Послідовності функцій і ряди Тейлора з нечітким комплексним аргументом
This article considers functional sequences ƒn(A) with fuzzy complex number A for an argument. The convergences limn→∞ƒ'n(z)=ƒ(z) and limn→∞ƒ'n(x)=ƒ'(x) are assumed to be uniform inside each circle supp A. Due to analyticity, the conditions of point-wise convergence of derivatives and...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2016
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59886 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334259846414337 |
|---|---|
| author | Spectorsky, Igor Ya. |
| author_facet | Spectorsky, Igor Ya. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Igor Ya. Spectorsky",
"institution": "ННК \"Институт прикладного системного анализа\" НТУУ \"КПИ\", Киев"
}
] |
| author_sort | Spectorsky, Igor Ya. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:27:05Z |
| description | This article considers functional sequences ƒn(A) with fuzzy complex number A for an argument. The convergences limn→∞ƒ'n(z)=ƒ(z) and limn→∞ƒ'n(x)=ƒ'(x) are assumed to be uniform inside each circle supp A. Due to analyticity, the conditions of point-wise convergence of derivatives and finiteness of the number of solutions for equation ƒ(z)=w with respect to z for each w inside each circle supp A are satisfied. The paper proposes the sufficient conditions for the convergence ƒn(A) in the sense that the sequence of membership functions μƒn(A)(w) converges point-wise. The convergence limn→∞μƒn(A)(w)=μƒ(A)(w) is proved for all points w∈X, except such w=ƒ(z), that z is a discontinuity point of μA(z), or ƒ'(z)=0. As a particular case of a sequence ƒn(A), the generalization of Taylor series ƒ(z)=∑i=0∞ƒ(i)(z0)/i!(z-z0)i is considered for an analytical function ƒ(z) for the case of fuzzy complex argument z=A. The convergence of the series is considered in the sense of point-wise convergence of the partial sum μSn(A)(w), where Sn(z)=∑i=0∞ƒ(i)(z0)/i!(z-z0)i. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.12 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:19:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.Я. Спекторский, 2016
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 125
TIДC
НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ,
ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 519/6
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.12
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА
С НЕЧЕТКИМ КОМПЛЕКСНЫМ АРГУМЕНТОМ
И.Я. СПЕКТОРСКИЙ
Рассмотрены функциональные последовательности )(Af n комплексных ана-
литических функций с нечетким комплексным числом A в качестве аргумента;
предполагается сходимость )()(lim zfzfnn
=
∞→
и )()(lim xfxfnn
′=′
∞→
как равно-
мерная на каждом круге внутри Asupp . Вследствие аналитичности выполня-
ются требования поточечной сходимости производных, а также конечности
числа решений уравнения wzf =)( относительно z для каждого w на каж-
дом круге внутри Asupp . Предложены достаточные условия сходимости
)(Af n как поточечной сходимости последовательности функций принадлеж-
ности )()( wAf n
μ : доказана сходимость )()(lim )()( ww AfAfn n
μ=μ
∞→
в точках
C∈w , кроме таких )(zfw = , что z — точка разрыва )(zAμ , либо
0)( =′ zf . Как частный случай последовательности )(Af n рассмотрено
обобщение конструкции ряда Тейлора ∑
∞
=
−=
0
0!
)( )()( 0
)(
i
i
i
zf zzzf
i
для анали-
тической функции )(zf для случая нечеткого комплексного аргумента
Az = . Сходимость ряда рассмотрена как поточечная сходимость последова-
тельности функций принадлежности частичных сумм )()( wASn
μ , где
∑
=
−=
n
i
i
i
zf
n zzzS
i
0
0!
)( )()( 0
)(
.
ВВЕДЕНИЕ
Нечеткие числа как частный случай нечетких множеств представляют мощ-
ное средство математического моделирования в условиях неполной инфор-
мации об исходных объектах. Так, в работах [1, 2] описывается применение
аппарата нечетких множеств (в частности, нечетких чисел) для разработки
экспертных систем, решения задачи распознавания образов, представления
знаний в системах искусственного интеллекта. Активно развивается теория
нечетких систем управления [3].
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 126
Принцип обобщения, сформулированный Л.А. Заде для произвольных
нечетких множеств [1, 8], определяет действие произвольной числовой
функции конечного числа аргументов на нечеткие числа. В частности, для
случая нечетких чисел можно обобщить стандартные арифметические опе-
рации «+», «·», «−» и « ⁄». В работах [8, 9] вводится понятие нечеткого ком-
плексного числа.
Для нечетких чисел, включая комплексный случай, сохраняются законы
коммутативности и ассоциативности операций «+»и «·», однако в общем
случае не выполняется дистрибутивность «·» относительно «+» (алгеб-
раические свойства нечетких чисел изложены в работах [5–7]).
Наличие ассоциативности «+» и «·» позволяет рассматривать степен-
ные ряды с нечетким аргументом, трактуя сходимость конечных сумм ряда
как сходимость последовательности функций принадлежности. В частности,
это касается рядов Тейлора с нечетким аргументом и сходимости такого ря-
да (в определенном смысле) к значению исходной функции над заданным
нечетким аргументом. Так, в работе [10] рассматриваются ряды Тейлора
с нечетким аргументом с компактным носителем; сходимость таких рядов
трактуется как сходимость множеств уровня функций принадлежности час-
тичных сумм по метрике Хаусдорфа. Однако анализ поточечной сходимо-
сти последовательности функций принадлежности в ряде случаев может
оказаться существенно проще, чем анализ сходимости соответствующих
множеств уровня по метрике Хаусдорфа (см. работу [1]) для случая дейст-
вительного нечеткого аргумента).
Цель работы — представить достаточные условия сходимости после-
довательности функций с нечетким комплексным аргументом в смысле по-
точечной сходимости последовательности функций принадлежности и при-
менить полученный результат к сходимости частичных сумм ряда Тейлора
с нечетким комплексным аргументом. Полученные результаты могут по-
мочь аппроксимировать сложные нечеткие модели более простыми с воз-
можностью предельного перехода в топологии поточечной сходимости.
В работе приводятся в основном известные сведения из теории нечет-
ких комплексных чисел, необходимые для изложения основного результата,
а также анализируется возможность предельного перехода в последователь-
ности отображений с нечетким комплексным аргументом, рассматривается
сходимость рядов Тейлора с нечетким комплексным аргументом как пото-
чечной сходимости функций принадлежности для частичных сумм.
ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОГО КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ВЫПУКЛЫЕ
НЕЧЕТКИЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Нечеткое комплексное число A является частным случаем нечеткого множе-
ства и определяется своей функцией принадлежности ]1,0[: →μ CA . Носи-
телем нечеткого комплексного числа A называют множество
}0)(:{supp >μ∈= zzA AC . Для заданного ]1;0(∈α рассматривают множе-
ство уровня })(:{][ α≥μ∈=α zzA AC . Очевидно соотношение
U
0
][supp
>α
α= AA . Легко понять, что совокупность множеств уровня одно-
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким комплексным аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 127
значно определяет функцию принадлежности Aμ (а значит и само нечет-
кое комплексное число A), так как =α=μ∈=αμ − })(:{)( 00
1 zz AA C
U
0
0
][\][
α>α
αα= AA для всех 10 0 ≤α< .
Нечеткое комплексное число A называют нормальным, если 1)( =μ zA
для некоторого C∈z . Так, нечеткое комплексное число A с функцией при-
надлежности
⎩
⎨
⎧
>
≤−=μ 1||,0
;1|||,|1)( z
zzz является нормальным, Также нор-
мально нечеткое комплексное число с функцией принадлежности 1)( =μ z
( C∈z ), однако нечеткое комплексное число с функцией принадлежности
0)( =μ z ( C∈z ) не является нормальным. Заметим, что нормальность
иногда требуется при определении нечеткого числа как действительного,
так и комплексного, например, [8–10].
Важный класс представляют нечеткие комплексные числа с полунепре-
рывной сверху функцией принадлежности1. Полунепрерывность функции
Aμ , которая определяется условием
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ μ≤μ⇒⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ =
∞→∞→
)()(limlim zzzz AnA
n
n
n
,
можно охарактеризовать в терминах множеств уровня нечеткого комплекс-
ного числа A.
Лемма 1. Функция принадлежности нечеткого комплексного числа A
полунепрерывна сверху тогда и только тогда, когда все множества уровня
α][A )]1;0(( ∈α замкнуты.
Утверждение леммы (в эквивалентной формулировке) доказано, на-
пример, в работе [12, с. 385–388], а в [13] приведено в виде упражнения.
Следствие. Пусть функция принадлежности нечеткого комплексного
числа A полунепрерывна сверху. Тогда компактность множества уровня
α][A при 10 ≤α< эквивалентна ограниченности α][A
Пример 1. Рассмотрим нечеткое комплексное число A с функцией при-
надлежности
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤≤+
<
=μ
.8,0,1
;8,0||0,3;2,0||
;3,0|||,|
)(
z
zz
zz
zA
Очевидно, что )(zAμ полунепрерывна сверху, и все множества уровня
)]1;0(( ][ ∈ααA замкнуты. Так, замкнутым является }3,0|| :{][ 4.0 ≥= zzA .
Пример 2. Рассмотрим нечеткое комплексное число A с функцией при-
надлежности
2||)( z
A ez −=μ . Функция )(zAμ полунепрерывна сверху (и даже
непрерывна), все множества уровня ( )]1;0( ][ ∈ααA ограничены и в силу
следствия из леммы 1 компактны. Отметим, что носитель C=Asupp при
этом неограничен.
1 Здесь и далее под непрерывностью и полунепрерывностью сверху подразумеваем
непрерывность (полунепрерывность сверху) на C .
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 128
Заметим, что при определении нечеткого комплексного числа, наряду
с нормальностью, иногда требуется полунепрерывность сверху для функции
принадлежности, а также накладываются условия связности для множеств
уровня [8, 9].
ОТОБРАЖЕНИЯ НЕЧЕТКИХ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Пусть CC →⊃ Df n : — функция с областью определения n
fD C⊂ ,
1≥n 2. В соответствии с принципом обобщения Заде [1–10] образ набора
нечетких комплексных чисел nAAA ,,, 21 K при отображении f определяется
как нечеткое комплексное число ),,,( 21 nAAAfB K= с функцией принад-
лежности
=μ )(wB
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≠∈∀
=∈∃
μμ
= =
∈
.),,(:),,(
если,0
;),,(:),,(
если)),(,),((minsup
11
11
1
),,(
:),,(
1
1
1
wzzfDzz
wzzfDzz
zz
nfn
nfn
nAA
wzzf
Dzz
n
n
fn
KK
KK
K
K
K
(1)
Пример 3. Пусть zzff −=→ )( ,: CC . Тогда в соответствии с равенст-
вом (1) для произвольного нечеткого комплексного числа A получаем функ-
цию принадлежности для нечеткого комплексного числа A− : =μ− )(wA
)( wA −μ= ( C∈w ).
Пример 4. Пусть 2)( ,: zzff =→CC . Тогда в соответствии с равенст-
вом (1) для произвольного нечеткого комплексного числа A получаем функ-
цию принадлежности для 2A : ))(),((max)(2 www AAA
−μμ=μ ( C∈w ).
Пример 5. Пусть zezff =→ )( ,: CC . Тогда в соответствии с равенст-
вом (1) для произвольного нечеткого комплексного числа A получаем функ-
цию Ae
μ :
⎩
⎨
⎧
=
≠∈π+ϕ+μ=μ ,0,0
;0},:)2((ln{sup)( w
wkkirw A
e A
Z
где ϕ= irew , ,0≥r ];( ππ−∈ϕ .
Пример 6. Пусть 2121
2 ),( ,: zzzzff +=→CC . Тогда в соответствии
с равенством (1) для произвольных нечетких комплексных чисел 21 , AA
получаем функцию принадлежности для 21 AA + : =μ + )(
21
wAA
( ))(),(minsup 21
:),(
21
21
2
21
zz AA
wzz
zz
μμ=
=+
∈C
.
2 Здесь и далее символы «⊂ » и «⊃ » допускают равенство множеств.
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким комплексным аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 129
Из примеров 3–6 видно, что при использовании равенства (1) необхо-
димо решать уравнение w,z,zf n =)( 1K для каждого C∈w . Если это урав-
нение имеет небольшое количество решений (примеры 3 и 4), равенство (1)
немедленно дает значение )(wBμ . Но прямое использование равенства (1)
весьма проблематично, если уравнение w,z,zf n =)( 1K имеет бесконечно
много решений (примеры 5 и 6), что особенно типично при 2≥n (при-
мер 6). Приводимая ниже теорема 1 (с предварительной технической лем-
мой) позволяет вычислять множества уровня нечеткого комплексного числа
B непосредственно по множествам уровня nAAA ,...,, 21 , минуя прямое ис-
пользование равенства (1).
Лемма 2. Пусть все множества уровня нечетких комплексных чисел
nAAA ,...,, 21 компактны и функция CC →nf : непрерывна на nC . Тогда
равенство (1) можно записать в виде
=μ )(wB
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≠∈∀
=∈∃
μμ
= =
∈
.),,(:),,(
если,0
;),,(:),,(
если)),(,),((minmax
11
11
1
),,(
:),,(
1
1
1
wzzfzz
wzzfzz
zz
n
n
n
n
n
n
nAA
wzzf
zz
n
n
n
n
KK
KK
K
K
K
C
CC
(2)
Доказательство. Необходимо доказать, что супремум в правой части
равенства (1) достигается и поэтому может быть заменен на максимум.
