій підтверджені обчислювальним експериментом, виконаним для рівняння Колмогорова–Петровськог–Піскунова–Фішера. Отримані результати дозволяють припустити доцільність нетрадиційного підходу до моделювання динамічних систем з розподіленими параметрами. Як приклад розглянуто модель просторово-часової динаміки водного співтовариства в термінах системи "хижак–жертва". The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-10-07 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/184654 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.3.11 System research and information technologies; No. 3 (2019); 118-125 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2019); 118-125 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2019); 118-125 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/184654/184350 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | параболічне рівняння півгрупа операторів теорія збурень Bondarenko, Viktor G. Markevych, Ihor S. Збіжність ітерацій у формулі Троттера–Далецького для нелінійного збурення |
| title | Збіжність ітерацій у формулі Троттера–Далецького для нелінійного збурення |
| title_alt | On the convergence of iterations in the Trotter–Daletsky formula for nonlinear perturbation Сходимость итераций в формуле Троттера–Далецкого для нелинейного возмущентия |
| title_full | Збіжність ітерацій у формулі Троттера–Далецького для нелінійного збурення |
| title_fullStr | Збіжність ітерацій у формулі Троттера–Далецького для нелінійного збурення |
| title_full_unstemmed | Збіжність ітерацій у формулі Троттера–Далецького для нелінійного збурення |
| title_short | Збіжність ітерацій у формулі Троттера–Далецького для нелінійного збурення |
| title_sort | збіжність ітерацій у формулі троттера–далецького для нелінійного збурення |
| topic | параболічне рівняння півгрупа операторів теорія збурень |
| topic_facet | parabolic equation Semigroup of operators perturbation theory параболічне рівняння півгрупа операторів теорія збурень параболическое уравнение полугруппа операторов теория возмущений |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/184654 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkoviktorg ontheconvergenceofiterationsinthetrotterdaletskyformulafornonlinearperturbation AT markevychihors ontheconvergenceofiterationsinthetrotterdaletskyformulafornonlinearperturbation AT bondarenkoviktorg shodimostʹiteracijvformuletrotteradaleckogodlânelinejnogovozmuŝentiâ AT markevychihors shodimostʹiteracijvformuletrotteradaleckogodlânelinejnogovozmuŝentiâ AT bondarenkoviktorg zbížnístʹíteracíjuformulítrotteradalecʹkogodlânelíníjnogozburennâ AT markevychihors zbížnístʹíteracíjuformulítrotteradalecʹkogodlânelíníjnogozburennâ |