The Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the Dirichlet Problem for a Semilinear Equation with a Biharmonic Operator, which is a Mathematical Model of a Microelectromechanical System
The article addresses the Dirichlet problem for a semilinear differential equation with a biharmonic operator, which arises in the mathematical modeling of various physical processes. Specifically, the study considers the deflection of a circular plate under the action of electrostatic force and hyd...
Saved in:
| Date: | 2024 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2024
|
| Online Access: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/317385 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543283254132736 |
|---|---|
| author | Савченко, Антон |
| author_facet | Савченко, Антон |
| author_sort | Савченко, Антон |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-09-16T17:21:15Z |
| description | The article addresses the Dirichlet problem for a semilinear differential equation with a biharmonic operator, which arises in the mathematical modeling of various physical processes. Specifically, the study considers the deflection of a circular plate under the action of electrostatic force and hydrostatic pressure, modeling the operation of an actuator, the primary mechanism in most microelectromechanical systems (MEMS).
The boundary value problem is solved using the method of two-sided approximations based on the method of Green's functions. This approach is chosen because it provides conditions for the existence of a solution to the original problem and offers a convenient a posteriori error estimation for the approximate solution.
The solution process using the method of two-sided approximations is grounded in reducing the problem for a semilinear differential equation with a biharmonic operator to a nonlinear Hammerstein integral equation via the method of Green's functions. This equation was then analyzed using the theory of nonlinear operators in semi-ordered Banach spaces. An iterative process for finding a positive solution to the problem has been constructed, and conditions for its two-sided convergence have been established. Computational experiments for specific parameter values of the model were carried out and compared with the results obtained by other authors. Additionally, an analysis of the maximum deflection of the plate under varying pressure values and constant voltage was conducted.
The novelty of this work lies in the fact that the method of two-sided approximations has been applied to a semilinear equation with a biharmonic operator for the first time. The results of the study demonstrate the successful application of the developed algorithm to model the considered process.
Since the modeling focuses on an actuator consisting of circular plates, the obtained results can be utilized in the design and analysis of ultrasonic transducers, pressure sensors, miniature pumps, gas detectors, etc. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:44:11Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-317385 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-09-17T09:26:23Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3173852025-09-16T17:21:15Z The Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the Dirichlet Problem for a Semilinear Equation with a Biharmonic Operator, which is a Mathematical Model of a Microelectromechanical System Застосування методу двобічних наближень до розв’язання задачі Діріхле для напівлінійного рівняння з бігармонічним оператором, що є математичною моделлю мікроелектромеханічної системи Савченко, Антон The article addresses the Dirichlet problem for a semilinear differential equation with a biharmonic operator, which arises in the mathematical modeling of various physical processes. Specifically, the study considers the deflection of a circular plate under the action of electrostatic force and hydrostatic pressure, modeling the operation of an actuator, the primary mechanism in most microelectromechanical systems (MEMS). The boundary value problem is solved using the method of two-sided approximations based on the method of Green's functions. This approach is chosen because it provides conditions for the existence of a solution to the original problem and offers a convenient a posteriori error estimation for the approximate solution. The solution process using the method of two-sided approximations is grounded in reducing the problem for a semilinear differential equation with a biharmonic operator to a nonlinear Hammerstein integral equation via the method of Green's functions. This equation was then analyzed using the theory of nonlinear operators in semi-ordered Banach spaces. An iterative process for finding a positive solution to the problem has been constructed, and conditions for its two-sided convergence have been established. Computational experiments for specific parameter values of the model were carried out and compared with the results obtained by other authors. Additionally, an analysis of the maximum deflection of the plate under varying pressure values and constant voltage was conducted. The novelty of this work lies in the fact that the method of two-sided approximations has been applied to a semilinear