The New Approximation Effects of Weyl-Nagy Kernels
In a uniform metric, the problem of obtaining the exact values of the best approximations on classes 2π-periodic functions, r-th (r > 0) derivatives of which are in a single sphere of space of significantly limited functions, there was decided in 1936 by J. Favar [1]. Such classes ca...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2021
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251178 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543262474502144 |
|---|---|
| author | Сорич, Віктор Сорич, Ніна |
| author_facet | Сорич, Віктор Сорич, Ніна |
| author_sort | Сорич, Віктор |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-01-13T13:45:12Z |
| description | In a uniform metric, the problem of obtaining the exact values of the best approximations on classes 2π-periodic functions, r-th (r > 0) derivatives of which are in a single sphere of space of significantly limited functions, there was decided in 1936 by J. Favar [1]. Such classes can also be considered as classes of convolutions with known in the scientific literature on the theory of approximation Bernoulli kernels. In solving the problem J. Favar put forward the hypothesis that the similar problem with fractional values of the parameter r can also be solved according to the proposed scheme. The idea of solving the problem is based on Rolle's theorem on the relationship between the number of zeros of a function and the number of zeros of its derivative. Lately we have been seeing the increased attention of mathematics to the problems, for which Rolle’s theorem is true, and as result of which it becomes possible to find solutions to many problems of the theory of approach. Many outstanding mathematicians worked on J. Favar's hypothesis: N. Akhiezer, M. Krein, S. Nikolsky, S. Stechkin, Sun Yon-shen and others. The final results for solving the problem of finding the exact values of the best approximations in the classes, generated by the Weyl-Nagy kernels and which generalize Bernoulli kernels, in the metrics of spaces of continuous and according of summary functions, belong to V. Dzyadyk [2].
The problem of joint approximation of periodic functions and their derivatives in the formulation, which is considered in this paper, was initiated by O. Stepanets. The finding the exact value of the sizes of the best approximations of the individual, and the most important (according to the successful proposal of O. Stepanets [3]) linear combinations functions from Weyl-Nagy classes in uniform and integral metrics was considered in the works of the authors in detail (see, in particular, [4, 5]). This works concern the best joint approximation of functions from classes of convolutions with fixed generating kernels. If the number of terms m in a linear combination is one, then the best joint approximation and value of the best approximations coincide. This article is a logical continuation of a problem of finding the values of the best joint approximation of linear combinations of functions from Weyl-Nagy classes in metrics of spaces of continuous and, accordingly, summary functions; the values of the parameters that complements the before considered cases is investigated in it. It found the conditions for parameters of the problem of the best joint approximation, in which the kernels of convolution satisfy Nagy sufficient conditions of best approximation in the integral metrics. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:43:45Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-251178 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:43:45Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-2511782022-01-13T13:45:12Z The New Approximation Effects of Weyl-Nagy Kernels Нові апроксимаційні ефекти ядер Вейля-Надя Сорич, Віктор Сорич, Ніна In a uniform metric, the problem of obtaining the exact values of the best approximations on classes 2π-periodic functions, r-th (r > 0) derivatives of which are in a single sphere of space of significantly limited functions, there was decided in 1936 by J. Favar [1]. Such classes can also be considered as classes of convolutions with known in the scientific literature on the theory of approximation Bernoulli kernels. In solving the problem J. Favar put forward the hypothesis that the similar problem with fractional values of the parameter r can also be solved according to the proposed scheme. The idea of solving the problem is based on Rolle's theorem on the relationship between the number of zeros of a function and the number of zeros of its derivative. Lately we have been seeing the increased attention of mathematics to the problems, for which Rolle’s theorem is true, and as result of which it becomes possible to find solutions to many problems of the theory of approach. Many outstanding mathematicians worked on J. Favar's hypothesis: N. Akhiezer, M. Krein, S. Nikolsky, S. Stechkin, Sun Yon-shen and others. The final results for solving the problem of finding the exact values of the best approximations in the classes, generated by the Weyl-Nagy kernels and which generalize Bernoulli kernels, in the metrics of spaces of continuous and according of summary