Пусть 0))(,),((min 11
=μμ nAA zz
n
K для любого набора n
nzz C∈),...,( 1
такого, что wzzf n =),,( 1 K . Тогда 0)( =μ wB и утверждение леммы спра-
ведливо. Аналогично, если wzzf n ≠),,( 1 K для любого набора ∈),...,( 1 nzz
nC∈ , также имеем 0)( =μ wB и утверждение леммы справедливо.
Наконец, пусть 0))(,),((min 11
>α=μμ nAA zz
n
K и wzzf n =),,( 1 K
для некоторого набора n
nzz C∈),,( 1 K . Тогда равенство (1) можно записать
в виде
))(,),((minsup)( 1
),,(
:)][][]([),,( 1
1
211
nAA
wzzf
AAAzz
B zzw
n
n
nn
μμ=μ
=
×××∈ ααα
K
K
LK
.
Поскольку множество αααα ×××= ][][][ 21 nAAAX L компактно в nC ,
а множество }),,(:),,{()( 11
1 wzzfzzwf n
n
n =∈=− KK C замкнуто вслед-
ствие непрерывности ,f получаем ограниченность и замкнутость (а значит
и компактность3) множества )(1 wfX −
α ∩ . Наконец, функция K),((min 11
zAμ
3 В конечномерном пространстве, в частности в nR и nC , компактность множества
эквивалентна его ограниченности и замкнутости, однако в бесконечномерных мет-
рических пространствах ограниченность и замкнутость являются лишь необходи-
мыми, но не достаточными условиями компактности.
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 130
))(, nA z
n
μK полунепрерывна сверху на nC и аналогично теореме Вейершт-
расса [12, 13] достигает максимума на компакте )(1 wfX −∩α . □
Теорема 1. Пусть все множества уровня нечетких комплексных чисел
nAAA ,,, 21 K компактны и CC →nf : непрерывна на nC . Тогда при
10 ≤α< множества уровня α][B равно образу множеств уровня
ααα ][,,][,][ 21 nAAA K :
== αααα )][,,][,]([][ 21 nAAAfB K
)}][][]([),,(:),,({ 2111 ααα ×××∈= nnn AAAxxxxf LKK .
Доказательство. Зафиксируем 10 ≤α< . Поскольку условия леммы 2
выполнены, можем, воспользовавшись равенством (2), записать эквивалент-
ность
( ) ⇔
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
α≥μ
α≥μ
=
∈∃⇔∈ α
.)(
;)(
;),,(
:),,(][ 1
1
1
1
nA
A
n
n
n
z
z
wzzf
zzBw
n
M
K
K C
( ))][,...,][,]([ 21 ααα∈⇔ nAAAfw ,
что доказывает утверждение теоремы. □
Пример 7. Рассмотрим нечеткие комплексные числа 1A и 2A
с функциями принадлежности
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
δ>−
δ≤−−
=μ δ
−
,,0
;,1)(
111
111
1 1
11
1 cz
czz
cz
A
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
δ>−
δ≤−−
=μ δ
−
,,0
;,1)(
222
222
2 2
22
2 cz
czz
cz
A
где C∈ic , 0>δi ( }2;1{∈i ). Поскольку все множества уровня 1A и 2A ком-
пактны, а отображение 2121 ),( zzzzf += непрерывно на 2C , для вычисле-
ния множеств уровня нечеткого комплексного числа 21 AAB += можем ис-
пользовать теорему 1. Для 1A и 2A имеем }- :{][ iii czzA δ≤∈=α C
})2;1{( ∈i и для B получаем:
})(- :{][][][ 212121 δ+δ≤+∈=+= ααα cczzAAB C ,
где 10 ≤α< . Теперь по виду α][B ( 10 ≤α< ) легко определить функцию
принадлежности нечеткого комплексного числа 21 AAB += :
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
δ+δ>+−
δ+δ≤+−δ+δ
+−
−=μ +
.)(,0
;)(,
)(
1)(
2121
2121
21
21
21
aaw
ccw
ccw
wAA
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким комплексным аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 131
Пример 8. Рассмотрим нечеткие комплексные числа 1A и 2A с функ-
циями принадлежности
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥=μ +
,0,0
;0,)(
1
111 1
1
1 x
xx
x
zA
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤=μ −
,0,0
;0,)(
2
212 2
2
2 x
xx
x
zA
0Re >= ii zx ( }2;1{∈i ).
Поскольку множества уровня нечетких комплексных чисел 1A и 2A
неограничены (а значит и некомпактны), условия теоремы 1 (как и леммы 2)
не выполнены. Применяя формулу (1) (см. также пример 6), получаем:
( ) 1,minsup))(),((minsup)( 11
),0max(
21
:),(
1
1
1
1
1
21
21
2
21
21
==μμ=μ −−
−
+
≥
=+
∈
+ xu
xu
x
xzzw
ux
AA
wzz
zz
AA
C
для всех C∈w , wu Re= . Заметим, что равенство ααα +=+ ][][][ 2121 AAAA ,
постулируемое теоремой 1, выполняется для всех )1;0(∈α , однако не вы-
полняется для 1=α : C=+ 121 ][ AA , ∅=+ 1211 ][][ AA .
Важным фактом для нечетких комплексных чисел является сохранение
полунепрерывности сверху для их функций принадлежности при непрерыв-
ном отображении. Докажем соответствующую теорему.
Теорема 2. Пусть nAAA ,,, 21 K — нечеткие комплексные числа с полу-
непрерывными сверху функциям принадлежности, все множества уровня
nAAA ,,, 21 K ограничены, функция CC →nf : непрерывна на nC
и ),,,( 21 nAAAfB K= . Тогда Bμ также полунепрерывна сверху.
Доказательство. Пусть функции
nAAA μμμ ,,,
21
K полунепрерывны
сверху. Тогда в соответствии с леммой 1 множества уровня
ααα ][,,][,][ 21 nAAA K замкнуты для любого ]1;0(∈α . По теореме 1 для про-
извольного 10 ≤α< имеем равенство )][,,][,]([][ 21 αααα = nAAAfB K , отку-
да вследствие непрерывности f и компактности множеств K,][,][ 21 αα AA
α][, nAK множество α][B также компактно (а значит и замкнуто). Таким об-
разом, все множества уровня нечеткого комплексного числа B замкнуты, и в
соответствие с леммой 1 функция Bμ полунепрерывна сверху. □
Аналог теоремы 1 доказан в работе [10] для действительных нечетких
чисел и непрерывной унарной функции )(xf , сохранение выпуклости при
операциях «+», «−» и «·» доказано, например, в работе [5].