equation with a biharmonic operator for the first time. The results of the study demonstrate the successful application of the developed algorithm to model the considered process. Since the modeling focuses on an actuator consisting of circular plates, the obtained results can be utilized in the design and analysis of ultrasonic transducers, pressure sensors, miniature pumps, gas detectors, etc. У статті розглянуто задачу Діріхле для напівлінійного диференціального рівнянням з бігармонічним оператором, що виникає при математичному моделюванні різних фізичних процесів. Зокрема, пропонується розглянути процес прогину круглої пластини під дією електростатичної сили та гідростатичного тиску, що моделює роботу актюатора – основного механізму більшості мікроелектромеханичних систем (МЕМС). У статті пропонується до розв’язання відповідної крайової задачі застосувати метод двобічних наближень на основі використання методу функцій Гріна. Вибір методу обумовлено тим, що він дає змогу отримати умови існування розв’язку вихідної задачі та має зручну апостеріорну оцінку похибки наближеного розв’язку. Процес розв’язання методом двобічних наближень ґрунтується на тому, що задача для нелінійного диференціального рівнянням з бігармонічним оператором за допомогою методу функцій Гріна була зведена до нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке було досліджено методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах. Побудовано ітераційний процес знаходження додатного розв’язку задачі та отримано умови його двобічної збіжності. Для конкретних значень параметрів моделі проведено низку обчислювальних експериментів та виконано порівняння з результатами, отриманими іншими авторами. Проведено аналіз зміни максимального відхилення пластини при різних значеннях тиску та постійному значенні напруги. Новизна роботи полягає у тому, що до нелінійного рівняння з бігармонічним оператором метод двобічних наближень було застосовано вперше. Результати, отримані у роботі, свідчать про успішність застосування розробленого алгоритму до моделювання розглядуваного процесу. Оскільки було розглянуто моделювання актюатора, який складається з круглих пластин, то отримані результати можуть бути використані при проєктування та дослідженні поведінки ультразвукових перетворювачів, датчиків тиску, мініатюрних насосів і детекторів газу тощо. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2024-12-10 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/317385 10.32626/2308-5878.2024-26.50-61 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2024: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 26; 50-61 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2024: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 26; 50-61 2308-5878 10.32626/2308-5878.2024-26 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/317385/312886 Авторське право (c) 2025 Антон Савченко |
| spellingShingle | Савченко, Антон The Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the Dirichlet Problem for a Semilinear Equation with a Biharmonic Operator, which is a Mathematical Model of a Microelectromechanical System |
| title | The Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the Dirichlet Problem for a Semilinear Equation with a Biharmonic Operator, which is a Mathematical Model of a Microelectromechanical System |
| title_alt | Застосування методу двобічних наближень до розв’язання задачі Діріхле для напівлінійного рівняння з бігармонічним оператором, що є математичною моделлю мікроелектромеханічної системи |
| title_full | The Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the Dirichlet Problem for a Semilinear Equation with a Biharmonic Operator, which is a Mathematical Model of a Microelectromechanical System |
| title_fullStr | The Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the Dirichlet Problem for a Semilinear Equation with a Biharmonic Operator, which is a Mathematical Model of a Microelectromechanical System |
| title_full_unstemmed | The Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the Dirichlet Problem for a Semilinear Equation with a Biharmonic Operator, which is a Mathematical Model of a Microelectromechanical System |
| title_short | The Application of the Method of Two-Sided Approximations to Solving the Dirichlet Problem for a Semilinear Equation with a Biharmonic Operator, which is a Mathematical Model of a Microelectromechanical System |
| title_sort | application of the method of two-sided approximations to solving the dirichlet problem for a semilinear equation with a biharmonic operator, which is a mathematical model of a microelectromechanical system |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/317385 |
| work_keys_str_mv | AT savčenkoanton theapplicationofthemethodoftwosidedapproximationstosolvingthedirichletproblemforasemilinearequationwithabiharmonicoperatorwhichisamathematicalmodelofamicroelectromechanicalsystem AT savčenkoanton zastosuvannâmetodudvobíčnihnabliženʹdorozvâzannâzadačídíríhledlânapívlíníjnogorívnânnâzbígarmoníčnimoperatoromŝoêmatematičnoûmodellûmíkroelektromehaníčnoísistemi AT savčenkoanton applicationofthemethodoftwosidedapproximationstosolvingthedirichletproblemforasemilinearequationwithabiharmonicoperatorwhichisamathematicalmodelofamicroelectromechanicalsystem |