Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів (без електродного покриття поверхонь) за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в зоні розшарування
Based on the use of a rigorous mathematical model that takes into account the connectivity of force and electric fields in electroelastic bodies, the contact interaction of two piezoelectric transversely isotropic half-spaces with different properties under compression (in the presence of a hard dis...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2021
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/244613 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302777623314432 |
|---|---|
| author | Kirilyuk, Vitaly Levchuk, Olga |
| author_facet | Kirilyuk, Vitaly Levchuk, Olga |
| author_sort | Kirilyuk, Vitaly |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-02-09T17:33:09Z |
| description | Based on the use of a rigorous mathematical model that takes into account the connectivity of force and electric fields in electroelastic bodies, the contact interaction of two piezoelectric transversely isotropic half-spaces with different properties under compression (in the presence of a hard disk-shaped inclusion between them and pressure in the material separation region) was studied. The solution to the problem is obtained by representing the general solution of the static equations of the electroelasticity for a transversely isotropic body in terms of harmonic functions, followed by the construction of the boundary value problem of the electroelasticity to the consideration of the integral equation and the expansion of the desired function in a small parameter. As a special case from the constructed analytical expressions, the main parameters of the contact for two elastic transversely isotropic and isotropic half-spaces (with the inclusion between them and pressure in the separation region) are implied. Numerical results were obtained. The influence was studied of the electroelastic properties of half-spaces, the geometric dimensions of the inclusion, and loads on the parameters of the contact interaction of electroelastic bodies. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.3.10 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:27:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, 2021
120 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3
УДК 539.3
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.3.10
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КОНТАКТНОЇ
ВЗАЄМОДІЇ ДВОХ П’ЄЗОЕЛЕКТРИЧНИХ ПІВПРОСТОРІВ
(БЕЗ ЕЛЕКТРОДНОГО ПОКРИТТЯ ПОВЕРХОНЬ)
ЗА НАЯВНОСТІ ЖОРСТКОГО ДИСКОПОДІБНОГО
ВКЛЮЧЕННЯ МІЖ НИМИ І ТИСКУ
В ЗОНІ РОЗШАРУВАННЯ
В.С. КИРИЛЮК, О.І.ЛЕВЧУК
Анотація. На основі використання строгої математичної моделі, що враховує
зв’язаність силових і електричних полів у електропружних тілах, досліджено
контактну взаємодію двох різних за властивостями п’єзоелектричних трансве-
рсально-ізотропних півпросторів за стискання (за наявності жорсткого диско-
подібного включення між ними і тиску в зоні розшарування матеріалів).
Розв’язок задачі отримано за допомогою подання загального розв’язку статич-
них рівнянь електропружності для трансверсально-ізотропного тіла через гар-
монічні функції з подальшим зведенням граничної задачі електропружності до
розгляду інтегрального рівняння і розкладу шуканої функції за малим параме-
тром. Як частинний випадок зі знайдених аналітичних виразів випливають ос-
новні параметри контакту для двох пружних трансверсально-ізотропних та
ізотропних півпросторів (за наявності включення між ними і тиску в зоні роз-
шарування). Отримано числові результати, вивчено вплив електропружних
властивостей півпросторів, геометричних розмірів включення і навантажень
на параметри контактної взаємодії електропружних тіл.
Ключові слова: математична модель, п’єзоелектричний матеріал, електро-
пружний півпростір, жорстке дископодібне включення, тиск у зоні розшару-
вання, параметри контакту.
ВСТУП
Зростаюче використання у різних галузях промисловості електропружних
(п’єзоелектричних) матеріалів для створення елементів вимірювальних при-
ладів та перетворювачів енергії стимулює інтерес до вивчення розподілу
силових та електричних полів у електропружних тілах поблизу концентра-
торів напружень та за контактної взаємодії п’єзоелектричних тіл. Водночас
розв’язання просторових задач електропружності для анізотропних тіл у
строгій постановці, що враховує зв’язаність силових і електричних полів,
значно ускладнюється, оскільки у цьому випадку необхідно розв’язувати
граничну задачу для системи рівнянь електропружності з анізотропними
пружними та електричними властивостями, яка має суттєво складнішу струк-
туру (порівняно з відповідною системою для пружного тіла). Поряд з чис-
ленними дослідженнями тривимірних задач теорії пружності для трансвер-
сально-ізотропних тіл (наприклад, [1–7]) розгляду статичних просторових
задач електропружності у строгій постановці присвячено значно менше нау-
Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 121
кових праць. Важливі наукові результати щодо зв’язаних силових і електри-
чних полів у п’єзоелектричних тілах отримано у працях [8–14].
Відзначимо, що задачі контактної взаємодії для двох пружних ізотроп-
них та трансверсально-ізотропних півпросторів зі стисканням (з урахуван-
ням наявності жорсткого дископодібного включення сталої товщини між
півпросторами) досліджувались у працях [15] і [2] відповідно. Водночас за-
дача контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів за наявності
жорсткого дископодібного включення між ними та тиску в зоні розшару-
вання різних за властивостями п’єзоелектричних тіл не вивчалась.
У роботі за допомогою математичного моделювання (з урахуванням
зв’язаності силових і електричних полів) досліджено контактну взаємодію
двох різних за властивостями п’єзоелектричних трансверсально-ізотропних
півпросторів під час стискання (за наявності жорсткого дископодібного
включення сталої товщини між півпросторами та тиску в зоні розшарування
електропружних тіл). У постановці задачі припускається, що поверхня поді-
лу двох електропружних тіл розташована у площині ізотропії
п’єзоелектричних матеріалів обох півпросторів. Також вважається, що між
тілами існує гладкий (без тертя) контакт і поверхні півпросторів не містять
електродного покриття. За допомогою подання розв’язку статичних рівнянь
електропружності для трансверсально-ізотропного тіла через гармонічні
функції, подальшого зведення задачі електропружності до розгляду інтегро-
диференціального рівняння та розкладу шуканої функції за малим парамет-
ром знайдено аналітичний розв’язок контактної задачі. У явному вигляді
отримано основні параметри контактної взаємодії двох різних за властивос-
тями п’єзоелектричних півпросторів (за наявності жорсткого дископодібно-
го включення між ними і тиску в зоні розшарування матеріалів). Як частин-
ний випадок з отриманих виразів випливають параметри контактної
взаємодії двох пружних трансверсально-ізотропних та ізотропних півпрос-
торів за наявності дископодібного включення [15, 2].
