Інтегральні зображення додатно визначених ядер
The paper proposes proof of the possibility of an integral representation of a positive definite kernel of two pairs of variables. Using this kernel, we use the technique of constructing a new Hilbert space in which symmetric differential operators formally commute. In this case, the kernel satisfie...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/279777 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334434634596352 |
|---|---|
| author | Bokhonov, Yurii |
| author_facet | Bokhonov, Yurii |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Yurii Bokhonov",
"institution": "Навчально-науковий Інститут прикладного системного аналізу Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
}
] |
| author_sort | Bokhonov, Yurii |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-05-24T21:28:17Z |
| description | The paper proposes proof of the possibility of an integral representation of a positive definite kernel of two pairs of variables. Using this kernel, we use the technique of constructing a new Hilbert space in which symmetric differential operators formally commute. In this case, the kernel satisfies a system of differential equations with partial derivatives. It is known that a kernel given in a subdomain of the real plane, generally speaking, does not always imply an extension to the entire plane. This possibility is related to the problem of the existence of a commuting self-adjoint extension of symmetric operators. The author applies his own results related to a commuting self-adjoint extension in a wider Hilbert space. The resulting representation in the form of an integral of elementary positive-definite kernels with respect to the spectral measure generated by the resolution of the identity of the operators allows us to extend the positive-definite kernel to the entire plane. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2023.1.10 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:28:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ю.Є. Бохонов, 2023
122 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2023, № 1
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
UDC 517.432
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2023.1.10
ІНТЕГРАЛЬНІ ЗОБРАЖЕННЯ ДОДАТНО
ВИЗНАЧЕНИХ ЯДЕР
Ю.Є. БОХОНОВ
Анотація. Доведено можливість інтегрального зображення додатно визначе-
ного ядра від двох пар змінних. Використано техніку побудови за цим ядром
нового гільбертового простору, у якому формально комутують симетричні
диференціальні оператори. При цьому ядро задовольняє систему диференціа-
льних рівнянь із частинними похідними. Відомо, що ядро, задане в підобласті
дійсної площини, не завжди припускає продовження на всю площину. Така
можливість зумовлена проблемою існування комутувального самоспряженого
розширення симетричних операторів. Застосовано результати, отримані авто-
ром, пов’язані з комутувальним самоспряженим розширенням у більш широ-
кому гільбертовому просторі. Одержане інтегральне зображення за спектраль-
ною мірою, породженою розкладом одиниці операторів, дає змогу
продовження додатно визначеного ядра на всю площину.
Ключові слова: гільбертовий простір, скалярний добуток, симетричний опе-
ратор, самоспряжений оператор, додатно визначене ядро, індекс дефекту, про-
довження оператора.
ВСТУП
Можливість інтегрального зображення додатно визначеного ядра (невиро-
дженого) — одна з відомих класичних задач гармонічного аналізу. Існують
різні підходи до її розв’язання. Один з них — побудова гільбертового прос-
тору зі скалярним добутком, що визначається за допомогою ядра, і знахо-
дження симетричного (ермітового) оператора в цьому просторі, що припус-
кає самоспряжене розширення. У разі необмеженості оператора ядро
припускає інтегральне зображення за елементарними додатно визначеними
ядрами. На цьому шляху доводиться, наприклад, відомий класичний факт
Бохнера про інтегральне зображення додатно визначеної функції. У випадку
ядра від кількох (парної кількості) змінних треба знайти симетричні опера-
тори, що припускають комутувальне самоспряжене розширення в даному
гільбертовому просторі або з виходом у більш широкий гільбертовий прос-
тір. Це вдається зробити не завжди, але існують умови на оператори, для
яких таке продовження можливе. Якщо ядро визначено на підмножині прос-
тору змінних, таке інтегральне зображення дає можливість його продовжити
на весь простір. Автор, спираючись на отримані ним результати [1, 2], про-
Інтегральні зображення додатно визначених ядер
Системні дослідження та інформаційні технології, 2023, № 1 123
понує інтегральне зображення одного додатно визначеного ядра, функції
),,,( 2121 yyxxK , пари аргументів ,),( 21 xx ),( 21 yy якої визначені на пів-
смузі двовимірної площини. На цьому шляху вдається продовжити цю функ-
цію на площину зі збереженням додатної визначеності.
