Моделювання температурного поля корпусу екструдера
The paper considers the process of induction heating of the extruder body, the temperature of which determines the degree of heating of the polymer mixture in the zone of loading the dry mixture. A mathematical model of this process is formulated taking into account radiant heat transfer in the gap...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2021
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/240120 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302761181642752 |
|---|---|
| author | Trofymchuk, Olexandr Zelensky, Kiril Nastenko, Ievgen |
| author_facet | Trofymchuk, Olexandr Zelensky, Kiril Nastenko, Ievgen |
| author_sort | Trofymchuk, Olexandr |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2021-09-16T11:48:22Z |
| description | The paper considers the process of induction heating of the extruder body, the temperature of which determines the degree of heating of the polymer mixture in the zone of loading the dry mixture. A mathematical model of this process is formulated taking into account radiant heat transfer in the gap between the inductor and the case. An iterative numerical-analytical method is proposed for solving the corresponding nonlinear boundary value problem of housing heating, at the first iteration of which a linear boundary value problem is solved (without taking into account radiant heat transfer). At the subsequent stages, a nonlinear boundary value problem is solved. The iterative method is based on the application of integral transformations of the linear part of the problem, followed by an iterative scheme for finding a nonlinear problem. This scheme is based on the algorithms for the equivalent simplification of the expressions obtained by solving the problem. The results of mathematical modeling of the corresponding algorithms are presented. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.2.10 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:27:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
O. Trofimchuk, K. Zelensky, Ie. Nastenko, 2021
130 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 2
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
UDC 621.3
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.2.10
MODELING OF A TEMPERATURE FIELD
FOR EXTRUDER BODY
О. TROFIMCHUK, K. ZELENSKY, Ie. NASTENKO
Abstract. The paper considers the process of induction heating of the extruder
body, the temperature of which determines the degree of heating of the polymer
mixture in the zone of loading the dry mixture. A mathematical model of this
process is formulated taking into account radiant heat transfer in the gap between the
inductor and the case. An iterative numerical-analytical method is proposed for
solving the corresponding nonlinear boundary value problem of housing heating, at
the first iteration of which a linear boundary value problem is solved (without taking
into account radiant heat transfer). At the subsequent stages, a nonlinear boundary
value problem is solved. The iterative method is based on the application of integral
transformations of the linear part of the problem, followed by an iterative scheme for
finding a nonlinear problem. This scheme is based on the algorithms for the
equivalent simplification of the expressions obtained by solving the problem. The
results of mathematical modeling of the corresponding algorithms are presented.
Keywords: equivalent simplification, extruder, induction heating, integral
transformations, polymer, Bessel functions.
INTRODUCTION
The processes available in the extruders in the manufacture of products from
polyethylene dry mixes are characterized by the versatility of the tasks to be
solved. As is known, [1–4], heat and mass transfer processes in extruders are
divided into several zones: the loading zone of the dry mixture at the inlet to the
extruder, which heats the mixture to a temperature close to the melting point of
the polymer, the delay zone in which the formation of wall polymer melt films,
melting zone where the mixture is melted, dosing zone in which the polymer melt
is cooled, product forming zones.
Analysis of the literature on these processes in the areas of loading, melting,
dosing and cooling of the polymer mixture and polymer melts in the manufacture
of cable insulation at ultra-high voltages, showed that the process of heating the
screw housing in the extruder is not considered. In our opinion, this process
significantly affects the temperature of the mixture in the loading zone along with
the heating of the mixture due to the dry friction of the mixture.
Modeling of a temperature field for extruder body
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 2 131
FORMULATION OF THE PROBLEM
Consider the process of induction heating of the extruder body to a given
temperature. We set the heat transfer conditions by convection and radiation at the
upper limit.
The density of internal heat sources is the electromagnetic energy released
per unit time per unit volume. Due to the surface effect, the distribution of
internal heat sources is significantly heterogeneous and depends on the
electrophysical properties of the load, which change during heating.
