Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору
In this work, the models of linear parametric systems of ordinary differential equations with variable measurability of phase space are investigated. The theorems about the practical stability of linear parametrical systems with variable measurability are proved. It is important that the reverse the...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/85450 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866301827120627712 |
|---|---|
| author | Garashenko, Fedir G. Soproniyk, Olga L. |
| author_facet | Garashenko, Fedir G. Soproniyk, Olga L. |
| author_sort | Garashenko, Fedir G. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:27:13Z |
| description | In this work, the models of linear parametric systems of ordinary differential equations with variable measurability of phase space are investigated. The theorems about the practical stability of linear parametrical systems with variable measurability are proved. It is important that the reverse theorem about practical stability of indicated systems is obtained. The algorithms and criteria of analysis of practical stability of linear parametrical systems with variable measurability of phase space at the presence of constantly occurring perturbations are shown. The matrix equations of sensitivity of linear parametrical systems with variable measurability of the phase space are researched. It was investigated that on the basis of methods of practical stability and conditions which satisfied sensitivity matrices it was possible to effectively find the estimations of parameters for an analysis of the system sensitivity with variable measurability of the phase space. Results of given investigations can be successfully applied in the tasks of digital data processing and pattern recognition. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.3.08 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ф.Г. Гаращенко, О.Л. Сопронюк, 2016
86 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 681.5.07
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.3.08
АНАЛІЗ ПРАКТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ ТА ЧУТЛИВОСТІ
ЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ЗІ ЗМІНОЮ
ВИМІРНОСТІ ФАЗОВОГО ПРОСТОРУ
Ф.Г. ГАРАЩЕНКО, О.Л. СОПРОНЮК
Анотація. Розглянуто моделі лінійних параметричних систем звичайних ди-
ференціальних рівнянь зі змінною вимірністю фазового простору. Доведено
теореми про практичну стійкість лінійних параметричних систем зі змінною
вимірністю. Важливою є отримана обернена теорема про практичну стійкість
вказаних систем. Наведено алгоритми та критерії аналізу практичної стійкості
лінійних параметричних систем зі змінною вимірністю фазового простору за
наявності постійно діючих збурень. Отримано матричні рівняння чутливості
таких систем. Показано, що на основі методів практичної стійкості та умов, які
задовольняють матриці чутливості, можна ефективно знаходити оцінки пара-
метрів для аналізу чутливості систем зі змінною вимірністю фазового просто-
ру. Результати роботи придатні для успішного застосування в задачах цифро-
вого оброблення інформації та розпізнавання образів.
Ключові слова: практична стійкість, чутливість динамічних систем, системи
із застосуванням розмірності фазового простору.
ВСТУП
Задачі аналізу параметрів моделей функціонування різноманітних систем
постають у різних прикладних галузях. Тут можемо навести моделі медич-
ної діагностики, хімічної промисловості, моделі оцінювання екологічного
стану, радіолокації та багато інших, що потребують методик вибору парамет-
рів, які б дозволили в реальному часі розпізнавати певні особливості дослі-
джуваних процесів. Важливими виявляються такі зміни параметрів, які зу-
мовлюють певну властивість стійкості вказаних систем. Одним із підходів
до розв’язання проблеми є методи практичної стійкості. Вони дозволяють
з єдиних позицій підійти до проблеми аналізу чутливості динамічних систем
і отримати ефективні критерії оцінювання параметрів.
У роботі вивчається модель, яка змінює вимірність фазового простору
у певні моменти часового параметра і на кожному інтервалі описується сис-
темою звичайних диференціальних рівнянь. Для цієї моделі отримано мат-
ричні рівняння чутливості і запропоновано використовувати оптимальні
оцінки у класі еліпсоїдів, що виводяться за допомогою методів практичної
стійкості параметричних систем.
Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 87
Мета роботи — розроблення ефективних алгоритмів аналізу й оціню-
вання параметрів моделей систем зі зміною вимірності фазового простору
на основі методів практичної стійкості.
ОПИС ЛІНІЙНИХ ПАРАМЕТРИЧНИХ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ЗІ ЗМІНОЮ ВИМІРНОСТІ
ФАЗОВОГО ПРОСТОРУ
Нехай задано розбиття },...,,{ 21 N , ),[ 1 iii tt , 1,1 Ni ,
],[ 1 NNN tt відрізка ],[ 10 TT [1], тобто 112100 ... TttttTt NN ,
— вектор параметрів розмірності m , що вибирається з деякої множини
G ( G0 ).
На відрізку ],[ 10 TT із заданим розбиттям розглянемо динамічну сис-
тему, яка залежить від векторного параметра :
)(),()(
),( )(
)(
tBtxtA
dt
tdx
i
i
i
i
, G , it , Ni ,1 (1)
за умов зміни вимірності фазового простору
ii
i
ii
i DtxCtx ),0(),( 1
)1(
1
)( , G , 1,1 Ni . (2)
У співвідношенні (1) )(tAi — квадратні матриці порядку in ; )(tBi —
прямокутні матриці розмірності mni , для яких розв’язок системи (1) існує
і єдиний для всіх it ; ),()( tx i — вектор фазового стану системи (1) роз-
мірності in ; — вектор параметрів розмірності m , а у (2) iC — матриці
розмірності ii nn 1 , причому 11 EC , 1E — одинична матриця розмірнос-
ті 11 nn і матриці iC такі, що 0)det( i
T
i CC ; iD — матриці розмірності
mni 1 і, крім цього, 1D — нульова матриця розмірності mn 1 .
Легко показати, що за умов, які задовольняють сталі матриці iC і iD ,
розв’язок системи (1), (2) існує і єдиний.