functions, belong to V. Dzyadyk [2]. The problem of joint approximation of periodic functions and their derivatives in the formulation, which is considered in this paper, was initiated by O. Stepanets. The finding the exact value of the sizes of the best approximations of the individual, and the most important (according to the successful proposal of O. Stepanets [3]) linear combinations functions from Weyl-Nagy classes in uniform and integral metrics was considered in the works of the authors in detail (see, in particular, [4, 5]). This works concern the best joint approximation of functions from classes of convolutions with fixed generating kernels. If the number of terms m in a linear combination is one, then the best joint approximation and value of the best approximations coincide. This article is a logical continuation of a problem of finding the values of the best joint approximation of linear combinations of functions from Weyl-Nagy classes in metrics of spaces of continuous and, accordingly, summary functions; the values of the parameters that complements the before considered cases is investigated in it. It found the conditions for parameters of the problem of the best joint approximation, in which the kernels of convolution satisfy Nagy sufficient conditions of best approximation in the integral metrics. У рівномірній метриці задача отримання точних значень найкращих наближень на класах 2π-періодичних функцій, r-ті (r Î N) похідні яких знаходяться в одиничній сфері простору суттєво обмежених функцій, була розв’язана в 1936 р. Ж. Фаваром [1]. Такі класи можна розглядати також як класи згорток, що породжені відомими в науковій літературі з теорії наближення ядрами Бернуллі. При розв’язанні задачі Ж. Фавар висунув гіпотезу, що аналогічну задачу при дробових значеннях параметра r теж можна реалізовувати за запропонованою схемою. В основі ідеї розв’язку задачі лежить теорема Ролля про співвідношення між числом нулів функції та числом нулів її похідної. В останній час до задач, для яких вірна теорема Ролля, підвищена увага математиків, і з її використанням вдалося знайти розв’язки багатьох задач теорії наближення. Над гіпотезою Ж. Фавара працювали багато видатних математиків: Н. І. Ахієзер, М. Г. Крейн, С. М. Нікольський, С. Б. Стєчкін, Сунь Юн-шен та ін. Остаточні результати по розв’язанню задачі знаходження точних значень величин найкращих наближень на класах, що породжуються ядрами Вейля-Надя та які узагальнюють ядра Бернуллі, у метриках просторів неперервних і відповідно сумовних функцій, належать В. К. Дзядику [2]. Задачу сумісного наближення періодичних функцій та їх похідних в постановці, аналогічній до розглянутої в цій роботі, започатковано О. І. Степанцем. Знаходження точного значення величин найкращих наближень окремих, та найбільш важливих (за вдалою пропозицією О.І. Степанця [3]) лінійних комбінацій функцій із класів Вейля-Надя в рівномірній та інтегральній метриках детально досліджено у роботах авторів (див., зокрема, [4, 5]) з найкращого сумісного наближення функцій із класів, що задаються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами. У випадку кількості доданків m лінійної комбінації рівною одиниці величини найкращого сумісного наближення та величини найкращих наближень співпадають. У статті, яка є логічним продовженням знаходження величин найкращого та найкращого сумісного наближення, досліджуються лінійні комбінації функцій класів Вейля-Надя у метриках просторів неперервних і відповідно сумовних функцій при значеннях параметрів задачі, що доповнюють знайдені раніше. В ній знайдені умови на параметри задачі найкращого сумісного наближення, при яких ядра згорток задовольняють достатні умови Надя найкращого наближення в інтегральній метриці. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2021-10-06 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251178 10.32626/2308-5878.2021-22.97-109 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2021: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 22; 97-109 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2021: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 22; 97-109 2308-5878 10.32626/2308-5878.2021-22 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251178/248635 |
| spellingShingle | Сорич, Віктор Сорич, Ніна The New Approximation Effects of Weyl-Nagy Kernels |
| title | The New Approximation Effects of Weyl-Nagy Kernels |
| title_alt | Нові апроксимаційні ефекти ядер Вейля-Надя |
| title_full | The New Approximation Effects of Weyl-Nagy Kernels |
| title_fullStr | The New Approximation Effects of Weyl-Nagy Kernels |
| title_full_unstemmed | The New Approximation Effects of Weyl-Nagy Kernels |
| title_short | The New Approximation Effects of Weyl-Nagy Kernels |
| title_sort | new approximation effects of weyl-nagy kernels |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251178 |
| work_keys_str_mv | AT soričvíktor thenewapproximationeffectsofweylnagykernels AT soričnína thenewapproximationeffectsofweylnagykernels AT soričvíktor novíaproksimacíjníefektiâdervejlânadâ AT soričnína novíaproksimacíjníefektiâdervejlânadâ AT soričvíktor newapproximationeffectsofweylnagykernels AT soričnína newapproximationeffectsofweylnagykernels |