The whole heating process is divided into intervals, in each of which the
loading properties are assumed to be constant:
.2,05;2,65}{0,9;1,45;=)(mLi
Fig. 1 [5] shows a graph of the distribution of specific volume over the
length of the cylinder.
The graph shows that the first section of the extruder (first inductor) releases
maximum power, because in this section it is necessary to heat the polymer from
the initial temperature to the melting point, and in the other zones is heated and
maintained at a given temperature.
The distribution of the temperature field of the body kT is described by the
equation of thermal conductivity, which in the cylindrical coordinate system has
the form
,
1
=
2
2
w
a
z
T
r
T
r
rr
a
t
T kkk
k
k
(1)
where )/(= kkkk ca is the coefficient of thermal conductivity; kkk c ,, —
thermal conductivity, W /(m C), specific heat and density of the housing material,
respectively, ),( zrg — the function of the distribution of the density of internal
energy sources in the material, W /m3. Given that the depth of penetration of
electromagnetic energy from the inductor is small, 1 , assume that it acts on
the outer surface of the housing 4= rr .
1
2 3
4
X, (m)
P
1
06
(W
/m
3
)
Fig. 1. Distribution of specific volumetric power by the length of sections 1–4
O. Trofimchuk, K. Zelensky, Ie. Nastenko
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 2 132
Taking into account the above, the specific power on the outer surface of the
housing is equal to [5]
.10
4
10
== /2)/(21
4
)//2(
00
bx
mek
b eHfepw
If the density of the heat source on the surface of the ingot is given, use the
first part of formula (2), if you know the magnetic field strength on the surface of
the ingot, use the second part of this formula.
The initial and boundary conditions are:
;=;=|;=|
1=
0=00=
3
4 h
q
r
T
TTTT
k
rr
k
krrktk
(1)
,0=0,=
=
1
0=
1
Lz
k
k
z
k
k Th
z
T
Th
z
T
(2)
where kkh /=1 , k — heat transfer coefficient of the case into the environ-
ment. For the contact surface of the steel pipe with air 9=k W/(m2 c); 0T —
temperature of surrounded space; kT0 — temperature on the bound of inductor.
Boundary condition on the side surface of a cylindrical workpiece:
);(=),,()()(
4=
11 kGG
rr
kk
k
k TNLtzrTT
r
T
T
(3)
0,65.=;
100
),,(
=;
100
)(= 1
4
4
1
4
0
10
tzrT
N
T
TTL k
GkG (4)
The function ),( 4 zrg in this case is the temperature at which the inductor
heats the surface of the housing, ie.
ind
4 =),( Tzrg .
Values of thermophysical parameters for the case (steel) at temperature
K300=T are equal: 7845= kg / m 3 , 0,461=Vc Kt/(kg )Kc , 58= ,
K1/10,5= .