Систему (1) за умов (2) називатимемо лінійною системою, яка змінює
вимірність фазового простору в моменти it , 1,1 Ni .
ТЕОРЕМИ ПРО ПРАКТИЧНУ СТІЙКІСТЬ ЛІНІЙНИХ ПАРАМЕТРИЧНИХ
СИСТЕМ ЗІ ЗМІНОЮ ВИМІРНОСТІ ФАЗОВОГО ПРОСТОРУ
На відрізку ],[ 10 TT із заданим розбиттям розглянемо лінійну динамічну
систему (1) за умов (2), яка залежить від векторного параметра .
Означення 1. Незбурений рух 0)0,()( tx i , it , Ni ,1 системи (1) за
умов (2) назвемо },,,1,,,,{ 0
)(
00
)1(
0 TTNitGG i
i
t
x
— стійким, якщо
)()( ),( i
t
i tx при it , Ni ,1 за початкових умов
)1(
0
00
)1( ),(
x
Gtx
і будь-яких
GG0 .
Ф.Г. Гаращенко, О.Л. Сопронюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 88
В означенні 1 множина
0G ( 00 G ) — це множина допустимих значень
параметрів, які використовуються для аналізу практичної стійкості [2, 3].
Теорема 1. Якщо для системи (1) за умов (2) знайдуться додатно визна-
чені функції Ляпунова ),),,(( )( ttxV i
i , які задовольняють умови
)()()( }1),,,(:{ i
t
i
i
i ttxVx , 0G , it , Ni ,1 ; (3)
0
),),,((
)2(),1(
)(
dt
ttxdV i
i (4)
при
}1),),,((:{ )()()( ttxVxx i
i
ii , 0G , it , Ni ,1 ;
для будь-якого }1,...,2,1{ Ni
0),),,((),),,(( )(
1
)( ii
i
iii
i
i ttxVttxV , 0G ; (5)
}1),),,((:{ )1(
1
)1(
0
)1(
0 ttxVxG
x
, 0G , (6)
то незбурений рух 0),()( i
i tx , it , Ni ,1 системи (1), (2)
},,,1,,,,{ 10
)(
00
)1(
0 TTNitGG i
i
t
x
— стійкий.
Доведення (від супротивного). Нехай виконуються умови (3)–(6) тео-
реми 1, але знайдеться Ni 01 і таке значення
0i
t , за якого траєкторія
системи, яка відповідає параметру 0G , не належить множині )( 0i
t , тобто
)()( 00 ),( i
t
i tx . Можуть бути два випадки: а) 10 itt або б) ),(
00 1 ii ttt .
У випадку а) отримуємо, що 1),),,(( 11
)(
00
0
0
ii
i
i ttxV . Оскільки для
всіх t ,
0i
t , маємо 1),),,(( 11
)(
00
0
0
ii
i
i ttxV , то порушується умова (5).
У випадку б) з умови (3) і неперервності функції Ляпунова
),),,(( )( 0
0
ttxV i
i у точці t випливає нерівність 1),),,(( 11
)(
00
0
0
ii
i
i ttxV .
Розглянемо різницю
),),,((),),,(( 00
)1(
1
)( 0
0
ttxVttxV i
i , яку запишемо у вигляді
),),,((),),,(( 00
)1(
1
)( 0
0
ttxVttxV i
i
),),,((),),,(( 11
)()(
00
0
0
0
0 ii
i
i
i
i ttxVttxV
),),,((),),,(( 11
)1(
111
)(
00
0
000
0
0 ii
i
iii
i
i ttxVttxV
),),,((),),,(( 22
1
111
)1(
1 00
0
000
0
0 ii
i
iii
i
i ttxVttxV
Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 89
),),,((),),,(( 22
)2(
222
)1(
1 00
0
000
0
0 ii
i
iii
i
i ttxVttxV
),),,((),),,(( 22
)3(
333
)3(
3 ttxVttxV
),),,((),),,(( 22
)3(
222
)3(
3 ttxVttxV
),),,((),),,(( 11
)2(
222
)2(
2 ttxVttxV
),),,((),),,(( 11
)1(
111
)2(
2 ttxVttxV
),),,((),),,(( 00
)1(
111
)1(
1 ttxVttxV .
Ураховуючи (5), маємо
),),,((),),,(( 00
)1(
1
)( 0
0
ttxVttxV i
i
1
1 )4(),3(
)1(
1
)4(),3(
)(0
101
),),,((),),,((i
j
t
t
t
t
j
j
i
j
j
dt
dt
ttxdV
dt
dt
ttxdV
.
Звідси на підставі умови (4) маємо ),),,(( )( 0
0
ttxV i
i
0),),,(( 00
)1(
1 ttxV , а отже, 1),),,(( 00
)1(
1 ttxV , що суперечить умові
(6) теореми. Тому таке припущення неправильне.
Теорема 1 доведена.
Нехай початкові умови для системи (1) за умов (2) вибираються з мно-
жини }),(),(:{ 2
0
1
0
)1()1(
0
)1(
0 ctHxtxxG Tx
, де H — симетрична додат-
но визначена матриця.
Означення 2. Незбурений рух 0)0,()( tx i , it , Ni ,1 системи (1) за
умов (2) називатимемо },,,1,,,,,{ 10
)(
0 TTNitGHc i
i
t — стійким, якщо
)()( ),( i
t
i tx при it , Ni ,1 для будь-яких початкових умов з множини
}),(),(:{ 2
0
1
0
)1()1(
0
)1(
0 ctHxtxxG Tx
для всіх
GG0 .