Постановка задачі. Розглянемо математичну модель, на основі якої
вивчимо контактну взаємодію двох різних за властивостями електропруж-
них трансверсально-ізотропних півпросторів за наявності жорсткого круго-
вого включення сталої товщини між ними та тиску в зоні розшарування
п’єзоелектричних матеріалів (рис. 1).
Припускаємо, що площина 0z (рис. 1), яка обмежує два півпросто-
ри, є площиною ізотропії електропружних трансверсально-ізотропних мате-
ріалів кожного з півпросторів, тобто вісь z0 є віссю симетрії обох
п’єзоелектричних матеріалів. Також вважаємо, що у площині контактної
взаємодії 0z виконуються умови гладкого контакту, а поверхні обох елект-
ропружних півпросторів є неелектродованими (не містять електродного по-
криття). Розміри зони розшарування двох електропружних півпросторів
(рис. 1) є невідомими і визначаються з розв’язку задачі. Параметри контакт-
ної взаємодії тіл залежать від значення стискальних зусиль p , значення
тиску 0P в зоні розшарування, електропружних властивостей двох
п’єзоелектричних матеріалів півпросторів (усього двадцять незалежних ве-
личин) і двох геометричних параметрів жорсткого включення (значень його
радіуса і товщини). Відзначимо, що тиск 0P може бути викликаний наявністю
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 122
повітря або іншого наповнювача у проміжку між тілами. Без наповнювача
значення 00 P .
Для визначення напружено-деформованого стану в кожному з електро-
пружних трансверсально-ізотропних півпросторів на поверхні поділу тіл
(площина 0z ) отримуємо такі граничні умови:
arruz 0,)0,( 1
)1( ;
braPrzz ,)0,( 0
)1( ;
rrr rzrz 0,0)0,()0,( )2()1( ; (1)
arruz 0,)0,( 2
)2( ;
braPrzz ,)0,( 0
)2( ;
rbrr zzzz ),0,()0,( )2()1( ; (2)
rbruru zz ),0,()0,( )2()1( ; (3)
rrDrD zz 0,0)0,()0,( )2()1( ; (4)
21 ,
де індекси «1» і «2» відповідають першому і другому п’єзоелектричним пів-
просторам; 0P — величина тиску в зоні розшарування; і a — товщина і
радіус дископодібного жорсткого включення; значення ab визначає роз-
мір зони розшарування між півпросторами. Із наведених граничних умов
у площині поділу умови (1) відповідають умовам відсутності дотичних
P0
Δ1
P0
p, Dz=0
p, Dz=0
Dz=0
p
b
r
z
a (b–a)
Рис. 1. Контактна взаємодія двох п’єзоелектричних півпросторів за наявності
жорсткого дископодібного включеннями між ними та тиску в зоні розшарування
Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 123
напружень на всій поверхні поділу, умови (2), (3) — умовам ідеального ме-
ханічного контакту поза зоною розшарування матеріалу, а умови (4) — умо-
вам відсутності електродного покриття на поверхнях п’єзоелектричних пів-
просторів. Крім того, маємо такі умови на нескінченності:
0,0, )()()( i
zr
i
z
i
zz Dp ( 2,1i ), якщо R .
Подамо напружений стан у кожному з пружних півпросторів
суперпозицією основного стану (простого стискання обох півпросторів, тоб-
то pzz )1( і 0)1( zD і pzz )2( і 0)2( zD ) та збуреного стану. Для зна-
ходження збуреного стану в кожному з півпросторів у площині 0z маємо
такі граничні умови:
arruz 0,)0,( 1
)1( ;
braPprzz ,)0,( 0
)1( ;
rrr rzrz 0,0)0,()0,( )2()1( ; (5)
arruz 0,)0,( 2
)2( ;
braPprzz ,)0,( 0
)2( ;
rbrr zzzz ),0,()0,( )2()1( ; (6)
rbruru zz ),0,()0,( )2()1( ; (7)
rrDrD zz 0,0)0,()0,( )2()1( ; (8)
21 .
Умови (5), (6), (7), (8) мають той же зміст, що й умови (1), (2), (3), (4),
але вже для збуреного стану. Для того щоб дослідити задачу на основі стро-
гої математичної моделі, яка використовується, необхідно знайти розв’язки
рівнянь електропружності у кожному з п’єзоелектричних трансверсально-
ізотропних півпросторів, що задовольняють наведені вище граничні умови
на поверхні поділу матеріалів.
Основні рівняння і співвідношення. Статичні рівняння електропруж-
ності для п’єзоелектричного трансверсально-ізотропного тіла стосовно ком-
понентів вектора переміщень і електричного потенціалу набувають тако-
го вигляду [8, 9]:
xzz
EE
xyy
EE
zzx
E
yyx
EE
xxx
E uccuccucuccuc ,4413,1211,44,1211,11 )()(
2
1
)(
2
1
0)( ,1531 xzee ;
xyx
EE
zzy
E
xxy
EE
yyy
E uccucuccuc ,1211,44,1211,11 )(
2
1
)(
2
1
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 124
0)()( ,1531,4413 yzyzz
EE eeucc ;
zzz
E
yyzxxz
E
yzyxzx
EE ucuucuucc ,33,,44,,4413 )())((
0)( ,33,,15 zzyyxx ee ;
zzzyyzxxzyzyxzx ueuueuuee ,33,,15,,1531 )())((
0)( ,33,,11 zz
S
yyxx
S . (9)
У рівняннях (9) використано такі позначення: EEEEE ccccc 4433131211 ,,,, — не-
залежні модулі пружності; 331531 ,, eee — п’єзомодулі; SS
3311, — діелект-
ричні проникності. Отже, електропружні властивості п’єзоелектричного
трансверсально-ізотропного матеріалу описуються за допомогою десяти не-
залежних сталих.
