Adaptive Computation of Curve Lengths Given by Non-differentiable Functions
Measurement of the lengths of curves is quite common in solving various problems. If the function that defines the curve is differentiable, then computing the curve length is a relatively simple mathematical operation. In the absence of initial information about the function, it is necessary to appl...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English Russian |
| Опубліковано: |
Journal of Mechanical Engineering
2020
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journals.uran.ua/jme/article/view/199003 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Journal of Mechanical Engineering |
Репозитарії
Journal of Mechanical Engineering| id |
journalsuranuajme-article-199003 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Journal of Mechanical Engineering |
| collection |
OJS |
| language |
English Russian |
| topic |
non-differentiable function piecewise linear approximation adaptive peace-wise selection of nodes efficiency index UDC 519 517.97 недиференційовна функція кусково-лінійне наближення адаптивний покроковий вибір вузлів індекс ефективності УДК 519 517.97 недифференцируемая функция кусочно-линейное приближение адаптивный пошаговый выбор узлов индекс эффективности УДК 519 517.97 |
| spellingShingle |
non-differentiable function piecewise linear approximation adaptive peace-wise selection of nodes efficiency index UDC 519 517.97 недиференційовна функція кусково-лінійне наближення адаптивний покроковий вибір вузлів індекс ефективності УДК 519 517.97 недифференцируемая функция кусочно-линейное приближение адаптивный пошаговый выбор узлов индекс эффективности УДК 519 517.97 Sheludko, Helii A. Ugrimov, Serhii V. Adaptive Computation of Curve Lengths Given by Non-differentiable Functions |
| topic_facet |
non-differentiable function piecewise linear approximation adaptive peace-wise selection of nodes efficiency index UDC 519 517.97 недиференційовна функція кусково-лінійне наближення адаптивний покроковий вибір вузлів індекс ефективності УДК 519 517.97 недифференцируемая функция кусочно-линейное приближение адаптивный пошаговый выбор узлов индекс эффективности УДК 519 517.97 |
| format |
Article |
| author |
Sheludko, Helii A. Ugrimov, Serhii V. |
| author_facet |
Sheludko, Helii A. Ugrimov, Serhii V. |
| author_sort |
Sheludko, Helii A. |
| title |
Adaptive Computation of Curve Lengths Given by Non-differentiable Functions |
| title_short |
Adaptive Computation of Curve Lengths Given by Non-differentiable Functions |
| title_full |
Adaptive Computation of Curve Lengths Given by Non-differentiable Functions |
| title_fullStr |
Adaptive Computation of Curve Lengths Given by Non-differentiable Functions |
| title_full_unstemmed |
Adaptive Computation of Curve Lengths Given by Non-differentiable Functions |
| title_sort |
adaptive computation of curve lengths given by non-differentiable functions |
| title_alt |
Адаптивное вычисление длин кривых, задаваемых недифференцируемыми функциями Адаптивне обчислення довжин кривих, які задаються недиференційовними функціями |
| description |
Measurement of the lengths of curves is quite common in solving various problems. If the function that defines the curve is differentiable, then computing the curve length is a relatively simple mathematical operation. In the absence of initial information about the function, it is necessary to apply approximate methods. Which of these methods should be used for a particular function is usually decided by the user. One of the important factors influencing the choice of the method is the available time resource for the preliminary analysis of the function and for the coordination with the initial data that include both the necessary accuracy of the result and the total numerical costs. The article proposes a method based on an a posteriori approach to the problem, where the analysis of the behavior of the function is carried out in the process of an approximate measurement of the length of the curve in a given area. This method became possible thanks to the introduction of an incremental adaptation mechanism that responds to the deviation of the function curve from the broken line approximating it. As a result, the local analysis accepted as a result of the adaptation made it possible to pass the large steepness segments of the curve in small increments and the flat segments, with large ones. With a particularly sharp change in the function (for example, in sub-domains