Теорема 2. Якщо для системи (1), (2) знайдуться додатно визначені
функції Ляпунова ),),,(( )( ttxV i
i , Ni ,1 , які задовольняють умови (3)–5) і
}1),),,((:{}),(),(:{ 00
)1(
1
)1(2
0
)1(
0
)1()1( ttxVxctHxtxx T , (7)
то незбурений рух 0),()( tx i , 0G , it , Ni ,1 , системи (1), (2)
},,,1,,,,,{ 100 TTNitGHc i
i
t — стійкий.
Теорему 2 легко довести за схемою доведення теореми 1.
Покажемо, що для системи (1) за умов (2) можна знайти функцію Ля-
пунова.
Ф.Г. Гаращенко, О.Л. Сопронюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 90
Теорема 3. Якщо існує однозначна, неперервна, додатно визначена фу-
нкція )( )1(xW така, що множина }1)(:{ )1()1(
0
)1(
xWxG x , то функції Ляпу-
нова для системи (1) за умов (2), що задовольняють усі вимоги теореми 1,
можна побудувати так:
))),,(,,((),),,(( 0
)1()( txttxWttxV ii
i , Ni ,1 ,
де
)(),(),()),,(,,( )(
1
1
1,1
)(
0
)1( txttXttUtxttx i
iiii
i
dssBstXttXttU
t
t
iiiiii
i 1
)(),(),(),( 1
1
11,1
i
j
jjj
t
t
jjj
i
j
jjjjj DttUdssBstXttXttU
j
j 2
1,1
1
1
1
1
1,1 ),()(),(),(),(
1
розв’язок системи (1), (2), який набуває значення )(ix у момент it , а
...))(,())(,(),( 2
1
221
1
11
1
111
1
,
T
kk
T
kkkk
T
kk
T
kkkkjkjk CCCttXCCCttXttU
T
jj
T
jjjj CCCttX 1
21
1
1 ))(,(...
,
),()(
),(
1
1
iii
ii ttXtA
dt
ttdX
, iiii EttX ),( 11 (8)
нормована за моментом 1it , Ni ,1 фундаментальна матриця задачі Ко-
ші (8).
Доведення. Для доведення теореми потрібно перевірити умови (3)–(6).
Умова (3) виконується, оскільки }1),),,((:{ )()( ttxVx i
i
i
}1)(:{ 1)1( xWx і ця множина належить )(i
t , it , Ni ,1 . Умова (4)
теж виконується, бо
0
),),,((
)2(),1(
)(
dt
ttxdV i
i ,
}1),),,((:{ )()( ttxVxx i
i
ii , 0Ga , it , Ni ,1 .
Оскільки для будь-якого }1,...,2,1{ Ni
0),),,((),),,(( )(
1
)( ii
i
iii
i
i ttxVttxV , 0Ga ,
то виконується й умова (5). За такого вибору функції Ляпунова умова (6)
також справджується.
Теорему доведено.
Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 91
АЛГОРИТМИ АНАЛІЗУ ПРАКТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ ЛІНІЙНИХ
ПАРАМЕТРИЧНИХ СИСТЕМ ЗІ ЗМІНОЮ ВИМІРНОСТІ ФАЗОВОГО
ПРОСТОРУ
Для побудови алгоритмів аналізу практичної стійкості лінійної системи (1)
за умов (2) запропонуємо критерій, який ґрунтується на певних припущен-
нях щодо як областей початкових умов і параметрів, так і конкретних
обмежень [3–6] на динаміку фазових станів указаної системи. Нехай
),( 1ii ttX — матричний розв’язок задачі Коші (8). Позначимо:
jjjjiiiiiiijij CttXCttXCttXttW ),(...),(),(),( 112111 . (9)
Тоді розв’язок системи (1) за умов (2), який задовольняє початкову умову
)1(
00
)1( )( xtx , матиме вигляд
dssBstXxttWtx i
t
t
iii
i
i
)(),(),()(
1
1
011
)(
1
1
11 )(),(),(
1
i
j
j
t
t
jjjij dssBstXttW
j
j
i
j
jjij DttW
1
11 ),( , it , Ni ,1 . (10)
Щоб отримати числові оцінки областей практичної стійкості системи
(1) за умов (2), множини початкових умов та параметрів задамо у вигляді
}),(),(:{ 2
0
)1(
0
)1()1(
0
)1(
ctHxtxxG Tx , }:{ 2
0
cHG T , (11)
де ,H H — додатно визначені матриці; ,c c — деякі додатні сталі.
Розглянемо також конкретні динамічні обмеження
},...,2,1,1)()(:{ )()()()(
ii
iTi
s
ii
t Nstxtlx
i
, it , Ni ,1 , (12)
де )()( tl Ti
si
, },...,2,1 ii Ns — відомі вектори, it , Ni ,1 .
Якщо введемо позначення 011
)( ),()( xttWtz i
i ,
dssBstXta i
t
t
ii
i
i
)(),(),(
1
)(
j
j
t
t
jjj
i
j
jij dssBstXttW
1
)(),(),(
1
1
11
j
i
j
jij DttW
1
11 ),( , Ni ,1 ,
то на підставі (10) можемо записати
)()( tx i )()( tz i ),()( ta i , it , Ni ,1 .
Ф.Г. Гаращенко, О.Л. Сопронюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 92
Критерій 1. Для того, щоб система (1), (2) була ,,,,,{ )(i
tHcHc
},1`, Nit i — стійкою, необхідно і достатньо, щоб виконувалися нерів-
ності
)())()((
)),()(1(
minminminmin
)(1)(
2)()(
}:{,...,2,1),(,...,2,1
2
21 tltQtl
tatl
c
i
si
Ti
s
iTi
s
cHNstttNi
ii
i
Tiiii
, (13)
1),()()( tal iTi
si
. (14)
Тут ),(),()( 01
1
01
1 ttWHttWtQ T
iii
виражається через матриці ),( 01 ttWi ,
it , які можна знайти за формулою (9), поклавши 1j .