Пример 9. Рассмотрим нечеткое комплексное число A с функцией при-
надлежности
⎩
⎨
⎧
δ>
δ≤−=μ δ
.||,0
;||,1)(
||
z
zz
z
A
Непосредственно из равенства (1) (см. также пример 4) найдем )(zAμ :
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
δ∉
δ∈
δ
−=μ
.)[0;,0
;)[0;,1)(
z
zz
zA
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 132
Отметим, что функция )(zAμ полунепрерывна сверху, но ненепрерыв-
на при непрерывной функции )(zAμ и непрерывном отображении zzf =)( .
Пример 10. Рассмотрим нечеткое комплексное число A с функцией
принадлежности 1)( =μ z ( C∈z ). Тогда функция
⎩
⎨
⎧
=
≠=μ 0 ,0
;0 ,1)( z
zzAe
не полу-
непрерывна сверху; теорема 2 не применима, так как множества уровня не-
четкого комплексного числа A неограничены.
Замечание 1. Теоремы 1 и 2 легко обобщить на случай, когда f непре-
рывна на nAAA suppsuppsupp 21 ××× L . Так, если функции принадлежно-
сти нечетких комплексных чисел 1A и 2A полунепрерывны сверху
и 2supp0 A∉ , то функция
2
1
A
Aμ также полунепрерывна сверху.
Замечание 2. Очевидно, что свойство нормальности сохраняется при
произвольном отображении: если нечеткие комплексные числа nAAA ,,, 21 K
нормальны и CC →nf : определено на nC , то ),,,( 21 nAAAf K также нор-
мально.
Замечание 3. В отличие от действительного случая [5, 10, 11] вы-
пуклость множеств уровня нечетких комплексных чисел при произ-
вольном непрерывном отображении может не сохраняться. Так, для
нечеткого комплексного числа с функцией принадлежности
⎩
⎨
⎧
π∉≠
π∈+==μ )2;0[Imили 1Re,0
);2;0[, 1z,1)( zz
titzA все множества уровня имеют вид
)}2;0[Im ,1Re : { π∈=∈ zzz C , т.е. выпуклы, однако для нечеткого комплекс-
ного числа
⎩
⎨
⎧
≠
π∈ϕ==μ
ϕ
1,0
);2;0[,,1)(
z
ezz
i
e A все множества уровня являются
окружностью }1 : { =∈ zz C , т.е. не выпуклы.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ НЕЧЕТКИХ КОМПЛЕКСНЫХ
ЧИСЕЛ. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
Вспомогательные утверждения
Докажем несколько утверждений, обобщающих известные факты из дейст-
вительного анализа на комплексный случай. Здесь все аналитические функ-
ции предполагаются однозначными.
Длина кривой в 2C , заданной аналитической функцией. Пусть
функция C→Df : аналитична на открытом множестве C⊂D . Тогда кри-
вую в 2C )))((),((: tzftzt aγ , Dtz ∈)( , ];[ 2;1 ttt∈ можно рассматривать как
кривую в 4R : )))(),(()),(),((),(),(( tytxvtytxutytxt a , где ,Im ,Re zyzx ==
,Re fu = fv Im= Обозначим через γ длину кривой γ .
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким комплексным аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 133
Лемма 3. Пусть )(tz дифференцируема для ];[ 21 ttt∈ .Тогда
∫ ′′+=
2
1
)())((1 2
t
t
dttztzfγ .
Доказательство. Используя формулу для длины кривой в nR , запи-
шем:
.))(())(())())(),((())())(),(((
)))()(),((())())(),((()( где ,)(
2222
22
2
1
tytxtytytxvtxtytxv
tytytxutxtytxutAdttA
yx
yx
t
t
′+′+′′+′′+
+′′+′′==γ ∫
Из условий Коши–Римана аналитичности f [14, 15] получаем
)))(())()(()1)))(),((()))(),(((()( 2222 tytxtytxvtytxutA xx ′+′+′+′= .
Наконец, учитывая равенство xx viuf ′+′=′ [14, 15], окончательно полу-
чаем
22 )()))((1()( tztzftA ′′+= ,
что доказывает утверждение леммы. □
Область определения обратной функции. Известно, что функция
C→Df : , аналитичная на открытом множестве C⊂D , обратима в некото-
рой окрестности точки Dz ∈0 тогда и только тогда, когда 0)( 0 ≠′ zf . При
этом, в отличие от функций на R , комплексная функция может не быть об-
ратимой на всей окрестности 0z , где 0)( 0 ≠′ zf . Так, функция zezf =)(
аналитична на C и 0)( ≠′ zf для всех C∈z , однако 1−f определена не на
всем C вследствие периодичности исходной функции: )2()( izfzf π+= .
Пусть Dz ∈0 и 0)( 0 ≠′ zf . Для оценки области определения 1−f , поль-
зуясь непрерывностью )(zf в D , выберем такое 0>r , что 0)( ≠zf при
rzz ≤−< 00 , и согласно теореме Вейерштрасса о функции, непрерывной
на компакте, можем ввести 0}||:)()({min 00 >=−−=μ rzzzfzf .
Лемма 4. Функция 1−f определена в круге })(:{ 0 μ<−= zfwwF
и }:{)( 0
1 rzzzEFf <−=⊂− .
Доказательство (основано на идее из работы [14, с. 210–213]). Функ-
ция )()( 0zfzf − имеет в E лишь один нуль: 0zz = . Зафиксируем F∈ξ
и рассмотрим функцию ξ−= )()(~ zfzf . Поскольку ≤μ<ξ−)( 0zf
)()( 0zfzf −≤ для rzz =− 0 , к функции ))(())()(()(~
00 ξ−+−= zfzfzfzf
применима теорема Руше: )(~ zf и )()( 0zfzf − имеют одинаковое количес-
тво нулей (ровно один нуль) внутри круга E . Таким образом, )(zf прини-
мает каждое значение F∈ξ в точности для одного Ez∈ и )(1 wf − опреде-
лена для каждого Fw∈ , причем Ewf ∈− )(1 .
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 134
Сходимость последовательности обратных функций
Рассмотрим последовательность функций C→Dfn : ( 1≥n ), аналитических
на открытом множестве C⊂D . Также предполагаем сходимость
)()(lim zfzfn
n
=
∞→
для всех Dz∈ , где функция C→Df : аналитична на
C⊂D . Зафиксировав Dz ∈0 , введем
0
0 )()()(
zz
zfzfz
−
−
=ϕ и =ϕ )(zn
0
0 )()(
zz
zfzf nn
−
−
= ( 1≥n ), доопределив )()( 00 zfz ′=ϕ и )()( 00 zfz nn ′=ϕ
( 1≥n ).
