Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі

A generalization of the classical surface measure construction for smooth elementary surfaces of the arbitrary codimension embedded in a finite-dimensional Euclidean space is proposed. Namely, an approach to constructing a surface measure associated with a measure that is absolutely continuous with...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2019
1. Verfasser:	Snizhko, Bohdan M.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019
Schlagworte:	асоційована поверхнева міра гладка елементарна поверхня міра Жордана міра Лебега неінваріантна міра
Online Zugang:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/188566
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	System research and information technologies
Завантажити файл:

Institution

System research and information technologies

_version_	1867334403254910976
author	Snizhko, Bohdan M.
author_facet	Snizhko, Bohdan M.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Bohdan M. Snizhko", "institution": "Навчально-науковий комплекс \"Інститут прикладного системного аналізу\" Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ" } ]
author_sort	Snizhko, Bohdan M.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-02T17:05:10Z
description	A generalization of the classical surface measure construction for smooth elementary surfaces of the arbitrary codimension embedded in a finite-dimensional Euclidean space is proposed. Namely, an approach to constructing a surface measure associated with a measure that is absolutely continuous with respect to the invariant Lebesgue measure is presented. This construction of the associated surface measure is correct in the sense that the value of the indicated surface measure does not depend on the choice of its parameterization in a class of equivalent parameterizations. An adequacy of the proposed approach is confirmed by the fact that the surface measure associated with the invariant Lebesgue measure coincides with the well-known classical surface measure construction, a particular case of which (area of a two-dimensional smooth parameterized surface in a three-dimensional space) is considered in the calculus course.
doi_str_mv	10.20535/SRIT.2308-8893.2019.4.12
first_indexed	2025-07-17T10:26:38Z
format	Article
fulltext	 Б.М. Сніжко, 2019 Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 4 119 TIДC НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ УДК 517.518.11+517.518.18 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.4.12 ПОВЕРХНЕВІ МІРИ, АСОЦІЙОВАНІ З НЕІНВАРІАНТНОЮ МІРОЮ У СКІНЧЕННОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ Б.М. СНІЖКО Анотація. Запропоновано узагальнення класичної конструкції поверхневої мі- ри для гладких елементарних поверхонь довільної корозмірності, укладених у скінченновимірний евклідів простір, а саме: висвітлено підхід до побудови поверхневої міри, асоційованої з мірою у просторі, абсолютно неперервною відносно інваріантної міри Лебега. Наведена конструкція асоційованої поверх- невої міри є коректною в тому сенсі, що значення вказаної міри поверхні не залежить від вибору її параметризації у класі еквівалентних параметризацій. Адекватність запропонованого підходу підтверджується тим, що поверхнева міра, асоційована з інваріантною мірою Лебега, збігається з відомою класич- ною конструкцією поверхневої міри, частинний випадок якої (площа двовимір- ної гладкої параметризованої поверхні у тривимірному просторі) розглядаєть- ся в курсі математичного аналізу. Ключові слова: асоційована поверхнева міра, гладка елементарна поверхня, міра Жордана, міра Лебега, неінваріантна міра. ВСТУП Методи і результати нескінченновимірного аналізу знаходять нині широке застосування у теорії випадкових процесів, теоретичній фізиці тощо. Особ- ливістю нескінченновимірного аналізу є відсутність інваріантних мір (тобто ненульових мір, які не змінюються у разі зсувів множин) у нескінченнови- мірних просторах. Тому актуальною задачею постає дослідження неінва- ріантних мір на лінійних просторах та на нелінійних багатовидах. Водночас одним із найбільш актуальних питань нескінченновимірного аналізу натепер є проблема конструювання поверхневих мір на поверхнях, укладених у простір довільної (скінченної або нескінченної) розмірності. У праці [1] розроблено метод побудови поверхневих мір на поверхнях скін- ченної корозмірності, укладених у банахів багатовид з рівномірною струк- турою, у [2] виконано аналіз транзитивності поверхневих мір, уведених у [1]. А у [3] для випадку поверхонь, укладених у скінченновимірний простір, досліджено питання узгодженості вказаного підходу до побудови поверхне- вої міри із класичною конструкцією площі (об’єму) поверхні. Роботу присвячено розробленню коректної конструкції міри на поверх- нях у скінченновимірному евклідовому просторі, асоційованої з неінваріантною Б.М. Сніжко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 4 120 мірою, заданою у цьому просторі, та дослідженню властивостей вказаної конструкції. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Нехай X — абстрактна множина, A — алгебра підмножин в X . Мірою на вимірному просторі ),( AX будемо називати довільну зліченно-адитивну функцію  на A зі значеннями в ],(  або ),[  , яка задовольняє умову 0)(  [4]. Нехай m ; m — інваріантна міра Лебега в m . Введемо позначен- ня mA для  -алгебри вимірних за Лебегом підмножин m . Через  тут і далі позначатимемо міру, яка задана на ),( m m A і є абсолютно неперервною відносно міри m . Вважатимемо також, що відповідна похідна Радона– Нікодима md d f   : є неперервною функцією на m . При цьому для кожної множини mA A виконується рівність m A dfA  )( [4]. Мета роботи — запропонувати конструкцію поверхневої міри, асоці- йованої з мірою  , яка задовольняла б такі умови: а) асоційована поверхнева міра має бути визначена принаймні для тих гладких елементарних поверхонь в m , для яких існує класична поверхнева міра; б) за умови 1f (тобто у випадку m ) асоційована поверхнева мі- ра має збігатися з класичною; в) асоційована міра гладкої елементарної поверхні не повинна змінити- ся, якщо параметризацію цієї поверхні замінити на еквівалентну параметри- зацію. ПОПЕРЕДНІ ВІДОМОСТІ Зафіксуймо довільне натуральне число m . Якщо не вказано інше, вважаєть- ся, що k — таке натуральне число, що mk  . Означення 1. Нехай kD  — вимірна за Жорданом множина; mDr :  — таке відображення, що );(1 mDCr   , а також kur  )(rang  в усіх точках Du  . Тоді множину )(Dr  будемо називати гладкою k -вимірною елементарною поверхнею в m . Водночас відображення r  називають параметризацією цієї поверхні. Означення 2. Нехай )(: DrS   — гладка k -вимірна елементарна по- верхня в m . Класичною поверхневою мірою S будемо називати число   ,det: 1  D kuk duduS  (1) де u  — матриця Грама системи векторів )}(,),({ 1 urur k   ; )(uri  – i -й стовпець матриці )(ur  . Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 4 121 Зауваження 1. Означення 2 є коректним лише в тому разі, коли інтег- рал у формулі (1) існує. Зокрема він існує, якщо D — вимірна за Жорданом область в k і );(1 mDCr   [5]. Означення 3. Нехай S — гладка k -вимірна елементарна поверхня в m . Параметризації SDr 11 :  та SDr 22 :  поверхні S називатимемо еквівалентними, якщо існує дифеоморфізм 21: DDF   , для якого Frr   21  . Можна узагальнити результат, наведений у посібнику [6], і отримати таке твердження: якщо )(DrS   — гладка k -вимірна елементарна поверхня в m , kU  — відкрита множина, UD  , );(1 mUCr   , kur  )(rang  в усіх точках Uu  , то класична поверхнева міра S існує і не змінюється у разі заміни r  на еквівалентну параметризацію. Нехай ),( dX — довільний метричний простір. Через ),( aB X будемо позначати відкриту кулю із центром у точці Xa радіуса 0 у просто- рі X . Таким чином, }),(:{:),(  axdXxaB X . Уведемо також позна- чення ],[ aB X для замкненої кулі із центром у точці Xa радіуса 0 у просторі X , тобто }),(:{:],[  axdXxaB X . Якщо ),( dX — метрич- ний простір і  — додатне число, то через W позначаємо  -окіл множини XW  . Виконується рівність ),(    yBW Wy X . Зафіксуємо на m канонічний скалярний добуток ),(  , узгоджену з ним евклідову норму  та метрику  , породжену евклідовою нормою. Для відкритої та замкненої куль (за метрикою  ) в m із центром у точці ma   радіуса 0 будемо використовувати дещо спрощені позначення ),( aBm  та ],[ aBm  відповідно. Уведемо до розгляду такі лінійні оператори: – оператор km k   : проектування на перші k координат, який кожній точці m mk xxxx  T 1 ),,,,(  ставить у відповідність T 1 ),,(:)( kk xxx   ; – оператор km k   :~ проектування на останні k координат, який кожній точці m mkm xxxx   T 11 ),,,,(  ставить у відповідність T 1 ),,(:)(~ mkmk xxx    ; – оператор вкладення mk mi  : , який кожній точці k kxxx  T 1 ),,(  зівставляє m km xxxi  T 1 )0,,0,,,(:)(  . Тут і далі через },,{ 1 mee   позначаємо стандартний ортонормований базис m , а через },,{ 1 khh   — стандартний ортонормований базис k . Словосполучення «лінійна оболонка» будемо скорочено писати так: «л. о.». Б.М. Сніжко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 4 122 Також замість «лінійно незалежний» писатимемо «л. н. з.». Якщо YX , — множини, то запис YX  (диз’юнктне об’єднання множин X і Y ) означає YX  і вказує на те, що YX . ДОПУСТИМІ МНОЖИНИ В АФІННОМУ ПІДПРОСТОРІ СКІНЧЕННОВИМІРНОГО ЕВКЛІДОВОГО ПРОСТОРУ Нехай ma   і Q — ортогональна матриця розмірності mm . Уведемо відо- браження mk Qa   :,   таким співвідношенням: axiQx mQa     )(:, . Розглянемо множину :)({)(:),( ,, xQaL Qa k Qak     }kx   . Легко бачи- ти, що множина ),0( QLk  є k -вимірним лінійним підпростором m , причо- му система векторів )}(,),({ 1 kmm hiQhiQ   є базисом ),0( QLk  . Означення 4. Множину ),( QaLX k   будемо називати допустимою, якщо існує така вимірна за Жорданом множина kY  , що )(, YX Qa    . Відображення ),(:, QaLk k Qa     є взаємно однозначним, причому ))(()( 1 , 1 ayQy kQa     . Можна довести, що завдяки бієктивності ),(:, QaLk k Qa     сім’я всіх допустимих підмножин в ),( QaLk  утворює кільце множин. Будь-яку множину вигляду k kk aaaa  ],[],[ 11 , де ia , 0 , будемо називати замкненим кубом в k з ребрами, пара- лельними координатним осям. Якщо Z — довільний замкнений куб в k з ребрами, паралельними координатним осям, то сукупність усіх допустимих підмножин )(, ZQa    (цю сукупність позначатимемо через ),,( ZQak  N ) утворює алгебру підмножин в )(, ZQa    . Лема 1. Довільна множина ),,( ZQaA k  N є гладкою k -вимірною еле- ментарною поверхнею в m . Крім того, )(Ak існує і дорівнює ))(( , 1 AQak   . Доведення. Множина )(1 , AQa    є жордановою в k . Нехай mm aF  :  — відображення, задане рівністю axxFa   )( ; нехай mm Q xQx    : . Тоді mk mQaQa iF   :,    .         