Доведення. Запишемо розв’язок (1), (2) у вигляді (12) і подамо умову
Nittx i
i
t
i ,1,,)( )()( таким чином:
)()( tz i )(),(1:)({ )()()()()( tzltaltz iTi
s
iTi
s
i
ii
)},(1 )()( tal iTi
si
, it , Ni ,1 .
Визначаючи екстремуми лінійних форм )()()( tzl iTi
si
на еліпсоїдах
2)(1)( ))())()((( ctltQtl i
si
Ti
s ii
, it , ii Ns ,...,2,1 , Ni ,1 , отримуємо справе-
дливість (13), (14).
КРИТЕРІЇ ПРАКТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ ЛІНІЙНИХ ПАРАМЕТРИЧНИХ
СИСТЕМ ЗІ ЗМІНОЮ ВИМІРНОСТІ ФАЗОВОГО ПРОСТОРУ ЗА
ПОСТІЙНО ДІЮЧИХ ЗБУРЕНЬ
Розглянемо тепер задачу практичної стійкості лінійної системи зі зміною
вимірності фазового простору, яка залежить від параметрів та постійно дію-
чих збурень
)()(),()(
),( )()(
)(
tftBtxtA
dt
tdx i
i
i
i
i
, Ga , it (15)
за умов (2).
Тут )(tAi , )(tBi , itt , Ni ,...,2,1 — матриці з інтегровани-
ми елементами відповідних розмірностей; )0(()( 1
)(
1
)( i
i
i
i txtx ; функції
)()( tf i , it , itt або відомі, інтегровані і мають розмірності in , Ni ,1 ,
або невідомі, але обмежені за нормою
,)()(
1
1
)()(
1
i
q
t
t
q
q
n
j
qi
j
i Rdssftf
i
i
ii
i
(16)
Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 93
де iqq 1,1 , ii Rtt , — відомі числа, Ni ,1 .
Нехай ),( 1ii ttX — матричний розв’язок задачі Коші (8), матриці
),( jij ttW мають вигляд (9). Тоді розв’язок системи (15) за умов (2), який
задовольняє початкову умову )1(
00
)1( )( xtx , можна знайти за формулою
dssBstXxttWtx i
t
t
iii
i
i
)(),(),()(
1
1
011
)(
1
1
11 )(),(),(
1
i
j
j
t
t
jjjij dssBstXttW
j
j
dssfstXttW i
t
t
iiiii
i
)(),(),( )(
11
1
1
1
)(
11 )(),(),(
1
i
j
j
t
t
jjjij dssfstXttW
j
j
i
j
jjij DttW
1
11 ),( , it , Ni ,1 . (17)
Щоб отримати числові оцінки областей практичної стійкості системи
(15), (2), задамо множини початкових умов і параметрів у вигляді (11) і роз-
глянемо динамічні обмеження (12).
Подамо розв’язок системи (15) за умов (2) у вигляді (17) і запишемо
умову того, що траєкторії системи належать множині ,)(i
t it так:
)},()(1)()(),()(1:)({)( )()()()()()()()( tatltztltatltztz iTi
s
iTi
s
iTi
s
ii
iii
, (18)
де ii Ns ,...,2,1 , 011
)( ),()( xttWtz i
i ,
dssBstXta i
t
t
ii
i
i
)(),(),(
1
)(
j
j
t
t
jjj
i
j
jij dssBstXttW
1
)(),(),(
1
1
11
dssfstXttW i
t
t
iiiii
i
)(),(),( )(
11
1
j
i
j
jij
t
t
j
jj
i
j
jij DttWdssfstXttW
j
j 1
11
)(
1
1
11 ),()(),(),(
1
, Ni ,1 . (19)
Зрозуміло, що співвідношення (18) досягаються, якщо виконуються
умови
)()(max 1
)()(
})(:{ 2)()()()(
tLztl
iii
i
Tiii
s
iTi
s
cztQzzz
, it , ii Ns ,...,2,1 , Ni ,1 ,
)()(min 2
)()(
})(:{ 2)()()()(
tLztl
iii
i
Tiii s
iTi
s
cztQzzz
, it , ii Ns ,...,2,1 , Ni ,1 ,
Ф.Г. Гаращенко, О.Л. Сопронюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 94
а вектори )(1 tL
is , )(2 tL
is мають відповідно вигляд 1)(1 tL
is
),()( )()( tatl iTi
si
, ),()(1)( )()(
2 tatltL iTi
ss ii
.
Ураховуючи вираз (19), отримуємо критерій 2.
Критерій 2. Для того, щоб система (15), (2) була ,,,,,{ )(i
tHcHc
},1, Nit i , — стійкою за наявності відомих збурень )()( tf i , it ,
Ni ,1 , необхідно і достатньо, щоб виконувалися нерівності
)())()((
|)),()(|1(
minminminmin
)(1)(
2)()(
}:{,...,2,1),(,...,2,1
2
21 tltQtl
tatl
c
i
si
Ti
s
iTi
s
cHNstttNi
ii
i
Tiiii
,
1|),()(| )()( tatl iTi
si
, it , ii Ns ,...,2,1 , Ni ,1 .
Тут ),(),()( 01
1
01
1 ttWHttWtQ T
iii
виражається через матриці ),( 01 ttWi ,
it , які можна знайти зі співвідношення (9), поклавши 1j .
