Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій короткофокусних електронних пучків
The method for interpolating the dependence of the electron beam radius on the cutting plane position by the longitudinal coordinate, based on using the special class of interpolation functions, was investigated in this article. The roots of n-th order from the polynomials of the same order are used...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2020
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/221171 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302702247477248 |
|---|---|
| author | Melnyk, Igor V. Pochynok, Alina V. |
| author_facet | Melnyk, Igor V. Pochynok, Alina V. |
| author_sort | Melnyk, Igor V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2021-01-19T12:18:25Z |
| description | The method for interpolating the dependence of the electron beam radius on the cutting plane position by the longitudinal coordinate, based on using the special class of interpolation functions, was investigated in this article. The roots of n-th order from the polynomials of the same order are used as the class of interpolation functions, which correspond to the ravine dependence of the radius of a short-focus electron beam on the distance of propagation. The results of testing have shown that, depending on choosing the set of basic points, including its position relatively to the minimum and their quantity, the relative interpolation error is between 0,7% and 8%. Obtained results of mathematical simulation of focal parameters of electron beams have the significant practical importance for the specialists, involved in the development and introduction into industrial production of modern highly effective electron-beam technological equipment. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.3.02 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:26:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
І.В. Мельник, А.В. Починок, 2020
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 3 23
УДК 004.94:519.6
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.3.02
ДОСЛІДЖЕННЯ КЛАСУ АЛГЕБРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
ДЛЯ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ МЕЖОВИХ ТРАЄКТОРІЙ
КОРОТКОФОКУСНИХ ЕЛЕКТРОННИХ ПУЧКІВ
І.В. МЕЛЬНИК, А.В. ПОЧИНОК
Анотація. Досліджено метод інтерполяції залежності радіуса електронного
пучка від положення площини зрізу по поздовжній координаті, основаній на
використанні спеціального класу інтерполяційних функцій. Як клас інтерпо-
ляційних функцій, які відповідають яружним залежностям радіуса короткофо-
кусного електронного пучка від відстані, обрано корені степеня n з поліномів
того ж самого степеня. Результати тестування показали, що, залежно від обра-
ного набору відлікових точок, їх положення відносно області мінімуму та
кількості, відносна похибка інтерполяції лежить у межах 0,7 – 8%. Отримані
результати математичного моделювання фокальних параметрів електронних
пучків є вкрай важливими для фахівців, які займаються розробленням сучас-
ного високоефективного електронно-променевого обладнання та його впрова-
дженням у промислове виробництво.
Ключові слова: електронний пучок, транспортування електронного пучка,
фокальна область, інтерполяція, клас алгебричних функцій.
ВСТУП
Сьогодні електронно-променеві технології широко впроваджуються у різ-
них галузях промисловості, зокрема в машинобудуванні, авіаційній та кос-
мічній промисловості, електронній промисловості та приладобудуванні
[1–6]. Головними перевагами електронно-променевих технологій над інши-
ми способами високотемпературного оброблення речовини, зокрема лазер-
ними та плазмовими технологіями, є такі [1–3]:
1) висока загальна потужність електронного пучка, значення якої може
досягати сотень кіловатів;
2) висока питома потужність електронного пучка, значення якої може
становити 106 Вт/м2;
3) проведення технологічних операцій, пов’язаних з нагріванням речо-
вини, у вакуумі, що забезпечує високу хімічну чистоту оброблюваної речо-
вини;
4) простота керування просторовими та енергетичними параметрами
електронних пучків з використанням електричних та магнітних полів.
Крім наведених переваг електронно-променевих технологій, важливою
є також можливість забезпечення роботи джерел електронів в імпульсному
режимі, яка дозволяє використовувати різноманітні фізичні ефекти,
пов’язані з обробленням речовини тепловими імпульсами заданої потужнос-
ті, тривалості та частоти [1–3].
Джерела електронів технологічного використання розробляються за
двома головними напрямами: 1) удосконалення та впровадження у промис-
І.В. Мельник, А.В. Починок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 3 24
ловість традиційних джерел електронів з розжарюваними катодами [1–3];
2) розроблення джерел електронів, які працюють за новими фізичними
принципами. Серед таких джерел електронів окреме місце займають джере-
ла, у яких емісія заряджених частинок здійснюється з іонізованого газу, зок-
рема джерела електронів високовольтного тліючого розряду (ВТР) [4–7].
Зрозуміло, що розроблення та впровадження у промисловість сучасних
електронно-променевих технологій неможливі без ефективного використан-
ня методів математичного моделювання. Зокрема, у працях [1, 8–11] відмі-
чалась важливість проведення інтерполяції та апроксимації енергетичних і
просторових параметрів електронних пучків. Оцінки параметрів електронних
пучків з використанням методів інтерполяції та апроксимації є особливо
важливими для таких технологічних процесів, як зварювання, розмірне об-
роблення виробів та сучасні адитивні технології з наплавленням металів на
плоску поверхню. Для таких процесів передбачення закономірності розпо-
ділу густини струму електронного пучка у фокальній площині з метою оп-
тимізації теплової дії електронного пучка є вкрай важливою науково-
технічною проблемою, особливо для джерел електронів, які працюють
у складних фізичних умовах низького вакууму, зокрема для джерел елект-
ронів на основі ВТР [9–11].
У загальному вигляді завдання інтерполяції межових траєкторій корот-
кофокусних електронних пучків, які формуються електронними гарматами
ВТР, та відповідні методи інтерполяції розглядалися у працях [9, 10]. У цій
роботі розглядатиметься окремий важливий клас алгебричних функцій, вла-
стивості яких дозволяють за одну ітерацію проводити інтерполяцію межо-
вих траєкторій електронних пучків, що формуються джерелами електронів
ВТР, без розбиття цих траєкторій на окремі відрізки та з невеликими похиб-
ками. Для розв’язання поставленого завдання інтерполяції як базові точки та
як достовірні числові дані бралися результати числових розрахунків просто-
рових параметрів електронних пучків, що формуються джерелами електро-
нів ВТР, за умови їх транспортування у низькому вакуумі з компенсацією
просторового заряду електронів іонами залишкового газу [12].
ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ
У загальному вигляді завдання інтерполяції межової траєкторії короткофо-
кусного електронного пучка за умови його транспортування в низькому ва-
куумі було поставлено у праці [12]. Така постановка завдання ґрунтується
на загальнотеоретичних положеннях, сформульованих наприкінці ХХ ст.
у працях [8, 13, 14], які залишаються актуальними дотепер. За будь-яких
фізичних умов завдання інтерполяції значення радіуса короткофокусного
електронного пучка r відносно поздовжньої координати h можна форму-
лювати таким чином. Необхідно знайти таку функцію )(hr , яка має один
глобальний мінімум )( фmin hrr і є симетричною відносно фокальної пло-
щини фhh , тобто задовольняє умову [8, 13]
dh
hhdr
dh
hhdr )δ()δ( фф
, (1)
де h — нескінченно мала зміна величини h.
Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 3 25
Важливим завданням є також визначення оптимальної кількості базо-
вих точок для розв’язування завдання інтерполяції з наперед заданою точні-
стю [15, 16]. Наприклад, у працях [9, 10] розглянуто лише окремий випадок
3int n , а трьох базових точок зазвичай може виявитись недостатньо для
досягнення потрібної точності.
Завдання інтерполяції з використанням формули (1) зазвичай
розв’язують для точних розрахункових даних, які не мають додаткової екс-
периментальної похибки [15, 16]. У роботі використано фізико-математичну
модель межової траєкторії короткофокусного електронного пучка, який
транспортується в низькому вакуумі за умови компенсації просторового за-
ряду електронів іонами залишкового газу, описану у праці [12].
Важливою є також оцінка точності інтерполяції щодо даних числових
розрахунків, згідно з якими взято базові точки [15, 16].
ЧИСЛОВІ СПІВВІДНОШЕННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ МЕЖОВОЇ
ТРАЄКТОРІЇ ЕЛЕКТРОННОГО ПУЧКА ТА РЕЗУЛЬТАТИ ЧИСЛОВОГО
МОДЕЛЮВАННЯ
Як показано й обґрунтовано у праці [12], для числового моделювання про-
цесу транспортування короткофокусного електронного пучка в низькому
вакуумі необхідно враховувати такі фізичні ефекти та процеси [8, 13, 14]:
іонізацію залишкового газу електронами пучка;
розсіювання електронів на атомах залишкового газу за моделлю
Резерфорда;
дефокусування пучка під дією власного просторового заряду елект-
ронів;
фокусування пучка під дією власного просторового заряду іонів;
магнітне самофокусування електронного пучка в іонізованому газі
або пінч-ефект.
У праці [12] на основі проведених числових експериментів обґрунтова-
но, що магнітне самофокусування істотно не впливає на межову траєкторію
короткофокусного електронного пучка. Теоретичні оцінки та результати
комп’ютерних розрахунків показали, що для пучків з кутом збіжності, біль-
шим за 15, енергією електронів 10–30 кеВ та струмом 1,5–2 А вплив магніт-
ного самофокусування на межову траєкторію пучка становить не більше
ніж 0,1%.
Розглянемо відповідну систему рівнянь, числове розв’язування якої до-
зволяє знайти межову траєкторію короткофокусного електронного пучка за
умови його транспортування в низькому вакуумі та компенсації просторово-
го заряду електронів іонами залишкового газу.
1. Система алгебро-диференціальних рівнянь для моделювання процесу
вільного дрейфу електронів пучка з урахуванням їх власного просторового
заряду та компенсації іонами залишкового газу [8, 12–14]:
І.В. Мельник, А.В. Починок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 3 26
;;
2
4
)β1(
;
п
2
п
2
2/3
пр
e
0
2
п
0 r
C
dz
rd
U
m
e
fI
C
nn
n
f
ei
e
e
пр
2
п
п
2
;;θθ
m
eU
v
r
I
n
dz
dr
ees
п
(2)
де пI — струм електронного пучка; пr — радіус електронного пучка;
прU — прискорювальна напруга; f — рівень іонізації залишкового газу;
en — концентрація електронів пучка; 0in — концентрація іонів залишково-
го газу на осі симетрії пучка; em — маса електрона; ε0 — діелектрична ста-
ла; /β cve — відношення усередненої швидкості електронів пучка ev
до швидкості світла c .
2. Алгебричне рівняння для визначення концентрації іонів залишкового
газу на осі симетрії електронного пучка 0in [8, 12–14]:
,exp
2
п0
пр
прe
02
п0
rn
U
Um
nM
pnBrn
e
e
eii (3)
де p — тиск залишкового газу; iB — рівень іонізації газу.
3. Система алгебричних рівнянь для розрахунку середнього кута розсі-
ювання електронів пучка на атомах залишкового газу згідно з моделлю Ре-
зерфорда має вигляд [8, 12–14]:
2
3/44
min
γβ2
10
=
2
θ
tg aZ
;
2
2/3
max
γβ22
θ
tg aZ
;
2
2
min
max
24
22
п2 1γ;
θ
θ
ln
γβ
π8
θ
c
vdznZr ea
, (4)
де minθ , maxθ — мінімальний та максимальний кут розсіювання відповідно;
aZ — заряд ядра атомів залишкового газу; n — концентрація атомів залиш-
кового газу; dz — довжина пробігу електронів у поздовжньому напрямку на
поточній ітерації; θ — середній кут розсіювання електронів пучка; —
релятивістський фактор.
Результати розрахунку межової траєкторії електронного пучка для різ-
них значень прискорювальної напруги за умови 5,0п I А і 1,0p Па пока-
зано на рис. 1 [10].
Як видно з отриманих результатів комп’ютерних розрахунків, залежно-
сті для межової траєкторії короткофокусного електронного пучка від від-
стані )(zr мають один глобальний мінімум у фокальній площині, а за ме-
жами області максимуму ці залежності близькі до лінійних. Згідно з такою
поведінкою функції, заданої даними числового моделювання, будемо шука-
ти відповідну функцію інтерполяції.
Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 3 27
УЗАГАЛЬНЕНА ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ
ТА ВИЗНАЧЕННЯ КЛАСУ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИХ ФУНКЦІЙ
Згідно з графічними залежностями (рис. 1) межові траєкторії електронного
пучка за умови його транспортування в низькому вакуумі з компенсацією
просторового заряду електронів іонами залишкового газу можна інтерполю-
вати алгебричними функціями, які мають один глобальний мінімум, а за
межами області мінімуму залежність )(zr має лінійний характер. Із теорії
алгебричних функцій відомо, що саме таким умовам відповідає клас функ-
цій, які формуються як корені степеня n з поліномів степеня n , тобто [15, 16]
n
ii
n
in
n
in ChChChChChr 01
2
2
1
1)(
, (5)
де n — порядок функції інтерполяції.