k m I zi )(  у кожній точці kz   (тут kI — одинична матриця розмірності kk  ;  — нульова матриця розмірності kkm  )( ). Для всіх mu   маємо QuQ  )(  . Водночас для всіх mt   виконується ma ItF  )(   . Позначимо стовпці матриці Q через mqq  ,,1  . Тоді         k mQa I QIz)(,   Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 4 123 )( 1 kqq   у кожній точці kz   . Отримано, що kzQa  )(rang ,   в усіх точках kz   . Крім того, з вигляду Qa,    випливає, що );(, mk Qa C    . Отже, параметризація Qa,    множини A задовольняє всі умови означення 1, тому A є гладкою k -вимірною елементарною поверхнею в m . Нехай ku   ; u  — матриця Грама системи векторів )}(,),({ 1 uu k   ; тут )(ui  — i -й стовпець матриці )(, uQa   . Матриця )(, uQa   співпадає з )( 1 kqq   . Оскільки Q — ортогональна матриця, то },,{ 1 kqq   — ортонормована система векторів в m . Тому ku I і 1det u  на k . Отже,   ))((1)( 1 ,1 1 , AduduA Qak A kk Qa          . Лема 1 показує, що класична поверхнева міра k коректно визначена на алгебрі множин ),,( ZQak  N . Доведемо тепер, що k є мірою на ),,( ZQak  N (покажемо зліченну адитивність k на вказаній алгебрі). Візь- мемо таку послідовність множин ),,(,, 21 ZQaAA k  N , що вони попарно не перетинаються та ),,( 1 ZQaA k n n  N   . Тоді існує послідовність }{ nJ жо- рданових підмножин у kZ  така, що )(, nQan JA    для кожного n . Бієктивність відображення Qa,    гарантує, що множини nJ теж попарно не перетинаються. Множина             1 1 ,: n nQa AJ є жордановою. До того ж,   n nn nQa JAJ          11 1 , . Користуючись зліченною адитивністю міри k на алгебрі жорданових підмножин в Z , отримуємо                       1111 )()()( n nk n nkn n kkn n k AJJJA . Означення 5. Паралелепіпедом в m будемо називати довільну мно- жину вигляду },1],1;0[:{ 11 kitvtvta ikk   , де m kvva   ,,, 1 . Означення 6 [7]. Паралелепіпедом в m , натягнутим на k векторів m kvv   ,,1 , називають множину },1],1;0[:{ 11 kitvtvt ikk   . Означення 7. Нехай },1],1;0[:{ 11 kitvtvta ikk   — парале- лепіпед в m (згідно з означенням 5). Розмірністю  будемо називати розмірність л. о. },,{ 1 kvv   . Лема 2. Нехай },,{ 1 kvv   — довільна л. н. з. система векторів в m . Тоді існує така ортогональна матриця Q розмірності mm , що лінійний Б.М. Сніжко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 4 124 оператор mm Q   :  , заданий рівністю xQxQ   )( , взаємно однозна- чно переводить ),0( mk IL  на л. о. },,{ 1 kvv   . Доведення. Лінійний простір ),0( mk IL  збігається з л. о. },,{ 1 kee   . Ви- конаємо ортогоналізацію та нормування системи векторів },,{ 1 kvv   . Отри- маємо систему },,{ 1 kgg   , еквівалентну системі },,{ 1 kvv   . Нехай },,{ 1 mk gg   — ортонормований базис ортогонального доповнення до л. о. },,{ 1 kgg   . Тоді система векторів },,,,,{ 11 mkk gggg    утворює ор- тонормований базис m . Уведемо до розгляду матрицю )( 1 mggQ   ( j -й стовпець Q містить запис вектора jg  у декартових координатах, mj ,1 ) і відображення xQxQ   )( . За будь-якого },,1{ mi  маємо: iiiQ geQe   )( . Таким чином, відображення Q  переводить ортонормо- ваний базис },,{ 1 mee   в ортонормований базис },,{ 1 mgg   і матриця Q є ортогональною. З ортогональності Q випливає, що }1;1{det Q , тому ві- дображення Q  взаємно однозначно відображає m на m . Перевіримо, що л. о. },,{ 1 kgg   (яка збігається з л. о. },,{ 1 kvv   ) є образом л. о. },,{ 1 kee   під дією відображення Q  . Це справді так, адже kkkkkk ggeQeQeeQ   111111 )(   k,,1 . Твердження 1. Нехай },1],1;0[:{ 11 kitvtvta ikk   — пара- лелепіпед розмірності k в m . Тоді існують така ортогональна матриця Q розмірності mm і такий замкнений куб Z в k з ребрами, паралельними координатним осям, що ),,( ZQak  N . Доведення. Система },,{ 1 kvv   — л. н. з., адже  має розмірність k . Нехай Q — така ортогональна матриця, що лінійний оператор xQxQ   : переводить ),0( mk IL  на л. о. },,{ 1 kvv   (існування вказаної матриці гарантується лемою 2). Нехай M — паралелепіпед в k , натягну- тий на вектори )(,),( 1 1 1 kkk vQvQ    . І нехай Z — такий замкнений куб в k з ребрами, паралельними координатним осям, що ZM  . M є жорда- новою підмножиною Z . Можна перевірити, що )(, MQa    . Отже, ),,( ZQak  N . Твердження 2. Нехай ma   ; Q — ортогональна матриця розмірності mm ; Z — замкнений куб в k з ребрами, паралельними координатним осям. Нехай ))((, ,21 ZCff Qa    . Нехай 21, — функції на алгебрі ),,( ZQak  N , задані рівностями   A kdfA 11 )( та   A kdfA 22 )( для всіх множин ),,( ZQaA k  N . Тоді: 1) 21, — міри на ),,( ZQak  N ; Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 4 125 2) якщо міри 1 і 2 збігаються на всіх паралелепіпедах ),,( ZQak  N розмірності k , то рівність )()( 21 AA  виконується для довільної допустимої множини ),,( ZQaA k  N . Доведення. 1. Покажемо, що 1 — міра на ),,( ZQak  N (для 2 міркування цілком аналогічні). Функція 1 набуває лише скінченних значень. Дійсно, якщо ),,( ZQaA k  N , то )(, ZA Qa    . Оскільки Z — компакт в k і );(, mk Qa C    , то )(, ZQa    — компакт в m . За теоремою Вейєршт- расса існує  )}(:)({max: ,11 ZxxfC Qa   . Тоді   A kdfA 11 )(  )(1 AC k . Адитивність 1 на ),,( ZQak  N очевидна. Доведемо непе- рервність 1 . Візьмемо таку послідовність множин ),,(}{ ZQaA kn  N , що  21 AA та    n n A 1 . Тоді )()( 11 nkn ACA  . Послідовність )}({ 1 nk AC  прямує до 0 , адже неперервність міри k уже відома. Тому і 0)(1   nnA . 2. Нехай )}(:)()({max: ~ ,21 ZxxfxfC Qa    . Якщо 0 ~ C , то 21 ff  на )(, ZQa    , тому 21  на ),,( ZQak  N . Припустімо, що 0 ~ C . Беремо будь-яку множину ),,( ZQaA k  N . Позначимо: )(1 , AJ Qa    . Нехай 0 . Оскільки J — жорданова підмножина Z , то існує множина JJ  така, що J є диз’юнктним об’єднанням скінченної кількості паралелепіпедів розмірності k у Z з ребрами, паралельними ортам khh  ,,1  , і виконується нерівність   )( JJk  . Тоді, за лемою 1,   ))(( , JJQak   . Водночас, позначивши )(: ,   JA Qa   , отримаємо   )()()( ,,, JJJJ QaQaQa     AA . Множина A є диз’юнктним об’єднанням скінченної кількості па- ралелепіпедів розмірності k в )(, ZQa    . Тому за умовою твердження )()( 21   AA . Зауважимо, що із вкладення JJ  випливає вкладення AA  , тому )(   AAAA  . Оскільки 0)( 21  A kdff , то  )(1 A    AA kdffA  )()( 212 . Водночас    )( ~ )( 21 AACdff k AA k   C ~ . З урахуванням довільності вибору 0 отримано, що величина )()( 21 AA  строго менша за будь-яке додатне число. Отже, )()( 21 AA  . Б.