Розв’язок системи рівнянь (9) згідно із працею [9] можна подати за до-
помогою чотирьох потенціальних функцій j ( 4,1j ):
y
j
xjxu ,4
3
1
,
; x
j
yjyu ,4
3
1
,
;
3
1
,
j
zjjz ku ;
3
1
,
j
zjjl , (10)
де jj lk , — деякі сталі, а функції j задовольняють рівняння
0,,, zzjjyyjxxj ( j =1, 2, 3), (11)
)(/2 1211444
EEE ccc , а значення i ( 3,2,1i ) згідно з працею [9] є кореня-
ми алгебричного рівняння третього порядку:
)()( 22312231
2
2121
3 DCDCBABADCBA
0)( 333323322332 DCBADCDCBABA . (12)
Значення jj lk , 3,2,1j у виразах (10) пов’язані зі значеннями j та-
кими співвідношеннями:
j
j
j
S
j
E
j
E
jj
E
E
jj
E
j
de
lkc
ac
lekc
c
lekca
31
3333
13
3333
11
3113 ( 3,2,1j ); (13)
j
S
jjjj
E
j lkedlekca 11151544 )1(;)1( ( 4,3,2,1j ). (14)
З уведенням позначень )4,1(2/1 jznz jj функції ),,,( 11 zyx
),,,( 22 zyx ),,( 33 zyx , ),,( 44 zyx згідно з рівнянням (11) стають гармо-
нічними функціями у відповідних системах координат.
Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 125
Метод розв’язання. Для побудови розв’язку граничної задачі
електропружності скористаємося поданнями (10)–(14). Функції ),,( ii zyx
(для кожного п’єзоелектричного трансверсально-ізотропного півпростору з
урахуванням властивостей матеріалу) візьмемо у вигляді
),,(),,( **
iiii zyxFzyx , ( i =1, 2, 3); 04 . (15)
Сталі *
i у виразах потенціальних функцій (15) визначимо з такої сис-
теми лінійних алгебричних рівнянь, які містять властивості електропруж-
них матеріалів, таким чином:
;1))1(( 1544
3
1
*
jj
j
j lekc 0/))1(( 1544
3
1
*
jjj
j
j lekc ;
0))1((
3
1
1115
*
j
j
S
jj lke . (16)
Для граничних умов, що залишились, використовуючи потенціальні
функції на основі функцій ),,(*
1 izyxF і ),,(*
2 izyxF (функції для першого та
другого електропружних півпросторів) з урахуванням виразів (15) і системи
рівнянь (16), отримуємо умови у площині 0z стосовно невідомих гармо-
нічних функцій ),,(*
1 zyxF і ),,(*
2 zyxF :
arr
z
Fk
j j
j
i
0,)0,( 1
*
1
3
1 )1(
)1(
*)1( ; braPpr
z
F
,)0,( 02
*
1
2
;
arr
z
Fk
j j
j
i
0,)0,( 2
*
2
3
1 )2(
)2(
*)2( ; braPpr
z
F
,)0,( 02
*
2
2
;
rb
z
Fk
z
Fk
j j
j
i
j j
j
i ,
*
2
3
1 )2(
)2(
*)2(
*
1
3
1 )1(
)1(
*)1( ;
rbr
z
F
r
z
F
),0,()0,(
2
*
2
2
2
*
1
2
, 21 . (17)
Таким чином, задача звелась до визначення двох гармонічних функцій
*
1F і *
2F , що повинні задовольняти граничні умови (17). Тепер виконаємо
порівняння із задачею про визначення гармонічних функцій з більш простої
задачі теорії пружності про стискання двох ізотропних пружних півпросто-
рів (з жорстким дископодібним включенням між ними). З використанням
подання Папковича–Нейбера для системи рівнянь теорії пружності визна-
чення зони розшарування стосовно збуреного стану зводиться до пошуку
двох гармонічних функцій ),,(*
1 zyxf і ),,(*
2 zyxf , для знаходження яких
маємо у площині поділу матеріалів 0z граничні умови, що структурно
подібні до виразів (17). Відмінність між виразами (17) і подібними їм вира-
зами для пружної задачі полягає в тому, що у виразах для ізотропних пруж-
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 126
них матеріалів замість множників )1()1(
3
1
*)1( / jj
j
i k
і )2()2(
3
1
*)2( / jj
j
i k
(для п’єзоелектричних матеріалів) використовуються вирази 11 /)1( v і
22 /)1( v , де 21,vv — коефіцієнти Пуассона; 21, — модулі зсуву ізотро-
пних пружних матеріалів. Використаємо таку відповідність між граничними
умовами для задач контактної взаємодії двох пружних ізотропних півпрос-
торів і для задач двох п’єзоелектричних трансверсально-ізотропних півпрос-
торів (для визначення двох гармонічних функцій), для дослідження задачу
електропружності за допомогою розв’язку більш простої задачі теорії пруж-
ності для ізотропних півпросторів.
На основі результатів [15] для контактної взаємодії двох пружних ізо-
тропних тіл (за наявності дископодібного включення) та встановленої від-
повідності контактних задач у випадку двох п’єзоелектричних трансверса-
льно-ізотропних півпросторів (за наявності жорсткого дископодібного
включення між ними та тиску в зоні розшарування) задачу зводимо до
розв’язку інтегрального рівняння стосовно невідомого значення abc / , яке
характеризує відношення розміру невідомої зони розшарування до радіуса
жорсткого кругового включення. Отже, отримуємо
d
c
c
c
c
lnln
)(
)(2
)(
1
0
222
10,
1
1
)1(
2
)1(
2
2
12
3
1 )1(
)1(
*)1(
c
tg
k
ap
j j
j
i
(18)
з додатковою умовою, що відповідає умові відсутності сингулярної складо-
вої в зоні розшарування електропружних матеріалів, якщо br :
0)1(
)(
)(2 2/12
1
0
22
cd
c
c
, (19)
де ar / , abc / ,
3
1 )1(
)1(
*)1(
3
1 )2(
)2(
*)2( /
j j
j
i
j j
j
i
kk
.
