Location of singular points in orthorhombic media
The dependence of the location of singular points of orthorhombic (ORT) media on the stiffness coefficients , and phase velocity at the singularity point is studied under the assumption that are larger than and . In this case, singular points appear only at the intersec...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
S. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine
2022
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/261965 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Geofizicheskiy Zhurnal |
Репозитарії
Geofizicheskiy Zhurnal| _version_ | 1856543533205291008 |
|---|---|
| author | Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. |
| author_facet | Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. |
| author_sort | Roganov, Yu.V. |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-08-24T08:14:12Z |
| description | The dependence of the location of singular points of orthorhombic (ORT) media on the stiffness coefficients , and phase velocity at the singularity point is studied under the assumption that are larger than and . In this case, singular points appear only at the intersection of slowness surfaces of S1- and S2-waves. To simplify the presentation of the results, the values , are fixed and changed within the limits at which the stiffness matrix remains positive definite. We define the parameters, , , , which result in 0, 1, or 2 singular points in the symmetry planes of the ORT medium. The types of these singular points and their location on the unit circle are described. It is shown that, by selecting parameters , any singular point in the symmetry plane 13 can be combined with the limiting position of the singularity point in-between the symmetry planes, or this point can be included in the singular curve of the degenerate ORT medium. We derive equations for the semi-axes of an ellipse of conical refraction, which is the image of a singular point from plane 13 in the group domain. Conditions for degeneration of the ellipse of conical refraction into a segment or a point are defined. It is shown that there exists only one ORT medium with a fixed phase velocity of S1- and S2-waves in a given singular direction n. If we present the ORT media as projections of these vectors n onto the plane 12 and mark the value of the Poincaré index of the S1- or S2-wave at the point n, we get 2 regions with indices 1/2 and –1/2 separated by projection of the singular curve in the form of an ellipse or hyperbola. We compute equations for of a degenerate ORT medium in terms of the values, , and velocity of S1-, S2-waves on a singular curve. The singular curve is defined by the intersection of a unit sphere with an elliptic cone. It is proved that a degenerate ORT medium for or is, respectively, a transversally isotropic medium with a vertical or horizontal axis of symmetry. The results are illustrated in several examples. |
| first_indexed | 2025-07-17T11:12:53Z |
| format | Article |
| id | journalsuranua-geofizicheskiy-article-261965 |
| institution | Geofizicheskiy Zhurnal |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T11:12:53Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | S. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| spelling | journalsuranua-geofizicheskiy-article-2619652022-08-24T08:14:12Z Location of singular points in orthorhombic media Розташування сингулярних точок в орторомбічних середовищах Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. singular point phase velocity polarization vector Christoffel matrix orthorhombic medium сингулярна точка фазова швидкість вектор поляризації матриця Крістофеля орторомбічне середовище The dependence of the location of singular points of orthorhombic (ORT) media on the stiffness coefficients , and phase velocity at the singularity point is studied under the assumption that are larger than and . In this case, singular points appear only at the intersection of slowness surfaces of S1- and S2-waves. To simplify the presentation of the results, the values , are fixed and changed within the limits at which the stiffness matrix remains positive definite. We define the parameters, , , , which result in 0, 1, or 2 singular points in the symmetry planes of the ORT medium. The types of these singular points and their location on the unit circle are described. It is shown that, by selecting parameters , any singular point in the symmetry plane 13 can be combined with the limiting position of the singularity point in-between the symmetry planes, or this point can be included in the singular curve of the degenerate ORT medium. We derive equations for the semi-axes of an ellipse of conical refraction, which is the image of a singular point from plane 13 in the group domain. Conditions for degeneration of the ellipse of conical refraction into a segment or a point are defined. It is shown that there exists only one ORT medium with a fixed phase velocity of S1- and S2-waves in a given singular