Для використання функції інтерполяції (5) необхідно задати набір базо-
вих відлікових точок ir таким чином, щоб однозначно визначити значення
коефіцієнтів nCC ,,0 . Зрозуміло, що для функції апроксимації порядку n
кількість відлікових точок має бути 1n . Тоді для набору базових відліко-
вих точок ],,0[), , ( nihr ii можна на основі співвідношення (5) записати
несуперечливу та замкнену систему з 1n рівнянь, у якій кількість невідо-
мих також становить 1n :
n
ii
n
in
n
ini ChChChChCr 01
2
2
1
1
, ],,0[ ni . (6)
Uпр=10кВ
Uпр=12кВ
Uпр=13кВ
Uпр=14кВ
Рис. 1. Результати розрахунку межової траєкторії короткофокусного електронного
пучка, сформованого джерелом електронів ВТР, за умови використання азоту як
робочого газу
І.В. Мельник, А.В. Починок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 3 28
Після піднесення всіх рівнянь системи (6) до степеня n отримуємо від-
повідну систему лінійних рівнянь для коефіцієнтів nCC ,,0 :
n
iii
n
in
n
in rChChChChC
01
2
2
1
1 , ],,0[ ni . (7)
За умови відомих координат базових точок ,),(,),( 222111 rhPrhP
),(, nnn rhP та ),( 111 nnn rhP можна розрахувати відповідні коефіцієнти
nCC ,,0 функції інтерполяції (5) як розв’язок системи лінійних рівнянь (7),
і така задача, за умови додатних значень координат r1, …, rn, завжди має од-
нозначний розв’язок. Для розв’язування системи рівнянь (7) можна викори-
стати будь-який з відомих методів розв’язання систем лінійних рівнянь, на-
приклад метод виключення змінних Гауса–Зейделя. Тоді розв’язок системи
рівнянь (7) можна шукати у вигляді аналітичних співвідношень для коефіці-
єнтів nCC ,,0 , що дозволяє використовувати функцію інтерполяції (5) для
будь-якого визначеного набору базових точок.
Розглянемо аналітичні співвідношення для визначення коефіцієнтів
nCC ,,0 для функцій, заданих співвідношенням (5) за умов 2n , 3n ,
4n і 5n .
АНАЛІТИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ КОЕФІЦІЄНТІВ
ФУНКЦІЙ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ МЕЖОВОЇ ТРАЄКТОРІЇ ЕЛЕКТРОННОГО
ПУЧКА ВІД ДРУГОГО ДО П’ЯТОГО ПОРЯДКУ
Функція інтерполяції другого порядку. У разі 2n функція інтерполяції
(5) має такий вигляд:
01
2
2)( ChChChr . (8)
Узагальнену систему рівнянь (7) для аналітичного співвідношення (8)
можна переписати у вигляді системи з трьох лінійних рівнянь з трьома неві-
домими, відповідно кількість відлікових точок дорівнює 3. Якщо ці точки
мають координати ),(,),( 222111 rhPrhP і ),( 333 rhP , систему лінійних рівнянь
(7) для визначення коефіцієнтів 10 , CC і 2C можна згідно зі співвідношен-
ням (8) переписати у вигляді
.
;
;
2
3031
2
32
2
2021
2
22
2
1011
2
12
rChChC
rChChC
rChChC
(9)
Аналітичний розв’язок системи рівнянь (9) матиме вигляд:
12
2
1
2
2
1 hh
rr
k
;
13
2
1
2
3
2 hh
rr
k
;
23
12
3 hh
hh
k
;
23
12
2 hh
kk
C
; 31211 )( kkkkC ;
13121
2
1
23
122
10 hkkkkh
hh
kk
rC
. (10)
Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 3 29
За умови відомих поліноміальних коефіцієнтів 10, CC і 2C , які визна-
чаються співвідношенням (10), положення фокуса електронного пучка hf2
можна визначити як точку мінімуму функції (5), а фокальний радіус елект-
ронного пучка — як значення цієї функції ), ( 22 jj hr . Оскільки функція квад-
ратного кореня для додатних значень h завжди існує і є монотонно зростаю-
чою, мінімум функції )(hr , заданої співвідношенням (8), відповідає
мінімуму параболічної функції 01
2
2 ChChC . Тоді фокальні параметри
електронного пучка за умови використання інтерполяційної функції (8) та
відомих значень поліноміальних коефіцієнтів, визначених співвідношенням
(10), можна розрахувати так:
2
1
2 2C
C
hf ;
2
2
1
02 4C
C
Crf . (11)
Функція інтерполяції третього порядку. У разі 3n функція інтер-
поляції (5) має вигляд
3
01
2
2
3
3)( ChChChChr . (12)
Узагальнену систему рівнянь (7) для аналітичного співвідношення (12)
можна переписати у вигляді системи з чотирьох лінійних рівнянь з чотирма
невідомими відповідно, кількість відлікових точок тоді дорівнюватиме 4.
Якщо ці точки мають координати ),(,),(,),( 333222111 rhPrhPrhP і ),( 444 rhP ,
систему лінійних рівнянь (7) для визначення коефіцієнтів 210 ,, CCC та 3C
можна, згідно зі співвідношенням (12), переписати таким чином:
.
;
;
;
3
3041
2
42
3
43
3
3031
2
32
3
33
3
2021
2
22
3
23
3
1011
2
12
3
13
rChChChC
rChChChC
rChChChC
rChChChC
(13)
Отримана система лінійних рівнянь (13) має такий аналітичний
розв’язок:
32
12
3
1
3
2
13
3
1
3
3
1 hh
hh
rr
hh
rr
k
;
42
12
3
1
3
2
14
3
1
3
4
2 hh
hh
rr
hh
rr
k
;
32
1213
2
3
2
2
3 hh
hhhhhh
k
;
42
1214
2
4
2
2
4 hh
hhhhhh
k
;
12
3
1
3
2
5 hh
rr
k
;
43
21
6 kk
kk
k
;
43
21
3 kk
kk
C
; 3
43
21
12 k
kk
kk
kC
; (14)
)()()( 361126
2
112
2
251 kkkhhkhhhhkC ; 11
2
12
3
13
3
10 hChChCrC .
У разі використання інтерполяційної функції (12) за умови відомих по-
ліноміальних коефіцієнтів, визначених співвідношеннями (14), положення
І.В. Мельник, А.В. Починок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 3 30
фокуса електронного пучка hf3 можна обчислити як корінь квадратного рів-
няння із 023 12
2
3 ChChC . Тоді фокальний радіус пучка визначається
як ), ( 33 jj hr за співвідношенням (12). Відповідно маємо:
3
2
3 3C
C
hf , 3
3
21
2
3
3
2
03 327
2
C
CC
C
C
Crf . (15)
Функція інтерполяції четвертого порядку. У разі 4n функція ін-
терполяції (5) має вигляд
4
01
2
2
3
3
4
4)( ChChChChChr . (16)
У цьому випадку система лінійних рівнянь (7) для визначення коефіці-
єнтів 3210 ,,, CCCC і 4C записується для п’яти базових точок
),(),,(),,(,),( 444333222111 rhPrhPrhPrhP і ),( 555 rhP у такій формі:
.