Нагадаємо основні конструкції, пов’язані з побудовою гільбертового
простору, виходячи з розглядуваного додатно визначеного ядра, із симетрич-
ними операторами, що припускають комутувальне самоспряжене розши-
рення. Міркування досить проводити для двох операторів.
Нехай є ланцюги сепарабельних комплексних гільбертових просторів з
додатною і від’ємною нормами [3], у яких діє інволюція hh :
)2()2(
0
)2()1()1(
0
)1( , HHHHHH .
Використовуючи тензорні добутки, утворимо гільбертові простори
)2()1()2(
0
)1(
00
)2()1( ,, HHHHHHHHH
і ланцюг
HHHHHH 00 .
Позначатимемо через 0(.,.) скалярний добуток у просторі 00 HH .
Виходячи з конструкції побудови гільбертових просторів з додатною і
від’ємною нормами, зазначимо, що цей скалярний добуток визначено для
елементів , HH 0),(: wHHw .
Узагальненим додатно визначеним ядром називається елемент
HHK такий, що HuuuK 0, . Будемо вважати це ядро
невиродженим, тобто рівність 0),( uuK може справджуватись тоді і
тільки тоді, коли 0u . Це дає змогу ввести новий гільбертовий простір
KH , поповнивши H за допомогою нового скалярного добутку .,. :
HvuuvKvu ,),(, .
Елементарним додатно визначеним ядром (ермітовим) називається
елемент
CHH
HH
:, ;
0,))(,(
0
*
0
*
IuAvuvIA .
Інакше кажучи, елементарне ядро — це узагальнений власний вектор
оператора.
Далі замикання довільної множини KHX позначатимемо через ][X .
Розглянемо оператори 21, AA із всюди щільними, відповідно, у
)2()1( , HH областями визначення )2(
2
)1(
1 )(,)( HADHAD . Побудуємо
оператори
)2(
1111 )()(, HADBDIAB , )()(, 2
)1(
222 ADHBDAIB .
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2023, № 1 124
Вони комутують у такому розумінні:
)()( 211221 ADADuuBBuBB .
Будемо вважати, що оператори 1B і 2B симетричні у KH .
Нагадаємо, що для симетричного оператора A з областю визначення
)(AD у гільбертовому просторі H вводиться поняття дефектних чисел
zz dd , . Нехай )()()(Im),( ADzIAzIAzAR і )),((),( zARzAN . Тоді
),(dim zANdz — дефектне число для верхньої півплощини ,z
0Im z , ),(dim zANdz для нижньої півплощини 0Im, zz . Пара
),( zz dd називається індексом дефекту симетричного оператора. Індекс де-
фекту ),0( zd відповідає максимальному оператору, )0,0( — самоспряжено-
му. Зауважимо, що
},:)({),( ** uzuAADuzAN }:)({),( ** zvvAADvzAN .
Далі вважається, що, скажімо, симетричний оператор 1B максимальний
у KH . Розглянемо його перетворення Келі за деякого 0Im, 11 zz :
)()()()(:)()()( 111111
1
111111 BDIzBBDIzBIzBIzBzV .
Із максимальності 1B випливає, що одна з цих множин, наприклад,
)()( 111 BDIzB , всюди щільна у KH .
Нагадаємо результат, отриманий у праці [1].
Теорема 1. Нехай оператори 1B і 2B симетричні в KH , причому для
довільного )2(
2 Hw замикання у ][ 2
)1( wH звуження 1B на 21)( wAD є
максимальним оператором за деякого 0Im, 11 zz . Тоді існує комуту-
вальне самоспряжене розширення цих операторів з виходом у більш широ-
кий гільбертовий простір.
Застосуємо цей факт для одного конкретного прикладу.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянемо додатно визначене невироджене ядро, яке є звичайною
функцією: ],0[],0[),0[),0[: llDK ,
2
2
1
1
2111
,,,,
l
l
l
l
y
K
x
K
y
K
x
K
K
)(DC , 2,1, 21 ll .
Нехай
0),(exp)( 111 MMxxp і ))((exp)()(),( 11111111 yxMypxpyxp .
Покладемо )2()1(
2,2,2 ],0[),0[]),0[),0([
11 HHlLLlLH pp
[3, с. 709].