Лемма 5. Пусть 0>r и )()(lim zfzfn
n
=
∞→
, причем сходимость равно-
мерна на DrzzzE ⊂≤−= }||:{ 0 . Тогда )()(lim 00 zfzfn
n
′=′
∞→
, =ϕ
∞→
)(lim zn
n
)(zϕ= , причем сходимость )(znϕ ( 1≥n ) равномерна на E .
Доказательство. Сходимость )()(lim 00 zfzfn
n
′=′
∞→
легко получить,
применяя формулу Коши для производных [14, 15] и учитывая равно-
мерную на E сходимость )()(lim zfzfn
n
=
∞→
: =′−′ )()( 00 zfzfn
0))()((
2
1 →∫ ∞→
γ
−
π
=
nn dzzfzf
i
, где контур }2
1||:{ 0 rzzz =−=γ ориентирован
против часовой стрелки.
Заметим, что )()(lim zzn
n
ϕ=ϕ
∞→
для всех Ez∈ , причем сходимость рав-
номерна в любом кольце rzz ≤−<δ< ||0 0 . Равномерную на E сходимость
)()(lim zzn
n
ϕ=ϕ
∞→
в малой окрестности 0z можно доказать, рассмотрев раз-
ложение в ряд Тейлора ∑
∞
=
−+=
1
00
)(
0 ))((!
1)()(
k
kk
nnn zzzfkzfzf , δ<− || 0zz
при достаточно малом ];0( r∈δ . Тогда +′=ϕ )()( 0zfz nn
∑
∞
=
−−+
2
1
00
)( ))((!
1
k
kk
n zzzfk и, используя неравенство Коши для коэффициен-
тов ряда Тейлора [14, 15], ∑
∞
=
−−δ≤′−ϕ
2
1
00 ))(()()(
k
k
nnn zzMzfz , где
)(max)(
0
zfM n
zz
n
δ=−
=δ . Поскольку сходимость nf ( 1≥n ) на E равномерная,
существует конечное )(sup)(
1
δ=δ
≥
n
n
MM . Таким образом, для произвольного
0>ε можем выбрать δ<δ< 00 так, чтобы ε≤′−ϕ 3
1)()( 0zfz nn при
00 δ≤− zz для всех 1≥n , и такое 1≥N , что ε≤′−′
3
1)()( 0zfzf n при
00 δ≤− zz и Nn ≥ . Поскольку )()(lim zzn
n
ϕ=ϕ
∞→
( Ez∈ ) и =′
∞→
)(lim 0zfn
n
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким комплексным аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 135
)( 0zf ′= , переходим в неравенстве ε≤′−ϕ 3
1)()( 0zfz nn к пределу по
∞→n , получая ε≤′−ϕ 3
1
0 )()( zfz при 00 δ≤− zz . Окончательно
ε≤ϕ−′+′−′+′−ϕ≤ϕ−ϕ )()()()()()()()( 0000 zzfzfzfzfzzz nnnn
при 00 δ≤− zz и Nn ≥ , что завершает доказательство леммы. □
Лемма 6. Пусть 0)( 0 ≠′ zf , 0>r , сходимость )()(lim zfzfn
n
=
∞→
равно-
мерна на }||:{ 0 rzzzE ≤−= , 0)( ≠ϕ z при Ez∈ . Тогда найдется такое
1≥N , что I
∞
=
=
Nn
n EfW )( содержит некоторую окрестность 0W точки )( 0zf ,
определены }||:{: 00
1 rzzzEWfn <−=→− ( 1≥n ), причем =−
∞→
)(lim 1 wfnn
)(1 wf −= для всех 0Ww∈ .
Доказательство. В соответствие с леммой 4 функция 1−f определена
в круге })(:{ 0 μ<−= zfwwF , где 0}||:)()({min 00 >=−−=μ rzzzfzf ,
причем Ewf ∈− )(1 для всех Fw∈ . Вследствие компактности E и непреры-
вности )(zϕ и )(zf ′ на E существует |,)(({|min zϕ=δ 0}):)( >∈′ Ezzf и
(в соответствие с леммой 5) равномерной на E сходимости
)()(lim zzn
n
ϕ=ϕ
∞→
и сходимости )()(lim 00 zfzfn
n
′=′
∞→
можем выбрать такое
11 ≥N , что 02)( >δ≥ϕ zn и 02)( >δ≥′ zfn для всех 1Nn ≥ при Ez∈ .
Учитывая равномерную на E сходимость )()(lim zfzfn
n
=
∞→
, можем вы-
брать 12 NN ≥ так, что 03
2}||:)()({min 00 >μ≥=−− rzzzfzf nn для всех
2Nn ≥ . Наконец выберем 2NN ≥ так, что μ≤− 3
1)()( 00 zfzfn для всех
Nn ≥ . Теперь в соответствие с леммой 4 каждая 1−
nf ( Nn ≥ ) определена
в круге }3
2)(:{ 0 μ<−= zfwwF nn и можно выбрать <−= )(:{ 00 zfwwW
}3
1μ< , при этом FFW n ⊂⊂0 для всех Nn ≥ .
Введя 0ˆ Ww∈ , )ˆ(ˆ 1 wfz −= , )ˆ(1 wfz nn
−= и )ˆ(zfw nn = , для Nn ≥ полу-
чаем
,ˆ),ˆ()ˆ,(),ˆ(),ˆ()ˆ,ˆ()ˆ,(
)ˆ,ˆ()ˆ,()ˆ()ˆ( 11
wwwzwzwzwzwzwz
wzwzwfwf
nnnnnn
nn
−+−≤−+−=
=−=− −−
причем расстояние ),(),( 00 nn wzwz − в 2C можно, применяя лемму 3 для
функции )(1 wf − , ограничить длиной кривой )),(((: 00
1 wwtwft nn −+γ −a
))( 00 wwtw n −+ , ]1;0[∈t , соединяющей точки )ˆ),ˆ(()ˆ,( 1 wwfwz nn
−= и
))),((),ˆ( 1
nnnn wwfwz −= :
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 136
≤−−+′+=− ∫ −
1
0
21 )ˆ()))ˆ(ˆ()((1),ˆ()ˆ,( dtwwwwtwfwzwz nnnnn
wwn ˆ41 2 −
δ
+≤ .