М. Сніжко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 4 126 АСОЦІЙОВАНА ПОВЕРХНЕВА МІРА ДОПУСТИМИХ МНОЖИН Означення 8. Міру k на алгебрі ),,( ZQak  N будемо називати поверхне- вою мірою, асоційованою з мірою  , якщо виконано такі дві умови: 1. Існує така функція ))(( , ZC Qa    , що     A kk dA для всіх ),,( ZQaA k  N . 2. Якщо ),,( ZQak  N — паралелепіпед розмірності k в m , то у випадку km  виконується рівність , )),0(( )( lim)( 0          km km k B (2) а у випадку km  справедливою є рівність ).()( k (3) Перевірка коректності означення 8 включає в себе декілька аспектів. 1. Існування такої міри k , що задовольняє всі умови означення 8, бу- де доведено далі (див. наслідок 1). Поки факт існування вказаної міри не доведено, користуватимемося записом k на позначення функції, визначе- ної на множині всіх паралелепіпедів розмірності k в m і заданої рівністю (2) або (3) залежно від співвідношення між k та m . 2. Єдиність міри, що задовольняє всі умови означення 8, слідує з твер- дження 2. 3. Для перевірки коректності формули (2) потрібно звернути увагу на таке. По-перше, варто перевірити, що для довільного паралелепіпеда  множина  належить mA . Це справді так, адже для кожної множини mA  множина A є відкритою в m , водночас всі борелівські множини належать  -алгебрі mA . По-друге, треба перевірити, що відповідна границя існує для довільного паралелепіпеда ),,( ZQak  N розмірності k в m . Це буде показано далі (див. твердження 5). 4. Формула (3) є коректною, адже паралелепіпед  , як випливає з означення 5, є замкненою, а отже, і лебегівською множиною в m . 5. Можна довести, що у випадку m значення )(k , де m ikk kitvtvta  },1],1;0[:{ 11  , збігається з класичним k -вимірним об’ємом  , що задається формулою kjiji vv ,1,)( ),(det   (див. зауваження 3). Твердження 3. Нехай km  . Нехай ],1;0[:{ 11  ikk tvtvta  },1 ki  — паралелепіпед розмірності k в k . Тоді . )),0(( )),0(( lim))(( 0           km km km mk B B i (4) Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 4 127 Доведення. Позначимо: )(: ~  mi . Очевидно, що  )({ ~ aim  },1],1;0[:)()( 11 kitvitvit ikmkm   , тому ~ є паралелепіпедом розмір- ності k в m . Нехай K — довільний компакт в m такий, що 1 ~K (указаний компакт існує, адже для всіх 0 множина ~ є обмеженою в m ). Тоді для кожного ]1;0( виконано вкладення K ~ . За теоремою Вейєрштрасса  ff KK maxsup . Тоді fxff KK max)(max  (5) для всіх Kx . Зафіксуємо такі числа 0,,1  kpp , що для кожного ]1;0( існує такий вектор kb  , що для паралелепіпеда k ikkk kitvptvptbA    },1],1;0[:)1()1({: 111  виконується вкладення ).,0( ~     kmBA (6) Візьмемо довільне число ]1;0( . Легко бачити, що    ~ ),0(  kmB . Тому із виразу (6) отримуємо  A . За адитивністю міри ))),0(( ~ ()),0(() ~ (        kmkm BB .    ))),0(( ~ (  kmB ))),0(( ~ (max )),0(( ~          km m K B m Bfdf km   . Із формули (6) випливає, що  )),0(()),0(()),0(( ~     kmkmkm BBAB . Водночас ),0()()),0(()),0((    kmkmkm BABBA  . Міра s за будь-якого s є s -кратним добутком 11  лінійної міри Ле- бега 1 [8], тому )),0(()()),0()((      km kmk km m BABA  . Отже, )),0(()(max))),0(( ~ (       km kmk K km BAfB  . Оскі- льки  A , то )()()(   kkk AA  . Користуючись інваріантніс- тю міри k відносно паралельних перенесень та однією з формул жордано- вої міри паралелепіпеда в k , натягнутого на k векторів, отримуємо:   ))1()1((det)( 11 kkk vpvpA     k i ik k i ik ppvv 11 1 )1()()1()(det  . Б.М. Сніжко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 4 128 Якщо позначити            1)1( )( 1 k i i k p через )( , то матимемо: )()()(   kk A , причому )( є поліномом від  (тому   )0()(lim 0 ). Тоді )()()()(   kkk AA  . Таким чи- ном, )),0(()(max))),0(( ~ (       km km K km BfB . А отже, )(max )),0(( ))),0(( ~ (        f B B Kkm km km    . Аналогічно з використанням формули (5) можна отримати нерівність )(max )),0(( ))),0(( ~ (        f B B Kkm km km    . Отже, для будь-якого числа ]1;0( виконується подвійна нерівність: )(max )),0(( ))),0(( ~ ( )(max         f B B f Kkm km km K    . Із рівностей ))(max(lim0))(max(lim 00   ff KK випливає, що границя )),0(( ))),0(( ~ (         km km km B B при  0 існує і дорівнює 0 . За фо- рмулою (2) )),0(( ) ~ ( lim) ~ ( 0          km km k B . Оскільки ))),0(( ~ ()),0(() ~ (       kmkm BB  , 0 )),0(( ))),0(( ~ ( lim 0           km km km B B , то з урахуванням  ~ )(mi отримуємо остаточний результат — формулу (4). Лема 3 [5, с. 150]. Нехай mE  — зв’язна вимірна за Жорданом мно- жина. Нехай  E: — неперервна функція. Тоді існує така точка E  , що )()()( Exdx m E   . Лема 4. Нехай n , 0 і ));,0((   nBC . Тоді      ),0( 0 )0( )),0(( 1 lim    nB nn n d B . Доведення. Оскільки за будь-якого 0 куля ),0(   nB є зв’язною ви- мірною за Жорданом множиною, то можемо скористатися лемою 3 і для всіх ];0(  отримати: )),0(())(( ),0(     n n B n Bd n , Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 4 129 де ),0()(   nB . Тоді ))(( )),0(( 1 ),0(       nB nn n d B . При  0 кулі ),0(   nB стягуються в точку n0  . Отже, 0)(   при  0 завдяки належності ),0()(   nB . А оскільки функція  є неперервною в 0  , то )0())((lim 0    . Лему доведено. Твердження 4. Нехай },1],1;0[:{ 11 kitvtvta ikk   — пара- лелепіпед розмірності k в k . Тоді .),,)(())(( 11 kkmmk dxdxxxifi      (7) Доведення. Якщо km  , згідно з означенням 8 (формула (3)), m i mmk