Будемо вважати, що виконуються такі умови:
Інтегральні зображення додатно визначених ядер
Системні дослідження та інформаційні технології, 2023, № 1 125
1) справджується оцінка
0,),(exp),,,( 112121 MyxMyyxxK , (1)
2) Hu
dxdyxuyuyxKuuK
D
)()(),(),(
,0),(),(),,,( 212121
0 0 0 0
212121
dydydxdxxxuyyuyyxxK
l l
(2)
причому рівність нулю можлива лише, якщо 0u ,
3) функція K задовольняє рівняння
.0;0
2
2
2
2
2
2
11
y
K
x
K
y
K
x
K
(3)
Будемо також вважати, що за довільного )2(
2 Hw і деякого 0
розбігається інтеграл
21212222
0 0
11
0 0
2121 )()())((exp),,,( dydydxdxxwywyxyyxxK
l l
, (4)
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНОГО ЯДРА
У ПІВСМУЗІ І ЙОГО ПРОДОВЖЕННЯ НА ПЛОЩИНУ
Визначимо на H скалярний добуток за формулою
dxdyxuyvyxKuvKvu
D
)()(),(),(,
.,,,,, 212121
0 0 0 0
212121 dydydxdxxxuyyvyyxxK
l l
Уведемо гільбертовий простір KH як поповнення H за нормою, по-
родженою цим скалярним добутком.
Розглянемо оператори в KH :
2
2
2
22
1
11 ,
x
IAIBI
x
iIAB ,
де 21, AA визначені на досить гладких фінітних функціях відповідно в об-
ластях ],0[,),,0[, 2211 lyxyx .
Використовуючи умови (3) і фінітність функцій з області визначення
операторів 1A і 2A , доведемо симетричність 1B і 2B .
21211 ),( vvuuB
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2023, № 1 126
21212211
10 0 0 0
22112121 )()()()(),,,( dydydxdxxuxu
x
iyvyvyyxxK
l l
212
0 0 0
221122112121
1
)()()()(),,,( dydydxxuxuyvyvyyxxKi
l
x
21212211
0 0 0 0
22112121
1
)()()()(),,,( dydydxdxxuxuyvyvyyxxK
x
i
l l
21212211
0 0 0 0
22112121
1
)()()()(),,,( dydydxdxxuxuyvyvyyxxK
y
i
l l
212
0 0 0
221122112121
1
)()()()(),,,( dydydxxuxuyvyvyyxxKi
l
y
21212211
0 0 0 0
2211
1
2121 )()()()(),,,( dydydxdxxuxuyvyv
y
iyyxxK
l l
.)(, 21121 vvBuu
Аналогічним чином доводиться симетричність оператора 2B .
Доведемо, що індекс дефекту оператора 1B дорівнює 1,0 , тобто опе-
ратор максимальний.
Нехай 0Im),,( zzANu , тобто .
1
* uz
dx
du
iuA Звідси
)Re(exp)(Imexp)(exp 111 xzixzCxziCu .
Вибираючи zIm з інтегралу (4), упевнюємось в розбіжності
інтеграла
21212222
0 0
11
0 0
2121 )()())((exp),,,( dydydxdxxwywyxyyxxK
l l
.
Це означає, що }0{),( zAN і дефектне число оператора 1B для верх-
ньої півплощини комплексної площини дорівнює нулю.
Нехай 0Im),,( zzANv . Звідси
)Re(exp)Im(exp)(exp 111 xzixzCxizCv .
Вибираючи Mz Im , впевнимось, що 0Im),,( zzANv пород-
жується функцією )(exp 1xiz , із чого випливатиме, що дефектне число опе-
ратора 1B для нижньої півплощини комплексної площини дорівнює 1.
Згідно з оцінкою (1) маємо:
21212222
0 0
1
0 0
12121 )()()(exp)(exp),,,( dydydxdxxwywizxizyyyxxK
l l
Інтегральні зображення додатно визначених ядер
Системні дослідження та інформаційні технології, 2023, № 1 127
.)()())((exp))(Im(exp 2121222222
0 0 0 0
11
dydydxdxxwywyxMyxzM
l l
Очевидно, індекс дефекту оператора 2B дорівнює )1,1( . Відповідно до
результатів [1, 2] існує комутувальне самоспряжене розширення операторів
1B і 2B у більш широкому гільбертовому просторі. Тоді, згідно з працею
[3], додатно визначене ядро K припускає інтегральне зображення від еле-
ментарних ядер за мірою ),( 21 d , породженою розкладом одиниці (неор-
тогональним) цих самоспряжених продовжень. Елементарні ядра породжу-
ються фундаментальними системами розв’язків задач Коші:
;)(exp),(1)0(, 11111
1
xixuuu
dx
du
i
1)0(,0)0(,0)0(,1)0(,1,0, 110022
2
2
vvvvkv
dx
vd
k
k
.
sin
),(,cos),(
2
22
22122220
x
xvxxv
У результаті доходимо до такого висновку.