with singularities), the main adaptation mechanism is able to go beyond the boundaries of the adopted set of constants without serious complications of the algorithm. Thus, there has disappeared the need both for a preliminary analysis of the behavior of the function, not necessarily regular, and the identification of singularities (kinks, extreme points, etc.), their numbers and locations. In order to compute the length of the curve, it is enough to set the function on this area and the required accuracy, limited by the minimum increment, without worrying about using some auxiliary tables and weight factors. The numerical experiment conducted on a test set of functions of varying complexity showed the advantage of the proposed approach over grid methods, especially with equally spaced nodes. |
| publisher |
Journal of Mechanical Engineering |
| publishDate |
2020 |
| url |
https://journals.uran.ua/jme/article/view/199003 |
| work_keys_str_mv |
AT sheludkoheliia adaptivecomputationofcurvelengthsgivenbynondifferentiablefunctions AT ugrimovserhiiv adaptivecomputationofcurvelengthsgivenbynondifferentiablefunctions AT sheludkoheliia adaptivnoevyčisleniedlinkrivyhzadavaemyhnedifferenciruemymifunkciâmi AT ugrimovserhiiv adaptivnoevyčisleniedlinkrivyhzadavaemyhnedifferenciruemymifunkciâmi AT sheludkoheliia adaptivneobčislennâdovžinkrivihâkízadaûtʹsânediferencíjovnimifunkcíâmi AT ugrimovserhiiv adaptivneobčislennâdovžinkrivihâkízadaûtʹsânediferencíjovnimifunkcíâmi |
| first_indexed |
2024-06-01T14:44:22Z |
| last_indexed |
2024-06-01T14:44:22Z |
| _version_ |
1800670347536629760 |
| spelling |
journalsuranuajme-article-1990032020-03-26T11:25:48Z Adaptive Computation of Curve Lengths Given by Non-differentiable Functions Адаптивное вычисление длин кривых, задаваемых недифференцируемыми функциями Адаптивне обчислення довжин кривих, які задаються недиференційовними функціями Sheludko, Helii A. Ugrimov, Serhii V. non-differentiable function piecewise linear approximation adaptive peace-wise selection of nodes efficiency index UDC 519 517.97 недиференційовна функція кусково-лінійне наближення адаптивний покроковий вибір вузлів індекс ефективності УДК 519 517.97 недифференцируемая функция кусочно-линейное приближение адаптивный пошаговый выбор узлов индекс эффективности УДК 519 517.97 Measurement of the lengths of curves is quite common in solving various problems. If the function that defines the curve is differentiable, then computing the curve length is a relatively simple mathematical operation. In the absence of initial information about the function, it is necessary to apply approximate methods. Which of these methods should be used for a particular function is usually decided by the user. One of the important factors influencing the choice of the method is the available time resource for the preliminary analysis of the function and for the coordination with the initial data that include both the necessary accuracy of the result and the total numerical costs. The article proposes a method based on an a posteriori approach to the problem, where the analysis of the behavior of the function is carried out in the process of an approximate measurement of the length of the curve in a given area. This method became possible thanks to the introduction of an incremental adaptation mechanism that responds to the deviation of the function curve from the broken line approximating it. As a result, the local analysis accepted as a result of the adaptation made it possible to pass the large steepness segments of the curve in small increments and the flat segments, with large ones. With a particularly sharp change in the function (for example, in sub-domains with singularities), the main adaptation mechanism is able to go beyond the boundaries of the adopted set of constants without serious complications of the algorithm. Thus, there has disappeared the need both for a preliminary analysis of the behavior of the function, not necessarily regular, and the identification of singularities (kinks, extreme points, etc.), their numbers and locations. In order to compute the length of the curve, it is enough to set the function on this area and the required accuracy, limited by the minimum increment, without worrying about using some auxiliary tables and weight factors. The numerical experiment conducted on a test set of functions of varying complexity showed the advantage of the proposed approach over grid methods, especially with equally spaced nodes. Измерение длин кривых