dfii m     )( ))(())(( . Крім того, mi є тотожним відображенням на m при km  , тому формула (7) справедлива. Нехай тепер km  . Виконано умови твердження 3, тому справедлива формула (4). Зафіксуємо довільне число 0 і позначимо: ),0(:    kmBG . k xxG mk G m G dxdxfdxdxdfG mkkm           1 ),,( 1 )(~ 1 )( , де }),,,,,(:),,{(:),,( T 11 T 11     GxxxxxxxxG mkk k kmk  . Очеви- дно, що ),0()(~     km km BG . Крім того,   ),,( 1 mk xxG для кожного ),0(),,( T 1     km mk Bxx . Отже, для всіх 0 справедливою є формула kmmk B km dxdxxxfdxdxB km        111 ),0( ),,()),0((   . Візьмемо довільне число 0 і розглянемо функцію  ],0[:  kmBI , задану рівністю kkmkkm dxdxyyxxfyyI     1111 ),,,,,(),,( . ],0[    kmB є компактом в m , який містить G . Оскільки )( mCf  , то ]),0[(    kmBCf , звідки ]),0[(    kmBCI . Таким чином, до функції I можна застосувати лему 4. Отримуємо фор- мулу )0(),,( )),0(( 1 lim 1 ),0( 1 0    IdyydyyI B km B kmkm km km         . Оскільки mk B mk km dxxdxxIB km        1 ),0( 1 ),,()),0((   за будь-якого ];0(  , а також kk dxdxxxfI    11 )0,,0,,,()0(  , то з урахуванням рівності Б.М. Сніжко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 4 130 T 1 T 1 )0,,0,,,()),,((  kkm xxxxi маємо остаточний результат — форму- лу (7). Лема 5. Нехай ),( X , ),( dY — метричні простори; YX  : — таке відображення, що: a) YX  )( (тобто  — сюр’єкція); б) ),())(),(( yxyxd  для всіх Xyx , (тобто  — ізометрія мет- ричних просторів ),( X та )),(( dX ). Тоді для будь-якої множини XA та довільного числа 0 викону- ється рівність    )()( AA . Доведення цієї леми не наводимо, оскільки воно нескладне (слід скори- статися рівностями ),(    zBA Az X та   ),()( )(    uBA Au Y ). Зауваження 2. Будь-яке відображення YX  : , що має вказані у лемі 5 властивості, є оборотним. Дійсно,  )0))(),((())()(( yxdyx )()0),(( yxyx  , що означає ін’єктивність відображення  . Отже,  є бієкцією, тому існує відображення XY  :1 . Крім того, 1 також за- довольняє всі умови леми 5. Твердження 5. Нехай },1],1;0[:{ 11 kitvtvta ikk   — пара- лелепіпед розмірності k в m . Нехай ортогональна матриця Q розмірності mm і замкнений куб Z в k з ребрами, паралельними координатним осям, такі, що ),,( ZQak  N (відповідні Q та Z існують унаслідок твер- дження 1). І нехай, як і раніше, mm a axxF      : ,  xm Q : mxQ   , mk mQaQa iF   ::,    . Тоді виконується рівність ,)()( ,  M kQak df    (8) де ))(()( 111 ,   aQkQa FM     . Доведення. Припустімо, що km  . Тоді за означенням 8 (формула (2)) )),0(( )( lim)( 0          km km k B . Зафіксуємо 0 . Тоді     mdf)(    mm dxdxxxf 11 ),,( . Зробимо заміну змінних: уведемо нові змінні ),,( 1 myyy   , пов’язані зі старими змінними ),,( 1 mxxx   співвідношен- ням ayyFx a    )( . 1)(det  yFa   в усіх точках my   . Можна показати, що відображення axxFa     :1 задовольняє умови леми 5, тому      ))(()( 11 aa FF   . Водночас множина )(: 1   aFD   є паралелепіпедом в m , натягнутим на вектори kvv  ,,1  . Отже, за формулою заміни змінних у кратному інтегралі, Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 4 131      )( 1111 1 )(det),,)((),,( aF mamamm dydyyFyyFfdxdxxxf      , тобто     D mma dydyyyFf 11 ),,)(()(    . Уведемо тепер змінні ),,( 1 mzzz   , пов’язані зі змінними ),,( 1 myyy   співвідношенням zQzy Q   )( . Оскільки }1;1{det Q та QzQ  )(  в усіх точках mz   , то 1)(det  zQ  для всіх mz   . Відображення yQyQ    11 : задоволь- няє умови леми 5, тому      ))(()( 11 DD QQ  . Множина   ))((: 11 aQ FG    )(1 DQ   є паралелепіпедом в m , натягнутим на вектори kvQvQ  1 1 1 ,,   . До того ж, оскільки система },,{ 1 kvv   — л. н. з., система },,{ 1 1 1 kvQvQ    теж є л. н. з, тому паралелепіпед G має розмірність k . Отже,  D mma dydyyyFf 11 ),,)((        )( 11 1 )(det),,)(( D mQmQa Q dzdzzzzFf      , тобто .),,)(()( 11    G mmQa dzdzzzFf     (9) Розглянемо міру  на ),( m m A , що є абсолютно неперервною віднос- но m із похідною Радона–Нікодима QaFf      , яка, очевидно, є непе- рервною функцією на m . Тоді за означенням похідної Радона–Нікодима     G mQa dFfG )()(     . Зіставляючи це із формулою (9), отримуємо: )()(   G . Тоді )( )),0(( )( lim )),0(( )( lim)( 00 G B G B kkm km km km k                  . Оскільки ),0( mk ILG   , то ))(( GiG km  . Множина )(GM k є парале- лепіпедом в k , натягнутим на вектори )(,),( 1 1 1 kkk vQvQ    , причому система )}(,),({ 1 1 1 kkk vQvQ    є л. н. з. Отже, паралелепіпед M має роз- мірність k , і до нього можна застосувати твердження 4. Отримуємо, що   k M kmQamkk dzdzzziFfMiG 11 ),,)(())(()(     k M kQa dzdzzzf   11, ),,)((    . Посилання на рівність )()( Gkk   завершує доведення твердження в разі, якщо km  . Б.М. Сніжко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 4 132 Розглянемо тепер випадок km  . Тоді, згідно з означенням 8 (форму- ла (3)), mmmk dxdxxxfdf     11 ),,()()( . Заміна змінних ))(( zFx Qa     приводить до рівності        )( 11 11 ),,)(()( aQ F mmQak dzdzzzFf        . З урахуванням   ))(()( 1111   aQaQm FFM     та  )),,(( T 1 mm zzi T 1 ),,( mzz  робимо висновок, що формула (8) справедлива й у випадку km  . Наслідок 1. В умовах твердження 5 виконується рівність .)