Нехай при it постійно діючі збурення невідомі, але задовольняють
умову (16), і нехай ),(),( )(
1
)( tlttY Ti
si
Ti
s ii
),()(),( )(
1
)(
ijiij
Ti
si
Ti
s ttWtlttY
ii ,
1,...,2,1 ij , тоді
t
t
i
ii
Ti
s
tRtf
is
i
i
ii
ii
dssfstXttYt
1
)(
)(),(),(max)( )(
1
)(
,)(
1
1
)(
1
)(
1
)(),(),(
i
j
t
t
j
jj
Ti
s
j
j
i
dssfstXttY , Ni ,1 .
Використовуючи співвідношення (16), для )(t
iis дістаємо таку нерів-
ність:
p
t
t
p
p
n pn
i
i
s
i
iis
i
ii
i
i
ii
dttytxRt
1
1 1
1
1
),(),()(
1
1
1
1 1
1
1
),(),(
i
j
p
t
t
p
p
n pn
j
j
s
j
j
j
j
ji
j
i
i
dttytxR ,
де in
ni
i
i txtX )},({),( , j
j
n
n
j
j txtX )},({),( ,
)),(),...,,((),( 1111
)(
i
i
sni
i
si
Ti
s ttyttyttY
iiii
it ,
Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 95
1
11
qp
, 1
11
ii qp
, Ni ,1 .
Позначимо:
dssBstXta i
t
t
i
i
i
)(),(),(
1
)(
j
i
j
jij DttW
1
11 ),(
j
j
t
t
jjj
i
j
jij dssBstXttW
1
)(),(),(
1
1
11 .
Якщо виконуються нерівності
)(),()(1)()(:)()( )()()()()()( ttatltztltztz
iii is
iTi
s
iTi
s
ii ,
1)(),()( )()( ttatl
ii is
iTi
s , it , ii Ns ,...,2,1 , Ni ,1 ,
то )()( ),( i
t
i tx , it , Ni ,1 .
Критерій 3. Для того, щоб система (15), (2) була ,,,,,{ )(i
tHcHc
},1, Nit i — стійкою за наявності невідомих, але обмежених збурень
)()( tf i , it , Ni ,1 , необхідно і достатньо, щоб виконувалися нерівності
)())()((
|))(),()(|1(
minminminmin
)(1)(
2)()(
}:{,...,2,1),(,...,2,1
2
21 tltQtl
ttatl
c
i
si
Ti
s
is
iTi
s
cHNstttNi
ii
ii
Tiiii
,
1|)(),()(| )()( ttatl
ii is
iTi
s , it , ii Ns ,...,2,1 , Ni ,1 .
МАТРИЧНІ РІВНЯННЯ ЧУТЛИВОСТІ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ ЗІ ЗМІНОЮ
ВИМІРНОСТІ ФАЗОВОГО ПРОСТОРУ
Для системи (1) за умов (2) рівняння чутливості [6 – 9] мають вигляд
)(),()(
),(
tBtUtA
dt
tdU
iii
i
, G , it , Ni ,1
за умов зміни вимірності фазового простору
iiiiii DtUCtU ),0(),( 111 , G , 1,1 Ni ,
де
d
dt
tBtxtA
d
dx
UtU
T )(
))(),()((
)(
),( 0
010
)1(
01
)1(
0
1001 , (20)
10111111 ),(),0( UttWtU iiii
1
1
1111 )(),(),(
1
i
j
j
t
t
jjjiji dssBstXttW
j
j
1
1
1111 ),0(
i
j
jjiji DttW .
Ф.Г. Гаращенко, О.Л. Сопронюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 96
Щоб отримати початкові умови (20), потрібно диференціювати за
таке інтегральне рівняння:
t
t
txdssBsxsAtx
)(
0
)1(
01
)1(
1
)1(
0
),())(),()((),( .
У результаті маємо [3, 7]
t
t
dssBsUsA
tx
tU
)(
11
)1(
1
0
))(),()((
),(
),(
d
dx )()1(
0
d
dt
tBtxtA
T )(
))(),()(( 0
010
)1(
01 .
Поклавши в цій рівності )(0 tt , знайдемо вираз для обчислення по-
чаткових умов матриці TU10 )),(),...,,(),,((),( 0
)(
10
)2(
10
)1(
101 tutututU mT
розмірності mn 1 функцій чутливості системи (1) за умов (2).
ОЦІНКИ В ЗАДАЧАХ АНАЛІЗУ ЧУТЛИВОСТІ ЛІНІЙНИХ
ПАРАМЕТРИЧНИХ СИСТЕМ ЗІ ЗМІНОЮ ВИМІРНОСТІ ФАЗОВОГО
ПРОСТОРУ
Нехай матриці функцій чутливості системи (1), (2) такі, що виконуються
умови
},1,,1),()(:),({),(
1
)()(
iii
m
k
k
i
Tk
siii NsttutltUtU
i
, Ni ,1 . (21)
Тут )()( tl k
si
— відомі вектори розмірності in , it ; ),()( tu k
i — векто-
ри-стовпці матриці ),( tUi , mk ,1 , Ni ,1 .
Щоб урахувати обмеження (21), уведемо до розгляду множину почат-
кових умов для функцій чутливості
m
k
k
T
k
T
k
H
d
dt
tBtxtA
d
dx
G
1
0
010
)1(
01
)1(
0
0
)(
))(),()((
)(
:
20
010
)1(
01
)1(
0 )(
))(),()((
)(
c
d
dt
tBtxtA
d
dx
k
T
k
,
де kH — додатно визначені квадратні матриці розмірності mm , mk ,1 .