SOLUTION METHOD
Since the boundary value problem (1)–(5) is nonlinear, we will perform
mathematical modeling according to the iterative scheme [6]. First, we obtain the
solution of the problem in a linear approximation. We apply to equation (1) the
integral transformation over the variable z :
0.=)(
)( 2
2
2
kk
k Z
dz
Zd
Custom conversion functions:
.cossin
1
=)(
1
2
z
h
z
Z
zZ k
k
k
k
k
Modeling of a temperature field for extruder body
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 2 133
The integral of the product of eigenfunctions is equal to:
;=,sin)cos(11
2
=
1
2
11=1=
jkkjkj
kj
kj
jk
kj
j
jk
M
j
M
k
pLp
h
p
Lp
hp
dzZZ
.sin)cos(11
2
=
)(
)(
1
2
11=1=
Lp
h
p
Lp
hp
dz
dz
zdZ
zZ kj
kj
kj
jk
kj
jjj
kk
M
j
M
k
The application of the integral transformation of the variable to equation (1)
gives:
;)(),,(
1
= 2
kkk
k
kkk Qzwz
a
trT
r
T
r
rr
T
(5)
.)(1cossin= 0
1
1
1
1 k
k
k
k
kk T
h
hL
h
LhQz
(6)
Boundary conditions (3) take the form
;=1=0;=|
3=
0= k
k
k
k
rr
k
r q
q
z
r
T
T
(7)
;)(=1,1=)()(
0
4=
111 dzzZzLLzTT
r
T
T kk
L
kGGk
rr
kk
k
k
(8)
.)()(=,),,()(=),,(
00
dzTNzZLdzztrTzZtrT kGkk
L
Gk
L
kk (9)
Regarding the variable r , we have the Bessel equation within ],[ 43 rrr :
0=),,(
),,(1 2 trT
r
trT
r
rr kkk
kk
(10)
with homogeneous boundary conditions
0.=|),,()(
),,(
)(0;=|
),,(
4=113= rrkkk
kk
krr
kk
trTT
dr
trTd
T
dr
trTd
Own functions for the variable take the form:
)].()()([
)(
1
=)( 0302
rJrDrI
rR
rR n
nn
n
(11)
Substitution in (5) for 4= rr in the second boundary condition (9) taking
into account the expression for leads to a characteristic equation for finding
eigenvalues n :
.0=)]()()()([)]()()()([ 41314131403140311 rJrIrIrJrJrIrIrJh
O. Trofimchuk, K. Zelensky, Ie. Nastenko
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 2 134
Denote by 4= r , 43/= rrc and
1,2.=,);()()()(=)( mlJcIIcJB lmlm
l
m
Then to calculate the eigenvalues n we will have the following functions
0=)()(=)( 0
11
1
1
4
BhB
r
q ;
).()(
1
)(
1
)(=)( 0
01
0
1
1
4
1
11
4
1
0
cBhB
h
r
Bh
r
B
b
c
w
Coefficients are defined as the norm of eigenfunctions )( rR nn ,
)(
)(
=
31
31
rJ
rI
D
n
n
n
:
.)]()([=)(=)(= 2
00
4
3
2
4
3
2 rdrrJDrI
r
drrrR
r
rRB nnn
r
nn
r
nn (14)
Integral transformation of the variable to equation (1) and boundary
conditions (3), (4):
;)(= 4 GnGnk NrRLT
t
T
(15)
./=);)()(((0)= 1340 kkRRnGnkG qzZZrRLrRTZL
In the space of Laplace images we have
)]}.,,([{
1
)(
)(
=),( (0)
4 tTN
p
rR
pp
L
pT knkG
nk
nn
nk
G
nkk
(16)
Since the right-hand side of this expression contains a nonlinear function
from kT (Stefan–Boltzmann condition), 44 )/100,,(= tzrTN kG we will look for
the solution of equation (16) by an iterative scheme. In the first iteration we
obtain the solution of the equation without taking into account the nonlinear
function GN .
,)1()()(=),,(
1=1=
(0) teCzZrRtzrT nk
nkkknn
M
k
M
n
k
(17)
where
nk
G
nk
L
C
= , )(= 22
kn
v
k
nk c
.
Substitute the solution (17) taking into account the integral transformations
of the variable
;1=)],,([ ,
,
4
1=
(0)
t
eD
NM
tTN m
m
kmn
kmn
mkmnm
knkG (18)
],;,;,;,;,[=; 44332211,, knknknknknmCzkrnD
jj kjnjkjnkjn
Modeling of a temperature field for extruder body
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 2 135
);()()()()(= 4444334224114 rRrRrRrRrRrn nnnnnnnnnnjn
.)()()()()(
)(
1
=
44332211
1=
dzzZzZzZzZzZ
zZ
zk kkkkkkkkkk
N
kkk
jk
Since in this expression the temperature ),,((0) tzrTk is in the 4th degree,
we will not write this product (the calculation of the corresponding
transformations is implemented using the appropriate program in the language
C [6]). Write the product for one component, for example, for,.