(     kk df (10) Доведення. Оскільки параметризація  MiF mQaQa ::,    па- ралелепіпеда  є бієктивним відображенням, то виконується рівність    M ktQak dtdtfdf 1, det)(    , де t  — матриця Грама системи векторів )}(,),({ 1 tt k   ; )(ti  — i -й стовпець матриці )(, tQa   . У доведенні леми 1 показано, що 1det t  на k . Тому   M Qaf )( ,    )()(det ,1   k M kQakt dfdtdt    , а отже, рівність (10) виконується. Наслідок 1 показує, що міра, значення якої на множині  ZQaA k ,,  N дорівнює   A kdf , задовольняє всі умови означення 8. Таким чином, існу- вання асоційованої поверхневої міри k на ),,( ZQak  N доведено. Зауваження 3. Перевіримо, що у випадку 1f (тобто m ) фор- мула (8) дає звичний вираз kjiji vv ,1,)( ),(det   для k -вимірного об’єму па- ралелепіпеда },1],1;0[:{ 11 kitvtvta ikk   розмірності k в m . За формулою (8)   M kkk Mdm )(1)( , де ))(( 11   aQk FM    . M є паралелепіпедом в k , натягнутим на л. н. з. вектори )(,),( 1 1 1 kkk vQvQ    , тому kjijkikk vQvQM ,1, 11 )( ))(),((det)(     . Оскільки паралелепіпед ))(( 11   aQ F   натягнутий на вектори kvQvQ  1 1 1 ,,   і вкладений в ),0( mk IL  , то   ))(),(( 11 jkik vQvQ  ),( 11 ji vQvQ   для всіх },,1{, kji  . Крім того, матриця 1Q є ортого- нальною, тому ),(),( 11 jiji vvvQvQ   . Отримуємо бажану рівність )(),(det)( ,1,)(    kkjijik vvm  . Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 4 133 АСОЦІЙОВАНА ПОВЕРХНЕВА МІРА ГЛАДКОЇ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ ПОВЕРХНІ Для побудови асоційованої поверхневої міри на гладких елементарних по- верхнях в m будемо використовувати схему, подібну до наведеної у пра- ці [6] схеми конструювання класичної площі двовимірної параметризованої поверхні в 3 . Для жорданової множини kJ  через  будемо позначати деяке скінченне розбиття J на жорданові підмножини (тобто таку сукупність },1:{ piJi  жорданових підмножин J , що i p i JJ 1  ). Дрібністю розбиття },1:{ piJi  називають число )(max:)( ,1 i pi Jdiamd   , де :)( iJdiam },:{sup: iJyxyx   — діаметр множини iJ . Нехай )(DrS   — гладка k -вимірна елементарна поверхня в m . Не- хай },1:{ pjD j  — розбиття D на жорданові підмножини. У кожній множині jD фіксуємо будь-яку точку jj Du   . Виберемо довільний індекс },,1{ pj  . Матриця )( jur  має розмірність km і ранг k . Якщо тим же символом )( jur  позначити лінійний оператор m j k xurx    )( , то )(Im jur  збігається з л. о. )}(,),({ 1 jkj urur   , де )(,),(1 jkj urur   — стовпці матриці )( jur  . Крім того, вектори )(,),(1 jkj urur   — л. н. з., тому kur j  )(Imdim  . Розглянемо множину :)()()({: jjjj uxururW   }jDx  . Нехай mm jF  :  — відображення, задане рівністю jjjj uururxxF  )()()(  . Множина  })()({)(1 jjjjjj uururWWF  ))(( jj Dur  вкладена в л. о. )}(,),({ 1 jkj urur   . Існує ортогональна матриця jQ розмірності mm така, що л. о. )}(,),({ 1 jkj urur   збігається з ),0( jk QL  . Тоді ),)()(( jjjjkj QuururLW   . Нехай mm j   :  — лінійний оператор, заданий рівністю xQx jj   )( . Тоді yQy jj    11 )( за будь-якого my   . Уведемо до розгляду множину .)))(((: 1 k jjjkj DurG    Відображення )(1 jjk ur    дифеоморф- но переводить k на k . Оскільки jD — жорданова підмножина k , то і множина jG є жордановою в k [5, с. 165]. Нехай jZ — такий замкнений куб в k з ребрами, паралельними координатним осям, що jj ZG  . Неваж- ко пересвідчитися, що )( jjj GW   , де mk mjjj iF   :  . Із наве- дених міркувань робимо висновок, що ),,)()(( jjjjjkj ZQuururW  N . Тому значення )( jk W визначене і дорівнює   jW kdf . Б.М. Сніжко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 4 134 Множини jW ),1( pj  утворюють «луску», що прилягає до поверх- ні S . На інтуїтивному рівні зрозуміло, що поверхневу міру S , асоційовану з мірою  , доцільно вводити так, щоб сума    p j jk W 1 )( за достатньо дрібно- го розбиття множини параметрів j p j DD 1  апроксимувала значення повер- хневої міри S . Означення 9. Нехай )(DrS   — гладка k -вимірна елементарна пове- рхня в m . Нехай для кожної послідовності   1}{ ii скінченних розбиттів D на жорданові підмножини, яка задовольняє умову 0)(   iid , послі- довність сум    )( 1 )( )( ip j i jk W має границю при i , яка не залежить від ви- бору послідовності   1}{ ii (тут })(,1:{ )( ipjD i ji  ,  )({ )()( i j i j urW  }:)()( )()()( i j i j i j Dxuxur   ). Тоді будемо казати, що існує величина )(Sk  — поверхнева міра S , асоційована з мірою  . За значення )(Sk  беремо границю послідовності             1 )( 1 )( )( i ip j i jk W при i . Теорема 1. Нехай kD  — непорожня жорданова множина, mDr :  — ін’єктивна параметризація гладкої k -вимірної елементарної поверхні )(: DrS   в m . Припустімо, що існує така відкрита множина kU  , що UD  , );(1 mUCr   , kur  )(rang  в усіх точках Uu  . Тоді значення )(Sk  існує і виконується рівність: .)(   S kk dfS (11) Доведення. Зауважимо, що з вимірності D за Жорданом випливає об- меженість D , тому )(Ddiam . Крім того, )()( DrDrS   , )(Dr  — компакт в m , тому поверхня S теж є обмеженою ))(( Sdiam . Нехай   1}{ ii — довільна послідовність скінченних розбиттів D на жорданові підмножини, яка задовольняє умову 0)(   iid . Припусті- мо, що })(,1:{ )( ipjD i ji  для всіх i . Для кожного i та кожного  )(,,1 ipj  уведемо множину )(: )()()( i j i j i j DW   , де   xki j :)( mi j i j i j uxurur  )()()( )()()(  , )()( i j i j Du   . Беремо довільні індекси i та )}(,,1{ ipj  . Тоді   )()( )(det))(()( )()()( i j i j D i j i j W k i jk tdttfdfW   , де )()( ti j   — матриця Грама системи векторів )}()(,),(){( )( 1 )( tt k i j i j   ; Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 4 135 )()( )( ts i j  — стовпець з номером s матриці )()( ti j   . Для довільного kt   виконується рівність )()( )()( i j i j urt   . Таким чином, k i j i j i j ururt ,1, )()()( )( ))(),(()(    , де )( )(i js ur  — стовпець з номером s матриці )( )(i jur  . Уведемо функцію Ug : рівністю kzrzrzg ,1,)( ))(),((det)(   . Отримуємо .))