На основі розкладу за малим параметром 1/1/ cba стосовно шу-
каної функції, що входить до інтегрального рівняння (18) (у повній відпові-
дності до розгляду випадку контакту двох пружних ізотропних півпросторів
у праці [15]), наближений розв’язок інтегрального рівняння з додаткової
умови (19) можна отримати за допомогою розв’язку алгебричного рівняння
п’ятого порядку:
0
)(
)(2
)1(
)( 2
3
1 )1(
)1(
)1(
)1(
0
1
j j
jj
v
k
Pp
a
, (20)
де використано такі позначення:
Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 127
73
4
5
32
31
256
9
80
3
464164
)(
),(
5
41024
9
448 6
95
5
O
36224
4
6
32
422
9
464
9
8
24
14
3
16
8
164164
1)(
).(
15
4
9
256
9
8
9
864
24
116 6
262364
5
O (21)
Знайдене з алгебричного рівняння (20) з урахуванням формули (21)
значення ba / визначає розміри зони розшарування між двома
п’єзоелектричними півпросторами (за наявності жорсткого дископодібного
включення між ними) за стискання та врахування тиску в зоні розшарування
матеріалів. Розміри заглиблення включення у відповідний п’єзоелектричний
трансверсально-ізотропний півпростір залежать від електропружних власти-
востей матеріалів обох півпросторів і визначаються співвідношенням
2
)2()2(
3
1
*)2(
1
)1()1(
3
1
*)1( /
1
/
1
jj
j
jjj
j
j kk
, (22)
21 .
Тобто з рівняння (22) випливає, що заглиблення включення у перший
електропружний півпростір пропорційне значенню )1()1(
3
1
*)1( / jj
j
i k
, а за-
глиблення у другий півпростір — значенню )2()2(
3
1
*)2( / jj
j
i k
.
Зауважимо, що розподіл напружень під плоским дископодібним вклю-
ченням (перший півпростір) визначається суперпозицією простого стискан-
ня зі складовим
2)2()2(
3
1
*)1(
1
)/(1
1
/
12
)(
ark
a
rp
jj
j
i
,
що має класичну особливість для напруженого стану з наближенням до ме-
жі жорсткого плоского диску, характерну для задач про контактну взаємо-
дію плоских штампів з пружним півпростором. Аналогічно визначаються
напруження під диском у другому півпросторі.
Із формул (20) отримуємо співвідношення, яке пов’язує значення стис-
кальних навантажень p і тиску в зоні розшарування 0P із розміром зони
розшарування між п’єзоелектричними півпросторами у вигляді
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 128
a
kk
Pp
jj
j
ijj
j
i
)2()2(
3
1
*)2()1()1(
3
1
*)1(
21
0
//
)(/)(
2
1
aM *
21 )(/)(
2
1
, (23)
де
)2()2(
3
1
*)2()1()1(
3
1
*)1(* // jj
j
ijj
j
i kkM . (24)
За допомогою виразів (20), (21), (23), (24) можуть бути знайдені зна-
чення 0Pp , що для відомих геометричних параметрів дископодібного
включення, електропружних властивостей п’єзоелектричних матеріалів від-
повідають розміру зони розшарування п’єзоелектричних півпросторів.
Для вивчення впливу електропружних властивостей п’єзоелектричних
матеріалів на контактну взаємодію півпросторів розглянемо дані ряду конк-
ретних п’єзокерамічних матеріалів, які використовувались у праці [16]. Вла-
стивості матеріалів наведено у табл. 1, а результати досліджень [16] —
у табл. 2.
Т а б л и ц я 1 . Властивості п’єзокерамічних матеріалів
Величина Розмірність PZT-4 PXE-5 ЦТС-19 PZT-5 PZT-7A BaTiO3 PZT-5H P-7
Ec11 ГПа 139 103 109 121 148 150 126 130
Ec12 ГПа 77,8 58 61 75,4 76,2 66 55 83,5
Ec13 ГПа 74,3 59 54 75,2 74,2 66 53 82,5
Ec33 ГПа 115 102 93 111 131 146 117 119
Ec44 ГПа 25,6 25 24 21,1 25,4 44 35,3 24,6
011 / S 0 =8,85 1210
Ф/м
730 1008 840 916 460 1115 1706,2 1090
033 / S 0 =8,85 1210
Ф/м
635 893 820 830 235 1260 1468,9 939
31e Кл/ 2м - 5,2 - 7,78 - 4,9 - 5,4 - 2,1 - 4,35 -6,5 -10,34
33e Кл/ 2м 15,1 15,2 14,9 15,8 9,5 17,5 23,3 14,66
15e Кл/ 2м 12,7 12,9 10,6 12,3 9,7 11,4 17,0 13,55
У табл. 2 використано такі позначення:
jj
j
i kA /
3
1
*Piezo ;
ElasticA =
)()(
)()(
1321113111
4413
2/1
2
2/1
1
44
11
cnccnc
ccnn
c
c
.
Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 129
Т а б л и ц я 2 . Значення, отримані для задачі контактної взаємодії
Знайдені
значення
PZT-4 PXE-5 ЦТС-19 PZT-5 PZT-7A BaTiO3 PZT-5H P-7
PiezoA
( ГПа/1 )
1,77277 2,03635 2,14833 2,08862 1,68056 1,41489 1,60655 1,95414
ElasticA
( ГПа/1 )
2,55189 2,77137 2,87076 3,00057 2,27952 1,65598 2,04987 2,74777
Elastic
Piezo
A
A
0,69469 0,73478 0,74835 0,69607 0,73724 0,85441 0,78373 0,71117
Останній рядок табл. 2 дозволяє оцінити вплив зв’язаності силових і
електричних полів на значення PiezoA , яке характеризує контактну взаємо-
дію відповідного електропружного півпростору з дископодібним включен-
ням. Так, за рахунок зв’язаності силових і електричних полів ця величина
зменшується приблизно на 30,5% ; 26,5%; 25,2%; 30,4%; 26,3%; 14,6%;
21,6%; 28,9% для п’єзоелектричних матеріалів PZT-4; PXE-5; ЦТС-19; PZT-5;
PZT-7A; BaTiO3; PZT-5H; P-7 відповідно (за відсутності електродного по-
криття поверхні півпростору).