Використовуючи алгоритми практичної стійкості, знайдемо оцінки зна-
чень параметра c , за яких виконуватимуться співвідношення (21), а саме:
m
k
k
sk
Tk
s
m
k
k
i
Tk
s
NstttNi
tltQtl
tatl
c
ii
i
iiii
1
)(1)(
2
1
)()(
,...,2,1),(,...,2,1
2
)())()((
|))()(|1(
minminmin
1
,
Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 97
1)()(
1
)()(
m
k
k
i
Tk
s tatl
i
, it , ii Ns ,...,2,1 , Ni ,1 ,
причому ),(),()( 01
1
01
1 ttWHttWtQ T
ikii
, ),( 01 ttWi можна знайти за форму-
лою (9), у яку потрібно підставити 1j , )()( ta k
i — вектори, що визнача-
ються за формулами
t
t
k
ii
k
i
i
dssbstXta
1
)(),()( )()(
1
1
)(
11
1
)(),(),(
i
j
t
t
k
jjjjij
j
j
dssbstXttW
i
j
k
jjij dttW
1
)(
11 ),( ;
),( 1ii ttX — матричні розв’язки задачі (8); )(k
ib — k -й стовпець матриці
iB , а )(k
jb і )(k
jd — відповідно k -й стовпець матриці jB і матриці jD .
Критерій 4. Для того, щоб функції чутливості системи (1) зі зміною
вимірності за співвідношенням (2) задовольняли (21), необхідно і достатньо
параметри системи вибирати згідно з нерівностями:
m
k
k
sk
Tk
s
m
k
k
i
Tk
s
NstttNi
tltQtl
tatl
c
ii
i
iiii
1
)(1)(
2
1
)()(
,...,2,1),(,...,2,1
2
)())()((
|))()(|1(
minminmin
1
,
1)()(
1
)()(
m
k
k
i
Tk
s tatl
i
, it , ii Ns ,...,2,1 , Ni ,1 .
АЛГОРИТМИ РОЗРАХУНКУ ДОПУСКІВ НА ПАРАМЕТРИ В ЛІНІЙНИХ
СИСТЕМАХ ЗІ ЗМІНОЮ ВИМІРНОСТІ ФАЗОВОГО ПРОСТОРУ
Розглянемо систему (1) за умов (2). Нехай розв’язок цієї системи задоволь-
няє початкову умову )1(
00
)1( )( xtx для всіх 0G . Тоді для векторів
,)()()( iii xxy , де
)(ix — розрахункові значення векторів фазо-
вого стану розглядуваної системи при , Ni ,1 , отримаємо
)(),()(
),( )(
)(
tBtytA
dt
tdy
i
i
i
i
, it , Ni ,1 (22)
за нульових початкових умов, тобто при 0tt , 0),( 0
)1( ty .
Умови (2) набудуть вигляду
ii
i
ii
i DtyCty ),0(),( 1
)1(
1
)( , G , 1,1 Ni . (23)
Ф.Г. Гаращенко, О.Л. Сопронюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 98
Якщо }:{ 2
0 cHG T , H — додатно визначена матриця, а )(i
t
має вигляд },...,2,1,1),()(:{ )()()()(
ii
iTi
s
ii
t Nstytly
i
, it , для всіх
Ni ,1 , то можна на основі дослідження практичної стійкості оцінити мно-
жину допустимих параметрів
0G для всіх значень , для яких
)()( ),( i
t
i ty , it , Ni ,1 .
Розв’язок (22) за умов (23) і того, що 0)( 0
)1( ty , матиме вигляд
dssBstXty i
t
t
ii
i
i
)(),(),(
1
)(
1
1
11 )(),(),(
1
i
j
j
t
t
jjjij dssBstXttW
j
j
i
j
jjij DttW
1
11 ),( , it , Ni ,1 . (24)
Із рівняння (24) випливає, що ),(),( 1
)(
ii
i ttYty , якщо 0)( 0
)1( ty ,
а ),( 1ii ttY — матриця функцій чутливості системи (22), (23) і має вигляд
dssBstXttY i
t
t
iiii
i
)(),(),(
1
1
1
1
11 )(),(),(
1
i
j
j
t
t
jjjij dssBstXttW
j
j
i
j
jjij DttW
1
11 ),( , it , Ni ,1 . (25)
Легко переконатися, що матриця ),( 1ii ttY у цьому випадку
є розв’язком такої задачі:
)(),()(
),(
1
1 tBttYtA
dt
ttdY
iiii
ii
,
1
1
1111 )(),(),(),(
1
i
j
j
t
t
jjjijiii dssBstXttWttY
j
j
i
j
jjij DttW
1
11 ),( , it , Ni ,1 .
Тому за наявності лінійних обмежень
},...,2,1,1),()(:{ )()()()(
ii
iTi
s
ii
t Nstytly
i
, it , Ni ,1
стала c , що фігурує в оцінці множини }:{ 2
0 cHG T , повинна під-
порядковуватися умові iii
Ti
s NsttYtl
i
,...,2,1,1),()( 1
)( , it , Ni ,1 .
Розв’язуючи відповідну оптимізаційну задачу, отримуємо такий критерій.
Критерій 5. Для },1,,,,{ )( NitHc i
i
t — оцінки параметрів сис-
теми (22), (23) необхідно і достатньо, щоб
Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 99
1)(
1
1
1
)(
,...,2,1),(,...,2,1
2 ))(),(),()((minminmin
1
tlttYHttYtlc i
si
T
i
Ti
sNstttNi ii
iiii
.