;
;
;
;
4
5051
2
52
3
53
4
54
4
4041
2
42
3
43
4
44
4
3031
2
32
3
33
4
34
4
2021
2
22
3
23
4
24
4
1011
2
12
3
13
4
14
rChChChChC
rChChChChC
rChChChChC
rChChChChC
rChChChChC
(17)
Для спрощення розв’язування системи лінійних рівнянь (17) уведемо
коефіцієнти lka , , де k — номер ітерації у разі розв’язування системи рів-
нянь (17) методом Гауса–Зейделя; l — номер рівняння в системі (17), який
відповідає індексам змінних h і r . Тоді можна записати відповідні співвід-
ношення для індексів lka , :
12
4
1
4
2
2,1 hh
rr
a
;
13
4
1
4
3
3,1 hh
rr
a
;
14
4
1
4
4
4,1 hh
rr
a
;
15
4
1
4
5
5,1 hh
rr
a
;
;
23
2,13,1
3,2 hh
aa
a
;
24
2,14,1
4,2 hh
aa
a
25
2,15,1
5,2 hh
aa
a
. (18)
Розглянемо також коефіцієнти lmkb ,, , де дискретні змінні k і l мають ті
самі значення, що і для коефіцієнтів lka , у співвідношеннях (18), а дискрет-
на змінна m відповідає степеню змінної h у співвідношеннях системи рів-
нянь (17). Відповідні аналітичні співвідношення для коефіцієнтів lmkb ,, , а
також для тих коефіцієнтів lka , , які безпосередньо залежать від lmkb ,, , мож-
на записати таким чином:
23
2
2
13
2
11
2
21
2
3
3
2
3
3
3,3,2 hh
hhhhhhhhhh
b
;
23
1213
2
2
2
3
3,2,2 hh
hhhhhh
b
;
24
2
2
14
2
11
2
21
2
4
3
2
3
4
4,3,2 hh
hhhhhhhhhh
b
;
24
1214
2
4
2
4
4,2,2 hh
hhhhhh
b
;
Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 3 31
25
2
2
15
2
11
2
51
2
5
3
2
3
5
5,3,2 hh
hhhhhhhhhh
b
;
25
1215
2
5
2
5
5,2,2 hh
hhhhhh
b
; (19)
3,2,24,2,2
3,3,24,3,2
4,3,3
bb
bb
b
;
3,2,25,2,2
3,3,25,3,2
5,3,3 bb
bb
b
;
3,2,24,2,2
3,24,2
4,3 bb
aa
a
;
3,2,25,2,2
3,25,2
5,3 bb
aa
a
.
З урахуванням співвідношень (18) і (19) аналітичні вирази для коефіцієнтів
3210 ,,, CCCC і 4C інтерполяційної функції (16) визначаються
розв’язуванням системи лінійних рівнянь (17):
4,35,3
4,35,3
4 bb
aa
C
; ;
4,35,3
4,35,3
3,2,24,2,2
3,3,24,3,2
3,2,24,2,2
3,24,2
3
bb
aa
bb
bb
bb
aa
C
33,2,243,3,23,22 CbCbaC ; (20)
)()()( 122
2
112
2
23
3
12
2
11
2
2
3
242,11 hhChhhhChhhhhhCaC ;
11
2
12
3
13
4
14
4
10 hChChChCrC .
Функція інтерполяції п’ятого порядку. У разі 5n функція інтерпо-
ляції (5) має вигляд:
5
01
2
2
3
3
4
4
5
5)( ChChChChChChr . (21)
Для функції інтерполяції, заданої співвідношенням (21) узагальнена си-
стема лінійних рівнянь (7) для визначення коефіцієнтів 43210 ,,,, CCCCC і
5C , записується для шести базових точок ,),(,),( 222111 rhPrhP
),(),,(),,( 555444333 rhPrhPrhP і ),( 666 rhP :
.
;
;
;
;
;
5
6061
2
62
3
63
4
64
5
65
5
5051
2
52
3
53
4
54
5
55
5
4041
2
42
3
43
4
44
5
45
5
3031
2
32
3
33
4
34
5
35
5
2021
2
22
3
23
4
24
5
25
5
1011
2
12
3
13
4
14
5
15
rChChChChChC
rChChChChChC
rChChChChChC
rChChChChChC
rChChChChChC
rChChChChChC
(22)
Перевага використання коефіцієнтів a і b для пошуку коефіцієнтів фун-
кції інтерполяції полягає не лише у тому, що спрощуються відповідні аналі-
тичні вирази. Оскільки системи рівнянь (17) і (22) є ідентичними і всі їх рів-
няння відрізняються лише першим доданком 5
5 lhC , ітераційний процес
методу Гауса–Зейделя в обох випадках однаковий. Тому більшість обчисле-
І.В. Мельник, А.В. Починок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 3 32
них коефіцієнтів функції інтерполяції четвертого порядку також є правиль-
ними і для функції п’ятого порядку. Насамперед відрізнятися будуть коефі-
цієнти a для першої ітерації a1,l, оскільки у правій частині системи рівнянь
(22) замість значень 4
lr стоять значення 5
lr . Відповідно перші чотири рів-
няння системи (18) для формування розв’язку системи рівнянь (22) необхід-
но переписати у такий спосіб:
12
5
1
5
2
2,1 hh
rr
a
;
13
5
1
5
3
3,1 hh
rr
a
;
14
5
1
5
4
4,1 hh
rr
a
;
15
5
1
5
5
5,1 hh
rr
a
. (23)
Аналіз закономірності формування отриманих аналітичних співвідно-
шень (18) і (23) свідчить про те, що у загальному випадку для функції інтер-
поляції порядку n коефіцієнти la ,1 можна обчислити з використанням такого
універсального аналітичного співвідношення:
1
1
,1 hh
rr
a
l
nn
l
l
. (24)
Проте інші аналітичні вирази систем рівнянь (18) і (19), отримані для
значень 2k і 3k , 5,,1l та 4,,1m , є правильними і для функції
апроксимації п’ятого порядку, оскільки ітераційний процес Гауса–Зейделя
для розв’язування систем рівнянь (18) і (22) на другій і третій ітераціях має
однакові кроки. Інші аналітичні вирази для коефіцієнтів lka , і lmkb ,, , які на-
далі використовуються для формування розв’язку системи рівнянь (22), ма-
ють такий вигляд:
16
5
1
5
6
6,1 hh
rr
a
;
26
2,16,1
6,2 hh
aa
a
;
3,2,26,2,2
3,26,2
6,3 bb
aa
a
;
26
1216
2
2
2
6
6,2,2 hh
hhhhhh
b
;
23
2
3
13
3
1
2
1
2
2
2
1
2
31
3
21
3
3
4
2
4
3
3,4,2 hh
hhhhhhhhhhhhhh
b
;
24
2
3
14
3
1
2
1
2
2
2
1
2
41
3
21
3
4
4
2
4
4
4,4,2 hh
hhhhhhhhhhhhhh
b
;
25
2
3
15
3
1
2
1
2
2
2
1
2
51
3
21
3
5
4
2
4
5
5,4,2 hh
hhhhhhhhhhhhhh
b
; (25)
26
2
3
16
3
1
2
1
2
2
2
1
2
61
3
21
3
6
4
2
4
6
6,4,2 hh
hhhhhhhhhhhhhh
b
;
26
2
2
16
2
11
2
21
2
6
3
2
3
6
6,3,2 hh
hhhhhhhhhh
b
;
3,2,24,2,2
3,4,24,4,2
4,4,3 bb
bb
b
;
3,2,26,2,2
3,4,26,4,2
6,4,3 bb
bb
b
;
3,2,26,2,2
3,3,26,3,2
6,3,3 bb
bb
b
.
Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 3 33
За умови відомих коефіцієнтів lka , і lmkb ,, , які задаються аналітичними
співвідношеннями (18) і (25), розв’язок системи рівнянь (22) для значень
коефіцієнтів 12345 ,,,, CCCCC і 0C має такий вигляд:
5,4,46,4,4
5,46,4
5 bb
aa
C
; 5,4
5,4,46,4,4
5,46,4
5,4,44 a
bb
aa
bC
;
44,3,354,4,34,33 CbCbaC ; 33,2,243,3,253,4,23,22 CbCbCbaC ;
)( 4
12
3
1
2
1
2
21
3
2
4
252,11 hhhhhhhhCaC (26)
)()()( 122
2
112
2
23
3
12
2
11
2
2
3
24 hhChhhhChhhhhhC ;
.11
2
12
3
13
4
14
5
15
5
10 hChChChChCrC
Результати інтерполяції, з використанням отриманих співвідношень
(8)–(26), межових траєкторій короткофокусних електронних пучків, за умо-
ви їх транспортування в низькому вакуумі з компенсацією власного просто-
рового заряду електронів іонами залишкового газу, числові дані для яких
задаються числовим розв’язком системи рівнянь (2)–(4) та графічними за-
лежностями (рис. 1), розглянуто далі. Там же буде оцінена похибка інтерпо-
ляції як відносна різниця між результатами числового моделювання, які
в цьому випадку вважаються еталонними, та значеннями функцій інтер-
поляції (8), (12), (16) і (21), коефіцієнти яких розраховуються за співвід-
ношеннями (10), (14), (18–20) і (18, 19, 23, 25, 26) відповідно.
РЕЗУЛЬТАТИ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ МЕЖОВОЇ ТРАЄКТОРІЇ ЕЛЕКТРОННОГО
ПУЧКА ТА АНАЛІЗ ПОХИБКИ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ
Результати інтерполяції межової траєкторії короткофокусного електронного
пучка для даних числових розрахунків, поданих у вигляді графічних залеж-
ностей на рис. 1, показано на рис. 2. Залежності для відносної похибки ін-
терполяції зображено на рис. 3. Відносну похибку інтерполяції розрахову-
вано таким чином:
100
)(
)()(
)(ε
чис
інтчис
hr
hrhr
h , (27)
де чисr — результати числових розрахунків, які для задання інтерполяції
вважаються достовірними; інтr — результати інтерполяції. Як видно з рис. 2
і 3, інтерполяція даних числових розрахунків виконувалась для значень при-
скорювальної напруги 10, 12 і 13 кВ поліномами другого, третього, четвер-
того та п’ятого порядків з використанням співвідношень (8), (12), (16) і (21).
Із графічних залежностей (рис. 3) чітко видно, що точність інтерполя-
ції, у разі використання класу запропонованих функцій, є надто високою,
оскільки максимальна похибка інтерполяції, яка визначається співвідно-
шенням (27), не перевищує 8%. Найменша похибка інтерполяції, менша за
0,6%, отримана для прискорювальної напруги 10 кВ, що можна пояснити
І.В. Мельник, А.В. Починок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 3 34
лінійним характером межової траєкторії електронного пучка за межами
області мінімуму та вдалим вибором набору відлікових точок, відмічених на
рис. 2, а.
Висока точність інтерполяції для будь-яких значень прискорювальної на-
пруги пояснюється передусім правильно обраним класом функцій, заданих
співвідношенням (5), оскільки ці функціональні залежності мають ті самі
характерні особливості, що й результати числового моделювання, подані
на рис. 1. Однаковий характер залежностей, які підлягають інтерполяції, та
функцій інтерполяції полягає у тому, що вони мають один глобальний міні-
мум, а за межами області мінімуму ці залежності дуже близькі до лінійних.
Із використанням співвідношень (11), (15) оцінювалось положення фо-
куса електронного пучка та його фокального радіуса. Для проведення таких
оцінок через обраний набір числових даних, отриманих у результаті викона-
них числових розрахунків за співвідношеннями (2)–(4), з використанням
алгоритмів розв’язання екстремальних задач [16] визначався мінімум функ-
ції ff rhr )( . З урахуванням формалізму дискретної математики відповід-
а б
в
Рис. 2. Результати інтерполяції межової траєкторії електронного пучка для розра-
хункових даних, показаних на рис. 1. Жирна суцільна лінія — результати числово-
го моделювання. Результати інтерполяції: тонка суцільна лінія — функція другого
порядку, штрихова лінія — функція третього порядку, пунктирна лінія — функція
четвертого порядку, штрихпунктирна лінія — функція п’ятого порядку. a —
10пр U кВ, б — 12пр U кВ, в — 13пр U кВ. Базові точки функцій інтерполяції:
коло — для функції другого порядку, квадрат — для функції третього порядку,
ромб — для функції четвертого порядку, шестикутник — для функції п’ятого по-
рядку. Струм електронного пучка — 0,5 A, робочий тиск — 0,1 Па
Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 3 35
ний алгоритм пошуку положення екстремуму функції дискретних відліків та
її мінімального значення можна записати в такій формі [16]:
)(min if rr , )(minarg if rh , Ni ,,1 , (28)
де N — кількість дискретних точок у наборі числових даних, який аналізу-
ється.
Числові результати розрахунків, виконаних за співвідношеннями (11),
(15), (28), наведено у таблиці.