Відзначимо, що після елементарних перетворень значення ElasticA може
бути перетворено до вигляду
)()(
)()(
1321113111
4413
2/1
2
2/1
1
44
11Elastic
cnccnc
ccnn
c
c
A
3311441344
2
133311
44
2
133311
11 22
)(
cccccccc
cccc
c
.
Із переходом від трансверсально-ізотропного пружного до ізотропного
матеріалу отримуємо
1;;;2 21441311 nnccc ;
.
1
)(2
2IsoElastic
AA
Зауважимо, що за контактної взаємодії плоского дископодібного вклю-
чення з електропружними півпросторами у кутовій зоні жорсткого плоского
включення (уздовж контуру ar ) напружений стан має особливість. Ця
сингулярність є характерною для задач контактної взаємодії плоских жорст-
ких штампів з пружним півпростором. Водночас уздовж контуру, що обме-
жує зону розшарування двох п’єзоелектричних півпросторів, розподіл на-
пружень не містить сингулярної складової, оскільки саме з цієї умови
визначаються розміри зони розшарування електропружних матеріалів.
Аналіз результатів числових досліджень. За допомогою співвідно-
шень (22) проведемо дослідження відношень глибин проникнення жорстко-
го включення в електропружні півпростори) для реальних п’єзоелектричних
трансверсально-ізотропних матеріалів. Використаємо дані, наведені у табл. 2.
У результаті отримуємо відношення глибин проникнення жорсткого диско-
подібного включення в електропружні трансверсально-ізотропні півпростори:
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 130
8706.0/ 21 ; 8252.0/ 31 ; 8488.0/ 41 ;
0549.1/ 51 ; 2529.1/ 61 ; 1035.1/ 71 ; 9072.0/ 81 .
Тобто за контактної взаємодії електропружних півпросторів з матеріа-
лів PZT-4 і PXE-5 (табл. 1 і 2) глибина проникнення жорсткого включення у
матеріал PZT-4 у 1,15 разу менша, ніж у матеріал PXE-5. Наведені вище
значення i /1 дозволяють легко обчислити відношення глибини проник-
нення для будь-якої вибраної пари з наведених у таблицях восьми
п’єзоелектричних матеріалів.
Проведемо дослідження залежності розмірів зони розшарування елект-
ропружних матеріалів від значень діючих навантажень. Зв’язок діючих на-
вантажень з розмірами зони розшарування (за фіксованого відношення тов-
щини включення до її радіуса a/ ) показано на рис. 2. У розрахунках
значення a/ покладались такими: 0,05 (лінія 1), 0,1 (лінія 2), 0,2 (лінія 3),
0,3 (лінія 4). Видно, що зі збільшенням відносної товщини кругового вклю-
чення для досягнення того ж розміру зони розшарування, що і для більш
тонкого включення, необхідно прикласти більші навантаження.
Вивчимо вплив навантажень (стискальних зусиль і тиску в зоні розша-
рування матеріалів) на розміри зони розшарування п’єзоелектричних мате-
ріалів за відомої товщини жорсткого включення. Покладемо у розрахунках
відносну товщину дископодібного включення 1,0/ a .
Результати розрахунків нелінійної залежності зони розшарування між
п’єзоелектричними півпросторами від діючих навантажень показано на
рис. 3, на якому крива 1 відповідає контактній взаємодії двох електропруж-
них матеріалів PZT-4, а лінія 2 — випадку стискання двох чисто пружних
трансверсально-ізотропних півпросторів, пружні властивості яких збіга-
ються з пружними властивостям п’єзокерамічіного матеріалу PZT-4.
Зауважимо, що нелінійна залежність навантажень і розмірів зони роз-
шарування (для лінійної системи рівнянь) характерна і для випадку стис-
кання двох пружних ізотропних півпросторів (за наявності дископодібного
включення між ними) [15], а також для класичних контактних задач теорії
пружності з невідомою наперед зоною контакту (задача про контактну взає-
модію параболоїдального штампу з півпростором, задача Герца).
4
3
2
1
4,0
(p–P0)M*102
Рис. 2. Взаємозв’язок розмірів зони розшарування з навантаженнями
Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 131
Вплив зв’язаності силових і електричних полів для матеріалу PZT-4
можна оцінити, порівнюючи значення навантажень, за яких досягається од-
накове відношення ba / на кривих 1 і 2 (збігаються розміри зон розшару-
вання для пружного і електропружного матеріалів). Видно, що зв’язаність
силових і електричних полів збільшує зону розшарування (порівняно з чис-
то пружним матеріалом, який має ті ж пружні властивості, що й електро-
пружний). Аналогічний якісний ефект характерний і для п’єзокерамічних
матеріалів PXE-5, PZT-5, PZT-7A, BaTiO3, PZT-5H, P-7, для яких виконано
розрахунки, що підтверджують подібний вплив зв’язаності полів. Це озна-
чає, що для зменшення зони розшарування між п’єзоелектричними півпрос-
торами до розмірів цієї зони між двома чисто пружними трансверсально-
ізотропними тілами (з тими ж пружними властивостями, що і відповідний
електропружний матеріал) потрібно прикласти більші стискальні зусилля,
ніж для пружних півпросторів.
Відзначимо, що з отриманих виразів для параметрів контактної взаємо-
дії двох електропружних півпросторів (за наявності жорсткого дископодіб-
ного включення між ними) випливають параметри контакту двох пружних
трансверсально-ізотропних чи ізотропних півпросторів. Для цього в отри-
маних формулах необхідно вирази PiezoA замінити виразами ElasticA (для
пружних трансверсально-ізотропних півпросторів) та IsoA (для пружних
ізотропних півпросторів).
ВИСНОВОК
У роботі за допомогою строгої математичної моделі, що враховує
зв’язаність силових і електричних полів, отримано наближений аналітичний
розв’язок задачі про контактну взаємодію двох п’єзоелектричних трансвер-
сально-ізотропних півпросторів під час стискання (за наявності жорсткого
плоского кругового включення між ними і тиску в зоні розшарування
матеріалів). Виконано числові розрахунки, досліджено вплив відносної
товщини жорсткого включення та силових навантажень (стискальних зусиль
та тиску в зоні розшарування) на розміри зони розшарування
п’єзоелектричних півпросторів.