Таким образом, для Nn ≥ окончательно имеем
)ˆ()ˆ(42ˆˆ41)ˆ()ˆ( 22
11 zfzfwwwwwfwf nnnn −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ
+=−+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ
+≤− −− ,
что, поскольку )ˆ()ˆ(lim zfzfn
n
=
∞→
, доказывает сходимость =−
∞→
)ˆ(lim 1 wfnn
)ˆ(1 wf −= . □
Сходимость функций принадлежности
Для функции C→Df : , аналитической на открытом множестве C⊂D , и
нечеткого комплексного числа A с носителем DA⊂supp введем обозначе-
ния:
)}.( функции разрыва точка :supp{
;}0)(:supp{
supp,
supp,
zzAzX
zfAzX
AAA
Af
μ−−∈=
=′∈=
Для нечеткого комплексного числа A с полунепрерывной сверху функ-
цией принадлежности и ограниченными множествами уровня и последова-
тельности аналитических функций C→Dfт : ( 1≥n ) получаем согласно
теореме 2 последовательность нечетких комплексных чисел )(AfA тn =
( 1≥n ), функции принадлежности которых полунепрерывны сверху.
Теорема 3. Пусть A — нечеткое комплексное число, все множества
уровня которого компактны; C→Dfn : ( 1≥n ) — последовательность фун-
кций, аналитичных на AD supp⊃ ; C→Df : — функция, аналитичная на
AD supp⊃ , и для любого компакта AK supp⊂ выполнены условия:
)()(lim zfzfn
n
=
∞→
, причем сходимость равномерна на K ;
для всех C∈w множество })(:{)(1 wzfKzKwf =∈=∩− конечно.
Тогда )()(lim )()( ww AfAf
n n
μ=μ
∞→
для любого ∪∈ AfXfw supp,(\C
),supp AAX∪ .
Доказательство. Зафиксируем произвольные ∪∈ AfXfw supp,0 (\C
),supp AAX∪ и 0>ε . Пусть ∅≠∩− Awf supp)( 0
1 , тогда ≠∩ α
−
0
][)( 0
1 Awf
∅≠ для некоторого 10 0 ≤α< . По условию
0
][)( 0
1
0 α
− ∩= AwfX конечно;
пусть },,,{ 210 kzzzX K= и U
k
j
jzzzX
1
,0 }||:{
=
δ δ≤−= для 0>δ . Поскольку
)(zAμ и )(zf ′ непрерывны в каждой точке 0Xz j ∈ , 0)( >μ jA z
и 0)( >′ jzf , можем выбрать такое 00 >δ , что 0)( >μ zA ,
ε≤μ−μ )()( zz AjA и 0)( >′ zf для любого
0,0 δ∈ Xz .
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким комплексным аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 137
Положим }:{ 0δ≤−= zzzX jj , )( jj XfW = для 0Xz j ∈ . Тогда в соот-
ветствие с леммой 6 найдутся I
k
j
jWW
1
0
=
⊂ и 11 ≥N , что для всех 1Nn ≥ оп-
ределена j
j
n XWf →−
0
,1 : , причем 00 Ww ∈ и )()(lim ,1,1 wfwf jj
nn
−−
∞→
= для
всех 0Ww∈ ; подчеркнем, что jf ,1− и j
nf
,1− ( 1≥n ) – обратные функции
к сужениям f и nf на jX Поскольку U
k
j
jzzzAX
1
00 }||:{\][~
0
=
α δ<−= ком-
пактно, 0|)(| 0 >− wzf для 0
~Xz∈ , а сходимость )()(lim zfzfn
n
=
∞→
равно-
мерна на 0
~X , выберем 12 NN ≥ так, что ≥− |)(| 0wzfn
0}~|)({min2
1
00 >∈−≥ Xzwzf для всех 0
~Xz∈ и 2Nn ≥ . Итак, каждое
уравнение 0)( wzfn = относительно z при 2Nn ≥ имеет на
0
][ αA ровно k
корней: )( 0
,1 wf j
n
− ( kj ≤≤1 ). Из равенства (1) получаем:
))((max)( 0
,1
1
0)( wfw j
nA
kj
Afn
−
≤≤
μ=μ при 2Nn ≥ ,
))((max)( 0
,1
1
0)( wfw j
A
kj
Af
−
≤≤
μ=μ .
Выбрав 2NN ≥ так, что 00
,1
0
,1
1
)()(max δ≤− −−
≤≤
wfwf jj
n
kj
при Nn ≥ ,
получаем: ε≤μ−μ )()( 0)(0)( ww AfAfn
для Nn ≥ , т.е. =μ
∞→
)(lim 0)( wAf
n n
)( 0)( wAfμ= .
Наконец, при ∅=∩− Awf supp)( 0
1 имеем, очевидно, 0)( 0)( =μ wAf .
Для произвольного 10 0 ≤α< вследствие компактности
0
][ αA существует
0|)(|min 0
][
0
>−=ε
α∈
wzf
Az
и с учетом равномерной сходимости
)()(lim zfzfn
n
=
∞→
на
0
][ αA можем выбрать N так, что 02
1|)(| 0 >ε≥− wzfn
для всех
0
][ α∈ Az и Nn ≥ . Таким образом, при Nn ≥ ∅=∩ α
−
0
][)( 0
1 Awfn
и из равенства (2) 00)( )( α<μ wAfn
. Вследствие произвольности 10 0 ≤α<
получаем, что 0)( 0)( =μ wAfn
при Nn ≥ , т.е. 0)()(lim 0)(0)( =μ=μ
∞→
ww AfAf
n n
.
Теорема полностью доказана. □
Пример 11. Рассмотрим нечеткое комплексное число A с функцией
принадлежности
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
δ>
δ≤
δ
−=μ
,,0
;,21)(
z
z
z
zA где 0>δ — фиксированная кон-
станта.
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 138
Рассмотрим последовательность функций
n
izzf
n
n +=)( ( 1≥n ). Оче-
видно, zzfzfn
n
==
∞→
)()(lim равномерно на }:{supp δ<= zzA . Непосред-
ственно из равенства (1) для
δ
> 1n получаем
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
δ>+
δ≤+
+
−=μ δ
.,0
;,1)( 2)(
n
iz
n
iz
n
iz
z
n
n
n
Afn
Поскольку ∅=AfX ,supp и }:{supp, δ=== zzX AA , теорема 3 гарантиру-
ет сходимость )()(lim )()( zz AfAf
n n
μ=μ
∞→
для всех C∈z , кроме zzf =)( при
δ=z . Заметим, что при δ=z предел )(lim )( zAf
n n
μ
∞→
не существует.
РЯД ТЕЙЛОРА С НЕЧЕТКИМ КОМПЛЕКСНЫМ АРГУМЕНТОМ:
СХОДИМОСТЬ ЧАСТИЧНЫХ СУММ
Пусть C→Df : — функция, аналитическая на непустом открытом множе-
стве C⊂D . Тогда для произвольного Dz ∈0 получаем разложение
∑
∞
=
−=
0
0
0
)(
)(!