Результати розрахунку фокальних параметрів електронного пучка через ана-
ліз даних числового моделювання та за функціями інтерполяції його межової
траєкторії другого і третього порядків
Положення фокуса пучка hf Фокальний радіус rf
Прискорю-
вальна
напруга,
кВ
Еталонне
значення,
м
Функція
другого
порядку,
значення,
м/похибка,
%
Функція
третього
порядку,
значення,
м/похиб
ка, %
Еталонне
значення,
мм
Функція
другого
порядку,
значення,
мм / по-
хибка, %
Функція
третього
порядку,
значення,
мм / похиб-
ка, %
10 0,185 0,186 / 0,5 0,184 / 0,5 6, 71 6,73 / 0,2 6,72 / 0,15
12 0, 181 0,185 / 2,2 0,183 / 1,1 2,83 2,75 / 2,8 2,8 / 1,1
13 0,21 0,2 / 4,8 0,206 / 1,9 1,41 1,4 / 0,71 1,405 / 0,35
Рис. 3. Відносна похибка інтерполяції межової траєкторії електронного пучка для
розрахункових даних, показаних на рис. 1. Суцільна лінія — функція другого по-
рядку, штрихова лінія — функція третього порядку, пунктирна лінія — функція
четвертого порядку, штрихпунктирна лінія — функція п’ятого порядку; a —
10пр U кВ, б — 12пр U кВ, в — 13пр U кВ. Струм електронного пучка — 0,5 A,
робочий тиск — 0,1 Па
а
в
б
І.В. Мельник, А.В. Починок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 3 36
ОБГОВОРЕННЯ ОТРИМАНИХ РЕЗУЛЬТАТІВ
Із загальних основ теорії інтерполяції зрозуміло, що мале значення отрима-
ної похибки для даних числового моделювання можна отримати лише за
умови правильного вибору набору базових точок в області фокальної пло-
щини електронного пучка, де залежність )(hr досягає мінімальної величини
[15, 16]. Тестові експерименти показали, що, оскільки згідно з узагальненим
співвідношенням (1) залежність )(hr є дзеркально-симетричною відносно
лінії fhh , дзеркальне розташування базових точок відносно цієї лінії з
додатковою точкою в області розташування фокуса пучка зазвичай є най-
кращим рішенням щодо отримання мінімальної похибки інтерполяції. З ін-
шого боку, якщо фокус електронного пучка розташований на початку або в
кінці числового інтервалу за змінною h ],[ кінпоч hh , який розглядається, до-
статньо взяти лише одну базову точку на інтервалі ],[ поч fhh або ],[ кінhhf ,
оскільки за межами фокальної області залежність r(h) завжди близька до
лінійної. Тому у випадку, коли фокальна площина електронного пучка для
обраного набору числових даних розташована в середині інтервалу
],[ кінпоч hh , краще обирати функцію інтерполяції парного порядку, напри-
клад другого або четвертого. Навпаки, функції інтерполяції непарного по-
рядку, наприклад третього або п’ятого, краще обирати, якщо фокальна пло-
щина електронного пучка fh розташована на початку або в кінці інтервалу
],[ кінпоч hh , який розглядається. Сформовані в результаті проведення тесто-
вих експериментів рекомендації щодо обрання порядку функції інтерполяції
та розташування базових точок дозволили створити простий алгоритм для
розв’язування завдання інтерполяції в автоматичному режимі. Базові точки,
показані на рис. 2, розташовувались з використанням цього алгоритму. Як-
що необхідно взяти лише одну базову точку, вона розташовувалась всере-
дині інтервалу, а якщо потрібна кількість точок N, відповідний інтервал ді-
литься на 1N частину.
У будь-якому разі тестові експерименти показали, що з використанням
функціональних залежностей (5) від другого до п’ятого порядку можна досягти
досить високої точності інтерполяції межової траєкторії короткофокусних
електронних пучків, а відносна похибка інтерполяції становить від 0,7% до 8%.
Із розглянутого у роботі теоретичного матеріалу зрозуміло, що, оскіль-
ки ітераційний процес Гауса–Зейделя повністю повторюється для пошуку
коефіцієнтів функцій (5) різних порядків, існують певні закономірності що-
до формування аналітичних залежностей для обчислення поліноміальних
коефіцієнтів nCC ,,0 . Наприклад, співвідношення (18) і (19), отримані для
функції четвертого порядку, були використані для формування аналітичних
виразів (25), призначених для визначення поліноміальних коефіцієнтів фун-
кції п’ятого порядку через співвідношення (26). Тобто, з теоретичної точки
зору, можна отримати відповідні аналітичні співвідношення і для функцій
(5) більш високих порядків. Проте цілком зрозуміло, що в разі збільшення
порядку n функції інтерполяції до значень, більших за 20, обчислювальна
складність завдання інтерполяції непомірно зростає, а тоді вона вже не оправ-
дується можливим зменшенням похибки, яке стає неістотним [15, 16].
Із практичного погляду запропонований метод інтерполяції межових
траєкторій короткофокусних електронних пучків є дуже ефективним аналі-
Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 3 37
тичним інструментом, за допомогою якого можна оцінювати можливості
використання електронних гармат ВТР для виконання відповідних техноло-
гічних операцій, пов’язаних з електронно-променевим нагріванням речови-
ни та відповідних виробів.
ВИСНОВКИ
Описано метод інтерполяції межової траєкторії короткофокусних елект-
ронних пучків за умови їх транспортування в низькому вакуумі з компенса-
цією просторового заряду електронів іонами залишкового газу. Виконаний
аналіз результатів числового моделювання межової траєкторії електронних
пучків для різних значень прискорювальної напруги, тиску залишкового га-
зу та струму пучка показав, що ці залежності мають яружний характер
з одним глобальним мінімумом у площині фокуса пучка, а за межами фо-
кальної області вони близькі до лінійних залежностей. Подальший аналіз
показав, що для інтерполяційного описання таких функціональних залежно-
стей з невисокою похибкою можуть бути використані аналітичні функції,
які у загальному вигляді описуються співвідношенням (5). З використанням
методу Гауса–Зейделя отримано аналітичні співвідношення для пошуку по-
ліноміальних коефіцієнтів функцій (5) від другого до п’ятого порядку. Тес-
тові експерименти показали, що похибка інтерполяції для даних числового
моделювання залежить від вибору базових точок і становить 0,7–8%. Для
функцій інтерполяції другого і третього порядків отримано аналітичні спів-
відношення (11), (15), які дозволяють безпосередньо оцінювати фокальні
параметри електронного пучка. Проведено оцінки точності визначення фо-
кальних параметрів електронного пучка за результатами інтерполяції, віднос-
на похибка розрахунків за співвідношеннями (11), (15) не перевищувала 5%.
Отримані результати інтерполяції дозволяють на початковому етапі проек-
тування досить точно оцінювати технологічні можливості електронних гар-
мат ВТР та узгоджувати їх з вимогами відповідного технологічного процесу.
Такі результати є вкрай цікавими для фахівців, які займаються розроблен-
ням новітнього електронно-променевого технологічного обладнання та його
впровадженням у промислове виробництво.
ЛІТЕРАТУРА
1. Н.Н. Рыкалин, И.В. Зуев, и А.А. Углов, Основы электронно-лучевой обработки
материалов. Москва: Машиностроение, 1978, 239 с.
2. З. Шиллер, У. Гайзиг, и З. Панцер, Электронно-лучевая технология. Москва:
Энергия, 1980, 528 с.
3. Электронно-лучевая сварка, под общ. ред. Б.Е. Патона. Киев: Наукова думка,
1987, 256 с.
4. М.А. Завьялов, Ю.Е. Крейндель, А.А. Новиков, и Л.П. Шантурин, Плазменные
процессы в технологических электронных пушках. Москва: Атомиздат, 1989, 256 с.
5. Y.E. Krasik et all., “High-current electron sources based on gaseous discharges”,
Vacuum, vol. 77, no. 4, pp. 391–398, 2003.