2
1
(p–P0)M102
Рис. 3. Вплив діючих навантажень на розміри зони розшарування (за відомої
відносної товщини включення)
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 132
ЛІТЕРАТУРА
1. В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко, та М.Б. Вітер, “Моделювання
контактної взаємодії нагрітого плоского жорсткого еліптичного штампу з
трансверсально-ізотропним півпростором”, Системні дослідження та
інформаційні технології, №3, c.138 –148, 2020. doi: 10.20535/SRIT.2308-
8893.2020.3.10
2. В.С. Кирилюк та О.І. Левчук, “Моделювання контактної взаємодії двох
трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого
дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування”,
Системні дослідження та інформаційні технології, №1, c. 107–119, 2020. doi:
10.20535/SRIT.2308-8893.2020.1.10
3. Ю.Н. Подильчук, Граничные задачи статики упругих тел. Київ: Наук. думка,
1984, 304 с.
4. Ю.Н. Подильчук, “Точные аналитические решения пространственных
граничных задач статики трансверсально-изотропного тела канонической
формы (обзор)”, Прикл. механика, 33, № 10, c. 3–30, 1997.
5. Y.S. Chai and I.I. Argatov, “Local tangential contact of elastically similar, transversely
isotropic elastic bodies”, Meccanica, 53, no. 11–12, pp. 3137–3143, 2018.
6. W.Q. Chen, J. Zhu, and X.Y. Li , “General solutions for elasticity of transversely
isotropic materials with thermal and other effects: A review”, J. Thermal Stresses,
42, no. 1, pp. 90–106, 2019.
7. V.I. Fabrikant, “Contact problem for an arbitrarily oriented transversely isotropic
half-space”, Acta Mechanca, 228, no. 4, pp. 1541–1560, 2017.
8. В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, и Н.А. Шульга, Электроупругость. Киев: Наук.
думка, 1989, 279 с.
9. Ю.Н. Подильчук, “Представление общего решения уравнений статики
электроупругости трансверсально-изотропного пьезокерамического тела через
гармонические функции”, Прикл. механика, 34, № 7, c. 20–26, 1998.
10. Ю.Н. Подильчук, “Точные аналитические решения статических задач
электроупругости и термоэлектроупругости для трансверсально-изотропного
тела в криволинейных координатах”, Прикл. механика, 39, № 2, c. 14–54, 2003.
11. М.О. Шульга та В.Л. Карлаш, Резонансні електромеханічні коливання
п’єзоелектричних пластин. Київ: Наукова думка, 2008, 270 с.
12. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Stress State of an Orthotropic Piezoelectric Body
with a Triaxial Ellipsoidal Inclusion Subject to Tension Crack”, Int. Appl. Mech., 55,
no. 3, pp. 305–310, 2019.
13. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Stress State of an Orthotropic Piezoelectric Mate-
rial with an Elliptic Crack”, Int. Appl. Mech., 53, no. 3, pp. 305–312, 2017.
14. M.H. Zhao, Y.B. Pan, C.Y. Fan, and G.T. Xu, “Extended displacement discontinuity
method for analysis of cracks in 2D piezoelectric semiconductors”, International
Journal of Solids and Structures, vol. 94–95, pp. 50–59, 2016.
15. A.P.S. Selvadurai, “A unilateral contact problem for a rigid disc inclusion em-
bedded between two dissimilar elastic half-spaces”, Q. J. Mech. Appl. Math., no. 3,
pp. 493–509, 1994.
16. V.S. Kirilyuk, “On the relationship between the solutions of static contact problems
of elasticity and electroelasticity for a half-space”, Int. Appl. Mech., 42, no.11,
pp.1256–1269, 2006.
Надійшла 31.05.2021
INFORMATION ON THE ARTICLE
Vitaly S. Kirilyuk, ORCID: 0000-0002-8513-0378, S.P. Timoshenko Insitute of
mechanics of NAS of Ukraine, e-mail: kirilyuk_v@ukr.net.
Olga I. Levchuk, ORCID: 0000-0002-6514-6225, S.P. Timoshenko Institute of
mechanics of NAS of Ukraine, e-mail: 2013levchuk@gmail.com.
Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 133
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМО-
ДЕЙСТВИЯ ДВУХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ПОЛУПРОСТРАНСТВ (БЕЗ
ЭЛЕКТРОДНОГО ПОКРЫТИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ) ПРИ НАЛИЧИИ
ЖЕСТКОГО ДИСКООБРАЗНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ И
ДАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТИ РАССЛОЕНИЯ / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук
Аннотация. На основе использования строгой математической модели, учи-
тывающей связанность силовых и электрических полей в электроупругих те-
лах, исследовано контактное взаимодействие двух различных по свойствам
пьезоэлектрических трансверсально-изотропных полупространств при сжатии
(при наличии жесткого дискообразного включения между ними и давления в
области расслоения материалов). Решение задачи получено с помощью пред-
ставления общего решения статических уравнений электроупругости для
трансверсально-изотропного тела через гармонические функции с последую-
щим возведением граничной задачи электроупругости к рассмотрению инте-
грального уравнения и разложения искомой функции по малому параметру.
Как частный случай из найденных аналитических выражений следуют основ-
ные параметры контакта для двух упругих трансверсально-изотропных и изо-
тропных полупространств (при включении между ними и давления в области
расслоения). Получены численные результаты, изучено влияние электроупру-
гих свойств полупространств, геометрических размеров включения и нагрузок
на параметры контактного взаимодействия электроупругих тел.
Ключевые слова: математическая модель, пьезоэлектрический материал,
электроупругое полупространство, жесткое дискообразное включения, давле-
ние в области расслоения, параметры контакта.