достаточно распространено при решении различных задач. Если функция, задающая кривую, дифференцируема, то вычисление длины является относительно простой математической операцией. При отсутствии начальной информации о функции приходится применять приближенные методы. Какой из этих методов целесообразно использовать для конкретной функции, обычно решает сам пользователь. Одним из важных факторов, влияющих на выбор метода, является имеющийся ресурс времени на предварительный анализ функции и согласование с начальными данными, которые включают необходимую точность результата и общие численные затраты. В статье предлагается метод, основанный на апостериорном подходе к проблеме, когда анализ характера поведения функции осуществляется в самом процессе приближенного измерения длины кривой в заданной области. Такой способ стал возможным благодаря введению пошагового адаптивного механизма, реагирующего на отклонение кривой функции от аппроксимирующей ее ломаной. В конечном итоге принятый локальный анализ вследствие адаптации позволил проходить участки с большой крутизной кривой с малым шагом, а пологие – с большим. При особенно резком изменении функции (например, в подобластях с особенностями) основной адаптивный механизм наделен возможностью выхода за границы принятого набора констант без серьезных усложнений алгоритма. Таким образом, отпала необходимость в предварительном анализе характера поведения функции, не обязательно регулярной, и выявлении особенностей (изломы, экстремальные точки и т.п.), их числа и места. Для вычисления длины кривой достаточно задать функцию на данной области и необходимую точность, ограниченную минимальным шагом, не заботясь об использовании каких-то вспомогательных таблиц и весовых коэффициентов. Проведенный численный эксперимент на тестовом наборе функций разной сложности показал преимущество предлагаемого подхода над сеточными методами, особенно с равноотстоящими узлами. Вимірювання довжин кривих є достатньо поширеним під час розв’язання різних задач. Якщо функція, що задає криву, є диференційовною, то обчислення довжини є досить простою математичною операцією. За відсутності початкової інформації про функцію доводиться застосовувати наближені методи. Який з цих методів за наявності конкретної функції доцільно використати, звичайно вирішує користувач, враховуючи клас функції та існуючий в його розпорядженні арсенал можливостей. Одним із важливих факторів, що впливають на вибір методу, є наявний ресурс часу на попередній аналіз функції та узгодження з початковими даними, які включають необхідну точність результату і загальні числові витрати. У статті пропонується метод, що ґрунтується на апостеріорному підході до проблеми, коли аналіз характеру поведінки функції здійснюється саме в процесі наближеного вимірювання довжини кривої в заданій області. Такий спосіб став можливим завдяки введенню покрокового адаптивного механізму, що реагує на відхилення кривої функції від її апроксимуючої ламаної. В кінцевому підсумку прийнятий локальний аналіз внаслідок адаптації дозволив проходити ділянки з великою крутістю кривої з малим кроком, а пологі – з великим. За особливо різкої зміни функції (наприклад, в підобластях з особливостями) основний адаптивний механізм наділений можливістю виходу за межі прийнятого набору констант без серйозних ускладнень алгоритму. Таким чином, відпала необхідність в попередньому дослідженні характеру поведінки функції, не обов’язково регулярній, та виявленні особливостей (зломи, екстремальні точки і т.п.), їх числа і місця. Для обчислення довжини кривої достатньо задати функцію на даній області і необхідну точність, обмежену мінімальним кроком, не піклуючись про використання якихось допоміжних таблиць та вагових коефіцієнтів. Проведений чисельний експеримент на тестовому наборі функцій різної складності показав перевагу запропонованого підходу над сітковими методами, особливо з рівновіддаленими вузлами. Journal of Mechanical Engineering Проблемы машиностроения Проблеми машинобудування 2020-03-21 Article Article application/pdf application/pdf https://journals.uran.ua/jme/article/view/199003 Journal of Mechanical Engineering; Vol. 23 No. 1 (2020); 65-72 Проблемы машиностроения; Том 23 № 1 (2020); 65-72 Проблеми машинобудування; Том 23 № 1 (2020); 65-72 2709-2992 2709-2984 en ru https://journals.uran.ua/jme/article/view/199003/199645 https://journals.uran.ua/jme/article/view/199003/199183 Copyright (c) 2020 Serhii V. Ugrimov, Helii A. Sheludko https://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0 |