1==== 4321 nnnn , 1==== 4321 kkkk . Let’s mark it as GN1,1, . Then
,=])1([
100
1
=
4
0=
4114
1141,1,
tedteDN l
l
l
G
(19)
where .4=,3=,2=,=;/100)(1)(= 1,141,131,121,11
4
1,1 l
l
l Dd
The other components of expression will have a similar form with the
change of indices to. We emphasize that the dependence of the nonlinear
component of the equation is reflected in the coefficient and remains unchanged
in subsequent transformations.
We now apply to (19) an algorithm of equivalent simplification [7], which
converts the expressions of the form (19) into a second-order chain in Laplace
image space. Then we will obtain
.=),(
2,
5
,
4
,
3
,
1
,
0
,
2
papaa
aa
p
a
pT
knknkn
knknkn
nkk
(20)
In the space of the originals, the expression for temperature will look like
),,( tzrTk
.])()([)()( ,
2
,
1
,
1
,
0
,,
2
1=1=
tfbtfbteazZrR knknknknknkn
kkkn
N
k
M
n
(21)
Here
.0<)(ch
,0>)(cos
=)(
;0<)(sh
0,>)(sin
=)(
,,
,,
,
2,,
,,
,
1 knkn
knkn
kn
knkn
knkn
kn
t
t
tf
t
t
tf
In the next stages of the iterative procedure we will have the product (for
example, for jn , 1,4=j , lk , 1,4=l ) of functions
2,
5
,
4
,
3
,
1
,
0
,
2
,
,4
1=
),(=
pepee
pee
p
e
tTN
ljljlj
ljljlj
lj
lj
knknkn
knknkn
kn
kn
k
l
G
.
The summation in (21) for jn
with the corresponding transformations gives
the expression of the body temperature taking into account the nonlinear
component of the solution.
O. Trofimchuk, K. Zelensky, Ie. Nastenko
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 2 136
The application of the iterative procedure for calculating the expressions of
the form (20) leads to a change in the values of the coefficients kn
ja , , 0,5=j , but
the structure of this expression remains unchanged.
After the implementation of the iterative procedure for achieving the
requirements of accuracy (number of iterations) we obtain the solution of the
problem:
),,( tzrTk
.))()(()()( ,
2
,
1
,
1
,
0
,,
2
1=1=
tfbtfbtebzZrR knknknknknkn
kk
N
k
nn
M
n
(22)
Thus, due to the use of algorithms of equivalent simplification of nonlinear
expressions in equations, we obtain the solution of a nonlinear boundary value
problem in the class of linear functions.
The main purpose of mathematical modeling of heat transfer in the extruder
body is to determine the temperature field on the inner surface of the body on the
border with the auger, which determines the heating conditions of the polymer
mixture in the loading zone. Based on this, expression (22) takes the form
),,( 3 tzrTk
])()([)()( ,
2
,
1
,
1
,
0
,,
2
1=
3
1=
tfbtfbtebzZrR knknknknknkn
kk
N
k
nn
M
n
. (23)
Summation in (23) by eigenfunctions in Laplace image space) on the inner
surface of the cylinder gives
.)(=),,(
~
2
543
102
1=
3
pcpcc
pcc
p
c
zZpzrT
kkk
kkk
kk
N
k
k (24)
The original of this expression is
,])()([)(=),,(
~
21102
1=
3
tfctfcteczZtzrT kkkkkk
kk
N
k
k (25)
Expression (25) serves as a boundary condition on the outer surface of the
auger in the boundary value problem of heat transfer in the polymer mixture in
the zone of its loading.
SIMULATION RESULTS
In fig. 2, a, b shows the results of modeling the temperature field of the auger
body.
In fig. 3, a, b show the temperature fields on the inner surface of the extruder
body in the linear case (first iteration) and taking into account the radiation (third
iteration).