MATHEMATICAL MODELING OF CONTACT INTERACTION OF TWO
ELECTROELASTIC HALF-SPACES (WITHOUT ELECTRODE COATING
OF SURFACES) IN THE PRESENCE OF A HARD DISK-LIKE INCLUSION
BETWEEN THEM AND PRESSURE IN THE AREA OF SEPARATION /
V.S. Kirilyuk, O.I. Levchuk
Abstract. Based on the use of a rigorous mathematical model that takes into account
the connectivity of force and electric fields in electroelastic bodies, the contact inter-
action of two piezoelectric transversely isotropic half-spaces with different proper-
ties under compression (in the presence of a hard disk-shaped inclusion between
them and pressure in the material separation region) was studied. The solution to the
problem is obtained by representing the general solution of the static equations of
the electroelasticity for a transversely isotropic body in terms of harmonic functions,
followed by the construction of the boundary value problem of the electroelasticity
to the consideration of the integral equation and the expansion of the desired func-
tion in a small parameter. As a special case from the constructed analytical expres-
sions, the main parameters of the contact for two elastic transversely isotropic and
isotropic half-spaces (with the inclusion between them and pressure in the separation
region) are implied. Numerical results were obtained. The influence was studied of
the electroelastic properties of half-spaces, the geometric dimensions of the inclu-
sion, and loads on the parameters of the contact interaction of electroelastic bodies.
Keywords: mathematical model, piezoelectric material, electroelastic half-space,
hard disk-shaped inclusions, pressure in the delamination region, contact parameters.
REFERENCES
1. V.S. Kirilyuk, Levchuk O.I., O.V. Gavrilenko, and M.B. Viter, “Simulation of con-
tact interaction of a heated flat rigid elliptical stamp with a transversely isotropic
half-space”, System research and information technologies, no. 3, pp. 138 –148,
2020. doi: 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.3.10
2. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Simulation of the contact interaction of two trans-
versely isotropic spring half-spaces for the presence of a hard disk-like inclusion be-
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 134
tween them and pressure on the stratification area”, System research and information
technologies, no. 1, pp. 107–119, 2020. doi: 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.1.10.
3. Yu.N. Podil’chuk, Boundary value problems of statics of elastic bodies. Kyiv: Nauk.
dumka, 1984, 304 p.
4. Yu.N. Podil’chuk, “Exact analytical solutions of spatial boundary value problems of
statics of a transversely isotropic body of canonical form (Review)”, Int. Appl.
Mech., 33, no. 10, pp. 3–30, 1997.
5. Y.S. Chai and I.I. Argatov, “Local tangential contact of elastically similar, trans-
versely isotropic elastic bodies”, Meccanica, 53, no. 11–12, pp. 3137–3143, 2018.
6. W.Q. Chen, J. Zhu, and X.Y. Li, “General solutions for elasticity of transversely iso-
tropic materials with thermal and other effects: A review”, J. Thermal Stresses, 42,
no. 1, pp. 90–106, 2019.
7. V.I. Fabrikant, “Contact problem for an arbitrarily oriented transversely isotropic
half-space”, Acta Mechanca, 228, no. 4, pp. 1541–1560, 2017.
8. V.T. Grinchenko, A.F. Ulitko, and N.A. Shulga, Electroelasticity. Kyiv: Nauk.
dumka, 1989, 279 p.
9. Yu.N. Podil’chuk, “Representation of the general solution of the equations of statics
of electroelasticity of a transversely isotropic piezoceramic body in terms of har-
monic functions”, Int. Appl. Mech., 34, no. 7, pp. 20–26, 1998.
10. Yu.N. Podil’chuk, “Exact analytical solutions of static problems of electroelasticity
and thermoelectroelasticity for a transversely isotropic body in curvilinear coordi-
nates”, Int. Appl. Mech., 39, no. 2, pp. 14–54, 2003.
11. M.O. Shulga and V.L. Karlash, Resonant electromechanical oscillations of piezo-
electric plates. Kyiv: Nauk. dumka, 2008, 270 p.
12. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Stress State of an Orthotropic Piezoelectric Body
with a Triaxial Ellipsoidal Inclusion Subject to Tension Crack”, Int. Appl. Mech., 55,
no. 3, pp. 305–310, 2019.
13. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Stress State of an Orthotropic Piezoelectric Mate-
rial with an Elliptic Crack”, Int. Appl. Mech., 53, no. 3, pp. 305–312, 2017.
14. M.H. Zhao, Y.B. Pan, C.Y. Fan, and G.T. Xu, “Extended displacement discontinuity
method for analysis of cracks in 2D piezoelectric semiconductors”, International
Journal of Solids and Structures, vol. 94–95, pp. 50–59, 2016.
15. A.P.S. Selvadurai, “A unilateral contact problem for a rigid disc inclusion embedded
between two dissimilar elastic half-spaces”, Q. J. Mech. Appl. Math., no. 3,
pp. 493–509, 1994.
16. V.S. Kirilyuk, “On the relationship between the solutions of static contact problems
of elasticity and electroelasticity for a half-space”, Int. Appl. Mech., 42, no. 11,
pp. 1256–1269, 2006.