Теорема 2. Нехай функція CllDK ],0[],0[),0[),0[: , що
задовольняє оцінку (1), є додатно визначеним ядром в розумінні (2) і задо-
вольняє рівнянням (3). Тоді існує інтегральне зображення цього ядра за
мірою, яка визначається неоднозначно:
),,,( 2121 yyxxK
),(),(),())((exp 21
1
0,
2222111
dxvyvxyi
kj
jk . (5)
Наслідок. Із виразу (5) випливає можливість продовження додатно ви-
значеного ядра з півсмуги ],0[),0[),(),,( 2121 lyyxx на всю площину
2
2121 R),(),,( yyxx .
ВИСНОВКИ
Додатно визначені ядра, зокрема функції, відіграють важливу роль у різних
розділах математики, зокрема, у гармонічному аналізі, теорії ймовірностей
та теорії зображень груп. Для їх дослідження використовуються різні підхо-
ди. Один з них, використаний у роботі, належить М.Г. Крейну і базується на
побудові за додатно визначеним ядром гільбертового простору і досліджен-
ням формально комутувальних ермітових операторів. У разі існування їх
комутувального самоспряженого продовження в даному просторі або з ви-
ходом з нього ядро припускає інтегральне зображення від елементарних до-
датно визначених ядер, які знаходяться як узагальнені власні функції цих
операторів. У математичній літературі частіше розглядались ситуації, у яких
самоспряжені комутувальні продовження будуються в гільбертовому прос-
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2023, № 1 128
торі. Автору належить кілька результатів, у яких доведено можливість по-
будови таких розширень у більш широкому гільбертовому просторі. Зви-
чайно, в одержаному інтегральному зображенні ядра операторна міра зна-
ходиться неоднозначно. Інші підходи до інтегральних зображень додатно
визначених ядер містяться у працях [6, 7].
Слід також зауважити, що подібну техніку можна використати для ін-
тегральних зображень додатно визначених ядер від нескінченної кількості
змінних, які досліджуються, наприклад, у працях [4, 5].
ЛІТЕРАТУРА
1. Yu. Bokhonov, “Commuting self-adjoint extensions of systems of Hermitian opera-
tors,” Ukr. Math. Journ., vol. 40, no. 2, pp. 149–153, 1988.
2. Yu. Bokhonov, “On self-adjoint extensions of commuting Hermitian operators,”
Ukr. Math. Journ., vol. 42, no. 5, pp. 695–697, 1990.
3. Yu. Berezansky, Expansion in Eigenfunctions of Self-Adjoint Operators. Kyiv:
Naukova Dumka, 1965, 798 p.
4. Yu. Berezansky, Self-adjoint operators in spaces of functions of an infinite number
of variables. Kyiv: Naukova Dumka, 1978, 360 p.
5. Yu. Berezansky and Yu. Kondratiev, Spectral methods in infinite-dimensional analy-
sis. Kyiv: Naukova Dumka, 1988, 680 p.
6. A.D. Manov, “On the uniqueness of the extension of one function to a positive defi-
nite one,” Math. Notes, 107:4, pp. 639–652, 2020.
7. A.G. Sergeev, “Lectures on functional analysis,” Lekts. courses of the SEC of the
MIAS, vol. 23, pp. 3–101, 2014.