6. V.A. Gruzdev, V.G. Zalesski, D.A. Antonovich, and V.P. Golubev, “Universal
plasma electron source”, Vacuum, vol. 77, no. 4, pp. 399–406, 2003.
7. S. Denbnovetskiy et al., “Principles of operation of high voltage glow discharge
electron guns and particularities of its technological application”, in Proceedings of
SPIE The International Society of Optical Engineering, 2017, pp. 10445–10455.
8. J.D. Lawson, The Physics of Charged-Particle Beams. Clarendon Press, Oxford, 1977.
9. И.В. Мельник и А.В. Починок, “Интерполяция граничной траектории электронно-
го пучка в прифокальной области линейными и квадратичными функциями
І.В. Мельник, А.В. Починок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 3 38
с использованием арифметико-логических выражений”, Вісник Херсон. нац.
техн. ун-ту, вип. 2 (69), ч. 2, с. 23–30, 2019.
10. I. Melnik, S. Tugay, and A. Pochynok, “Interpolation Functions for Describing the
Boundary Trajectories of Electron Beams Propagated in Ionised Gas”, in 15th Inter-
national Conference on Advanced Trends in Radioelectronics, Telecommunications
and Computer Engineering (TCSET - 2020) Conference Proceedings. Available:
https://www.researchgate.net/publication/341248002_Interpolation_Functions_for_
Describing_the_Boundary_Trajectories_of_Electron_Beams_Propagated_in_Ionised_Gas
11. I. Melnyk, S. Tuhai, and A. Pochynok, “Interpolation of the Boundary Trajectories
of Electron Beams by the Roots from Polynomic Functions of Corresponded Order”,
2020 IEEE 40th International Conference on Electronics and Nanotechnology
(ELNANO). Conference Proceedings, pp. 28–33.
12. С.В. Денбновецкий, В.И. Мельник, И.В. Мельник, и Б.А. Тугай, “Моделирова-
ние транспортировки короткофокусных электронных пучков из низкого в вы-
сокий вакуум с учетом разброса тепловых скоростей электронов”, Прикладная
физика, № 3, c. 84–90, 2010.
13. M. Szilagyi, “Electron and Ion Optics”, Springer Science & Business Media, 2012.
14. С.И. Молоковский и Д.И. Сушков, Интенсивные электронные и ионные пуч-
ки. Москва: Энергоатомиздат, 1991, 304 с.
15. А.А. Самарский и А.В. Гулин, Численные методы: учеб. пособие для вузов.
Москва: Наука, 1989, 432 с.
16. Ф.П. Васильев, Численные методы решения экстремальных задач: учеб. посо-
бие для вузов. Москва: Наука, 1988, 552 с.
Надійшла 31.05.2020
INFORMATION ON THE ARTICLE
Igor V. Melnyk, ORCID: 0000-0003-0220-0615, National Technical University of Ukraine
“Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: imelnik@phbme.kpi.ua
Alina V. Pochynok, ORCID: 0000-0001-9531-7593, Scientific and Education Institute of
Information Technology of University of State Fiscal Service of Ukraine, e-mail:
alina_pochynok@yahoo.com
INVESTIGATION OF THE CLASS OF ALGEBRAICAL FUNCTIONS FOR
INTERPOLATION OF BOUNDARY TRAJECTORIES OF SHORT-FOCUS ELECTRON
BEAMS / I.V. Melnyk, A.V. Pochynok
Abstract. The method for interpolating the dependence of the electron beam radius
on the cutting plane position by the longitudinal coordinate, based on using the spe-
cial class of interpolation functions, was investigated in this article. The roots of n-th
order from the polynomials of the same order are used as the class of interpolation
functions, which correspond to the ravine dependence of the radius of a short-focus
electron beam on the distance of propagation. The results of testing have shown that,
depending on choosing the set of basic points, including its position relatively to the
minimum and their quantity, the relative interpolation error is between 0,7% and
8%. Obtained results of mathematical simulation of focal parameters of electron
beams have the significant practical importance for the specialists, involved in the
development and introduction into industrial production of modern highly effective
electron-beam technological equipment.
Keywords: electron beam, electron beam guiding, focal region, interpolation, class
of algebraic functions.
ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
ГРАНИЧНЫХ ТРАЕКТОРИЙ КОРОТКОФОКУСНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ /
И.В. Мельник, А.В. Починок
Аннотация. Исследован метод интерполяции зависимости радиуса электрон-
ного пучка от положения плоскости среза по продольной координате, осно-
ванный на использовании специального класса интерполяционных функций.
Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 3 39
Как класс интерполяционных функций, которые соответствуют овражным за-
висимостям радиуса короткофокусного электронного пучка от расстояния,
выбраны корни степени n из полиномов той же самой степени. Результаты тес-
тирования показали, что, в зависимости от выбранного набора отсчётных то-
чек, их положения относительно области минимума и количества, относитель-
ная ошибка интерполяции лежит в пределах 0,7–8%. Полученные результаты
математического моделирования фокальных параметров электронных пучков
имеют большое практическое значение для специалистов, занимающихся раз-
работкой и внедрением в промышленное производство современного высоко-
эффективного электронно-лучевого технологического оборудования.
Ключевые слова: электронный пучок, транспортирование электронного пуч-
ка, прифокальная область, интерполяция, класс алгебраических функций.
REFERENCES
1. N.N. Rykalin, I.V. Zuev, and A.A. Uglov, Fundamentals of Electron-Beam Materials
Treatment. Moscow: Mashinostroenie, 1978.
2. S. Shiller, U. Geisig, and S. Panzer, Electron-beam technology. Moscow: Energy,1980.
3. Electron Beam Welding, edited by B.E. Pathon. Kyiv: Naukova Dumka, 1987.
4. M.A. Zavialov, Yu.E. Kreindel, A.A. Novikov, and L.P. Shanturin, Plasma Processes in
the Technological Electron Guns. Moscow: Atomizdat, 1989.
5. Y.E. Krasik et al.,“High-current electron sources based on gaseous discharges”, Vacuum,
vol. 77, no. 4, pp. 391–398, 2003.
6. V.A. Gruzdev, V.G. Zalesski, D.A. Antonovich, and V.P. Golubev,“Universal plasma
electron source”, Vacuum, vol. 77, no. 4, pp. 399–406, 2003.
7. S. Denbnovetskiy et al., “Principles of operation of high voltage glow discharge electron
guns and particularities of its technological application”, Proceedings of SPIE The Inter-
national Society of Optical Engineering, pp. 10445–10455, 2017.
8. J.D. Lawson, The Physics of Charged-Particle Beams. Oxford: Clarendon Press, 1977.
9. I.V. Melnyk and A.V. Pochynok, “Interpolation of Boundary Trajectory of Electron
Beam in the Near-Focus Region by the Linear and Square Functions with Using of
Arithmetic-Logical Equations”, Bulletin of Kherson National Technical University, issue
2 (69), part 2, pp. 23–30.