|
| id | journaliasakpiua-article-244613 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:27:37Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/a4/5aa6f4abb21c89042228f79de303c6a4.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2446132022-02-09T17:33:09Z Mathematical modeling of contact interaction of two electroelastic half-spaces (without electrode coating of surfaces) in the presence of a hard disk-like inclusion between them and pressure in the area of separation Математическое моделирование контактного взаимодействия двух электроупругих полупространств (без электродного покрытия поверхностей) при наличии жесткого дискообразного включения между ними и давления в области расслоения Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів (без електродного покриття поверхонь) за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в зоні розшарування Kirilyuk, Vitaly Levchuk, Olga математична модель п’єзоелектричний матеріал електропружний півпростір жорстке дископодібне включення тиск у зоні розшарування параметри контакту математическая модель пьезоэлектрический материал электроупругое полупространство жесткое дискообразное включения давление в области расслоения параметры контакта mathematical model piezoelectric material electroelastic half-space hard disk-shaped inclusions pressure in the delamination region contact parameters Based on the use of a rigorous mathematical model that takes into account the connectivity of force and electric fields in electroelastic bodies, the contact interaction of two piezoelectric transversely isotropic half-spaces with different properties under compression (in the presence of a hard disk-shaped inclusion between them and pressure in the material separation region) was studied. The solution to the problem is obtained by representing the general solution of the static equations of the electroelasticity for a transversely isotropic body in terms of harmonic functions, followed by the construction of the boundary value problem of the electroelasticity to the consideration of the integral equation and the expansion of the desired function in a small parameter. As a special case from the constructed analytical expressions, the main parameters of the contact for two elastic transversely isotropic and isotropic half-spaces (with the inclusion between them and pressure in the separation region) are implied. Numerical results were obtained. The influence was studied of the electroelastic properties of half-spaces, the geometric dimensions of the inclusion, and loads on the parameters of the contact interaction of electroelastic bodies. На основе использования строгой математической модели, учитывающей связанность силовых и электрических полей в электроупругих телах, исследовано контактное взаимодействие двух различных по свойствам пьезоэлектрических трансверсально-изотропных полупространств при сжатии (при наличии жесткого дискообразного включения между ними и давления в области расслоения материалов). Решение задачи получено с помощью представления общего решения статических уравнений электроупругости для трансверсально-изотропного тела через гармонические функции с последующим возведением граничной задачи электроупругости к рассмотрению интегрального уравнения и разложения искомой функции по малому параметру. Как частный случай из найденных аналитических выражений следуют основные параметры контакта для двух упругих трансверсально-изотропных и изотропных полупространств (при включении между ними и давления в области расслоения). Получены численные результаты, изучено влияние электроупругих свойств полупространств, геометрических размеров включения и нагрузок на параметры контактного взаимодействия электроупругих тел. На основі використання строгої математичної моделі, що враховує зв’язаність силових і електричних полів у електропружних тілах, досліджено контактну взаємодію двох різних за властивостями п’єзоелектричних трансверсально-ізотропних півпросторів за стискання (за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в зоні розшарування матеріалів). Розв’язок задачі отримано за допомогою подання загального розв’язку статичних рівнянь електропружності для трансверсально-ізотропного тіла через гармонічні функції з подальшим зведенням граничної задачі електропружності до розгляду інтегрального рівняння і розкладу шуканої функції за малим параметром. Як частинний випадок зі знайдених аналітичних виразів випливають основні параметри контакту для двох пружних трансверсально-ізотропних та ізотропних півпросторів (за наявності включення між ними і тиску в зоні розшарування). Отримано числові результати, вивчено вплив електропружних властивостей півпросторів, геометричних розмірів включення і навантажень на параметри контактної взаємодії електропружних тіл. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2021-09-30 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/244613 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.3.10 System research and information technologies; No. 3 (2021); 120-134 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2021); 120-134 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2021); 120-134 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/244613/242427 |
| spellingShingle | математична модель п’єзоелектричний матеріал електропружний півпростір жорстке дископодібне включення тиск у зоні розшарування параметри контакту Kirilyuk, Vitaly Levchuk, Olga Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів (без електродного покриття поверхонь) за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в зоні розшарування |
| title | Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів (без електродного покриття поверхонь) за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в зоні розшарування |
| title_alt | Mathematical modeling of contact interaction of two electroelastic half-spaces (without electrode coating of surfaces) in the presence of a hard disk-like inclusion between them and pressure in the area of separation Математическое моделирование контактного взаимодействия двух электроупругих полупространств (без электродного покрытия поверхностей) при наличии жесткого дискообразного включения между ними и давления в области расслоения |
| title_full | Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів (без електродного покриття поверхонь) за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в зоні розшарування |
| title_fullStr | Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів (без електродного покриття поверхонь) за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в зоні розшарування |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів (без електродного покриття поверхонь) за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в зоні розшарування |
| title_short | Математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів (без електродного покриття поверхонь) за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в зоні розшарування |
| title_sort | математичне моделювання контактної взаємодії двох п’єзоелектричних півпросторів (без електродного покриття поверхонь) за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в зоні розшарування |
| topic | математична модель п’єзоелектричний матеріал електропружний півпростір жорстке дископодібне включення тиск у зоні розшарування параметри контакту |
| topic_facet | математична модель п’єзоелектричний матеріал електропружний півпростір жорстке дископодібне включення тиск у зоні розшарування параметри контакту математическая модель пьезоэлектрический материал электроупругое полупространство жесткое дискообразное включения давление в области расслоения параметры контакта mathematical model piezoelectric material electroelastic half-space hard disk-shaped inclusions pressure in the delamination region contact parameters |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/244613 |
| work_keys_str_mv | AT kirilyukvitaly mathematicalmodelingofcontactinteractionoftwoelectroelastichalfspaceswithoutelectrodecoatingofsurfacesinthepresenceofaharddisklikeinclusionbetweenthemandpressureintheareaofseparation AT levchukolga mathematicalmodelingofcontactinteractionoftwoelectroelastichalfspaceswithoutelectrodecoatingofsurfacesinthepresenceofaharddisklikeinclusionbetweenthemandpressureintheareaofseparation AT kirilyukvitaly matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâdvuhélektrouprugihpoluprostranstvbezélektrodnogopokrytiâpoverhnostejprinaličiižestkogodiskoobraznogovklûčeniâmeždunimiidavleniâvoblastirassloeniâ AT levchukolga matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâdvuhélektrouprugihpoluprostranstvbezélektrodnogopokrytiâpoverhnostejprinaličiižestkogodiskoobraznogovklûčeniâmeždunimiidavleniâvoblastirassloeniâ AT kirilyukvitaly matematičnemodelûvannâkontaktnoívzaêmodíídvohpêzoelektričnihpívprostorívbezelektrodnogopokrittâpoverhonʹzanaâvnostížorstkogodiskopodíbnogovklûčennâmížnimiítiskuvzonírozšaruvannâ AT levchukolga matematičnemodelûvannâkontaktnoívzaêmodíídvohpêzoelektričnihpívprostorívbezelektrodnogopokrittâpoverhonʹzanaâvnostížorstkogodiskopodíbnogovklûčennâmížnimiítiskuvzonírozšaruvannâ |