Надійшла 13.07.2022
INFORMATION ON THE ARTICLE
Yurii E. Bokhonov, ORCID: 0000-0002-3355-008X, Educational and Scientific Institute
for Applied System Analysis of the National Technical University of Ukraine “Igor Sikor-
sky Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: yubochonoff@gmail.com
INTEGRAL REPRESENTATIONS OF POSITIVE DEFINITE KERNELS /
Yu.E. Bokhonov
Abstract. The paper proposes proof of the possibility of an integral representation
of a positive definite kernel of two pairs of variables. Using this kernel, we use the
technique of constructing a new Hilbert space in which symmetric differential op-
erators formally commute. In this case, the kernel satisfies a system of differential
equations with partial derivatives. It is known that a kernel given in a subdomain of
the real plane, generally speaking, does not always imply an extension to the entire
plane. This possibility is related to the problem of the existence of a commuting self-
adjoint extension of symmetric operators. The author applies his own results related
to a commuting self-adjoint extension in a wider Hilbert space. The resulting repre-
sentation in the form of an integral of elementary positive-definite kernels with re-
spect to the spectral measure generated by the resolution of the identity of the opera-
tors allows us to extend the positive-definite kernel to the entire plane.
Keywords: Hilbert space, scalar product, symmetric operator, self-adjoint operator,
positive definite kernel, defect index, operator extension.
|
| id | journaliasakpiua-article-279777 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:28:10Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/de/9ac40b18109c1feaf265a8a4b429a9de.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2797772023-05-24T21:28:17Z Integral representations of positive definite kernels Інтегральні зображення додатно визначених ядер Bokhonov, Yurii гільбертовий простір скалярний добуток симетричний оператор самоспряжений оператор додатно визначене ядро індекс дефекту продовження оператора Hilbert space scalar product symmetric operator self-adjoint operator positive definite kernel defect index operator extension The paper proposes proof of the possibility of an integral representation of a positive definite kernel of two pairs of variables. Using this kernel, we use the technique of constructing a new Hilbert space in which symmetric differential operators formally commute. In this case, the kernel satisfies a system of differential equations with partial derivatives. It is known that a kernel given in a subdomain of the real plane, generally speaking, does not always imply an extension to the entire plane. This possibility is related to the problem of the existence of a commuting self-adjoint extension of symmetric operators. The author applies his own results related to a commuting self-adjoint extension in a wider Hilbert space. The resulting representation in the form of an integral of elementary positive-definite kernels with respect to the spectral measure generated by the resolution of the identity of the operators allows us to extend the positive-definite kernel to the entire plane. Доведено можливість інтегрального зображення додатно визначеного ядра від двох пар змінних. Використано техніку побудови за цим ядром нового гільбертового простору, у якому формально комутують симетричні диференціальні оператори. При цьому ядро задовольняє систему диференціальних рівнянь із частинними похідними. Відомо, що ядро, задане в підобласті дійсної площини, не завжди припускає продовження на всю площину. Така можливість зумовлена проблемою існування комутувального самоспряженого розширення симетричних операторів. Застосовано результати, отримані автором, пов’язані з комутувальним самоспряженим розширенням у більш широкому гільбертовому просторі. Одержане інтегральне зображення за спектральною мірою, породженою розкладом одиниці операторів, дає змогу продовження додатно визначеного ядра на всю площину. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2023-03-30 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/279777 10.20535/SRIT.2308-8893.2023.1.10 System research and information technologies; No. 1 (2023); 122-128 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2023); 122-128 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2023); 122-128 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/279777/274369 |
| spellingShingle | гільбертовий простір скалярний добуток симетричний оператор самоспряжений оператор додатно визначене ядро індекс дефекту продовження оператора Bokhonov, Yurii Інтегральні зображення додатно визначених ядер |
| title | Інтегральні зображення додатно визначених ядер |
| title_alt | Integral representations of positive definite kernels |
| title_full | Інтегральні зображення додатно визначених ядер |
| title_fullStr | Інтегральні зображення додатно визначених ядер |
| title_full_unstemmed | Інтегральні зображення додатно визначених ядер |
| title_short | Інтегральні зображення додатно визначених ядер |
| title_sort | інтегральні зображення додатно визначених ядер |
| topic | гільбертовий простір скалярний добуток симетричний оператор самоспряжений оператор додатно визначене ядро індекс дефекту продовження оператора |
| topic_facet | гільбертовий простір скалярний добуток симетричний оператор самоспряжений оператор додатно визначене ядро індекс дефекту продовження оператора Hilbert space scalar product symmetric operator self-adjoint operator positive definite kernel defect index operator extension |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/279777 |
| work_keys_str_mv | AT bokhonovyurii integralrepresentationsofpositivedefinitekernels AT bokhonovyurii íntegralʹnízobražennâdodatnoviznačenihâder |