Припустімо тепер, що початкові умови у системі (1), (2) залежать від
вектора параметрів 0
)1(
00
)1( ),()( ttxtx . Для отримання конструктивних
алгоритмів візьмемо конкретний тип початкових умов [10 – 16], наприклад,
0
)1(
0 )( Xx , де 0X — відома матриця розмірності mn 1 . Тоді вектори
розкидів ),()( ty i і задовольнятимуть систему (22) за ненульових почат-
кових умов 00
)1( )( Xty . При цьому матриця чутливості збігається з мат-
рицею ),( 1ii ttY . Якщо позначити 01111 ),(),(
~
XttWttW ii , то дістанемо кри-
терій оцінки для лінійних початкових умов.
Критерій 6. Для },1,,,,{ )( NitHc i
i
t — оцінки параметрів сис-
теми (22), (23) необхідно і достатньо, щоб виконувалася нерівність
),(
~
(),(),(
~
)((((minminmin 11
1
111
)(
,...,2,1),(,...,2,1
2
1
ttWHttYttWtlc iii
Ti
sNstttNi i
iiii
1)(
1 ))()),(
tlttY i
s
T
i i
,
де ),( 1ii ttY — матриця чутливості розмірності mni , it , Ni ,1 і має
вигляд (25).
ВИСНОВКИ
У роботі розглянуто моделі лінійних параметричних систем звичайних ди-
ференціальних рівнянь зі змінною вимірністю фазового простору. Для тако-
го типу систем доведено теореми про практичну стійкість. Розроблено алго-
ритми аналізу практичної стійкості для цих систем. Отримано критерії
практичної стійкості динамічних систем зі змінною вимірністю фазового
простору.
Побудовано матричні рівняння чутливості, на основі яких знайдено
оцінки аналізу чутливості параметричних систем зі змінною вимірністю фа-
зового простору. На основі критеріїв розроблено алгоритми розрахунку до-
пусків на параметри лінійних систем зі змінною вимірністю фазового прос-
тору.
Запропоновані алгоритми ґрунтуються на побудові систем диференціа-
льних рівнянь і зводяться до розв’язання матричної задачі Коші, розв’язок
якої можна знайти за допомогою числових методів.
ЛІТЕРАТУРА
1. Сопронюк Ф.О. Моделювання та оптимізація систем управління з розгалужен-
ням структур / Ф.О. Сопронюк. — Чернівці: Рута, 1995. — 155 с.
2. Кириченко Н.Ф. Введение в теорию стабилизации движения / Н.Ф. Киричен-
ко. — К.: Вища шк., 1978. — 184 с.
Ф.Г. Гаращенко, О.Л. Сопронюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 100
3. Бублик Б.Н. Структурно-параметрическая оптимизация и устойчивость
динамики пучков / Б.Н. Бублик, Ф.Г. Гаращенко, Н.Ф. Кириченко. — К.:
Наук. думка, 1985. — 304 с.
4. Гаращенко Ф.Г. Аналіз та оцінка параметричних систем / Ф.Г. Гаращенко,
Л.А. Панталієнко. — К.: ІДДО, 1995. — 140 с.
5. Гаращенко Ф.Г. Прикладні задачі теорії стійкості / Ф.Г. Гаращенко,
В.В. Пічкур. — К.: ВПЦ «Київський університет», 2014. — 125 с.
6. Гаращенко Ф.Г. Адаптивные модели аппроксимации сигналов в структурно-
параметрических классах функций / Ф.Г. Гаращенко, О.С. Дегтяр, О.Ф. Швець
// Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 69–77.
7. Гаращенко Ф.Г. Вступ до аналізу чутливості параметричних систем: навч.
посіб. / Ф.Г. Гаращенко, О.Ф. Швець. — К.: ВПЦ «Київський університет»,
2006. — 115 с.
8. Гаращенко Ф.Г. Анализ и оценка параметрических систем на основе методов
практической устойчивости / Ф.Г. Гаращенко, Л.А. Панталиенко // Пробле-
мы управления и информатики. — 1996. — № 1 , 2 . — С. 145–161.
9. Розенвассер Е.Н. Чувствительность систем управления / Е.Н. Розенвассер,
Р.М. Юсупов. — М.: Наука, 1981. — 464 с.
10. Гаращенко Ф.Г. Исследование задач теории чувствительности методами
практической устойчивости / Ф.Г. Гаращенко, Л.А. Панталієнко // Изв. АН
СССР. — Техническая кибернетика. — 1989. — Вып. 6. — С. 17–25.
11. Швець О.Ф. Моделі для аналізу чутливості розривних динамічних систем зі
змінною вимірністю фазового простору / Щ.Ф. Швець, О.Л. Сопронюк //
Вісн. Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Серія: Фізико-математичні
науки. — 2009. — № 1. — С. 158–162.
12. Сопронюк О.Л. Про матричні моделі для числового аналізу параметричної
чутливості систем зі зміною вимірності фазового простору / О.Ф. Швець,
О.Л. Сопронюк // Вісн. Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Серія:
Фізико-математичні науки. — 2010. — № 1. — С. 132–136.
13. Гаращенко Ф.Г. Исследование задач расчета допусков на параметры с помо-
щью методов практической устойчивости / Ф.Г. Гаращенко, Л.А. Панта-
лиенко // Автоматика и телемеханика. — 1993. — № 4. — С. 43–55.
14. Сопронюк О.Л. Оптимальне оцінювання допусків на параметри у динамічних
системах зі зміною вимірності фазового простору / О.Л. Сопронюк // Наук.
вісн. Чернів. нац. ун-ту імені Юрія Федьковича. Серія: Комп’ютерні систе-
ми та компоненти. — Чернівці: ЧНУ, 2013. — Т. 3, вип. 1. — С. 42–48.