)()(
k
k
k
zzi
zfzf , (3)
причем ряд (3) сходится равномерно в любом круге DrzzzE ⊂≤−= }:{ 0 .
Лемма 7. Пусть C∈c и уравнение czf =)( имеет бесконечно много
корней на DrzzzE ⊂≤−= }:{ 0 . Тогда czf =)( для всех Ez∈ .
Доказательство. Вследствие компактности E множество корней
уравнения czf =)( имеет на E предельную точку. Теперь, применяя тео-
рему о единственности [14, 15], получаем: czf =)( для всех Ez∈ . □
Пусть ∑
=
−=
n
k
k
k
n zzk
zfzS
0
0
0
)(
)(!
)()( ( 0≥n ) — частичные суммы ряда
в равенстве (3). Ясно, что равенство (3) означает сходимость
)()(lim zfzSn
n
=
∞→
.
Теорема 4. Пусть A — нечеткое комплексное число, все множества
уровня которого компактны, а носитель линейно связный; функция
C→Df : аналитична на непустом открытом множестве AD supp⊃ . Тогда
)()(lim )()( ww AfAS
n n
μ=μ
∞→
для любого ( )AAAf XXfw supp,supp,\ ∪∈C .
Доказательство. Заметим, что )()(lim zfzSn
n
=
∞→
и )()(lim zfzSn
n
′=′
∞→
,
причем обе сходимости равномерны в любом круге ⊂≤−= }||:{ 0 rzzzE
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким комплексным аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 139
Asupp⊂ . Пусть для некоторого ∪∈ AfXfw supp,0 (\C ),supp AAX∪ и
AE supp⊂ множество Ewf ∩− )( 0
1 бесконечно. Тогда по лемме 7 имеем
czf =)( для всех Ez∈ , а в силу единственности аналитического продол-
жения – для всех Az supp∈ , и утверждение теоремы очевидно. Если же
множество Ewf ∩− )( 0
1 конечно для всех )(\ supp,supp,0 AAAf XXfw ∪∈C
и AE supp⊂ , выполнены все условия теоремы 3, откуда следует требуемое
равенство )()(lim )()( ww AfAS
n n
μ=μ
∞→
. Теорема полностью доказана. □
Пример 12. Рассмотрим нечеткое комплексное число A с функцией
принадлежности
⎩
⎨
⎧
>
≤−
=μ
,1,0
;1,1
)(
z
zz
zA и функцию zzf
−
= 1
1)( . Непосред-
ственно из равенства (1) найдем
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<≤∞−
≥
−
−
=μ
.2
1Re,0
;2
1Re,
1
1
)()(
z
z
z
z
zAf
Область аналитичности )(zf включает }1:{supp <= zzA и разложе-
ние в ряд Тейлора при 00 =z имеет вид ∑
∞
=
=
0
)(
i
izzf ; ряд сходится при
1<z . Частичные суммы ∑
=
=
n
i
i
n zzS
0
)( при 1≠z представимы в виде
z
zxS
n
n −
−=
+
1
1)(
1
. Так как )(zAμ непрерывна на C и 0)( ≠′ zf для Az supp∈
(и даже для C∈z ), теорема 4 гарантирует сходимость =μ
∞→
)(lim )( zAS
n n
)(
1
1 z
A−
μ= для всех C∈z . Следует отметить, что )(supp]5,0;0( ASn⊂ по
крайней мере для всех 12 += kn ( 0≥k ), хотя }5,0Re:{)(supp >= zzAf .
В таблице приведен ряд значений )5,0(
nSμ , демонстрирующий сходимость
0)5,0(lim )( =μ
∞→
AS
n n
.
Значения )5,0(
nSμ
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
)5,0(
nSμ 0,50 0,00 0,35 0,00 0,28 0,00 0,24 0,00 0,20 0,00 0,18 0,00 0,16 0,00 0,15 0,00 0,14 0,00 0,13 0,00
ВЫВОДЫ
1. Для функциональной комплекснозначной последовательности
)(zfn , сходящейся к )(zf , и нечеткого комплексного аргумента A пред-
ставлены достаточные условия сходимости функций )()( zAfn
μ во всех точ-
ках, кроме образов точек разрыва )(zAμ и нулей )(zf ′ . Принципиальным
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 140
является условие конечности количества решений уравнения wzf =)( от-
носительно z для всех C∈w в любом круге Azzz supp:{ 0 ⊂− .
2. Для аналитической функции )(zf представлены достаточные усло-
вия сходимости функций )()( zASn
μ , где )(zSn — частичные суммы ряда
Тейлора для )(zf . При этом для любой нетривиальной аналитической )(zf
уравнение wzf =)( относительно z для всех C∈w в любом круге
Azzz supp:{ 0 ⊂− всегда имеет лишь конечное количество решений.
3. Темой дальнейшего исследования предполагается возможность вос-
становления )()( zAfμ для всех C∈z с использованиям полунепрерывности
)()( zAfμ сверху.
ЛИТЕРАТУРА
1. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной инфор-
мации / С.А. Орловский. — М.: Наука, 1981. — 208 с.
2. Аверкин А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного ин-
теллекта / А.Н. Аверкин, И.3. Батыршин, А.Ф. Блишун и др., под ред.
Д.А. Поспелова. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 312 с.
3. Passino Kevin M. Fuzzy Control / Kevin M. Passino, Stephen Yurkovich. — Addi-
son Wesley Longman, Menlo Park, CA, 1998. — 522 p.
4. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию
приближенных решений / Л.А.Заде. — М.: Мир, 1976. — 176 с.
5. Mizumoto M. Algebraic Properties of Fuzzy Numbers / M. Mizumoto, K. Tanaka //
Proceedings of IEEE International Conference on Cybernetics and Society. —
1976. — P. 559–563.
6. Delgado M. Fuzzy Numbers, Definitions and Properties / M. Delgado, J.L. Verdegay,
M.A. Vila // Mathware & Soft Computing 1. — 1994. — N 1 (1). — P. 31–43.
7. Dubois D. Fuzzy Real Algebra: Some Results / D. Dubois, H. Prade // Fuzzy Sets
and Systems. — 1979. — N 4 (2). — P. 327–348.
8. Buckley J.J. Fuzzy Complex Numbers / J.J. Buckley // Fuzzy Sets and Systems. —
1989. — N 33. — P. 333–345.
9. Dong Qiu. Notes on fuzzy complex analysis / Dong Qiu, LanShu, Zhi-WenMo //
Fuzzy Sets and Systems. — 2009. — N 160. — P. 1578–1589.
