The Best Approximation of Function Classes Generated by Composite Kernels
The set of periodic functions whose essential supremum of the modulus of their r-th derivatives does not exceed one constitutes a class of convolutions of the Bernoulli kernel of order r with elements of the unit ball in the space of summable, essentially bounded periodic functions with zero mean ov...
Збережено в:
| Дата: | 2025 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2025
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/342547 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543292108308480 |
|---|---|
| author | Сорич, Віктор Сорич, Ніна |
| author_facet | Сорич, Віктор Сорич, Ніна |
| author_sort | Сорич, Віктор |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-01-25T14:19:53Z |
| description | The set of periodic functions whose essential supremum of the modulus of their r-th derivatives does not exceed one constitutes a class of convolutions of the Bernoulli kernel of order r with elements of the unit ball in the space of summable, essentially bounded periodic functions with zero mean over a period. In 1936, J. Favard obtained exact values for the best approximations of such classes by trigonometric polynomials of order not exceeding n − 1 in the uniform metric for every natural n. In further studies, when finding upper bounds of the best approximations of classes of convolutions with fractional Bernoulli kernals, generalized Weyl-Nagy kernels, and Poisson kernels by trigonometric polynomials of a given order, both in uniform and integral metrics were considered. In 1938, the Hungarian mathematician B. Nagy proposed a sufficient condition for a kernel of class of convolutions (the so-called Nagy condition): there exists a trigonometric polynomial of order n − 1 that interpolates the kernel at 2n uniformly distributed points on the period, and only at those points, with alternating signs of the difference between the kernel and the polynomial. Satisfying this condition makes it possible to compute the best approximation of the kernel in the integral metric, as well as the best approximation of the corresponding convolution class in both uniform and integral metrics. In 1946, S. Nikolsky generalized Nagy’s condition.
Thanks to the results of M. Krein (1938), in most cases it is not difficult to construct a trigonometric polynomial that interpolates a given kernel at 2n uniformly spaced points of the period. The main difficulty lies in proving that no additional interpolation points exist. When studying certain kernels, mathematicians encountered the phenomenon that, besides the «guaranteed» 2n interpolation points, «extra» interpolation points may appear. This motivated researchers to investigate kernels for which the «standard» Nagy condition fails. The present work takes a step in this direction. We establish several sufficient conditions for linear combinations of even kernels and, likewise, for odd kernels, ensuring that they are interpolated by trigonometric polynomials of order n − 1 only at 2n + 2 uniformly distributed points of the period in the even case, and only at a single uniformly distributed set of 2n + 1 points in the odd case, with alternating signs of the difference between the linear combination and the polynomial at the interpolation points. Thus, for these cases, polynomials of order n − 1 provide the best approximation as if they were polynomials of order n. The paper also presents examples of differences of odd kernels (Bernoulli, Bernoulli and Poisson), as well as differences of even Bernoulli kernels, which illustrate the theorems obtained here. As a consequence, the work also determines the values of the best approximations by trigonometric polynomials of order n for certain classes of convolutions with such linear combinations of odd (even) kernels for which the Nagy condition of order n fails, but the corresponding condition of one order higher holds |
| first_indexed | 2026-02-08T08:00:54Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-342547 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-02-08T08:00:54Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3425472026-01-25T14:19:53Z The Best Approximation of Function Classes Generated by Composite Kernels Найкраще наближення класів функцій, породжених складеними ядрами Сорич, Віктор Сорич, Ніна The set of periodic functions whose essential supremum of the modulus of their r-th derivatives does not exceed one constitutes a class of convolutions of the Bernoulli kernel of order r with elements of the unit ball in the space of summable, essentially bounded periodic functions with zero mean over a period. In 1936, J. Favard obtained exact values for the best approximations of such classes by trigonometric polynomials of order not exceeding n − 1 in the uniform metric for every natural n. In further studies, when finding upper bounds of the best approximations of classes of convolutions with fractional Bernoulli kernals, generalized Weyl-Nagy kernels, and Poisson kernels by trigonometric polynomials of a given order, both in uniform and integral metrics were considered. In 1938, the Hungarian mathematician B. Nagy proposed a sufficient condition for a kernel of class of convolutions (the so-called Nagy condition): there exists a trigonometric polynomial of order n − 1 that interpolates the kernel at 2n uniformly distributed points on the period, and only at those points, with alternating signs of the difference between the kernel and the polynomial. Satisfying this condition makes it possible to compute the best approximation of the kernel in the integral metric, as well as the best approximation of the corresponding convolution class in both uniform and integral metrics. In 1946, S. Nikolsky generalized Nagy’s condition. Thanks to the results of M. Krein (1938), in most cases it is not difficult to construct a trigonometric polynomial that interpolates a given kernel at 2n uniformly spaced points of the period. The main difficulty lies in proving that no additional