(()()( )( )()()(   i jD i j i j i jk tdtfugW   (12) Позначимо: )(max:1 zrC Dz     (тут )(zr  — операторна норма матриці )(zr  , яка підпорядкована евклідовій векторній нормі). Можна довести, що            )(2)( 1 )( )( 11 DdiamCSdiamWdiam i j ip ji  , тому )( )( 11 i j ip ji W    є обмеже- ною множиною в m . Нехай )( )( 11 i j ip ji WK      . K є компактом в m . Оскільки )( mCf  , то функція f за теоремою Кантора є рівномірно неперервною на .K Беремо довільне число 0 . Існує таке 0 , що ;,( Kyx   ))()(()  yfxfyx  . Оскільки 0)(   iid , то існує такий номер N , що для всіх Ni  виконується нерівність )/()( 1Cd i  . Не- хай Ni  та )}(,,1{ ipj  . Тоді для кожного )(i jDt   справедливим є спів- відношення  )()()()()()( )()()()()()( i j i j i j i j i j i j uruturururt   )/()()( 11 )()( CCutur i j i j  , а тому і нерівність    )())(( )()( i j i j urftf    . Розглянемо величину     )( 1 )()()( )( 1 )()( )())(()())(()(: )( ip j i jk i j i j ip j D i j i ji Durfugtdtfug i j   , якщо Ni  . З урахуванням рівності  )( ))(()())(( )()()( i jD i j i jk i j tdurfDurf  отримуємо:     )( 1 )()()( )( )))(())((()( ip j D i j i j i ji i j tdurftfug    . Позначимо: Б.М. Сніжко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 4 136 )(max:2 zgC Dz     . Тоді      )( 1 )()( 2 )( ))(())(( ip j D i j i ji i j tdurftfC    . Водночас   )())(())(( )()()( )( i jk D i j i j Dtdurftf i j     . Тому    )( 1 )( 2 )( ip j i jki DC . Але )( )( 1 i j ip j DD   , звідки )()( )( 1 )( DD k ip j i jk   . Таким чином, з урахуванням рівності (12) отримуємо результат: для кожного 0 існує таке число N , що для всіх Ni  виконується нерівність )()())(()()( 2 )( 1 )()()( )( 1 )( DCDurfugW k ip j i jk i j i j ip j i jk      , причому )(2 DC k — додатне число, яке не залежить ні від  , ні від послі- довності   1}{ ii . Це означає, що .0)())(()()(lim )( 1 )()()( )( 1 )(              ip j i jk i j i j ip j i jk i DurfugW  (13) Послідовність               1 )( 1 )()()( 1 )())(()(:}{ i ip j i jk i j i jii Durfug  є послідо- вністю інтегральних сум інтеграла  D tdtgtrf  )())(( . Оскільки функція )())(( tgtrft   є неперервною на U , вона є рівномірно неперервною на D , а тому і на D . У такому випадку    D ii tdtgtrf  )())(( . Тоді з рівності (13) випливає, що      )( 1 )( )(lim ip j i jk i W існує і також дорівнює  D tdtgtrf  )())(( , де ktrtrtg ,1,)( ))(),((det)(       . Помітимо, що   S k D k dftdtrtrtrf      ,1,))(),((det))(( . Показано, що для будь-якої послідовності   1}{ ii скінченних розбиттів D на жорда- нові підмножини, яка задовольняє умову 0)(   iid , послідовність    )( 1 )( )( ip j i jk W має границю при i , яка не залежить від вибору   1}{ ii . Отже, згідно з означенням 9 )(Sk  існує і дорівнює   S kdf . Теорему доведено. Зауваження 4. Нехай S — гладка k -вимірна елементарна поверхня в m , яка задовольняє всі умови теореми 1. Оскільки факт існування класич- Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 4 137 ної поверхневої міри S та її значення )(Sk не залежать від вибору парамет- ризації поверхні S серед еквівалентних параметризацій, то і факт існування та значення величини   S kdf , яка згідно з формулою (11) збігається з )(Sk  , теж не залежать від вибору параметризації S у класі еквівалентних параметризацій. ВИСНОВКИ У роботі побудовано коректну конструкцію поверхневої міри, асоційованої з такою мірою  у просторі m (взагалі кажучи, неінваріантною), яка є аб- солютно неперервною відносно інваріантної міри Лебега m з неперервною похідною Радона–Нікодима. Спочатку асоційована поверхнева міра вво- диться на кільці допустимих множин k -вимірного афінного підпростору в m )( mk  . Значення цієї міри на паралелепіпедах в m постулюється явною формулою. Після цього поняття асоційованої поверхневої міри пере- носиться на гладкі k -вимірні елементарні поверхні в m . Показано, що запропонована асоційована поверхнева міра узагальнює класичну конструкцію поверхневої міри гладкої параметризованої поверхні в m , тобто за умови m асоційована поверхнева міра збігається з кла- сичною. Крім того, значення асоційованої міри гладкої елементарної поверхні не змінюється від заміни її параметризації на еквівалентну. Отримані результати дають змогу надалі досліджувати еквівалентність конструкції поверхневої міри, асоційованої з неінваріантною мірою у скін- ченновимірному просторі, з альтернативними підходами до побудови по- верхневої міри, наприклад, з конструкцією мір на поверхнях скінченної ко- розмірності, вкладених у банахів багатовид з рівномірною структурою. ЛІТЕРАТУРА 1. Богданский Ю.В. Поверхностные меры на банаховых многообразиях с равномерной структурой / Ю.В. Богданский, Е.В. Моравецкая // Укр. мат. журн. — 2017. — T. 69, № 8. — С. 1030–1048. 2. Богданский Ю.В. Транзитивность поверхностных мер на банаховых многооб- разиях с равномерной структурой / Ю.В. Богданский, Е.В. Моравецкая // Укр. мат. журн. — 2017. Т. 2 — T. 69, № 10. — С. 1299–1309. 3. Моравецька К.В. Альтернативна конструкція поверхневих мір у скінченновимірних просторах та її узгодженість із класичним підходом / К.В. Моравецька // Наукові вісті НТУУ «КПІ». — 2017. — № 4. — С. 66–72. 4. Богачев В.И. Основы теории меры / В.И. Богачев. — Москва–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. — T. 1. — 544 с. 5. Зорич В.А. Математический анализ / В.А. Зорич. — 6-е изд., доп. — М.: МЦНМО, 2012. — Т. 2. — 818 с. 6. Богданський Ю.В. Інтеграл у курсі математичного аналізу: навч. посіб. / Ю.В. Богданський. — К.: НТУУ «КПІ», 2013. — 180 с. 7. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: учеб. пособ. для вузов / Д.К. Фаддеев. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984. — 416 с. 8. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1976. — 544 с. Надійшла 12.11.2019
id	journaliasakpiua-article-188566
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2025-07-17T10:26:38Z
publishDate	2019
