Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the First Boundary Value Problem for a One-Dimensional Nonlinear Heat Conduction Equation
The problem of heat conduction in nonlinear media reduces to solving boundary value problems for nonlinear heat conduction equations, where the coefficients of the equation or the function of the power of heat sources depend on temperature according to some law. Among the numerical methods for solvi...
Збережено в:
| Дата: | 2024 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2024
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313242 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543276153176064 |
|---|---|
| author | Василишин, Костянтин |
| author_facet | Василишин, Костянтин |
| author_sort | Василишин, Костянтин |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-10-13T20:55:43Z |
| description | The problem of heat conduction in nonlinear media reduces to solving boundary value problems for nonlinear heat conduction equations, where the coefficients of the equation or the function of the power of heat sources depend on temperature according to some law. Among the numerical methods for solving problems for nonlinear equations of mathematical physics, one can distinguish finite difference methods, finite element methods, variational and projection methods, as well as iterative methods. Among the latter group, the two-sided approximation method is particularly attractive due to its ability to provide a convenient estimate for the error of the approximate solution and to prove the existence of a solution to the original problem.
The theory of linear partially ordered spaces was developed by L. V. Kantorovich in the second half of the 1930s. Further development of this theory is associated with the works of M. A. Krasnosel’skii, H. Amann, V. I. Opojtsev, N. S. Kurpel, B. A. Shuvar, A. I. Kolosov etc.
The aim of this article is to develop a two-sided approximation method based on the use of Green's functions for solving the first boundary value problem for a one-dimensional nonlinear heat conduction equation and to investigate its performance when solving test problems. To achieve this goal, the unknown function was replaced, and the boundary value problem was reduced to a Hammerstein integral equation, which was considered as a nonlinear operator equation in a partially ordered Banach space. Conditions for the existence of a unique positive solution to the problem and conditions for two-sided convergence of successive approximations to it were obtained. The developed method was implemented in software and tested on solving test problems. The results of the computational experiment are illustrated with graphical and tabular information. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:44:01Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-313242 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:44:01Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3132422024-10-13T20:55:43Z Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the First Boundary Value Problem for a One-Dimensional Nonlinear Heat Conduction Equation Застосування методу двобічних наближень до розв’язання першої крайової задачі для одновимірного рівняння теплопровідності з експоненціально нелінійним коефіцієнтом теплопровідності Василишин, Костянтин The problem of heat conduction in nonlinear media reduces to solving boundary value problems for nonlinear heat conduction equations, where the coefficients of the equation or the function of the power of heat sources depend on temperature according to some law. Among the numerical methods for solving problems for nonlinear equations of mathematical physics, one can distinguish finite difference methods, finite element methods, variational and projection methods, as well as iterative methods. Among the latter group, the two-sided approximation method is particularly attractive due to its ability to provide a convenient estimate for the error of the approximate solution and to prove the existence of a solution to the original problem. The theory of linear partially ordered spaces was developed by L. V. Kantorovich in the second half of the 1930s. Further development of this theory is associated with the works of M. A. Krasnosel’skii, H. Amann, V. I. Opojtsev, N. S. Kurpel, B. A. Shuvar, A. I. Kolosov etc. The aim of this article is to develop a two-sided approximation method based on the use of Green's functions for solving the first boundary value problem for a one-dimensional nonlinear heat conduction equation and to investigate its performance when solving test problems. To achieve this goal, the unknown function was replaced, and the boundary value problem was reduced to a Hammerstein integral equation, which was considered as a nonlinear operator equation in a partially ordered Banach space. Conditions for the existence of a unique positive solution to the problem and conditions for two-sided convergence of successive approximations to it were obtained. The developed method was implemented in software and tested on solving test problems. The results of the computational experiment are illustrated with graphical and tabular information. Задача про теплопровідність об’єктів у нелінійних середовищах зводиться до розв’язання крайових задач для нелінійного рівняння теплопровідності, де коефіцієнти рівняння або функція потужності теплових джерел залежать від температури за деяким законом. Серед чисельних методів розв’язання задач для нелінійних рівнянь математичної фізики можна виділити методи скінченних різниць, скінченних елементів, варіаційні та проекційні, а також ітераційні методи. Серед останньої групи методів найбільш привабливим є метод двобічних наближень завдяки можливості отримати зручну оцінку для похибки наближеного розв’язку і довести існування розв’язку вихідної задачі. Теорія лінійних напівупорядкованих просторів була побудована Л. В. Канторовичем у другій половині 30-х років XX ст. Подальший розвиток цієї теорії пов’язаний з роботами М. А. Красносельського, H. Amann’а, В. І. Опойцева, Н. С. Курпеля, Б. А. Шувара, А.І. Колосова та інших. Метою статті є розробка методу двобічних наближень на основі використання функцій Гріна для розв’язання першої крайової задачі для нелінійного одновимірного рівняння теплопровідності і дослідження його роботи при розв’язанні тестових задач. Для досягнення поставленої мети була проведена заміна невідомої функції і крайова задача зведена до інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке розглянуто як нелінійне операторне рівняння у напівупорядкованому банаховому просторі. Отримано умови існування єдиного додатного розв’язку задачі та умови двобічної збіжності до нього послідовних наближень. Розроблений метод програмно реалізовано та досліджено при розв’язанні тестових задач. Результати обчислювального експерименту проілюстровано графічною та табличною інформаціями. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2024-09-01 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313242 10.32626/2308-5878.2024-25.19-26 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2024: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 25; 19-26 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2024: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 25; 19-26 2308-5878 10.32626/2308-5878.2024-25 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313242/304252 |
| spellingShingle | Василишин, Костянтин Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the First Boundary Value Problem for a One-Dimensional Nonlinear Heat Conduction Equation |
| title | Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the First Boundary Value Problem for a One-Dimensional Nonlinear Heat Conduction Equation |
| title_alt | Застосування методу двобічних наближень до розв’язання першої крайової задачі для одновимірного рівняння теплопровідності з експоненціально нелінійним коефіцієнтом теплопровідності |
| title_full | Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the First Boundary Value Problem for a One-Dimensional Nonlinear Heat Conduction Equation |
| title_fullStr | Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the First Boundary Value Problem for a One-Dimensional Nonlinear Heat Conduction Equation |
| title_full_unstemmed | Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the First Boundary Value Problem for a One-Dimensional Nonlinear Heat Conduction Equation |
| title_short | Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the First Boundary Value Problem for a One-Dimensional Nonlinear Heat Conduction Equation |
| title_sort | application of the method of two-sided approximations to solving the first boundary value problem for a one-dimensional nonlinear heat conduction equation |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313242 |
| work_keys_str_mv | AT vasilišinkostântin applicationofthemethodoftwosidedapproximationstosolvingthefirstboundaryvalueproblemforaonedimensionalnonlinearheatconductionequation AT vasilišinkostântin zastosuvannâmetodudvobíčnihnabliženʹdorozvâzannâperšoíkrajovoízadačídlâodnovimírnogorívnânnâteploprovídnostízeksponencíalʹnonelíníjnimkoefícíêntomteploprovídností |