Finally, we need to determine the temperature field at the boundary between
the inside of the housing and the loaded polymer mixture, i.e. ),,( 3 tzrTk In fig. 3,
a, b the graphs of temperature distribution on length of a loading zone is resulted.
Modeling of a temperature field for extruder body
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 2 137
With the help of the proposed algorithm for solving the nonlinear boundary
value problem, it is possible to develop an algorithm for controlling the temperature
field of the housing in order to optimize the process of heating the mixture in the
loading zone and melting and crystallization zones of the polymer melt.
T
em
pe
ra
tu
re
r
=
ra
Boundary-2: r=ra Boundary-2: r=ra
z t
Fig. 3. Temperature field of the inner surface on the 1-st and 3-d iterations
Fig. 2. Temperature field of the auger body time is fixed
T(0)(r,z,t=1)
z rb
T(0)(r,z,t=1)
z ra
T(0)(r,z,t=1)
O. Trofimchuk, K. Zelensky, Ie. Nastenko
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 2 138
CONCLUSIONS
A mathematical model of induction heating of the extruder body in the
manufacture of polymer products, in particular, insulating coating of cables for
ultrahigh voltages, which takes into account the convective and radiant heat
exchange in the gap inductor-body.
Mathematical modeling of the temperature field of the extruder body during
induction heating of the outer surface of the body is performed. The obtained
expression for the temperature field on the inner surface of the extruder housing is
used as a boundary condition on the outer surface of the auger in the study of heat
transfer in the loading zone of the polymer mixture.
REFERENCES
1. A. Zhuchenko, A. Kubrak, and A. Dankevych, “Mathematical description of the
thermal regime of the extruder”, Bulletin of NTUU “KPI”, Chemical Engineering,
Ecology and Resource Conservation, pp. 11–22, 2016.
2. V. Pervadchuk, Processes of movement, heat exchange and phase transformations
of non-Newtonian materials in screw devices: Dis. … Dr. Tech. Sciences in special.
Perm, 1984, 377 p.
3. E. Subbotin and R. Zinnatullin, “Experimental determination of rheological
characteristics of polymer melt in numerical modeling of the extrusion process”,
Nauch.-tehn. Bulletin of the Volga region, pp. 28–30, 2015.
4. N. Trufanova, A. Shcherbinin, and V. Yankov, Melting of polymers in extruders.
Moscow-Izhevsk: Regular and chaotic dynamics, 2009, 336 p.
5. N. Trufanova, Polymer processing. Perm: Publishing House of Perm. State Tech.
University, 2009, 158 p.
6. V. Mitroshin, “Structural modeling of the temperature field of the polymer melt in
the dosing zone of a single-worm extruder”, Vestnik Samar. state tech. un-ta, ser.:
Technical sciences, no. 41, pp.191–194, 2006.
7. K. Zelensky, V. Ignatenko, and O. Kots, Computer methods of applied mathematics.
Kyiv: Akademperiodika, 2003, 480 p.
8. N. Zelenskaya and K. Zelensky, “Approximation of cylindrical functions by
fractional-rational expressions”, Bulletin of the University “Ukraine”, series:
Informatics, Computer Science and Cybernetics, no. 1, pp. 78–83, 2016.
Received 15.02.2021
INFORMATION ON THE ARTICLE
Olexandr N. Trofymchuk, ORCID: 0000-0003-3782-4209, Institute of Telecommunications
and Global Information Space of the National Academy of Sciences of Ukraine, Ukraine,
e-mail: Trofymchuk@nas.gov.ua
Kiril Kh. Zelensky, ORCID: 0000-0003-1501-8214, National Technical University of
Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: zelensky126@ukr.net
Ievgen A. Nastenko, ORCID: 0000-0002-1076-0137, National Technical University of
Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: nastenko.e@gmail.com
МОДЕЛЮВАННЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ КОРПУСУ ЕКСТРУДЕРА /
О.М. Трофимчук, К.Х. Зеленський, Є.А. Настенко
Анотація. Розглянуто процес індукційного нагрівання корпусу екструдера,
температура якого визначає ступінь нагрівання полімерної суміші в зоні заван-
Modeling of a temperature field for extruder body
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 2 139
таження сухої суміші. Сформульовано математичну модель цього процесу
з урахуванням променистого теплообміну в зазорі між індуктором і корпусом.