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/e2/12f2935a5a880eccc8538af617b422e2.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1885662020-03-02T17:05:10Z Surface measures associated with a non-invariant measure in a finite-dimensional space Поверхностные меры, ассоциированные с неинвариантной мерой в конечномерном пространстве Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі Snizhko, Bohdan M. associated surface measure smooth elementary surface Jordan measure Lebesgue measure non-invariant measure асоційована поверхнева міра гладка елементарна поверхня міра Жордана міра Лебега неінваріантна міра ассоциированная поверхностная мера гладкая элементарная поверхность мера Жордана мера Лебега неинвариантная мера A generalization of the classical surface measure construction for smooth elementary surfaces of the arbitrary codimension embedded in a finite-dimensional Euclidean space is proposed. Namely, an approach to constructing a surface measure associated with a measure that is absolutely continuous with respect to the invariant Lebesgue measure is presented. This construction of the associated surface measure is correct in the sense that the value of the indicated surface measure does not depend on the choice of its parameterization in a class of equivalent parameterizations. An adequacy of the proposed approach is confirmed by the fact that the surface measure associated with the invariant Lebesgue measure coincides with the well-known classical surface measure construction, a particular case of which (area of a two-dimensional smooth parameterized surface in a three-dimensional space) is considered in the calculus course. Предложено обобщение классической конструкции поверхностной меры для гладких элементарных поверхностей произвольной коразмерности, вложенных в конечномерное евклидово пространство, а именно: представлен подход к построению поверхностной меры, ассоциированной с мерой в пространстве, абсолютно непрерывной относительно инвариантной меры Лебега. Приведенная конструкция ассоциированной поверхностной меры является корректной в том смысле, что значение указанной меры поверхности не зависит от выбора ее параметризации в классе эквивалентных параметризации. Адекватность предложенного подхода подтверждается тем, что поверхностная мера, ассоциированная с инвариантной мерой Лебега, совпадает с известной классической конструкцией поверхностной меры, частный случай которой (площадь двумерной гладкой параметризованной поверхности в трехмерном пространстве) рассматривается в курсе математического анализа. Запропоновано узагальнення класичної конструкції поверхневої міри для гладких елементарних поверхонь довільної корозмірності, укладених у скінченновимірний евклідів простір, а саме: висвітлено підхід до побудови поверхневої міри, асоційованої з мірою у просторі, абсолютно неперервною відносно інваріантної міри Лебега. Наведена конструкція асоційованої поверхневої міри є коректною в тому сенсі, що значення вказаної міри поверхні не залежить від вибору її параметризації у класі еквівалентних параметризацій. Адекватність запропонованого підходу підтверджується тим, що поверхнева міра, асоційована з інваріантною мірою Лебега, збігається з відомою класичною конструкцією поверхневої міри, частинний випадок якої (площа двовимірної гладкої параметризованої поверхні у тривимірному просторі) розглядається в курсі математичного аналізу. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-12-23 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/188566 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.4.12 System research and information technologies; No. 4 (2019); 119-137 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2019); 119-137 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2019); 119-137 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/188566/190171 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	асоційована поверхнева міра гладка елементарна поверхня міра Жордана міра Лебега неінваріантна міра Snizhko, Bohdan M. Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі
title	Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі
title_alt	Surface measures associated with a non-invariant measure in a finite-dimensional space Поверхностные меры, ассоциированные с неинвариантной мерой в конечномерном пространстве
title_full	Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі
title_fullStr	Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі
title_full_unstemmed	Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі
title_short	Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі
title_sort	поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі
topic	асоційована поверхнева міра гладка елементарна поверхня міра Жордана міра Лебега неінваріантна міра
topic_facet	associated surface measure smooth elementary surface Jordan measure Lebesgue measure non-invariant measure асоційована поверхнева міра гладка елементарна поверхня міра Жордана міра Лебега неінваріантна міра ассоциированная поверхностная мера гладкая элементарная поверхность мера Жордана мера Лебега неинвариантная мера
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/188566
work_keys_str_mv	AT snizhkobohdanm surfacemeasuresassociatedwithanoninvariantmeasureinafinitedimensionalspace AT snizhkobohdanm poverhnostnyemeryassociirovannyesneinvariantnojmerojvkonečnomernomprostranstve AT snizhkobohdanm poverhnevímíriasocíjovanízneínvaríantnoûmíroûuskínčennovimírnomuprostorí

Поверхневі міри, асоційовані з неінваріантною мірою у скінченновимірному просторі

Institution

Ähnliche Einträge