15. Сопронюк О.Л. Оцінювання допусків на параметри у дискретних динамічних
системах зі зміною вимірності фазового простору / О.Л. Сопронюк // Наук.
вісн. Чернів. нац. ун-ту імені Юрія Федьковича. Серія: Комп’ютерні систе-
ми та компоненти. — 2014. — Т. 5, вип. 1. — С. 81–86.
16. Сопронюк О.Л. Про розрахунок допусків на параметри лінійних динамічних
систем зі змінною вимірністю фазового простору / О.Ф. Швець // Вісн.
Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Серія: Фізико-математичні науки.
— 2015. — № 1. — С. 181–188.
Надійшла 12.05.2016
|
| id | journaliasakpiua-article-85450 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:55Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/4e/7990d3fb18fea6d4f1a47b91c8c1744e.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-854502018-03-30T15:27:13Z Analysis of the practical stability and sensitivity of linear dynamical systems with change of phase space measurability Анализ практической устойчивости и чувствительности линейных динамических систем с изменением размерности фазового пространства Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору Garashenko, Fedir G. Soproniyk, Olga L. practical stability sensitivity of dynamical systems systems with change of space measurability практическая устойчивость чувствительность динамических систем системы с применением размерности фазового пространства практична стійкість чутливість динамічних систем системи із застосуванням розмірності фазового простору In this work, the models of linear parametric systems of ordinary differential equations with variable measurability of phase space are investigated. The theorems about the practical stability of linear parametrical systems with variable measurability are proved. It is important that the reverse theorem about practical stability of indicated systems is obtained. The algorithms and criteria of analysis of practical stability of linear parametrical systems with variable measurability of phase space at the presence of constantly occurring perturbations are shown. The matrix equations of sensitivity of linear parametrical systems with variable measurability of the phase space are researched. It was investigated that on the basis of methods of practical stability and conditions which satisfied sensitivity matrices it was possible to effectively find the estimations of parameters for an analysis of the system sensitivity with variable measurability of the phase space. Results of given investigations can be successfully applied in the tasks of digital data processing and pattern recognition. Рассмотрены модели линейных параметрических систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменной размерностью фазового пространства. Доказаны теоремы о практической устойчивости линейных параметрических систем с переменной размерностью фазового пространства. Важной есть обратная теорема о практической устойчивости указанных систем. Наведены алгоритмы и критерии анализа практической устойчивости линейных параметрических систем с переменной размерностью фазового пространства при наличии постоянно действующих возмущений. Получены матричные уравнения чувствительности таких систем. Показано, что на основании методов практической устойчивости и условий, которым удовлетворяют матрицы чувствительности, можно эффективно находить оценки параметров для анализа чувствительности систем с переменной размерностью фазового пространства. Результаты работы пригодны для успешного использования при решении задач цифровой обработки информации и распознавания образов. Розглянуто моделі лінійних параметричних систем звичайних диференціальних рівнянь зі змінною вимірністю фазового простору. Доведено теореми про практичну стійкість лінійних параметричних систем зі змінною вимірністю. Важливою є отримана обернена теорема про практичну стійкість вказаних систем. Наведено алгоритми та критерії аналізу практичної стійкості лінійних параметричних систем зі змінною вимірністю фазового простору за наявності постійно діючих збурень. Отримано матричні рівняння чутливості таких систем. Показано, що на основі методів практичної стійкості та умов, які задовольняють матриці чутливості, можна ефективно знаходити оцінки параметрів для аналізу чутливості систем зі змінною вимірністю фазового простору. Результати роботи придатні для успішного застосування в задачах цифрового оброблення інформації та розпізнавання образів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2016-09-26 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/85450 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.3.08 System research and information technologies; No. 3 (2016); 86-100 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2016); 86-100 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2016); 86-100 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/85450/81130 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | практична стійкість чутливість динамічних систем системи із застосуванням розмірності фазового простору Garashenko, Fedir G. Soproniyk, Olga L. Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору |
| title | Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору |
| title_alt | Analysis of the practical stability and sensitivity of linear dynamical systems with change of phase space measurability Анализ практической устойчивости и чувствительности линейных динамических систем с изменением размерности фазового пространства |
| title_full | Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору |
| title_fullStr | Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору |
| title_full_unstemmed | Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору |
| title_short | Аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору |
| title_sort | аналіз практичної стійкості та чутливості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору |
| topic | практична стійкість чутливість динамічних систем системи із застосуванням розмірності фазового простору |
| topic_facet | practical stability sensitivity of dynamical systems systems with change of space measurability практическая устойчивость чувствительность динамических систем системы с применением размерности фазового пространства практична стійкість чутливість динамічних систем системи із застосуванням розмірності фазового простору |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/85450 |
| work_keys_str_mv | AT garashenkofedirg analysisofthepracticalstabilityandsensitivityoflineardynamicalsystemswithchangeofphasespacemeasurability AT soproniykolgal analysisofthepracticalstabilityandsensitivityoflineardynamicalsystemswithchangeofphasespacemeasurability AT garashenkofedirg analizpraktičeskojustojčivostiičuvstvitelʹnostilinejnyhdinamičeskihsistemsizmeneniemrazmernostifazovogoprostranstva AT soproniykolgal analizpraktičeskojustojčivostiičuvstvitelʹnostilinejnyhdinamičeskihsistemsizmeneniemrazmernostifazovogoprostranstva AT garashenkofedirg analízpraktičnoístíjkostítačutlivostílíníjnihdinamíčnihsistemzízmínoûvimírnostífazovogoprostoru AT soproniykolgal analízpraktičnoístíjkostítačutlivostílíníjnihdinamíčnihsistemzízmínoûvimírnostífazovogoprostoru |