Запропоновано ітераційний числово-аналітичний метод розв’язання відповід-
ної крайової задачі про нагрівання корпусу, на першій ітерації якого
розв’язується лінійна крайова задача (без урахування променистого теплооб-
міну). На наступних ітераціях розв’язується нелінійна крайова задача. Ітера-
ційний метод ґрунтується на застосуванні інтегральних перетворень лінійної
частини задачі з наступною ітераційною схемою пошуку нелінійної задачі. В
основу цієї схеми покладено алгоритми еквівалентного спрощення виразів,
отриманих під час розв’язання задачі. Наведено результати математичного мо-
делювання відповідних алгоритмів.
Ключові слова: еквівалентне спрощення, екструдер, індукційне нагрівання,
інтегральні перетворення, полімер, функції Бесселя.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ КОРПУСА ЭКСТРУДЕРА /
А.Н. Трофимчук, К.Х. Зеленский, Е.А. Настенко
Аннотация. Рассмотрен процесс индукционного нагрева корпуса экструдера,
температура которого определяет степень нагрева полимерной смеси в зоне
загрузки сухой смеси. Сформулирована математическая модель этого процесса
с учетом лучистого теплообмена в зазоре между индуктором и корпусом.
Предложен итерационный численно-аналитический метод решения соответст-
вующей нелинейной краевой задачи о нагреве корпуса, на первой итерации
которого решается линейная краевая задача (без учета лучистого теплообме-
на). На последующих этапах решается нелинейная краевая задача. Итерацион-
ный метод основывается на применении интегральных преобразованиях ли-
нейной части задачи с последующей итерационной схемой отыскания
нелинейной задачи. В основу этой схемы положены алгоритмы эквивалентно-
го упрощения выражений, полученных при решении задачи. Приведены ре-
зультаты математического моделирования соответствующих алгоритмов.
Ключевые слова: эквивалентное упрощение, экструдер, индукционный на-
грев, интегральное преобразование, полимер, функции Бесселя.
|
| id | journaliasakpiua-article-240120 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2025-07-17T10:27:29Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/48/19067d09bec6a7a6220b4ffa1073da48.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2401202021-09-16T11:48:22Z Modeling of a temperature field for extruder body Моделирование температурного поля корпуса экструдера Моделювання температурного поля корпусу екструдера Trofymchuk, Olexandr Zelensky, Kiril Nastenko, Ievgen еквівалентне спрощення екструдер індукційне нагрівання інтегральні перетворення полімер функції Бесселя эквивалентное упрощение экструдер индукционный нагрев интегральное преобразование полимер функции Бесселя equivalent simplification extruder induction heating integral transformations polymer Bessel functions The paper considers the process of induction heating of the extruder body, the temperature of which determines the degree of heating of the polymer mixture in the zone of loading the dry mixture. A mathematical model of this process is formulated taking into account radiant heat transfer in the gap between the inductor and the case. An iterative numerical-analytical method is proposed for solving the corresponding nonlinear boundary value problem of housing heating, at the first iteration of which a linear boundary value problem is solved (without taking into account radiant heat transfer). At the subsequent stages, a nonlinear boundary value problem is solved. The iterative method is based on the application of integral transformations of the linear part of the problem, followed by an iterative scheme for finding a nonlinear problem. This scheme is based on the algorithms for the equivalent simplification of the expressions obtained by solving the problem. The results of mathematical modeling of the corresponding algorithms are presented. Рассмотрен процесс индукционного нагрева корпуса экструдера, температура которого определяет степень нагрева полимерной смеси в зоне загрузки сухой смеси. Сформулирована математическая модель