10. I. Melnik, S.Tugay, and A. Pochynok, “Interpolation Functions for Describing theBound-
ary Trajectories of Electron Beams Propagated in Ionised Gas”, 15th International Con-
ference on Advanced Trends in Radioelectronics, Telecommunications and Computer
Engineering (TCSET–2020) Conference Proceedings.[Online]. Available: https://www.
researchgate.net/publication/341248002_Interpolation_Functions_for_ Describing_the_
Boundary_Trajectories_of_Electron_Beams_Propagated_in_Ionised_Gas
11. I. Melnyk, S. Tuhai, and A. Pochynok, “Interpolation of the Boundary Trajectories of
Electron Beams by the Roots from Polynomic Functions of Corresponded Order”, 2020
IEEE 40th International Conference on Electronics and Nanotechnology (ELNANO).
Conference Proceedings, pp. 28–33.
12. S.V. Denbnovetskiy, V.I. Melnik, I.V. Melnik, and B.A. Tugai, “Sumulation of Guiding
Short-Focus Electron Beams from the Low to High Vacuum with Taking into Account
the Dissipation of Electrons Velocity”, Applied Physics, no. 3, pp. 84–90, 2010.
13. M. Szilagyi, Electron and Ion Optics. Springer Science & Business Media, 2012.
14. S.I. Molokovskiy and D.I. Sushkov, Intensive Electron and Ion Beams. Moscow: Ener-
goatomizdat, 1991.
15. A.A. Samarskiy and A.V. Gulin, Numerical Methods: Tutorial Book for Higher Educa-
tion Institutions. Moscow: Nauka, 1989.
16. F.P. Vasiliev, Numerical Methods for Solving the Extremal Problems: Tutorial Book for
Higher Education Institutions. Moscow: Nauka, 1988.
|
| id | journaliasakpiua-article-221171 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:26:58Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/30/ceb9dc3f4a426384a572e6358e54d230.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2211712021-01-19T12:18:25Z Investigation of the class of algebraical functions for interpolation of boundary trajectories of short-focus electron beams Исследование класса алгебраических функций для интерполяции граничных траекторий короткофокусных электронных пучков Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій короткофокусних електронних пучків Melnyk, Igor V. Pochynok, Alina V. електронний пучок транспортування електронного пучка фокальна область інтерполяція клас алгебричних функцій электронный пучок транспортирование электронного пучка прифокальная область интерполяция класс алгебраических функций electron beam electron beam guiding focal region interpolation class of algebraic functions The method for interpolating the dependence of the electron beam radius on the cutting plane position by the longitudinal coordinate, based on using the special class of interpolation functions, was investigated in this article. The roots of n-th order from the polynomials of the same order are used as the class of interpolation functions, which correspond to the ravine dependence of the radius of a short-focus electron beam on the distance of propagation. The results of testing have shown that, depending on choosing the set of basic points, including its position relatively to the minimum and their quantity, the relative interpolation error is between 0,7% and 8%. Obtained results of mathematical simulation of focal parameters of electron beams have the significant practical importance for the specialists, involved in the development and introduction into industrial production of modern highly effective electron-beam technological equipment. Исследован метод интерполяции зависимости радиуса электронного пучка от положения плоскости среза по продольной координате, основанный на использовании специального класса интерполяционных функций. Как класс интерполяционных функций, которые соответствуют овражным зависимостям радиуса короткофокусного электронного пучка от расстояния, выбраны корни степени n из полиномов той же самой степени. Результаты тестирования показали, что, в зависимости от выбранного набора отсчётных точек, их положения относительно области минимума и количества, относительная ошибка интерполяции лежит в пределах 0,7–8%. Полученные результаты математического моделирования фокальных параметров электронных пучков имеют большое практическое значение для специалистов, занимающихся разработкой и внедрением в промышленное производство современного высокоэффективного электронно-лучевого технологического оборудования. Досліджено метод інтерполяції залежності радіуса електронного пучка від положення площини зрізу по поздовжній координаті, основаній на використанні спеціального класу інтерполяційних функцій. Як клас інтерполяційних функцій, які відповідають яружним залежностям радіуса короткофокусного електронного пучка від відстані, обрано корені степеня n з поліномів того ж самого степеня. Результати тестування показали, що, залежно від обраного набору відлікових точок, їх положення відносно області мінімуму та кількості, відносна похибка інтерполяції лежить у межах 0,7 – 8%. Отримані результати математичного моделювання фокальних параметрів електронних пучків є вкрай важливими для фахівців, які займаються розробленням сучасного високоефективного електронно-променевого обладнання та його впровадженням у промислове виробництво. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2020-12-07 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/221171 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.3.02 System research and information technologies; No. 3 (2020); 23-39 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2020); 23-39 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2020); 23-39 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/221171/223555 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | електронний пучок транспортування електронного пучка фокальна область інтерполяція клас алгебричних функцій Melnyk, Igor V. Pochynok, Alina V. Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій короткофокусних електронних пучків |
| title | Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій короткофокусних електронних пучків |
| title_alt | Investigation of the class of algebraical functions for interpolation of boundary trajectories of short-focus electron beams Исследование класса алгебраических функций для интерполяции граничных траекторий короткофокусных электронных пучков |
| title_full | Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій короткофокусних електронних пучків |
| title_fullStr | Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій короткофокусних електронних пучків |
| title_full_unstemmed | Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій короткофокусних електронних пучків |
| title_short | Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій короткофокусних електронних пучків |
| title_sort | дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій короткофокусних електронних пучків |
| topic | електронний пучок транспортування електронного пучка фокальна область інтерполяція клас алгебричних функцій |
| topic_facet | електронний пучок транспортування електронного пучка фокальна область інтерполяція клас алгебричних функцій электронный пучок транспортирование электронного пучка прифокальная область интерполяция класс алгебраических функций electron beam electron beam guiding focal region interpolation class of algebraic functions |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/221171 |
| work_keys_str_mv | AT melnykigorv investigationoftheclassofalgebraicalfunctionsforinterpolationofboundarytrajectoriesofshortfocuselectronbeams AT pochynokalinav investigationoftheclassofalgebraicalfunctionsforinterpolationofboundarytrajectoriesofshortfocuselectronbeams AT melnykigorv issledovanieklassaalgebraičeskihfunkcijdlâinterpolâciigraničnyhtraektorijkorotkofokusnyhélektronnyhpučkov AT pochynokalinav issledovanieklassaalgebraičeskihfunkcijdlâinterpolâciigraničnyhtraektorijkorotkofokusnyhélektronnyhpučkov AT melnykigorv doslídžennâklasualgebričnihfunkcíjdlâínterpolâcíímežovihtraêktoríjkorotkofokusnihelektronnihpučkív AT pochynokalinav doslídžennâklasualgebričnihfunkcíjdlâínterpolâcíímežovihtraêktoríjkorotkofokusnihelektronnihpučkív |