10. Inaida J. Taylor Series on the Fuzzy Number Space / J. Inaida // Special Issue on
Biometrics And Its Applications. — 2010. — N 16 (1). — P. 15–25.
11. 1. Спекторский И.Я. Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким
аргументом / И.Я. Спекторский // Системні дослідження та інформаційні
технології. — 2014. — № 2. — С. 125–140.
12. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. —
3 изд. — М.: Наука, 1974. — 480 с.
13. Кадец В.М. Курс функционального анализа / В.М. Кадец. — Х.: Харьк. нац. ун-т
им. В.Н. Каразина, 2006. — 607 с.
14. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В.Шабат. — М.: Наука,
1985. — Ч. 1. — 336 с.
15. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций /
А.И. Маркушевич. — М.: Наука, 1978. — 416 с.
Поступила 03.02.2016
|
| id | journaliasakpiua-article-59886 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:19:56Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/32/97a1996d4382138dc44ae568dde5ff32.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-598862018-03-30T15:27:05Z Functional sequences and Taylor series with a fuzzy complex number as an argument Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким комплексным аргументом Послідовності функцій і ряди Тейлора з нечітким комплексним аргументом Spectorsky, Igor Ya. fuzzy complex number functional sequence convergence нечеткое комплексное число функциональная последовательность сходимость нечітке комплексне число функціональна послідовність збіжність This article considers functional sequences ƒn(A) with fuzzy complex number A for an argument. The convergences limn→∞ƒ'n(z)=ƒ(z) and limn→∞ƒ'n(x)=ƒ'(x) are assumed to be uniform inside each circle supp A. Due to analyticity, the conditions of point-wise convergence of derivatives and finiteness of the number of solutions for equation ƒ(z)=w with respect to z for each w inside each circle supp A are satisfied. The paper proposes the sufficient conditions for the convergence ƒn(A) in the sense that the sequence of membership functions μƒn(A)(w) converges point-wise. The convergence limn→∞μƒn(A)(w)=μƒ(A)(w) is proved for all points w∈X, except such w=ƒ(z), that z is a discontinuity point of μA(z), or ƒ'(z)=0. As a particular case of a sequence ƒn(A), the generalization of Taylor series ƒ(z)=∑i=0∞ƒ(i)(z0)/i!(z-z0)i is considered for an analytical function ƒ(z) for the case of fuzzy complex argument z=A. The convergence of the series is considered in the sense of point-wise convergence of the partial sum μSn(A)(w), where Sn(z)=∑i=0∞ƒ(i)(z0)/i!(z-z0)i. Рассмотрены функциональные последовательности ƒn(A) комплексных аналитических функций с нечетким комплексным числом A в качестве аргумента; предполагается сходимость limn→∞ƒ'n(z)=ƒ(z) и limn→∞ƒ'n(x)=ƒ'(x) как равномерная на каждом круге внутри supp A. Вследствие аналитичности выполняются требования поточечной сходимости производных, а также конечности числа решений уравнения ƒ(z)=w относительно z для каждого w на каждом круге внутри supp A. Предложены достаточные условия сходимости ƒn(A) как поточечной сходимости последовательности функций принадлежности μƒn(A)(w): доказана сходимость limn→∞μƒn(A)(w)=μƒ(A)(w) в точках w∈X, кроме таких w=ƒ(z), что z — точка разрыва μA(z), либо ƒ'(z)=0. Как частный случай последовательности ƒn(A) рассмотрено обобщение конструкции ряда Тейлора ƒ(z)=∑i=0∞ƒ(i)(z0)/i!(z-z0)i для аналитической функции ƒ(z) для случая нечеткого комплексного аргумента z=A. Сходимость ряда рассмотрена как поточечная сходимость последовательности функций принадлежности частичных сумм μSn(A)(w), где Sn(z)=∑i=0∞ƒ(i)(z0)/i!(z-z0)i. Розглянуто функціональні послідовності ƒn(A) комплексних аналітичних функцій з нечітким комплексним числом A як аргументом; припускається збіжність limn→∞ƒ'n(z)=ƒ(z) і limn→∞ƒ'n(x)=ƒ'(x) як рівномірна на кожному крузі всередині supp A. Унаслідок аналітичності виконуються умови поточкової збіжності похідних, а також скінченності кількості розв’язків рівняння ƒ(z)=w відносно z для кожного w на кожному крузі всередині supp A. Запропоновано достатні умови збіжності ƒn(A) як поточкової збіжності послідовності функцій належності μƒn(A)(w): доведено збіжність limn→∞μƒn(A)(w)=μƒ(A)(w) у точках w∈X, окрім таких w=ƒ(z), що z — точка розриву μA(z), або ƒ'(z)=0. Як окремий випадок послідовності ƒn(A) розглянуто узагальнення конструкції ряду Тейлора ƒ(z)=∑i=0∞ƒ(i)(z0)/i!(z-z0)i для аналітичної функції ƒ(z) на випадок нечіткого аргумента z=A. Збіжність ряду розглянуто як поточкову збіжність послідовності функцій належності часткових сум μSn(A)(w), де Sn(z)=∑i=0∞ƒ(i)(z0)/i!(z-z0)i. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2016-06-21 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59886 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.12 System research and information technologies; No. 2 (2016); 125-140 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2016); 125-140 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2016); 125-140 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59886/71661 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | нечітке комплексне число функціональна послідовність збіжність Spectorsky, Igor Ya. Послідовності функцій і ряди Тейлора з нечітким комплексним аргументом |
| title | Послідовності функцій і ряди Тейлора з нечітким комплексним аргументом |
| title_alt | Functional sequences and Taylor series with a fuzzy complex number as an argument Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким комплексным аргументом |
| title_full | Послідовності функцій і ряди Тейлора з нечітким комплексним аргументом |
| title_fullStr | Послідовності функцій і ряди Тейлора з нечітким комплексним аргументом |
| title_full_unstemmed | Послідовності функцій і ряди Тейлора з нечітким комплексним аргументом |
| title_short | Послідовності функцій і ряди Тейлора з нечітким комплексним аргументом |
| title_sort | послідовності функцій і ряди тейлора з нечітким комплексним аргументом |
| topic | нечітке комплексне число функціональна послідовність збіжність |
| topic_facet | fuzzy complex number functional sequence convergence нечеткое комплексное число функциональная последовательность сходимость нечітке комплексне число функціональна послідовність збіжність |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59886 |
| work_keys_str_mv | AT spectorskyigorya functionalsequencesandtaylorserieswithafuzzycomplexnumberasanargument AT spectorskyigorya posledovatelʹnostifunkcijirâdytejlorasnečetkimkompleksnymargumentom AT spectorskyigorya poslídovnostífunkcíjírâditejloraznečítkimkompleksnimargumentom |