этого процесса с учетом лучистого теплообмена в зазоре между индуктором и корпусом. Предложен итерационный численно-аналитический метод решения соответствующей нелинейной краевой задачи о нагреве корпуса, на первой итерации которого решается линейная краевая задача (без учета лучистого теплообмена). На последующих этапах решается нелинейная краевая задача. Итерационный метод основывается на применении интегральных преобразованиях линейной части задачи с последующей итерационной схемой отыскания нелинейной задачи. В основу этой схемы положены алгоритмы эквивалентного упрощения выражений, полученных при решении задачи. Приведены результаты математического моделирования соответствующих алгоритмов. Розглянуто процес індукційного нагрівання корпусу екструдера, температура якого визначає ступінь нагрівання полімерної суміші в зоні завантаження сухої суміші. Сформульовано математичну модель цього процесу з урахуванням променистого теплообміну в зазорі між індуктором і корпусом. Запропоновано ітераційний числово-аналітичний метод розв’язання відповідної крайової задачі про нагрівання корпусу, на першій ітерації якого розв’язується лінійна крайова задача (без урахування променистого теплообміну). На наступних ітераціях розв’язується нелінійна крайова задача. Ітераційний метод ґрунтується на застосуванні інтегральних перетворень лінійної частини задачі з наступною ітераційною схемою пошуку нелінійної задачі. В основу цієї схеми покладено алгоритми еквівалентного спрощення виразів, отриманих під час розв’язання задачі. Наведено результати математичного моделювання відповідних алгоритмів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2021-09-14 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/240120 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.2.10 System research and information technologies; No. 2 (2021); 130-139 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2021); 130-139 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2021); 130-139 2308-8893 1681-6048 en https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/240120/238499 |
| spellingShingle | еквівалентне спрощення екструдер індукційне нагрівання інтегральні перетворення полімер функції Бесселя Trofymchuk, Olexandr Zelensky, Kiril Nastenko, Ievgen Моделювання температурного поля корпусу екструдера |
| title | Моделювання температурного поля корпусу екструдера |
| title_alt | Modeling of a temperature field for extruder body Моделирование температурного поля корпуса экструдера |
| title_full | Моделювання температурного поля корпусу екструдера |
| title_fullStr | Моделювання температурного поля корпусу екструдера |
| title_full_unstemmed | Моделювання температурного поля корпусу екструдера |
| title_short | Моделювання температурного поля корпусу екструдера |
| title_sort | моделювання температурного поля корпусу екструдера |
| topic | еквівалентне спрощення екструдер індукційне нагрівання інтегральні перетворення полімер функції Бесселя |
| topic_facet | еквівалентне спрощення екструдер індукційне нагрівання інтегральні перетворення полімер функції Бесселя эквивалентное упрощение экструдер индукционный нагрев интегральное преобразование полимер функции Бесселя equivalent simplification extruder induction heating integral transformations polymer Bessel functions |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/240120 |
| work_keys_str_mv | AT trofymchukolexandr modelingofatemperaturefieldforextruderbody AT zelenskykiril modelingofatemperaturefieldforextruderbody AT nastenkoievgen modelingofatemperaturefieldforextruderbody AT trofymchukolexandr modelirovanietemperaturnogopolâkorpusaékstrudera AT zelenskykiril modelirovanietemperaturnogopolâkorpusaékstrudera AT nastenkoievgen modelirovanietemperaturnogopolâkorpusaékstrudera AT trofymchukolexandr modelûvannâtemperaturnogopolâkorpusuekstrudera AT zelenskykiril modelûvannâtemperaturnogopolâkorpusuekstrudera AT nastenkoievgen modelûvannâtemperaturnogopolâkorpusuekstrudera |