interpolation points exist. When studying certain kernels, mathematicians encountered the phenomenon that, besides the «guaranteed» 2n interpolation points, «extra» interpolation points may appear. This motivated researchers to investigate kernels for which the «standard» Nagy condition fails. The present work takes a step in this direction. We establish several sufficient conditions for linear combinations of even kernels and, likewise, for odd kernels, ensuring that they are interpolated by trigonometric polynomials of order n − 1 only at 2n + 2 uniformly distributed points of the period in the even case, and only at a single uniformly distributed set of 2n + 1 points in the odd case, with alternating signs of the difference between the linear combination and the polynomial at the interpolation points. Thus, for these cases, polynomials of order n − 1 provide the best approximation as if they were polynomials of order n. The paper also presents examples of differences of odd kernels (Bernoulli, Bernoulli and Poisson), as well as differences of even Bernoulli kernels, which illustrate the theorems obtained here. As a consequence, the work also determines the values of the best approximations by trigonometric polynomials of order n for certain classes of convolutions with such linear combinations of odd (even) kernels for which the Nagy condition of order n fails, but the corresponding condition of one order higher holds Множина 2π-періодичних функцій, суттєвий супремум модуля r-тих похідних яких не перевищує одиниці, є класом згорток ядра Бернуллі порядку r із елементами одиничної кулі простору сумовних суттєво обмежених 2π-періодичних функцій із середнім значенням на періоді рівним нулю. В 1936 р. Ж. Фавар знайшов точні значення найкращих наближень таких класів тригонометричними многочленами порядку не вище за n – 1 в рівномірній метриці при кожному натуральному n. У подальших дослідженнях при відшуканні верхніх меж найкращих наближень класів згорток тригонометричними поліномами заданого порядку як в рівномірній так і в інтегральній метриках розглядались ядра Бернуллі дробового порядку, узагальнені ядра Вейля-Надя, ядра Пуассона. У 1938 р. угорський математик Б. Надь запропонував достатню умову для ядра згортки класу (це т. зв. умова Надя): існує тригонометричний многочлен порядку n – 1, який інтерполює ядро в 2n рівномірно розташованих на періоді точках і лише в них із почережною зміною знаку різниці між ядром та цим многочленом. Виконання цієї умови дозволяє обчислити найкраще наближення ядра в інтегральній метриці, найкраще наближення класу згорток з цим ядром у рівномірній та інтегральній метриках. У 1946 р. С. Нікольський узагальнив умову Надя. Завдяки результатам М. Крейна (1938 р.) в більшості випадків не складно побудувати тригонометричний многочлен, який інтерполює ядро в 2n рівномірно розташованих на періоді точках. Труднощі виникали при доведенні того факту, що більше точок інтерполяції немає. При дослідженні деяких ядер математики зіткнулися з тим фактом, що окрім «гарантованих» 2n точок інтерполяції можуть з’являтися «додаткові» точки інтерполяції. Це спонукало авторів розглянути випадки ядер, для яких «стандартна» умова Надя не виконується. Один із кроків в цьому напрямку робиться в цій роботі. Знайдено деякі достатні умови для лінійних комбінацій парних ядер а також непарних ядер, які тригонометричними многочленами порядку n – 1 інтерполюються лише в 2n + 2 рівномірно розташованих на періоді точках для парного випадку та лише в 2n + 1 рівномірно розташованій на періоді точці зі зміною знаку різниці між лінійною комбінацією та многочленом в точках інтерполяції. Тобто для цих випадків многочлени порядку n – 1 забезпечують найкраще наближення так, якби це були многочлени порядку n. Також у роботі наведені приклади різниць непарних ядер (Бернуллі, Бернуллі та Пуассона), різниці парних ядер Бернуллі, які демонструють одержані в роботі теореми. Як наслідок, у роботі також знайдені величини найкращих наближень тригонометричними многочленами порядку n деяких класів згорток із такими лінійними комбінаціями непарних (парних) ядер, коли для них не виконується умова Надя порядку n, проте виконується ця умова на порядок вище Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2025-10-30 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/342547 10.32626/2308-5878.2025-28.107-120 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2025: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 28; 107-120 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2025: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 28; 107-120 2308-5878 10.32626/2308-5878.2025-28 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/342547/337851 Авторське право (c) 2026 Віктор Сорич, Ніна Сорич |
| spellingShingle | Сорич, Віктор Сорич, Ніна The Best Approximation of Function Classes Generated by Composite Kernels |
| title | The Best Approximation of Function Classes Generated by Composite Kernels |
| title_alt | Найкраще наближення класів функцій, породжених складеними ядрами |
| title_full | The Best Approximation of Function Classes Generated by Composite Kernels |
| title_fullStr | The Best Approximation of Function Classes Generated by Composite Kernels |
| title_full_unstemmed | The Best Approximation of Function Classes Generated by Composite Kernels |
| title_short | The Best Approximation of Function Classes Generated by Composite Kernels |
| title_sort | best approximation of function classes generated by composite kernels |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/342547 |
| work_keys_str_mv | AT soričvíktor thebestapproximationoffunctionclassesgeneratedbycompositekernels AT soričnína thebestapproximationoffunctionclassesgeneratedbycompositekernels AT soričvíktor najkraŝenabližennâklasívfunkcíjporodženihskladenimiâdrami AT soričnína najkraŝenabližennâklasívfunkcíjporodženihskladenimiâdrami AT soričvíktor bestapproximationoffunctionclassesgeneratedbycompositekernels AT soričnína bestapproximationoffunctionclassesgeneratedbycompositekernels |