Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Singular Nonlinearities
In this paper, we consider the problem of finding positive axially symmetric solutions to boundary value problems for nonlinear elliptic differential equations using the method of two-sided approximations. The first boundary value problem, or Dirichlet problem, is solved. The nonlinearity involved i...
Saved in:
| Date: | 2025 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2025
|
| Online Access: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/332473 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543286562390016 |
|---|---|
| author | Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим |
| author_facet | Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим |
| author_sort | Пархоменко, Владислав |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-09-16T17:22:31Z |
| description | In this paper, we consider the problem of finding positive axially symmetric solutions to boundary value problems for nonlinear elliptic differential equations using the method of two-sided approximations.
The first boundary value problem, or Dirichlet problem, is solved. The nonlinearity involved is of an anti-monotonic type, characterized by a power-law dependence with an exponent ranging from –1 to 0. By transitioning to a polar coordinate system and exploiting the axial symmetry of the solution, the original boundary value problem for an elliptic equation is reduced to a boundary value problem for an ordinary differential equation on a finite interval. The solution depends solely on the radial coordinate, eliminating the dependence on the angular variable. In this case, the pole of the polar coordinate system becomes a singular point, where it is necessary to impose a boundedness condition on the solution.
For the boundary value problem, the Green’s function is constructed, after which the problem is reduced to a Hammerstein integral equation. This integral equation is treated as a nonlinear operator equation in a Banach space of continuous functions on a finite interval, partially ordered by the cone of non-negative functions on that interval. The corresponding operator is studied with respect to properties such as anti-monotonicity (antitonicity), positivity, boundedness, and pseudo-concavity.
The next stage involves determining the initial approximation as the endpoints of a strongly invariant conical segment for the antitone operator, in a way that ensures the highest possible convergence rate of the iterative process. Two iterative sequences of two-sided approximations are then constructed. The first sequence is non-decreasing with respect to the cone, while the second is non-increasing. At each iteration, the arithmetic mean of the upper and lower approximations is chosen as the current estimate. The iterative process continues until the error estimate for the solution meets the prescribed accuracy.
The theoretical results obtained in this work were verified through computational experiments. The dependence of the solution and the convergence rate of the iterative process on the parameters in the right-hand side was analyzed and illustrated with corresponding graphs. |
| first_indexed | 2025-09-17T09:26:24Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-332473 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-09-17T09:26:24Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3324732025-09-16T17:22:31Z Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Singular Nonlinearities Застосування методу двобічних наближень до знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач із сингулярними нелінійностями Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим In this paper, we consider the problem of finding positive axially symmetric solutions to boundary value problems for nonlinear elliptic differential equations using the method of two-sided approximations. The first boundary value problem, or Dirichlet problem, is solved. The nonlinearity involved is of an anti-monotonic type, characterized by a power-law dependence with an exponent ranging from –1 to 0. By transitioning to a polar coordinate system and exploiting the axial symmetry of the solution, the original boundary value problem for an elliptic equation is reduced to a boundary value problem for an ordinary differential equation on a finite interval. The solution depends solely on the radial coordinate, eliminating the dependence on the angular variable. In this case, the pole of the polar coordinate system becomes a singular point, where it is necessary to impose a boundedness condition on the solution. For the boundary value problem, the Green’s function is constructed, after which the problem is reduced to a Hammerstein integral equation. This integral equation is treated as a nonlinear operator equation in a Banach space of continuous functions on a finite interval, partially ordered by the cone of non-negative functions on that interval. The corresponding operator is studied with respect to properties such as anti-monotonicity (antitonicity), positivity, boundedness, and pseudo-concavity. The next stage involves determining the initial approximation as the endpoints of a strongly invariant conical segment for the antitone operator, in a way that ensures the highest possible convergence rate of the iterative process. Two iterative sequences of two-sided approximations are then constructed. The first sequence is non-decreasing with respect to the cone, while the second is non-increasing. At each iteration, the arithmetic mean of the upper and lower approximations is chosen as the current estimate. The iterative process continues until the error estimate for the solution meets the prescribed accuracy. The theoretical results obtained in this work were verified through computational experiments. The dependence of the solution and the convergence rate of the iterative process on the parameters in the right-hand side was analyzed and illustrated with corresponding graphs. У роботі розглядається знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач для нелінійних еліптичних диференціальних рівнянь методом двобічних наближень. Розв’язується перша крайова задача, або задача Діріхле. Нелінійність за характером у даному випадку є антимонотонною: вона описується степеневою залежністю з показником від –1 до 0. Після переходу до полярної системи координат у крайовій задачі для еліптичного рівняння за рахунок аксіальної симетрії розв’язку розглядувана задача зводиться до крайової задачі для звичайного диференціального рівняння на відрізку. Розв’язок залежить тільки від полярного радіусу, тобто залежність від кута повороту зникає. У такому випадку полюс полярної системи координат стає особливою точкою, в якій виникає необхідність поставити для розв’язку умову обмеженості. Для крайової задачі знаходиться функція Гріна, після чого задача зводиться до інтегрального рівняння Гаммерштейна. Це інтегральне рівняння розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Проводиться дослідження оператора на наявність таких властивостей, як антимонотонність (антитонність), додатність, обмеженість і псевдоувігнутість. Наступним етапом є знаходження початкового наближення як кінців сильно інваріантного конусного відрізка для антитонного оператора так, щоб забезпечити найвищу швидкість збіжності ітераційного процесу. Далі будуються дві ітераційні послідовності двобічних наближень. Перша послідовність не спадає за конусом, друга послідовність не зростає за конусом. За наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього і нижнього наближень. Ітераційний процес продовжується доти, поки оцінка похибки розв’язку не задовольнить заданій точності. Теоретичні результати, які були отримані в роботі, було перевірено шляхом обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку і швидкість збіжності ітераційного процесу від параметрів у правій частині, що проілюстровано відповідними графіками Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2025-06-12 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/332473 10.32626/2308-5878.2025-27.39-52 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2025: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 27; 39-52 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2025: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 27; 39-52 2308-5878 10.32626/2308-5878.2025-27 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/332473/327624 Авторське право (c) 2025 Владислав Пархоменко, Максим Сидоров |
| spellingShingle | Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Singular Nonlinearities |
| title | Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Singular Nonlinearities |
| title_alt | Застосування методу двобічних наближень до знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач із сингулярними нелінійностями |
| title_full | Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Singular Nonlinearities |
| title_fullStr | Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Singular Nonlinearities |
| title_full_unstemmed | Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Singular Nonlinearities |
| title_short | Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Singular Nonlinearities |
| title_sort | application of the method of two-sided approximations for finding positive axially symmetric solutions of boundary value problems with singular nonlinearities |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/332473 |
| work_keys_str_mv | AT parhomenkovladislav applicationofthemethodoftwosidedapproximationsforfindingpositiveaxiallysymmetricsolutionsofboundaryvalueproblemswithsingularnonlinearities AT sidorovmaksim applicationofthemethodoftwosidedapproximationsforfindingpositiveaxiallysymmetricsolutionsofboundaryvalueproblemswithsingularnonlinearities AT parhomenkovladislav zastosuvannâmetodudvobíčnihnabliženʹdoznahodžennâdodatnihaksíalʹnosimetričnihrozvâzkívkrajovihzadačízsingulârniminelíníjnostâmi AT sidorovmaksim zastosuvannâmetodudvobíčnihnabliženʹdoznahodžennâdodatnihaksíalʹnosimetričnihrozvâzkívkrajovihzadačízsingulârniminelíníjnostâmi |