direction n. If we present the ORT media as projections of these vectors n onto the plane 12 and mark the value of the Poincaré index of the S1- or S2-wave at the point n, we get 2 regions with indices 1/2 and –1/2 separated by projection of the singular curve in the form of an ellipse or hyperbola. We compute equations for of a degenerate ORT medium in terms of the values, , and velocity of S1-, S2-waves on a singular curve. The singular curve is defined by the intersection of a unit sphere with an elliptic cone. It is proved that a degenerate ORT medium for or is, respectively, a transversally isotropic medium with a vertical or horizontal axis of symmetry. The results are illustrated in several examples. Вивчено залежність розташування сингулярних точок орторомбічних (ОРТ) середовищ від коефіцієнтів пружності ... ij c i j , , 1, , 6 = , та фазової швидкості f v у сингулярних точках за припущення, що c c c 11 22 33 , , більше c c c 44 55 66 , , і c c c 55 44 66 < < . У цьому випадку сингулярні точки виникають лише при перетині поверхонь повіль[1]ності S1- і S2-хвиль. Для спрощення подання результатів значення ... ii c i , 1, , 6 = , фіксуються, а ij c i j , < , змінюються у межах, у яких матриця пружності залишається позитивно визначеною. Отримано співвідношення між параметрами d c c 12 12 66 = + , d c c 13 13 55 = + , d c c 23 23 44 = + , за яких у площинах симетрії ОРТ середовища існують 0, 1 або 2 сингулярні точки. Описано типи цих сингулярних точок та їх розташування на одиничному колі. Показано, що вибором параметрів d d 12 23 , будь-яку сингулярну точку в площині симетрії 13 можна поєднати з граничним положенням сингулярної точки, що знаходиться поза площинами симетрії, або включити цю точку в сингулярну криву виродженого ОРТ середовища. Виведено вирази для півосей еліпса конічної рефракції, який є зображенням у груповій області сингулярної точки з площини симетрії 13. Знайдено умови, за яких еліпс конічної рефракції вироджується у відрізок або точку. Показано, що існує не більше одного ОРТ середовища з фіксованою фазовою швидкістю f v S1- і S2-хвиль у заданому сингулярному напрямку n. Розглянуто всі ОРТ середовища з різними сингулярними напрямками n та фіксованою фазовою швидкістю S1-, S2-хвиль в точці n. Розраховано індекс Пуанкаре у сингулярній точці n і поставлено його у відповідність до проєкції n на площину симетрії 12. На площині симетрії 12 отримно дві області з індексами Пуанкаре 1/2 та –1/2, які розділяє проєкція сингулярної кривої у вигляді еліпса або гіперболи виродженого ОРТ середовища. Знайдено формули, що виражають параметри d d d 12 13 23 , , виродженого ОРТ середовища через значення ... ii c i , 1, , 6 = , та швидкість f v S1-, S2-хвиль на сингулярній кривій. Сингулярна крива виродженого ОРТ середовища представлена як перетин одиничної сфери з еліптичним конусом. Доведено, що вироджене ОРТ середовище при c c c c 11 22 44 55 = = , або c c c c 11 33 44 66 = = , є трансверсально-ізотропним середовищем з вертикальною або горизонтальною віссю симетрії відповідно. Результати продемонстровано на кількох прикладах. S. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine 2022-08-24 Article Article application/pdf https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/261965 10.24028/gj.v44i3.261965 Geofizicheskiy Zhurnal; Vol. 44 No. 3 (2022); 3-20 Геофизический журнал; Том 44 № 3 (2022); 3-20 Геофізичний журнал; Том 44 № 3 (2022); 3-20 2524-1052 0203-3100 uk https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/261965/259616 http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | singular point phase velocity polarization vector Christoffel matrix orthorhombic medium Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. Location of singular points in orthorhombic media |
| title | Location of singular points in orthorhombic media |
| title_alt | Розташування сингулярних точок в орторомбічних середовищах |
| title_full | Location of singular points in orthorhombic media |
| title_fullStr | Location of singular points in orthorhombic media |
| title_full_unstemmed | Location of singular points in orthorhombic media |
| title_short | Location of singular points in orthorhombic media |
| title_sort | location of singular points in orthorhombic media |
| topic | singular point phase velocity polarization vector Christoffel matrix orthorhombic medium |
| topic_facet | singular point phase velocity polarization vector Christoffel matrix orthorhombic medium сингулярна точка фазова швидкість вектор поляризації матриця Крістофеля орторомбічне середовище |
| url | https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/261965 |
| work_keys_str_mv | AT roganovyuv locationofsingularpointsinorthorhombicmedia AT stovasa locationofsingularpointsinorthorhombicmedia AT roganovvyu locationofsingularpointsinorthorhombicmedia AT roganovyuv roztašuvannâsingulârnihtočokvortorombíčnihseredoviŝah AT stovasa roztašuvannâsingulârnihtočokvortorombíčnihseredoviŝah AT roganovvyu roztašuvannâsingulârnihtočokvortorombíčnihseredoviŝah |